Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in evoluzione dinamica

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
Università degli Studi di Cassino
Esercitazioni di Elettrotecnica:
circuiti in evoluzione dinamica
Antonio Maffucci
ver.1 – settembre 2005
2
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
1. Circuiti dinamici del primo ordine.
ES. 1.2 Nel seguente circuito all'istante t = 0 si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione
sul condensatore per ogni istante.
ES. 1.1 Considerato il seguente circuito, che fino all’istante t = 0 lavora in regime
stazionario, calcolare la corrente nell'induttore per ogni istante.
R1
e(t )
⎧10 V
e( t ) = ⎨
⎩− 10 V
R2
t<0
t>0
E1
+
A
+
t=0
v (t )
C
R1 = 10 Ω
R1
iL (t )
+
R
−
E1 = 8 V , E 2 = 2 V
R = 10 kΩ, C = 2 mF
L = 2 mH
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito
aperto. Per tale ragione si ha:
v(t ) = E 2 = 2 V .
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito.
Per tale ragione, posto Ra = R1 //R2 si ha:
Per t > 0 , applicando la LKT all'unica maglia e la caratteristica del condensatore si ottiene
facilmente l'eq. differenziale di primo ordine nell'incognita v(t )
Ra
1
= 0 .2 A t < 0 .
i L (t ) = e(t )
Ra + R1 R2
Per t > 0 , applicando le leggi di Kirchhoff si ha:
di
R1i x + R1i y = e , R1i y = R2 i L + L L , i x = i y + i L ,
dt
da cui, sostituendo in modo da lasciare come unica incognita la corrente i L (t ) :
di L 1
e
+ iL =
dt τ
2L
Ri + v = E1 ,
i=C
è
pari
da cui
a
v(t ) = 8 − 6e −0.05t
dove i LP (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime.
Essendo tale regime stazionario, utilizzando quanto ottenuto per t < 0 è facile ottenere
⇒
2 = K +8
⇒ K = −6 ,
t > 0.
R1
i LP (t ) = −0.2 A
e(t )
+
R2
La costante K si ottiene imponendo la continuità della variabile di stato i L (t )
0.2 = K − 0.2
τ = RC .
ES. 1.3 Dato il seguente circuito, valutare la tensione v(t ) per t > 0 .
3
⇒
dove
Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo
la continuità della variabile di stato v(t )
i L (t ) = Ke −12.5⋅10 t + i LP (t ) ,
−12.5⋅103 t
dv v E1
+ =
dt τ
τ
dove v P (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime.
Poiché per t → ∞ si tende ad un regime stazionario, il condensatore si comporta come un
circuito aperto ai capi del quale ci sarà
v P (t ) = E1 = 8 V .
v (0 − ) = v (0 + )
La
radice
dell’equazione
caratteristica
dell’omogenea
associata
λ = −1 / τ = −12.5 ⋅ 10 3 s −1 , quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
⇒
v(t ) = Ke −0.05t + v P (t ) ,
R
L
, Req = R2 + 1 .
dove τ ≡
Req
2
di L iL I cc
+ =
.
τ
dt τ
i L (0 − ) = i L (0 + )
dv
,
dt
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = −1 / τ = −0.05 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
Alternativamente si può dapprima valutare l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore:
e( t )
R
Req = R2 + 1 e I cc (t ) =
,
R1 + 2 R2
2
e quindi ricavare l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )
i L (t ) = −0.2 + 0.4e
E2
R2 = 20 Ω
L
da cui:
+
C
+
v
e(t ) = 50 V t > 0
v (t = 0) = 10 V , C = 1 mF
−
R1 = 20 Ω, R 2 = 24 Ω.
⇒ K = 0.4 ,
Risultato: v(t ) = 27.3 − 17.3e −91.7t V .
t > 0.
3
4
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
ES. 1.4 Il seguente circuito è a riposo fino a t = 0 , istante in cui si chiude l'interruttore A.
Calcolare: a) la costante di tempo τ del circuito;
b) la tensione ai capi del condensatore per t > 0 (tracciarne anche il grafico).
t=0
e(t ) = 10 cos(ωt )
R2
+
+
v (t )
C
R3
−
ver1-2005
ES. 1.5 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si apre
l'interruttore A. Calcolare la corrente nell’induttore in ogni istante e tracciarne
l’andamento qualitativo.
R1
A
e(t)
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
E
R1
+
R2
ω = 100rad / s
R1 = 20 Ω, R2 = 5 Ω
R3
iL
R3 = 10 Ω, C = 1 mF
E = 220 V , L = 0.1 H ,
R1 = 1 kΩ, R2 = R3 = 500 Ω.
L
t =0
Risultato: iL (t ) = 88 mA per t < 0; iL (t ) = 147 − 59e −15000t mA per t > 0.
ES. 1.6 Nel seguente circuito è assegnata la corrente nell’induttore all’istante t = 0 .
Ricavare la tensione sull’induttore per t > 0 .
a) Per calcolare la costante di tempo basta valutare la resistenza dell’equivalente di Thévenin
visto ai capi del condensatore:
35
Req = ( R1 // R3 ) + R2 =
Ω
⇒
τ = Req C = 11.7 ms
3
−
+
b) Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi v c (0 ) = vc (0 ) = 0. Per t > 0 , ricavando la tensione a
vuoto dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore si ha:
E
e(t ) R3
.
R1 + R3
Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito ottenuto sostituendo ai capi di C il generatore
equivalente di Thévenin si ricava l’equazione differenziale nell’incognita vc :
+
E = 220 V per t > 0,
iL
R1
L
R2
i L (0) = 0.4 A,
vL
L = 0.1 H , R1 = 1 kΩ, R2 = 200 Ω
V0 (t ) =
Valutando l’equivalente di Norton ai capi
dell’induttore:
RR
Req = 1 2 = 166.67 Ω ,
I CC
R1 + R2
E
I cc =
= 0.22 A ,
R1
si ricavare facilmente l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )
dvc vc V0
+
=
.
dt
τ
τ
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = −1 / τ = −85.5 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
v c (t ) = A exp(−85.5t ) + v cp (t ) ,
dove vcp (t ) è la soluzione di regime sinusoidale, valutabile attraverso il metodo fasoriale. Posto:
di L i L I cc
, dove
+ =
τ
dt τ
j
E = 10,
Z& 2 = R2 −
= 5 − 10 j , Z& 3 = R3 = 10,
ωC
e applicando ripetutamente la regola del partitore di tensione si ha, posto Z& x = Z& 2 // Z& 3 :
Z& x
V Z&
2.5
[V]
V2 = E
⇒ Vc = 2 c = 2.17e − j 0.86
2
Z& + Z&
R + Z&
Z&1 = R1 = 20,
x
1
2
+
vc (0 ) = 0 = A + 2.17 cos(−0.86) ⇒
dove i LP (t ) rappresenta il termine di regime stazionario:
i LP (t ) = I CC = 0.22 A
0.5
v c (t ) = −1.41 exp(−85.5t ) + 2.17 cos(100t − 0.86) V
il cui andamento è tracciato nella figura a lato.
La costante K si ottiene imponendo la condizione iniziale:
0
-0.5
i L (0 + ) = 0.4
-1
-1.5
⇒
0.4 = K − 0.22
⇒ K = 0.18 ,
3
da cui i L (t ) = 0.18e −1.67⋅10 t + 0.22 A per t > 0.
t>0
-2
-2.5
0
L
= 0.60 ms
Req
3
1
Quindi in definitiva si ottiene la tensione
vL
i L (t ) = Ke −1.67⋅10 t + i LP (t ) ,
1.5
A = -1.41
Req
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è λ = −1 / τ = −1.67 ⋅ 10 3 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
c
da cui: vcp (t) = 2.17 cos(100t − 0.86) V
Dalla condizione iniziale si ha:
τ=
iL
L
0.05
0.1
0.15
[s]
0.2
5
6
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
+
C
R2
R3
−
Risultato: vC (t ) = 73.33 V per t < 0; vC (t ) = 54.59 + 18.74e
−1000t
)
R1
R2
V per t > 0.
480(1-e ) = He
⇒
200
H = 825
150
da cui v(t ) = 825e
V , per t > T .
L’andamento della soluzione è tracciato nel
grafico a lato.
100
50
0
J
R1 = 30 Ω, R2 = 20 Ω
T
t
L = 50 mH
di L
+ v,
j = i1 + i L ,
dt
da cui si ricava l’equazione differenziale nell’incognita v(t )
iL =
1
2
3
t fin
4
[ms]
5
t
t
fin
T
fin
T 2
v 2 (t )
v (t )
v 2 (t )
480 2 (1 − e −1000t ) 2
825 2 e −2000t
dt = ∫
dt + ∫
dt = ∫
dt + ∫
dt
20
20
0 R2
0 R2
0
T
T R2
W R2 (0, t fin ) = 25.48 J
W R2 (0, t fin ) = ∫
Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi i L (t ) = 0 .
Per 0 < t < T , applicando le leggi di Kirchhoff e scrivendo le caratteristiche dei bipoli si ha:
R1i1 = L
0
Per calcolare l’energia dissipata da R2
nell’intervallo [0, t fin ] con t fin = 5 ms , basta integrare la potenza istantanea assorbita:
J = 40 A, T = 1 ms
-
v
,
R2
ES. 1.9 La seguente rete rappresenta un semplice circuito di carica e scarica di un
condensatore. La carica avviene tra l'istante t = 0 e l'istante t = T , intervallo in cui
l'interruttore A resta chiuso. Per t > T , invece, il condensatore C viene collegato al resto
della rete attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponendo la rete a riposo per t < 0 ,
valutare:
a) la tensione sul condensatore v(t ) per 0 < t < T ;
b) l'energia massima Wmax erogabile da C per t > T ;
RR
dv R1 + R2
+
v= 1 2 j ,
dt
L
L
la cui omogenea associata fornisce un’equazione caratteristica avente radice pari a
λ = −( R1 + R2 ) / L = −1000 s −1 . Pertanto si ha:
R1
A
v(t ) = Ke −1000t + v P (t ) ,
t = 0, T
dove v P (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Per
t → ∞ si tende ad un regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito:
v P (t ) = J
−1
250
⇒
−1000t
j (t )
0
300
dove H è una costante arbitraria, determinata
imponendo la condizione iniziale per t = T +
ES. 1.8 La seguente rete dinamica è a riposo per t < 0 .
a) Tracciare l’andamento della tensione ai capi di R2 per t > 0 .
b) Calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo 0 < t < 5 ms .
j (t )
⇒ K = −480 ,
dv R1 + R2
+
v=0 ,
dt
L
e quindi ragionando come prima si avrà
350
v(t ) = He −1000t ,
[V]
−1
+
v(t )
0 = K + 480
0<t <T .
v(T + ) = R2 i L (T + ) = R2 i L (T − ) = v(T − )
L
⇒
Per t > T l'equazione differenziale sarà
E = 220 V , C = 1 F ,
R1 = R3 = 1 kΩ, R2 = 500 Ω.
−0.004t
v(t ) = 480(1 − e
da cui
t=0
+
vC
ver1-2005
v (0 + ) = R 2 i L (0 + ) = R 2 i L (0 − ) = v (0 − ) = 0
ES. 1.7 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si chiude
l'interruttore A. Calcolare la tensione sul condensatore in ogni istante e tracciarne
l’andamento.
R1
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
e(t )
+
+
v (t )
−
R1 R2
= 480 V .
R1 + R2
B
t =T
C
chiuso
R2
Risultato:
tensione v, pur non essendo una variabile di stato, è continua in quanto proporzionale ad una
C = 10 mF
T =2s
aperto
aperto
0
Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale (si osservi che la
e(t ) = 100sin(20t ) V
R1 = 10 Ω
A
T
t
a) v(t ) = 40e −10t + 44.7 sin( 20t − 1.11) V per 0 < t < T ;
b) Wmax = 8.64 J ;
variabile di stato):
7
8
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ES. 2.2 Con riferimento al seguente circuito, in regime stazionario per t < 0 , calcolare la
tensione vC (t ) e la potenza pC (t ) assorbita dal condensatore in ogni istante
2. Circuiti dinamici del secondo ordine.
Es. 2.1 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , quando il generatore si
spegne. Calcolare:
a) il valore delle grandezze di stato all'istante t = 0 +
b) la corrente iL (t ) per t > 0
R
j( t )
R
iL (t )
C
L
⎧20 A
j (t ) = ⎨
⎩0 A
R=2Ω
L = 10 μH
C = 5 μF
R
i L (t ) = j (t ) / 2 = 10 A , vC (t ) = j (t ) R / 2 = 20 V
−
a) Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un
circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
i L (t ) = e(t ) / 2 R = 10 A , vC (t ) = e(t ) / 2 = 10 V
−
−
t <0.
Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 ) = vc (0 ) = 10 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 10 A .
Osserviamo che, essendo ic (t ) = 0 , si ha banalmente pc (t ) = vc (t )ic (t ) = 0 .
+
b) Per t > 0 il circuito è forzato dal generatore e(t), a partire dalle condizioni iniziali individuate
al punto a). Risolvendo il circuito resistivo associato mostrato in figura:
+
iC =
b) Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando le leggi di Kirchhoff e le
caratteristiche dei bipoli si ricavano le equazioni di stato del sistema:
dv
v
di
iL + C c + c = 0 ,
vC − Ri L − L L = 0 .
R
dt
dt
Alle stesse equazioni si perviene risolvendo il circuito resistivo associato:
j( t )
C
L
-
Per la continuità delle variabili di stato si ha: v c (0 ) = v c (0 ) = 20 V e i L (0 ) = i L (0 ) = 10 A .
e − vC
− iL ,
R
v L = v C − Ri L
R
si ottengono le equazioni di stato:
e(t )
dvC
v
i
e
=
− C − L,
dt
RC RC C
R
+
_
vC (t )
t<0
t>0
t < 0.
+
+
e(t )
t<0
t>0
⎧20 V
e(t ) = ⎨
⎩− 20 V
R =1Ω
L = 5 μH
C = 5 μF
R
+
a) Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un
circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
vC
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+
di L vC Ri L
.
=
−
dt
L
L
+
vC
-
iC R
+
vL
+
iL
-
Ricavando i L dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:
R
d 2 vc
iL
dt 2
2
1 de
R ⎞ dv
e
⎛ 1
+⎜
+ ⎟ c +
+
.
vc =
LC
RC dt LC
⎝ RC L ⎠ dt
L'equazione caratteristica dell'omogenea associata fornisce: λ1, 2 = α ± jβ = 2 ⋅ 10 5 (−1 ± j ) ,
Ricavando vC dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:
2
d iL
dt 2
quindi la soluzione si può esprimere nella forma:
vC (t ) = e αt [k1 cos(βt ) + k 2 sin(βt )] + vCP (t ) ,
R ⎞ di
2
⎛ 1
+⎜
+ ⎟ L +
iL = 0 ,
RC
L
dt
LC
⎝
⎠
dove vCP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui
il circuito tende per t → ∞ (regime stazionario):
5
la cui equazione caratteristica ammette le radici λ1, 2 = α ± jβ = 10 (−1.5 ± 1.3 j ) . La soluzione
vCP (t ) = e(t ) / 2 = −10 V .
si può esprimere, quindi, nella forma: i L (t ) = exp(αt )[k1 cos(β t ) + k 2 sin(β t )] , dove le costanti
k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
i L (0 + ) = 10 = k1
[
Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su vC e su dvC / dt :
vC (0 + ) = 10 = k1 − 10
]
di L
αk
1
= vC (0 + ) − Ri L (0 + ) = 0 = αk1 + βk 2 ⇒ k 2 = − 1 = 11.5
dt 0+ L
β
La soluzione è, quindi:
i L (t ) = exp(−1.5 ⋅ 10 5 t )[10 cos(1.3 ⋅ 10 5 t ) + 11.5sin(1.3 ⋅ 10 5 t )]
t > 0.
dvc
dt
0+
⇒
k1 = 20;
v (0 + ) − e ( 0 + ) ⎤
1⎡
6
= − ⎢i L (0 + ) + C
⎥ = −8 ⋅ 10 = αk1 + β k 2 ⇒ k 2 = 20.
C ⎣⎢
R
⎦⎥
La tensione sul condensatore per t > 0 è, quindi:
9
10
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
5
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ES. 2.5 Il seguente circuito è in regime sinusoidale fino t = 0 , istante in cui il generatore si
spegne. Calcolare la corrente iL (t ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.
5
vC (t ) = 20e −2⋅10 t [cos(2 ⋅ 10 5 t ) − sin(2 ⋅ 10 5 t )] − 10 = 28.3e −2⋅10 t [cos(2 ⋅ 10 5 t + 0.79)] − 10 V .
La potenza assorbita per t > 0 si può valutare in due modi: possiamo calcolare preliminarmente
la corrente che circola nel condensatore:
5
dv (t )
iC (t ) = C C
= −40e − 2⋅10 t sin( 2 ⋅ 10 5 t + 1.57) A , da cui:
dt
5
ver1-2005
R
⎧10 cos(100t ) A
j (t ) = ⎨
⎩0 A
R
R = 0.5 Ω
L = 10 mH
C = 50 mF
iL (t )
j( t )
5
pC (t ) = vC (t )iC (t ) = −565e − 4⋅10 t [sin(4 ⋅ 10 5 t + 2.36) + 0.71] + 400e − 2⋅10 t sin(2 ⋅ 10 5 t + 1.57) W
L
C
Allo stesso risultato si perviene ricordando l’espressione dell’energia di un condensatore:
pC (t ) =
5
C dvC2 (t )
d
= 2.5 ⋅ 10 −6 [28.3e −2⋅10 t cos(2 ⋅ 10 5 t + 0.79) − 10] 2 .
2 dt
dt
Per t < 0 il circuito è in regime sinusoidale, quindi si può ricorrere al metodo fasoriale, ponendo:
J = 10, Z&1 = Z& C + Z& R = 0.5 − 0.2 j , Z& 2 = Z& L + Z& R = 0.5 + j.
ES. 2.3 Nella seguente rete sono assegnati i valori delle grandezze di stato all’istante t = 0 .
Calcolare la tensione sul condensatore per t > 0 .
L
R
e(t )
+
C
Per il partitore di corrente, nell'induttore si ha:
IL = J
Z&1
= 2.07 − 3.66 j = 4.21 exp(−1.06 j )
Z&1 + Z& 2
⇒
i L (t ) = 4.21cos(100t − 1.06) A.
Applicando la LKC si ricava: I C = J − I L = 7.93 + 3.66 j , da cui la tensione:
v(0) = 1 V, i(0 ) = 0 A
+
v (t )
−
t<0
t>0
VC = Z& C I C = 1.74 exp(−1.14 j )
E = 1 V per t > 0
R = 1Ω, L = 1μH , C = 1μF
⇒
vC (t ) = 1.74 cos(100t − 1.14) V .
Per la continuità delle variabili di stato: v c (0 ) = v c (0 + ) = 0.73 V , i L (0 − ) = i L (0 + ) = 2.07 A .
−
Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando la LKT all'unica maglia si ottiene:
vC + 2 Ri L + L
5
Risultato: vC (t ) = e −5⋅10 t [cos(8.7 ⋅ 10 5 t ) + 0.57 sin(8.7 ⋅ 10 5 t )] V per t > 0 .
di L
= 0.
dt
Derivando tale equazione e sostituendovi la caratteristica di C si ottiene l'equazione differenziale
d 2iL
dt 2
ES. 2.4 Il seguente circuito rappresenta un semplice sistema trasmettitore-canale-ricevitore.
Calcolare la tensione sul ricevitore ( RU ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.
+
RS
e S (t )
L
RU
C
+
v(t )
−
e S (t )
E = 6 V , T = 1ns
R S = RU = 50 Ω
E
T
di L
dt
t
9
t
0
+
v (0 + ) + 2 Ri L (0 + )
=− C
= −280 ⇒
L
− 280 = λ1k1 + λ 2 k 2 ⇒ k1 = 4.98, k 2 = −2.91
9
Risultato: v(t ) = 0 V per t < 0 ; v (t ) = −3.74e − 4.45⋅10 t + 0.74e − 22.55⋅10 t + 3 V per 0 < t < T ;
9
la cui equazione caratteristica ammette le radici λ 1 = −72.4 e λ 1 = −27.6 . La soluzione si può
esprimere, quindi, nella forma: iL (t ) = k1 exp(λ1t ) + k2 exp(λ 2t ) , dove le costanti k1 , k 2 sono
determinate dalle condizioni iniziali su i L e su
di L / dt :
4 [A]
0
v (t ) = 320e − 4.45⋅10 t − 4.6 ⋅ 10 9 e − 22.55⋅10
2 R di L
1
+
iL = 0 ,
L dt
LC
i L (0 + ) = 2.07 = k1 + k 2 ,
L = 2 nH , C = 10 pF
9
+
Per t > 0 la soluzione è, quindi, data da:
per t > T .
i L (t ) = 4.98 exp(−72.4t ) − 2.91 exp(−27.6t ) A.
La figura a lato riporta l’andamento della
soluzione in ogni istante.
11
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
[s]
0.3
12
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
ES. 2.6 La rete in figura è in regime stazionario fino t = 0 , istante in cui si chiude
l'interruttore. Calcolare la corrente iL (t ) per t > 0 .
t=0
R
E
iL (t )
R
C
+
L
E = 2V
R = 1/ 3 Ω
L = 1 mH
C = 2 mF
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver1-2005
ES. 2.7 La rete in figura è in regime stazionario per t < 0 . Determinare:
a) le grandezze di stato all’istante t = 0 +
b) la corrente nel condensatore e la tensione nell’induttore all’istante t = 0 +
c) la tensione sul condensatore per t > 0
d) la tensione sull’induttore per t > 0
R
j (t )
R
vC (t )
iC (t )
C
iL (t )
L
v L (t )
t<0
⎧2
j (t ) = ⎨
t
t>0
2
sin(
)
ω
⎩
ω = 10 6 rad/s, R = 1 Ω
L = 1 μH, C = 2 μF
Il circuito da analizzare per t < 0 è disegnato a lato.
Essendo in regime stazionario, il condensatore si comporta
come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito: E
i L (t ) = E / 2 R = 3 A , vC (t ) = E / 2 = 1 V
+
R
+
R
vC (t )
iL (t )
−
(t < 0) .
dvC
v
i
E
=
− C - L,
dt
RC RC C
b) iC (0 + ) = −2 A, v L (0 + ) = 0 V
6
c) vC (t ) = 2.28e −10 t cos(10 6 t + 0.90) + 1.26 cos(10 6 t − 0.32) V per t > 0
Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 − ) = vc (0 + ) = 1 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 3 A .
Il circuito da analizzare per t > 0 è disegnato a lato.
Analizzando il circuito resistivo associato si ricava il sistema
di equazioni:
E − vC
E
i L + iC =
, vC = v L ,
R
da cui è semplice ottenere le equazioni di stato della rete:
Risultato:
a) vC (0 + ) = 1 V, i L (0 + ) = 1 A
6
d) v L (t ) = 4.46 cos(10 6 t − 0.46) − e −10 t [3.22 sin(10 6 t + 1.69) − 9.12 sin(10 6 t + 2.48)] V per t > 0
i (t )
R
+
C
+
vC (t ) L
−
iL (t )
di L vC
=
,
dt
L
Ricavando vC dalla seconda e sostituendola nella prima si ottiene l'equazione differenziale:
d 2iL
dt 2
+
E
1 di L
1
.
iL =
+
RC dt LC
RLC
Le radici dell'equazione caratteristica dell'omogenea associata sono: λ1 = −1000, λ 2 = −500 ,
quindi la soluzione si può esprimere nella forma:
i L (t ) = k1e −1000t + k 2 e −500t + i LP (t ) ,
dove i LP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il
circuito tende per t → ∞ (regime stazionario): i LP (t ) = E / R = 6 A. .
Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
i L (0 + ) = 3 = k1 + k 2 + 6;
di L
dt
0+
=
1
vC (0 + ) = 1000 = −1000k1 − 500k 2 ,
L
da cui: k1 = 1, k 2 = −4 , e quindi la soluzione per t > 0 è i L (t ) = e −1000t − 4e −500t + 6 A .
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