Capitolo 7 Integrale di Riemann

Capitolo 7
Integrale di Riemann
In questo capitolo svilupperemo la teoria dell’integrazione secondo Riemann per funzioni
di una variabile reale.
7.1
Motivazioni
Consideriamo i seguenti problemi.
1. Calcolo di un’area. Sia f : [a, b] ! R una funzione continua e positiva il cui grafico sia
quello rappresentato in figura.
y
a
b
x
L’area A della figura compresa tra il grafico di f e il segmento [a, b] riportato sull’asse delle x non è calcolabile elementarmente se il grafico di f non è rettilineo. Un modo
per calcolare A può essere quello di usare il seguente processo di approssimazione. Dividiamo l’intervallo [a, b] tramite dei punti di suddivisione x1 , x2 , . . . , xn e poniamo per
comodità x0 = a e xn+1 = b. Sia Ij l’intervallo [xj , xj+1 ]. Se Ij è abbastanza piccolo, la
variazione di f su Ij sarà piccola, cioè f sarà approssimativamente costante. Sia ⇠j 2 Ij :
173
7.1. MOTIVAZIONI
A.A. 2016-2017
un’approssimazione dell’area Aj sottesa da f su Ij è dunque
Aj ⇡ f (⇠j )(xj+1
xj ).
Concludiamo che un’approssimazione di A è data dalla somma delle Aj , cioè
A ⇡ Ã =
(7.1)
n
X
f (⇠j )(xj+1
xj ).
j=0
Se la scelta dei punti di suddivisione è operata in modo da risultare abbastanza fitta, ci si
aspetta che à sia una buona approssimazione di A: anzi, più la suddivisione è fitta, più Ã
si avvicinerà ad A.
y
y = f (x)
a
x1
x2
b
x
2. Calcolo della massa di una trave. Consideriamo una trave di lunghezza L riportata
sull’asse reale in modo che un estremo sia in x = 0 e l’altro in x = L. Sia ⇢(x) la densità di
massa per unità di lunghezza nel punto x 2 [0, L]: ciò significa che una piccola zona di
lunghezza " vicino a x ha massa
m" ⇡ ⇢(x)".
0
L
x
La funzione ⇢(x) non è supposta continua: in questo modo è possibile tenere conto del
fatto che la trave sia composta di diversi materiali nelle sue diverse parti, un caso che
può essere utile nelle applicazioni.
Un’approssimazione della massa M della trave può ottenersi nel seguente modo: scegliamo dei punti di suddivisione x1 , x2 , . . . , xn , ponendo per comodità x0 = 0 e xn+1 = L, ed includendo in essi i punti di discontinuità di ⇢. Se l’intervallo Ij = [xj , xj+1 ] è sufficientemente
piccolo, la massa del tratto Ij è data circa da
mj ⇡ ⇢(⇠j )(xj+1
174
xj )
A.A. 2016-2017
7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE
dove ⇠j è un punto di Ij , ad esempio il suo punto medio. Dunque un’approssimazione della
massa M della trave è data dall’espressione
n
X
M ⇡ M̃ =
⇢(⇠j )(xj+1
xj ).
j=0
All’infittirsi della suddivisione, M̃ diverrà un’approssimazione sempre migliore di M . Abbiamo ottenuto un risultato simile a quello della formula (7.1).
7.2
Definizione di integrale
Sia [a, b] ✓ R un intervallo limitato con a < b, e sia f : [a, b] ! R una funzione limitata,
cioè esiste una costante M 0 tale che per ogni x 2 [a, b]
M  f (x)  M.
Diamo ora una formulazione matematica rigorosa delle idee viste nella sezione precedente.
1. Diciamo che S = {x0 , x1 , . . . , xn+1 } è una suddivisione di [a, b] se
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 = b.
2. Sia ⇠j 2 [xj , xj+1 ]: diremo che la quantità
n
X
f (⇠j )(xj+1
xj )
j=0
è una somma di Riemann di f relativa alla suddivisione S. Come visto nella sezione
precedente, le somme di Riemann nascono in modo naturale nelle applicazioni.
3. Poniamo
0
⌃ (f, S) =
n 
X
j=0
e
00
⌃ (f, S) =
n
X
j=0
inf
f (x) (xj+1
xj )
sup
#
xj )
x2[xj ,xj+1 ]
"
x2[xj ,xj+1 ]
f (x) (xj+1
I numeri reali ⌃0 (S, f ) e ⌃00 (S, f ) si chiamano rispettivamente somma inferiore e somma
superiore associate alla funzione f e alla suddivisione S. Chiaramente, ogni somma di
Riemann relativa a S è compresa tra ⌃0 (f, S) e ⌃00 (f, S).
175
7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE
A.A. 2016-2017
y
y = f (x)
a
x1
x
b
4. Diciamo che una suddivisione T è un raffinamento della suddivisione S se T contiene i
punti di suddivisione di S, cioè S ✓ T . In tal caso si ha che
⌃0 (f, S)  ⌃0 (f, T )
e
⌃00 (f, S)
⌃00 (f, T ).
E’ facile capire queste relazioni nel caso in cui T si ottiene da S aggiungendo un punto
di suddivisione ⇠: il risultato generale discende da questo, aggiungendo un punto alla
volta. Se S = {a, x1 , b} e T = {a, x1 , ⇠, b} si ha per le somme inferiori quanto mostrato
in figura. Dunque ”raffinando” la suddivisione di [a, b] la somma inferiore cresce, mentre
quella superiore decresce.
y
y
a
x1
b x
a
x1
⇠
b
x
5. Poniamo
I 0 (f ) = sup ⌃0 (f, S) e I 00 (f ) = inf ⌃00 (f, S).
S
S
I numeri reali I 0 (f ) e I 00 (f ) si dicono rispettivamente integrale inferiore e integrale
superiore di f su [a, b].
176
A.A. 2016-2017
7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE
Abbiamo immediatamente la disuguaglianza I 0 (f )  I 00 (f ).
6. Possiamo ora dare la definizione di integrabilità nel senso di Riemann.
Definizione 7.1 (Integrabilità secondo Riemann). Siano a, b 2 R con a < b, e sia
f : [a, b] ! R una funzione limitata. Diciamo che f è integrabile secondo Riemann se
I 0 (f ) = I 00 (f ). Tale valore si dice l’integrale di f sull’intervallo [a, b] e si indica con i
simboli
Z
Z
b
b
f (x) dx
oppure
f dx,
a
a
Poiché in questo corso useremo solo l’integrazione secondo Riemann, ometteremo di
indicare che l’integrabilità
è intesa nel senso di Riemann.
Rb
Se f è positiva, a f (x) dx può interpretarsi come l’area compresa tra l’asse delle ascisse
e il grafico di f .
y
y = f (x)
a
b
x
Rb
Nel caso in cui f (x)  0 per ogni x 2 [a, b], a f (x) dx rappresenta l’area tra f e l’asse
Rb
delle ascisse ma con il segno negativo. Se f cambia segno sull’intervallo [a, b], a f (x) dx
tiene conto del ”bilanciamento” tra le aree positive e quelle negative.
y
y = f (x)
a
b
177
x
7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE
A.A. 2016-2017
7. La seguente proposizione contiene una caratterizzazione della classe delle funzioni integrabili.
Proposizione 7.2 (C.n.s. per l’integrabilità ). Siano a, b 2 R con a < b, e sia
f : [a, b] ! R una funzione limitata. Allora f è integrabile se e solo se per ogni " > 0
esiste una suddivisione S" di [a, b] tale che
⌃00 (f, S" )
(7.2)
⌃0 (f, S" ) < ".
y
a
x1
x2
x3
x4
x5
b
x
Geometricamente possiamo interpretare il risultato in questo modo: f è integrabile se
e solo se il suo grafico può ricoprirsi con un numero finito di rettangoli associati ad una
suddivisione la somma delle cui aree è piccola a piacere.
Dimostrazione. Supponiamo che f sia integrabile, cioè che si abbia I 0 (f ) = I 00 (f ). Sia
" > 0. Possiamo trovare due suddivisioni T1 e T2 di [a, b] tali che
I 0 (f ) < ⌃0 (f, T1 ) +
"
2
"
e ⌃00 (f, T2 ) < I 00 (f ) + .
2
Considerando la suddivisione S" = T1 [ T2 si ha
I 0 (f ) < ⌃0 (f, S" ) +
Otteniamo
⌃00 (f, S" ) < I 00 (f ) +
"
2
"
e ⌃00 (f, S" ) < I 00 (f ) + .
2
"
"
" "
= I 0 (f ) + < ⌃0 (f, S" ) + +
2
2
2 2
da cui
⌃00 (f, S" )
⌃0 (f, S" ) < ".
Dunque S" è la suddivisione cercata.
Viceversa supponiamo che per ogni " > 0 esista una suddivisione S" di [a, b] tale che
⌃00 (f, S" )
⌃0 (f, S" ) < ".
178
A.A. 2016-2017
7.3. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI
Allora si ha
I 00 (f )  ⌃00 (f, S" ) < ⌃0 (f, S" ) + "  I 0 (f ) + ".
Poiché " è arbitrario, si ha I 00 (f )  I 0 (f ). Poiché è sempre I 0 (f )  I 00 (f ), si ottiene
I 0 (f ) = I 00 (f ), cioè f è integrabile.
8. Sia S" una suddivisione di [a, b] tale che valga (7.2), e sia
⌃=
n
X
f (⇠j )(xj+1
xj )
j=0
una somma di Riemann associata a S" . Dalle disuguaglianze
⌃0 (f, S" )  ⌃  ⌃00 (f, S" )
e
0
⌃ (f, S" ) 
ricaviamo la disuguaglianza
Z
(7.3)
Z
b
a
f (x) dx  ⌃00 (f, S" )
b
f (x) dx
⌃ < ".
a
Dunque una qualsiasi somma di Riemann relativa a S" fornisce una buona approssimazione
dell’integrale di f su [a, b].
7.3
Classi di funzioni integrabili
In questa sezione vediamo che la classe di funzioni integrabili è molto ampia cosı̀ da coprire
gran parte delle funzioni utili nelle applicazioni all’ingegneria.
1. È coveniente scrivere la di↵erenza tra una somma superiore ed una somma inferiore nel
seguente modo
⌃00 (f, S)
⌃0 (f, S) =
n
X
[ sup f ](xj+1
xj )
j=0 [xj ,xj+1 ]
=
n
X
[ sup f
j=0 [xj ,xj+1 ]
n
X
j=0
inf
[xj ,xj+1 ]
f ](xj+1
[ inf
[xj ,xj+1 ]
xj ) =
n
X
f ](xj+1
osc(f, [xj , xj+1 ])(xj+1
j=0
dove osc(f, [xj , xj+1 ]) indica l’oscillazione di f sull’intervallo [xj , xj+1 ].
Vale il seguente risultato.
179
xj )
xj ),
7.3. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI
A.A. 2016-2017
Teorema 7.3. Le funzioni f : [a, b] ! R continue sono integrabili.
Dimostrazione. Sia " > 0. Dividiamo [a, b] in n-intervalli uguali con n cosı̀ grande che su
ogni sottointervallo [xj , xj+1 ] della suddivisione S associata si abbia
"
osc(f, [xj , xj+1 ]) 
.
b a
Ciò è possibile essendo f continua e dunque uniformemente continua su [a, b] per il teorema
di Heine. Si ha allora vista la riscrittura di ⌃00 (f, S) ⌃0 (f, S) in termini di oscillazione
00
⌃ (f, S)
0
⌃ (f, S) =
n
X
osc(f, [xj , xj+1 ])(xj+1
j=0
xj ) 
"
b
b
a n
a
n = ".
Dunque f soddisfa alla condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità .
Osservazione 7.4. In termini geometrici, possiamo dire che il grafico di f : [a, b] ! R
continua può ricoprirsi con un numero finito di rettangoli associati ad una suddivisione la
somma delle cui aree è piccola a piacere.
2. Siamo però interessati ad integrare anche funzioni discontinue (come nell’esempio del calcolo della massa). Una classe di funzioni discontinue molto utili nelle applicazioni sono le
funzioni continue a tratti.
Definizione 7.5. Diciamo che f : [a, b] ! R è continua a tratti se esiste una suddivisione
S = {x0 , x1 , . . . , xn+1 } di [a, b] tale che f è continua su ogni intervallo aperto ]xj , xj+1 [ ed
esistono finiti i limiti
lim+ f (x) e
lim f (x).
x!xj
x!xj+1
Un grafico tipico di funzioni continue a tratti è il seguente.
y
a
c
b
x
Poiché il grafico delle funzioni continue a tratti è contenuto nell’unione di un numero
finito di grafici di funzioni continue e di un insieme finito di punti, l’integrabilità delle
funzioni continue implica immediatamente il seguente risultato.
180
A.A. 2016-2017
7.4. PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE
Teorema 7.6. Le funzioni f : [a, b] ! R continue a tratti sono integrabili.
y
a
c
x
b
3. Non tutte le funzioni limitate sono integrabili. Ad esempio non lo è la funzione f : [0, 1] !
R data da
(
1 se x è razionale
f (x) =
0 se x è irrazionale
poiché I 0 (f ) = 0 e I 00 (f ) = 1. f è detta funzione di Dirichlet.
7.4
Proprietà dell’integrale
Vediamo ora alcune proprietà del calcolo integrale molto utili nelle applicazioni.
1. Siano a, b 2 R con a < b e f, g : [a, b] ! R due funzione integrabili, e siano ↵, ,
può innanzitutto dimostrare che le funzioni
f + g,
2 R. Si
|f |
f,
e la restrizione di f a qualsiasi sottointervallo sono a loro volta integrabili. Inoltre valgono
le seguenti proprietà .
(a) Linearità : per ogni ↵, 2 R
Z b
Z b
Z b
(↵f (x) + g(x)) dx = ↵
f (x) dx +
g(x) dx;
a
a
a
(b) Confronto: se f (x)  g(x) per ogni x 2 [a, b], si ha
Z b
Z b
f (x) dx 
g(x) dx;
a
a
181
7.5. LA MEDIA INTEGRALE
A.A. 2016-2017
(c) Suddivisione: se c 2]a, b[
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx;
a
a
(d) Confronto con il modulo:
Z
c
b
a
f (x) dx 
Z
b
a
|f (x)| dx.
2. Se la funzione f è definita su un intervallo simmetrico rispetto all’origine, cioè del tipo [ a, a] con a > 0, e f possiede particolari simmetrie, esse si riflettono sul calcolo
dell’integrale. Se f : [ a, a] ! R è una funzione pari (cioè f ( x) = f (x)), allora
Z a
Z a
f (x) dx = 2
f (x) dx.
a
0
y
a
b
x
Se invece f è una funzione dispari (cioè f ( x) = f (x)) si ha
Z a
f (x) dx = 0.
a
7.5
La media integrale
L’integrale può essere usato per fornire una generalizzazione del concetto di media per
grandezze che variano.
1. Per capire il collegamento tra l’integrale ed il concetto di media, torniamo al caso delle
funzioni continue. Abbiamo visto che esse sono integrabili considerando la suddivisione
182
A.A. 2016-2017
7.5. LA MEDIA INTEGRALE
y
a
x
b
S di [a, b] in n intervalli uguali di ampiezza (b a)/n e vedendo che relativamente ad
essa, somma inferiore e somma superiore si scostano di una quantità sempre più piccola
al crescere di n. Scegliamo un punto ⇠i qualsiasi all’interno dell’i-esimo intervallo: per
definizione di somma inferiore e superiore abbiamo la disuguaglianza
⌃0 (f, S)  f (⇠1 )
b
a
n
+ f (⇠2 )
b
a
n
+ · · · + f (⇠n )
b
a
n
 ⌃00 (f, S).
Poiché ⌃0 (f, S) e ⌃00 (f, S) sono sempre più vicini tra loro e vicini all’integrale di f al crescere
di n, concludiamo che per n sempre più grande la quantità
Z b
f (⇠1 ) + f (⇠2 ) + · · · + f (⇠n )
(b a) ⇡
f (x) dx
n
a
e cioè
f (⇠1 ) + f (⇠2 ) + · · · + f (⇠n )
1
⇡
n
b a
Z
b
f (x) dx.
a
Dunque l’integrale di f diviso per b a rappresenta una sorta di media aritmetica dei
valori della f (i valori di f sono infiniti, noi abbiamo operato in un certo senso un
campionamento).
2. In base a quanto visto, siamo portati a dare la seguente definizione.
Definizione 7.7. Sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile. Diciamo media integrale di
f su [a, b] il valore
Z b
1
Mf =
f (x) dx.
b a a
Osservazione 7.8. Scrivendo la relazione precedente nella forma
Z b
f (x) dx = Mf (b a),
a
183
7.5. LA MEDIA INTEGRALE
A.A. 2016-2017
deduciamo che Mf ha il seguente significato geometrico: tenendo conto della convenzione
sui segni sulle aree, l’area associata al grafico di f è equivalente ad un rettangolo di base
b a e altezza Mf .
Osservazione 7.9. Bisogna notare che se f è discontinua, il valore Mf è un valore medio
in un senso molto debole. Sicuramente
inf f  Mf  sup f
[a,b]
[a,b]
ma non è detto che esista x 2 [a, b] tale che f (x) = Mf : in altre parole Mf potrebbe non
essere mai assunto dalla funzione. Questa situazione capita ad esempio per la funzione
riportata in figura:
y
2
1
1
2
x
Si ha infatti Mf = 3/2, ed f assume solo i valori 1 e 2.
3. Nel caso delle funzioni continue, la media integrale Mf è e↵ettivamente un valore assunto
da f .
Teorema 7.10 (Teorema della media). Sia f : [a, b] ! R una funzione continua. Allora
esiste c 2 [a, b] tale che f (c) = Mf e cioè
Z b
f (x) dx = f (c)(b a).
a
Dimostrazione. Siano m e M il minimo ed il massimo di f su [a, b]: dalla disuguaglianza
8x 2 [a, b] : m  f (x)  M,
integrando su [a, b] ed utilizzando la proprietà del confronto si ha la disuguaglianza
Z b
m(b a) 
f (x) dx  M (b a),
a
184
A.A. 2016-2017
che dividendo per b
7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO
a porta a
m  Mf  M.
Essendo continua, per il teorema dei valori intermedi si ha che esiste c 2 [a, b] tale che
f (c) = Mf , ed il teorema è cosı̀ dimostrato.
y
f (c)
a
7.6
c
b
x
I teoremi fondamentali del calcolo
In questa sezione collegheremo il problema dell’integrazione al problema del calcolo della
primitiva di una funzione: in ciò consistono i teoremi fondamentali del calcolo.
7.6.1
Il problema della primitiva
Sia I ✓ R un intervallo aperto, e siano f : I ! R e F : I ! R due funzioni. Diciamo che
F è una primitiva di f su I se F è derivabile su I e si ha
8x 2 I : F 0 (x) = f (x).
Ad esempio, F (x) = x2 è una primitiva su R di f (x) = 2x, cosı̀ come G(x) =
primitiva su R di g(x) = cos(2x).
sin(2x)
2
è una
1. L’insieme delle primitive di f (se esistono) si usa indicare con il simbolo
Z
f (x) dx;
la scelta del simbolo già anticipa il legame con il problema dell’integrazione. Geometricamente, una primitiva F di f è una funzione tale che per ogni x0 2 I la tangente al grafico
di F nel punto x0 è una retta il cui coefficiente angolare è proprio pari a f (x0 ).
185
7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO
y
A.A. 2016-2017
y = F (x)
y = mx + q con m = F 0 (x0 ) = f (x0 )
x0
x
2. Il problema delle primitive può enunciarsi cosı̀ :
determinare l’insieme di tutte le primitive su I della funzione f : I ! R.
Tale problema non è a↵atto semplice: innanzitutto f potrebbe non ammettere primitive
(vedi gli esercizi per un esempio esplicito); oppure potrebbe ammetterne, ma esse non
risultano facili da calcolare esplicitamente. Una cosa che possiamo facilmente notare è che
se f ammette una primitiva F , allora anche F + c, con c 2 R, è una primitiva di f : infatti
derivando si ha che la costante sparisce, cosı̀ che
(F + c)0 (x) = F 0 (x) = f (x).
Lo stesso fatto può capirsi geometricamente in termini di traslazioni del grafico di F .
y
y = F (x) + c
y = F (x)
x0
x
186
A.A. 2016-2017
7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO
Infatti traslando in verticale il grafico di F , si ottiene una nuova curva tale che la retta
tangente nel punto x0 ha chiaramente inclinazione pari ancora a f (x0 ): dunque la nuova
funzione è ancora una primitiva di f . Concludiamo che se l’insieme delle primitive
è non vuoto, esso contiene infinite funzioni, in particolare quelle ottenute sommando
una costante arbitraria.
Su un intervallo I, questo è l’unico modo di costruire nuove primitive.
Proposizione 7.11 (Due primitive su un intervallo di↵eriscono per una costante).
Sia F una primitiva di f sull’intervallo I. Allora
Z
f (x) dx = {F + c : c 2 R}
cioè ogni altra primitiva F̃ di f è del tipo F (x) + c con c 2 R.
Dimostrazione. Se infatti F̃ è un’altra primitiva di f , si ha F̃ 0 = F 0 , da cui
(F̃
F )0 = 0.
Per il Teorema della derivata nulla si ha F̃ = F + c con c 2 R.
3. Il ragionamento geometrico sopra illustrato può farci capire che la caratterizzazione dell’insieme delle primitive di f come le funzioni del tipo F + c cessa di valere se il dominio di f
non è un intervallo: se infatti il grafico di F si compone di più pezzi, cioè il dominio è dato
dall’unione di più intervalli, allora ogni tratto del grafico può essere traslato in maniera
indipendente dagli altri. Di conseguenza la generica primitiva di f può venire a dipendere
da tante costanti arbitrarie.
y
y
x
x
187
7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO
A.A. 2016-2017
Ad esempio la funzione
1
x2
ammette come primitive tutte le funzioni della forma
(
1
+ c1 se x < 0
x
F (x) = 1
+ c2 se x > 0
x
f (x) =
con in generale c1 6= c2 .
4. Per formulare i teoremi fondamentali del calcolo, abbiamo bisogno delle seguente convenzione sui segni. Se f : [a, b] ! R è integrabile e se ↵, 2 [a, b] con ↵ < , poniamo
Z
Z
↵
f (x) dx = 0 e
↵
Z
↵
f (x) dx =
f (x) dx.
↵
Anche con questa convenzione abbiamo che per ogni ↵, ,
Z
f (x) dx =
↵
Z
f (x) dx +
↵
Z
2 [a, b] si ha
f (x) dx,
cioè vale ancora una formula di suddivisione per l’integrale.
7.6.2
Il primo teorema fondamentale del calcolo
Possiamo enunciare ora il primo teorema fondamentale del calcolo: grazie ad esso vediamo che il procedimento di integrazione fornisce l’esistenza di una primitiva per funzioni
continue.
Teorema 7.12 (Primo Teorema Fondamentale del Calcolo). Siano I ✓ R un
intervallo e f : I ! R una funzione continua. Sia A : I ! R definita da
Z x
A(x) =
f (t) dt
a
dove a 2 I. Allora A è derivabile su I con A0 = f .
Dimostrazione. Notiamo che la funzione A è ben definita essendo f continua e dunque
integrabile sull’intervallo di estremi a e x (con eventualmente la convenzione sui segni se
x < a). La derivata di A in x0 2 I è data dal limite del rapporto incrementale
lim
x!x0
A(x)
x
188
A(x0 )
.
x0
A.A. 2016-2017
7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO
Inoltre abbiamo che
Z
Z
x
A(x) A(x0 ) =
f (t) dt
a
Z x0
Z x
=
f (t) dt +
f (t) dt
a
x0
Z x
=
f (t) dt.
x0
f (t) dt
a
Z
x0
f (t) dt
a
x0
Se x > x0 , per il teorema della media esiste ⇠x 2 [x0 , x] tale che
Z x
f (t) dt = f (⇠x )(x x0 ).
x0
Se x < x0 , per la convenzione sui segni si ha
Z x
f (t) dt =
Z
x0
x0
f (t) dt
x
cosı̀ che per il teorema della media esiste ⇠x 2 [x, x0 ] tale che
Z x
f (t) dt = f (⇠x )(x0 x) = f (⇠x )(x
x0 ).
x0
Concludiamo che per ogni x (maggiore o minore di x0 ) esiste ⇠x appartenente all’intervallo
determinato da x0 e x tale che
A(x)
e cioè
A(x0 ) = f (⇠x )(x
A(x)
x
x0 )
A(x0 )
= f (⇠x ).
x0
Facciamo ora tendere x ! x0 : si ha ⇠x ! x0 , ed essendo f continua f (⇠x ) ! f (x0 ).
Dunque si ha
A(x) A(x0 )
= f (x0 )
lim
x!x0
x x0
e la tesi è dimostrata.
Osservazione 7.13. Il risultato del primo teorema fondamentale del calcolo può essere
capito tramite il seguente ragionamento geometrico: la quantità
A(x)
A(x0 )
rappresenta l’area della regione Rx determinata da f sull’intervallo [x0 , x].
189
7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO
y
A.A. 2016-2017
y = f (x)
x0
x
x
Rx è un poligono con un lato curvilineo, quello relativo al grafico di f che congiunge i
punti (x0 , f (x0 )) e (x, f (x)): essendo f continua, per h piccolo il lato curvilineo di↵erisce
poco da quello orizzontale ad altezza f (x0 ). L’area di Rx è dunque approssimativamente
quella del rettangolo di base [x0 , x] e altezza f (x0 ), e tale approssimazione è sempre migliore
al tendere di x a x0 . Ricaviamo
A(x)
A(x0 ) ⇡ f (x0 )(x
x0 )
da cui
A(x) A(x0 )
= A0 (x0 ) = f (x0 )
x x0
Questo ragionamento intuitivo mostra che il risultato del teorema è valido nella sola ipotesi
della continuità di f in x0 : per questo si vedano gli Esercizi.
lim
x!x0
Come conseguenza del Primo Teorema Fondamentale del Calcolo deduciamo la risolubilità del problema della primitiva per funzioni continue.
Teorema 7.14. Siano I ✓ R un intervallo e f : I ! R una funzione continua. Tutte le
primitive di f su I sono del tipo
F (x) = A(x) + c
dove
A(x) =
con a 2 I e c 2 R.
Z
x
f (t) dt,
a
Dimostrazione. Abbiamo infatti dal primo teorema fondamentale del calcolo che A(x)
è una primitiva di f . Essendo I un intervallo, abbiamo allora che ogni altra primitiva
si ottiene da A(x) sommando una costante.
Osservazione 7.15. Possiamo dire che il problema della primitiva per f : I ! R continua
si risolve tramite la teoria dell’integrazione (determinazione di A(x)).
190
A.A. 2016-2017
7.6.3
7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO
Il secondo teorema fondamentale del calcolo
Guardiamo ora il legame tra primitiva ed integrazione osservato al punto precedente nel
senso opposto. Di questo si occupa il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo.
Teorema 7.16 (Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo). Siano I ✓ R un
intervallo, e sia f : I ! R una funzione continua. Allora per ogni a, b 2 I si ha
Z
b
f (x) dx = F (b)
F (a)
a
dove F è una qualsiasi primitiva di f .
Dimostrazione. Sappiamo che
F (x) = A(x) + c =
Z
x
f (t) dt + c.
a
Se scegliamo x = a, si ottiene
F (a) =
Z
a
f (t) dt + c = c
a
e cioè c = F (a). Si ha dunque
F (x) =
Sostituendo x = b si ha
F (b) =
da cui
Z
Z
x
f (t) dt + F (a).
a
Z
b
f (t) dt + F (a)
a
b
f (t) dt = F (b)
F (a).
a
Osservazione 7.17. Si scrive spesso F (b) F (a) = [F (x)]ba cosı̀ che la conclusione del
teorema si scrive
Z b
f (x) dx = [F (x)]ba .
a
Osservazione 7.18. Possiamo dire che il procedimento di integrazione di una funzione continua f si può risolvere tramite la determinazione di una primitiva.Vediamo alcuni
esempi.
191
7.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE
1. Calcolare
R5
1
A.A. 2016-2017
x3 dx. Una primitiva su R di f (x) = x3 è F (x) =
✓
Dunque
x4
4
Z
5
◆0
cos 2x
.
2
Una primitiva di sin(2x) è
Z
⇡
2
sin(2x) dx =
0


5
x4
x dx =
4
2. Calcolare
poiché
1
1
= (x4 )0 = 4x3 = x3 .
4
4
3
1
x4
4
Z
⇡
2
=
54
1
4
1
.
sin(2x) dx.
0
Dunque
cos 2x
2
⇡/2
=
0
cos ⇡ 1
1 1
+ = + = 1.
2
2
2 2
Osservazione 7.19. Il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo sposta l’attenzione
dalle somme inferiori e superiori al problema di trovare una primitiva. A partire dalle regole
di derivazione, bisogna dunque capire cosa succede andando ”all’indietro”. Il teorema
è dunque efficace per risolvere gli integrali se abbiamo un bagaglio sufficientemente ampio
di funzioni di cui sappiamo calcolare la primitiva.
Osservazione 7.20. Se f : I ! R è derivabile con derivata continua, si ha
Z
7.7
b
f 0 (x) dx = f (b)
f (a).
a
Formule di integrazione
In questa sezione vediamo due procedimenti di integrazione molto utili nelle applicazioni:
l’integrazione per parti e l’integrazione per sostituzione.
7.7.1
Integrazione per parti
L’integrazione per parti riguarda essenzialmente l’integrazione di funzioni che si presentano
sotto forma di prodotto.
Proposizione 7.21 (Calcolo dell’integrale per parti). Sia I un intervallo in R e siano
f, g : I ! R due funzioni derivabili con derivata continua. Allora per ogni a, b 2 I abbiamo
che
Z
Z
b
a
f (x)g 0 (x) dx = [f (x)g(x)]ba
192
b
a
f 0 (x)g(x) dx.
A.A. 2016-2017
7.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE
Dimostrazione. Dalla derivazione di un prodotto si ha (f g)0 = f 0 g + f g 0 da cui
f g 0 = (f g)0
f 0 g.
Per l’ipotesi su f e g, le funzioni che compaiono nella formula sono continue e dunque
integrabili. Se integriamo tra a e b, applicando le proprietà dell’integrale ed il Secondo
Teorema Fondamentale del Calcolo si ha
Z b
Z b
Z b
Z b
Z b
0
0
0
0
0
b
f g dx =
[(f g) f g] dx =
(f g) dx
f g dx = [f g]a
f 0 g dx
a
a
a
a
a
che è la tesi.
Osservazione 7.22. Per applicare l’integrazione per parti occorre decidere quale funzione
considerare come f e quale come g: la scelta è dettata dall’esperienza. La formula sottintende che il problema del calcolo di una primitiva di f 0 g debba essere più semplice di
quello di partenza f g 0 .
Esempio 7.23. Consideriamo
0
x
Z
1
xex dx.
0
Scegliendo f (x) = x e g (x) = e si ha g(x) = ex da cui
Z 1
Z 1
x
x 1
xe dx = [xe ]0
ex dx = e
0
7.7.2
0
[ex ]10 = 1.
Integrazione per sostituzione
L’integrazione per sostituzione consiste essenzialmente in un cambio di variabile, cioè nel
passaggio dalla variabile x 2 [a, b] ad una nuova variabile, diciamola t, legata ad x dalla
relazione
x = '(t).
Vale il seguente risultato.
Proposizione 7.24 (Calcolo dell’integrale per sostituzione). Sia f : [a, b] ! R una
funzione continua e ' : [c, d] ! [a, b] una funzione derivabile con derivata continua. Allora
si ha
Z
Z
'(d)
d
f (x) dx =
'(c)
f ('(t))'0 (t) dt.
c
Dimostrazione. Basta tenere presente che per il Secondo Teorema Fondamentale del
Calcolo si ha che se F è una primitiva di f allora
Z '(d)
f (x) dx = F ('(d)) F ('(c)).
'(c)
193
7.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE
A.A. 2016-2017
D’altro canto la funzione F ('(t)) è derivabile con
(F ('(t)))0 = F 0 ('(t))'0 (t) = f ('(t))'0 (t)
da cui
Z
f ('(t))'0 (t) dt = F ('( ))
F ('(↵)).
↵
Osservazione 7.25. Se la funzione ' : [c, d] ! [a, b] è anche invertibile, cioè x = '(t) è un
vero e proprio cambiamento di variabile, si ha allora
Z b
Z ' 1 (b)
f (x) dx =
f ('(t))'0 (t) dt.
a
1 (a)
'
Osservazione 7.26. Notiamo che nell’integrazione per sostituzione, passando da x a t occorre cambiare ovviamente gli estremi di integrazione, ma soprattutto la nuova funzione da
integrare non è solo f ('(t)) ma f ('(t))'0 (t). Fare un cambiamento di variabile presuppone
che il calcolo della primitiva di f ('(t))'0 (t) sia più semplice di quello di f (x).
Esempio 7.27. Calcoliamo l’integrale
Z 7
ln 2
p
e2x
dx.
ex 1
Se poniamo ex = t, si ha x = ln t. Scegliamo allora come funzione ' della formula
d’integrazione per sostituzione l’applicazione '(t) = ln t che è invertibile. Si ha
x = ln 2 =) t = eln 2 = 2
x = 7 =) t = e7
e
Otteniamo
1
'0 (t) = .
t
✓
◆ Z e7
Z e7
e2x
t2
1
t
p x
p
p
dx =
dt =
dt.
e
1
t 1 t
t 1
ln 2
2
2
Il secondo membro è più facile da integrare. Una primitiva su ]1, +1[ è data da
◆
Z
Z ✓
p
t
1
2
p
dt =
t 1+ p
dt = (t 1)3/2 + 2(t 1)1/2 .
3
t 1
t 1
Z
7
Dunque si ottiene

Z e7
t
2
p
dt = (t
3
t 1
2
e7
1)
3/2
+ 2(t
1)
1/2
2
194
2
= (e7
3
1)3/2 + 2(e7
1)1/2
2
3
2.
A.A. 2016-2017
7.8
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
Integrali impropri
In questa sezione ci occupiamo di estendere la nozione di integrale alle situazione in cui f
sia definita su un intervallo illimitato oppure in cui f non è limitata.
1. Siano a 2 R e f : [a, +1[! R una funzione integrabile su ogni intervallo del tipo [a, b] con
a < b. Definiamo l’integrale improprio di f su [a, +1[
Z +1
f (x) dx
a
analizzando il limite
(7.4)
lim
b!+1
Z
b
f (x) dx.
a
Parleremo di integrali impropri di prima specie.
Definizione 7.28 (Integrali impropri di prima specie). Siano a 2 R e f : [a, +1[! R
una funzione integrabile su ogni intervallo del tipo [a, b] con a < b. Se il limite (7.4) esiste,
poniamo
Z
Z
+1
b
f (x) dx = lim
b!+1
a
f (x) dx.
a
(a) Diciamo che f è integrabile in senso improprio su [a, +1[ o che il suo integrale
improprio converge se il limite (7.4) è finito.
(b) Diciamo che l’integrale di f diverge positivamente o negativamente se il limite vale
+1 o 1.
Se il limite (7.4) non esiste, diciamo che l’integrale improprio di f oscilla.
Osservazione 7.29. Da un punto di vista geometrico, nel caso di funzioni non negative f ,
l’integrale improprio di prima specie fornisce la generalizzazione del concetto di area per i
sottografici di funzioni definite su intervalli illimitati: l’integrabilità in senso improprio su
[a, +1[ significa che l’area della regione sottesa da f con l’asse x sull’intervallo [a, +1[
risulta finita.
Esempio 7.30. Abbiamo che l’integrale improprio di f (x) = e x su [0, +1[ è convergente
poiché
Z +1
Z b
x
e dx = lim
e x dx = lim ( e b + 1) = 1.
0
b!+1
b!+1
0
Osservazione 7.31. Al caso degli integrali impropri di prima specie si possono estendere
le usuali proprietà di linearità , confronto, suddivisione e confronto con il modulo visti per
le funzioni integrabili secondo Riemann.
195
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
A.A. 2016-2017
y
y = f (x)
a
x
Osservazione 7.32. Possiamo utilizzare le idee precedenti per coprire anche altri casi.
(a) Si possono definire in modo analogo gli integrali impropri di funzioni f :] 1, a] ! R
analizzando
Z
a
lim
f (x) dx.
b! 1
b
(b) Se f : R ! R è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato, l’integrale improprio
di f su R
Z +1
f (x) dx
1
può definirsi studiando
lim
a! 1,b!+1
Z
b
f (x) dx.
a
Possiamo riportarci al caso di limiti di una variabile utilizzando la proprietà di
suddivisione: essendo
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx,
a
a
c
siamo ricondotti allo studio dei limiti
Z c
lim
f (x) dx
a! 1
Poniamo
Z
e
a
+1
f (x) dx = lim
1
a! 1
Z
lim
b!+1
Z
b
f (x) dx.
c
c
f (x) dx + lim
a
b!+1
Z
b
f (x) dx
c
se la somma è ben definita, altrimenti diciamo che l’integrale improprio oscilla.
196
A.A. 2016-2017
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
2. Nel caso in cui la funzione integranda f sia non negativa, valgono per gli integrali impropri
criteri di convergenza simili a quelli visti per le serie numeriche a termini non negativi.
Sia f : [a, +1[! R non negativa ed integrabile su ogni intervallo [a, b] con a < b. Il
limite
Z b
lim
f (x) dx
b!+1
a
esiste poiché la dipendenza dell’integrale dall’estremo b è monotona crescente. Deduciamo
dunque il seguente risultato.
Teorema 7.33. Sia f : [a, +1[! R non negativa ed integrabile su ogni intervallo [a, b]
con a < b. Allora l’integrale improprio
Z +1
f (x) dx
a
o converge o diverge positivamente.
In analogia con il caso delle serie a termini positivi, abbiamo i seguenti criteri del
confronto e del confronto asintotico.
Proposizione 7.34 (Criterio del confronto per integrali impropri). Siano a 2 R
e f, g : [a, +1[! R due funzioni non negative ed integrabili su ogni intervallo [a, b] con
a < b. Supponiamo che f (x)  g(x) per ogni x 2 [a, +1[. Allora
Z +1
Z +1
f (x) dx 
g(x) dx.
a
a
In particolare se g è integrabile in senso improprio, anche f lo è . Se invece l’integrale di
f diverge, anche quello di g diverge.
Dimostrazione. Notiamo che per confronto si ha per ogni b 2 [a, +1[
Z b
Z b
f (x) dx 
g(x) dx
a
a
ed il risultato segue mandando b ! +1.
Esempio 7.35. Consideriamo f : [0, +1[! R data da f (x) =
e x
e
1+x
e
Z
x
+1
e
x
dx = 1,
0
si ha che l’integrale improprio di f su [0, +1[ è convergente.
197
e x
.
1+x
Poiché per ogni x
0
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
Esempio 7.36. Si ha che
converge se e solo se
A.A. 2016-2017
Z
+1
2
x↵
1
dx
ln x
8
>
<↵ > 1 e per ogni
o
>
:
↵ = 1 e > 1.
Se ↵ > 1 e " > 0 è tale che ↵ > 1 + ", allora esiste M > 0 tale che per x M (usando il
confronto tra infiniti)
1
1
 1+"
↵
x
x ln x
e
 " b
Z +1
x
1
1
dx = lim
=
< +1.
1+"
b!+1
x
" M
"M "
M
Per confronto otteniamo che l’integrale di partenza è convergente.
Se ↵ < 1 si ha che se " > 0 è tale che ↵ < 1 " (con 1 " > 0), allora esiste M > 0
tale che per x M si ha
1
1
.
x1 "
x↵ ln x
Poiché
 " b
Z +1
x
1
dx
=
lim
= +1,
b!+1
x1 "
" M
M
per confronto otteniamo che l’integrale di partenza diverge positivamente.
Se ↵ = 1 si ha

Z +1
b
1
ln +1 x
dx = lim
.
b!+1
+1 2
x ln x
2
Dunque il limite esiste finito se e solo se > 1.
Proposizione 7.37 (Criterio del confronto asintotico per integrali impropri).
Siano a 2 R e f, g : [a, +1[! R due funzioni non negative ed integrabili su ogni intervallo
[a, b] con a < b. Supponiamo che g 6= 0 su [a, +1[ e che
f (x)
x!+1 g(x)
lim
esista finito e non nullo. Allora f è integrabile in senso improprio se e solo se anche g lo
è .
Dimostrazione. Detto l 2]0, +1[ il limite del rapporto, esiste M > 0 tale che per ogni
x M si ha
l
3l
g(x)  f (x)  g(x).
2
2
Il risultato segue allora per confronto.
198
A.A. 2016-2017
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
Esempio 7.38. Consideriamo
Z
+1
1
⇣
e
⌘
1
x2
1 dx.
1
Notiamo che l’infinitesimo principale di f (x) = e x2
l’integrale improprio ha lo stesso carattere di
Z +1
1
dx
x2
1
1 per x ! +1 è dato da
1
.
x2
Allora
e risulta pertanto convergente.
3. Nel caso in cui la funzione integranda non abbia un segno definito, è utile la nozione di
convergenza assoluta.
Definizione 7.39 (Convergenza assoluta). Sia f : [a, +1[! R una
R +1funzione integrabile
su ogni intervallo [a, b] con a < b. Diremo che l’integrale improprio a f (x) dx converge
assolutamente se risulta
Z +1
|f (x)| dx < +1.
a
Proposizione 7.40. Se un integrale improprio converge assolutamente, allora risulta
convergente.
Dimostrazione. L’esistenza del limite finito per
Z b
lim
f (x) dx
b!+1
a
equivale al fatto che per ogni " > 0 esista M > 0 tale che per ogni b1 , b2 > M si abbia
Z b2
f (x) dx < ".
b1
Essendo |f | integrabile in senso improprio, per ogni " > 0 esiste M > 0 tale che per ogni
b1 , b2 > M si abbia
Z b2
|f (x)| dx < ".
b1
Poiché per confronto con il modulo si ha
Z b2
Z
f (x) dx 
b1
b2
b1
il risultato è dimostrato.
199
|f (x)| dx < ",
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
A.A. 2016-2017
4. Sia f : [0, +1[! R una funzione non negativa e decrescente. Si ha immediatamente la
seguente disuguaglianza
k
X
n=1
f (n) 
Z
k
0
f (x) dx 
y
k 1
X
f (n).
n=0
y
1
k
x
1
k
1 k
x
Deduciamo allora il seguente risultato.
Proposizione 7.41 (Integrali impropri e serie numeriche). Sia f : [0, +1[! R una
funzione non negativa e decrescente. Allora
+1
X
n=1
f (n) 
Z
+1
0
f (x) dx 
+1
X
f (n).
n=0
In particolare l’integrale improprio e la serie hanno lo stesso carattere.
Osservazione 7.42. In particolare possiamo ricavare che la serie
1
X
n=2
n↵
1
ln n
converge se e solo se converge l’integrale improprio
Z 1
1
x↵ ln x
2
che è stato studiato nell’Esempio 7.36, dunque se e solo se ↵ > 1 e per ogni
↵ = 1 con > 1.
200
2 R oppure
A.A. 2016-2017
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
5. Le considerazioni viste per gli integrali su domini illimitati possono utilizzarsi per estendere
il concetto di integrale a funzioni illimitate su intervalli limitati.
Definizione 7.43 (Integrali impropri di seconda specie). Siano a, b 2 R e f : ]a, b] !
R una funzione illimitata e integrabile su ogni intervallo del tipo [a + ", b] con " > 0.
Poniamo
Z b
Z b
f (x) dx = lim
f (x) dx
"!0
a
a+"
se il limite esiste.
(a) Diciamo che f è integrabile in senso improprio su ]a, b] o che il suo integrale improprio
converge se il limite è finito.
(b) Diciamo che l’integrale improprio di f diverge positivamente o negativamente se tale
limite vale +1 o 1.
Se il limite non esiste, diciamo che l’integrale improprio oscilla.
Osservazione 7.44. Da un punto di vista geometrico, l’integrale improprio di seconda
specie fornisce la generalizzazione del concetto di area per i sottografici di funzioni con
asintoti verticali. Se f
0, l’integrabilità in senso improprio su ]a, b] significa che l’area
della regione sottesa da f con l’asse x sull’intervallo ]a, b] risulta finita.
y
y = f (x)
a
x
b
Osservazione 7.45. Chiaramente valgono discorsi analoghi ai precedenti se f : [a, b[! R
si presenta illimitata in un intorno di b: si pone
Z b
Z b "
f (x) dx = lim+
f (x) dx
"!0
a
a
se il limite esiste, altrimenti diciamo che l’integrale improprio oscilla.
Se poi f : ]a, b[! R è illimitata vicino ad a e b, poniamo
Z b
Z c
Z b "
f (x) dx = lim+
f (x) dx + lim+
f (x) dx
a
"!0
"!0
a+"
c
se la somma è ben definita (c 2]a, b[), altrimenti diciamo che l’integrale di f oscilla.
201
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
A.A. 2016-2017
Esempio 7.46. Consideriamo l’integrale improprio
Z
1
0
1
dx = lim
"!0
x↵
Z
1
"
 1 ↵
1
x
dx = lim
↵
"!0 1
x
↵
R1
1
0 x↵
dx con ↵ > 0. Se ↵ 6= 1, si ha
1
=
"
1
1
↵
Dunque l’integrale converge se e solo se ↵ < 1, ed in tal caso vale
diviene
Z 1
1
dx = lim( ln ") = +1
"!0
0 x
"1 ↵
.
"!0 1
↵
lim
1
.
1 ↵
Se ↵ = 1, l’integrale
cioè l’integrale diverge positivamente.
Esempio 7.47. Sia a < b < a + 1: con ragionamenti analoghi a quelli dell’Esempio 7.36
si ha che
Z b
1
dx
↵
a) | ln(x a)|
a (x
converge se e solo se
(
↵ < 1 e per ogni
↵ = 1 e > 1.
Una combinazione degli integrali di prima e seconda specie porta agli integrali di terza
specie.
Definizione 7.48 (Integrali di terza specie). Sia f :]a, +1[! R integrabile su ]a+", b[
per ogni " > 0 e b < +1. Poniamo
Z
+1
f (x) dx = lim
a
"!0
Z
c
f (x) dx + lim
a+"
b!+1
Z
b
f (x) dx
c
se la somma è ben definita. In caso contrario, diciamo che l’integrale improprio di f oscilla.
Osservazione 7.49. Al caso degli integrali impropri di seconda e terza specie si possono
estendere le proprietà viste per gli integrali di prima specie: in particolare per funzioni non
negative si hanno i criteri di convergenza del confronto e del confronto asintotico.
Esercizi
1. Siano f, g : [a, b] ! R due funzioni integrabili: dimostrare che f + g è integrabile. (Suggerimento: mostrare che I 0 (f + g) I 0 (f ) + I 0 (g) e che I 00 (f + g)  I 00 (f ) + I 00 (g)).
2. Sia f : [a, b] ! R e sia 2 R: dimostrare che f è integrabile. (Suggerimento: considera
prima il caso
0 e prova che I 0 ( f ) = I 0 (f ) e I 00 ( f ) = I 00 (f )).
3. Sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile. Dimostrare che |f | è integrabile.
4. Sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile. Dimostrare che f 2 è integrabile.
202
A.A. 2016-2017
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
5. Siano f, g : [a, b] ! R due funzioni integrabili. Dimostrare che f g è integrabile. (Suggerimento: ricorda che 4f g = (f + g)2 (f g)2 ).
6. Siano f : [a, b] ! R una funzione integrabile, c 2 [a, b] e d 2 R. Dimostrare che
(
f (x) se x 6= c
g(x) =
d
se x = c
Rb
Rb
è integrabile e a f (x) dx = a g(x) dx. (Suggerimento: vedi che I 0 (f ) = I 0 (g)).
Rx
7. Siano f : [a, b] ! R integrabile e F (x) = a f (t) dt. Dimostrare che F è continua.
8. Dimostrare che la funzione
f (x) =
(
se x 6= 0
se x = 0
0
1
non ammette primitive su R.
9. Siano a, b 2 R con a < b e sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile e continua in x0 2]a, b[.
Sia c 2 [a, b] e sia F : [a, b] ! R definita da
Z x
F (x) :=
f (t) dt.
c
F 0 (x
Dimostrare che F è derivabile in x0 e che
0 ) = f (x0 ). (Suggerimento: cerca di seguire
la dimostrazione geometrica del Primo Teorema Fondamentale del Calcolo.)
10. Sia f : R ! R data da
f (x) =
Rx
(
1
1
se x 0
se x < 0
e sia F (x) = 0 f (t) dt. Verificare che F non è derivabile in x = 0, ma ammette derivate
destra e sinistra pari rispettivamente a 1 e 1.
11. Sia f : [a, b] ! R integrabile e sia x0 2]a, b[ tale che limx!x+ f (x) = l. Dimostrare che
0
Rx
F (x) = a f (t) dt è derivabile da destra in x0 e che la derivata destra vale l.
12. Dimostrare che la funzione f : [ 1, 1] ! R data da
(
sin x1 se x 6= 0
f (x) =
0
se x = 0
non è continua a tratti, ma è integrabile su [ 1, 1]. (Suggerimento: dividi [ 1, 1] negli
intervalli [ 1, "], [ ", "] e [", 1]...).
13. Si consideri la funzione di Riemann
(
1
se x = m
n 2 Q, con m, n primi tra loro
f (x) = n
0 se x 2 R \ Q.
Dimostrare che f è discontinua in tutti i punti razionali e continua in tutti
R b i punti irrazionali.
Dimostrare che f è integrabile su un qualsiasi intervallo [a, b] e che a f (x) dx = 0.
203
7.8. INTEGRALI IMPROPRI
A.A. 2016-2017
204