Amplificatore invertente
Un amplificatore operazionale si dice in configurazione invertente quanto il segnale
d’ingresso è applicato all’ingresso invertente (-) e il segnale di uscita è sfasato di 180°
rispetto al segnale d’ingresso. Lo schema dell’amplificatore invertente è il seguente:
Tale configurazione è ad anello chiuso ed R 2 viene detta resistenza di retroazione.
Si dice ad anello chiuso quando parte dal segnale d'uscita viene riportato in ingresso,
ossia si ha una retroazione (nel nostro caso la reazione è di tipo negativo perché il
segnale è riportato sul morsetto invertente).
Nel circuito Vi è la tensione applicata in ingresso, Vo è la tensione d'uscita; R 1 ed R 2
sono le resistenze che costituiscono la rete di retroazione.
Per studiare un circuito lineare con amplificatore operazionale si utilizzano le due
proprietà degli amplificatori operazionali in funzionamento lineare, ossia:
− Equipotenzialità degli ingressi
V+ = V−
− Gli ingressi non assorbono corrente
Ii = 0
Poiché gli ingressi sono equipotenziali e l'ingresso non invertente è collegato a massa, si
ha: V+ = V− = VN = 0 .
Poiché gli ingressi non assorbono corrente, si ha:
I1 = I 2 ⇒
Vi − VN VN − Vo
=
R1
R2
⇒ Vo = −
La funzione d'uscita è:
Vo = −
La funzione di trasferimento è:
A=
V
R
R2
⋅ Vi ⇒ A = o = − 2
Vi
R1
R1
R2
⋅ Vi
R1
Vo
R
=− 2
Vi
R1
Il segno meno indica che la tensione d’uscita è di polarità opposta a quella d’ingresso;
in regime sinusoidale si dice che lo sfasamento tra ingresso ed uscita è di 180°.
1
Se R 1 = R 2 , l’uscita e l’ingresso sono di valore uguale ma di segno opposto (invertitore
a guadagno unitario)
Vo = −
R2
⋅ Vi = − Vi .
R1
Se R 1 > R 2 si ha un'amplificazione tra uscita ed ingresso.
Se R 1 < R 2 si ha un’attenuazione tra uscita ed ingresso.
La resistenza di ingresso è: R i =
Vi
= R1 ,
Ii
coincide con la resistenza sull'ingresso
invertente.
La resistenza d’uscita è: R o = R oi ⋅
A
≅0
Ao
Amplificatore non invertente
Un amplificatore operazionale si dice in configurazione non invertente quanto il segnale
d’ingresso è applicato all’ingresso non invertente (+) e il segnale di uscita è in fase col
segnale d’ingresso. Lo schema dell’amplificatore invertente è il seguente:
Poiché gli ingressi non assorbono corrente, non si ha corrente nella resistenza R, per cui
ai suoi capi non c'è alcuna differenza di potenziale, pertanto la tensione sull'ingresso
non invertente coincide con quella d'ingresso, V+ = Vi ; inoltre, si ha.
I 2 = I1 ⇒
Vo − V− V−
=
R2
R1
⇒ Vo =
⎛
R1 + R 2
R ⎞
⋅ V− = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅ V−
R1
R1 ⎠
⎝
Essendo gli ingressi sono equipotenziali, si ha:
⎛
R ⎞
V− = V+ = Vi ⇒ Vo = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅ Vi
R1 ⎠
⎝
La funzione di trasferimento è:
A=
Vo
R
= 1+ 2
R1
Vi
2
Essendo l'amplificazione positiva, la tensione d’uscita in fase con quella d'ingresso.
L'amplificazione risulta, in ogni caso, maggiore di 1.
V
La resistenza di ingresso è: R i = i = ∞ , è comunque maggiore della resistenza
Ii
d'ingresso intrinseca dell'amplificatore operazionale.
A
≅0
La resistenza d’uscita è: R o = R oi ⋅
Ao
È possibile comunque ottenere un'amplificazione minore di 1 inserendo il segnale
d'ingresso mediante un partitore resistivo, come in figura.
⎛
⎛
R ⎞
R4
R ⎞
Vo = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅ V+ = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅
⋅ Vi
R1 ⎠ R 3 + R 4
R1 ⎠
⎝
⎝
la resistenza d'uscita resta inalterata, mentre cambia quella d'ingresso:
Ri =
Vi
= R3 + R4
Ii
Nel caso in cui la sorgente del segnale è un generatore di corrente, si avrà segnale in
ingresso solo se la sorgente eroga corrente; pertanto bisogna collegare una resistenza, di
opportuno valore, tra l'ingresso non invertente e massa in modo che la corrente generi
una differenza di potenziale ad essa proporzionale, come in figura.
3
⎛
⎛
R ⎞
R ⎞
Vo = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅ V+ = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅ Vi
R1 ⎠
R1 ⎠
⎝
⎝
la resistenza d'uscita resta inalterata, mentre cambia quella d'ingresso: R i =
Vi
= R4
Ii
Inseguitore di tensione
L'inseguitore è un circuito con amplificatore operazionale che riproduce in uscita il
segnale d'ingresso. Si ottiene dall'amplificatore non invertente imponendo che
l'amplificazione sia uguale ad 1.
⎧
⎪R 1 = ∞
R2
R2
⎪
A = 1+
=1 ⇒
=0 ⇒ ⎨
R1
R1
⎪
⎪⎩R 2 = 0
ramo aperto
ramo in cortocircuito
Il circuito che ne risulta è il seguente:
L'intero segnale d'uscita viene riportato sull'ingresso invertente.
Dall'equipotenzialità degli ingressi, si ha:
Vo = V− = V+ = Vi ⇒ Vo = Vi
Questo circuito, a guadagno unitario, presenta elevatissima resistenza d'ingresso e
bassissima resistenza d'uscita, e viene impiegato come adattatore d'impedenza, ossia per
adattare una sorgente con resistenza di sorgente non piccola ad un carico di valore non
elevato.
Amplificatore differenziale
Per amplificatore differenziale si intende un circuito in grado di amplificare la
differenza tra i due segnali applicati ai due ingressi.
Il circuito di un amplificatore differenziale è il seguente:
4
L’uscita Vo è una combinazione lineare degli ingressi V1 e V2 :
Vo = a 1 V1 + a 2 V2
Essendo il circuito lineare ed agendo due cause, per calcolare la funzione d'uscita si
utilizza il principio di sovrapposizione degli effetti. Si calcola l’uscita Vo come somma
tra Vo1 , che è il contributo di V1 al segnale d'uscita una volta cortocircuitato a massa il
segnale V2 , e Vo 2 , che è il contributo di V2 al segnale d'uscita una volta cortocircuitato
a massa il segnale V1 :
Vo = Vo1 + Vo 2
Si cortocircuita a massa V2 e si calcola Vo1 :
L'amplificatore è in configurazione non invertente, pertanto:
⎛
R ⎞
R4
Vo1 = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅
⋅ V1 .
R1 ⎠ R 3 + R 4
⎝
Si cortocircuita a massa V1 e si calcola Vo 2 :
5
L'amplificatore è in configurazione invertente, pertanto:
Vo 2 = −
R2
⋅ V2 .
R1
Sovrapponendo gli effetti, si ha:
⎛
R ⎞
R4
R
Vo = Vo1 + Vo 2 = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅
⋅ V1 − 2 ⋅ V2
R1 ⎠ R 3 + R 4
R1
⎝
dove
⎛
R ⎞
R4
a 1 = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅
R1 ⎠ R 3 + R 4
⎝
a2 = −
e
R2
R1
Perché risulti: Vo = a(V1 − V2 ) bisogna imporre che i coefficienti a 1 e a 2 siano tra
loro uguali:
⎛
R ⎞
R4
R
⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⋅
= 2
R1 ⎠ R 3 + R 4 R1
⎝
Ponendo R 1 + R 2 = R 3 + R 4 , si ha:
La funzione di uscita diventa:
⇒
R4 R2
=
R1 R1
Vo =
R1 + R 2
R4
R
⋅
= 2
R1
R 3 + R 4 R1
⇒
R4 = R2
⇒
R 3 = R1
R2
⋅ (V1 − V2 )
R1
R2
=1
R1
R1 = R 2 = R 3 = R 4
Se si vuole che sia: Vo = V1 − V2 bisogna imporre
che siano tra loro uguali tutte le resistenze
⇒
R 2 = R 1 ,ossia
Le resistenze di ingresso, relative ai due ingressi si calcolano mettendo l’altro ingresso a
V
massa e applicando la definizione R i = i
Ii
6
R i1 = R 3 + R 4
e
R i2 = R1
La resistenza d’uscita è comunque trascurabile.
Circuiti sommatori
Il circuito sommatore, è una particolare configurazione dell’amplificatore operazionale
e presenta tanti ingressi quanti sono il numero di segnali da sommare. Il circuito può
essere realizzato in due configurazioni: invertente e non invertente.
Il sommatore è un circuito di tipo lineare, e fornisce in uscita una tensione che è
combinazione lineare delle tensioni poste sugli ingressi.
Sommatore invertente
In figura è riportato il circuito di un sommatore invertente a tre ingressi.
La tensione d'uscita è una combinazione lineare degli ingressi:
Vo = a 1 V1 + a 2 V2 + a 3 V3
Lo studio del circuito viene effettuato considerando l'equipotenzialità degli ingressi e
che gli ingressi non assorbono corrente.
Dall'equipotenzialità degli ingressi V− = V+ = 0 si deduce che l'ingresso invertente è
virtualmente a massa.
Essendo il circuito lineare e agendo più cause, la funzione d'uscita viene calcolata
applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, facendo agire una causa per
volta e sommando gli effetti.
Si calcola il contributo di V1 , mettendo a massa V2 e V3
7
Le resistenze R 2 e R 3 , essendo con un estremo collegate a massa e con l'altro estremo
collegate all'ingresso invertente, ossia a una massa virtuale, risultano elettricamente
scollegate. Il circuito si comporta da amplificatore invertente con tensione d'uscita
R
Vo1 = − 4 V1 .
R1
Si calcola il contributo di V2 , mettendo a massa V1 e V3
Le resistenze R 1 e R 3 , essendo con un estremo collegate a massa e con l'altro estremo
collegate all'ingresso invertente, ossia a una massa virtuale, risultano elettricamente
scollegate. Il circuito si comporta da amplificatore invertente con tensione d'uscita
R
Vo 2 = − 4 V2 .
R2
Si calcola il contributo di V3 , mettendo a massa V1 e V2
Le resistenze R 1 e R 2 , essendo con un estremo collegate a massa e con l'altro estremo
collegate all'ingresso invertente, ossia a una massa virtuale, risultano elettricamente
scollegate. Il circuito si comporta da amplificatore invertente con tensione d'uscita
R
Vo 3 = − 4 V3 .
R3
8
Si sovrappongono gli effetti
Vo = Vo1 + Vo 2 + Vo 3 = −
R4
R
R
V1 − 4 V2 − 4 V3
R1
R2
R3
(1)
che è una combinazione lineare degli ingressi.
Se si vuole che la tensione d'uscita sia proporzionale alla somma delle tensioni
d'ingresso, cioè che Vo = a(V1 + V2 + V3 ) , bisogna imporre nella (1) che tutti i
coefficienti a i siano tra di loro uguali:
R4 R4 R4
=
=
R1 R 2 R 3
⇒ R 1 = R 2 = R 3 ⇒ Vo = −
R4
(V1 + V2 + V3 )
R1
(2)
Se si vuole che la tensione d'uscita sia uguale, a meno del segno, alla somma delle
tensioni d'ingresso, cioè che Vo = − (V1 + V2 + V3 ) , bisogna imporre nella (2) che
R4
= 1 ⇒ R 4 = R 1 ⇒ Vo = −(V1 + V2 + V3 ) .
R1
Se si vuole ottenere in uscita la media, a meno del segno, delle tensioni d'ingresso,
bisogna imporre nella (2) che
R4 1
R
=
⇒ R4 = 1
R1 3
3
⇒ Vo = −
V1 + V2 + V3
.
3
La resistenza d'ingresso di ogni ingresso è la resistenza vista dall'ingresso quando gli
altri ingressi sono collegati a massa, pertanto:
R i1 = R 1
;
R i2 = R 2
9
;
R i3 = R 3 .
Sommatore non invertente
In figura è riportato il circuito di un sommatore invertente a tre ingressi. Anche in
questo caso la tensione d'uscita è una combinazione lineare degli ingressi:
Vo = a 1 V1 + a 2 V2 + a 3 V3
Lo studio del circuito viene effettuato considerando l'equipotenzialità degli ingressi e
che gli ingressi non assorbono corrente.
Essendo il circuito lineare e agendo più cause, la funzione d'uscita viene calcolata
applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, facendo agire una causa per
volta e sommando gli effetti.
Si calcola il contributo di V1 , mettendo a massa V2 e V3
Le resistenze R 2 e R 3 , essendo con un estremo collegate a massa e con l'altro estremo
collegate all'ingresso non invertente, risultano collegate in parallelo. Il circuito si
comporta da amplificatore invertente con tensione d'uscita
⎛
R ⎞ R 2 // R 3
Vo1 = ⎜⎜ 1 + 5 ⎟⎟
V1 .
R 4 ⎠ R 1 + R 2 // R 3
⎝
10
Si calcola il contributo di V2 , mettendo a massa V1 e V3
Le resistenze R 1 e R 3 , essendo con un estremo collegate a massa e con l'altro estremo
collegate all'ingresso non invertente, risultano collegate in parallelo. Il circuito si
comporta da amplificatore invertente con tensione d'uscita
⎛
R ⎞ R 1 // R 3
Vo 2 = ⎜⎜ 1 + 5 ⎟⎟
V2 .
R 4 ⎠ R 2 + R 1 // R 3
⎝
Si calcola il contributo di V3 , mettendo a massa V1 e V2
Le resistenze R 1 e R 2 , essendo con un estremo collegate a massa e con l'altro estremo
collegate all'ingresso non invertente, risultano collegate in parallelo. Il circuito si
comporta da amplificatore invertente con tensione d'uscita
⎛
R ⎞ R 1 // R 2
Vo 3 = ⎜⎜ 1 + 5 ⎟⎟
V3 .
R 4 ⎠ R 3 + R 1 // R 2
⎝
Si sovrappongono gli effetti
Vo = Vo1 + Vo 2 + Vo 3 =
11
⎤
⎛
R ⎞ ⎡ R 2 // R 3
R 1 // R 3
R 1 // R 2
= ⎜⎜ 1 + 5 ⎟⎟ ⎢
V1 +
V2 +
V3 ⎥
R 4 ⎠ ⎣ R 1 + R 2 // R 3
R 2 + R 1 // R 3
R 3 + R 1 // R 2
⎝
⎦
(3)
che è una combinazione lineare degli ingressi.
Se si vuole che la tensione d'uscita sia proporzionale alla somma delle tensioni
d'ingresso, cioè che Vo = a(V1 + V2 + V3 ) , bisogna imporre nella (3) che tutti i
coefficienti a i siano tra di loro uguali:
R 2 // R 3
R 1 // R 3
R 1 // R 2
=
=
R 1 + R 2 // R 3 R 2 + R 1 // R 3 R 3 + R 1 // R 2
⇒
⇒ R1 = R 2 = R 3 ⇒
R ⎞
R 1 // R 1
1
1⎛
=
⇒ Vo = ⎜⎜ 1 + 5 ⎟⎟(V1 + V2 + V3 )
R 1 + R 1 // R 1 3
3⎝
R4 ⎠
(4)
Se si vuole che la tensione d'uscita sia uguale alla somma delle tensioni d'ingresso, cioè
che Vo = V1 + V2 + V3 , bisogna imporre nella (4) che
1+
R5
= 3 ⇒ R 5 = 2R 4 ⇒ Vo = V1 + V2 + V3 .
R4
Se si vuole ottenere in uscita la media delle tensioni d'ingresso, bisogna imporre nella
(4) che
1+
R5
V + V2 + V3
= 1 ⇒ R 4 = ∞ e R 5 = 0 ⇒ Vo = 1
R4
3
il circuito diventa un inseguitore a tre ingressi:
La resistenza d'ingresso di ogni ingresso è la resistenza vista dall'ingresso quando gli
altri ingressi sono collegati a massa, pertanto:
R i1 = R 1 + R 2 // R 3
;
R i 2 = R 2 + R 1 // R 3
12
;
R i 3 = R 3 + R 1 // R 2
