Programma del corso di: Analisi Numerica Corso di laurea in Matematica Corso di laurea in Matematica per l’Informatica e la Comunicazione Scientifica a.a. 2005-06 (6 CFU) Calogero Vetro Rappresentazione dei numeri Introduzione; Insieme dei numeri macchina e approssimazione dei numeri; Definizione di errore; Precisione di macchina; Errore analitico, algoritmico ed inerente; Calcolo dell’errore nelle operazioni elementari; Condizionamento di un problema; Propagazione dell’errore e stabilità del metodo di calcolo. Approssimazione di funzione Cenni sull’impiego di modelli matematici per la rappresentazione dei fenomeni reali; Interpolazione di funzioni mediante polinomi algebrici; Teorema di esistenza ed unicità del polinomio di interpolazione; Interpolazione di tipo Lagrange e calcolo dei coefficienti di Lagrange; Interpolazione polinomiale secondo Newton; Proprietà delle differenze divise: Teorema di indipendenza dalla permutazione della base di interpolazione, forma tabulare e ampliamento della base di interpolazione; Studio dell’errore nell’interpolazione; Il problema della convergenza del polinomio interpolatore; Stima dell’errore; Interpolazione sovradimensionata e vettore degli scarti; Approssimazione di dati sperimentali e validazione di modelli ai minimi quadrati; Metodo di calcolo dell’approssimazione ai minimi quadrati; Cenni sull’approssimazione ai minimi quadrati non lineare e sui metodi linearizzanti. Integrazione numerica Introduzione; Formule esatte elementari; Ordine polinomiale e ordine di precisione di una formula di quadratura; Formule di tipo interpolatorio; Formula del trapezio: costruzione, significato geometrico e stima dell’errore; Formula di Simpson: costruzione, significato geometrico e stima dell’errore; Formula di Newton e stima dell’errore; Considerazioni sulle formule di Newton-Cotes di ordine superiore; Formule composte: regola dei trapezi e regola delle parabole; Osservazioni sulla precisione delle formule composte e scelta del passo d’interpolazione; Metodo del calcolo effettuato due volte; Principio di Runge; La funzione peso nelle formule di quadratura; Polinomi di Legendre; Costruzione della formula di quadratura di Gauss-Legendre e stima dell’errore; Osservazioni sulla convergenza delle formule di quadratura; Nozioni sulle formule di cubatura. Equazioni non lineari Introduzione; Metodo di bisezione; Regula Falsi; Metodo delle Secanti; Metodo di Newton. Matlab Rappresentazione dei numeri e struttura dell’insieme dei numeri macchina; Uso delle funzioni poly, polyval, polyfit per costruire, valutare ed interpolare un polinomio; Fattorizzazione di Horner –Ruffini; Generazione di una matrice di Vandermonde; Calcolo dei coefficienti dei polinomi elementari di Lagrange; Implementazione dei polinomi interpolatori di Lagrange e di Newton; Proprietà della funzione spline; Implementazione delle formule composite di Simpson e dei trapezi; La funzione quad di Matlab; Implementazione della formula di Gauss-Legendre; Implementazione del metodo di bisezione. Materiale consigliato − C. Vetro, “Dispense del corso”, http://math.unipa.it/~cvetro; − V. Comincioli, “Analisi Numerica”, McGraw-Hill, Milano, 1995.