FORME INDETERMINATE
Nel calcolo di limiti, rappresentano
soluzioni non determinate. Esse sono:
+∞-∞
0⋅∞
∞/ ∞
1∞
0∞
0/0
∞0
PER “TOGLIERE L’INDETERMINAZIONE”
uso procedimenti che dipendono dai vari casi
TUTORIAL DELLA PROF.SSA PAOLA BARBERIS - 2009
+∞- ∞ FUNZ. RAZIONALE INTERA
3
2
lim x $ 2x + x $ 4 = +# $ # + # $ 4 = +# $ #
Forma IND.
x "+#
RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO
2
%
2x
x 4(
3
lim x '1$ 3 + 3 $ 3 *
x "+#
x
x
x )
&
%
2
1
4(
lim x '1$ + 2 $ 3 *
x "+#
&
x x
x )
3
raccolgo x3 e in parentesi
divido i monomi per x3
IMPORTANTE : dentro la
parentesi DEVO SEMPLIFICARE
Poi “passo al limite” sostituendo e ottengo:
%
(
2
1
4
Il
= (+")
# '1$
+
$
* = +" # (1$ 0 + 0 $ 0) = +"
& +" +" +" )
3
Es 1 : FORMA IND +∞- ∞
5
2
lim # 8x # 2x + 7 = +$ # $ + 7 = +$ # $
x"#$
PER TOGLIERE L’INDETERMINAZIONE
RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x5)
2
%
2x
7(
2 7(
5
5%
lim x '#8 # 5 + 5 * = lim x '#8 # 3 + 5 * =
x "#$ &
x
x ) x "#$ &
x x )
Ora “passo al limite” sostituendo e ottengo:
!
5
= ("#) $ ("8 " 0 + 0) = "#$ ("8) = +#
Es 2 : FORMA IND +∞- ∞
4
2
lim 2x + 5x + x + 3 = +$ + $ # $ + 3 = +$ # $
x"#$
RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x4)
2
%
5x
x 3(
4
lim x '2 + 4 + 4 + 4 * =
x "#$
x
x x )
&
semplifico
dentro la parentesi.
Ora “passo al limite”
%
(
5
1
3
4
lim x '2 + 2 + 3 + 4 * = e sostituisco -∞ al
x "#$
& x x x )
posto della x
le frazioni
con den ∞
tendono a 0
4
= ("#) $ (2 + 0 + 0 + 0) = +#$ 2 = +#
∞/∞ FUNZIONE RAZIONALE FRATTA
3
2
x + 3x $ 2 #
lim 2
=
x "+# x $ 7x $ 4
#
RACCOLGO a NUMERATORE
e DENOMINATORE
la X DI GRADO MASSIMO
2
&
3x
2)
)
3
2
3
1 &
x $ (1+ 3 % 3 +
x $ (1+ % 3 +
1
(+#)
$ (1+ 0 % 0)
x
x
'
*
' x x *
lim
= lim
=
= +#
x "+#
x
"+#
& 7 4)
7x 4 )
1$ (1% 0 % 0)
2 &
x $ (1% 2 % 2 +
1$ (1% % 2 +
' x
' x x *
x *
REGOLA PRATICA
Se gradoNUM > gradoDEN il risultato è infinito ∞
Se IlgradoNUM = gradoDEN il risultato è finito l
Se gradoNUM < gradoDEN il risultato è zero 0
Es 1: FORMA IND ∞/∞
2
9x + 3x + 7 $
lim
=
2
x "#$ 5x + 6x #1
$
I GRADI DEL NUM. E
DEN. SONO UGUALI
RACCOLGO A NUM. E DEN. LA X DI GRADO MASSIMO
e poi semplifico sia le x raccolte che le frazioni in parentesi
%
3x
7(
3 7(
2 %
x $ '9 + 2 + 2 *
1$ ' 9 + + 2 *
&
&
x
x )
x x )
lim
= lim
=
x "+# 2 %
6x 1 ( x "+# %
6 1(
x $ '5 + 2 + 2 *
1$ ' 5 + + 2 *
&
&
x
x )
x x )
!
PASSANDO AL LIMITE
LE FRAZIONI CON DEN
Il
INFINITO TENDONO A 0
1" (9 + 0 # 0) 9
=
=
1" (5 # 0 # 0) 5
Es 2: FORMA IND. ∞/∞
3
2
$x + 4x + 2 #
lim 5
=
x "+# 3x $ 7x + 4
#
IL GRADO DEL NUMERATORE
E’ MINORE DI QUELLO DEL
DENOMINATORE
RACCOLGO LA X DI GRADO MAX E POI SEMPLIFICO LE FRAZIONI
2
&
4
x
2)
&
)
4
2
3
x % ( #1+ 3 + 3 +
1% ( #1+ + 3 +
x
x *
'
'
x x *
lim
= lim
=
x "#$
x "+$ 2 &
7x 4 )
7
4)
5 &
x % (3 # 5 + 5 +
x % (3 # 4 + 5 +
'
'
x
x *
x
x *
PASSANDO AL LIMITE
LE FRAZIONI CON DEN
Il
INFINITO TENDONO A 0
1" (#1#0 #0) #1 #
= 2
= =0
(#$) " (3#0 #0) +$
∞/∞ METODO VELOCE
RAPPORTO FRA INFINITI DI ORDINE SUPERIORE
cioè le x di grado maggiore. Esempi:
a)
$x 3 + 4 x 2 + 2
$x 3
$1
$1
$
lim
"
lim
"
lim
=
=
0
x "+# 3x 5 $ 7x + 4
x "+# 3x 5
x "+# 3x 2
3(+#) 2
b)
2x 3 # 5x + 1
2x 3
2x 2
2(#$) 2
lim
" lim
"
"
= +$
x "#$
x
"#$
3x # 2
3x
3
3
c)
7x 3 $ 8x + 1
7x 3
7
lim
" lim 3 " " finito
3
x "+# 5x + 2x
x "+# 5x
5
d)
3
3
4
x
+
3x
+
1
4
x
4
4
4
+
Il
lim 5
" lim 5 " 2 "
=
=
0
x "#$ 3x + 5x # 2
x "#$ 3x
3x
3(#$) 2 +$
!
!
!
0/0 FUNZIONE RAZIONALE FRATTA
x 3 + 4x 2 + 3x 0
lim
=
2
x "3
x #9
0
Forma INDETERMINATA
SCOMPONGO a NUMERATORE e
DENOMINATORE con regole o con RUFFINI
x(x + 3)(x + 1)
x(x + 1) 12
lim
= lim
= =2
x "3 (x + 3)(x # 3)
x "3 (x + 3)
6
Il
IL FATTORE (x-3) SI SEMPLIFICA
“MANDANDO VIA”
L’INDETERMINAZIONE
Es 13
FORMA IND: 0/0
2
x + 4x + 4x 0
lim 2
=
x"2 x # 3x + 2
0
Forma INDETERMINATA
SCOMPONGO a NUMERATORE e
DENOMINATORE
2
x(x # 2)
x(x # 2) 0
lim
= lim
= =0
x "2 (x # 2)(x #1)
x "2 (x #1)
1
IL FATTORE (x-2) SI SEMPLIFICA
Il
E “MANDA VIA” L’INDETERMINAZIONE
Es 2- FORMA IND: 0/0
3
2
x # 2x # 32 0 Forma INDETERMINATA
lim 2
=
x "4 x # 3x # 4
0
SCOMPONGO con RUFFINI e poi semplifico
1
K=4
1
-2
0
-32
4
8
+32
2
8
0
2
1
K=4
1
2
-3
-4
4
4
1
0
(x # 4)(x + 2x + 8)
x + 2x + 8 32
lim
= lim
=
x"4
x"4
(x # 4)(x +1)
(x +1)
5
Il
