Programma del corso - Dipartimento di Matematica

Analisi Matematica T1 – Docente: Annalisa Baldi
PROGRAMMA SVOLTO A.A. 2014-2015
Ingegneria dell’Automazione e Ingegneria dell’Energia Elettrica
Si devono conoscere le dimostrazioni dei teoremi solo dove ho indicato
(con dimostrazione).
1. INTRODUZIONE
Richiami su elementi di logica ed insiemistica (cenni): il connettivo
logico di implicazione. Quantificatori esistenziale e universale. Simboli
di appartenenza ad un insieme, e di inclusione tra insiemi. Uguaglianza
tra insiemi. Operazioni di unione, intersezione e differenza tra insiemi.
Definizione di prodotto cartesiano tra insiemi.
2. I NUMERI REALI Numeri reali: assiomi dei numeri reali e loro conseguenze. Numeri naturali, interi, razionali e numeri reali come allineamento decimale. Non esiste un numero razionale il cui quadrato sia
2. Assioma di completezza: Q non completo. Definizione di intervallo in R. Valore assoluto: definizione geometrica, definizione analitica.
Principali proprietá del valore assoluto.
Maggioranti e minoranti: definizioni. Insiemi limitati superiormente o
inferiormente, insiemi limitati. Massimi e minimi: definizione e unicitá (con dimostrazione). Estremo superiore e inferiore. Teorema di
esistenza dell’estremo superiore. Insiemi induttivi. Insieme dei numeri
naturali come il più piccolo insieme induttivo. I numeri naturali non
sono limitati superiormente. Principio d’induzione. Disuguaglianza di
Bernoulli.
3. FUNZIONI
Definizione di funzione. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una
funzione. Funzione composta. Funzione identitá e funzione costante.
Funzioni iniettive, suriettive, invertibili. Funzione inversa e suo grafico.
Funzioni limitate.
Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di
una funzione. Definizione di punto di massimo/minimo di una funzione.
Funzioni monotone, strettamente monotone: definizione di funzione
crescente, decrescente, strettamente crescente, strettamente decrescente. Stretta monotonia implica iniettivitá (con dimostrazione).
Funzione lineare, funzione valore assoluto, funzione segno, funzione potenza con esponente intero e loro grafici. Funzioni pari, dispari, periodiche. Richiami sulle funzioni circolari, loro proprietá e loro grafici.
Funzioni circolari inverse e loro grafici. Funzioni potenza, esponenziale e logaritmo. Loro monotonia e grafici. Funzioni iperboliche e
iperboliche inverse: proprietá e grafici.
4. SUCCESSIONI
Definizione di successione e di successione convergente. Esempi di successioni convergenti e di successioni senza limite. Teorema di unicitá
del limite (con dimostrazione). Proprietá algebriche dei limiti.
Le successioni convergenti sono limitate (con dimostrazione) e il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è una successione
infinitesima (con dimostrazione). Teoremi del confronto, dei carabinieri
e della permanenza del segno.
Definizione di successione divergente. Estensione dell’ algebra dei limiti
anche ai casi di successioni divergenti. Criteri del confronto estesi al
caso di successioni divergenti (teorema di un solo carabiniere). Calcolo
del limite per an e a1/n .
Definizione di successione monotona crescente e di successione monotona decrescente. Teorema di esistenza del limite di successioni monotone. Esempi. Il numero di Nepero: un esempio di numero reale definito
tramite una successione (con dimostrazione dell’ esistenza del limite per
tale successione). Limiti di successioni polinomiali, successioni frazioni,
successioni radici.
Definizione di successioni trascurabili (o-piccoli) e di successioni asintotiche. Loro proprietà. Criterio del rapporto per le successioni. Limiti di
n!, nn , log(n). Esempi di gerarchia tra infiniti: log n, na , en , n!, nn , (2n)!.
5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE: FUNZIONI CONTINUE E LIMITI DI FUNZIONE
Definizione di funzione continua in un punto e di funzione continua
in un insieme. Continuità delle funzioni elementari. Somma prodotto
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e quoziente di funzioni continue. Composizione di funzioni continue
(con dimostrazione). Teorema della permanenza del segno per funzioni
continue.
Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi (entrambi con dimostrazione) e teorema di Weierstrass.
Definizione di intervallo forato. Definizione di limite di funzione. Equivalenza tra definizione di funzione continua ed esistenza del limite di
una funzione continua. Teorema di caratterizzazione dei limiti. Esempi
di funzione che non hanno limite. Teoremi della permanenza del segno
e del confronto. Teorema dell’esistenza del limite per funzioni monotone. Proprietá algebriche dei limiti. Funzioni trascurabili e asintotiche: definizioni e proprietà. Definizione di limite unilatero. Teorema
del cambiamento di variabile nei limiti. Limite di funzioni elementari. Limiti notevoli. Limiti di funzioni razionali al finito. Scala degli
infiniti.
6. CALCOLO DIFFERENZIALE
Definizione di funzione derivabile in un punto. Significato geometrico
e meccanico della derivata. Equazione della retta tangente al grafico.
Derivate di funzioni costanti e di funzioni lineari. Teorema di caratterizzazione delle funzioni derivabili (con dimostrazione). Relazione tra
derivabilitá e continuitá (con dimostrazione) ed esempio di funzione
continua ma non derivabile in un punto: f (x) = |x|. Funzione segno
e derivata della funzione valore assoluto. Operazioni con le derivate.
Derivate delle funzioni elementari. Teorema di derivazione di funzione
composta. Teoremi sulla continuità e derivabilità di funzioni inverse
e applicazione (calcolo delle derivate delle funzioni circolari inverse).
Legame tra limite di f 0 e limite del rapporto incrementale. Metodi per
determinare la derivabilitá in un punto.
Punti estremanti locali di una funzione:: definizione di punti di massimo e di minimo relativi. Teorema di Fermat (con dimostrazione) e
suo significato geometrico. Condizione sufficiente per l’esistenza di un
estremante locale (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con dimostrazione) e suo significato geometrico. Teorema di Lagrange (con dimostrazione) e suo significato geometrico. Test di monotonia (con dimostrazione). Teorema: una funzione definita su un intervallo che abbia
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derivata nulla è costante (con dimostrazione). Condizione sufficiente
per la stretta monotonia di una funzione derivabile in un intervallo.
Definizione di derivate successive. Definizione di funzione convessa/concava.
Significato geometrico. Test di convessità/concavità (sia con sola ipotesi di funzione derivabile una volta che poi per funzioni derivabili due
volte). Asintoti e asintoti obliqui. Punti di flesso.
Teorema di de l’ Hôpital. Polinomio di Taylor. Esistenza e unicità del
polinomio di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano. Polinomi
di Taylor per funzioni elementari di punto iniziale x0 = 0. Calcolo
di limiti di funzione con l’ausilio della formula di Taylor con resto di
Peano.
Applicazioni della formula di Taylor: condizioni sufficienti per i punti
estremanti locali per funzioni due volte derivabili (con dimostrazione)
e condizioni necessarie per i punti estremanti locali per funzioni due
volte derivabili.
7. CALCOLO INTEGRALE
Definizione di partizione equispaziata di un intervallo chiuso e limitato
[a,b]. Definizione di somme di Cauchy-Riemann di funzioni continue
su intervalli chiusi e limitati; definizione di somme di Cauchy-Riemann
convergenti. Calcolo di una somma di Cauchy-Riemann per la funzione x. Intrepretazione geometrica delle somme di Cauchy-Riemann per
la funzioni positive. Teorema: le funzioni continue hanno somme di
Cauchy-Riemann convergenti. (saltare paragrafi 6.3 e 6.4). Definizione
di integrale per funzioni continue in [a,b]. Teoremi: Linearitá dell’integrale. Monotonia dell’integrale. Additivitá dell’integrale. Primitive:
definizione e teorema di caratterizzazione delle primitive (con dimostrazione). Primitive delle funzioni elementari (tabella 6.5.1 del libro).
Primo teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema di valutazione) (con dimostrazione). Teorema di integrazione per sostituzione
I versione (con dimostrazione) e II versione. Teorema di integrazione
per parti (con dimostrazione). Integrazione di funzioni razionali contenenti, radici di polinomi di secondo grado, esponenziali, seni e coseni.
Teorema della media integrale (con dimostrazione). Il secondo teorema
fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione) ( Teo 6.5.11 bis
del libro).
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8. NUMERI COMPLESSI
Definizione dell’ insieme dei numeri complessi e delle operazioni di somma e prodotto su di essi. Proprieta’ di campo dei numeri complessi.
La forma algebrica di un numero complesso. Modulo di un numero
complesso, parte reale e parte immaginaria. Complesso coniugato. La
forma trigonometrica di un numero complesso non nullo, argomenti di
un numero complesso, la funzione esponenziale immaginaria. Formula di de Moivre e potenze di un numero complesso scritto in forma
trigonometrica; forma polare. Radici n-esime di un numero complesso. Risoluzione delle equazioni di secondo grado in C . La funzione
esponenziale complessa (cenni).
9. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Definizione di soluzione. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita’ del problema
di Cauchy. Integrale generale di un’equazione lineare del primo ordine
omogenea e non omogenea (con dimostrazione). Equazioni del primo
ordine non lineari: equazioni a variabili separabili. Teorema di esistenza e unicita’ del problema di Cauchy per le equazioni a variabili
separabili.
Equazioni differenziali del secondo ordine lineari. Definizione di soluzione. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita’ del problema
di Cauchy. Integrale generale di un’equazione lineare del secondo ordine
omogenea è uno spazio vettoriale (dimostrato). Soluzioni linearmente
indipendenti di un’equazione omogenea. Teorema sulla struttura dell’insieme delle soluzioni dell’equazione lineare omogenea del II ordine (
uno spazio vettoriale di dimensione 2). Teorema sulla struttura dell’insieme delle soluzioni dell’equazione lineare omogenea del II ordine non
omogenea (dimostrato). Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee a coefficienti costanti. Determinazione
di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea a coefficienti
costanti con il metodo di somiglianza.
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