L`insieme dei numeri naturali N
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L’insieme dei numeri naturali N Prof. Walter Pugliese Che cosa sono i numeri naturali I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,… Sono chiamati così perché sono stati i primi numeri che abbiamo conosciuto, ci sono serviti per contare. I numeri naturali hanno un ordine cioè dati due numeri naturali qualunque e diversi fra loro, è sempre possibile stabilire se il primo è minore del secondo o viceversa. Di ogni numero naturale diverso da 0 esistono sempre il precedente e il successivo La rappresentazione dei numeri naturali Poichè i numeri naturali sono ordinati, si possono rappresentare su una semiretta orientata: I punti della semiretta sono molti di più di quelli che corrispondono ai numeri naturali. Ad esempio tra 5 e 6 vi sono infiniti punti che non rappresentano numeri naturali, per questo motivo si dice che N è un insieme discreto. Le quattro operazioni Nell’insieme N si possono eseguire le quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. L’operazione potenza Se a e n sono numeri naturali: ππ = π β π β π β π β π … .β π π π π > 1 n volte π0 = 1 π π π ≠ 0 π1 = π 00 πππ è πππππππ‘π Nella potenza ππ , a è la πππ¬π, n è l′ ππ¬π©π¨π§ππ§ππ Le espressioni Un’espressione indica una serie di operazioni da svolgere con un ordine preciso. Nel calcolo, la potenza ha la precedenza su tutte le altre operazioni. Moltiplicazione e divisione hanno la precedenza su addizioni e sottrazioni. Le precedenze possono essere cambiate usando le parentesi. Vanno svolti prima i calcoli nelle parentesi tonde, poi quelli fra parentesi quadre e per ultime quelli fra parentesi graffe. Esempio di espressione Proprietà dell’addizione e della moltiplicazione L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme N perché la somma e il prodotto di due numeri naturali sono sempre numeri naturali. Si può dire anche che N è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. L’addizione gode della proprietà commutativa e associativa. La moltiplicazione gode delle proprietà commutativa, associativa, distributiva a destra rispetto all’addizione, distributiva a sinistra rispetto all’addizione 0 è l’elemento neutro dell’addizione, perché sommando 0 a un numero qualsiasi si ottiene come risultato il numero stesso. Es.: 0+9=9 5+0=0 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, perché moltiplicando 1 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto il numero stesso. Es.: 1 β 9 = 9 4 β 1 = 4 0 è l’elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione, perché moltiplicando 0 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto 0. Es.: 0 β 9 = 0 4 β 0 = 0 Leggi della monotonia Prima legge della monotonia: Seconda legge della monotonia: Aggiungendo uno stesso numero naturale ai due membri di un’uguaglianza o di una disuguaglianza, otteniamo un’uguaglianza o una disuguaglianza con lo stesso verso. Moltiplicando per uno stesso numero naturale diverso da zero i due membri di un’uguaglianza o di una disuguaglianza, otteniamo un’uguaglianza o una disuguaglianza con lo stesso verso. Es.: Es.: 4= 3+1 ↔4+8= 3+1 +8 6= 9−3 ↔6β5= 9−3 β5 2<5 ↔2+6<5+6 1<2 ↔1β3<2β3 12 > 3 ↔ 12 + 7 > 3 + 7 8>7 ↔8β3>7β3 La sottrazione La sottrazione può essere definita come l’operazione inversa dell’addizione. La differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo dà il minuendo. 9-5=4 perché 4+5=9 In N la sottrazione non è un’operazione interna: è possibile eseguirla solo se il sottraendo è minore o uguale al minuendo. 8-5=3 5-9=? Non ha un risultato in N Per la sottrazione valgono le proprietà invariantiva e distributiva della moltiplicazione La divisione La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo. Il divisore deve sempre essere diverso da zero. • • • 12:4=3 perché 3β4=12 9:0 non viene definita perché nessun numero moltiplicato per zero può dare 9 0:0 non è definita perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero In N la divisione non è un’operazione interna: • 23:5 non ha un risultato in N Per la divisione valgono le proprietà invariantiva e distributiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione. Criteri di divisibiltà N è divisibile per… se e solo se esempio 2 L’ultima cifra è divisibile per 2 1320; 2714; 316. 3 La somma delle cifre è divisibile per 3 3642 perché 3+6+4+2=15 che è divisibile per 3 4 o 25 N termina con 00 oppure il 3700 (divisibile per 4 e per 25) numero formato dalle ultime due 2312 (divisibile per 4) cifre è divisibile per 4 o per 25 7150 (divisibile per 25) 5 Termina con 0 oppure 5 290; 375. 9 La somma delle cifre è divisibile per 9 2952 perché 2+9+5+2=18 che è divisibile per 9 11 La differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari (o viceversa) è divisibile per 11 95909 perché 27 (cioè 9+9+9) – 5 (cioè 5+0) =22 che è divisibile per 11 Proprietà delle potenze Proprietà Esempio Prodotto di potenze con la stessa base ππ β ππ = ππ+π Quoziente di potenze con la stessa base ππ : ππ = ππ−π πππ π ≠ π π π ≤ π Potenza di potenza ππ π = ππβπ ππ β ππ = ππ+π = ππ πππ : πππ = πππ−π = πππ ππ π = ππβπ = ππ Prodotto di potenze con lo stesso esponente ππ β ππ = π β π π ππ β ππ = π β π π = πππ Quoziente di potenze con lo stesso esponente ππ : ππ = π: π π πππ π ≠ π π π π πππππππππ πππ π ππ : ππ = π: π π = ππ Multipli, divisori e numeri primi Consideriamo i numeri naturali a e b. Se esiste un numero naturale q tale che π = π β π, diciamo che: • • a è multiplo di b b è divisore di a Un numero naturale diverso da 0 e da 1 è un numero primo se ha come divisori solo se stesso e1 MCD e mcm Il massimo comune divisore (MCD), tra due o più Il minimo comune multiplo (mcm), tra due o più numeri naturali diversi da zero, è il più grande fra numeri naturali diversi da zero, è il più piccolo fra i loro divisori comuni. i loro multipli comuni diversi da zero. Divisori di 12: 1,2,3,4,6,12 Divisori di 18: 1,2,3,6,9,18 MCD (12;18)=6 Multipli di 12: 12,24,36,48,60,72,… Multipli di 18: 18,36,54,72,… mcm(12;18)=36 Se scomponiamo in fattori primi due o più numeri naturali: Il MCD è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta , con l’esponente minore Il mcm è il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore
