Econometria - Cantook.net

43/10
I volumi di base
Compendio di
Econometria
p (ε )
Y
Y = β0+ β1X
β0
x1
x2
x3
xn
X
Dimostrazioni delle formulazioni analitiche
Rappresentazioni grafiche esplicative
Esempi su fogli di lavoro in Excel
Domande più ricorrenti in sede d’esame
SIMONE
EDIZIONI
G r u p p o E d i t o r i aExcerpt
l e E ofs the
s e full
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ri - Simone
®
Excerpt of the full publication
TUTTI I DIRITTI RISERVATI
Vietata la riproduzione anche parziale
Di particolare interesse per i lettori di questo volume segnaliamo:
43/1
43/2
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43/6
43/9
44/6
201
201/1
582
LX43
-
Compendio di Statistica
Esercizi svolti per la prova di Statistica
Prepararsi per l’esame di Statistica
Compendio di Matematica finanziaria (classica e moderna)
Compendio di Statistica economica
Compendio di Demografia
Compendio di Matematica per l’Economia
Nozioni elementari di Statistica
Matematica per l’Economia
Dizionario di Economia
Le parole della Statistica
Microsoft e Microsoft Excel sono marchi registrati dalla Microsoft Corporation
L’Appendice A (Matrici e loro proprietà) è tratta dal Compendio di Matematica per l’Economia, di Fabio Privileggi, Edizioni Simone 2007
I fogli Excel riportati nel volume possono essere scaricati al seguente indirizzo internet:
http://www.simone.it/catalogo/v43_10.htm
Risorse e approfondimenti gratuiti di Statistica sono disponibili al seguente indirizzo Internet:
www.simone.it/economia
Tutti i diritti di sfruttamento economico dell’opera appartengono alla Esselibri S.p.A
(art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)
Autore: Carla Iodice
Finito di stampare nel mese di aprile 2008
dalla «INK & PAPER s.r.l.» - Via Censi dell’Arco, 22 - Cercola (NA)
per conto della «Esselibri S.p.A.» - Via F. Russo, 33/D - 80123 - Napoli
Grafica di copertina a cura di Giuseppe Ragno
PREMESSA
Qualsiasi testo di Econometria inevitabilmente adotta un approccio formale fatto di formule
e proposizioni astratte, delle quali spesso lo studente, e talvolta anche il ricercatore, non riesce
a cogliere il senso. Questo testo non vuole avere la pretesa di illustrare le principali metodologie
di analisi econometrica utilizzando un approccio diverso; esso, tuttavia, contiene dimostrazioni
puntuali delle espressioni analitiche riepilogative dei teoremi e dei concetti fondamentali e,
quando possibile, deriva formule più semplici da applicare.
Il Compendio di Econometria contempla non solo la trattazione teorica delle nozioni
fondamentali ma anche un ricco apparato di esempi in cui sono fornite applicazioni pratiche dei
principi propri della scienza, fogli elettronici in cui si affronta lo studio della disciplina attraverso
esercitazioni in Excel, risolutive degli esempi, e questionari a fine capitolo che consentono
un’ulteriore verifica dell’apprendimento teorico.
Il volume è articolato in otto capitoli. Dopo un primo capitolo introduttivo sulla natura
dell’econometria e dei suoi legami con la teoria economica, il testo tratta principalmente i
modelli di regressione, semplice e multipla, e, infine, dedica un capitolo all’identificazione e alla
stima dei modelli a equazioni simultanee.
Il testo è corredato, inoltre, da due Appendici. La prima consta di nozioni sulle matrici e sulle
loro proprietà; ad essa si deve ricorrere ogni volta che nel testo è fatto un richiamo alle definizioni
e alle regole proprie di tale teoria. La seconda Appendice consta, invece, di cinque tavole
statistiche.
Il testo, per i suoi contenuti e per la chiarezza con cui i complessi argomenti sono esposti, si
indirizza agli studenti dei corsi istituzionali di Econometria, a partecipanti a pubblici concorsi,
nonché a funzionari e tecnici che utilizzano le procedure di modellazione econometrica per
obiettivi di politica economica.
I fogli Excel riportati nel volume possono essere scaricati al seguente indirizzo internet:
http://www.simone.it/catalogo/v43_10.htm
ALFABETO GRECO
Α α
Β β
Γ
γ
Δ δ
Ε ε
Ζ ζ
Η η
Θ θϑ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
Ρ ρ
Σ σ
Τ τ
Υ υ
Φ ϕφ
Χ χ
Ψ ψ
Ω ω
iota
kappa
lambda
mi
ni
xi
òmicron
pi
rho
sigma
tau
ypsilon
phi
chi
psi
òmega
INDICE DEI SIMBOLI
>
<
≥
≤
≠
∝
∞
→
∀
∼
≅
±
log(.)
ln (.)
e
lim
∂
∫
∑
∏
maggiore
minore
maggiore o uguale
minore o uguale
diverso da
proporzionale
infinito
tende a
per ogni
distribuito come
circa uguale a
più o meno
logaritmo in base 10
logaritmo neperiano
base del logaritmo neperiano
limite
derivata parziale
integrale
sommatoria
produttoria
I vettori e le matrici sono indicati con le lettere in grassetto: i vettori con lettere minuscole,
le matrici con lettere maiuscole.
ABBREVIAZIONI
Cov(.,.) covarianza
D(.)
devianza
es(.)
E(.)
errore standard
valore medio
v.c.
Var(.)
variabile casuale
varianza
ABBREVIAZIONI PER GLI STIMATORI
OLS
GLS
WLS
2SLS
minimi quadrati ordinari
minimi quadrati generalizzati
minimi qudrati ponderati
minimi quadrati a due stadi
ILS
ML
IV
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minimi quadrati indiretti
massima verosimiglianza
variabili strumentali
CAPITOLO PRIMO
LA NATURA DELL’ECONOMETRIA E I MODELLI ECONOMETRICI
SOMMARIO: 1. L’econometria e i dati economici - 2. La nozione di modello. - 3. Modelli per serie storiche
e modelli di regressione - 4. Forma strutturale e forma ridotta di un modello. - 5. Il procedimento di costruzione
di un modello econometrico: un esempio. - 6. Piano dell’opera.
1. L’ECONOMETRIA E I DATI ECONOMICI
In epoche passate e recenti, la teoria economica si è occupata dello studio delle relazioni tra
variabili microeconomiche e macroeconomiche fornendo le ipotesi per l’elaborazione di
modelli rappresentativi della complessa realtà. Tali modelli sono volti a dare contenuto
quantitativo alle relazioni tra le variabili e devono la loro formalizzazione, in termini matematici,
all’econometria. La disciplina, infatti, applicando i metodi statistici e matematici allo studio e
alla misurazione dei fenomeni economici, elabora modelli con l’obiettivo di verificare empiricamente le teorie economiche. Dalla definizione data scaturiscono immediatamente le interrelazioni, nell’ambito dell’econometria, tra teoria economica da un lato, analisi matematica,
probabilità e statistica dall’altro. In questo volume definiremo gli strumenti utili allo sviluppo
di tecniche di modellazione econometrica fondate su procedure statistiche. Per un corretto studio
della disciplina in oggetto, è necessario disporre delle conoscenze delle nozioni di economia,
fondamento dell’econometria, e della statistica, funzionale alla stessa.
L’econometria è da considerarsi, tuttavia, una disciplina che, sotto molteplici aspetti, si
differenzia dalla probabilità e dalla statistica fondate sul requisito della ripetibilità dei risultati
tipico delle scienze naturali a partire da Galileo. Un fenomeno, per interessare le prime due
discipline, deve essere incerto nei risultati e ripetibile; i dati economici, così come, in generale,
i dati delle scienze sociali, non sono, invece, frutto di un esperimento ripetibile. Il consumo
aggregato di una nazione in un dato anno rappresenta la realizzazione di un esperimento in cui
i consumatori hanno effettuato scelte di consumo e di risparmio correlate con il proprio reddito
disponibile corrente, la propria ricchezza e una serie di altri fattori economici relativi a
quell’anno e non ripetibili in altri anni. Gli investimenti in un dato anno di una data impresa
sono funzione del tasso di interesse di mercato in quell’anno, della variazione del reddito
disponibile rispetto all’anno precedente, della sua attitudine al rischio in quel momento storico
e di altri fattori che, senza alcun dubbio, non si ripeteranno in altri periodi secondo le medesime
modalità.
L’analisi quantitativa dei fenomeni economici condotta dall’econometria si avvale di modelli
fondati sulla teoria economica, applicati a dati economici di diverso tipo: serie storiche, dati
cross section e dati panel.
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6
Capitolo Primo
SERIE STORICHE (O TIMES SERIES)
Molti fenomeni presentano andamenti nel tempo caratterizzati da una certa regolarità o costanza
strettamente legate alla posizione occupata dall’osservazione nella sequenza di dati osservati.
L’analisi delle serie storiche, o cronologiche, o temporali, è la metodologia statistica che si
occupa dello studio di tali fenomeni i quali sono rappresentabili, appunto, tramite serie storiche.
In termini rigorosi, una serie storica, xt, è una successione di osservazioni ordinate logicamente
secondo un indice temporale t che definisce l’ordinamento dei dati e tale che t ∈ T. Si tratta di dati
di un fenomeno statistico osservato per più periodi (settimanali, mensili, trimestrali, annuali).
L’ordine degli elementi di una serie storica non è casuale, anzi i dati sono ordinati in modo
naturale dal valore assunto dall’indice temporale.
L’analisi econometrica può essere interessata a serie storiche macroeconomiche, come il
reddito di una nazione in diversi anni, il suo consumo, i suoi investimenti. Le serie storiche
microeconomiche concernono analoghe grandezze riferite a singoli individui o imprese.
DATI CROSS SECTION
I dati cross section sono costituiti da osservazioni individuali riferite a uno stesso istante
temporale t. Essi sono derivati da osservazioni trasversali concernenti dati di più unità statistiche
osservate per un solo periodo, come il reddito di n unità statistiche riferite a un solo periodo.
DATI PANEL
I dati panel sono dati di più fenomeni osservati per più di un periodo. I dati derivano da
osservazioni longitudinali e sono bidimensionali in quanto incorporano sia la dimensione
temporale sia quella sezionale. Si tratta, quindi, della sequenza temporale di dati sezionali, come
il reddito di più unità statistiche in più periodi.
Si supponga di disporre di osservazioni temporali relative a un numero n di unità statistiche di
base o individui, per le variabili economiche y e x. Con un panel di dati si dispone di osservazioni
su n unità statistiche per t periodi con t ∈ T.
2. LA NOZIONE DI MODELLO
Come è stato più volte ribadito, l’econometria si occupa della modellizzazione matematica
delle relazioni esistenti tra variabili economiche, in altri termini, costruisce modelli. La
costruzione di modelli atti a rappresentare e interpretare la realtà è una della più delle più antiche
attività umane. Un modello può essere definito come una rappresentazione formale delle
conoscenze relative a un fenomeno, con la costruzione di un modello non si realizza una esatta
riproduzione del fenomeno studiato ma se ne fornisce una versione semplificata.
Un modello consiste tipicamente in un insieme di equazioni che legano le variabili rilevanti
del fenomeno allo studio. In generale, esiste uno schema logico per la costruzione e l’applicazione di un modello che si articola in quattro stadi fondamentali.
La natura dell’econometria e i modelli econometrici
7
2.1 Primo stadio: specificazione del modello
Nel primo stadio si ha la specificazione che consiste nella formalizzazione in termini
matematico – statistici delle ipotesi teoriche. Il tipo di specificazione adottata dipende, generalmente, non solo dal particolare processo economico che si considera, ma anche dal materiale
empirico a disposizione. La costruzione di un modello econometrico, infatti, inizia con la
definizione e l’analisi delle osservazioni campionarie che devono essere integrate con l’informazione a priori: i paradigmi della teoria economica.
In questo stadio bisogna risolvere problemi diversi. Innanzi tutto, occorre individuare le
variabili influenti e distinguerle in variabili esogene, che influenzano il modello stesso ma non
subiscono l’effetto delle relazioni descritte in esso, e variabili endogene, il cui valore
quantitativo è generato (spiegato) dal modello sulla base dei valori dei parametri (costanti) del
modello e delle variabili esogene. In secondo luogo, occorre decidere la forma funzionale della
legge sottostante il fenomeno investigato.
Inoltre, essendo una semplificazione della realtà, difficilmente un modello è di tipo
deterministico, esso ha, generalmente, carattere aleatorio e per questo occorre considerare
le deviazioni residuali tra relazioni teoriche e osservazioni empiriche, o in altri termini, le
cosiddette componenti stocastiche di disturbo, le quali sono, generalmente, introdotte in forma
additiva. Tali componenti sono dovute a cause singolarmente irrilevanti ma congiuntamente
influenti, quali l’omissione di variabili considerate inessenziali e divergenze tra variabili
teoriche e variabili osservabili. L’esistenza di componenti stocastiche, non empiricamente
osservabili, implica che, in fase di specificazione, occorre formulare delle ipotesi circa la loro
distribuzione di probabilità (le componenti stocastiche sono delle variabili casuali) con il
conseguente incremento del numero complessivo di parametri che dovranno essere stimati.
I modelli si distinguono in dinamici e statici. Nei primi, a differenza di quanto avviene nei
secondi, le interazioni tra variabili non si manifestano con effetti puramente istantanei. In una
o più delle relazioni di un modello dinamico, ricorrono variabili che si riferiscono a periodi di
tempo diversi, così che il valore delle variabili endogene varia in funzione del tempo; si distingue,
perciò, tra variabili correnti e variabili ritardate di uno, due, ... periodi.
Il fattore tempo è indicato con t, per cui, se con Y si indica il reddito, con C il consumo e con
I gli investimenti, Yt , Ct e I t sono i consumi al tempo t, mentreYt−1 , Ct−1 e I t−1 sono le corrispondenti grandezze ritardate di un periodo, Yt−2, Ct−2 e I t−2 sono le corrispondenti grandezze ritardate
di due periodi etc.
Rispetto ai modelli statici, in cui le variabili non sono datate, i modelli dinamici presentano
una maggiore capacità di rappresentare la realtà; essi sono, spesso, di non facile soluzione.
2.2 Secondo stadio: stima dei parametri del modello
Nel secondo stadio, è trattato il problema della quantificazione delle relazioni economiche,
in altre parole, si procede alla stima dei parametri incogniti del modello. In questa fase si
intende individuare una struttura del modello che sia il più possibile prossima alla incognita
struttura vera, ossia alla reale rappresentazione del fenomeno in oggetto. La stima si basa su
materiale empirico costituito da un insieme di osservazioni campionarie sui valori assunti dalle
variabili in un certo periodo di tempo.
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8
Capitolo Primo
Dalla statistica sono noti diversi metodi di stima dei parametri. In questo testo faremo
pressoché esclusivamente riferimento al metodo dei minimi quadrati e al metodo della
massima verosimiglianza, i quali, spesso, conducono, come vedremo, ai medesimi risultati.
2.3 Terzo stadio: verifica della validità del modello
La verifica (terzo stadio) consiste in una sequenza di operazioni atte a valutare la validità del
modello sulla base delle osservazioni disponibili sulle diverse variabili dello stesso. La verifica
riguarda diversi aspetti della rappresentazione formale del fenomeno allo studio quali: specificazione, capacità descrittiva, conformità alle aspettative teoriche e capacità previsiva.
La verifica della specificazione vaglia il grado di attendibilità che può essere attribuito alle
ipotesi che risultano dalla formulazione del modello; essa appura se le stesse possono ritenersi
compatibili o non con quanto indica l’evidenza empirica rappresentata dalle osservazioni campionarie disponibili e si fonda sugli strumenti tipici di quell’area dell’inferenza statistica nota come
teoria delle prove di ipotesi. Nella prova di ipotesi si distingue tra ipotesi nulla e ipotesi
alternativa; la prima, che generalmente rispecchia la situazione acquisita prima dell’osservazione
campionaria, è indicata con H0, mentre, la seconda, che ne attesta una diversa specificazione, è
indicata con H1; sulla base delle osservazioni empiriche, a un prestabilito livello di probabilità, «si
rifiuta» o «non si rifiuta» il modello a seconda che le stesse supportino o meno l’ipotesi nulla.
La verifica di un’ipotesi è effettuata utilizzando una statistica-test o test funzione delle
osservazioni campionarie e avente una distribuzione nota con la condizione che l’ipotesi
enunciata sia vera. Il test è, quindi, una procedura inferenziale atta a valutare la conformità
probabilistica tra un campione e la popolazione da cui è stato estratto. Esso determina il grado
di attendibilità delle osservazioni campionarie, allo scopo di stabilire se le differenze risultanti
rispetto alla popolazione siano significative oppure dovute a errore campionario. I test statistici
generalmente impiegati presentano distribuzioni del tipo: v.c. normale standardizzata, v.c. F di
Fisher, v.c. t di Student, v.c. χ 2 di Pearson.
Con la verifica della capacità descrittiva si accerta se il modello è in grado o meno di
riprodurre con accuratezza i valori osservati delle variabili endogene. Se si è in presenza di un
modello uniequazionale le misure classiche atte a valutare l’adattamento, come l’indice di
determinazione o simili sono funzionali, mentre, in presenza di un modello multiequazionale,
la semplice constatazione che le singole equazioni sono in grado di rappresentare il fenomeno
non fornisce alcuna garanzia che il modello considerato nel suo insieme sia attendibile. La
verifica della validità del modello in termini di capacità descrittiva è effettuata confrontando i
valori storici e i valori stimati delle variabili endogene.
La verifica della conformità alle aspettative teoriche valuta la coerenza dei risultati
ottenuti dalle stime con le indicazioni della teoria. Questo tipo di analisi fa uso della nozione di
moltiplicatore il quale misura l’entità dell’effetto che un cambiamento unitario in una data
variabile esogena provoca su una data variabile endogena.
Un modello si può dire attendibile non solo quando è in grado di riprodurre adeguatamente
i dati storicamente accertati e di generare valori dei parametri aderenti alle aspettative teoriche,
ma anche quando si dimostra capace di dar luogo a buone previsioni. La capacità previsionale
del modello può essere valutata ricorrendo a tecniche di previsione ex-post.
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La natura dell’econometria e i modelli econometrici
9
2.4 Quarto stadio: utilizzo del modello
L’utilizzo effettivo del modello (ultimo stadio) è subordinato alla sua corretta specificazione, a
una stima con tecniche adeguate e all’esito favorevole delle verifiche che ne garantiscono la validità.
La costruzione di un econometrico può avere finalità descrittive della realtà economica,
interpretative delle relazioni tra variabili economiche o previsionali.
Attraverso un modello ci si può prefiggere, infatti, la descrizione delle relazioni economiche,
per cui il modello deve rappresentare semplicemente la realtà osservata. Ovviamente questa
visione attribuisce al modello un ruolo riduttivo in quanto il processo di formalizzazione di un
fenomeno economico non può limitarsi a una mera riproduzione della realtà.
Un modello econometrico può essere volto alla interpretazione dei nessi causali e della
dinamica di un sistema economico, per cui deve porre in evidenza le relazioni eventuali tra
diversi fenomeni; si consideri, ad esempio, il problema tipico di politica economica della
quantificazione degli effetti sul PIL o sull’inflazione dell’incremento di un punto percentuale del
tasso di interesse praticato della Banca centrale europea.
Il modello, infine, può avere finalità di previsione. L’analisi econometrica si può dire
attendibile non solo quando è in grado di riprodurre adeguatamente i dati empiricamente accertati
e di generare valori di parametri aderenti alla realtà, ma anche quando si dimostra capace di dar
luogo a efficaci tecniche di previsione della dinamica dei fenomeni economici. Queste ultime
consentono di adottare appropriate scelte di politica economica. Si consideri, ad esempio, la stima
dell’intervallo di valori del PIL o del tasso di inflazione del nostro paese il prossimo anno.
Questa fase è notevolmente delicata, in quanto occorre procedere alla soluzione del modello ossia
alla valutazione dei presumibili valori delle variabili endogene in istanti temporali non compresi nel
periodo di osservazione utilizzato per la stima dei parametri. È ovvio che l’utilizzo del modello a fini
previsionali implica la formulazione di un’ipotesi di stabilità della struttura osservata per il periodo
di tempo sul quale si intendono effettuare simulazioni anteriori al reale manifestarsi del fenomeno.
3. MODELLI PER SERIE STORICHE E MODELLI DI REGRESSIONE
I modelli si dividono in due grandi categorie ciascuna delle quali presuppone assunzioni e
conoscenze diverse: modelli per serie storiche e modelli di regressione.
I modelli per serie storiche, o temporali, basano la loro conoscenza e il loro comportamento
sulla storia del fenomeno oggetto di studio. L’analisi delle serie storiche si fonda sull’ipotesi per
cui i fattori che hanno influenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente esplicheranno effetti analoghi anche nel futuro.
I modelli di regressione si basano sull’esistenza di una relazione causa-effetto tra il
fenomeno osservato e una o più variabili esplicative, essi sono costituiti da una sola o più
equazioni lineari, o non, nei parametri.
Bisogna fare una ulteriore distinzione tra modelli di regressione semplice e multipla, i primi
descrivono come una data variabile indipendente o esplicativa, detta anche regressore, spieghi
un’altra variabile (dipendente), mentre i secondi sono utilizzati quando le variabili esplicative
sono più di una.
Nel caso in cui anche le variabili dipendenti o variabili risposta siano più di una, si parla di
regressione multivariata multipla.
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10
Capitolo Primo
4. FORMA STRUTTURALE E FORMA RIDOTTA DI UN MODELLO
Un modello si dice in forma strutturale quando le variabili endogene sono espresse in funzione
delle variabili esogene e delle altre variabili endogene. Con lo stesso, la connessione tra le diverse
grandezze economiche deriva direttamente dalla teoria economica di cui il modello è la rappresentazione formale. Un modello in forma strutturale è, semplicemente, un modello di analisi, con lo stesso
non è possibile calcolare immediatamente i valori delle variabili endogene in corrispondenza di ogni
livello delle variabili esogene. Per questo occorre passare alla sua forma ridotta, che è ottenuta
esprimendo ciascuna variabile endogena corrente in funzione dei parametri, delle variabili esogene
e delle variabili esogene ritardate. Un modello in forma ridotta è perciò un modello di strategia.
Nei capitoli che seguono, daremo modelli espressi in forma ridotta in cui una variabile dipendente
è funzione di una o più variabili indipendenti. Solo nel capitolo ottavo, in cui spiegheremo i modelli
a equazioni simultanee, faremo una distinzione tra forma strutturale e forma ridotta di un modello.
Nel pragrafo seguente illustreremo un esempio di modello espresso in forma strutturale.
5. IL PROCEDIMENTO DI COSTRUZIONE DI UN MODELLO ECONOMETRICO:
UN ESEMPIO
Come si è visto, la costruzione di un modello comporta un certo numero di passi da seguire
pedissequamente, in questo paragrafo li illustreremo a partire da un esempio noto nella teoria
economica: il modello di Keynes. Quest’ultimo rappresenta una legge psicologica fondamentale in quanto, come affermato nella Teoria generale capitolo VIII, «di norma e in media, gli
uomini sono disposti ad accrescere il loro consumo con l’aumentare del reddito, ma non tanto
quanto l’aumento del reddito».
Qualsiasi teoria, per essere modellizzata, deve basarsi su una serie di ipotesi semplificatrici
della realtà. La teoria di Keynes è basata sulle seguenti:
— la spesa per consumi C dipende dal reddito disponibile Y;
— il livello di investimenti privati I dipende dalla variazione del reddito disponibile corrente e
dal tasso d’interesse di mercato r;
— esiste una spesa pubblica autonoma;
— il reddito lordo è uguale alla somma del consumo, degli investimenti privati e pubblici.
La traduzione in termini matematici delle ipotesi precedentemente esposte della teoria
keynesiana è riportata di seguito.
CONSUMO
Il consumo C è funzione del reddito disponibile Y:
C = f (Y )
La relazione tra le due variabili è crescente, per cui si può scrivere:
∂C
= f ′ (Y ) > 0
∂Y
che rappresenta la propensione marginale al consumo.
Excerpt of the full publication
La natura dell’econometria e i modelli econometrici
11
La forma della funzione f non è precisata da Keynes, tuttavia egli afferma che:
— la propensione marginale al consumo è compresa tra 0 e 1, per cui se il reddito nazionale
aumenta di 1 unità monetaria, il consumo aumenta ma meno di 1; in termini matematici:
0 < f ′ (Y ) < 1
— la propensione media al consumo, ossia PMC =
C
, diminuisce al crescere del reddito;
Y
traducendo in termini matematici:
∂PMC
<0
∂Y
Nella letteratura successiva alla Teoria generale si è affermata, come semplificazione
utilizzabile nelle stime sui dati empirici, una rappresentazione dell’idea keynesiana della
propensione al consumo, per cui la funzione f del consumo è una funzione lineare del tipo:
C = α 0 + α1Y
(5.1)
in cui:
— α 0 > 0 è una costante ed è la componente autonoma, ossia quella parte di domanda di beni
di consumo che non dipende dal reddito corrente, e che si suppone in generale essere positiva,
graficamente è l’intercetta della retta rappresentativa della funzione lineare appena data;
— 0 < α1 < 1 indica la propensione marginale al consumo e rappresenta, graficamente, il
coefficiente angolare ossia la tangente dell’angolo che la retta considerata forma con l’asse
delle ascisse.
La propensione marginale al consumo, nella (5.1), è rappresentata da:
∂C
= α1
∂Y
mentre, la propensione media al consumo è:
PMC =
C α 0 + α1Y α 0
=
= + α1
Y
Y
Y
mentre la sua derivata rispetto a Y è:
∂PMC
α
= − 02
∂Y
Y
Affinché PMC sia decrescente è necessario che α 0 > 0 .
Nella (5.1), C è una variabile endogena, quella che deve essere spiegata dal modello, ed è
anche detta, con linguaggio proprio della matematica, variabile dipendente. Invece, Y è una
variabile esogena, quella che spiega il consumo, ed è detta variabile indipendente.
Un’altra forma della funzione di consumo potrebbe essere la seguente funzione esponenziale:
C = α 0Y α1
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12
Capitolo Primo
INVESTIMENTI
Gli investimenti privati dipendono dalla variazione del reddito lordo e dal tasso d’interesse; in
simboli:
I = g ( ΔY , r )
con
g′ < 0
SPESA PUBBLICA
Esiste un investimento autonomo pubblico G.
PRODOTTO NAZIONALE
Il reddito (o prodotto) nazionale è uguale alla somma dei consumi e degli investimenti
pubblici e privati; ciò si traduce nella seguente identità:
Y ≡ C + I +G
5.1 Scelta della forma funzionale
Formalizzate le ipotesi alla base della teoria economica, l’econometria si occupa di dare una
specifica forma funzionale alle suddette relazioni; in altri termini dà esepressione analitica alle
funzioni f e g. Nella scelta delle stesse, tuttavia, bisogna tenere in considerazione la cosiddetta
struttura dei ritardi (lags) secondo cui le scelte di consumo e di investimento possono
dipendere dal reddito corrente o dal reddito passato, e dai tassi di interesse correnti o passati.
Generalmente si considerano periodi di tempo annuali, per cui, indicando con t l’anno
corrente, con t – 1 si indica l’anno precedente e così via.
L’econometrico potrebbe scegliere il seguente modello del reddito nazionale espresso in
forma strutturale:
Ct = α 0 + α1Yt + α 2 rt
con
α 0 > 0 , 0 < α1 < 1 , α 2 < 0
(5.2)
I = β0 + β1 (Yt −1 − Yt −2 ) + β2 rt −1 con
β0 > 0 , 0 < β1 < 1 , β2 < 0
(5.3)
Yt ≡ Ct + I t + Gt
(5.4)
In base a tale modello, le scelte di consumo dipendono dalle variabili endogene correnti Yt
e rt. Analogamente, le scelte di investimento dipendono dalle variabili endogene ritardate Yt−1
e Yt−2 e rt−1 .
Nella costruzione di un modello, l’econometrico ha davanti a sé una serie di variabili
candidate, ovviamente, non tutte saranno incluse nel modello.
La costruzione di un modello è volta al conseguimento di due obiettivi tra loro in conflitto.
Il primo è quello di includere nel modello quante più variabili possibili in modo che esse possano
influire sui valori previsti della variabile dipendente. Il secondo è quello secondo cui è necessario
che il modello includa quante più poche variabili poiché la varianza dei valori stimati della
variabile dipendente cresce al crescere del numero di tali variabili.
Excerpt of the full publication
La natura dell’econometria e i modelli econometrici
13
Facendo riferimento al modello di reddito nazionale, si è scelto di inserire nella funzione (5.2)
come variabile esplicativa del consumo non solo il reddito corrente ma anche il tasso d’interesse
corrente sul mercato. Analogamente, nella funzione (5.3) si è scelto di inserire come variabile
esplicativa degli investimenti non solo la differenza di reddito tra due periodi ma anche il tasso
d’interesse di mercato del periodo precedente.
Tuttavia, le varie procedure per la selezione di variabili non garantiscono la produzione di
equazioni, per una certa serie di dati, migliori in assoluto.
5.2 Stima dei parametri
Nella fase successiva, l’econometria si occupa di dare un valore numerico ai parametri che
compaiono nelle equazioni del modello; nella fattispecie del modello costruito occorre trovare
un numero e sostituirlo nelle equazioni (5.2) e (5.3) alle lettere α 0 , α1 e α 2 , e β0 , β1 e β2 ,
rispettivamente.
In questa fase, si parla di stima dei parametri in quanto le osservazioni non sono effettuate sul
comportamento di tutti i consumatori (del loro livello di consumi e di reddito), ossia, usando il
linguaggio statistico, su tutta la popolazione ma su un campione estratto dalla stessa. Questo è
un problema tipico dell’inferenza statistica che ha come scopo l’utilizzo delle informazioni che
possono essere ricavate da un campione per conoscere le caratteristiche della popolazione da cui
è stato estratto. È ovvio che nell’estensione delle informazioni dal campione alla popolazione si
corre il rischio casuale tipico del metodo induttivo, legato al numero limitato di unità da cui si
sono tratte le informazioni e alla loro natura casuale.
Il campione deve essere rappresentativo della popolazione; esso avrà in media le medesime
caratteristiche della popolazione: la stessa proporzione di uomini e donne, la stessa ripartizione
in classi d’età etc.
5.3 Verifica della validità del modello
La fase successiva dell’elaborazione del modello riguarda la verifica della pertinenza della
teoria elaborata nel rappresentare le interrelazioni tra variabili, ossia della sua conformità con i
dati disponibili. In questa fase, ci si accerta che le relazioni specificate siano valide, che il
modello sia verificato su tutto il periodo di osservazione, che i parametri siano stabili etc.
6. PIANO DELL’OPERA
Prima di addentrarci nella disciplina è opportuno dare una visione del modo in cui sarà
articolato il testo.
Dopo questo capitolo introduttivo, dedicato alla presentazione dell’econometria e ai suoi
legami con la teoria economica, il testo verte principalmente sulla elaborazione dei modelli di
regressione.
Infatti, il capitolo secondo è dedicato al modello di regressione semplice, il capitolo terzo,
invece, è dedicato a sue estensioni sia al caso di osservazioni ripetute sia alla regressione trivariata.
Dal capitolo quarto si analizza il modello di regressione multipla. Precisamente il capitolo
quinto è dedicato alla violazione dell’ipotesi di non collinearità delle variabili esplicative, ossia
14
Capitolo Primo
alla multicollinearità, mentre il capitolo sesto vuole costituire un’introduzione agli stimatori
di massima verosimiglianza nonché alle proprietà asintotiche degli stimatori. Il capitolo
settimo si occupa della violazione dell’ipotesi considerata di sfericità dei termini d’errore di un
modello di regressione multipla: eteroschedasticità e autocorrelazione. Proprio perché l’autocorrelazione caratterizza i dati di serie storiche nel capitolo settimo, contemporaneamente alla
trattazione dell’autocorrelazione daremo alcuni elementi di analisi delle serie storiche.
Il capitolo ottavo, infine, è dedicato all’identificazione e stima dei modelli a equazioni
simultanee.
Il testo è costituito, inoltre, da due Appendici. La prima, Appendice A, consta di nozioni sulle
matrici e sulle loro proprietà. L’argomento non è stato trattato in un capitolo del testo, in quanto,
innanzi tutto, costituisce argomento di un esame propedeutico e, inoltre, si è ritenuto opportuno
non interrompere la continuità della trattazione tra modelli di regressione semplice e modelli di
regressione multipla. La seconda, Appendice B, consta di 5 tavole statistiche. Le prime 4 sono
relative a variabili casuali note: normale standardizzata, chi-quadrato, t di Student e F di Fisher.
Un’ultima tavola riporta i valori inferiori e superiori della statistica di Durbin e Watson dato
un certo numero di variabili esplicative e un certo livello di significatività.
CAPITOLO SECONDO
IL MODELLO DI REGRESSIONE SEMPLICE
SOMMARIO: 1. Introduzione. - 2. Specificazione di un modello di regressione semplice. - 3. Stima con il
metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS). - 4. Coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson. - 5. Momenti
degli stimatori dei minimi quadrati. - 6. Proprietà degli stimatori dei minimi quadrati. - 7. Test e intervalli di
confidenza per il modello di regressione semplice. - 8. Analisi della varianza. - 9. Previsione nel modello di
regressione semplice. - Questionario.
1. INTRODUZIONE
Nell’analisi statistica, la regressione è volta alla ricerca di un modello atto a descrivere la
relazione esistente tra una variabile dipendente, e una o più variabili indipendenti o
esplicative.
La scelta dell’una o dell’altra variabile come indipendente non è arbitraria ma legata alla
natura del fenomeno: si sceglie come indipendente la variabile che sia logicamente antecedente
rispetto all’altra. In un modello di regressione, le variabili esplicative (dette anche regressori)
spiegano, prevedono, simulano, controllano la variabile dipendente.
Il termine regressione fu coniato da Galton che, nel misurare la relazione tra statura dei padri
e quella dei figli, osservò una regressione dei valori delle altezze dei figli verso la media.
Per eseguire una regressione si fa riferimento a modelli teorici di vario tipo: lineare,
parabolico, esponenziale, logaritmico etc.
In questo capitolo illustreremo il modello di regressione semplice in cui una variabile
endogena è spiegata da una sola variabile esogena.
In particolare supporremo l’esistenza di un legame lineare tra le variabili e introdurremo le
tecniche statistiche che consentono di stimare i parametri del modello, di testare ipotesi sugli
stessi e di costruire intervalli di confidenza per i medesimi.
2. SPECIFICAZIONE DI UN MODELLO DI REGRESSIONE SEMPLICE
In questa prima fase un ruolo fondamentale è svolto dalle ipotesi che si fanno sul processo
statistico che ha generato i dati. La teoria economica prospetta l’insieme delle variabili di
interesse del problema che si intende affrontare e la direzione di causalità che non può essere
spiegata dalla matematica o dalla statistica.
Tuttavia, la teoria da sola non basta per definire compiutamente tutti gli elementi di cui si
compone un modello econometrico; per questo sono necessarie ipotesi di specificazione quali
la scelta della forma funzionale, e la matematica, appunto, trasforma la semplice relazione in una
relazione determinata.
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16
Capitolo Secondo
Il modello di regressione semplice intende spiegare il legame funzionale esistente tra una
variabile X indipendente e una variabile Y dipendente.
Tuttavia, questo modo di procedere presenta degli inconvenienti, infatti non è possibile
affermare che tra le due variabili X e Y esiste una perfetta relazione matematica del tipo:
Y = f(X)
in quanto, innanzi tutto, non si dispone di tutte le informazioni relative al fenomeno X e al
fenomeno Y ma solo di un campione di osservazioni, che darà luogo a coppie di ordinate del tipo
(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), le quali solo in termini probabilistici esprimono la relazione esistente
tra le corrispondenti variabili della popolazione; inoltre, a causa di fenomeni imprevedibili,
errori di misurazione, scarti accidentali, non esiste un legame di tipo deterministico tra le
variabili. Costituisce, quindi, una semplificazione affermare che il fenomeno Y è spiegato dal
fenomeno X, in quanto nella realtà esistono interrelazioni tra variabili che non possono essere
compendiate in alcuna scrittura. Per questi motivi il modello di riferimento sarà del tipo:
Y = f(X) + ε
La variabile Y è una variabile casuale (v.c.) risultante dalla somma di una componente
deterministica f(X) e di una componente stocastica ε , dove ε è una v.c. che ha funzioni
compensative per le discrepanze esistenti tra il modello e la realtà.
La v.c. ε è definita errore o scarto tra le costruzioni teoriche e la realtà osservata, infatti, si ha:
ε = Y – f(X)
Dopo aver provveduto ad individuare la variabile X che spiega il fenomeno in oggetto si passa
alla fase di specificazione del modello che consiste nella sua rappresentazione formale; si assume
che la relazione tra le variabili X e Y sia lineare nei parametri, dunque, il modello di regressione sarà:
Y = β0 + β1X + ε
che, in presenza di osservazioni campionarie ( xi , yi ) , i = 1, 2, …, n, dà luogo alla seguente
equazione:
yi = β0 + β1xi + ε i
i = 1, 2, …, n
ed in cui la parte sistematica è β0 + β1xi e la parte stocastica è ε i.
IPOTESI CLASSICHE DEL MODELLO DI REGRESSIONE SEMPLICE
Il modello di regressione lineare si basa su ipotesi cosiddette classiche, ossia su assunzioni
semplificatrici della realtà:
1. Ipotesi di linearità
Postula una relazione lineare tra variabili e specifica la variabile dipendente Y osservata come
una funzione lineare tramite il coefficiente della variabile esplicativa, cui si aggiunge una
manifestazione non osservabile della v.c. ε ; in simboli:
yi = β0 + β1xi + ε i
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i = 1, 2, …, n
Il modello di regressione semplice
17
2. Ipotesi di non sistematicità degli errori
Deriva dalla necessità che scarti positivi e negativi si compensino in media, o, il che è lo
stesso, che i termini di errore ε siano mediamente nulli; in simboli:
E (εi ) = 0
3. Ipotesi di omoschedasticità degli errori
La varianza della v.c. ε i resta costante al variare delle osservazioni; in simboli:
Var ( ε i ) = σ 2
La componente stocastica di disturbo non dipende, quindi, dal tempo di rilevazione del
fenomeno. In caso contrario si parla di eteroschedasticità.
4. Ipotesi di covarianza nulla di errori relativi a osservazioni campionarie diverse
In simboli:
⎧0 per i j
Cov (ε i , ε j ) = ⎨ 2
⎩σ per i = j
5. Ipotesi di non stocasticità della variabile esplicativa
La variabile esplicativa è deterministica, ovvero non soggetta a deviazioni di natura
accidentale.
Sulla base di tali ipotesi, nel modello di regressione lineare semplice occorre stimare la
varianza σ 2 che contraddistingue la v.c. errore.
Essendo, per ipotesi, E ( ε i ) = 0 e le xi fisse, il valore medio e la varianza della v.c. Y i saranno:
E (Yi ) = E ( β 0 + β1 xi + ε i ) = β 0 + β1 xi + E ( ε i ) = β 0 + β1 xi
Var (Yi ) = Var ( β 0 + β1 xi + ε i ) = Var ( ε i ) = σ 2
2.1 Ipotesi di normalità degli errori
Un’ulteriore ipotesi concernente un modello di regressione è quella relativa alla normalità
degli errori, che in simboli può essere scritta nel modo seguente:
ε ∼ N ( 0, σ ε2 )
Essa presuppone che la v.c. errore si distribuisca come una v.c. normale con valore medio
nullo e varianza costante.
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18
Capitolo Secondo
In altri termini, la funzione di densità di probabilità della v.c. ε può essere scritta nel modo
seguente:
p (ε ) = N ( 0, σ ε2 )
i = 1, 2, ..., n
Graficamente, tale ipotesi può essere rappresentata nel modo seguente:
p (ε )
Y
Y = β0+ β1X
β0
x1
x2
x3
xn
X
Fig. 1 - Normalità degli errori
3. STIMA CON IL METODO DEI MINIMI QUADRATI ORDINARI (OLS)
Lo stadio successivo relativo alla costruzione di un modello di regressione semplice
riguarda la stima dei coefficienti β0 e β1 e della varianza σ 2 della v.c. errore. In questo
paragrafo otterremo una stima dei coefficienti mentre nel paragrafo 5 otterremo una stima della
varianza.
Dalla statistica è noto che mentre lo stimatore di un parametro è una v.c., la stima è il valore
assunto dallo stimatore in seguito all’estrazione di un campione di n elementi e al calcolo di una
statistica al suo interno.
Nella teoria della stima si distingue tra:
— stima puntuale in cui si giunge alla determinazione di un solo valore numerico per il
parametro;
— stima intervallare in cui si costruisce un intervallo che, con fiducia prefissata, include il
parametro da stimare.
Per stimare i parametri del modello di regressione si estrae un campione costituito da n
coppie di valori ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y2 ) , ..., ( x n , yn ) dove x 1, x2, ..., xn sono i valori della variabile
esplicativa e y1, y2, ..., y n sono i valori assunti dalla variabile dipendente. Le osservazioni
19
Il modello di regressione semplice
possono essere rappresentate in un grafico a dispersione come esemplificato nella figura
seguente:
Y
• •
• •
• • • ••
•
•
• • • • ••
•
• • • •
•
• •
• •
•
• •
•
•••
•
•
X
Fig. 2 - Diagramma a dispersione
Nell’eseguire una stima puntuale dei parametri è necessario trovare una relazione lineare tra
la variabile X e la variabile Y in modo da minimizzare il valore della componente stocastica. Dal
punto di vista geometrico è necessario trovare quella retta che attraversa la nuvola di punti
rappresentativa delle n osservazioni campionarie su X e Y, ossia per i punti di coordinate
( x , y ) per i = 1, 2, ..., n.
i
i
Trattandosi di variabili economiche il quadrante generalmente impiegato è il primo, anche
se nulla vieta di utilizzare anche altri quadranti per rappresentare un saldo negativo della bilancia
dei pagamenti, un tasso reale d’interesse negativo etc.
L’equazione generica della retta di regressione è:
Y = β 0 + β1 X
β0 e β1 rappresentano, rispettivamente, l’intercetta e il coefficiente angolare della retta.
La retta di regressione non passa per tutti i punti osservati ma attraverso gli stessi, per cui
alcuni punti della nuvola si troveranno nel quadrante al di sopra della retta, mentre altri al di sotto
della stessa.
Avendo indicato con ( xi , yi ) per i = 1, 2, ..., n le n osservazioni campionarie, si definiscono
residui o scarti le differenze tra i valori osservati yi e i valori teorici ŷi determinati dalla retta:
ei = yi − yˆi
i = 1, 2, ..., n
Si è aggiunto un cappelletto alla variabile Y a indicare che si tratta di un valore teorico di Y
ottenuto in corrispondenza di un dato valore di X.
Tali scarti sono le realizzazioni della v.c. ε i .
Se il calcolo dei due coefficienti di regressione è effettuato con il metodo dei minimi
quadrati ordinari OLS (dall’inglese Ordinary Least Squares) proposto da Karl Friederich
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Indice Generale
A.3.2 Moltiplicazione per uno scalare ............................................................ Pag. 187
A.3.3 Prodotto fra matrici ............................................................................... » 187
A.3.4 Matrice trasposta ................................................................................... » 190
A.4 Matrici particolari ............................................................................................ » 191
A.5 Matrici, sistemi lineari e funzioni (vettoriali) lineari ...................................... » 191
A.5.1 Sistemi di equazioni lineari ................................................................... » 191
A.5.2 Funzioni vettoriali ................................................................................. » 192
A.5.3 Funzioni lineari...................................................................................... » 193
A.5.4 Matrici non singolari e funzioni lineari invertibili ................................ » 194
A.5.5 Matrici quadrate e matrice inversa ........................................................ » 194
A.6 Il determinante................................................................................................. » 195
A.6.1 Costruzione del determinante ................................................................ » 195
A.6.2 Proprietà del determinante ..................................................................... » 197
A.7 Calcolo della matrice inversa .......................................................................... » 197
A.8 Regola di Cramer ............................................................................................ » 198
A.9 Autovalori........................................................................................................ » 199
A.10 Rango di una matrice ....................................................................................... » 200
A.11 Forme quadratiche ........................................................................................... » 200
A.12 Problemi di massimo e di minimo in forma matriciale ................................... » 202
A.13 Problemi di ottimizzazione vincolata in forma matriciale ............................... » 204
Appendice B - Tavole Statistiche
Tavola 1 - Funzione di ripartizione della v.c. normale standardizzata...............
Tavola 2 - Quantili della v.c. chi-quadrato .........................................................
Tavola 3 - Quantili della v.c. t di Student ..........................................................
Tavola 4 - Quantili della v.c. F di Fisher al 5% e all’1% ...................................
Tavola 5 - Statistica di Durbin e Watson (Tavole di Savin e White) .................
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210
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I volumi di base
Compendio di
Econometria
Indice
La natura dell’econometria e i modelli econometrici - Il modello di regressione semplice - Estensioni del modello
di regressione semplice - Il modello di regressione multipla - La multicollinearità nel modello di regressione Metodi di massima verosimiglianza e delle variabili strumentali e proprietà asintotiche degli stimatori - La
violazione dell’ipotesi di sfericità degli errori: eteroschedasticità ed autocorrelazione - Modelli a equazioni simultanee:
identificazione e stima
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