Appunti sui gap tra due numeri primi consecutivi
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show the gap between two consecutive prime numbers
Riassunto
In questo lavoro mostreremo diversi aspetti riguardanti i gap, piccoli e grandi, tra
due numeri primi consecutivi.
Vediamo prima le piccole differenze.
Dall’articolo “Piccole differenze tra numeri primi consecutivi” di BM & L , sul sito
http://www.brainmindlife.org/
citiamo soltanto le possibili connessioni con l’ipotesi di Riemann e con l’ipotesi
generalizzata di Riemannn( brevemente RH e GRH) a pagina 2:
“ Risultati precedenti al lavoro di Goldston e Yldirim:
3) Se vale l’Ipotesi di Generalizzata di Riemann, detto ∆
Il limite inferiore definito al punto 2)
( ∆ = lim inf ( pn+1 - pn )
n→ ∞
< 1 , (N.d.A.A.)
∆ < 2/3 (Hardy e Littlewood nel 1926)
∆ < 3/5 ( Rankin successivamente)
1
4) Senza far ricorso all’Ipotesi generalizzata di Riemann (o a qualsiasi altra
asserzione non dimostrata), in virtù del teorema di Bombieri -Vinogradov si ha:
∆ < 1/2
(Bombieri e Davemport nel 1966)
∆ < 0,44254… (Huxley nel 1977)
∆ < 0,2486… (Maier nel 1986)
Risultati dimostrati da Goldston e Yldirim:
5) Detto ∆ il limite definitola punto 2), vale la seguente relazione:
∆ = 0
6) Detti pn e pn+1 rispettivamente l’n- esimo e l’(n+1)-esimo numero primo,
per infiniti valori di “n” sussiste la seguente relazione:
pn+1 - pn < (log pn)^ 8/9
Qui ricordiamo che (log pn )^ 8/9
“
(1)
è inferiore a log pn, essendo
8/9 = 0,88888…, e quindi il valore di (log pn)^ 0,8888
è
sempre minore
della Goldbach-gemelli –polignac frequenza media = log pn ; e le differenze tra due
numeri primi inferiori alla frequenza media si ripetono infinite volte (vedere il nostro
lavoro “Connessioni Goldbach-gemelli-Polignac” vedi sito
eprints.bice.rm.cnr.it/397/1/Nardelli13.pdf dal titolo
“Nota sulla “Connessione Goldbach – gemelli - Polignac”)
e quindi il risultato 6) di Goldston e Yldirim è previsto anche dal nostro risultato.
Per fare un esempio, per i due numeri primi successivi 9 999 931 e 9 999 937 la
differenza è 6, inferiore alla stima con la (1), uguale a
2
(log pn)^ 8/9 = (log pn)^ 0,88.
= log 9 999 931
= 16,37
= 11,70
valore chiaramente inferiore alla frequenza media 16,37 e quindi si ripete infinite
volte al crescere di pn, ma a partire da 16,11 / 2 = 8,055
valori di pn prossimi a 10^ 8,055 = 10^8 ≈ 10^7, cioè dell’ordine di dieci
milioni, infatti:
p = 9 999 931 ≈ 10 000 000 = 10^7 .
Ma nel centinaio di unità successive, e quindi tra 10 e 10^7 +100,
ci sono solo due numeri primi, 10 000 019 e 10 000 079 molto distanti tra loro,
d = 60, nonostante la frequenza media locale log 10 000 019 = 16,11 sia uguale a
quella dei numeri primi precedenti (16,11). E qui veniamo alle differenze superiori
alla frequenza media locale, che, a differenza delle frequenze minori, sono rare fino
a pn ≈ 10^m , cioè fino a quando i due numeri sono dello stesso ordine di
grandezza, e con frequenza media di circa 2m ≈ log pn ≈ log 10^m ; ma una
volta raggiunto quest’ordine di grandezza, una frequenza superiore a 2m comincia a
ripetersi infinite volte, mentre prima, come accennato,
è molto rara prima di numeri prossimi a 10^m come si può comprendere dalle
seguenti tabelle (premesso che la differenza minima = 2
per i numeri primi gemelli è data ,
per pn e pn +2, dalla formula
se pn ≈ 10^m
d = log pn
m
sia pure in modo approssimativo ( un numero decimale
3
leggermente superiore a 2, per es. per pn ≈ 10^7 ,
d = ln 10^7 = 16,11 = 2,30 ≈ 2
7
7
TABELLA 1
delle piccole d, medie d’ e grandi d’’ differenze tra due numeri
primi consecutivi prossimi a 10^m
p ≈ 10^m
d=2
d’ ≈ ln p
d’’ = k - d’
(gemelli) differ. media
differ. grande
__________________________________ -------------------------10^1
7-5
7-5 = 2 ≈ 1,94
11-7 = 4 ≈ 3, 88
107-103 =4 ≈ 4,63
k
2
97 – 89 = 8 ≈ 9,26
10^2
103 -101
2
10^3
1021-1019
10^4
10009 -10007 10267 – 10259 = 8 ≈ 9,21 10007-9973 = 34
1039-1039 = 6 ≈ 6,92 1151-1129 = 22≈ 20,764 3,6
4,25
10^5 100153-100151 102407 -102397 =10 ≈ 11,51 1011267- 101221 =46 4,6
10 ^6
…
10^7
…
…
…
…
…
9999931-9999929 9999991-9999973=18 ≈16,11 10000079-10000019 = 60
…
…
…
3,3
...
…
Le grandi differenze d’’ si aggirano mediamente attorno ad un multiplo k, di poche
unità, della differenza media d’ . Nella successiva TABELLA 2 vedremo le
differenze minime (d=2), medie (d’ =4) e grandi (d” =k-d’)
per numeri primi p prossimi a 10^2 = 100, per mostrare come le grandi differenze
4
(6, 8 e 14) sono più rare delle differenze medie (4) e minime (2), ricordando che
da 2 a 79 ci sono molte differenze d’ = 4 e d = 2 , con d’ = 4
TABELLA 2
p’
-
p
…
…
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
…
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
…
=
d
d’
d’’
…
…
...
4
2
4
2
4
…
4
…
k
…
6 >
=
6 >
8 >
=
<
=
<
<
14 >
=
…
4
d’
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
…
1,5
1
1,5
2
1
0,5
1
0,5
1
3,5
1
…
Si nota che le grandi differenze 6, 8 e 14 emergono in più o meno forte anticipo
(specialmente 14) rispetto a numeri p d’’/2 prossimi a p ≈ 10^14, poiché 14 è
circa la differenza o frequenza media per numeri primi p prossimi (in difetto o in
eccesso) a 10^ 14/2
= 10^7 essendo il logaritmo naturale di 10 = 16,11 ≈ 14 e il
logaritmo decimale = 7, con frequenza media = 2 * 7 =14.
Raggiunto però tale ordine di grandezza, 14 diventa nuova frequenza media (per
ripetersi poi infinite volte) e cominciano già ad emergere differenze più grandi di
14, e cosi via all’infinito; cosi come, per esempio, il numero 60, rara e grande
differenza per numeri primi attorno a 10^7 , vedi TABELLA 1, diviene frequenza
5
media per numeri primi prossimi a 10^ 26, essendo ln 10^26 = 59,86 ≈ 60 .
In breve, possiamo dire che un numero pari d’’ come differenza di due numeri primi
(escluso il numero primo 2) è possibile raramente se esso è superiore a ln p, in
quanto il rapporto probabilistico r = _d’’ è minore di 1,
ln p
diventa esso stesso frequenza media d’ quando r = d_’ ≈ 1
ln p,
e diventa d inferiore alla frequenza media e quindi si ripeterà infinite volte
successivamente al crescere di p,così come la differenza minima d = 2 per i numeri
primi gemelli si ripete infinite volte già a partire da numeri primi
prossimi a 10^1 con frequenza media 2 ≈ 1, 94 = ln 10, e quindi anche 3 e 5, 5 e 7,
essendo quasi certamente infinite tali coppie di numeri (secondo le ultime proposte di
dimostrazioni, l’ultima da parte di due matematici cinesi).
Poiché la congettura dei numeri primi gemelli (con differenza minima d=2) è un
sottoproblema dell’ipotesi generalizzata di Riemann (ma anche la differenza p– p = 0
si ripete sicuramente infinite volte, essendo infiniti i numeri primi p, ed essendo 0
considerabile un numero pari come tutte le differenze tra i numeri primi escluso il 2,
e anche questa osservazione potrebbe essere utile a future considerazioni , insieme
all’altro nostro risultato che un qualsiasi numero pari d’ diventa infinite volte la
frequenza media ma solo a partire da numeri primi di grandezza circa
10^ d’/2 ), allora anche le grandi differenze potrebbero essere cosi anch’esse
connesse all’ipotesi di Riemann generalizzata(GRH) e quindi di conseguenza anche
all’ipotesi di Riemann classica (RH). Finora però tale problema non è stato posto, e
6
lo proponiamo ora con questo lavoro. Su Internet c’è poco al riguardo, solo nella
voce di Wikipedia “Riemann hypothesis” c’è un accenno nel paragrafo (Weaker
conjecture), sottoparagrafo Lindelöf hypothesis, con un risultato di
Albert Ingham, secondo cui l’ipotesi di Lindelof implica che,
per ogni e < 0,
pn +1 – pn < p^ 1 / 2 + e
; e che (paragrafo “Large
prime gap conjecture” (“Differenze tra grandi numeri primi”e quindi anche grandi
differenze tra numeri primi), assumendo l’ipotesi di Riemann, la differenza tra un
numero primo e il successivo è O( √p ln p ); e, nella media, O (ln p),
ma senza riportare esempi pratici.
In questo lavoro, e con i nostri esempi, le grandi differenze tra numeri primi sono
stimate in piccoli multipli k di ln p,che con ulteriori ricerche più accurate
potrebbero raggiungere il valore di d’’ ≈ k ln p ≈ ln p * ln p ≈ (ln p)^2 se si pone
k = ln p; nel caso di 10^7 avremo 16,11 * 16, 11 = 259,53 con 259,53 ≈ 260
numero intero e pari più vicino; in pratica però abbiamo trovato una grande
differenza d’’ = 60, che pur essendo circa quattro volte la frequenza media per
numeri prossimi a 10^7 , è anche molto inferiore a 260.
Con il seguente GRAFICO 1 vedremo la relazione tra 10^m ,
ln 10^m ≈ 2m , la linea continua ( d’ = 2m ripetuta infinite volte ) e la
linea punteggiata (2m’ superiore alla frequenza media 2m ed emergente poche
volte prima dell’inizio della linea continua) :
7
GRAFICO
14
12
10
8
6
4
2
1
↑
7
│
→ 10
·................................................
│
│
·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .--│
│
· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . --------------│
│
· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-------------------------│
│
· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . --------------------------------------│
│
· . . . . . . . . . . . . . .-----------------------------------------------│
│
· . . . . . . .-----------------------------------------------------------│
│
· ----------.----------.----------.----------.----------.----------.---→
10^1
10^2
10^3
10^4
10^5
10^6
Questo grafico indica che il caso dei numeri gemelli, con differenza d q – p = 2,
non è che uno degli infiniti casi d’ = q – p = 2m, e quindi se sono infinite le coppie
dei numeri primi gemelli, lo sono anche le coppie con differenza 2m, anche se tale
differenza si ripete infinitamente dopo 10^m , ed emerge raramente (linea
punteggiata) fino a 10^m .
Per i numeri gemelli, con differenza 2, tale differenza
significa 2m di 10^m
con m = 1, e quindi 2 *1 = 2, e si verifica già due volte
8
(con le coppie di gemelli 3 e 5, 5 e 7) prima di 10^1 = 10 , e poi si ripete
infinite volte, confermando la congettura dei numeri primi gemelli infiniti, ed
estensibile alla nostra congettura “ due numeri primi consecutivi (coppie di
Polignac) con differenza 2m infiniti” , vedi il nostro lavoro “Connessione
Goldbach – gemelli - Polignac” citato all’inizio.
Conclusione: se i numeri gemelli sono un sottoproblema della GRH (ipotesi
generalizzata di Riemann), e a parte i risultati sopra citati di Hardy e Littlewood ecc.,
anche le coppie di numeri primi consecutivi con differenza 2m lo sono; e una
soluzione positiva della congettura dei numeri gemelli (anche noi ne abbiamo una in
corso di definizione) sarà valida anche per le suddette altre coppie di Polignac, con
differenza 2m. Quindi, quanto sopra esposto è utile sia alla dimostrazione, sia alla
congettura dei numeri gemelli, sia alla congettura dei numeri di Polignac, sia infine
all’ipotesi generalizzata di Riemann GRH (e di conseguenza poi anche all’ipotesi di
Riemann RH), della quale anche le coppie di Polignac sono un sottoproblema, come
il Teorema dei numeri Primi (già dimostrato da Hadamard e da De la Valle–Poussin),
o il teorema di Miller –Rabin su un test di primalità (anche questo dimostrato), la
congettura debole di Goldbach.
Questo nostro ulteriore lavoro sui numeri gemelli e di Polignac è un altro
piccolo contributo alla eventuale futura dimostrazione della congettura di Riemann
tramite i suoi sottoproblemi dei numeri gemelli (e ora anche di Polignac,
generalizzazione dei numeri gemelli, con la loro differenza estesa da 2 a 2m, cioè
a tutti i numeri pari); altri nostri contributi ( M. Nardelli – F. Di Noto) sono invece
9
basati sulla dimostrazione della variante di Lagarias RH1 = RH, anch’esso
pubblicato sul suddetto sito, oltre che su un sito dell’Università inglese di Exeter,
insieme ad altri lavori su altre proposte di dimostrazioni dell’ipotesi di Riemann, a
cura del matematico Prof. Matthew Watkins, sito :
http://www.secamlocal.ex.ac/uk/people/staff/mrwatkin/zeta/Rhproofs/htm
Seconda parte
FORMA 6k’ -2,
6k’ E 6k’ + 2
DELLE
POSSIBILI DIFFERENZE TRA DUE NUMERI PRIMI
CONSECUTIVI
q = 6n +1 e p = 6m +1 con k’ = n - m
--------------Abstract
In this work we connect the forms 6k’ -2, 6k’, 6k’ + 2 of
differences between two consecutive prime numbers (increments, or
gaps) and the general forms of prime numbers (except only 2 and
3):
q = 6n + 1 and p = 6m + 1 with q > p, and k’ = n – m.
-------------
Leggendo l’articolo di Pradeep Kumar, Plamen Ch. Ivanov e H.
10
Eugene Stanley “Information Entropy and Correlations in Prime
Numbers” ( reperibile su ArXiv:cond-mat/030311v4 [cond-mat.statmech] 8 Apr 2003 ) circa le differenze successive tra due numeri primi
consecutivi, abbiamo capito almeno in parte perché le differenze di forma
6k + 2 sono più frequenti delle differenze di forma 6k e di forma 6k - 2.
Tutti i numeri primi, tranne il 2 e il 3, (e i semiprimi = p x q con p > 3
e q > 3) sono di forma 6k + 1, come si vede nelle seguenti colonne
numeriche, fino a 101 , con k = 17
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
6k - 1
5
11
17
23
29
35
41
47
53
59
65
71
77
83
89
95
101
…
6k
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
…
6k +1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
…
differenza col numero primo precedente
7 – 5 = 2 = 6 * 0 + 2 = 2 = 6k’ + 2
13 – 11 = 2
… …
…
19 – 17 = 2
29 – 23 = 6 = 6 * 1 = 6k’
31 - 29 = 2
37 – 31 = 6
41 – 37 = 4 = 6 * 1 - 2 = 6k’-2
47 – 43 = 4
“
“
53 - 47 = 6 = 6 * 1
= 6k’
61 – 59 = 2
…
… 6k’+2
67 - 61 = 6
=6*1
73 – 72 = 2
= 6k’ + 2
79 – 73 = 6
=6*1
83 - 79 = 4
= 6k’ - 2
89 – 83 = 6
=6*1
97 - 89 = 8
= 6k’ + 2
103 - 102 = 2
= 6k’ + 2
… …
…
…
Possiamo notare che fino a 101 ci sono 13 numeri primi di forma
11
6k -1, e 12 numeri primi di forma 6k +1, quindi i numeri primi di forma
6k -1 sono un po’ più numerosi dei numeri primi di forma 6k +1 (cosa già
notata da Eulero); e che i numeri primi gemelli hanno lo stesso k
ma
segno diverso, e così la loro differenza è sempre 2, perchè:
6k+1 – (6k-1) = 6k +1 -6k +1 = 2 ;
e le differenze tra due numeri consecutivi successivi sono, nell’ordine:
2, 2, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 6, 2, 6, 2, 6, 4, 6, 8, 2 con il 2 ( forma 6k +2)
che si ripete sette volte, il 4 (forma 6k’ -2 = 6 (k’-1) +4) che si ripete
tre volte e il 6 (forma 6k’) che si ripete sei volte. In definitiva, la forma
6k’+2 si presenta 8 volte (sette volte il 2 e una volta l’ 8), la forma 6k’ si
ripete sei volte, e la forma 6k’ – 2 si ripete tre volte ( il 4).
Tale andamento si ripete più o meno uguale (le differenze di forma 6k’ -2
aumentano, e le differenze di forma 6k’ ( = 6, 12, 18, ecc.) invece
diminuiscono, estendendo le tabelle fino a k molto più grandi, e
confermando le conclusioni dei tre Autori: le forme 6k’+2 sono più
numerose delle forme 6k’-2 , e le forme 6k’ diventano le più rare.
Questo perché i numeri primi sono su entrambe le colonne, e così le
differenze di forma 6k’ si verificano solo per numeri primi consecutivi di
una stessa colonna, per es. 37 e 31, 53 e 47, cioè quando tra questi due
12
numeri primi consecutivi non ci sono numeri primi appartenenti all’altra
colonna; e questo fatto diventa sempre più raro; ed ecco anche il perché
della maggiore rarità di differenze di forma 6k’.
In genere, tutte le differenze sono di forma 6k’-2,
6k’ e 6k’ +2
perché i numeri primi (tranne il 2 e il 3) sono sempre di forma 6k-1 e
6k +1, dando luogo alle seguenti combinazioni possibili:
a)
q = 6n -1 e p = 6m -1, appartengono quindi entrambi alla prima
colonna (6k -1) :
6n -1 –(6m -1) = 6n -1 – (6m -1) = 6n -1 - 6m +1 = 6(n-m) = 6k’
Es. 59 – 29 = 30
6 x 10 – 1 - ( 6 * 5 -1) = 6(10- 5) -1 +1= 6 * 5 = 30 = 6k’
b) q = 6n -1
e p = 6m +1, appartengono quindi a colonne diverse:
6n -1 – (6m +1) = 6n – 1 – 6m -1 = 6(n-m) -2 = 6k’ -2
Esempio 41 - 31 = 10
6 * 7 -1 - (6 * 5 +1) = 6(7-5) -1 -1 = 6 * 2 -2 = 10 = 6k’ -2
c) q = 6n +1 e p = 6m +1, appartengono entrambi alla terza colonna
(6k +1)
6n +1- (6m +1) = 6n +1 – 6m -1 = 6(n-m) = 6k’ come nel caso b)
13
Esempio 43
- 19 = 24
6 * 7 +1 - (6* 3 + 1 ) = 6 * (7 – 3) = 6 * 4 = 24 = 6k’
d) q = 6n +1 e p = 6m -1, appartenenti quindi a forme diverse come nel
caso b, ma ora con q = 6n +1 e p = 6m -1:
6n +1 – (6m -1) = 6n + 1 - 6m +1 = 6n – m) + 2 = 6k’ +2
Esempio per q = 97 = 6 * 16 + 1 (in seconda colonna) e p 89 = 6 * 15 -1
(in prima colonna) :
6 * 16 + 1 - (6 * 15 -1) = 6 * 16+1 - 6 * 15 +1 = 6 (16 - 15) + 2 = 6 * 1 + 2 = 8 ;
il caso d è il caso più comune poiché, come ha notato Eulero, i numeri
primi preferiscono leggermente la forma 6k -1, e quindi le differenze
di tipo d) sono le più frequenti, al contrario dei casi a), b), e c), che
danno rispettivamente differenze di forma 6k’,
6k’-2 e 6k’ -2.
(Notiamo i valori in blu 24 e 8 che coincidono ai modi corrispondenti alle
vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche e delle superstringhe attraverso
le seguenti equazioni modulari di Ramanujan:
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
e
dx
∫0 cosh πx
142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
−
w'
t w'
4
(
)
e
φ
itw
'
w
'
24 =
,
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
14
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx 142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'
4
e
φw' (itw')
1
8=
. )
3
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
Tali combinazioni si verificano ovviamente anche per le differenze di
numeri primi anche non consecutivi (per es. 97 – 59 = 38 = 6 * 6 +2,
essendo 97 nella seconda colonna e 59 nella prima colonna) che per il
momento non ci interessano, qui ci interessano solo due numeri primi
consecutivi. Ovviamente, le forme 6k – 2, 6k, 6k + 2 coprono tutti i
numeri pari, anche il 2 = 6 * 0 +2 = 0 +2 = 2 , e il 4 = 6 * 1 – 2 = 6 – 2 = 4,
così come le forme 6k- 3, 6k+ 3, 6k -1 e 6k + 1 coprono tutti i numeri
dispari.
Circa la somma di due numeri primi consecutivi, e anche non
consecutivi, invece, il discorso ci porta alla congettura di Goldbach (Rif.
1, con i vari lavori pubblicati sull’argomento); ricordiamo
solo che per N pari di forma 6k ci sono più coppie di Goldbach (circa il
doppio) p e q tali che p + q = N > 4, rispetto a numeri pari di forma
N = 6k + 2, e questo perchè la formazione di tali coppie dipende dai
multipli dispari di 3 e dai numeri primi fino ad N/2 e da N/2 ad N.
15
La forma N = 6k’, che emerge raramente come differenza di due numeri
primi consecutivi, presenta invece più G(N) coppie di Goldbach, ma
valori più alti anche per la funzione σ(n) somma dei divisori di n, e
di conseguenza valori più bassi per la funzione φ(n) di Eulero (numero
dei coprimi con n), rispetto a numeri di forma 6k + 2; e quindi tale forma
N = 6k è molto importante in teoria dei numeri , come abbiamo visto
per le differenze di due numeri primi consecutivi, e accennato per la
funzione G(N) di Goldbach, la funzione somma σ(n) dei divisori e la
funzione φ(n); i valori di tali funzioni sono direttamente o indirettamente
connesse ai fattori di 6k (6k = 2 * 3 * k ), mentre le forme 6k + 2 hanno
in comune solo il fattore 2, e le forme 6k + 3 hanno in comune solo il
fattore 3 ; mentre le forme 6k + 1 non hanno in comune né il 2 e
nemmeno il 3, e quindi sono le sole che possono contenere i numeri primi
(tranne il 2 e il 3) e i semiprimi, composti ma privi di fattori 2 e 3, come
per es.
35 = 5 * 7, 65 = 5 * 13 , 121 = 11 * 11 ecc.
Infine, cosi come per le differenze tra numeri primi (consecutivi e non,
per le quali k’ = n – m) anche per le somme, p + q = 6 (m+n),
6(m + n) - 2 e 6 (m + n ) +2 e quindi 6k’, 6k’ - 2 e 6k’ + 2, dove ora
16
k’ = n + m.
Per il prodotto N= p*q si trova invece che:
N = 6 (pn + m = qm + n),
oppure
s = pn + m = qm + n,
con s = (N+1) / 6
p
per esempio per N = 29083 = 127
s = 4847
m =21
4847 = 127 * 38 + 21 =
q
229
x
n = 38
229 * 21 +
38
29083 ≈ (6 * 21 +1) x 6 * 38 +1) + 6(21+38) = 36 * 21 * 38 + 6* 59 =
28728 + 354 +1
= 29083
Ma anche (6n + 1) (6m + 1) = 36mn + 6n + 6m + 1, prodotto che
diventa interessante per i numeri primi gemelli p e q , per i quali n = m
e quindi abbiamo il loro prodotto p * q = 36m^2 - 1, come visto in altri
lavori.
Ma si può connettere anche il prodotto alla loro semisomma, e alla loro
semidifferenza come abbiamo fatto in altri lavori (sulla congettura di
Goldbach), ottenendo un nuovo metodo di fattorizzazione, in certi casi
molto veloce (solo però quando p e q sono molto vicini tra loro).
17
Tutto ciò potrebbe, se meglio approfondito con ulteriori ricerche
e tenendo conto, come in questo lavoro, anche della forma generale
6k + 1 dei numeri primi (tranne 2 e 3) e dei semiprimi , contribuire a
conoscere ancora meglio la distribuzione non casuale dei numeri primi; e
così, quindi, con una migliore conoscenza di questa distribuzione, si
potrebbe infine arrivare a dimostrare anche l’ipotesi di Riemann, basata
proprio su una distribuzione non casuale dei numeri primi; e se la RH è
vera, come molti matematici (noi compresi) pensano, il problema della
fattorizzazione sta in P (diventa cioè un problema polinomiale, come
tutti quelli che i computer possono risolvere efficientemente in tempo
polinomiale).
NOTA 1
Possibile connessione con il filtro di Chebyshev.
Queste differenze tra numeri primi consecutivi potrebbero avere
qualche connessione con il filtro di Chebyshev , a sua volta correlato al
TNP (Teorema dei Numeri Primi), conseguenza dell’ipotesi di Riemann;
e la “Riemann function” è citata a pag. 2 del lavoro “Information
Entropy and Correlations in Prime Numbers” a proposito delle energie di
18
un gas di bosoni indipendenti, con energie uguali ai logaritmo dei numeri
primi consecutivi.
Citiamo un brano da pag. 141 del libro di John Derbyshire
“L’ossessione dei numeri primi” (Bollati Boringhieri):
“…Non posso lasciare Chebyshev senza almeno ricordare il suo famoso filtro
(famoso almeno tra i teorici dei numeri, credo).
Se dividete un numero primo (diverso da 2) per 4, il resto deve essere 1 o 3.
Hanno qualche preferenza i numeri primi? Sì, ce l’hanno: fino a p = 101, ci sono 12
resti uguali a 1 e 13 resti uguali a 3 (proprio quanti i primi di forma 6k+1 e di forma
6k -1, N.d.A.A..). Fino a p = 1009, il conto dà 81 e 87. Fino a p = 10 007, si ha 609 e
620. Com’è ovvio, i resti uguali a 3 hanno un margine leggermente superiore rispetto
ai resti uguali a 1. Questo è un esempio di un filtro di Chebyshev, commentato per la
prima volta dal matematico russo in uno scritto del 1853. Questo particolare filtro
iene poi violato per p = 26 861, quando il resto 1 guadagna momentaneamente la
prima posizione.: Ma si tratta di un’anomalia soltanto temporanea: la prima vera zona
di violazione è in corrispondenza degli 11 numeri primi nell’intervallo tra p = 616
877 e p = 617 011. I resti pari a 1 conquistano il primato per soltanto 1939 dei
primi 5,8 milioni di numeri primi, che rappresentano il limite al quale mi sono
fermato. Non lo conquistano una sola volta negli ultimi 4 988 472 di questi numeri
primi.
Se il divisore è 3, il filtro ha un effetto ancora più drammatico. Qui, il resto (a
partire da p = 3) può essere 1 o 2,, e il filtro è a 2. Questo filtro non è violato fino
a p = 608 981 813 029. Ora sì che questo è un filtro! Questa violazione è stata
individuata nel 1978, da Carter Bays e Richard Hudson: Avrò occasione di
menzionare ancora il filtro di Chebyshev nel capitolo 14.”
E, a pag. 246 del cap. 14:
“… Sei nomi di Bays e Hudson vi dicono qualcosa, è perché li ho citati nel
paragrafo 8.4 a proposito del filtro di Chebyshev. Esiste in effetti un livello
profondo, troppo profondo per parlarne ancora qui, in cui la tendenza di Li(x) a
essere maggiore di π(x) ricorda il filtro di Chebyshev: Questi due argomenti sono in
genere considerati insieme dai teorici di analisi dei numeri. In effetti, l’articolo di
Littlewood del 1914 mostrava non soltanto che la tendenza di Li(x) a diventare
maggiore di π(x) è violata un numero infinito di volte, ma che questo è vero anche
per i filtri di Chebyshev. Per alcune recenti intuizioni felici sull’argomento, si veda
l’articolo Chebyshev’s Bias, di Michael Rubinstein e Peter Sarnak, in
19
<< Experimental Mathematics >>, 3(1994), pp. 173-97. “
Quindi, ci potrebbe essere una relazione profonda tra differenze tra due
numeri primi consecutivi (e loro preferenza per la forma 6k + 2 rispetto
alla forma 6k – 2 e alla forma, ancora più rara, 6k), i filtri di Chebyshev e
il Teorema dei Numeri Primi, ed infine, possibilmente, anche con l’ipotesi
di Riemann. Tale relazione sarebbe quindi da approfondire maggiormente
in futuro, visto che potrebbe portare a migliori conoscenze sulla
distribuzione dei numeri primi, e quindi anche, eventualmente, a
contributi utili alla dimostrazione dell’ipotesi di Riemann, sfruttando al
meglio le oscillazioni numeriche (violazioni) osservate sia nelle
differenze tra numeri primi consecutivi, nei filtri di Chebyshev e nel TNP.
Tali oscillazioni potrebbero avere tutti una causa comune: la
distribuzione non casuale dei numeri primi; studiando ancora bene tali
oscillazioni, si conoscerebbe meglio la distribuzione dei numeri primi,
attraverso gli eventuali teoremi che ne verrebbero fuori, oltre quelli già
noti. Noi, per esempio, studiando il susseguirsi di intervalli più o meno
densi di numeri primi, abbiamo scoperto che, per una conseguenza della
congettura di Goldbach (i numeri pari di forma 6k hanno più coppie di
Goldbach rispetto ai numeri di forma N = 6k-2 ed N = 6k +2), e spesso
l’ultima è una coppia di Goldbach di numeri primi gemelli (con
20
differenza 2, e somma di forma p + q = 12k), le coppie di primi gemelli
sono sempre al centro, da sole o come due coppie di gemelli ravvicinate,
di tutti gli intervalli più densi di numeri primi. Per esempio, nell’intervallo
di 100 unità tra 9 999 900 e 10 000 000 ci sono ben nove numeri primi :
9 999 901, 9 999 907, 9 999 929, 9 999 931 (prima coppia di gemelli) ,
9 999 937, 9 999 943, 9 999 971, 9 999 973 (seconda coppia di
gemelli), 9 999 991, con ben due coppie di numeri primi gemelli
ravvicinate ( a distanza 40 contro una distanza media locale di
( ln 10 000 000)^2 = 16,11^2 = 259,79; mentre nell’intervallo
successivo, pure di 100 unità, ci sono soltanto due numeri primi:
10 000 019 e 10 000 079
con differenza d = q – p =
10 000 079 – 10 000 019 = 60, contro
una distanza media locale di ln 10 000 000 = 16,11.
Forme 6k-2, 6k e 6k+2, quindi, anche nelle somme dei numeri primi p
e q delle coppie di Goldbach, , oltre che nelle differenze tra due numeri
primi consecutivi (che, oltre ad essere numeri primi gemelli con
differenza 2, negli altri casi sono numeri primi consecutivi o di Polignac,
cioè con differenza 2n, e quindi anche di forma 6k-2, 6k e 6k +2, come i
21
tre Autori del lavoro “Information Entropy and Correlations in Prime
Numbers” hanno osservato, soprattutto per quanto riguarda gli incrementi
positivi e negativi (oscillazioni) di tali differenze, collegandole agli
oscillatori armonici non interagenti. A conferma che molti fenomeni fisici
(ma anche biologici) sono regolati anche dai numeri primi, sia
direttamente, sia tramite i numeri primi naturali di forma p = 6f +1,
dove f è un numero di Fibonacci, per esempio 127 = 6 x 21 + 1 è un
numero primo naturale, poiché 21 è un numero di Fibonacci. Tali
numeri naturali si trovano anche come fattori più frequenti nei numeri di
dimensione dei gruppi simmetrici di Lie, coinvolti spesso in fenomeni
fisici dove la simmetria è importante, ma sono anche nascosti nei
cosiddetti ”numeri magici” della stabilità nucleare di alcuni elementi
chimici.
Ricordiamo che le somme tra due numeri primi N = p + q, anche non
consecutivi, hanno a che fare con la congettura di Goldbach, il rapporto
q/p con il teorema fondamentale della fattorizzazione, e la differenza
d = q – p tra due numeri primi consecutivi con la congettura di Polignac
(gemelli se d = 2); mentre se p e q non sono consecutivi, abbiamo a che
fare con i gap, trattati in questo lavoro.
22
Ma anche nella fattorizzazione veloce; se il rapporto r =q/p è 2, p si trova
al 70% della radice quadrata n di N = p*q, e così pure, ma solo per r=2,
la differenza d = q – p.
Ma non conosciamo ancora metodi molto efficienti per trovare il
rapporto o la differenza conoscendo solo N = p*q. Se si potesse trovare in
qualche modo la differenza, o la somma, si potrebbe applicare facilmente
l’algoritmo di fattorizzazione di Fermat, mentre col rapporto r = q/p,
avremmo p ≈ n/√r e q ≈ = n*√r , con n=√N (vedi lavoro sul Teorema
fondamentale della fattorizzazione, già sul nostro sito).
Inoltre, le forme 6k + 1 dei numeri primi sono molto utili per studiare
meglio le varie congetture sui numeri primi, e anche numeri primi
particolari, che possono essere di forma mista, oppure solo di forma 6k -1
oppure solo di forma 6k + 1. Per esempio, i numeri di Fermat, o non primi,
sono tutti di forma 6k-1 ( tranne il 3 iniziale), mentre i numeri di Mersenne
sono tutti di forma 6k +1 (tranne il 3 iniziale).
Ma anche numeri composti legati alle potenze di 2, come i numeri
perfetti, sono di forma 6k -2, tranne il 6 iniziale.
Ecco perché somme, differenze e rapporti tra numeri primi sono
molto importanti nella Teoria dei Numeri in generale, e dei numeri primi
23
in particolare.
Riferimenti
Tutti gli articoli sui numeri primi pubblicati sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ e siti collegati nella sezione links
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