Uno spazio per … lo spazio.
Il gruppo di matematica del Laboratorio “Franco Conti” ha lavorato quest’anno nella direzione di ripensare
l’insegnamento della geometria dello spazio, unendo la riflessione teorica alla realizzazione concreta di
modelli che aiutino a pensare e a “vedere”.
Partendo dal cubo, si sono individuate tutte le possibili sezioni con un piano che lo scomponessero in parti
uguali, poi in parti disuguali, e infine il cubo è stato sezionato con due piani, con tre, con quattro….
fig. 1
Modelli di cubi sezionati
fig .2
La costruzione dei poliedri che si ottenevano di volta in volta e la loro manipolazione ci ha fatto “incontrare” il
dodecaedro rombico e scoprire un metodo per calcolare i volumi di alcuni poliedri in modo elementare.
Le note che seguono derivano dalle discussioni e dalle “scoperte “ fatte all’interno del laboratorio e sono
perciò il frutto di un lavoro collettivo. Si consiglia di affiancare la lettura del testo con la costruzione dei
modelli.
Il dodecaedro rombico
fig. 3
Alcuni minerali del gruppo dei granati si presentano in forma di cristalli rombododecaedrici. Il
rombododecaedro è un solido, già noto ad Archimede ma che non fa parte dei 5 solidi platonici, che ha
dodici facce tutte uguali a forma di rombo.
Per costruire un dodecaedro rombico si può utilizzare un suo sviluppo piano come quello raffigurato qui
sopra. Questo procedimento però non dà alcuna informazione sulle dimensioni delle facce rombiche (si
potrebbe ritenere che qualunque catena di dodici rombi sia lo sviluppo piano di un dodecaedro rombico) né
tanto meno sugli angoli diedri 1 del solido. Si può invece procedere nel seguente modo: si sezioni un cubo di
lato
a con un piano che passa per due spigoli opposti, ottenendo un rettangolo ( ABCD nella figura) che
ha lati AB = a , BC
= 2a e diagonale DB = 3a . (Il calcolo delle misure dei lati del rettangolo è una
buona occasione per utilizzare il teorema di Pitagora)
D
D
C
L
F
C
H
L
E
F
E
H
G
A
1
G
A
B
B
Si definisce angolo diedro l’angolo formato da una qualunque coppia di rette (una in ogni piano), ciascuna formante un
L
P
angolo retto con la retta intersezione dei piani.
L'
Congiungendo il punto E di incontro delle diagonali del rettangolo
ABCD con i vertici A, B, F e G del cubo,
e cioè sezionando il cubo con i quattro piani che uniscono due spigoli opposti del cubo, si ottiene una
piramide a base quadrata e altezza uguale alla metà del lato: è facile vedere che è un sesto dell’intero cubo,
meno evidente il calcolo degli angoli diedri. Affidiamoci allora alla costruzione del modello della piramide
.
D
C
E
A
B
Si costruisca lo sviluppo della piramide partendo dal quadrato di base. Si tracci un arco di circonferenza di
raggio
2 a e centro in B e si prolunghi il lato del quadrato fino a incontrare tale arco nel punto C: si
ottiene così il rettangolo sezione ABCD. Si traccino le diagonali in modo da ottenere il triangolo AEB in cui il
lato AB è uguale ad
a , e (ricordando come è stato costruito il piano sezione)
AE = EB =
3
a.
2
Il triangolo AEB è la metà di un rombo (che di seguito chiameremo R ) che ha diagonale minore uguale ad
a e diagonale maggiore uguale a
2a , cioè il rapporto fra le due diagonale è
Il volume di ogni piramide è 1/6 del volume del cubo e quindi è uguale a
2.
1 3
a .
6
Nella figura successiva è rappresentato lo sviluppo della piramide a base quadrata che chiameremo
piramide di tipo A.
E
A
B
Se si costruiscono sei piramidi uguali e poi si incollano sullo sviluppo del cubo, si possono ripiegare verso
l’interno e si ottiene il cubo suddiviso in sei piramidi ( e questo dà come informazione che l’angolo diedro fra
i lati obliqui delle piramidi è di 120° in quanto vi concorrono 3 piramidi).
fig. 4
Se invece si ripiegano verso l’esterno, operazione equivalente a incollare ogni piramide su ciascuna faccia
di un cubo, si ottiene un dodecaedro rombico la cui faccia coincide esattamente con il rombo R definito a
partire dal triangolo AEB. Infatti, il dodecaedro rombico ha spigolo
maggiore misura
s che misura
3
a , mentre la diagonale
2
2a e la diagonale minore a , che è la lunghezza del lato del cubo di partenza.
fig. 5
Inoltre, l’angolo diedro del cubo è di 90°, l’angolo diedro formato dalla faccia laterale della piramide e dal
quadrato di base è di 45° e quindi i triangoli ABE si incontrano a 180° cioè sono complanari (e l’angolo fra le
facce del poliedro è di 120°). Con questo si dimostra che la figura ottenuta è esattamente un dodecaedro
rombico.
Dato che il dodecaedro è stato ottenuto dalle sei piramidi che formano il cubo più il cubo stesso e quindi da
due cubi uguali di lato
a , il suo volume V è dato da 2a 3 (dove a è la diagonale minore della faccia del
dodecaedro rombico) oppure, esprimendolo in funzione dello spigolo, V =
16
3s 3 .
9
Un altro modo per ottenere un dodecaedro rombico a partire dal cubo è quello di sezionare il cubo con due
soli piani, ABCD e AHCF come illustrato nella figura.
D
C
L
H
F
G
A
B
Essi scompongono il cubo in tre piramidi uguali a base quadrata e altezza uguale al lato del cubo. Il triangolo
ABC è la metà del rettangolo sezione ABCD e quindi le lunghezze dei lati obliqui delle piramidi sono
(BC e CF) e
2a
3a (AC) . Infine si nota che il volume delle tre piramidi è V = 1/3 a 3
Nella seguente figura è riportato lo sviluppo della piramide a base quadrata che chiameremo piramide di tipo
B:
Anche in questo caso, si incollino le tre piramidi come in figura in modo tale che se si ripiegano verso
l’interno, si ottiene il cubo di partenza e da questo si ritrova che l’angolo diedro formato dai piani sezione è di
120° ( 120° x 3 = 360).
fig. 6
Analizziamo ora cosa succede se le piramidi fossero ripiegate verso l’esterno e incollate sul cubo di
partenza. Si ottiene un solido con un vertice circondato da tre rombi (che chiameremo R ' ) tagliati a metà
lungo la diagonale maggiore: si noti che anche in questo caso le facce delle piramidi sono complanari.
fig. 7
La diagonale maggiore di questi rombi R ' è
rapporto fra le diagonali è uguale a
2 2a , la diagonale minore è 2a : anche in questo caso il
2.
Ricordando che l’angolo diedro è di 120° (come visto in precedenza) si può affermare allora che il rombo R '
fig. 8
sarà la faccia di un dodecaedro rombico di lato
3a e che la figura ottenuta (compreso il cubo sul quale
abbiamo appoggiato le 3 piramidi) è 1/8 di un dodecaedro rombico di spigolo doppio del precedente ( R ' ha
lato doppio di R ). Se costruiamo 24 piramidi e le incolliamo a tre a tre sulle facce esterne di un cubo
otteniamo infatti 8 spicchi di un dodecaedro. La cosa non è proprio evidente, anzi, questa è una vera e
propria “scoperta”, fatta insieme ai ragazzi durante una lezione in classe ed è stata possibile grazie alla
manipolazione del modello e all’applicazione della stessa tecnica utilizzata con il modello delle sei piramidi
di tipo A.
A questo punto è molto semplice anche il calcolo del volume: 24 piramidi di tipo B formano 8 cubi a cui
vanno aggiunti gli altri otto interni quindi il volume del dodecaedro è 16 volte quello del cubo che ha come
lato la semi diagonale minore delle sue facce….oppure, molto più semplicemente, è 48 volte quello della
piramide di tipo B.
Quindi qualunque dodecaedro è ottenibile dall’unione di 12 piramidi di tipo A oppure 48 di tipo B.
I due metodi illustrati sono solo degli esempi di come sia possibile ottenere dei dodecaedri rombici a partire
da un cubo. Ma l’idea di “avvolgere verso l’esterno” i solidi in cui viene suddiviso un cubo sembra essere
una strada molto feconda per il calcolo del volume di alcuni poliedri.
La prossima volta parleremo di dodecaedri rombici…stellati.
Suggerimenti: se qualcuno volesse costruire i modelli del dodecaedro descritti, si consiglia di utilizzare del
cartoncino da 160 g., di completare gli sviluppi con le alette su ogni lato e di incollarle con una buona colla
da modellismo. Nel caso del cubo ottenuto come unione di sei piramidi, fare attenzione ad incollarle su uno
sviluppo del cubo leggermente più grande, in modo da permettere la piegatura del modello.
Il lettore curioso che voglia proseguire nel nostro lavoro può utilizzare lo stesso metodo in un altro caso.
Si aggiunga ai due piani sezione ABCD e AHCF, un terzo piano: quello passante per DH e FB.
D
C
L
F
E
H
G
A
B
Che figura si ottiene?
Si tratta ovviamente di un poliedro che è
1 / 4 del cubo di lato a : cosa si può dire delle lunghezze dei lati
delle sue facce? e dei suoi angoli diedri? Qual è lo sviluppo del poliedro?
Che poliedro si ottiene con otto di questi poliedri incollati lungo le facce a forma di triangoli rettangoli?
Bibliografia: il testo più completo su questi argomenti è “Mathematical Models”, di Cundy and Rollet
ed. Tarquin; pieni di idee e suggerimenti didattici sono anche i 5 volumi del SMP School Mathematics Project
ed. Zanichelli.
Ornella Sebellin
