Programma del corso - Matematica e Informatica

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UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTA' DI INGEGNERIA
PROGRAMMA DI MATEMATICA A { A.A. 2001/2002
CORSO DI LAUREA IN
INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO
Prof. D.Averna
Conoscenze prerequisite: Linguaggio elementare degli insiemi. Operazioni
tra insiemi. Concetto intuitivo di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. I numeri naturali. I numeri interi. I numeri razionali. Concetto intuitivo
di numero reale. Valore assoluto. Potenze con esponente naturale, con esponente
intero. Radici n-esime. Potenza con esponente razionale. Potenze ad esponente
reale. Proprieta delle potenze. Esponenziali e logaritmi. Trigonometria: funzioni trigonometriche e loro proprieta. Equazioni e disequazioni razionali, irrazionali e trascendenti. Geometria elementare del piano: retta, circonferenza, ellisse,
parabola, iperbole.
Obiettivi del corso: Obiettivo fondamentale del corso e quello di fornire gli
strumenti di base del calcolo innitesimale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Allo studente sara richiesta capacita nel calcolo di limiti e di derivate,
nello studio di funzioni, nel calcolo di integrali e nello studio del carattere di serie
numeriche.
COMPLEMENTI DI TEORIA ELEMENTARE DEGLI INSIEMI
L'insieme esteso dei numeri reali. Intervalli. Insiemi limitati. Massimo e minimo
di un insieme di numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme
di numeri reali. Proprieta di completezza di IR.
SUCCESSIONI NUMERICHE. LIMITI
Successioni in IR. Concetto di limite per le successioni. Successioni monotone.
Successioni limitate. Sottosuccessioni. Concetto di limite per le successioni. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate, regolari. Unicita del limite. Limitatezza delle successioni convergenti. Confronto. Limite del prodotto ove un fattore
tende a zero e l'altro e limitato. Relazioni tra limite di (an ) e limite di (janj). Limite delle sottosuccessioni. Algebra dei limiti. Forme indeterminate 1 ; 1, 0 1,
11 , 00 . Limiti delle successioni monotone. Teorema di Bolzano-Weierstrass (s.d.).
Limiti delle successioni elementari. Limiti di successioni notevoli. Altre forme
indeterminate.
SERIE NUMERICHE
Denizioni. La serie geometrica. Condizione necessaria di convergenza (c.d.).
Serie a termini positivi: criterio della serie di Cauchy (s.d.). La serie armonica
e la serie armonica generalizzata criteri del confronto asintotico, dell'ordine di
innitesimo, del rapporto, della radice (s.d.).
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Serie a termini alternativamente positivi e negativi. Criterio di Leibnitz (c.d.).
La serie armonica a segni alterni.
Serie a termini di segno qualunque. Assoluta convergenza. Uso dei criteri delle
serie a termini positivi come criteri di assoluta convergenza.
LIMITI E CONTINUITA
Intorni di un punto in IR. Punti di accumulazione. Derivato di un insieme.
Intorni di +1 e ;1. +1 e ;1 come punti di accumulazione di un sottoinsieme
di IR. Concetto di limite per le funzioni. Teorema di collegamento (s.d.). Unicita del
limite. Limitatezza locale. Permanenza del segno. Confronto. Restrizioni e limiti
delle restrizioni. Limite destro e sinistro. Algebra dei limiti. Forme indeterminate
1 ; 1, 0 1, 11 , 00 .
Limiti delle funzioni elementari. Limiti notevoli. Altre forme indeterminate.
Riconoscimento di una forma indeterminata.
Innitesimi. Confronto di due innitesimi simultanei. Principio di sostituzione
degli innitesimi. Prodotto di innitesimi.
Inniti. Confronto di due inniti simultanei. Principio di sostituzione degli
inniti. Prodotto di inniti.
Ordine di innitesimo e innito di alcune funzioni di fondamantale importanza.
Continuita di una funzione in un punto e in un intervallo. Discontinuita. Classicazione delle discontinuita. Prolungabilita per continuita. Algebra delle funzioni
continue. Continuita di alcune funzioni di particolare importanza. Continuita delle
funzioni composte.
Teorema di Weierstrass (c.d.). Teoremi di esistenza degli zeri (s.d.), dei valori
intermedi, di punto sso.
Insieme di denizione di una funzione. Funzioni pari e funzioni dispari. Segno
di una funzione ed intersezioni con gli assi. Asintoti verticali, asintoti orizzontali,
asintoti obliqui.
CALCOLO DIFFERENZIALE
Denizioni e prime proprieta. Derivabilita e continuita. Interpretazione geometrica del concetto di derivata. Dierenziabilita e suo signicato geometrico.
Regole di derivazione. Derivazione delle funzioni composte. Derivata logaritmica.
Derivate delle principali funzioni.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (s.d.). Teoremi di Rolle, Lagrange
(valore medio), Cauchy (c.d.).
Conseguenze del teorema di Lagrange. Teoremi di L'Hospital per la f.i. 00 (c.d.)
e per la f.i. 1
1 (s.d.). Ricerca di limiti di forme indeterminate con l'uso dei teoremi
di L'Hospital.
Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano (s.d.). Calcolo di limiti con
l'uso della formula di Taylor con il resto di Peano.
Ricerca di massimi e minimi locali. Convessita e concavita in un punto, essi.
Studio di funzioni.
INTEGRALI E MISURE
Partizioni di un intervallo. Integrali inferiore e superiore di una funzione limitata.
Integrale secondo Riemann e sue proprieta di linearita, monotonia, additivita. In-
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siemi di misura nulla e criterio di integrabilita di Lebesgue (s.d.). Integrabilita delle
funzioni continue e delle funzioni monotone. Integrabilita delle funzioni composte.
Relazione tra integrabilita di f ed integrabilita di jf j, integrabilita del prodotto.
Area di un rettangoloide. Funzione integrale e sue proprieta (s.d.). Primitive.
Teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Integrale indenito. Integrali
indeniti delle principali funzioni. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per
sostituzione (c.d.). Integrazione di alcune funzioni razionali di forma semplice.
Decomposizione di una funzione razionale a coecienti reali. Integrazione delle
funzioni razionali a coecienti reali. Integrazione di alcune funzioni irrazionali.
Integrazione di alcune funzioni trascendenti.
Esercitazioni Limiti. Veriche di limiti. Calcolo di limiti. Risoluzione di forme
indeterminate. Confronto tra innitesimi e tra inniti. Continuita. Discontinuita.
Prolungabilita per continuita. Situazioni asintotiche.
Derivabilita e calcolo di derivate. Retta tangente ad una curva.
Studio di funzioni.
Studio del carattere di serie numeriche.
Integrazione di funzioni razionali fratte, mediante cambiamento di variabili, mediante integrazione per parti. Calcolo di aree.
Bibliograa:
(Libro di testo) Gianni GILARDI, Analisi matematica di base, McGraw-Hill (2001).
(Libro di esercizi) Sandro SALSA { Annamaria SQUELLATI, Esercizi di matematica (calcolo innitesimale e algebra lineare), Volume 1, Zanichelli (2001).
Ulteriore materiale didattico e disponibile presso il sito internet:
http://pc1amov.math.unipa.it