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Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . CdS . . . . . . . . . . . . .
CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - 17/Set/2008
CdS in Economia e Finanza - Cds in Informatica - Cds SIGAD
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi. Tempo a disposizione: 2 ore (INF-EF), 2 ore e trenta (SIGAD) . Non è consentito l’utilizzo di libri o appunti.
Gli studenti di Economia e Finanza devono risolvere gli esercizi: 1, 2, 3, 4.
Gli studenti di Informatica devono risolvere gli esercizi: 1, 2, 3, 4.
Gli studenti del SIGAD devono risolvere gli esercizi: 1, 2, 3, 4, 5.
1. Siano E1 , E2 , E3 tre eventi ognuno dei quali implica il successivo. Data una valutazione di probabilità per
{E1 , E2 , E3 }, con P (E1 ) metà della probabilità di E2 , che a sua volta ha probabilità metà di quella di E3 ,
determinare l’insieme I dei valori coerenti p di P (E1 ). Infine calcolare in funzione di p la previsione e la
varianza del numero aleatorio X = |E1 | + |E2 | + |E3 |.
1
I = {p ∈ [0, ]}
4
var(X) = 15p−49p2
P(X) = 7p
2. Si effettuano n lanci di un dado regolare. Si consideri il generico evento Ei =“si presenta la faccia 1
all’i-esimo lancio”, i = 1, 2 . . . , n. Supponendo gli eventi E1 , E2 , . . . , En stocasticamente indipendenti
ed equiprobabili calcolare, in funzione di n, la probabilità δn che si presenti almeno una volta la faccia 1.
Infine, calcolare il minimo valore n0 di n tale che la probabilità che si presenti la faccia 1 almeno una volta
sia maggiore o uguale a 21 .
δn = 1 −
5n
6n
n0 = 4
;
3. Il colore degli occhi di una persona è determinato da un unico paio di geni. Se entrambi i geni sono quelli
degli occhi azzurri, allora la persona avrà gli occhi azzurri; se entrambi i geni sono quelli degli occhi
castani, allora la persona avrà gli occhi castani; se uno di essi è quello degli occhi azzurri e l’altro è quello
degli occhi castani, allora la persona avrà gli occhi castani (infatti si dice che il gene degli occhi castani è
dominante rispetto al gene degli occhi azzurri). Un neonato riceve indipendentemente un gene del colore
degli occhi da ognuno dei genitori e il gene che riceve da essi può essere in modo ugualmente probabile
uno dei due geni del genitore.
Supponiamo che Giacomo ed entrambi i suoi genitori abbiano gli occhi castani, ma che la sorella di
Giacomo abbia gli occhi azzurri, calcolare la probabilità α che Giacomo abbia un gene degli occhi azzurri.
Supponiamo ora che la moglie di Giacomo abbia gli occhi azzurri. Qual è la probabilità β che il loro primo
figlio abbia gli occhi castani?
α=
2
3
β=
2
3
4. Sia X la durata aleatoria in migliaia di chilometri di una certa auto. Il sig. Rossi acquista l’auto dopo
che essa ha percorso 10 mila chilometri. Calcolare la probabilità pe (risp. pu ) che l’auto percorra altri 20
1
mila chilometri supponendo che X abbia una distribuzione esponenziale di parametro 20
(risp. X abbia
distribuzione uniforme in [0, 40]).
pe = e−1
pu =
1
3
5. Un sistema S è costituito da due dispositivi in parallelo d1 e d2 che entrano in funzione contemporaneamente. I tempi aleatori di durata, espressi in mesi, dei due dispositivi sono due numeri aleatori X e Y ,
stocasticamente indipendenti e con uguale distribuzione esponenziale di previsione P(X) = P(Y ) = 2
mesi. Calcolare la densità di probabilità f (t) e la funzione di rischio h(t) del tempo aleatorio T di durata
del sistema S. Infine, calcolare P (T > 1|T < 2).
f (t) =
1
(1 − e− 2 )2
1
e− 2 t (1 − e− 2 t ) t > 0
; h(t) = (1 − e− 2 t ), t > 0; P (T > 1|T < 2) = 1−
= 0.3875
(1 − e−1 )2
0
altrove.
1
1