Foglio n. 1 - e-Learning

Calcolo delle Probabilità 2015/16 – Foglio di esercizi 1†
Spazi di probabilità.
Si consiglia di svolgere in particolare gli esercizi dal numero 1 al numero 6.
Esercizio 1. Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori, si determini uno spazio
campionario Ω adeguato.
(a) Lancio n volte una moneta.
(b) Lancio n monete.
(c) Lancio una moneta ogni secondo, senza mai fermarmi.
(d) Lancio un dado a sei facce e una moneta.
(e) Osservo i 5 numeri estratti sulla ruota di Venezia del Lotto.
(f) Giro, una dopo l’altra, le prime 20 carte di un mazzo da 40.
Esercizio 2. Si osserva un campione di un certo materiale radioattivo e si conta il numero
di particelle emesse in un intervallo di tempo di un minuto. Si descriva questo esperimento
mediante lo spazio campionario Ω = N0 munito della probabilità discreta Pλ associata alla
k
densità discreta di Poisson pλ (k) := e−λ λk! (dove λ > 0 è un parametro fissato).
(a) Qual è la probabilità che il numero di particelle emesse sia pari (incluso lo zero)? Qual
è la probabilità che sia dispari?
[Sugg. Si scriva lo sviluppo in serie di cosh(x) = 21 (ex + e−x ).]
(b) Qual è la probabilità che non venga emessa nessuna particella?
Misuriamo ora, sempre per lo stesso campione, l’istante di emissione della prima particella
radioattiva, espresso in minuti. Descriviamo tale esperimento mediante lo spazio misurabile
(E, E) = (R, B(R)) munito della probabilità assolutamente continua Qλ associata alla densità
esponenziale fλ (x) := λ e−λx 1[0,∞) (x) (dove λ > 0 è un parametro fissato).
(c) Qual è la probabilità che l’istante di emissione sia successivo a t minuti? Nel caso
speciale t = 1, si confronti la risposta con quella data al punto precedente.
Esercizio 3. Le carte d’identià di un gruppo di n persone vengono mescolate e redistribuite
in modo casuale. Numerando le persone (e le corrispondenti carte d’identià) da 1 a n,
possiamo descrivere questo esperimento mediante lo spazio campionario Ω = Sn delle
permutazioni dell’insieme {1, 2, . . . , n} (ossia le funzioni f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}
biunivoche) munito della probabilità uniforme.
(a) Qual è la probabilità che la persona 1 riceva la propria carta d’identità? Qual è la
probabilità che le persone 1 e 2 ricevano entrambe la propria carta d’identità?
(b) Fissato un insieme di k persone (identificato con un sottoinsieme I ⊆ {1, 2, . . . , n}
di cardinalità |I| = k), qual è la probabilità che ciascuna di queste persone riceva la
propria carta d’identità?
(c) (*) Usando la formula di inclusione-esclusione, si mostri che la probabilità pn che
k+1
P
almeno una persona riceva la propria carta d’identità vale pn = nk=1 (−1)k! .
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Ultima modifica: 8 ottobre 2015.
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Esercizio 4. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia (An )n∈N una successione di eventi.
S
(a) Si mostri che se P(An ) = 0 per ogni n ∈ N allora P( n∈N An ) = 0.
T
(b) Si mostri che se P(An ) = 1 per ogni n ∈ N allora P( n∈N An ) = 1.
[Sugg.: Ricordarsi della subadditività della probabilità.]
Esercizio 5. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità. Si mostri che la famiglia di insiemi
F := (A ∈ A : P(A) ∈ {0, 1})
è una σ-algebra.
Esercizio 6. Siano A, B eventi di uno spazio di probabilità (Ω, A, P). Ricordiamo che
A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) .
Si mostri che vale la formula P(A 4 B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B).
Esercizio 7 (Formula di inclusione-esclusione). Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P),
siano A1 , A2 , . . . , An ∈ A eventi. Si dimostri per induzione che
!
n
X
X
\
k+1
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) =
(−1)
P
Ai .
k=1
J⊆{1,2,...,n}
tali che |J|=k
i∈J
Esercizio 8. Siano A, (Ak )k∈N sottoinsiemi di un’insieme fissato Ω.
(a) Si mostri che Ak ↑ A se e solo se Ack ↓ Ac .
(b) Supponiamo che Ak ↑ A e poniamo Bk := Ak ∪ Ac per k ∈ N. Si mostri che Bk ↑ Ω.
Sk
(c) Siano (Ci )i∈N
S insiemi arbitrari e poniamo Ak := i=1 Ci per k ∈ N. Si mostri che
Ak ↑ A := i∈N Ci .
(d) Supponiamo che Ak ↑ A e poniamo Ck := Ak \ Ak−1 per k ∈ N (con A0 := ∅). Si
mostri che:
• gli insiemi (Ck )k∈N sono a due a due disgiunti: Ck ∩ Cl = ∅ per ogni k 6= l;
S
• nk=1 Ck = An per ogni n ∈ N;
S
• k∈N Ck = A.
Esercizio 9. Sia Ω = {ω1 , . . . , ωn } un insieme di n ∈ N elementi. Si consideri A = P(Ω),
la σ-algebra ottenuta prendendo l’insieme delle parti di Ω. Provare che la cardinalità di A è
pari a 2n .
Esercizio 10. Sia Ω 6= ∅ un insieme
fissato e si consideri una sua partizione finita A1 , . . . , An
S
(ossia Ai ∩ Aj = ∅ per i 6= j e ni=1 Ai = Ω). Si consideri A = σ(A1 , . . . , An ), la σ-algebra
generata da tale partizione. Provare che la cardinalità di A è pari a 2n .