LE PIU' IMPORTANTI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
ALLE DERIVATE PARZIALI
La teoria delle equazioni differenziali a derivate parziali costituisce uno dei capitoli più
importanti della Matematica. Apporta inoltre un contributo essenziale all'indagine del
mondo fisico. Si riconosce infatti che fondamentali argomenti della Fisica fanno capo,
ciascuno, ad un'equazione a derivate parziali: questa fornisce dunque un modello
matematico per lo studio dei fenomeni che rientrano in tale argomento.
In questa tabella sono riportanti alcuni esempi.
ARGOMENTO FISICO
Potenziale elettrostatico
Diffusione del calore
Propagazione delle onde
Campo elettromagnetico
Meccanica quantistica
Teoria della relatività
EQUAZIONE CORRISPONDENTE
Equazione di Laplace
Equazione di Fourier
Equazione di d'Alembert
Equazioni di Maxwell
Equazioni di Schrodinger
Equazioni di Einstein
L'EQUAZIONE DI LAPLACE – 3D
∇ 2u =
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Gli integrali di questa equazione sono detti funzioni armoniche.
L'EQUAZIONE DI FOURIER – 1D
∂ 2u
∂u
=k
2
∂t
∂x
Questa equazione è l'equazione di propagazione del calore in un mezzo. (Nota: k > 0)
EQUAZIONE DI D'ALEMBERT – 1D
∂ 2u
1 ∂ 2u
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
Si dimostra che l'integrale generale di tale equazione risulta essere:
u (x, t) = F(x + V t) + G(x – V t)
con F(x + V t) + G(x – V t) funzioni arbitrarie. Questa equazione descrive tutti i fenomeni
ondulatori e viene anche detta equazione della corda vibrante.
CONDIZIONI AL CONTORNO
- Condizioni di DIRICHLET:per un contorno specifico u.
- Condizioni di NEUMAN: per un contorno specifico du/dn
- Condizioni di ROBIN: per un contorno specifico du/dn + hu.
