universita` degli studi di palermo facolta` di ingegneria programma di

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTA' DI INGEGNERIA
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA I { A.A. 1993/1994
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE (A{M), EDILE (A{M)
Dott. D.Averna
INSIEMI
Notazioni. Appartenenza. Inclusione. Uguaglianza tra insiemi. Parti di un insieme. Operazioni sugli insiemi: unione, intersezione, dierenza, complementare. Proprieta distributiva dell'intersezione rispetto all'unione e dell'unione rispetto all'intersezione. Leggi di De Morgan e principio di dualita.
Partizioni. Prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni
d'ordine.
Funzioni. Dominio. Funzioni suriettive, iniettive, biiettive. Funzione inversa di
una funzione biiettiva. Funzioni composte. Immagine diretta ed inversa di una parte
e di una famiglia di parti. Codominio di una funzione. Restrizione e prolungamento
di una funzione.
Strutture algebriche: gruppi, gruppi commutativi, campi, campi ordinati.
NUMERI REALI
Numeri naturali. Buon ordinamento di N. Principio di induzione matematica.
Numeri interi, razionali. Il sistema dei numeri reali: assiomi di campo, assioma
dell'ordinamento, assioma della continuita. Numeri irrazionali. Cenni sui modelli del
sistema di numeri reali e sugli isomorsmi ordinati.
Principio di Archimede. Densita (algebrica) di Q in R.
Valore assoluto di un numero reale e sue principali proprieta.
Insiemi niti ed inniti. Insiemi numerabili. Teoremi sugli insiemi numerabili
(enunciati). Numerabilita del prodotto cartesiano N N, dell'insieme Q dei razionali.
Non numerabilita di R e di RnQ.
Successioni. Sottosuccessioni. Intervalli. Teorema di completezza in R. Insiemi
numerici limitati. Estremi di un insieme. Teorema di esistenza degli estremi.
Equivalenza tra assioma della continuita, teorema di completezza + principio di
Archimede, teorema di esistenza degli estremi.
Il reale ampliato. Estremi nel reale ampliato.
Funzioni monotone. Successioni monotone.
Potenze, esponenziali e logaritmi in campo reale. Funzioni iperboliche. Richiami
di trigonometria.
RICHIAMI SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Disuguaglianze tra numeri reali. Generalita su equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni algebriche. Equazioni e disequazioni contenenti valori assoluti. Elevamento a potenza nelle equazioni e nelle disequazioni. Equazioni e disequazioni
irrazionali. Equazioni e disequazioni trascendenti. Sistemi di equazioni e disequazioni.
1
RICHIAMI SU ALCUNI ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO
La retta. Interpretazione geometrica del trinomio di 20 grado: la parabola. Iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati. Traslazione di coordinate. La
funzione omograca e il suo graco.
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
Disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici. Coecienti binomiali e loro
proprieta. Binomio di Newton (enunciato).
NOZIONI DI TOPOLOGIA IN Rn E IN R~
Spazi Rn. Struttura metrica di Rn : distanza pitagorica in Rn e sue proprieta
essenziali. Disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza triangolare. Bocce e intervalli in Rn. Insiemi limitati. Insiemi aperti e loro proprieta. Caratterizzazione degli
aperti di R. Insiemi chiusi e loro proprieta. Intorni in Rn. Punti interni, frontiera,
di accumulazione, isolati, di aderenza. Interno, frontiera, derivato, chiusura di un insieme. Condizione caratteristica perche un insieme sia chiuso. Insiemi densi. Densita
(topologica) di Q in R.
Insiemi compatti in Rn. Teorema della completezza in Rn . Caratterizzazioni dei
compatti in Rn: chiusi e limitati, proprieta di Bolzano-Weierstrass (enunciato).
Insiemi connessi in Rn. Caratterizzazione dei connessi di R. Insiemi connessi per
poligonali in Rn. Confronto tra connessione e connessione per poligonali. Insiemi
convessi.
Estensione a R~ della topologia introdotta in R.
LIMITI
Concetto di limite: negli spazi euclidei, in R~ , per le successioni. Teorema di
unicita del limite. Teorema di limitatezza locale. Limite delle restrizioni.
Dominio in R: limite destro e sinistro.
Codominio in R: permanenza del segno limite del prodotto ove un fattore tende
a zero e l'altro e limitato confronto relazioni tra limite di f e limite di jf j algebra
dei limiti forme indeterminate 1 ; 1, 0 1, 1
1 , 00 .
Limiti delle funzioni elementari.
Limiti delle successioni: successioni convergenti, divergenti, regolari, indeterminate limitatezza delle successioni convergenti punti di compattezza caratterizzazione
delle successioni convergenti e divergenti la compattezza per successioni criteri di
Stolz-Cesaro (enunciati) e conseguenze.
Limiti delle funzioni e delle successioni monotone.
Successioni di Cauchy. Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni.
Criterio di convergenza di Cauchy per le funzioni (enunciato).
Altre forme indeterminate. Riconoscimento di una forma indeterminata.
Limiti notevoli.
INFINITESIMI E INFINITI
Innitesimi. Ordine di due innitesimi simultanei. Principio di sostituzione degli
innitesimi.
Inniti. Ordine di due inniti simultanei. Principio di sostituzione degli inniti.
Ordine di innitesimo e innito di alcune funzioni di fondamantale importanza.
2
CONTINUITA'
Continuita di una funzione. Continuita a destra e a sinistra. Discontinuita. Discontinuita delle funzioni monotone. Continuita delle funzioni a valori reali. Continuita
di alcune funzioni di particolare importanza. Teoremi di composizione e di continuita
globale.
Teoremi di conservazione della compattezza, di Weierstrass, di continuita dell'inversa di una funzione biiettiva e continua denita su un compatto.
Teoremi di conservazione della connessione, dei valori intermedi, di esistenza degli
zeri. Caratterizzazione della continuita di una funzione monotona su un connesso di
R le funzioni biiettive e continue su un connesso di R sono strettamente monotone e
hanno inversa continua. Le inverse delle funzioni esponenziali, circolari ed iperboliche.
Continuita uniforme. Lipschitzianita. Teorema di Heine. Uniforme continuita
in intervalli limitati e prolungabilita per continuita. Criteri sucienti di uniforme
continuita.
LA DERIVAZIONE IN R
Denizioni e prime proprieta. Derivabilita e continuita. Interpretazione geometrica del concetto di derivata. Regole di derivazione. Derivate delle principali
funzioni e delle loro inverse. Dierenziale e suo signicato geometrico.
TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
Crescenze e decrescenze locali. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle,
Lagrange (valore medio), Cauchy. Conseguenze del teorema del valore medio. Teoremi
di L'Hospital per la f.i. 00 e per la f.i. 1
1 (enunciato). Ricerca di limiti di forme
indeterminate con l'uso dei teoremi di L'Hospital.
FORMULA DI TAYLOR { APPLICAZIONI
Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano. Calcolo di limiti con l'uso
della formula di Taylor con il resto di Peano. Formula di Taylor con il resto nella
forma di Lagrange (enunciato). Stima del resto. Formula di Mc Laurin. Formule di
Mc Laurin delle funzioni y = ex, y = 1;1 x , y = log(1 ; x), y = log(1 + x), y = sin x,
y = cos x e y = (1 + x) , 2 R.
Ricerca di massimi e minimi locali. Convessita e concavita in un punto, essi.
Asintoti. Studio di funzioni.
I NUMERI COMPLESSI
Denizioni. Operazioni sui numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei
numeri complessi. Interpretazione geometrica della somma e della dierenza tra numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei
numeri complessi. Interpretazione geometrica del prodotto tra numeri complessi.
Potenze ad esponente intero, radici n-esime in C.
EQUAZIONI ALGEBRICHE
Polinomi. Principio di identita dei polinomi. Divisione tra polinomi. M.C.D. tra
due polinomi. Teorema fondamentale dell'algebra (enunciato). Equazioni algebriche a
coecienti reali. Zeri multipli. Decomposizione di una funzione razionale a coecienti
reali con zeri complessi semplici. Decomposizione di Hermite di una funzione razionale
a coecienti reali.
3
L'INTEGRAZIONE IN R SECONDO RIEMANN
Divisioni e funzioni a gradinata. L'integrale di una funzione a gradinata e sue
proprieta di linearita, monotonia, additivita. Integrali inferiore e superiore di una
funzione limitata. Integrale secondo Riemann e sue proprieta di linearita, monotonia,
additivita. Criteri di integrabilita. Integrabilita delle funzioni continue e delle funzioni
monotone integrabilita delle funzioni limitate il cui insieme dei punti di discontinuita
e nito o ha un numero nito di punti di accumulazione. Altre proprieta dell'integrale:
funzioni che dieriscono in un numero nito di punti o in un insieme che ha un numero
nito di punti di accumulazione, relazione tra integrabilita di f ed integrabilita di jf j,
integrabilita del prodotto. Signicato geometrico dell'integrale. Teorema della media.
Funzione integrale e sue proprieta. Primitive in senso classico. Teorema fondamentale
del calcolo integrale. Cenni sulle primitive in senso generalizzato. Integrale indenito.
Relazioni tra integrale indenito e classe delle primitive. Integrali indeniti delle
principali funzioni. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione
di alcune funzioni razionali di forma semplice. Integrazione di una qualunque funzione
razionale a coecienti reali. Integrazione di alcune funzioni irrazionali. Cenni sugli
integrali abeliani. Integrazione di alcune funzioni trascendenti.
SERIE
Denizioni. La serie geometrica. Serie telescopiche. Criterio di convergenza di
Cauchy. Condizione necessaria di convergenza. La serie armonica. Invarianza del
carattere di una serie per: alterazione di un numero nito dei suoi termini, moltiplicazione di ciascuno dei suoi termini per una costante non nulla.
Serie a termini positivi: criteri del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice, della serie di Cauchy (enunciato). La serie armonica generalizzata.
Serie a termini alternativamente positivi e negativi. La serie armonica a segni
alterni.
Serie a termini di segno qualunque. Assoluta convergenza. Uso dei criteri delle
serie a termini positivi come criteri di assoluta convergenza.
Serie somma di due serie.
Proprieta associativa delle serie convergenti e divergenti.
Proprieta commutativa delle serie assolutamente convergenti. Teorema di Riemann-Dini (enunciato).
Prodotto nel senso di Cauchy di due serie. Teorema di Mertens (enunciato).
SVILUPPI IN SERIE DI TAYLOR
Condizioni per la sviluppabilita in serie di Taylor. Le serie esponenziale, logaritmiche, circolari, binomiale in campo reale.
Testi consigliati:
1) C.VINTI, Lezioni di Analisi Matematica (con esercizi svolti e proposti), Volume 1,
Galeno Editrice - Perugia - 1992.
2) C.DI BARI-P.VETRO, Analisi Matematica (con elementi di calcolo numerico),
Volume primo, Libreria Dante - Palermo - 1993.
3) P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, 10 Volume, parti
prima e seconda, Liguori Editore - 1987{88.
4