Magie dei baricentri SCHEDA 4: Quadrilateri - Parte II Teorema Dati un quadrilatero Q e una coppia di punti distinti R e S fuori dal piano di Q, al quadrilatero dei baricentri rispetto ad essi corrisponde Q nell’omotetia di rapporto 3 e centro il punto medio del segmento RS. Dimostrazione Siano: - Ai con i=1,2,3,4 i vertici del quadrilatero Q e R ed S due punti fuori dal piano di Q Gi il baricentro del triangolo RSAi con i = 1,2,3,4 - G = G1G2G3G4 il quadrilatero dei baricentri di Q rispetto a R ed S. Poiché G1 è baricentro del triangolo RSA1, la semiretta A1G1 contiene la sua mediana uscente da A1 e pertanto interseca il lato RS nel suo punto medio. Analogamente, le semirette A2G2, A3G3, A4G4 intersecano il lato RS nel suo punto medio. Detto M il punto medio del segmento RS, per una nota proprietà del baricentro, si ha: MA1 = …..….. MG1 MA2 = …..….. MG2 MA3 = …..….. MG3 MA4 = …..….. MG4 Pertanto i punti A1, A2, A3 A4 sono i corrispondenti, rispettivamente di G1, G2, G3, G4, nella …………………………………………...…………………………..……………………………. Ne segue che il quadrilatero A1A2A3 A4 è il corrispondente del …...……….…………………… ………………………………………………………………………………...…………………... Corollario Dati un quadrilatero Q e due punti R e S fuori dal piano di Q, l’area di Q è 9 volte l’area del corrispondente quadrilatero dei baricentri. Dimostrazione ………………………………………………………………...………………………………… …………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………………..…………………………… ……………………………………………………………………..…………………………… …………………………………………………………………………………………………… Teorema Siano dati un quadrilatero Q, due punti R e S fuori dal piano di Q. Sia l’insieme dei quadrilateri dei baricentri rispetto ad R ed S, ottenuti al variare di R e S. Due qualsiasi quadrilateri di sono congruenti tra loro e hanno i lati corrispondenti paralleli. Dimostrazione ……………………………………………………………………………………….………… ………………………………………………………………………………………………… ….……………………………………………………………………………………………..