Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 1†

Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 1†
Spazi di probabilità
Si consiglia in particolare di svolgere (nell’ordine) gli esercizi numero 1, 2, 7, 10, 9, 5.
Esercizi pratici
Esercizio 1. Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori, si determini uno spazio
campionario Ω adeguato.
(a) Lancio n volte una moneta.
(b) Lancio n monete.
(c) Lancio una moneta ogni secondo, senza mai fermarmi.
(d) Lancio un dado a sei facce e una moneta.
(e) Osservo i 5 numeri estratti sulla ruota di Venezia del Lotto.
(f) Giro, una dopo l’altra, le prime 20 carte di un mazzo da 40.
Esercizio 2. Si osserva un campione di materiale radioattivo e si conta il numero di particelle
emesse in un intervallo di tempo di un minuto. Si descriva questo esperimento mediante
lo spazio campionario Ω = N0 munito della probabilità discreta Pλ associata alla densità
k
discreta di Poisson pλ (k) := e−λ λk! (dove λ > 0 è un parametro fissato).
(a) Qual è la probabilità che il numero di particelle emesse sia pari (incluso lo zero)? Qual
è la probabilità che sia dispari?
[Sugg. Si scriva lo sviluppo in serie di cosh(x) = 21 (ex + e−x ).]
(b) Qual è la probabilità che non venga emessa nessuna particella?
Esercizio 3. Si osserva un campione di materiale radioattivo e si misura l’istante di emissione
della prima particella, espresso in minuti. Descriviamo tale esperimento mediante lo spazio
misurabile (E, E) = (R, B(R)) munito della probabilità assolutamente continua Qλ associata
alla densità esponenziale fλ (x) := λ e−λx 1[0,∞) (x) (dove λ > 0 è un parametro fissato).
(a) Qual è la probabilità che l’istante di emissione sia successivo a t minuti? Nel caso
speciale t = 1, si confronti la risposta con quella data all’Esercizio 2.
(b) Qual è la probabilità che l’istante di emissione, ignorando le frazioni di minuto, sia
dato da un numero pari?
[Sugg. Si identifichi l’evento con un sottoinsieme di E formato da un’unione di intervalli.]
Esercizio 4. Ho una moneta che dà testa con probabilità q ∈ (0, 1). Considero l’esperimento
aleatorio che consiste nel lanciare la moneta ripetutamente, registrando il primo istante in cui
esce testa. Uno spazio campionario naturale per tale esperimento è Ω = N = {1, 2, 3, . . . , }.
Come vedremo, una probabilità naturale è la probabilità discreta P associata alla densità
discreta p(n) := q(1 − q)n−1 .
(a) Si verifichi che p(·) è effettivamente una densità.
(b) Qual è la probabilità che la prima testa appaia in un lancio di numero pari?
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Ultima modifica: 29 settembre 2016.
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Esercizio 5. Consideriamo un sistema fisico i cui stati sono descritti da un insieme finito
Ω. A ogni stato ω ∈ Ω corrisponde un’energia H(ω) ∈ R, ossia è definita una funzione
H : Ω → R. Supponiamo di non conoscere lo stato in cui si trova il sistema, ma di
sapere che è all’equilibrio termico alla temperatura assoluta T ∈ (0, ∞). Definiamo quindi
β := kB1T ∈ (0, ∞) (dove kB rappresenta la costante di Boltzmann). Secondo i principi della
meccanica statistica, la probabilità di osservare il sistema in uno stato ω vale
X
e−βH(ω)
pβ (ω) :=
,
dove
Zβ :=
e−βH(ω) .
Zβ
ω∈Ω
(La “costante” Zβ è detta funzione di partizione.)
(a) Si mostri che pβ è una densità discreta su Ω.
La densità discreta pβ definisce una probabilità Pβ su Ω, detta misura di Gibbs. Indichiamo
con UB la probabilità uniforme su un insieme finito B.
(b) Si mostri che limβ→0 Pβ (A) = UΩ (A), per ogni A ⊆ Ω. In altri termini, nel limite di
temperatura infinita, la misura di Gibbs “converge” alla probabilità uniforme su Ω.
Sia ora m := min{H(ω) : ω ∈ Ω} (si noti che il minimo esiste, essendo Ω un insieme finito)
e sia M := {ω ∈ Ω : H(ω) = m} l’insieme dei punti di minimo.
(c) (*) Si mostri che limβ→∞ Pβ (A) = UM (A), per ogni A ⊆ Ω. In altri termini, nel
limite di temperatura nulla, la misura di Gibbs “converge” alla probabilità uniforme
sull’insieme M dei punti di minimo dell’energia H.
Esercizio 6. (*) Le carte d’identià di un gruppo di n persone vengono mescolate e redistribuite in modo casuale. Numerando le persone (e le corrispondenti carte d’identià) da 1 a
n, possiamo descrivere questo esperimento mediante lo spazio campionario Ω = Sn delle
permutazioni dell’insieme {1, 2, . . . , n} (ossia le funzioni f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}
biunivoche) munito della probabilità uniforme.
(a) Qual è la probabilità che la persona 1 riceva la propria carta d’identità? Qual è la
probabilità che le persone 1 e 2 ricevano entrambe la propria carta d’identità?
(b) Fissato un insieme di k persone (identificato con un sottoinsieme I ⊆ {1, 2, . . . , n}
di cardinalità |I| = k), qual è la probabilità che ciascuna di queste persone riceva la
propria carta d’identità?
(c) Usando la formula di inclusione-esclusione, si mostri che la probabilità pn che almeno
k+1
P
una persona riceva la propria carta d’identità vale pn = nk=1 (−1)k! .
Esercizi teorici
Esercizio 7. Ricordiamo che su insiemi Ω finiti o numerabili si considera sempre la σ-algebra
P(Ω) di tutte le parti.
(a) Sia Ω un insieme finito. Si mostri che esiste un’unica probabilità P su Ω tale che la
probabilità dei singoletti P({ω}) = c è costante (non dipende da ω ∈ Ω).
(b) Sia ora Ω un insieme infinito numerabile (ad es. Ω = N). Si mostri che non esiste
alcuna probabilità P su Ω tale che la probabilità dei singoletti P({ω}) = c è costante.
Esercizio 8. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia I ∈ A un evento con P(I) = 1. Si
mostri che, per ogni evento A ∈ A, si ha P(A) = P(A ∩ I).
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Esercizio 9. (*) Sia (Ω, A) uno spazio misurabile. Supponiamo che la σ-algebra A contenga
i singoletti, ossia {ω} ∈ A per ogni ω ∈ Ω. Ricordiamo che una probabilità P su (Ω, A) si
dice discreta se esiste una densità discreta p : Ω → R tale che
X
P(A) =
p(ω) ,
∀A ∈ A .
(?)
ω∈A
(Una densità discreta deve soddisfare p(ω) ≥ 0 per ogni ω, e
Si mostri che le seguenti condizioni sono equivalenti.
P
ω∈Ω p(ω)
= 1.)
(a) P è una probabilità discreta.
P
(b) Vale la formula ω∈Ω P({ω}) = 1.
(c) Esiste un sottoinsieme I ⊆ Ω finito o numerabile tale che P(I) = 1.
[Sugg. Si mostrino le implicazioni (a) ⇒ (b), (b) ⇒ (c), (c) ⇒ (a) e si sfrutti l’Esercizio 8.]
Esercizio 10. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia (An )n∈N una successione di
eventi.
S
(a) Si mostri che se P(An ) = 0 per ogni n ∈ N allora P( n∈N An ) = 0.
T
(b) Si mostri che se P(An ) = 1 per ogni n ∈ N allora P( n∈N An ) = 1.
[Sugg.: Ricordarsi della subadditività della probabilità.]
Esercizio 11. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità. Si mostri che la famiglia di insiemi
F := (A ∈ A : P(A) ∈ {0, 1})
è una σ-algebra.
Esercizio 12. Siano A, B eventi di uno spazio di probabilità (Ω, A, P). Ricordiamo che
A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) .
Si mostri che vale la formula P(A 4 B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B).
Esercizio 13 (Formula di inclusione-esclusione). Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P),
siano A1 , A2 , . . . , An ∈ A eventi. Si dimostri per induzione che
!
n
X
X
\
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) =
(−1)k+1
P
Ai .
k=1
J⊆{1,2,...,n}
tali che |J|=k
i∈J