P O L I T E C N I C O DI B A R I
SECONDA FACOLTA' DI INGEGNERIA - TARANTO
C.d.L. Ingegneria Civile e per l’Ambiente & il Territorio
C.d.L. Ingegneria Sistemi Industriali & Elettronici
PROGRAMMA del Corso di ANALISI MATEMATICA II ed
ELEMENTI DI MATEMATICA APPLICATA (DM 270/04)
(12 CFU) (a.a. 2009/10)
Modulo I - Analisi Matematica II (6 CFU) - Palagatchev
Calcolo differenziale ed integrale delle curve. Curve continue e regolari nel piano e nello spazio.
Equazioni parametriche. Versore tangente e normale. Integrali curvilinei. Proprietà e calcolo.
Lunghezza di una curva. Teorema della divergenza (Gauss) e conseguenze. Identità di Green.
Campi vettoriali e forme differenziali lineari. Definizioni. Integrale di una forma differenziale
lineare (lavoro di un campo vettoriale) – definizione e proprietà. Forme differenziali esatte.
Primitiva. Forme chiuse. Relazioni tra l’esattezza e la chiusura. Condizioni integrali equivalenti
all’esattezza. Campi vettoriali irrotazionali e conservativi. Potenziale. Formula di Gauss-Green.
Applicazioni al calcolo delle aree.
Generalità su equazioni alle derivate parziali del secondo ordine. Classificazione,
caratteristiche e canonizzazione. Equazioni iperboliche, ellittiche e paraboliche. Equazioni in due
variabili. Forme canoniche. Soluzioni generali.
Equazioni iperboliche. L'
equazione delle onde ed il metodo delle caratteristiche. Il problema di
Cauchy per l'
equazione delle onde. La formula di D'
Alembert. Dominio di dipendenza. Formule di
Poisson e Kirchoff. Conseguenze qualitative. Velocità finita di propagazione e il principio di
Huygens.
Equazioni ellittiche. Operatore di Laplace e l'
equazione del potenziale. I problemi di Dirichlet e
di Neumann per l'
equazione di Poisson. Teoremi d'
unicità. La soluzione fondamentale del
Laplaciano. Rappresentazione integrale delle funzioni due volte differenziabili in un dominio. La
funzione di Green. Risolubilità del problema di Dirichlet per l'
equazione di Poisson. Costruzione
della funzione di Green per domini diversi (il semispazio, la sfera, la semisfera). Il metodo dei
carichi. Integrale di Poisson. Principi di massimo (debole e forte) per le equazioni ellittiche.
Equazioni paraboliche. L'
equazione del calore. La soluzione fondamentale. Il problema di
Cauchy e l'
integrale di Gauss. Velocità infinita di propagazione. Il problema di Cauchy-Dirichlet.
Principio di massimo e teoremi d'
unicità.
Generalità su spazi di Hilbert e serie di Fourier. Prodotto scalare. Spazi pre-Hilbertiani,
disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, spazi di Hilbert. Basi ortonormali. Serie di Fourier.
Convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier.
Il metodo di Fourier (separazione delle variabili) per le equazioni alle derivate parziali.
Autovalori e autofunzioni dell'
operatore di Sturm-Liouville. Il problema misto per l'
equazione
delle onde. Risonanza. Il problema di Dirichlet per l'
equazione di Poisson in un disco. I problemi
di Cauchy-Dirichlet per l'
equazione del calore.
Testi Consigliati
1. M. BRAMANTI, C. D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009, Bologna.
2. P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica Due,
2002.
Liguori editore, Napoli,
3. P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di matematica, Liguori editore, Napoli.
4. C. D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica, Vol. 2, Masson, 1991, Milano.
5. S. SALSA, Equazioni a Derivate Parziali. Metodi, Modelli e Applicazioni, Springer-Italia, 2004,
Milano.
6. S. SALSA, G. VERZINI, Equazioni a Derivate Parziali. Complementi ed Esercizi, Springer-Italia,
2005, Milano.
7. S. SALSA, F. VEGNI, A. ZARETTI, P. ZUNINO, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali. Metodi,
Modelli e Simulazioni, Springer-Italia, 2009, Milano.
Modulo II - Elementi di Matematica Applicata (6 CFU) - Palagatchev e Peluso
Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica (3 CFU) - Palagatchev
Introduzione alla Probabilità. Modelli matematici casuali e deterministici. Richiami dalla teoria
degli insiemi. Esperimenti casuali. Eventi. Spazio dei campioni. Spazi di probabilità. Proprietà
degli spazi di probabilità. Spazi di probabilità uniformi.
Calcolo combinatorio. Tecniche di numerazione: principio di molteplicazione. Permutazioni,
variazioni e combinazioni. Coefficienti binomiali e binomio di Newton. Campionamenti da
un'
urna e distribuzioni di oggetti.
Assegnazione di Probabilità. Probabilità condizionale. La formula della probabilità totale. Il
teorema di Bayes. Eventi indipendenti. Schema di Bernoulli.
Variabili aleatorie e distribuzione di Probabilità. Il concetto generale di una variabile aleatoria.
Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione. Densità discreta e continua.
Interpretazione grafica. Distribuzioni congiunte. Densità congiunta e marginale. Calcoli con
densità. Indipendenza.
Caratteristiche numeriche delle variabili aleatorie. Speranza matematica (media). Definizione
e proprietà. Varianza, deviazione standard e loro proprietà. Covarianza e coefficiente di
correlazione. La diseguglianza di Chebyshev. Variabili aleatorie standardizzate.
Principali distribuzioni discrete. Distribuzione uniforme; distribuzione di Bernoulli;
distribuzione Binomiale; distribuzione Geometrica; distribuzione di Poisson. Relazione tra le
distribuzioni binomiale e di Poisson. La legge dei grandi numeri nel caso binomiale.
Principali distribuzioni continue. Distribuzione uniforme; distribuzione Normale; distribuzione
Esponenziale; distribuzione Gamma; distribuzione ²(n).
Teoremi limite. Successioni di variabili aleatorie. Convergenza. La legge dei grandi numeri. Il
teorema del limite centrale. Approssimazione normale.
Cenni su teoria dei campioni. Popolazione e campione. Campionamento ed inferenza statistica.
Campionamento con e senza ripetizione. Numeri casuali. Parametri della popolazione. Stimatori
campionari e distribuzione campionaria. Stime corrette e stime efficienti. La media campionaria e
distribuzione delle medie. Distribuzione campionaria delle proporzioni (caso binomiale). La
varianza campionaria e distribuzione delle varianze.
Testi Consigliati
1.
M.R. SPIEGEL, J. SCHILLER, R. ALU SRINIVASAN, Probabilità e Statistica, McGraw-Hill,
Milano, 2000.
2.
P. BALDI, Calcolo di Probabilità e Statistica, McGraw-Hill, Milano, 1992.
3.
P. BALDI, R. GIULIANO, L. LADELLI,
Milano, 1995.
Laboratorio di Statistica e Probabilità, McGraw-Hill,
2
Analisi Numerica (3 CFU) - Peluso
Generalità sul Calcolo Numerico. Problemi ed algoritmi. Errori assoluti e relativi. Errori di
troncamento e di propagazione. Complessità computazionale. Rappresentazione in base dei
numeri. Rappresentazione in virgola mobile. Aritmetiche finite. Unità di arrotondamento
I metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari. Matrici a blocchi. Matrici a banda. Metodi
di risoluzione dei sistemi triangolari. la fattorizzazione LU e la fattorizzazione LU con strategia
del pivot. Il calcolo dell’inversa di una matrice. Il caso delle matrici a banda. Discussione sulla
stabilità numerica dei metodi fattorizzazione. Norme su vettori e matrici per l’analisi degli errori.
Il condizionamento delle matrici.. Il numero di condizione di una matrice e suo significato.
Comportamento del residuo.
Interpolazione di dati e funzioni. Interpolazione con polinomi. Espressione del resto e stima
dell’errore di troncamento I polinomi fondamentali di Lagrange e loro uso per la costruzione del
polinomio interpolante. Applicazione delle tecniche di interpolazione per approssimare integrali.
L’esempio della formula composta del trapezio e stima dell’errore di troncamento.
Risoluzione numerica di sistemi non lineari. Generalità su i metodi delle approssimazioni
successive. Il caso scalare e metodi di localizzazione delle soluzioni. Il metodo delle successive
bisezioni. Il metodo di Newton-Raphson e condizioni sufficienti per la convergenza della
successione delle approssimazioni. La velocità di convergenza del metodo di Newton-Raphson.
Generalità sull’ambiente Matlab. Le variabili scalari e le matrici. Costruzioni di matrici in
Matlab ed operazioni elementari tra matrici. Primi elementi di programmazione in linea.
Le built-in funzioni del Matlab. Uso delle built-in funzioni per la costruzione di matrici speciali,
la manipolazione di matrici e il calcolo di funzioni elementari. Le built-in funzioni per i metodi
diretti di risoluzione dei sistemi lineari. Sperimentazioni sulla stabilità dei metodi diretti, sul
condizionamento di matrice e sul comportamento del residuo.
Le M-funzioni Matlab. Le principali M-funzioni per il calcolo di integrali e la risoluzione di
equazioni scalari. Costruzione di M-funzioni utente con la programmazione Matlab. Applicazioni
ed esempi. Uso delle function_handle e delle funzioni inline. I principali comandi grafici.
Testi Consigliati
1.
D.BINI, M.CAPOVANI, O.MENCHI: Metodi Numerici per l’algebra lineare, Zanichelli, Bologna.
2.
V. COMINCIALI, Analisi Numerica, McGrawHhill, Milano.
3.
F. MAZZIA, D. TRIGIANTE, Laboratorio di Programmazione e Calcolo, Pitagora Editrice, Bologna.
MODALITA’ D’ESAME: Prova scritta e orale
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