Solo quello che ti interessa | Lo studio nella storia - Assenza di ritmo e i numeri gemelli
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Lo studio nella storia - Assenza di ritmo e i
numeri gemelli
Il senso del ritmo - Al giorno d’oggi non sappiamo ancora se questa “banda” di numeri primi
comporta un ritmo diabolicamente complicato o se, semplicemente, è del tutto
carente del senso del ritmo.
- In sostanza quello che si vorrebbe, è imporre una metrica alla successione, in
modo tale di essere sempre in grado di predire quale è il numero successivo ad
un numero dato.
- In pratica, come succede nelle serie, esiste una formula, o termine generale,
che è un grado di calcolare il valore della serie nella posizione n-esima. In
genere si indica con an.
- Ad esempio la successione dei numeri pari si indica con an=2n, mentre quella
dei numeri dispari sarà an=2n+1. Banalmente, il 27-esimo valore della serie
dei numeri dispari, sarà a27=2*27+1 = 55.
- Trovare la formula del termine generale equivale ad aver scoperto la regola di
formazione della successione. Chiaramente questo è un compito complesso.
Ad esempio, quale è il termine generale della seguente successione 2/4, 5/7,
10/12 ? Questo è comunque un caso semplice, ma il suo termine generale non
è così immediato da ricavare an=(n2+1)/(n2+3).
- Ad oggi non è stato trovato nessun termine generale per i numeri primi. Ma i
“fallimenti” che ci sono stati dietro questa ricerca, in realtà hanno portato a
nuove teorie e nuovi paradigmi.
- In matematica, in realtà è sbagliato parlare di fallimenti, in quanto lo studio
della ricerca della soluzione porta inevitabilmente a nuove argomentazioni. In
tal senso, i numeri primi sono una delle fonti più fruttuose di paradossi e
congetture.
- Ad esempio i numeri primi hanno portato all’”invenzione” dei numeri
complessi! I numeri primi gemelli - Non potendo trovare una regola, si cerca di studiare il comportamento di
alcuni numeri primi che possiedono caratteristiche speciali.
- Invece di vedere numeri singoli, proviamo ad analizzare come si presentano
coppie particolari di numeri primi.
- Fino ad oggi si è riusciti a caratterizzare solo alcune dozzine di famiglie di
numeri primi. Un esempio di questi gruppi sono le coppie che, nella
successione dei numeri primi, hanno in mezzo un unico numero composto. Ad
eccezione di 2 e 3 tutti i numeri primi hanno almeno un numero in mezzo.
- Fra i primi 100 numeri le coppie separate da un unico numero sono: (3,5),
(5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61) e (71,73).
- Coppie di numeri così fatte si chiamano numeri primi gemelli.
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- Grazie a metodi computazionali si ha la prova che esistono numeri gemelli
straordinariamente grandi, ma ad oggi nessuno è riuscito a dimostrare che
siano infiniti.
- Un’altra congettura, che comprende quella dell’infinità dei numeri gemelli, è
che per ogni c esistono infinite coppie di numeri primi che sono separati da 2*c
numeri composti. Vale a dire esistono infiniti numeri primi separati da 4 numeri
composti, 6 numeri composti e così via. Nel caso di c=1 abbiamo la congettura
dei primi gemelli.
- Un altro gruppo di numeri primi è quello del tipo (p,p+2,p+4) come ad
esempio (3,5,7), chiamati numeri primi gemelli trigemini. Ma di questo
gruppo si sa con certezza che sia composta dalla sola tripletta (3,5,7).
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