L`insieme dei numeri naturali N

L’insieme dei numeri
naturali N
Prof. Walter Pugliese
Che cosa sono i numeri naturali
I numeri naturali sono:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…
Sono chiamati così perché sono stati i primi numeri che abbiamo conosciuto, ci sono
serviti per contare.
I numeri naturali hanno un ordine cioè dati due numeri naturali qualunque e diversi
fra loro, è sempre possibile stabilire se il primo è minore del secondo o viceversa.
Di ogni numero naturale diverso da 0 esistono sempre il precedente e il successivo
La rappresentazione dei numeri naturali
Poichè i numeri naturali sono ordinati, si possono rappresentare su una
semiretta orientata:
I punti della semiretta sono molti di più di quelli che corrispondono ai numeri
naturali. Ad esempio tra 5 e 6 vi sono infiniti punti che non rappresentano
numeri naturali, per questo motivo si dice che N è un insieme discreto.
Le quattro operazioni
Nell’insieme N si possono eseguire
le quattro operazioni: addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione.
L’operazione potenza
Se a e n sono numeri naturali:
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … .∙ 𝑎 𝑠𝑒 𝑛 > 1
n volte
𝑎0 = 1 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0
𝑎1 = 𝑎
00 𝑛𝑜𝑛 è 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
Nella potenza 𝑎𝑛 , a è la 𝐛𝐚𝐬𝐞, n è l′ 𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧𝐭𝐞
Le espressioni
Un’espressione indica una serie di operazioni da svolgere con un ordine
preciso.
Nel calcolo, la potenza ha la precedenza su tutte le altre operazioni.
Moltiplicazione e divisione hanno la precedenza su addizioni e sottrazioni.
Le precedenze possono essere cambiate usando le parentesi. Vanno svolti
prima i calcoli nelle parentesi tonde, poi quelli fra parentesi quadre e per
ultime quelli fra parentesi graffe.
Esempio di espressione
Proprietà dell’addizione e della moltiplicazione
L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni
interne all’insieme N perché la somma e il
prodotto di due numeri naturali sono sempre
numeri naturali. Si può dire anche che N è chiuso
rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.
L’addizione gode della proprietà commutativa e
associativa.
La moltiplicazione gode delle proprietà
commutativa, associativa, distributiva a destra
rispetto all’addizione, distributiva a sinistra
rispetto all’addizione
0 è l’elemento neutro dell’addizione, perché
sommando 0 a un numero qualsiasi si ottiene
come risultato il numero stesso.
Es.: 0+9=9 5+0=0
1 è l’elemento neutro della moltiplicazione,
perché moltiplicando 1 per un numero qualsiasi si
ottiene come prodotto il numero stesso.
Es.: 1 ∙ 9 = 9 4 ∙ 1 = 4
0 è l’elemento assorbente rispetto alla
moltiplicazione, perché moltiplicando 0 per un
numero qualsiasi si ottiene come prodotto 0.
Es.: 0 ∙ 9 = 0 4 ∙ 0 = 0
Leggi della monotonia
Prima legge della monotonia:
Seconda legge della monotonia:
Aggiungendo uno stesso numero naturale ai due
membri di un’uguaglianza o di una disuguaglianza,
otteniamo un’uguaglianza o una disuguaglianza con
lo stesso verso.
Moltiplicando per uno stesso numero naturale
diverso da zero i due membri di un’uguaglianza o di
una disuguaglianza, otteniamo un’uguaglianza o una
disuguaglianza con lo stesso verso.
Es.:
Es.:
4= 3+1 ↔4+8= 3+1 +8
6= 9−3 ↔6∙5= 9−3 ∙5
2<5 ↔2+6<5+6
1<2 ↔1∙3<2∙3
12 > 3 ↔ 12 + 7 > 3 + 7
8>7 ↔8∙3>7∙3
La sottrazione
La sottrazione può essere definita come l’operazione inversa dell’addizione.
La differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo dà il minuendo.
9-5=4 perché 4+5=9
In N la sottrazione non è un’operazione interna: è possibile eseguirla solo se il sottraendo è
minore o uguale al minuendo.
8-5=3
5-9=? Non ha un risultato in N
Per la sottrazione valgono le proprietà invariantiva e distributiva della moltiplicazione
La divisione
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
Il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo.
Il divisore deve sempre essere diverso da zero.
•
•
•
12:4=3 perché 3∙4=12
9:0 non viene definita perché nessun numero moltiplicato per zero può dare 9
0:0 non è definita perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero
In N la divisione non è un’operazione interna:
•
23:5 non ha un risultato in N
Per la divisione valgono le proprietà invariantiva e distributiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione.
Criteri di divisibiltà
N è divisibile per…
se e solo se
esempio
2
L’ultima cifra è divisibile per 2
1320; 2714; 316.
3
La somma delle cifre è divisibile
per 3
3642 perché 3+6+4+2=15 che è
divisibile per 3
4 o 25
N termina con 00 oppure il
3700 (divisibile per 4 e per 25)
numero formato dalle ultime due 2312 (divisibile per 4)
cifre è divisibile per 4 o per 25
7150 (divisibile per 25)
5
Termina con 0 oppure 5
290; 375.
9
La somma delle cifre è divisibile
per 9
2952 perché 2+9+5+2=18 che è
divisibile per 9
11
La differenza tra la somma delle
cifre di posto pari e quella delle
cifre di posto dispari (o viceversa)
è divisibile per 11
95909 perché
27 (cioè 9+9+9) – 5 (cioè 5+0) =22
che è divisibile per 11
Proprietà delle potenze
Proprietà
Esempio
Prodotto di potenze con la stessa base
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Quoziente di potenze con la stessa base
𝒂𝒎 : 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎 𝒆 𝒏 ≤ 𝒎
Potenza di potenza
𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂𝒎∙𝒏
𝟓𝟑 ∙ 𝟓𝟒 = 𝟓𝟑+𝟒 = 𝟓𝟕
𝟏𝟐𝟓 : 𝟏𝟐𝟑 = 𝟏𝟐𝟓−𝟑 = 𝟏𝟐𝟐
𝟒𝟑
𝟐
= 𝟒𝟑∙𝟐 = 𝟒𝟔
Prodotto di potenze con lo stesso esponente
𝒂𝒎 ∙ 𝒃𝒎 = 𝒂 ∙ 𝒃 𝒎
𝟒𝟐 ∙ 𝟓𝟐 = 𝟒 ∙ 𝟓
𝟐
= 𝟐𝟎𝟐
Quoziente di potenze con lo stesso esponente
𝒂𝒎 : 𝒃𝒎 = 𝒂: 𝒃 𝒎
𝒄𝒐𝒏 𝒃 ≠ 𝟎 𝒆 𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒆 𝒑𝒆𝒓 𝒃
𝟔𝟐 : 𝟑𝟐 = 𝟔: 𝟑
𝟐
= 𝟐𝟐
Multipli, divisori e numeri primi
Consideriamo i numeri naturali a e b. Se esiste un
numero naturale q tale che 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑞, diciamo
che:
•
•
a è multiplo di b
b è divisore di a
Un numero naturale diverso da 0 e da 1 è un
numero primo se ha come divisori solo se stesso
e1
MCD e mcm
Il massimo comune divisore (MCD), tra due o più Il minimo comune multiplo (mcm), tra due o più
numeri naturali diversi da zero, è il più grande fra numeri naturali diversi da zero, è il più piccolo fra
i loro divisori comuni.
i loro multipli comuni diversi da zero.
Divisori di 12: 1,2,3,4,6,12
Divisori di 18: 1,2,3,6,9,18
MCD (12;18)=6
Multipli di 12: 12,24,36,48,60,72,…
Multipli di 18: 18,36,54,72,…
mcm(12;18)=36
Se scomponiamo in fattori primi due o più numeri naturali:
Il MCD è il prodotto dei fattori comuni, presi una
sola volta , con l’esponente minore
Il mcm è il prodotto dei fattori comuni e non
comuni, presi una sola volta, con l’esponente
maggiore