16/05/2011
In Statistica e in genere nelle scienze
sperimentali, si studiano o si osservano
“relazioni” fra grandezze
Di solito, i punti osservati si dispongono
su un diagramma chiamato diagramma
a dispersione:
Per esempio si può pensare allo studio della
relazione fra reddito e risparmio di una
popolazione oppure alla relazione tra
altezza e peso dei militari, ecc.
Definizione:
Partendo da queste coppie di dati (x, y), si
vuole determinare la funzione
y = f(x)
per interpolazione
si intende
la ricerca di una funzione matematica che
approssima l’andamento di un insieme
di punti
che descrive il fenomeno
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Per trovare la funzione si può procedere in due
modi:
1)determinare
la
funzione
che
assuma
esattamente i punti (x, y) osservati
(interpolazione per punti noti, o interpolazione
matematica);
2) determinare la funzione che si accosti il più
possibile
ai
punti
(x,
y)
osservati
(interpolazione fra punti noti, o interpolazione
statistica).
Si
parla
di
interpolazione
statistica (o interpolazione attraverso i
punti) quando si intende rappresentare in
maniera sintetica una relazione funzionale
tra due (o più) variabili statistiche
attraverso una funzione f(x).
Questa funzione non ha l’obiettivo di
passare per tutti i punti, ma di
rappresentare “al meglio”, anche se in via
sintetica, la relazione esistente tra i due
caratteri X e Y.
TIPI DI INTERPOLAZIONE
Interpolazione MATEMATICA
Calcola una funzione che
passa PER tutti i punti
una funzione che sia in grado di interpolare (cioè “di passare”) per tutti i punti
disponibili in un piano cartesiano.
In statistica, il termine interpolazione assume un diverso significato.
Interpolazione STATISTICA
Calcola una funzione che passa FRA i punti
Obiettivo dell’interpolazione
Gli scopi per cui si cerca una funzione di
interpolazione statistica sono:
•Descrivere sinteticamente la relazione fra due
variabili osservate;
•Determinare la legge di distribuzione dei dati
statistici;
•Ricavare eventuali dati intermedi mancanti;
•Correggere valori affetti da errori accidentali o
perturbati da cause secondarie.
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INTERPOLAZIONE
STATISTICA
A CHE COSA SERVE ?
inserimento di uno o più dati in una serie
che presenta vuoti
ESTRAPOLAZIONE (valutazione di valori
esterni alla serie dei dati).
PEREQUAZIONE
(livellazione
o
“regolazione” dei dati di una serie non
regolare attraverso la “sostituzione” al
posto dei dati rilevati, di dati ottenuti dalla
funzione matematica trovata) → cioè una correzione
Mentre nella interpolazione matematica la
funzione interpolante deve passare per tutti i punti
sperimentali, nell’interpolazione statistica la
funzione passa attraverso i punti osservati.
della distribuzione per ridurre delle misure che sono eccessivamente diverse dalle
altre
L’interpolazione statistica viene utilizzata
quando il numero di punti sperimentali è
elevato
E’ necessario che la funzione interpolante
passi il più vicino possibile ai valori
interpolati.
Ci sono vari metodi per attuare ciò, ma il
più usato è quello dei minimi quadrati
6
5
Y
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
X
3
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Questo metodo consiste nel determinare i
parametri della funzione interpolante prescelta in
modo che sia minima la somma dei quadrati degli
scostamenti dei punti dalla funzione
La condizione di accostamento è dunque la
seguente:
La funzione teorica può assumere differenti
aspetti
RETTA
PARABOLA
n
∑(y
i =1
− yˆ i ) ⇒ minima
2
i
yi
FUNZIONE ESPONENZIALE
ŷ
xi
FUNZIONE INTERPOLANTE:
RETTA
Utilizzando il metodo di Cramer si giunge alle soluzioni del
sistema
Ŷ = bx + a i parametri da determinare sono quindi a e b
n
f (a, b ) = ∑ ( yi − bxi − a ) ⇒ minima
2
i =1
Questa è una funzione a due variabili di cui occorre trovare il minimo
Si procede con la soluzione del sistema che pone le
derivate parziali prime uguali a zero per la ricerca di
eventuali punti critici:
f 'b = 2∑ ( yi − bxi − a) ⋅ xi = 0
f 'a = 2∑ ( yi − bxi − a) ⋅1 = 0
∑ y i ⋅ ∑ xi 2 − ∑ xi y i ⋅ ∑ xi
a =
2
n ∑ xi − ( ∑ xi ) 2
n∑ x y − ∑ x ⋅ ∑ y
i i
i
i
b =
2
2
−
n
x
(
x
)
∑
∑
i
i
b ∑ xi 2 + a ∑ xi = ∑ xi yi
b ∑ xi + na = ∑ yi
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