Analisi Matematica - Amare la matematica e la fisica

TORINO , FEBBRAIO 2011
COMPENDIO
DI
ANALISI MATEMATICA
E
COMPLEMENTI DI ALGEBRA
di BART VEGLIA
1
SUCCESSIONI
Un insieme di numeri reali, ordinato, è numerabile quando è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell’ insieme e la serie dei numeri naturali interi
a1 a2 a3
an
an è il termine generico dell’insieme.
Tutti i termini dell’ insieme si possono ottenere dal termine generico sostituendo alla n il
numero corrispondente al posto occupato dal termine che si vuole determinare.
Le progressioni aritmetiche e geometriche sono degli insiemi ordinati numerabili.
I termini generici delle progressioni sono, rispettivamente:
a n = a 1 + (n-1)d
an = a1 q(n-1)
e
Dicesi successione un insieme ordinato numerabile di numeri reali i cui termini
obbediscono ad una ben individuata legge di formazione.
Successioni convergenti. Al crescere di n il corrispondente termine della successione si
avvicina sempre più ad un numero finito λ:
lim an = λ
an
n∞
λ _____________
______________-n
Esempio di successione convergente è la successione neperiana di termine generico
an =(1+ 1/n) n
lim ( 1 + 1/n)n = e
n∞
Successioni divergenti. Al crescere di n il corrispondente termine della successione
dventa sempre più grande in valore assoluto tendendo a +∞ o a -∞
lim an = ± ∞
an
n∞
n
+∞
an
_____________________
-∞
n
_
Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari
Le successioni non regolari si dicono oscillanti
Le successioni non convergenti e non divergenti si dicono indeterminate (non esiste il
lim an )
n∞
2
Una successione si dice monotòna generalmente crescente (o generalmente decrescente)
se ogni termine risulta ≥ ( oppure ≤ ) al termine che lo precede.
Successione monotòna generalmente crescente:
a1 ≤ a2 ≤ ……….≤ an ≤ an+1
Successione monotòna generalmente decrescente: a1 ≥ a2 ≥………..≥ an ≥ an+1
FUNZIONI
Una grandezza che può assumere diversi valori numerici si chiama variabile
Una grandezza i cui valori numerici non cambiano si chiama costante
Una funzione è una relazione che fa corrispondere ai valori arbitrari di una variabile
indipendente (x) determinati valori di una variabile dipendente (y)
Se ad ogni valore della variabile indipendente (x) corrisponde un solo valore della variabile
dipendente (y), la funzione si dice univoca ( o monodroma o monotòna )
Se i valori corrispondenti sono più di uno la funzione si dice polivoca ( o polidroma )
Se sono infiniti la funzione si dice infinitivoca.
Si dice in forma esplicita la funzione del tipo y = f(x) ;si dice in forma implicita la funzione
del tipo F(x,y) = 0
Si dice algebrica una funzione se in forma implicita ha la forma di un polinomio
Sono algebriche le funzioni razionali (intere o fratte) e irrazionali (intere o fratte)
Si dicono trascendenti le funzioni goniometriche, logaritmiche ed esponenziali
Il grado di una funzione algebrica è quello del polinomio che corrisponde alla funzione
ridotta in forma implicita:
Ad es, y = x/(x3 – b )
cioè
x3y + by – x = 0
è di 4° grado.
Se y = f(t) e t = g(x) la funzione y = f [g(x)] è detta funzione composta
Una funzione sotto forma implicita può essere esplicitata in
Queste due funzioni si dicono inverse l’una dell’altra
y=f(x)
e
x=g(y)
Le funzioni f(x) e 1/f(x) si dicono reciproche
Una funzione monotòna è invertibile
Una funzione non monotòna non è invertibile
Una funzione è positiva in [a,b] se tra a e b il suo diagramma è tutto nel semipiano y>0
Una funzione è negativa in [a,b] se tra a e b il suo diagramma è tutto nel semipiany<0
3
Una funzione si dice pari ( o simmetrica ) se per ogni x appartenente all’insieme di
esistenza è:
f(-x)
f(x)
f(-x) = f(x)
( Ad es. y=x2 + x4 )
( Il diagramma della funzione è simmetrico rispetto all’asse y )
-x
x
Una funzione si dice dispari ( o antisimmetrica ) se per ogni x, appartenente all’insieme di
esistenza, è:
f(x)
f(-x) = -f(x)
(Ad es. y=x3 + 2x)
x
x
( Il diagramma della funzione è simmetrico rispetto all’origine )
f(-x)
Una funzione si dice periodica se esiste un valore p (detto periodo) tale
che per ogni x, appartenente all’insieme di esistenza,
sia:
f(x) = f(x + p)
f(x)
x
f(x+p)
x+p
p
DOMINIO DI UNA FUNZIONE
Si chiama dominio o insieme di definizione o insieme di esistenza di una funzione l'insieme
dei valori della variabile indipendente x che fanno assumere alla variabile dipendente y
valori reali e finiti
Funzioni algebriche
Le funzioni razionali intere hanno come dominio tutti i numeri reali
Le funzioni razionali fratte hanno come dominio tutti i numeri reali che non annullano il
denominatore
Le funzioni irrazionali hanno come dominio
- se le radici hanno indici dispari: tutti i numeri reali tranne quelli che rendono nulli
gli eventuali denominatori;
- se le radici hanno indici pari: tutti i numeri reali che rendono non negativi i relativi
radicandi
Funzioni trascendenti
Le funzioni goniometriche sen x e cos x hanno come dominio tutti i numeri reali; la
funzione tg x ha come dominio tutti i numeri reali che rendono l'argomento ≠ (π/2)+kπ
Le funzioni logaritmiche hanno come dominio tutti i numeri reali che rendono > 0 gli
argomenti dei log
Le funzioni esponenziali a base ed esponente reali hanno come dominio tutti i numeri reali
che rendono > 0 le basi delle potenze
CODOMINIO DI UNA FUNZIONE
Si chiama condominio di una funzione l’insieme dei valori assunti dalla funzione stessa.
Ad es. per la funzione y = x2 dominio sono i numeri reali; condominio è una parabola
4
LIMITI
Si dice limite di una funzione y = f(x) al tendere di x a xo , nell'intervallo di definizione
della funzione, il valore al quale la funzione stessa si avvicina man mano che la x
assume valori sempre più vicini ad xo ( dove xo può essere un numero positivo o
negativo, oppure zero, oppure ∞ )
Dicesi punto di accumulazione di un insieme un punto xo tale che ,stabilito un suo intorno, cada in esso
almeno un punto dell'insieme diverso da xo
Es. L’insieme dei numeri pari non ha punti di accumulazione. Infatti se si considera l’intorno (-1;+1) in esso
non compare nessun punto dell’insieme.
Invece ogni punto dell’insieme dei numeri reali è un punto di
accumulazione perché, comunque si scelga l’intorno, sono infiniti i numeri reali che cadono in esso.
1°)
y
λ+ε
Limite finito quando la x tende ad un num ero finito
lim f(x) = λ
y
=f(x)
f(xo) = λ
xxo
Si ha questo limite quando in corrispondenza di un
arbitrario numero ε > 0, piccolo a piacere, si può determinare un intorno di xo ( xo - δ ; xo + δ ) tale
che per ogni x, appartenente all'intorno, risulti soddisfatta la disequazione (fig. 1)
f(x)
λ−ε
Ο
| f(x) - λ | < ε
xo−δ
ossia
x
xo
xo+δ
fig 1
λ - ε < f(x) < λ + ε
N.B. In alcuni casi non esiste il valore della f(x) per x = xo mentre invece in xo ne
esiste il limite
Se xo non è un punto di accumulazione il limite per x xo non esiste
Nel caso particolare di λ = 0 la funzione si dice infinitesima in xo
2°)
Limite finito quando la x tende all' infi nito
y
lim f(x) = λ
λ+ε
x∞
Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero ε > 0, piccolo a piacere, si può determinare un numero N > 0 tale che per ogni |x| > N
sia soddisfatta la disequazione ( fig 2 )
f(x)
λ
s
λ
| f(x) - λ | < ε
∞
cioè
O
N
x
λ - ε < f(x) < λ + ε
fig 2
N.B. Se x > N si ha lim f(x) = λ
( fig 3 )
x+∞
Se x < - N si ha lim f(x) = λ
( fig 4 )
x-∞
Nel caso particolare di λ = 0 la funzione si dice infinitesima all'infinito
5
y
y
λ
λ
f(x)
λ-ε
f(x)
λ-ε
O
N
x
+∞
-∞ 
x
fig 3
-N
O
∞
fig 4
y
3°)
Limite infinito quando la x tende a un nu mero finito
lim f(x) = ∞
xxo
Si ha questo limite quando in corrispondenza di un
arbitrario numero E > 0 si può determinare un
intorno di xo (xo - δ ; xo) tale che per ogni x,
appartenente all'intorno, risulti soddisfatta la
disequazione ( fig 5 )
f(x)
E
O
xo
-δ
| f(x) | > E
fig 5
N.B. Se f(x) > E si ha lim f(x) = +∞
( fig 6 )
xxo
Se f(x) < -E si ha lim f(x) = -∞
( fig 7 )
xxo
+∞
y
y
xo
O
-E
f(x)
f(x)
E
-∞
O
xo x
xo + δ
fig 6
4°)
fig 7
Limite infinito quando la x tende all' in finito
lim f(x) = ∞
x∞
6
x
xo + δ
x
xo
Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero E > 0
si può determinare un numero N > 0 tale che per ogni |x| > N risulti soddisfatta
la disequazione
| f(x) | > E
N.B. Se per |x| > N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = +∞ ( fig 8 )
x∞
Se per |x| > N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = -∞ ( fig 9 )
xoo
+∞
y
f(x)
y
O
E
-E
N
x
f(x)
O
N
x
-∞
fig 8
fig 9
Se per x > N è sempre |f(x)| > E esiste il lim f(x) = ∞ ( fig 10 )
+∞
x∞
y
y
f(x)
E
E
O
f(x)
x
N
-∞
O
N
x
fig 10 / a
fig 10 / b
Se per x > N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = +∞ ( fig 11 )
x+∞
y
+∞
N
x
f(x)
O
E
+∞
-E
f(x)
O
N
x
+∞
-∞
fig 11
fig 12
Se per x > N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = -∞ ( fig 12 )
x+∞
Se per x < -N è sempre |f(x)| > E esiste il lim f(x) = ∞ ( fig 13 )
x-∞
7
y
y
+∞
E
f(x)
x
-∞
E
-N
O
f(x)
-∞
x
-N
O
-∞
fig 13 / a
fig 13 / b
Se per x < -N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = +∞ ( fig 14 )
x-∞
Se per x < -N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = -∞ ( fig 15 )
x-∞
+∞
-∞
x
-N
f(x)
O
E
-∞
x
-N
-E
O
f(x)
-∞
fig 14
fig 15
Il caso n° 4, cioè quello dei lim f(x) = ∞
si può riassumere nella seguente tabella
x∞
|f(x)| > E, esiste il lim f(x) = ∞
x∞
Se per |x| > N risulta sempre
f(x) > E,
"
" lim f(x) = +∞
x∞
f(x) < -E,
"
" lim f(x) = -∞
x∞
|f(x)| > E, esiste il lim f(x) = ∞
x+∞
Se per x > N risulta sempre
f(x) > E,
"
" lim f(x) = +∞
f(x) < -E,
"
" lim f(x) = -∞
x+∞
x+∞
|f(x)| > E, esiste il lim f(x) = ∞
x-∞
Se per x < -N risulta sempre
f(x) > E,
"
f(x) < -E,
"
" "
lim f(x) = +∞
lim f(x) = -∞
x-∞
8
LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO
Talvolta non esiste il lim f(x), ma esiste un limite λ quando si considera il solo intorno
xxo
destro o il solo intorno sinistro di xo. In tal caso si dice che λ è il limite destro o il
limite sinistro della f(x) per x tendente a xo , e si scrive rispettivamente
lim f(x) = λ
lim f(x) = λ
xxo
+
xxo
-
quando in corrispondenza ad un numero arbitrario ε si può determinare un intorno destro
( o un intorno sinistro ) del punto xo tale che per ogni x, appartenente all'intorno, sia
soddisfatta la disequazione
| f(x) - λ | < ε
(v figura)
Analoghe definizioni si hanno per i limiti
lim f(x) = ∞
xxo
ε
lim f(x) = ∞
+
xxo
f(x) - λ
f(x)
λ
-
x
TEOREMI SUI LIMITI
x0
δ
Teorema dell’unicità del limite Se al tendere di x a xo (Reale), la funzione y = f(x)
tende al limite λ, ( Reale) questo limite è unico
Teorema della permanenza del segno Se al tendere di x a xo la funzione f(x) tende al
limite λ diverso da 0, esiste un intorno di xo in
cui la funzione assume lo stesso segno di λ.
Teorema del confronto Date tre funzioni: f1(x), f2(x), f3(x), definite nello stesso intervallo
se risulta, per ogni x di tale intervallo
f1(x)≤ f2(x)≤ f3(x)
e se risulta pure
lim f1(x) = lim f3(x) = l
xxo
lim f2(x) = λ
è pure
xx
xxo
Teorema del valore assoluto Se al tendere di x a xo la funzione f(x) tende al limite λ,
il limite del valore assoluto della funzione sarà uguale al
valore assoluto del limite λ, cioè:
lim | f(x) | = | λ |
xxo
Teorema (senza nome) Se al tendere di x a xo la funzione f(x) tende al limite λ e se
si considerano i due numeri m ed n per i quali è:
|m|<|λ| < |n|
sarà sempre possibile determinare un intorno di xo per ogni
x del quale risulti
| m | < | f(x) | < | n |
n
f(x)
l
m
x0-δ x x0
9
x0+δ
OPERAZIONI SUI LIMITI
Limite della somma di due o più funzioni E’ la somma dei limiti delle singole funzioni.
Limite della differenza di due funzioni.
E’ la differenza dei limiti delle due funzioni
Limite del prodotto di due o più funzioni
E’ il prodotto dei limiti delle singole funzioni
Limite della funzione reciproca
E’ il reciproco del limite della funzione
N.B. Se lim f(x) = 0 il lim 1/f(x) = ∞
x--xo
xxo
Se lim f(x) = ∞ il lim 1/f(x) = 0
xxo
xxo
Limite del quoziente di due funzioni
E’ il quoziente del limite delle due funzioni
Limite della potenza di una funzione
E’ la potenza del limite della funzione
Limite della radice nma di una funzione
E’ la radice nma del limite della funzione
CALCOLO DEI LIMITI
Lim per x → x0 di una funzione razionale o irrazionale, intera o fratta: si sostituisce alla x il valore
di x0
Es.
Lim (x + √x ) / (x -√x ) = (2 + √2 ) / ( 2 - √2 ) = 3 + 2√2
x→ 2
Lim per x→± ∞ di una funzione razionale intera:si sostituisce alla x il valore ± ∞, ottenendo ± ∞
Lim per x→± ∞ di una funzione razionale fratta avente i termini in x al Numeratore e al
Denominatore con lo stesso esponente massimo: si dividono N e D per le x con tale esponente.
Es.
Lim (3x2 – 4x + 1) / (x2 + 4) = lim (3 – 4/x + 1/x2) / ( 1 + 4/x2 ) = 3
x→+∞
x→+∞
Lim per x→± ∞ di una funzione razionale fratta avente i termini in x al N e al D con esponente
massimo diverso: si dividono N e D per la x con il minore tra gli esponenti massimi, ottenendo
±∞o 0
Es.
Lim (x4 - 3x + 1) / ( -x2 + 2x ) = lim (x2 – 3/x + 1/x2) / (-1 + 2/x ) = -∞
x→+∞
x→+∞
(Il N è + ∞ ma il D è –1)
Lim per x→± ∞ di una funzione irrazionale intera: si sostituisce il valore ± ∞ alla x con il
maggiore esponente
_
_
Es.
Lim (x √x – x2 + √x - 3) = lim (x3/2 - x2 + x 1/2 - 3) = - ∞
x→+ ∞
x→+∞
lim per x→± ∞ di una funzione irrazionale fratta: si applicano le regole precedenti_
Es lim (x2 - 3√ x2 ) / (2 x2 - 3√ x ) = lim [1 - ( 3√ x2 / x2 )] / [ 2 – ( 1/ x2 3√ x2 )] = 1/2
x→+∞
x→+∞
NB La somma di un limite finito con uno infinito è infinito
Il risultato di (+∞).(-∞), essendo i segnj discordi, è -∞
10
LIMITI NOTEVOLI
sen x
lim  = 1
xo x
sen 1/x
lim  = 1
x∞
1/x
sen x
lim  = 0
x∞
x
cos x
lim  = 0
x∞ x
tg x
lim  = 1
x0 x
1/x0
1 – cos x
lim  = 0
x0
x
1 – cos x
lim  = ½
x0
x2
lim ( 1 + n/x )x = en
lim ( 1 + x ) 1/x = e
lim ( 1 – 1/x )x = 1/e
x0
x∞
lim (1 + k/x )mx = emk
(per n=1 il lim = e)
x∞
x∞
ex – 1
lim  = 1
x0
x
ax - 1
lim  = ln a
x0
x
ex
lim  = +∞
c
x+∞ x
(1+x)k – 1
lim  = 1
x0
kx
ln ( 1 + x )
lim  = 1
x0
x
lim
x+∞
xc
lim  = 0
x
x+∞ e
ln x
 = 0
xc
lim xc ln x = 0
x0
+
lim af(x) = alim f(x) = aλ
lim loga f(x) = loga lim (fx) = loga λ
xxo
xxo
lim sen f(x) = sen lim f(x) = sen λ
xxo
lim cos f(x) = cos lim f(x) = cos λ
xx o
xxo
lim tg f(x) = tg lim f(x) = tg λ
xxo
xxo
lim cotg f(x) = cotg lim f(x) = cotg λ
xxo
xxo
____
lim √1 - x = +∞
lim f(x) = lim f(-x)
x - ∞
xxo
x + ∞
xxo
x__
lim √ x = 1
x -∞
x∞
I limiti del tipo: lim sen (π/x) non sono calcolabili perché sen (π/x) si annulla infinite volte per x = 0
xo
FORME INDETERMINATE
Esistono alcuni casi di limiti che si presentano in forma indeterminata.
Le forme indeterminate sono
0o
1∞
(∞)o
0 •.∞
+∞ –∞
log0 0
log0 ∞
0/0
log∞ 0
∞/∞
log1 1
Non sono forme indeterminate:
(+∞) / λ =(+∞) (λ>0); (-∞) / λ = (- ∞)
(+∞)+(+∞) = (+∞);
(λ>0); (+∞) λ = (+∞) (λ>0); (∞) + λ = (∞)
(-∞)+(-∞) = (-∞);
1 / (+∞) = 1 / (-∞) = 0;
(+∞) • (-∞) = (-∞);
0 /(∞) = 0;
(∞) / 0 = (∞);
11
(-∞) • (-∞) = (+∞);
( ±∞ )-n = 0
FUNZIONI CONTINUE
Una funzione è continua in xo se risulta lim f(x) = f(xo) oppure se risulta :
xxo
lim f(x) = lim f(x) = f(xo)
xxo
+
xxo
-
che indicano rispettivamente che la f(x) è continua a destra e a sinistra di xo
Una funzione è continua in [a, b] se è continua in ogni punto di [a, b], cioè se non
ammette nessun punto di discontinuità in [a, b] ( v al Cap Funzioni discontinue)
Funzioni algebriche
Ogni funzione razionale intera è continua
Ogni funzione razionale fratta è continua per tutti i valori della variabile che non annullano
il denominatore
La funzione potenza y = xn è continua per ogni valore della x > o
__
n
La funzione irrazionale y = √x è continua per ogni valore della x ≥ 0
Funzioni trascendenti
Le funzioni sen x e cos x sono continue per ogni valore della x
La funzione tg x = sen x / cos x è continua quando cos x è diverso da zero
La funzione esponenziale y = ax è continua per ogni valore della x
La funzione logaritmica y = loga x ( a > 0 e ≠ 1 ) è continua per ogni valore della x > 0
TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
massimo
Teorema di Weierstrass Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo
chiuso [a, b] essa è, ivi, limitata ed ammette un
massimo ed un minimo
minimo
a
Teorema dell'esistenza degli zeri Se la funzione y = f(x) è continua
nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]
e se agli estremi dell'intervallo essa
.
assume valori di segno opposto,
cioè è f(a) • f(b) < 0, esiste almeno
un punto c, interno all'intervallo, in
cui è f(c) =0
a
b
c
Teorema dei valori intermedi Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato
[a; b] assume, almeno una volta, qualunque valore
compreso tra il massimo ed il minimo assoluti
12
b
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO
Se una funzione non è continua in xo tale punto è detto punto singolare o punto di
discontinuità. ( 3 casi )
1° caso)
La funzione non esiste in x o ma è :
lim f(x) = λ ∈ R e lim f(x) = λ' ∈ R
xxo
+
xxo
λ diverso da λ'
-
xo è detto punto di discontinuità di prima specie
e la differenza λ - λ' è detta salto
1
salto
-1
Es.
x + ( |x| / x )
x = 0 è un punto di
a
discontinuità di 1 specie (salto = 2)
-1
2° caso) La funzione non esiste in x o ma in tale punto uno almeno dei due limiti
lim f(x) ; lim f(x) è infinito ( in tal caso xo è detto punto di infinito )
xxo
+
xxo
-
o non esiste.
xo è detto punto di discontinuità di seconda specie
0
Es. y =1/x
nel punto x = 0
3° caso): Il limite della funzione f(x) per x xo esiste ed è finito ma- il valore di f(x)
o non esiste, oppure esiste ma risulta f(x0) ≠ lim f(x), il che è in contrasto
x→x0
con la definizione di funzione continua data all’inizio del capitolo relativo.
xo è detto punto di discontinuità eliminabile o di terza specie
1
Es. y = ( sen x) / x
nel punto x = 0
0
NB Il limite sinistro e quello destro per x→x0, in questo caso, sono uguali ma,
come si vedrà in seguito, le derivate in x0 sono diverse.
NB Se in una espressione compaiono dei monomi o binomi in x0, in valore assoluto, x0
è un punto angoloso
RAPPORTO INCREMENTALE
13
y
B
Si chiama rapporto incrementale di una funzione f(x),
f(xo+h)
definita in un intervallo [a,b], nell'intorno di un suo punto,
xo, il rapporto tra l'incremento della funzione ed il corrispon- f(xo)
dente incremento, positivo o negativo, della variabile
cioè (v fig ) BC/AC
O
A
α
a xo
f(x)
C
h
xo+h
f(xo+h) – f(xo)
 si chiama rapporto incrementale nell'intorno destro della variabile
h
f(xo-h) – f(xo)
 si chiama rapporto incrementale nell'intorno sinistro della variabile
-h
,
N.B. Il rapporto incrementale è la tangente trigonometrica dell'angolo tra la retta AB e la
retta AC, cioè il coefficiente angolare della retta AB.
DERIVATE
Se al tendere a zero dell’incremento h della variabile esiste ed è finito il limite del
rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto xo, tale limite si dice
derivata della funzione nel punto xo
f ( xo + h ) - f (xo )
f ( xo - h ) - f ( xo )
y' = f ' (xo) = lim  = lim 
h 0
h
h 0
-h
N:B La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della
retta tangente alla curva in quel punto, cioè f ‘(x0) = m , per cui la equazione della
tangente ad una curva y = f(x) nel punto (x0 , y0) può essere scritta come segue
y – y0 = f ‘(x0) ( x – x0 )
Se non esiste finito il limite suddetto ma tuttavia esistono e sono finiti il limite sinistro o
quello destro del rapporto incrementale o entrambi, essi si chiamano rispettivamente
derivata sinistra e derivata destra
f ( xo + h ) - f ( xo )
f (xo + h ) - f ( xo )
lim  = f-' ( xo )
lim  = f+' ( xo )
+
h 0
h
h 0
h
Se f ‘+(x0) è = f ‘-(xo) ma di segno opposto, x0 è un punto angoloso
Se f ‘+(x0) = + ∞
ed è anche f ‘-(x0) = + ∞ in corrispondenza di x0 c’è
x0
‘’
= -∞
‘’
‘’
‘’ = - ∞
una cuspide
Se una funzione è derivabile in un punto xo essa è necessariamente
continua in tale punto, ma non è sempre vero il contrario
La derivabilità è una condizione più restrittiva della continuità
QUADRO RIASSUNTIVO DELLE OPERAZIONI SULLE DERIVATE
14
x0
b
D [ f(x) + g(x) ] = f '(x) + g '(x)
D [ f(x) • g(x) ] = f '(x) • g(x) + f(x) • g '(x)
________________________________________________________________________
D c • f(x) = c • f '(x)
D [ f(x)]n = n [ f(x) ]n-1• f '(x)
________________________________________________________________________
D f1(x) • f2(x) …fn(x) = f1’(x) •⋅ f2(x) …. fn(x) + f1(x) • f2’(x) • f3(x) ….fn(x) +……
________________________________________________________________________
n ____
f '(x)
____
f '(x)
D √ f(x) = 
D √ f(x) = n
n √ [ f(x) ]n-1
2√ f(x)
________________________________________________________________________
1
- f '(x)
f(x)
f '(x) • g(x) - f(x) • g '(x)
D  = 
D  = 
f(x)
[ f(x) ]2
g(x)
[ g(x) ]2
DERIVATE FONDAMENTALI
D
D
D
D
D
D
cost = 0
x =1
1/x = - 1/ x2
xa = a xa-1
x –n = -n x-n-1
ax = ax ln a
D ex = ex
D e-x = - e-x
D af(x) = f '(x) af(x) ln a
D ef(x) = f '(x) ef(x)
(es. e-2x = -2 e-2x)
D loga x = (1/x) loga e
D ln x = 1/x
f '(x)
D loga f(x) =  loga e
f(x)
f '(x)
D ln f(x) = 
f(x)
D sen x = cos x
D cos x = - sen x
D tg x = 1 / cos2 x
D cotg x = -1 /sen2 x
D sen f(x) = f '(x) cos f(x)
D cos f(x) = - f '(x) sen f(x)
D tg f(x) = f '(x) / cos2 f(x)
D cotg f(x) = - f '(x) / sen2 f(x)
1
D arcsen x = 
√ 1-x2
-1
D arccos x = 
√ 1-x2
1
D arctg x = 
1+x2
-1
D arccotg x = 
1+x2
f '(x)
D arcsen f(x) = 
√ 1-[f(x)]2
- f '(x)
D arccos f(x) = 
√ 1-[f(x)]2
f '(x)
D arctg f(x) = 
1+[f(x)]2
-f ' (x)
D arccotg f(x) = 
1+[f(x)]2
__
1
D √ x = 
2√ x
1
-1
D  = 
√x
2x√x
___
f '(x)
D √ f(x) =  
2√ f(x)
1
-f '(x)
D  = 
√ f(x)
2√ f(x)
Derivata della funzione inversa Sia y = f(x) una funzione continua e invertibile nell'intervallo [a,b] e sia x = g(y) la sua inversa. Se la f(x) è derivabile nel punto xo
15
di [a,b] ed è f '(xo) ≠ 0 anche la g(y) è derivabile nel punto yo e la sua derivata è
g '(yo) = 1 / f '(xo)
Derivata della funzione composta Siano y = f(z) e z = g(x) due funzioni derivabili
Allora anche la funzione y = f [g(x)] è derivabile e la sua derivata è
f '(x) = f '(z) • g '(x) e cioè f '[g(x)] • g '(x)
N.B. Le funzioni componenti possono essere anche più di due
TEOREMA DI ROLLE
Se la funzione y = f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a, b], e derivabile all'interno
dell'intervallo e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo,
cioè è f(a) = f(b), esiste almeno un punto c; interno ad [a, b]
in cui risulta
f '(c) = 0
f(a)
f(b)
( tangente orizzontale = massimo o minimo )
TEOREMA DI CAUCHY ( o degli incrementi finiti )
a
b
Se le due funzioni y = f(x) e g(x) sono continue nell'intervallo chiuso [a, b] e derivabili
all'interno dell'intervallo, esiste almeno un punto c, interno ad [a, b] in cui è
f(b) - f(a) =
g(b) – g(a)
f '(c)
g '(c)
( g '(c) diverso da 0 )
TEOREMA DI LAGRANGE ( o del valor medio )
Se la funzione y = f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a, b] ed
è derivabile all'interno dell'intervallo, esiste almeno un punto c,
interno ad [a, b]
in cui è
f(b) - f(a) = ( b – a ) • f '(c)
f(b) – f(a) = tg β = f’(c)
b-a
f(b)
β
a c1
c2
b
TEOREMA DI DE L' HOPITAL
Nel caso del lim di un quoziente di due funzioni f(x) e g(x) continue e derivabili nell'intorno
di c i cui lim sono entrambi =0 (forma indeterminata 0/0) oppure =∞ (f. i. ∞/∞) in
xc
f(x)
f ' (x)
tutti e due i casi vale la regola
lim  = lim 
xc g(x)
xc g ' (x)
Nel caso del lim di un prodotto di due funzioni i cui lim sono l'uno = 0 e l'altro = ∞ (f.i.
0 • oo) basta considerare che
f(x)
g(x)
f(x) • g(x) =  = 
e applicare la regola precedente
1 / g(x)
1 / f(x)
Nel caso del lim di una differenza tra due funzioni i cui lim sono entrambi +∞ o -∞ (f.i.
+∞ –∞) si deve cercare di trasformare la differenza delle funzioni in un prodotto o in un
quoziente rientrando così in uno dei casi precedenti
Nel caso delle f.i. 00 , 10, ∞ 0 di può scrivere [f(x)]g(x) = [eln f(x)]]g(x) = eg(x) ln f(x) e il calcolo
del lim di [f(x)]g(x) si riconduce a quello del lim g/x) ln f(x)
( f.i. 0 • ∞ )
x0
x0
ln b
Nel caso di f.i. come log0 0, log1 1, log0 ∞, log∞ 0, log∞ oo essendo loga b = 
16
effettuando le opportune sostituzioni si rientra nelle f.i. ∞/∞ oppure 0/0
ln a
N.B. Nell'eventualità che anche f '(x) e g '(x) soddisfino le ipotesi del teorema, esso
potrà essere applicato più volte
CONCAVITA’ E CONVESSITA’ DI UNA CURVA
Se f " (xo) > 0 la curva che rappresenta la funzione ha in xo la concavità rivolta verso
l’alto ( curva concava )
Se f " (xo) < 0 la curva ha in xo la concavità rivolta verso il basso ( curva convessa )
FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI
Una funzione è crescente se la sua derivata prima esiste ed è positiva; decrescente se la
derivata prima esiste ed è negativa
Una funzione sempre crescente o decrescente è monotòna e quindi invertibile
MASSIMI E MINIMI RELATIVI DI UNA FUNZIONE
Condizione necessaria ma non sufficiente perché x0 sia un punto di massimo o di minimo
relativo (estremante) di una funzione f(x) è che sia verificata la condizione
f ' (x0) = 0
La condizione diventa sufficiente se f " (x0) ≠ 0
Per determinare i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione f(x) si procede
così:
1°) Si cercano le radici dell’equazione f ' (x) = 0
2°) Se x o è una delle radici si calcola la f " (x0);
3°) Se f " (x o) ≠ 0 la f(x) ha in xo un massimo relativo ( se f " (xo) < 0 ) o un
minimo relativo ( se f " (xo) > 0 )
4°) Se è f " (x o) = 0 si calcola la f ''' (xo)
5°) Se è f ''' (x o) ≠ 0 la f(x) non ha in xo né un massimo né un minimo relativo
6°) Se anche f ''' (x o) = 0 si calcolano le derivate successive fino a trovare quella che in
xo è diversa da zero
7°) Se essa è di ordine pari si ha in xo un massimo relativo se essa è < 0 , un minimo
relativo se essa è > 0
8°) Se essa è di ordine dispari non c’è in xo né un massimo né un minimo relativo
17
FLESSI
Condizione necessaria ma non sufficiente perché x0 sia un punto di flesso di una
funzione f(x) è che sia verificata la condizione
f " (x0) = 0
La condizione diventa sufficiente se f ''' (x0) ≠ 0
Se anche f ' (x0) = 0 il flesso è a tangente orizzontale
Per determinare i punti di flesso di una funzione f(x) si procede così
1°) Si cercano le radici dell’equazione f " (x) = 0
2°) Se x o è una delle radici si calcola la f ''' (xo)
3°) Se f ''' (x o) ≠ 0 la f(x) ha in xo un flesso. Se f '(xo) = 0 il flesso è a tangente
orizzontale ; se f '(x0) > 0 il flesso è ascendente; se f '(xo) < 0 il flesso è
discendente.
4°) Se invece è f ''' (x o) = 0 si calcolano le derivate successive fino a trovare quella che
in xo è diversa da zero
5°) Se essa è di ordine dispari si ha in xo un flesso ( In particolare se anche f ' (xo) = 0
il flesso è a tangente orizzontale )
6°) Se essa è di ordine pari , xo non è un punto di flesso per la curva ma, nel caso che
sia f ' (xo) = 0 : un massimo se la derivata di ordine pari è < 0 , un minimo se la
,
derivata di ordine pari è > 0
N.B. Se la funzione ha "derivata infinita" in x0 ( cioè y ‘(x0) = ∞ = tg 90° ) in tale punto si
ha un flesso a tangente verticale
o una cuspide
RICERCA DEI MASSIMI, MINIMI E FLESSI MEDIANTE LO STUDIO DEL SEGNO DELLA
DERIVATA PRIMA
Se in xo la derivata prima è nulla e se si può stabilire il segno di tale derivata nell'intorno
sinistro e nell'intorno destro di xo , i 4 schemi che seguono mostrano come si può
determinare se xo è un punto di massimo o di minimo relativi o di flesso ascendente
o discendente
Per stabilire il segno della derivata basta risolvere la disequazione y ' > 0
y'
Massimo
Minimo
Flesso asc.
Flesso disc.
0
0
0
0
+
xo
y'
-
+
xo
y'
+
+
xo
y'
-
xo
N.B. Nell'esame degli schemi è opportuno ricordare che y' è la tangente
alla curva
I flessi sono a tangente orizzontale
18
QUADRO RIASSUNTIVO DEI MASSIMI, MINIMI E FLESSI
f ' (xo)
= 0
= 0
= 0
f " (xo)
f ''' (xo)
f iv (xo)
f v (xo)
> 0 minimo
< 0 massimo
= 0
≠ o flesso
= 0
= 0
> 0 minimo
< 0 massimo
= 0
= 0
= 0
= 0
≠ 0 flesso
N.B. Essendo la f ' (xo) = 0 gli eventuali flessi sono a tangente orizzontale
DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
Se f(x) è una funzione derivabile in un punto x , si chiama differenziale di f(x) il prodotto
della derivata f ' (x) della funzione per l'incremento ∆ x della variabile indipendente.
Lo si indica con d f(x) oppure d y per cui si può scrivere
d f(x) = f ' (x) • ∆x
(1)
Poiché il differenziale di x, che è dx, è uguale a ∆x, la (1) si può anche scrivere
d f(x) = f ' (x) dx
da cui si ricava
f ' (x) = d f(x) / dx
che significa che la derivata di una funzione è uguale al rapporto tra il differenziale della
funzione stessa e il differenziale della variabile dipendente
Data una funzione f(x), consideriamo un suo punto P
di ascissa x ed un suo punto R di ascissa x + ∆ x
e la tangente alla curva in P, che forma con l'asse x
un angolo α
Se si prende sulla tangente suddetta un punto B
avente ascissa x + ∆ x, essendo il rapporto
BA / PA = tg α = f ' (x)
(V. definizione della derivata) si ha
BA = PA • tg α = f ' (x) • ∆ x
Pertanto il differenziale della funzione f(x) è__
rappresentato graficamente dal segmento BA
che è l'incremento dell'ordinata della tangente
in P conseguente all'incremento ∆ x della
variabile indipendente
19
y
B
f(x)
R
P
A
α
O
x
x + ∆x
ASINTOTI
Una retta si dice asintoto della curva y = f(x) quando la distanza di un punto della
curva dalla retta tende a zero man mano che tale punto si allontana sulla curva rispetto
all'origine degli assi tendendo all'infinito
Una funzione algebrica razionale intera non presenta nessun tipo di asintoto
x =x0
ASINTOTI VERTICALI
lim f(x) = ± ∞
Se
xxo
o/e
-
lim f(x) = ± ∞
xxo
+
x0
la retta x = xo è un asintoto verticale della curva f(x)
N.B. Le funzioni razionali ed irrazionali fratte hanno tanti asintoti verticali quanti sono gli
zeri del loro minimo comun denominatore; infatti, se in y=f(x)/g(x) è g(x)=0, y = ∞
Le funzioni irrazionali intere non hanno normalmente asintoti verticali
y=λ ‘
ASINTOTI ORIZZONTALI
lim f(x) = λ
Se
x∞
la retta y = λ è un asintoto orizzontale della curva f(x)
Se
lim
f(x) = λ
e /o
x -∞
lim
y=λ
f(x) = λ '
x +∞
λ è l'asintoto orizzontale sinistro; λ ' è l'asintoto orizzontale destro
N.B. Nel caso di una funzione razionale fratta quando numeratore e denominatore sono
dello stesso grado l'asintoto orizzontale è il rapporto dei coefficienti delle variabili di
massimo grado; quando il denominatore è di grado superiore al numeratore l'asintoto
orizzontale è l'asse x ( y=0 )
Le funzioni irrazionali intere con dominio infinito possono avere più asintoti orizzontali
ASINTOTI OBLIQUI
Quando
lim f(x) = ∞
x∞
y = mx + q
l'equazione dell'asintoto obliquo ( se esiste ) è
20
y = mx+q
in cui
f(x)
m = lim  = lim f '(x)
x∞ x
x∞
( Regola di De L' Hopital )
(V pag. 16)
q = lim [ f(x) - m x ] = lim [ f(x) – x. f ‘(x) ]
x∞
x→ ∞
N.B. Le funzioni razionali fratte hanno un solo asintoto obliquo soltanto quando il grado
del numeratore supera di 1 il grado del denominatore
Le funzioni irrazionali il cui dominio si estende all'infinito possono avere più asintoti
obliqui oppure asintoti orizzontali e asintoti obliqui
FUNZIONE ASINTOTICA AD UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA
Data una funzione algebrica razionale fratta
a0 xn + a1 xn-1 +………+ an
y = 
b0 xm + b1 xm-1 +…… + bm
esiste l'asintoto orizzontale y = 0 se n < m, l'asintoto orizzontale y = a0 / b0 se n = m
e l'asintoto obliquo y = m x + q = Q(x) se n – m =1
( Q(x) è il quoziente della
divisione del polinomio numeratore per il polinomio denominatore della funzione data )
Se n > m la curva rappresentante il polinomio Q(x) ( sempre di grado n - m ), che è una
retta se n - m =1, una parabola se n - m = 2, una cubica se n - m = 3, è
asintotica alla curva che rappresenta l'equazione data
2 x4
Es Sia data la funzione
y = 
in cui è n = m + 2
x2 – 3
__
La funzione è definita per ogni x ≠ ± √ 3
(x = √ 3 e x = - √ 3 sono asintoti verticali)
La curva passa per l'origine degli assi
__
C'è un minimo relativo nei punti ( - √ 6 ; 24)
e ( √ 6 ; 24 ) e un massimo relativo nel
punto ( 0 : 0 )
La parabola γ di equazione Q(x) = 2 x2 + 6
è asintotica alla curva della funzione dat
21
y
γ
O
x
Es
Sia data la funzione
in cui n = m + 3
x4
y = 
x–1
y
La funzione è definita per ogni x ≠ 1
( x = 1 è un asintoto verticale )
La curva interseca gli assi nell'origine
δ
C'è un minimo relativo nel punto ( 4/3 ; 256 / 27 )
e un flesso nel punto ( -1 ; -1/2 )
Essendo
y' (-1) > 0 il flesso è ascendente
O
1
x
La cubica δ di equazione Q(x) = x3 + x2 + x + 1
è asintotica alla curva della funzione data
STUDIO DELL'ANDAMENTO DI UNA FUNZIONE
x3
Data una funzione, ad es
y =. , per studiarne l'andamento in modo da
(x-1)2
poterne costruire il grafico (non per punti) è opportuno procedere nel modo seguente
1° Stabilire quale è la natura di y ( Nel caso d ell' es. si tratta di una funzione algebrica
razionale fratta di 3° grado )
2° Studiare il segno ( Nel caso dell'es: per x >0 è y>0 ; per x<0 è y<0 )
3° Stabilire l'insieme di definizione o dominio ( Nel caso dell' es. la y è definita per x ≠ 1:
infatti per x = 1 il denominatore si annulla e la funzione non esiste più)
4° Esaminare il comportamento agli estremi del dom inio ( Nel caso dell'es. lim y = -∞
lim y = +∞ )
x-∞
x+∞
5° Calcolare le coordinate degli eventuali punti d i intersezione con gli assi cartesiani,
ricavando il valore di x ponendo y = 0 ed il valore di y ponendo x = 0 ( Nel caso
dell'es .la curva taglia gli assi cartesiani soltanto nell' origine; infatti per x = 0 è y = 0 )
6° Discutere la continuità della funzione ( Nel caso dell'es.la funzione presenta un punto
di discontinuità di seconda specie per x = 1)
7° Stabilire il periodo, se è una funzione goniom etrica ( Non è il caso dell'es. )
8° Determinare l'equazione degli eventuali asint oti ( Nel caso dell'es. esiste un asintoto
verticale doppio di equazione x = 1 e l'asintoto obliquo di equazione y = x + 2 che
interseca la curva della y nel punto ( 2/3 ; 8/3 ) )
9° Calcolare la derivata prima ed eventualmente la seconda ( Nel caso dell'es. la
x2 (x – 3)
derivata prima è
y ' =  )
(x-1)3
10° Determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente
11° Calcolare le coordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativi, di flesso
con tangente orizzontale e di flesso con tangente obliqua,
y'≥0
per x ≤ 0 ; per 0 ≤ x < 1 ; e
22
per
x ≥3
Si può quindi disegnare lo schema
7 y
minimo
6
5
y '
+
+
o
4
∞
0
asintoto obliquo
0
-
+
1
3
3
2
Esiste pertanto un minimo relativo nel punto
(3;27/4) ed un flesso ascendente a tangente
orizzontale nell'origine (asse x)
12° Studiare la concavità e la convessità
(Nel caso dell'es. c'è una concavità verso
l'alto per 0 < x < 1 e per x > 1
13° Tracciare il diagramma della y
(Nel caso dell'es. il diagramma è quello
a lato)
1
-2
|
-1
-
1
|
|
2
3
4
|
|
|
0 flesso
x
asintoto verticale
ESEMPIO DI STUDIO DI UNA FUNZIONE CON TERMINI IN VALORI ASSOLUTI
1
Sia data la funzione
y = 
x – |x2 – 2|
E' una funzione razionale fratta di 3 grado
Si hanno due casi
1° caso
2
x -2 >0
cioè
__
x ≤ -√ 2 o
__
x ≥ √2
In questo caso la funzione si può scrivere
-1
y = 
(1)
2
x -x–2
Essa è definita per x ≠ 2 (Infatti per x = 2 la funzione presenta un punto di
Infinito; x = 2 è un asintoto verticale)
Inoltre essendo il
lim y = 0
l'asse x (y = 0) è un asintoto orizzontale
x∞
Non ci sono né massimi, né minimi, né flessi
__
La funzione è crescente per x ≥ √ 2 (però ≠ 2); decrescente per x ≤ - √ 2
__
__
2° caso
x2 - 2 < 0
cioè
-√2 ≤ x ≤ √2
In questo caso la funzione si può scrivere
1
y = 
(2)
x2 + x - 2
Essa è definita per x ≠ 1 (infatti ad x = 1 corrisponde un punto all'infinito; x = 1
è un asintoto verticale)
La curva non interseca l'asse x ma interseca l'asse y nel punto A (0 ; -1/2)
La derivata prima mostra che esiste un massimo nel punto (-1/2 ; -4/9)
Ci sono due punti di discontinuità in B ( -√ 2 ; -√ 2 / 2 ) e C ( √ 2 ;√ 2 / 2 )
23
__
__
In entrambi i punti B e C, con ascisse -√ 2 e √ 2 , la curva presenta due tangenti
distinte con equazioni generiche y = m(x-x0) + y0 in cui m è il lim y ‘ essendo y ‘ la
derivata delle (1) e (2) e x0 e y0 le coordinate
x→x0
di B e di C, rispettivamente. B e C sono punti angolosi.
y
_
-√ 2
-1/2
0
1 C
2
A
x
B
RISOLUZIONE GRAFICA DI DISEQUAZIONI
Quando si deve risolvere una disequazione f(x) > g(x) oppure f(x)< g(x) si trovano dei
valori della x il cui corrispondente punto (x; f(x)) ha ordinata maggiore ( o minore ) del
punto (x; g(x)). In altre parole il punto di coordinate (x; f(x)) si può trovare al di sopra
(o al di sotto) del punto di coordinate (x; g(x))
Es Risolvere la disequazione
x-1

|x| ex+1 > 1
x-1

1
ex+1 > 
|x|
che si può scrivere (se x ≠0 )
Posto il 1° membro della disequazione uguale a f(x) ed il 2° membro uguale a g(x)
risulta f(x) > g(x)
Dai grafici delle due funzioni appare che tale disequazione è valida per | x | > 1
Il punto (-1;0) è un punto di discontinuità di 2^ specie
y
f(x)
g(x)
e
f(x)
(1;1)
g(x)
−1
0
1
RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI
24
Una equazione algebrica di grado superiore al secondo o trascendente (goniometrica,
logaritmica, esponenziale ) è talvolta difficile da risolvere con esattezza, mediante calcoli
algebrici.
In questi casi ci si deve accontentare di una soluzione approssimata.
Per fare questo occorre individuare un intervallo dell'equazione in cui ci sia una ed una
sola soluzione dell'equazione stessa.
Il teorema dell'esistenza degli zeri (v Teoremi delle funzioni continue) afferma che in una
funzione continua in (a, b), se f(a) ed f(b) hanno segni opposti, di modo che sia
f(a).f(b) < 0 esiste un punto c fra a e b tale che f(c) = 0. Cioè c sta sull'asse x ed
essendo l'intersezione della curva che rappresenta l'equazione con l'asse x (y=0),
rappresenta la soluzione cercata dell'equazione.
Se gli intervalli fossero più di uno bisognerebbe separare i vari intervalli in modo che due
estremi consecutivi abbiano i corrispondenti valori della funzione, uno positivo ed uno
negativo, cosicché sia rispettata la condizione f(a) . f(b) < 0
Per individuare gli estremi dell'intervallo (a, b) si può procedere graficamente, come
nell'esempio che segue.
Sia data l'equazione f(x) = x4 + 3 x3 – 5 = 0 che
si può scrivere x4 = 5 – 3 x3 da cui si possono
ricavare le due funzioni y = x4 ed y = 5 – 3 x3.
I grafici delle due funzioni, tracciati per punti, si
Intersecano ( le y sono =) in A la cui ascissa
è compresa, come si vede dal disegno, tra 1 e
2, che sono gli estremi dell'intervallo cercato.
3
4
y=5–3x
y=x
_1
A
Per trovare il valore dell'ascissa approssimata
di A , entro i limiti della precisione voluta, si
possono adottare diversi metodi, tra cui il
metodo di bisezione ed il metodo delle
tangenti
0
|
|
|
1
2
3
METODO DI BISEZIONE
Individuato, come si è visto, graficamente, l'intervallo (a,b) in cui cade la soluzione c,
dovendo essere f(a).f(b) < 0, la funzione può avere solo uno dei quattro andamenti
rappresentati nelle figure seguenti
Fig. 1
Fig. 2
Fig: 3
Fig. 4
Concavità verso il basso: f "(x) < 0
Concavità verso l'alto: f "(x) > 0
25
Il metodo di bisezione consiste nel calcolo del valore medio ci tra gli estremi di intervalli
sempre più piccoli, calcolando, in corrispondenza di tali valori, quello della funzione f(ci)
che si avvicina sempre di più a zero, quanto più ci si avvicina a c.
Il primo dei valori medi è c1 = (a + b) / 2 da cui si calcola f(c1) che potrà essere > o < 0.
Per calcolare c2 si dovrà scegliere, fra gli intervalli (a, c2) e (c2, b), quello ai cui estremi la
funzione assume valori opposti come nelle figg. 1 – 4. Quindi nell'ipotesi che f(c1) sia > 0
e che la funzione abbia l'andamento di fig 3, bisognerà scegliere l'intervallo (c1, b) tra i
cui estremi c'è il c cercato. Sarà perciò c2 = (c1 + b) / 2 e f(c2) sarà più vicino a zero.
Per calcolare c3 si dovrà scegliere, tra i vari intervalli possibili, il più piccolo, che abbia
però i relativi valori della funzione negli estremi dell'intervallo, di segno opposto.
Il cn , cui corrisponde un valore f(cn) prossimo allo zero, entro la precisione voluta,
è la soluzione approssimata dell'equazione.
Nel caso della funzione prima esaminata, la cui soluzione cade nell'intervallo (1, 2),
l'andamento, essendo f(1) = -1 ed f(2) = 35 e la derivata seconda f "(x) > 0 per x>0 e
quindi nell'intervallo (1, 2), è quello della fig 2.
c1 = 1,5
ed f(c1) = 15,25 > 0 ………..c10 = 1,070 ed f(c10) = -0,010 < 0
M
e così via fino alla precisione desiderata.
METODO DELLE TANGENTI
P
Supponendo che la curva della funzione abbia l'andamento
di fig 2, nell'intervallo (a, b), come nel disegno a fianco,
S
si scrive l'equazione della tangente alla curva nel punto
c
(b. f(b)). Ricordando che il coefficiente angolare della
a
T R
N
b
tangente ad una curva in un punto (x0, f(x0)) è la derivata
prima della funzione in x0 , si può scrivere
y = m (x – x0) + y0 = f '(x0). (x – x0) + f(x0)
(1)
Ponendo y = 0 si trova l'ascissa x1 del punto N di
intersezione fra la curva e l'asse x
Questa ascissa si trova con la formula , ricavata dalla (1)
x1 = x0 - f(x0) / f '(x0) (2)
che si può facilmente generalizzare in xn = xn-1 – f(xn-1) / f '(xn-1)
(3)
Nota la x1 si calcola la f(x1), che è l'ordinata del punto P, ottenuto conducendo la
verticale per N, e la f '(x1).
Dal punto P si procede come da M e si calcola x2, ascissa di R, e quindi f(x2), ordinata
di S e f '(x2), e così via.
I valori delle xi sj avvicinano sempre di più a c, mentre l valori delle f(xi) si
approssimano a zero
Nel caso dell'esempio già esaminato precedentemente,
………….x6 = 1,07099 e f(x6) = 0,00065
x0 = 2
e f(x0)= 35…
La soluzione approssimata è molto simile a quella trovata con il metodo di bisezione.
26
INTEGRALI
AREA DEL TRAPEZOIDE
f(b)
y
y=f(x)
f(x1)
b-a
∆x =  = costante
n
f(a)
∆x
O
f(a) + f(x1)

2
f(a)
S =
a x1 x2
xn b
f(x1) + f(x2)
f(xn) + f(b)
+  + …….+ 
2
2
f(b)
= ∆x

= ∆x

+ f(x1) + …………..+ f(xn) + 
2
2
f(a) + f(b)
b–a
S = 
n
x
∆x =
=
+ f(x1) + ………….. + f(xn)
2
f(a) + f(b)
n
 + Σ f(xi)
i =1
2
INTEGRALE DEFINITO
Il limite di S per n tendente all'infinito si definisce integrale definito della funzione
b
y = f(x) nell'intervallo [a, b], si indica con il simbolo
∫ f(x) dx
ed esprime l'area
a
2
compresa tra le rette x = a e x = b, la curva y = f(x) e l’asse x
y
y= ±√ r - (x-1)
2
y
y
a
b
-
y=f(x)
1
x
a
b
x
2
a
b
x
y=f(x)
area positiva
b
area negativa
f(x) dx dà un’area negativa;
L’
tra a e b del semicerchio 1 dà
un’area positiva; quello tra a e b del
2 dà un’area negativa Quindi
1+2=0
a
Per calcolare l’area 1 + 2 occorre
a
f(x) dx dà invece un’area positiva
§
27
quindi procedere come è detto al
“Calcolo di aree” a pag. 31
b
La funzione f(x) si chiama funzione integranda; la variabile x si dice variabile di
b
integrazione; l'integrale
∫ f(x) dx
è detto funzione integrale
a
La funzione integranda deve essere continua e non negativa nell'intervallo [a, b]
Una funzione continua nell'intervallo [a, b] è integrabile in tale intervallo e viceversa
Consideriamo ora la funzione f(t) continua
x
nell'intervallo [a, b] ; l'integrale
y
∫ f(t) dt
y = f(t)
a
è chiaramente una funzione di x Esso viene
indicato con il simbolo S(t) ed è detto integrale
definito, funzione del suo estremo superiore
S(t)
O
a
x
b
t
TEOREMA DI TORRICELLI - BARROW
x
La derivata della funzione integrale S(t) = ∫ f(t) dt in un punto è uguale al valore che
a
la funzione integranda f(t) assume in quel punto cioè S ' (t) = f(t) e, più in generale,
S ' (x) = f(x)
FUNZIONI PRIMITIVE
Infinite sono le funzioni che hanno come derivata una determinata funzione, cioè tutte
quelle che differiscono, l'una dall'altra, per una costante c indeterminata
Per cui si può scrivere
x
S (x) =
∫ f(x) dx
= F(x) + c
a
Le infinite funzioni F (x) + c si chiamano primitive della funzione integranda data
CALCOLO DELL'INTEGRALE DEFINITO
L'integrale definito è uguale al valore che una primitiva assume all'estremo superiore dell'intervallo di integrazione diminuito del valore che tale primitiva assume nell'estremo inferiore
b
∫a f(x) dx
= F(b) - F(a)
28
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DELLA MEDIA
Data la funzione y = f(x) continua nell’intervallo [a, b] e quindi integrabile, esiste
almeno un punto c (valore medio), interno all’intervallo,
y
per cui è
b
∫ f(x) dx
= ( b - a ) f(c)
f(b)
f(c)
a
cioè
y = f(x)
F(b) - F(a) = ( b – a ) f(c)
f(a)
Derivando si ottiene
f(b) - f(a) = ( b – a ) f '(c)
O
a
c
b
che è il teorema di Lagrange ( Vedi al Cap relativo)
b-a
VALORE EFFICACE
Dicesi valore efficace di una funzione f(x), continua nell'intervallo [a,b], l'espressione

b
√ [1 / ( b-a ) ]
Veff [f(x)] =
•
∫ [f(x)]2
dx
a
PROPRIETA' DELL'INTEGRALE DEFINITO
b
1^
a
∫ f(x) dx
= -
a
b
2^
c
∫ f(x) dx
a
d
∫ f(x) dx
+
+
b
b
3^
∫ f(x) dx
b
∫ f(x) dx
c
b
∫ f(x) dx ± a∫ g(x) dx
b
∫k
∫ f(x) dx
=
a
b
=
a
4^
d
∫ [ f(x)
± g(x) ] dx
a
b
∫ f(x) dx
f(x) dx = k
a
a
INTEGRALE DEFINITO CON UNO O ENTRAMBI GLI ESTREMI ILLIMITATI
Se una funzione f(x) è definita in [ a ; +∞ ) ed è integrabile in [ a ; b ] si pone
+∞
∫
b
f(x) dx = lim
a
∫ f(x) dx
b∞ a
Così pure per una funzione definita in ( -∞ ; b ) o in ( -∞ ; +∞ ) si pone
b
∫ f(x) dx
-∞
b
= lim
a -∞
∫ f(x) dx
a
+∞
e
∫ f(x) dx
-∞
b
= lim
a -∞
b +∞
Ovviamente i limiti devono esistere ed essere finiti
29
∫ f(x) dx
a
x
INTEGRAZIONE APPROSSIMATA
Qualora non sia possibile, o sia troppo laborioso, il calcolo di un integrale con le note
regole di integrazione, si può far ricorso ad uno dei metodi di calcolo approssimato, con le
cosiddette formule di quadratura
Formule dei rettangoli
Data una funzione y = f(x), da integrare nell’intervallo y
(a,b), di cui non si è in grado di calcolare l’integrale,
se ne possono ottenere dei valori approssimati dividendo
il suddetto intervallo in n intervallini uguali, di ampiezza
(b – a) / n, cioè ( x0 ,x1 ) ; ( x1 ,x2 ); …………( xn-1 ,xn ),
in cui x0 = a e xn = b.
Si calcolano quindi le aree dei due plurirettangoli, uno
che contiene la curva, l’altro sotto la curva,ottenuti
tracciando le relative ordinate y0 , y1 ,……yn-1 , yn.
O
Tali aree forniscono due valori dell’integrale, uno in
eccesso ed uno in difetto, tanto più approssimati quanto
più grande è il numero n.
Si ha quindi b
∫a
y=f(x)
y0
x0 =a
f(x) dx ≈ [ (b-a) / n ] . (y0 + y1 +…….+ yn-1)
x1
yn-1
yn
xn-1
xn =b
x
area del plurirettangolo
esterno
b
∫a f(x) dx
y1
≈ [ (b-a) / n ] . (y1 + y2 + ……+ yn )
area del plurirettangolo
interno
Un valore più vicino a quello esatto si può ottenere facendo la media dei due valori
calcolati con le formule precedenti.
e
Formula dei trapezi
B
Si divide l’intervallo (a,b) e si tracciano le ordinate y
come descritto nel paragrafo precedente.
Si indicano con A, P1,……. Pn-1, B i punti in cui le
suddette ordinate incontrano la curva della funzione.
Si uniscono poi nell’ordine i punti A con P1, P1 con
P2 e infine Pn-1, con B.
Si ottengono così dei trapezi le cui aree sono
P1
Pn-1
P2
A
y0
y1
O x0 =a x1
y2
x2
yn-1
yn
xn-1 xn =b
[ (b-a) / n ] . [( y0 + y1 ) / 2 ] ; [(b-a) / n] . [ ( y + y ) / n ]
La somma delle aree di tutti i trapezi dà un valore approssimato dell’integrale, tanto più
prossimo al valore vero quanto più grande è il numero n. E’ cioè
b
∫a
f(x) dx ≈ [ (b-a) / n ] . { [(yo + yn) / 2 ] + y1 + y2 + …+ yn-1 } .
30
CALCOLO DI AREE
B
y
curva
AB
y = f1(x)
“
BC
y = f2(x)
A
B
y = f2(x)
y = f1(x)
a
c
“
b
CA
y = f3(x)
A
S1
a
C
C
c
x
S3
L’area del triangolo curvilineo ABC è
b
S =
S2
b
y = f3(x)
c
∫a f1(x) dx
a
∫ f2(x) dx
+
+
b
∫ f3(x) dx
= S1 + S2 + S3
c
Fissato sul contorno dell’area il senso orario, partendo da uno qualsiasi dei punti di
intersezione, si esegue la somma degli integrali definiti aventi:
per estremo inferiore l’ascissa del punto di partenza,
per estremo superiore l’ascissa del punto di arrivo,
per funzione integranda l’equazione della curva che rappresenta un lato del triangolo
Analogamente si procede con figure diverse dal triangolo curvilineo.
CALCOLO DI VOLUMI
S(x)
b
V =
B
∫ S(x)
dx
a
x
Es Volume di una piramide
b
x
a
B = Area della base
S(x) = B x2 / h2
h
V =
∫ ( B x2 / h2 ) dx
= (1/3) B h
0
31
S(x)
h
CALCOLO DI VOLUMI DI SOLIDI DI ROTAZIONE
S(x)
Y
Ogni sezione è un cerchio di area
S(x) = π y2
x
b
y = f(x)
V =
b
∫a S(x) dx
= π
∫a y2 dx
(rotazione attorno all'asse x)
a
x
b
n
V =π
x = g(y)
∫m x2 dy
(rotazione attorno all'asse y)
CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UN TRATTO DI CURVA PIANA
Dato un tratto di curva piana AB, che rappresenta
la funzione y = f(x) nell'intervallo [a, b], per misurarne la lunghezza L si suddivide l'intervallo in
n parti, indicate con ∆xi ; si indicano con ∆yi gli
incrementi relativi della funzione e con ∆Li le
lunghezze delle corde corrispondenti
y
B
∆Li
Per il teorema di Pitagora è
___________
______________
∆Li = √ (∆xi)2 + (∆yi)2 = ∆xi √ 1+[ (∆yi) / (∆xi) ]2
∆yi
A
∆xi
x
ed, essendo, per il teorema di Lagrange
∆yi
 = f ' (xi )
∆xi
__________
si ottiene
∆Li = ∆xi √ 1 + [ f ' (xi )]2
Poiché
a
b
Ln = ∆L1 + ∆L2 + ……… + ∆Ln
__________
b
passando all'integrale si potrà scrivere
L =
∫ √ 1 + [ f ' (x) ]2
dx
a
Se la curva è rappresentata dalle equazioni parametriche x = x(t) e y = y(t) definite
nell'intervallo (t0 , t1) è
b
________________________
L =
∫a √ [x ' (t)]2 + [y ' (t)]2
32
dt
TEOREMA DI GULDINO
Superficie di rotazione
Data una linea piana che effettua una rotazione completa attorno ad una retta complanare
ma senza punti di contatto con essa, l'area della superficie generata dalla rotazione della
linea è uguale al prodotto della lunghezza della linea per la lunghezza della circonferenza
descritta dal suo baricentro G
Indicando con L la lunghezza della linea, con R la distanza del suo baricentro dall'asse di rotazione e con S l'area della superficie, è
S = 2πRL
G
Es Si vuole calcolare la superficie laterale del tronco
r2
di cono rappresentato nella figura
r1
R
___________
Essendo
L = √ ( r2 – r1)2 + h2
asse
di
rotazione
si ha
R = ( r1 + r2 ) / 2
r1 + r2 ___________
S = 2 π √ ( r2 – r1)2 + h2
2
L
h
Volume di rotazione
Data una superficie piana che effettua una rotazione completa attorno ad una retta
complanare ma senza punti di contatto con essa, il volume del solido generato dalla
rotazione della superficie è uguale al prodotto dell'area della superfice per la lunghezza
della circonferenza descritta dal suo baricentro
Indicando con S l'area della superficie e con R la distanza del baricentro della
superficie dall'asse di rotazione e con V il volume è
V = 2πRS
Es
Indicando con G il baricentro del triangolo
equilatero della figura a lato, con λ il lato,
con h = ( √ 3 / 2 ) λ l'altezza, con.
R = (1/3)h +d = ( √ 3 / 6 ) λ la distanza di
G dall'asse di rotazione, con S = (√ 3 / 4) λ2
l'area della superficie, il volume V è
__
__
V = 2 π (√ 3 / 6) λ (√ 3 / 4) λ2 = π λ3 / 4
33
h
G
R
d
λ
,
asse di rotazione
TEOREMA DI ARCHIMEDE
Tale teorema afferma che l'area di un segmento parabolico è uguale ai 2/3 di quella del
rettangolo circoscritto
Si può dimostrare con un esempio
__
Sia data una parabola y = ax2, una corda AB e il
rettangolo ABCD, circoscritto al segmento parabolico
delimitato da AB e dalla parabola, in cui, ovviamente,
CD è parallelo ad AB e tangente alla parabola
Supponiamo che le coordinate di A e B siano
A(-2 ; 4a) e B(4 ; 16a)
Allora AB = 6 √ 1+4a2 ; l'equazione della retta
AB è y = 2ax + 8a con m = 2a ; l'equazione
della retta CD è y = 2ax – a ; BC è uguale alla__
distanza di B dalla retta CD e risulta 9a / √ 4a2 + 1
y
B
A
C
D
L'area del rettangolo ABCD è pertanto = 54a
O
x
L'area del settore parabolico è
4
-2
∫ ( 2ax + 8a ) dx + ∫ ax2 dx
-2
= 36a che è appunto i 2/3 di 54 a
c.v.d.
4
INTEGRALE INDEFINITO
L'integrale indefinito di una funzione ( detta integranda ) è una funzione ( detta primitiva )
nota a meno di una costante e la cui derivata è la funzione integranda
Si scrive
∫ f(x) dx = F(x) + c
PROPRIETA' DELL' INTEGRALE INDEFINITO
1^
∫ [ f(x)
2^
∫ k f(x) dx
± g(x) ± ………] dx =
= k
∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
∫ f(x) dx
34
± ……..
1. ALCUNI INTEGRALI NOTEVOLI
∫ dx = x + c
∫ dx x eax
∫ dx ex = ex + c
= (eax / a2 ) (ax – 1) + c
∫ dx eg(x) g’(x) = eg(x) + c
∫ dx / (1 + x) = - ln I1 + xI + c
∫ dx /1+ex = - ln (1+e--x) +
∫ dx f ' (x) / √ f(x) = 2 √ f(x) + c
∫ dx f '(x) / f(x) =ln | f(x) | + c
∫ dx xn = [1/(n+1)] xn+1 + c
∫ dx ef(x) = [1/ f ‘(x) ] ef(x) + c
( n ≠ -1 )
⇒ Se n = -1
∫ dx (1/x)
= ln |x| + c
∫ dx cax = cax / a ln c + c
∫ dx / (x - a)2 = ∫ dx (x-a)-2 = (x-a)-1 /-1 = 1/ (a – x) + c
∫ dx sen ax
∫ dx / ( a2 + x2 ) = (1/a) arctg (x/a) + c =
= - (1/a) cos ax + c
∫ dx cos ax = (1/a) sen ax + c
“
“
= - (1/a) arccotg (x/a) + c
∫ dx tg x = -ln |cos x| + c
∫ dx / ( a2 - x2 ) = (1/ 2a) ( ln | (a+x) / (a-x) + c
∫ dx cotg x = ln |sen x| + c
∫ dx √ a2 – x2 = ½ ( x √ a2 – x2 + a2 arcsen (x/a)) + c
∫ dx sen2 x = ½ x – ¼ sen 2x + c
∫ dx / √ a2 – x2
∫ dx cos2 x = ½ x + ¼ sen 2x + c
∫ dx x / √ a2 – x2 = - √ a2 – x2 + c
∫ dx / (sen2 x ) = - cotg x + c
∫ dx √ x2 - a2 / x = √ x2 - a2 - a arccos (a/x) + c
∫ dx / (cos2 x ) = tg x + c
∫ dx √ x2 ± a2 = ½ [x √ x2 ± a2 ± a2 ln (x+√ x2 ±a2 )]
∫ dx ln |x| = x ln |x| - x + c
∫ dx x √ x2 ± a2 = 1/3 (x2 ± a2 ) 3/2 + c
= arcsen (x/a) + c = - arccos (x/a) + c
∫ dx x / √ x2 ± a2 = √ x2 ± a2 + c
∫ dx x ln |x | = (x2 /2) ln |x| - (x2 / 4) + c
∫ dx / x ln |x| = ln | ln |x| | + c
∫ dx / √ x2 ± a2 = ln | x + √ x2 ± a2 | + c
∫ dx ln |x| / x = ½ ln 2 |x| + c
∫ dx / x √ x2 + a2 = - (1/a) ln[ ( a + √ x2 + a2 ) / x ]+ c
∫ dx xn ln a |x| = [xn+1 / (n+1)] ln a |x| - xn+1 / (n+1)2 + c
∫ dx (ln x)n /x = (1/n+1)(ln x)n+1+ c (n≠1)
∫ dx (ax + b)n = (ax + b) n+1 / a (n+1) + c
∫ dx / (ax + b) = ( 1 / a ) ln |ax + b| + c
(n ≠ -1)
∫ dx / x (ax + b) = - (1/ b) ln |(ax+b) / x| + c
∫ dx x / (ax+b) = (1/a2) ax+b - b ln |ax+b|
∫ dx √ ax + b = ( 2 / 3a ) √ ( ax + b )3 + c
∫ dx x / √ ax + b = [ 2 ( ax – 2b ) / 3a2 √ ax + b + c
∫ dx / √ ax ± b = (2 /a) √ ax ± b + c
∫ dx ln |ax+b| = (1/a) [(ax+b) ln |ax+b| - (ax+b)] + c
+c
∫ dx x / (ax + b)2 = ( 1 / a2 ) [ ln |ax + b| + b / (ax + b) ] + c
∫ dx / (ax2 + b) = (1 / √ ab ) arctg x (√ ab / b) + c
∫ dx x / (ax2 + b) = (1 / 2a ) ln !ax2 + b| + c
∫ dx / (ax + b) ( cx + d) = [ 1 / ( ad – bc ) ] ln | (ax + b) / (cx + d) | + c
∫ dx (ax + b) / (cx + d) = (a/c)x + [ (bc – ad) / c2 ] ln |cx + d| + cost
∫ dx x / (ax + b) (cx + d) = [1 / (bc –ad) ] [ ( b / a ) ln |ax + b| - ( d / c ) ln |cx + d| ] + c
∫ dx √ax2 + bx + c = (1/2 √ a ) √ (2ax + b)2 - ∆
+ cost (a>0)
35
INTEGRAZIONE PER SCOMPOSIZIONE
Consiste nello scomporre la funzione integranda nella somma (algebrica) di funzioni di
ciascuna delle quali si conosce l'integrale indefinito o il suo calcolo è più facile
INTEGRAZIONE PER PARTI
Dato l'integrale ∫ u dv cioè ∫ u v' dx in cui la funzione u viene chiamata fattore finito e la
funzione dv = v' dx fattore differenziale, del quale si sa determinare la primitiva v, è
∫u
∫v
dv = u v -
du
(1)
Si applica questo metodo quando l' ∫ v du è più facile da calcolare dell' ∫ u dv
Con altre notazioni la (1) può essere scritta nel modo seguente
∫ f(x) . g ‘(x) dx
= f(x) . g(x) -
∫ g(x) . f ‘(x)
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
Occorre trovare una funzione x = g (z) in modo da esprimere la variabile x di integrazione in funzione di una variabile sostitutiva z, per cui essendo
dx = g '(z) dz
si abbia
∫ f(x) dx
=
∫ f[ g(z) ] g ' (z)
dz
Nel caso di un integrale del tipo ∫ dx / x2 – 3x + 2 in cui il trinomio a denominatore può
essere trasformato in un prodotto di due binomi: (x-1)(x-2) occorre determinare due
numeri A e B tali che risulti
1
A
B
 =  + 
(x-1)(x-2)
x -1
x -2
ossia 1 = A (x –2) + B ( x –1) = (A + B) x - (2A + B)
Per il principio di identità si avrà
A+B = 0
- (2A + B) = 1
da cui A = -1 e
36
B = 1
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Se y = f(x) è una funzione derivabile fino all’ n-simo ordine e se y’, y”, …yn sono le
sue derivate: prima, seconda, … n-sima, si chiama equazione differenziale del primo
ordine un’equazione in cui oltre alla x ed alla y è presente anche la sua derivata prima;
equazione differenziale del secondo ordine un’equazione in cui sono presenti la x, la y,
la y’ e la y”; e così via.
Un’equazione differenziale del secondo ordine, si dice in forma implicita se la sua
espressione è del tipo F( x, y, y’, y” ) = 0 ; si dice in forma normale se è del tipo
y” = G( x, y, y’ ).
La soluzione di un’equazione differenziale è la y che, con le sue derivate, soddisfa
l’equazione data.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI
Sono le equazioni che, ridotte a forma normale, hanno il secondo membro consistente in
un prodotto o in un quoziente di due funzioni , contenenti le sole variabili x ed y (niente
derivate).
Per risolverle si procede come negli esempi che seguono.
1° Esempio
__
__
2 √ xy - 2 √ y + y ’ = 0
Si riduce l’equazione alla forma normale
__
___
__
__
y ’ = 2 √ y - 2 √ xy
⇒
dy / dx = 2 √ y ( 1 - √ x )
Separandp le variabili si ottiene
__
__
__
dy / 2 √ y = ( 1 - √ x ) dx = dx - √ x dx
E integrando si ha
__
__
3 √ y = 3 x - 2x √ x + c
Elevando al quadrato
__
__
__
2
3
2
2
9 y = 9 x + 4 x - 12 x √ x + c’ = x ( 9 + 4 x – 12 √ x ) + c’ = x ( 3 – 2 √ x )2 + c’
da cui
__
y = [ (x / 3 ) ( x – 2 √ x ) ]2 che è la soluzione cercata.
2° Esempio
y ’ cos2 x cos y - 1 = 0
y ’ = 1 / cos2 x cos y
dy / dx = 1 / cos2 x cos y
⇒
cos y dy = dx / cos2 x
Integrando
sen y = tg x + c
da cui y = arcsen ( tg x + c )
.
che è la soluzione cercata
37
EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE
Si presentano già sotto forma normale e sono costituite da una frazione algebrica di due
polinomi dello stesso grado in x ed in y.
Per la loro soluzione procedere come negli esempi seguenti.
1° Esempio
x2 – 3 y2
y ‘ = 
(1)
2
2 x - 3 xy
Si dividono numeratore e denominatore della frazione per la x al massimo grado e si
effettua la sostituzione y / x = t, da cui y = tx e da cui, essendo la t funzione di x, si
ha: dy / dx = (dt / dx) x + (dx / dx) t
cioè dy / dx = (dt / dx) x + t.
Si ha quindi dalla (1)
1 – 3 t2
1 – 3 t2
1–2t
dy / dx = 
⇒
(dt / dx) x + t = 
⇒
(dt / dx) x = 
2–3t
2–3t
2–3t
L’equazione si è così trasformata in una equazione a variabili separabili che diventa:
2–3t
 dt = dx / x
e dividendo il numeratore del primo membro per il denominatore
1–2t
l’equazione si trasforma in [ (3/2) + 1 / 2( -2 t + 1) ] dt = dx / x
Integrando si ottiene
(3 / 2) t - (1 / 4) ln | -2 t + 1 | = ln | cx |
Ricordando che t = y / x si ha (3 / 2) y / x = ln [ ( x – 2 y) / x ]1/4 + ln | cx |
_____________
4
E infine ( 3 / 2 ) y / x = ln [ | c | √ | x3 ( x – 2 y ) | ]
che è una equazione non più differenziale.
2° Esempio
x+4y
y ‘ = 
4x–y
Procedendo come nell’esempio precedente si ottiene
1+4t
1+4t
dy / dx = 
⇒
(dt / dx) x + t = 
4–t
4–t
separando le variabili si ha
[ 4 / ( 1 + t2 ) ] dt - ½ [ (2 t )/ (1 + t 2) ] dt = dx / x
Integrando e sostituendo y / x a t si ottiene
4 arctg t - ½ ln ( 1 + t2 ) = ln | cx |
______
4 arctg (y / x) = ln ( | c | √ x2 + y 2 )
Equazione non più differenziale
38
⇒
1 + t2
(dt / dx) x = 
4–t
Complementi di algebra
EQUAZIONI PARAMETRICHE
Si definisce equazione parametrica un'equazione i cui coefficienti dipendono da uno o più
elementi, diversi dalle variabili e dalle incognite, detti parametri
Es di equazione parametrica di primo grado ( Il parametro è k )
( -k + 3 ) x + 2 k – 1 = 0
Es di equazione parametrica di secondo grado
( k + 2 ) x2 – 2 ( k – 1 ) x + k – 3 = 0
Ovviamente le radici di tali equazioni sono funzioni dei parametri
SISTEMA MISTO
Un sistema composto da una equazione, parametrica o no, di 1° o 2° grado, e da una o
più disequazioni (di solito non parametriche) dette limitazioni, costituisce un sistema misto
DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO
La discussione di un sistema misto consiste nel determinare la radice o le radici reali
dell'equazione e nello stabilire per quali valori del parametro esse soddisfano,
eventualmente, a tutte le limitazioni. Si hanno così: nessuna o una o due soluzioni
ordinarie del sistema.
Quando una radice coincide con una delle limitazioni si ha una soluzione limite
Per effettuare tale discussione si possono adottare diversi metodi, tra i quali è
naturalmente opportuno scegliere quello più conveniente
EQUAZIONI NON PARAMETRICHE - METODO DEL CONFRONTO DIRETTO
Quando nel sistema misto l'equazione di 1° o 2° g rado non è parametrica, occorre
trovare la radice o le radici dell'equazione e verificare se esse soddisfano o meno a tutte
le limitazioni, mediante un confronto diretto
Esempio 1°
Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione non parametrica di 2°
grado e due limitazioni
x2 – 12 x + 8 = 0
0 < x < 15
_
Le radici dell'equazione sono
x1 = -6-2√7 e x2 = -6+2√7
Essendo 0 < x1 < 15 ed invece x2 < 0 è accettabile la sola radice x1
EQUAZIONI PARAMETRICHE - METODO DEL CONFRONTO DIRETTO
Quando l'equazione del sistema misto è parametrica si può ricorrere ancora al confronto
diretto, come negli esempi che seguono
Esempio 2° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 1°
grado ed una sola limitazione
39
(k + 1)x + k = 3
x ≥1
Ovviamente deve essere k ≠ -1 perché in caso contrario l'equazione sarebbe impossibile
3–k
3-k
La radice dell'equazione è x =  che deve essere ≥ 1 cioè  - 1 ≥ 0
2 – 2k
k+1
k+1
da cui  ≥ 0
k+1
-1
1 (k)
N = 2 – 2k ≥ 0 per k ≤ 1
D = k + 1 > 0 per k > -1
+
Affinché la radice soddisfi la limitazione deve quindi essere -1 < k ≤ 1
**********
Esempio 3° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di
1° grado e due limitazioni
kx – 2k = -4
0 < x < 3
Ovviamente deve essere k ≠ 0
-4 + 2k
-4 + 2k
La radice dell'equazione è x =  e deve essere
0 <  < 3
k
k
Esaminiamo separatamente le due disequazioni
0
2
(k)
-4 + 2k
N = -4 + 2k > 0 per k > 2
 > 0 ⇒
quindi
k
D = k > 0
per k > 0
k<0 v k>2
+
+
-4
0
-4 + 2k
N = -4 – k > 0 per k < -4
quindi
 - 3 < 0 ⇒
k
D = k > 0
per k > 0
k < -4 v k > 0
+
Si può concludere che le radici soddisfano alle limitazioni se è
k < -4 v k > 2
**********
Esempio 4° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di
2° grado e due limitazioni
(V. anche l'esempio 13° a pag 46)
2 x2 - 3 x - 1 + 2 k = 0
0 < x < 2.
Innanzitutto si controlla la realtà delle radici
E' ∆ = 17 – 16 k ≥ 0 per k ≤ 17/16
Le radici dell'equazione sono ________
_______
3 – √17 – 16 k
3 + √17 – 16 k
x1 =
e x2 =
4
4
40
A questo punto si impone alle radici di soddisfare alle due limitazioni
________
________
x1 > 0 ⇒ 3 – √17 – 16 k >0 ⇒ 3 > √17 – 16 k ⇒ 9 > 17 – 16 k ⇒ k > 1/2
________
________
x1 < 2 ⇒ 3 – √17 – 16 k < 8 ⇒ √17 – 16 k > - 5 sempre verificata per ogni valore di
1/2
17/16 (k)
k che soddisfi la condizione di
o
realtà :
k ≤ 17/16
+
- quindi 1/2 < k ≤ 17/16
________
________
x2 > 0 ⇒ 3 + √17 – 16 k > 0 ⇒ √17 – 16 k > - 3 sempre verificata, come sopra
_______
________
x2 < 2 ⇒ 3 + √17 – 16 k < 8 ⇒ √17 – 16 k < 5 ⇒ 17 – 16 k < 25 ⇒ k > -1/2
-1/2
17/16
(k)
•
Riepilogando si ha
+
- 1/2
per
x1
"
x2
1/2
o
o
quindi
17/16
-1/2 < k ≤ 17/16
(k)
•
•
Dallo schema risulta che
1 radice ( x2 ) è accettabile per
2 radici sono accettabili per
-1/2 < k ≤ 1/2
1/2 < k ≤ 17/16
( 1 soluzione )
( 2 soluzioni )
METODO DI CARTESIO
Le equazioni parametriche di 2° grado con una o pi ù limitazioni si possono risolvere
anche, più semplicemente, applicando il metodo di Cartesio
Occorre qui ricordare la regola dei segni, di Cartesio, secondo cui, data un'equazione
a x2 + b x + c = 0 , ad ogni variazione di segno dei coefficienti (cioè tra a e b o tra b e
c) corrisponde una radice positiva dell'equazione; ad ogni permanenza di segno
corrisponde invece una radice negativa
Esempio 5° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di
2° grado con due limitazioni
k x2 – (5 k – 3) x + 6 k – 5 = 0
0<x<3
Esaminiamo innanzitutto la limitazione x > 0
41
Condizione di realtà delle radici
∆ = (5 k – 3)2 – 24 k2 + 20 k = k2 – 10 k + 9 ≥ 0
1° coeff. = k > 0
2° "
= -(5 k – 3) ≥ 0
3° "
= 6k–5 ≥ 0
per
per
per
per
k≤1
e
k≥9
k > 0
k ≤ 3/5
k ≥ 5/6
A questo punto si costruisce lo schema ( v = variazione ; p = permanenza )
0
∆
1° c
2° c.
3° c.
3/5
•.
5/6
•
1
9
•
•
(k)
•
2v 1p 1v 1v 1p 2v
+ +
- + + - -
2v
+ +
Dovendo essere x > 0 si considerano soltanto i segni + e quindi si può concludere
che, per la limitazione in esame, esistono
per
k< 0
" 0 < k < 5/6
" 5/6 < k < 1
"
k > 9
2
1
2
2
soluzioni
soluzione
soluzioni
soluzioni
(x2)
Per quanto riguarda la limitazione x < 3 (diversa da > 0 o da < 0) occorre ricorrere ad
un artificio, introducendo la variabile y nel modo seguente
y = x–3 < 0
da cui
x = y+3
L'equazione data si trasforma in quella seguente
k (y + 3)2 - (5 k – 3)(y + 3) + 6 k – 5 = 0
ed il sistema misto diventa così
k y2 + (3 + k) y + 4 = 0
y<0
La condizione di realtà delle radici è identica a quella calcolata in precedenza cioè
∆ ≥ 0
per
k ≤ 1 e k ≥ 9
1° coeff.
2° "
3° "
k > 0
3+k ≥ 0
4 > 0
per
k>0
per
k ≥ -3
sempre
Lo schema risultante è il seguente
∆
1° c
2° c
3° c
-3
•
0
1
•
•
1p 1v 1v 1p
- + + -
2p
- -
9
(k)
•
2p
- 42
Poiché deve essere y < 0 si considerano soltanto i segni - e pertanto si può
concludere che, per questa limitazione, esistono
per k ≤ -3
1 soluzione (y1 ⇒ x1)
"
-3 ≤ k ≤ 0
1 soluzione
id.
"
0≤ k ≤ 1
2 soluzioni
"
k ≥ 9
2 soluzioni
Esaminando i due gruppi di conclusioni relative alle due limitazioni si può concludere che
per k < 0
1 radice è accettabile (x1)
"
0 ≤ k < 5/6
1 radice è accettabile (x2)
"
5/6 < k ≤ 1
2 radici sono accettabili
"
k ≥ 9
2 radici sono accettabili
**********
Anche nel caso di due limitazioni del tipo
x < -m x > n occorre adottare l'artificio
prima descritto. Cioè si deve introdurre la variabile y (nel caso delle limitazioni sopra
citate si pone y = x + m < 0 da cui x = y – m e y = x – n > 0 da cui x = y + n)
e poi procedere come nell'esempio precedente
I due schemi risultanti vanno valutati
separatamente
Se le due limitazioni sono -∞ < x < +∞ ( ad es, f(x) simmetrica rispetto a 0) si
applica Cartesio per x ≥ 0, oppure per x ≤ 0, e si raddoppiano le soluzioni.
Se la f(x) non è simmetrica si applica Cartesio prima per x > o e poi per x < 0 e si
riuniscono le soluzioni
METODO DI TARTINVILLE
Se il sistema misto ha un'equazione di 2° grado ed una sola limitazione come ad es il
seguente
A x2 + B x + C = 0
( con A, B, e C funzioni di un parametro )
x ≤ s
occorre controllare innanzitutto la realtà delle radici verificando che il ∆ dell'equazione
sia ≥ 0
Se ∆ = 0 le radici sono coincidenti ( cioè = Σ = -b/2a ) e pertanto il confronto con la
limitazione è immediato
Se ∆ > 0 si calcola l'espressione f(s) che si ottiene sostituendo alla x il numero s
nell'equazione data e se ne determina il segno. Quindi si procede nel modo seguente
Se il prodotto A f(s) < 0 risulta x1 < s < x2 ossia s è interno all'intervallo delle
radici Si ha quindi una sola soluzione che è x1 se la limitazione è x ≤ s ( V. schema
s Σ
Σ
s
x1
x2 ), x2 se la limitazione è x ≥ s (V schema
x1
x2 )
Se il prodotto A f(s) > 0 risulta s < x1 < x2 oppure x1 < x2 < s ossia
s è esterno all'intervallo delle radici Per decidere se entrambe le radici sono > o < di s
occorre confrontare s con Σ, dal momento che per ∆ > 0 è x1 < Σ < x2
Se s < Σ le radici sono entrambe > s ( V schema
s
Σ
)
Si avranno pertanto due soluzioni se la limitazione è
x1
x2
x > s; nessuna soluzione se è x < s
Se s > Σ le radici sono entrambe < s ( V schema
Σ
s )
x1
x2
Si avranno pertanto due soluzioni se la limitazione è
x < s; nessuna soluzione se è x > s
43
Esempio 6° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di
2° grado ed una limitazione
p x2 - 2 ( p – 1 ) x + p – 5 = 0
x < -3
Ovviamente deve essere p ≠ 0 perché altrimenti l'equazione sarebbe di 1° grado
Si calcolano:
∆ = 3p+1 ≥ 0
per p ≥ -1/3
A = p > 0
per p > 0
f(-3) = 9 p + 6 ( p – 1 ) + p – 5 = 16 p – 11 ≥ 0
per
p ≥ 11/16
Lo schema risultante è il seguente
-1/3
0
11/16
(p)
∆
A
f(-3)
A f(-3)
>0
<0
>0
Le conclusioni:
per -1/3 ≤ p < 0
il prodotto A f(-3) è > 0 ; x < -3 nessuna soluzione
per 0 ≤ p < 11/16 "
"
"
" < 0 ; 1 soluzione (x1)
per p ≥ 11/16
"
"
"
" > 9 ; x < -3 nessuna soluzione
**********
Nel caso di due limitazioni il sistema misto è ad es il seguente
A x2 + B x + C = 0
m ≤ x ≤ n
(con m < n)
Dopo avere verificato la realtà delle radici ( ∆ ≥ 0 ) si calcolano f(m) e f(n)
1) Se A f(m) < 0 e A f(n) < 0 : nessuna soluzione
2) Se A f(m) < 0 e A f(n) > 0 o viceversa: una sola soluzione ordinaria
( x2 nel primo caso, x1 nel secondo )
3) Se A f(m) > 0 e A f(n) > 0 e m < Σ < n : due soluzioni ordinarie, distinte o
coincidenti Nessuna soluzione se m < n < Σ o se Σ < m < n
4) Se f(m) = 0 e f(n) ≠ 0 : una radice coincide con m
Analogamente
se f(m) ≠ 0 e f(n) = 0: una radice coincide con n
5) Se contemporaneamente f(m) = 0 e f(n) = 0: m ed n coincidono con le radici
6) Se f(m), oppure f(n), sono = 0 per qualunque valore di k: una delle soluzioni è
x = m, oppure x = n Si può facilmente trovare l'altra radice e procedere nella
discussione
**********
Nel caso di limitazioni del tipo x ≤ m
x ≥ n (con m < n) le regole precedenti si
modificano come segue:
1 bis) Se A f(m) < 0 e A f(n) < 0 ; due soluzioni
2 bis) Se A f(m) < 0 e A f(n) > 0 o viceversa: una soluzione
3 bis) Se A f(m) > 0 e A f(n) > 0 e m ≤ Σ ≤ n: nessuna soluzione
Una soluzione se m < n < Σ oppure Σ < m < n
44
Esempio 7° Sia dato il seguente sistema misto con una equazione parametrica di 2°
grado e due limitazioni
i
(1 – 2k) x2 + x + 1 = 0
-3 < x < 3
Si calcolano:
∆ = -3 + 8 k ≥ 0
per k ≥ 3/8
A = 1–2k ≥ 0
per k ≤ 1/2
f(-3) = 7 – 18 k ≥ 0
per k ≤ 7/18
f(3) = 13 – 18 k ≥ 0
per k ≤ 13/18
-1
Σ = 
2(1 – 2 k)
-1
5 -12 k
N ≥ 0 per k ≤ 5/12
quindi
Σ > -3 ⇒  > -3 ⇒  > 0
k ≤ 5/12
k >1/2
2–4k
2–4k
D > 0 per k < 1/2
-1
12 k – 7
Σ < 3 ⇒  < 3 ⇒  < 0
2–4k
2–4k
N ≥ 0 per k > 7/12
quindi
k <1/2
k > 7/12
D >0 per k < 1/2
Si traccia il solito schema
3/8
∆
A
f(-3)
f(3)
7/18
(5/12)
1/2
(7/12)
13/18
(k)
•
•
•
•
Σ > -3
Σ<3
Le conclusioni sono le seguenti:
Per 3/8 ≤ k ≤ 7/18
f(-3) ed A hanno segno uguale:
f(3) ed A
"
"
"
-3 < Σ < 3
A f(-3) > 0
A f(3) > 0
2 soluzioni
f(-3) ed A hanno segno opposto: A f(-3) < 0
Per 7/18 < k ≤ 1/2
1 soluzione
f(3) ed A
"
"
uguale:
A f(3) > 0
f(-3) ed A hanno segno uguale:
A f(-3) > 0
Per 1/2 < k ≤ 13/18
1 soluzione
f(3) ed A
"
"
opposto: A f(3) < 0
f(-3) ed A hanno segno uguale:
A f(-3) > 0
f(3) ed A
A f(3) > 0
Per k > 13/18
2 soluzioni
"
"
45
"
SISTEMI MISTI CON EQUAZIONI PARAMETRICHE IN DUE INCOGNITE
Dato un sistema di due equazioni, di cui almeno una parametrica, nelle incognite x ed y,
soggetto a limitazioni, si può discuterlo eliminando un'incognita, ad es la y, ottenendo così
una equazione risolvente nella sola x.
Si procede quindi come nei casi precedenti
Esempio 8° Sia dato il seguente sistema misto con due equazioni parametriche in due
incognite, di cui una di 1° g rado e l'altra di 2° grado, ed una limitazione per
ognuna delle incognite
4x+y = k+2
(1)
2
(2)
y = 2x –k
x ≥ 0
y ≥ 0
Sostituendo la (2) nella (1) si ottiene il nuovo sistema misto seguente
x2 + 2 x – k – 1 = 0
x ≥ 0
Condizione di realtà delle radici
∆ = k+2 ≥ 0
Applicando il metodo di Cartesio risulta
1° coeff.
1>0
se mpre
2° "
2>0
"
3° "
-k–1 ≥ 0
per k ≤ -1
per k ≥ -2
Lo schema risultante è quindi il seguente
-2
-1
∆
1° c
2° c
3° c
•
2p
- -
2p
- -
1p 1v
- +
Dovendo essere x ≥ 0 si deve tenere conto dei soli segni + e quindi la soluzione è
k > -1
Esempio 9° Sia dato il seguente problema:
In una semicirconferenza di raggio r si deve inscrivere un trapezio isoscele
avente un perimetro 2p e base maggiore uguale al diametro
E' opportuno indicare la base minore con 2x ed il
lato obliquo con y
Il perimetro risulta così
2p = 2x + 2y + 2r
cioè
p = x+y+r
Dai due triangoli OCH E BCH si ricava ( HB = r-x;
OH = x )
y2 - r2 – x2 + 2rx = r2 – x2
46
D
2x
2x
C
y
A
r
O
H
B
e, poiché y = p – x – r si ottiene l'equazione di 2° grado nella sola x:
x2 – 2(p – 2r)x + p2 – r2 – 2rp = 0
Le limitazioni sono
Per la x:
0 ≤ x ≤ r
(2)
( p è il parametro )
(1)
_
0 ≤ y ≤ √2 r
Per la y:
Ricordando la precedente espressione della y, le relative limitazioni si trasformano in
quelle che seguono
_
per la x
p – r - √2 r ≤ x ≤ p – r
(3)
Si giunge così ad un sistema misto costituito dalla (1), dalle (2) e dalle (3)
L' equazione (1) deve essere quindi confrontata con le quattro limitazioni della x
Si può adottare il metodo di Cartesio ( 4 volte )
1)
x ≥ 0
_
(1+√2)r
2r
∆ = -2rp + 5r2 ≥ 0
1° coeff 1 > 0
2° " -2p + 4r ≥ 0
3° "
p 2 – 2rp – r2 ≥ 0
per p ≤ (5/2) r
sempre
per p ≤ 2r _
per p ≥ r(1 + √2)
•
•
•
1p 1v
Dovendo essere x ≥ 0 si ha
2)
x ≤ r
(5/2)r
1v 1p
+
+
1 soluz
x2
2v
-
+ +
1 soluz
x2
2 soluz
x1
x2
Si pone w = x – r ≤ 0 ⇒ x = w + r
Sostituendo il valore di x nella (1) si ottiene una equazione parametrica di 2°grado in w
w2 – 2(p – 3r)w + p2 + 4r2 – 4rp = 0
2r
(5/2)r
∆ ≥ 0
per p ≤ (5/2)r come prima
1° coeff 1 > 0
sempre
2° "
-2p + 6r ≥ 0
per p ≤ 3r
2
2
3° " p - 4rp + 4r = (p – 2r)2 ≥ 0 Poiché per x = r
3r
•
•
è p = 2r (semiperimetro minimo) risulta p ≥ 2r
Dovendo essere w ≤ 0 si hanno
3)
_
x ≥ p – r - √2 r
⇒
1p 1v
- +
-
2p
1 soluz
w1
2 soluz
w1 w2
-
e quindi ⇒ x1
x1 x2
_
_
Si pone z = x – p + r + √2 r ≥ 0 ⇒ x = z + p – r - √2 r
Sostituendo nella (1) il nuovo valore di x si ottiene ancora un'equazione di 2° grado in z
_
_
2
2
z - 2(√2 r – r)z + 2rp – 2r - 2√2 r2 = 0
47
_
(1+√2)r
∆ ≥ 0
1° coeff 1 > 0 _
2° "
2r - 2 √2 r ≥ 0
3° "
2rp – 2r 2 – 2√2 r2 ≥ 0
per p ≤ (5/2)r come prima
sempr e
_
per 1 ≥ √2
_ mai
per p ≥ (1 + √2) r
•
•
1v 1p
+
Dovendo essere z ≥ 0 si ha
⇒
x ≤ p-r
Si pone t = x - p + r ≤ 0
2v
-
+
1 soluz
z2
⇒
e quindi
4)
(5/2)r
+
2 soluz
z1
z2
x2
x1
x2
⇒ x = t+p–r
Ancora una volta sostituiamo il valore di x nella (1) ottenendo l'equazione seguente
t2 + 2rt + 2rp - 4r2 = 0
2r
∆ ≥ 0
1° coeff 1 > 0
2° "
2r > 0
3° "
2rp – 4r 2 ≥ 0
per p ≤ (5/2)r come sopra
sempre
sempre
per p ≥ 2r
(5/2)r
•
•
1p 1v
Dovendo essere t ≤ 0 si ha
⇒
e quindi
+
1 soluz
t1
⇒
x1
2p
2 soluz
t1 t2
x1
x2
A questo punto si possono riassumere le soluzioni accettabili nella tabella seguente
_
2r
(1 + √2)r
(5/2)r
1)
2)
3)
4)
x
x
x
x
≥
≤
≥
≤
0
r
_
p – r - √2 r
p-r
x2
x2
x2
x2
x2
x1
x1
x2
x1
x1
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
Esaminando la tabella si può concludere che
per p < 2r
_
per 2r ≤ p < (1 + √2 )r
per (1 + √2)r ≤ p ≤ (5/2)r
non si hanno soluzioni
si ha una sola soluzione (x2)
si hanno due soluzioni
M ETODI GRAFICI
Il sistema misto con un'equazione parametrica di 1° o 2° grado, con una o più limitazioni
si può risolvere con un metodo grafico come è descritto negli esempi che seguono
48
Esempio 10° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di
1° grado e due limitazioni
2kx+k = 5+3x
0 ≤ x ≤ 5
k-5
La radice dell'equazione è x =  in cui deve essere 3 – 2k ≠ 0 cioè k ≠ 3/2
3 – 2k
y
Per risolvere graficamente il sistema si fa ricorso ad un artificio
che consiste nell'introdurre opportunamente la variabile y
Il sistema dato si trasforma nel seguente
A(0;5 )
B
y=2kx–3x+k
(1)
_
(5;5)
y = 5
(2)
_
0≤x≤ 5
(3)
_
C•_
La (1) è l'equazione di un fascio proprio di rette con centro
-1 O 1
2
3
4 5 x
C ( -1/2 ; 3/2 ) Queste coordinate si ottengono risolvendo il
sistema delle due generatrici del fascio
3x+y=0
2x+1=0
La (2) è l'equazione di una retta parallela all'asse x e passante per il punto ( 0 , 5 )
I punti del piano cartesiano che soddisfano alle (3) sono quelli appartenenti al segmento
AB (V fig )
Considerando la retta del fascio che passa per A si ottiene dalla (1) k = 5 ; quella che
passa per B dà k = 20/11
Entrambi i valori sono > 3/2
La radice dell'equazione è quindi accettabile per
20/11 ≤ k ≤ 5
**********
Esempio 11°
Sia dato il seguente sistema misto con due equazioni di 2° grado; di cui
una parametrica, in due incognite ed una limitazione
x2 + y2 = 4
y = x2 + k
y ≥ x
(1)
(2)
(3)
C
La (1) è l'equazione di una circonferenza con centro O e raggio 2
La (2) è l'equazione di un fascio di parabole con asse parallelo
B
all'asse y e vertici (0; k)
La (3) indica che la soluzione si trova nel semipiano situato
T
a sinistra della retta y = x e cioè sull'arco AB di circonferenza
A
che giace nel semipiano suddetto
_
_
Considerando una parabola del fascio passante per A (-√2 , -√2)
e poi una per B (√2; √2) e una per C (0; 2) si ottiene,
rispettivamente
_
_
parabola per A
-√2 = 2 + k
da cui
k = -2 –√2
parabola per B
√2 = 2 + k
da cui
k = -2 +√2
parabola per C
2 = 0+k
da cui
k = 2
Il punto T di tangenza tra una parabola del fascio e la circonferenza è dato dal sistema
costituito dalla (1) e dalla (2), ponendo = 0 il ∆ dell'equazione risultante
49
Dalla (1) si ricava x2 = 4 – y2
che sostituito nella (2) dà
2
y +y–4–k = 0
con ∆ = 4 k + 17 = 0
da cui k = -17/4
Osservando la figura si conclude che si hanno:
2 soluzioni per
1 soluzione per
2 soluzioni per
_
- 17/4 ≤ k ≤ - 2 – √2 _
- 2 – √2 < k < - 2 + √2
- 2 + √2 ≤ k ≤ 2
METODO GRAFICO DELLA PARABOLA FISSA
I sistemi misti con equazioni di 2° grado in x p ossono anche essere discussi
graficamente con il metodo della parabola fissa.
Per fare questo occorre trasformare il sistema misto dato in uno in x ed y mediante una
opportuna sostituzione (come ad es. y = x2) ottenendo in tal modo l'equazione di una
parabola e quella di un fascio proprio di rette con centro C
Disegnata la parabola se ne considera l'arco i cui punti estremi hanno le ascisse
corrispondenti alle limitazioni imposte
Da C si conducono le cosiddette rette notevoli passanti per tali due punti ed
eventualmente la tangente alla parabola e si ricavano i valori di k corrispondenti,
sostituendo nella equazione del fascio i valori delle coordinate dei punti
Esempio 12° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di
2° grado e due limitazioni
k x2 + 2(2 + k)x + 9 = 0
(1)
-1 ≤ x ≤ 2
In questo caso, essendo il parametro k il coefficiente di x2 e di x, è opportuno
effettuare nella (1) la sostituzione
y = x2 + 2 x
ottenendo così il seguente
sistema misto
y = x2 + 2 x
(1)
4x+ky+9=0
(2)
-1 ≤ x ≤ 2
(3)
La (1) è l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y
La (2) è l'equazione di un fascio proprio di rette con centro C(-9:; 0)
Le limitazioni (3) stabiliscono che le soluzioni stanno nella fascia
di piano compresa tra le rette x = -1 e x = 2 , ossia sull'arco di
parabola VA, in cui A (2; 8)
Considerando le rette del fascio che passano per V
e per A si ottiene
-4+9–k = 0
da cui k = 5
8+9+8k = 0
da cui k = - 17/8
Non si considera la tangente alla parabola
C
perché il punto di tangenza ha ascissa -3/2
e quindi al di fuori dell'intervallo di limitazione
V
Osservando la figura si può quindi concludere che si ha
x = -1
1 soluzione
per k ≤ - 17/8
( arco di parabola AO )
1 soluzione
per k ≥ 5
( arco di parabola VO)
( Va notato che ad es. in B (1; 3) è k = - 13/3 che è < - 17/8)
50
A
y
B
O
x
x=2
Esempio 13° L'equazione dell'esempio 4° ha il parametro sol tanto nel termine noto
(parametro isolato)
In tal casi con il metodo grafico della parabola fissa si può considerare il sistema misto
seguente
y = -2 x2 + 3 x + 1
(1)
y
y = 2k
(2)
_V
0<x<2
A
C
La (1) è l'equazione di una parabola con il vertice
V (3/4 ; 17/8 )
O
1
2
La (2) è l'equazione di una retta parallela all'asse x
Tracciata tale parabola se ne considera l'arco AB
avente gli estremi con le ascisse corrispondenti alle
B
limitazioni imposte A (0 ; 1) B ( 2 ; -1)
Si fanno passare le rette notevoli per A, B e V e si calcolano i corrispondenti valori di k
Retta per A
y = 2k =1
k = 1/2
Retta per B
y = 2 k = -1
k = -1/2
Retta per V
y = 2 k = 17/8 k = 17/16
Dall'esame della figura si può concludere che
Per -1/2 < k ≤ 1/2
si ha 1 soluzione (1 intersezione delle rette comprese
tra C e B, con la parabola )
Per 1/2 < k ≤ 17/16 si hanno 2 "
( 2 intersezioni delle rette comprese
tra A e V, con la parabola)
Le conclusioni sono ovviamente uguali a quelle dell'esempio 4°
DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO IRRAZIONALE - METODO ALGEBRICO
Dovendosi risolvere un problema geometrico conducente ad un sistema misto composto
da un'equazione irrazionale del tipo ___
√ f(x) = g(x)
(1)
(in cui f(x) è una funzione di 1° o 2° grado) e di una o due limitazioni, si deve
innanzitutto elevare al quadrato i due membri della (1), ma affinché ciò sia lecito occorre
che sia
g(x) ≥ 0 (tale limite è detto limite algebrico per distinguerlo dalle limitazioni
del problema)
(2)
in cui è
f(x) ≥ 0
Si ottiene così l'equazione
f(x) = [ g(x) ]2
essendo il secondo membro certamente ≥ 0
Si discute quindi il sistema misto composto dalla equazione (2), dalle limitazioni del
problema e dal limite algebrico
Esempio 14° Sia dato il seguente sistema misto ( v anche l'esempio 15° )
√2 x – x2 = 2 x + k
(3)
0<x<1
Dovendo essere 2 x + k ≥ 0, deve essere
x ≥ -k/2 (limite algebrico)
Elevando al quadrato la (3) si ottiene l'equazione
x(2 – x) = (2 x + k)2
(4)
Essendo il secondo membro della (4) positivo o nullo, anche il primo membro è positivo
o nullo, cioè
x(2 – x) ≥ 0
da cui
0 ≤ x ≤ 2
51
Ma tali limitazioni sono già implicite in quelle del problema
Si tratta quindi di discutere, con i procedimenti descritti in precedenza, il seguente sistema
misto
5 x2 – 2(1 – 2 k)x + k2 = 0
0<x<1
x ≥ - k/2
ricavando dal solito schema i valori di k che determinano le soluzioni del problema
METODO GRAFICO
Volendosi discutere con metodo grafico un sistema misto costituito da una equazione
irrazionale del tipo
___
√ f(x) = g (x,k)
( in cui g(x,k) è una funzione di 1° grado)
e da una o due limitazioni, l'equazione data viene trasformata come segue
y = √ f(x)
equazione di una curva esponenziale
y = g(x,k)
equazione di un fascio di rette
Per la discussione si procede come descritto in precedenza
Esempio 15° Applichiamo il metodo grafico al sistema misto dell'esempio 14°
Scriviamo il sistema nella forma seguente
y = √ 2 x – x2
(1)
y=2x+k
(2)
0<x<1
y > 0
La (1) elevata al quadrato diventa
x2 + y2 – 2 x = 0
che rappresenta un'ellisse
La (2) è l'equazione di un fascio improprio di rette
Dell'ellisse si individua l'arco i cui estremi hanno
le ascisse corrispondenti alle limitazioni
Dovendo essere y > 0 tale arco è quello OA
Si tracciano quindi le rette notevoli del fascio
A
(m = 2) passanti per i punti O ed A e quella
T
tangente in T ( 1 –(2√5)/ 5 ; √5/5 )
O
La retta per O ha
k = 0
La retta per A ha
k = -1_
La retta per T ha
k = √5 – 2
Esaminando la figura si può concludere che
Per -1 ≤ k ≤ 0 _
si ha 1 soluzione
Per 0 < k ≤ √5 – 2
si hanno 2 soluzioni
52
RISOLUZIONE DI SISTEMI PARAMETRICI CON LE MATRICI
ax + by + cz = m
dx + ey + fz = n
gx + hy + kz = p
Determinante dei coefficienti delle incognite
∆ =
a b c
d e f
g h k
=
= aek + bfg + cdh –ceg – bdk – ahf
Se ∆ ≠ 0 il sistema è Crameriano: ammette una e una sola soluzione
xo yo
zo
Matrice completa: B
B =
Matrice incompleta: A
a b c m
d e f n
g h k p
A = ∆
TEOREMA DI ROUCHE'- CAPELLI
Un sistema lineare con n incognite ammette soluzioni ( una o infinite ) se e solo se la
matrice incompleta A e la matrice completa B hanno lo stesso rango k
N.B. Rango di una matrice è l’ordine delle più estese delle sue sottomatrici quadrate
aventi determinanti ≠ 0
Ordine di una matrice quadrata (sottomatrice ) è il numero delle sue righe e delle
sue colonne
Se k = n il sistema ammette una e una sola soluzione che si determina con la
regola di Cramer
Se k < n
il sistema ammette ∞ n-k soluzioni
Se kA ≠ kB Il sistema è impossibile
53
REGOLA DI CRAMER
m b
n
d
x = 
a
b
c
d
ax + by = m
cx + dy = n
a
b
c
d
∆ =
Es
=
ad - bc
ax + by + 2z = 1
ax - y + 3z = b
ax + by + (b+3)z = 1
a m
b n
y = 
a b
c d
deve essere ≠ 0
a
a
a
A =
b
-1
b
2
3
(b+3)
= -a ( b + 1 )2
Se a ≠ 0 e b ≠ -1 è A ≠ 0 quindi il sistema è Crameriano e ammette una e una sola
soluzione Il rango di A è k = 3 come quello di B L’ordine è n = 3 (n=k)
Negli altri casi il rango della matrice A non sarà = 3 Si hanno 3 casi:
a = 0 ; b ≠ -1
a ≠ 0 ; b = -1
a = 0 ; b = -1
1° caso
La matrice completa B è
0
0
0
b 2 1
-1 3 b
b (b+3) 1
Essendo una colonna formata da elementi tutti = 0, consideriamo la sottomatrice di
ordine 3 e rango 3 il cui determinante è
b 2 1
-1 3 b = - ( b + 1 ) ( b2 + 1 )
b (b+3) 1
che, essendo b ≠ -1 per ipotesi, è ≠ 0
In questo caso la sottomatrice A è
0 b 2
0 -1 3
Pertanto il suo rango è soltanto 2
0 b (b+3)
Essendo il rango di A diverso da
quello di B il sistema è impossibile
54
2°) caso
La matrice completa B è
a
a
a
-1
-1
-1
2
3
2
1
-1
1
Poiché la 1^ e la 3^ riga sono uguali
non si potrà mai avere una sottomatrice quadrata di ordine e rango = 3 con determinante
diverso da zero Pertanto anche il rango della matrice completa non sarà = 3 ma = 2
In questo caso la matrice incompleta A e la matrice completa B hanno entrambe rango
= 2 per cui il sistema è compatibile e ammette ∞n-k = ∞3-2 = ∞1 soluzioni
3°) caso
La matrice completa B è
0
0
0
-1
-1
-1
2
3
2
1
-1
1
Vedi il 2° caso
Riepilogando
Per
a ≠
0,
b ≠
Per
a =
0,
b
≠ -1 il sistema è impossibile
Per
a ∈
R,
b
= -1 il sistema ammette ∞1 soluzioni ( è indeterminato )
-1 il sistema ammette una e una sola soluzione ( Cramer )
55
DISEQUAZIONI
DISEQUAZIONI DI 1° GRADO
Es.
-3 x ≥ 6
⇒
8x > 5
⇒
- x ≥ 6/3 = 2
x ≤ -2
⇒
|
-2
-∞
|
0
Es.
x > 5/8
|
0
|
5/8
+∞
SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI 1° GRADO
Es.
(5 x + 1) / 3 – (x – 1) / 4 < 2
(5 x – 1) / 3 + (2 x – 1) / 6 > 1
Portare tutti gli
elementi nel 1°
membro
(5 x + 1) / 3 – (x – 1) / 4 – 2 < 0
(5 x – 1) / 3 + (2 x – 1) - 1 > 0
Ridurre ogni equazione allo stesso denominatore e quindi risolverle
(*)
(20 x + 4 – 3 x + 3 – 24) / 12 < 0
17 x – 17 < 0
x < 1
(*)
(10 x – 2 + 2 x – 1 – 6) / 6 > 0
(4 x – 3) / 2 > 0
x > 3 /4
Tracciare lo schema
con i caposaldi ¾ e 1
¾
1
1^ diseq.
2^ “
+
Si prende l’intervallo con il segno +, per cui il sistema risulta soddisfatto per
¾ <x<1
(*) Essendo il denominatore > 0 lo si può eliminare, perché è il numeratore che comanda.
Tale eliminazione non è possibile quando il denominatore è < 0. Si tratta infatti di disequazioni e
non di equazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
Si suppone
f(x) = a x2 + b x + c > 0
ed
a>0
SI risolve la equazione f(x) = 0 e se ne calcola il ∆
Se ∆ > 0 (radici reali), si esamina il segno di a ed il segno del trinomio della
disequazione (Nell ‘ Es. si è supposto che entrambi siano > 0)
Se i due segni sono uguali, per soddisfare la disequazione alla variabile
x si attribuiscono valori esterni all’intervallo compreso tra le radici (x1 ed x2)
dell’equazione f(x) = 0
Se i due segni sono diversi, alla variabile x si attribuiscono valori interni
al suddetto intervallo delle radici
56
Es.
f(x) = 2 x2 – x – 1 > 0
∆= 1+8=9 > 0
il trinomio è > 0
a=2 > 0
Le radici dell’equazione f(x) = 0 sono x1 = -1/2 e x2 = 1
I segni del trinomio e di a sono uguali (>0), quindi per soddisfare la
disequazione occorre attribuire alla variabile x valori esterni all’intervallo
delle radici, cioè
-1/2
1
x < -1/2 e x > 1
|
|
x
x
Es.
f(x) = 3 x2 – 5 x + 2 ≤ 0
∆ = 25 – 24 = 1 > 0
il trinomio è < 0
a=3 > 0
Le radici dell’equazione f(x) = 0 sono x1 = 2/3 e x2 = 1
I segni del trinomio e di a sono diversi, quindi, per soddisfare la
disequazione si attribuiscono ad x valori interni all’intervallo delle radici,
cioè
2/3
1
2/3 ≤ x ≤ 1
|
|
x
Se ∆ = 0 (radici reali coincidenti), la disequazione è soddisfatta per qualunque valore di
x se a ed il trinomio hanno segni uguali. Non è mai soddisfatta se i segni
sono diversi Per x = x1 = x2 il trinomio si annulla.
Es.
f(x) = 4 x2 – 12 x + 9 > 0
∆ = 36 - 36 = 0
il trinomio è > 0
Le radici dell’equazione f(x) = 0 sono x1
Essendo uguali i segni del trinomio e di a,
per qualunque valore di x eccetto x = 3/2
(Si deve tenere presente che la f(x) è > 0
a = 4 >0
= x2 = 3/2
la disequazione è soddisfatta
per cui il trinomio si annulla
e non ≥ 0)
Es.
f(x) = -x2 + 10 x – 25 > 0
∆ = 25 – 25 = 0
il trinomio è > 0
a = -1 < 0
Essendo diversi i segni del trinomio e di a, la disequazione non è mai
soddisfatta
Se ∆ < 0 la disequazione è sempre soddisfatta e non si annulla mai, se i segni del
trinomio e di a sono uguali; non è mai soddisfatta se i segni sono diversi
Es.
f(x) = x2 – 2 x + 17 > 0
57
∆ = 1 – 17 = -16 < 0
il trinomio è > 0
a = 1 > 0
Essendo uguali i segni del trinomio e di a, la disequazione è soddisfatta per
qualunque valore di x
f(x) = -x2 + 4 x – 29 > 0
Es.
∆ = 4 – 29 = -25 < 0
il trinomio è > 0
a = -1 < 0
Essendo diversi i segni del trinomio e di a, la disequazione non è mai
soddisfatta
SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
a
N.B. Nei sistemi di diseq. di 2° grado si opera sul le varie diseq..
come si è visto prima, poi si fa lo schema conclusivo, senza le
linee tratteggiate, e si prendono solo le soluzioni (linee continue)
comuni a tutte le disequazioni.del sistema (v. figura a lato)
Non si considerano gli intervalli privi di liee
Es.
1^
2^
3^
(no)
b
(no)
c
(si)
(no)
x2 – 5 x > 0
(x – 1) / 5 + 2 > (x – 3) / 2
x2 – 16 ≤ 0
1^ diseq. ( 2° grado )
∆ = 25 > 0
a = 1 > 0
x (x – 5) = 0
valori esterni cioè
x < 0
x1 = 0
e
x2 = 5
x > 5
2^ diseq ( 1° grado )
(x – 1) / 5 + 2 – (x – 3) / 2 > 0
-3 x + 33 > 0
x < 33 / 3
x < 11
3^ diseq. ( 2° grado )
(x – 4)(x + 4) ≤ 0
x1 = -4
x2 = 4
Essendo le radici reali si sa che ∆ > 0, e quindi, poiché f(x) ≤ 0 e a > 0, bisogna
attribuire alla x valori interni cioè
-4 ≤ x ≤ 4
A questo punto si costruisce lo schema con i capisaldi -4, 0, 4, 5, 11,
-4
1^ diseq.
2^ diseq
3^ diseq.
0
4
5
o
•
11
o
•
valori inclusi
o
valori esclusi
o.
•
+
-4 ≤ x < 0
Le tre disequazioni sono soddisfatte dai valori di x compresi tra -4 (incluso) e
0 (escluso)
58
DISEQUAZIONI FRAZIONARIE
Es.
⇒
3 + 1 / (x – 1) < 1 / (2 x + 1)
3 + 1 / (x – 1) - 1 / (2 x + 1) < 0
Riducendo allo stesso denominatore e sommando i monomi simili si ottiene
(6 x2 – 2 x – 1) / ( 2 x2 – x - 1) < 0
(*)
Si suppone che sia il Numeratore, sia il Denominatore siano > 0
N ≥ 0
f(x) = 6 x2 – 2 x – 1 > 0
Ponendo f(x) = 0
__
si ricava x = (1 ± √ 7 ) / 6
Essendo ∆ > 0, il trinomio > 0, a > 0,
si attribuiscono alla x valori esterni
all’intervallo delle radici, cioè
__
__
x < (1 - √ 7 ) / 6)
e
x > (1 + √ 7 ) / 6)
f(x) = 2 x2 – x - 1 > 0
D > 0
__
Ponendo f(x) = 0 si ricava x = (1 ± √ 9 ) / 4)
x1 = -1/2
x2 = 1
Poiché è ∆ > 0, a > 0, e il trinomio > 0, si attribuiscono alla x valori esterni e cioè
x < -1/2
e
x > 1
__
Si costruisce lo schema con i capisaldi -1/2,
(1 - √ 7) / 6),
__
__
-1/2
(1 - √ 7) / 6 (1 + √ 7) / 6
N
o
o
D
o
+
Poiché la disequazione è
quindi
__
(1 + √ 7 ) / 6),
1
1
o
-
+
-
+
< 0 si devono considerare i segni - anziché i + e si ha
__
-1/2 < x < (1 - √ 7 ) / 6
e
__
(1 + √ 7 ) / 6 < x < 1
Per x = -1 e per x = 1 il denominatore si annulla e la disequazione non ha più
significato
(*) V. la nota al § Sistemi di equazioni di 1° grado. In questo caso non si sa se il denominatore è > o < 0
e quindi non si può eliminarlo
59
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
1° caso
____
√ f(x) < g(x)
n
Se la disequazione è della forma
e
- se n è dispari, si elevano i due membri della disequazione alla n-sima potenza
e si discute la disequazione
f(x) < [ g(x) ]n
- se n è pari,
le soluzioni della disequazione sono quelle del sistema
f(x) < [g(x) ]n
g(x) > 0
f(x) ≥ 0 (CE)
------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------
NB 1 Nel caso di disequazioni irrazionali del tipo √f(x > o < √a (dove a è un numero positivo), si deve:
1° verificare che la CE (f(x) ≥ 0) sia soddisfatta;
2° risolvere la disequazione come una nor male disequazione razionale
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Es . 3 _______
√ 7 – 8 x3 < 1 – 2 x
n dispari
Si eleva al cubo e si ottiene, dopo le opportune riduzioni, p(x) = 2 x2 – x – 1 > 0
Le radici di p(x) = 0 sono x1 = -1/2
x2 = 1 che sono reali, quindi ∆ > 0
Il trinomio è > 0, a > o quindi: valori esterni
x < -1/2 e x > 1
Es.
__________
√ x2 – 4 x + 3 < 3 – 2 x
n pari
In questo caso si risolve il sistema:
1^ diseq.
2^ diseq.
3^ diseq,
x2 – 4 x + 3 < (3 – 2 x)2
3–2x > 0
x2 – 4 x + 3 ≥ 0
La 1^ disequazione è uguale a 3 x2 – 8 x + 6 > 0
∆ < 0 il trinomio è > 0,
a > 0 quindi la disequazione è sempre soddisfatta
La 2^ disequazione è soddisfatta per x < 3/2
La 3^ disequazione è soddisfatta per x ≤ 1 e x ≥ 3
Si costruisce lo schema con i capisaldi
1
1^ diseq.
2^ diseq.
3^ diseq.
•
1, 3/2,
3/2
3
3
o
•
+
Dallo schema risulta che la disequazione data è soddisfatta per
x ≤1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------NB 2 Negli schemi, come quello precedente, gli intervalli privi di linee orizzontali non devono essere presi
in considerazione
60
2° caso
____
√ f(x) > g(x)
n
Se la disequazione è della forma
e
se n è dispari, intero, si elevano i due membri della disequazione alla n-sima potenza e
si discute la disequazione
f(x) > [ g(x) ]n
se n è pari, intero, le soluzioni della disequazione sono quelle dei due sistemi
g(x) < 0
f(x) ≥ 0
(CE)
g(x) ≥ 0
f(x) > [g(x) ] n
e
Si riuniscono poi i risultati dei due sistema su una sola retta
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------V. NB 1 alla pagina precedente.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Es. __________
√ x2 – 3 x + 2 > x – 5
n pari
Le soluzioni della disequazione sono quelle dei due sistemi
A
1^
2^
x–5 < 0
x2 – 3 x + 2 ≥ 0
La 1^ disequazione è verificata per
La 2^ disequazione è verificata per
B
x < 5
x ≤ 1
Lo schema corrispondente, con i capisaldi
1^ diseq.
2^ diseq.
1
2
•
•
A
5
o
+
è soddisfatto per
La 3^ disequazione è verificata per
La 4^ disequazione è verificata per
23 / 7
o.
mostra che il sistema
B
x ≤ 1
e
2 ≤ x < 5
x > 23 / 7
x ≥ 5
Lo schema corrispondente, con i capisaldi
3^ diseq
4^ diseq.
x ≥ 2
e
1, 2, 5
+
mostra che il sistema
x2 – 3 x + 2 > (x – 5)2
x–5 ≥ 0
3^
4^
23 / 7 , 5
5
•
è soddisfatto per
+
x ≥ 5
Riunendo i risultati si conclude che la disequazione data è soddisfatta per
1
2
5
x ≤ 1 e x ≥ 2
|
|
|
61
DISEQUAZIONI CON ESPRESSIONI DI x IN VALORE ASSOLUTO
Il valore assoluto di un numero h, positivo o negativo, indicato con | h |, è il valore
positivo di quel numero.
h se h ≥ 0
Cioè
|h| =
-h se h < 0
Parimenti, se si considera una funzione f(x), è
f(x) per ogni x per cui f(x) ≥ 0
| f(x) | =
-f(x) per ogni x per cui f(x) < 0
1° caso
Una disequazione della forma | f(x) | < m è soddisfatta per quei valori eventuali della x
per cui la f(x) assume sia valori minori di m, sia valori maggiori di -m.
f(x) < m
La disequazione suddetta equivale al sistema
ossia -m < f(x) < m
f(x) > -m
Dando per semplicità alla f(x) un valore numerico, k, la scrittura | k | < m significa che
se, ad es, m = 5, potrebbe essere k = -3, perché è, nello stesso tempo, -3 < 5 e
-3 > -5.
In ogni caso è | -3 | < 5
Graficamente
|
|
-m
f(x)
m
Es,
| x2 – 3 x + 2 | < 4 + x
x2 – 3 x + 2 < 4 + x
( 1^ diseq. )
La disequazione data è equivalente al sistema
( 2^ diseq. )
x2 – 3 x + 2 > -4 – x
1^ disequazione
x2 – 3 x + 2 – 4 – x < 0
⇒
x2 – 4 x – 2 <
2
Le soluzioni di x – 2 x – 2 = 0 sono x1/2 = 2
Essendo ∆ > 0,
il trinomio < 0,
a > 0
Quindi la soluzione è
2 - √6 < x < 2 +
0
_
± √6
( reali )
occorre attribuire alla x valori interni.
√6
2^ disequazione
x2 – 3 x + 2 + 4 + x > 0
⇒
x2 - 2 x + 6 > 0 __
2
Le soluzioni di x – 2 x + 6 = 0 sono x1/2 = 1 ± √ -5
( complesse coniugate )
Essendo ∆ < 0, il trinomio > 0, a > 0 la disequazione è sempre soddisfatta
__
__
Si traccia lo schema, con i capisaldi
2 - √6 e
2 + √6
2-√6
2+√6
1^ diseq.
2^ diseq.
o
o
+
+
Poiché la disequazione ha il segno di < si prende il segno ”meno” dello schema, per cui
la soluzione della disequazione è
2 -√6 < x < 2 +√6
62
2° caso
Una disequazione della forma | f(x) | > m è soddisfatta per quei valori della x per cui
f(x) assume valori maggiori di
m, oppure minori di
-m. Tale disequazione è
equivalente alle due disequazioni f(x) > m e f(x) < -m
Con un esempio numerico, come per il 1° caso, la scrittura | k | > m significa che, se
m = 5, potrebbe essere k = 8, perché 8 > 5, o potrebbe essere k = -8, perché
-8 < -5. In ogni caso è | 8 | > 5 e | -8 | > 5
Graficamente
|
|
f(x)
-m
m
f(x)
Es.
| x2 – 8 x + 10 | > 3
La disequazione data è equivalente alle due seguenti disequazioni:
1^ diseq.
x2 – 8 x + 10 > 3
e
2^ diseq.
x2 – 8 x + 10 < -3
1^ disequazione
⇒
x2 – 8 x + 7 > o
x2 – 8 x + 10 – 3 > 0
2
Le soluzioni della equazione x – 8 x + 7 = 0 sono x1/2 = 4 ± 3 (reali)
Essendo ∆ > 0,
il trinomio > 0,
a > 0 si devono attribuire alla x valori esterni,
cioè
x < 1 e x > 7
2^ disequazione
⇒
x2 – 8 x + 13 < 0
__
x2 – 8 x + 10 + 3 < 0
2
Le soluzioni della equazione x – 8 x + 13 = 0 sono x1/2 = 4 ± √ 3
(reali)
Essendo ∆ > 0, il trinomio < 0, a > 0 bisogna attribuire alla x valori interni,e
quindi
4-√3 < x < 4+√3
Riunendo i risultati si conclude che la disequazione data è soddisfatta per
__
__
x < 1, 4 - √ 3 < x < 4 + √ 3 , x > 7
|
| __
| __ |
1
4-√ 3
4+√ 3 7
3° caso
Le disequazioni con due o più espressioni della x, in valore assoluto, si risolvono facendo
alcune considerazioni, come quelle dell’esempio che segue.
Es
|x–2|-|x+1| > 0
Si noti che:
x – 2 per x > 2
|x–2| =
2 – x per x < 2
e
|x+1| =
Si devono quindi considerare tre possibilità
63
x + 1 per x > 1
.
-x – 1 per x < 1
1^)
x < 1 (ovviamente è anche x < 2)
In questo caso la disequazione diventa
da cui
2^) 1 < x < 2
In questo caso la disequazione diventa
da cui
3^) x > 2 (ovviamente è anche x > 1)
In questo caso la disequazione diventa
da cui
2 – x – ( - x – 1) > 0
3 > 0 sempre verificata
2 – x – (x + 1) > 0
x < 1/2
x – 2 – (x + 1) > 0
- 3 > 0 impossibile
Dall’esame delle tre soluzioni si deduce che la soluzione della disequazione data è
x < ½
4° caso
Nel caso di disequazioni frazionarie con valori assoluti come, ad es. | (2x – 5) /( x+1)| > 1
i risultati delle due disequazioni risultanti si mettono sulla stessa riga.
5° caso
Le disequazioni irrazionali includenti valori assoluti si risolvono ricordando le regole per la
risoluzione delle disequazioni irrazionali e quelle delle disequazioni razionali con valori
assoluti
Es
_____________
√ (2 / x) + | x + 1 | < 1
(1)
Prima di tutto bisogna verificare la realtà della radice
(2 / x) + |x + 1 | ≥ 0 ⇒ | x +1 | ≥ - 2 / x da cui il sistema
x2 + x + 2 > 0
x +1 ≥ - 2 / x
(a)
x+1< 2/x
(b)
(2)
sempre soddisfatta
La (2 a) equivale a ( x2 + x + 2 ) / x > 0 da cui
0
x>0
Ne deriva lo schema
da cui si ricava la soluzione x > 0
x2 + x - 2 > 0 soddisfatta per x < -2 x >1
La (2b) equivale a ( x2 + x - 2 ) / x < 0 da cui
-2
0
1
x>0
Lo schema è quindi
+
+
da cui (dovendosi considerare i segni perché la disequazione è < 0 ) si deduce la soluzione x < -2 0 < x < 1
-2 0 1
Il sistema (2) ha quindi come soluzione
x < -2
x>0
che costituisce la condizione di esistenza (CE)
Seguendo le regole delle disequazioni irrazionali (1° caso), la (1) si risolve risolvendo il
seguente sistema (3)
(2 / x) + | x + 1 | < 1
1>0
(2 / x) + | x + 1 | ≥ O
(a)
(b)
(3)
(c)
64
x + 1 < 1 – ( 2 / x ) (a)
La disequazione (3a) equivale a | x + 1 | < 1 – (2 /x) ⇒
(4)
x + 1 > (2/x) - 1
(b)
La (4a) equivale a (x2 + 2 ) / x < 0 che è soddisfatta per x < 0
x2 + 2x – 2 > 0 soddisfatta per
_
2
La (4b) equivale a (x + 2x – 2) / x > 0 ⇒
x<-1-√3
x> -1+√3
_
_
x > 0
-1-√3 0 -1+√3
Ne deriva lo schema
dal quale (considerando i segni +)
+ __ +
_
risulta la soluzione
-1 - √ 3 < x < 0
x > -1 + √ 3
_
_
La soluzione del sistema (4) è data dallo schema seguente
-1 - √3
0
-1 + √3
_
cioè
-1 - √3 < x < 0
La disequazione (3b) è sempre soddisfatta
La disequazione (3c) è la CE
Il sistema (3) ha quindi come soluzione quella data dallo schema risultante
-1 - √3 -2
0 -1 + √3
__
cioè -1 - √3 < x < -2
Es
__________
1 / √ x + | x2 – x | > 1
Si verifica innanzitutto la CE
x + | x2 – x | ≥ 0 ⇒ | x2 – x | > -x da cui il sistema
x2 – x > -x
(a)
x2 – x < x
(b)
(5)
La (5a) equivale alla x2 > 0 che è sempre soddisfatta, tranne che per x = 0
La (5b) equivale alla x2 - 2x < 0 che è soddisfatta per 0 < x < 2
La soluzione del sistema (5) schematicamente è
0
2
o
ossia
x<0
0<x<2
x>2
o
(CE)
Calcolata la CE si moltiplicano entrambi i membri della disequazione data per la radice e
si ottiene in tal modo la disequazione irrazionale intera
√ x + | x2 – x | < 1
Nuovamente si scrive il sistema formato da tre disequazioni (6), come nell’esempio
precedente
x + | x2 – x | < 1
1>0
x + | x2 – x | ≥ 0
(a)
(b)
(c)
(6)
Si calcolano le tre disequazioni separatamente
La (6a) si può scrivere | x2 – x | < 1 – x da cui il sistema
65
x2 – x < 1 – x
(a)
x2 – x > x – 1
(b)
(7)
La (7a) equivale alla x2 - 1 < 0 la cui soluzione è -1 < x < 1
La (7b) si può scrivere
x2 - 2x + 1 > 0 che, essendo il ∆ > 0, è sempre
soddisfatta, tranne che per x = 1
-1
1
La soluzione del sistema (7) si ricava dallo schema
o
-1 < x < 1
o
o
La (6b) è sempre soddisfatta
La (6c) è la CE
-1
0
1
2
La soluzione del sistema (6) si ottiene dallo schema
ossia
-1 < x < 0 0 < x 1
o
o
DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
Occorre innanzitutto tenere presente che il loga x cresce al crescere della x per a > 1,
decresce al crescere della x per 0 < x < 1 Inoltre l’argomento del log, cioè il numero
di cui si cerca il log, deve essere sempre > 0
1° caso
Ridotta, se è necessario, la disequazione data,ad una delle due forme:
1^)
loga F(x) > b
2^)
se a > 1 la 1^ disequazione equivale alla
loga F(x) < b
F(x) > ab
F(x) > 0
la 2^ disequazione equivale al sistema
F(x) < ab
se 0 < a < 1
Es
le due equivalenze, di cui al punto a > 1, si invertono
Log ( 2 x2 - 7 x + 10 ) > 2
Essendo la base 10 > 1, la disequazione, che è del tipo 1^) è equivalente alla
2 x2 – 7 x + 10 > 102 che, risolta, dà le soluzioni x < ½ e x > 3
Es
Log ( x2 – 7 x + 11 ) < 0
Essendo la base 10 > 1, la disequazione, che è del tipo 2^) è equivalente al sistema
x2 – 7 x + 11 ) > 0
x2 –7 x + 11 < 100 = 1 con le soluzioni
__
2 < x < (7-√ 5) / 2
66
e
__
(7+√ 5) /2 < x < 5
2° caso
Se la disequazione è della forma
loga f(x) > loga g(x)
dopo aver imposto le condizioni f(x) > 0 e g(x) > 0 ( v. inizio paragrafo )
la disequazione data per a > 1
è equivalente alla f(x) < g(x)
per 0 < a < 1 è equivalente alla f(x) > g(x)
Es.
log4 ( 3 + 2 x ) > 2 log4 x
Si impongono le condizioni 3 + 2 x > 0 da cui x > - 3/2
e x> 0
Dallo schema a fianco si deduce che deve essere
-3/2
0
x > 0
Essendo la base a = 4 > 1 la disequazione
data è equivalente alla 3 + 2 x > x2
da cui si ricava
x = - 1 ed x = 3
+
-1
Riunendo le soluzioni nello schema a fianco
si conclude che la disequazione è soddisfatta
per
0 < x < 3
0
3
+
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Sono le disequazioni in cui la variabile compare nell’esponente di una o più potenze
Ci sono tre tipi di disequazioni esponenziali
1° tipo
Si tratta di disequazioni esponenziali riconducibili alla forma
af(x) > ag(x) con a ≠ 1
Tenendo presente che, come si era fatto presente per le disequazioni logaritmiche, le
funzioni esponenziali sono crescenti per a > 1 e decrescenti per 0 < a < 1, la
disequazione esponenziale in esame è equivalente per a > 1
ad f(x) > g(x)
e per o < a < 1 ad f(x) < g(x)
Es.
5x / x+1 > 53-x
La base a = 5 > 1, la disequazione è del 1° tipo, per cui si può scrivere
x
x2 – x - 3
 > 3 – x
⇒
 > 0
x+1
x+1
___
__
1-√ 13
1+√ 13
2
Si suppone N > 0 cioè x - x – 3 > 0 che è soddisfatta da x<  e x > 
2
2
Si suppone D > 0 cioè x + 1 > 0 che ha la soluzione
67
x > -1
Dallo schema si conclude che la disequazione data
è soddisfatta per
__
__
1 - √ 13
1 + √ 13
 < x < -1
e
x > 
2
2
N
___
1-√ 13
___
1-√ 13

-1
2

2
D
+
+
2° tipo
Disequazioni esponenziali riconducibili alla forma m . af(x) > n . bg(x) con a e b ≠ 1
Tenendo presente che una funzione logaritmica con base > 1 è crescente, si può
scrivere Log [m . af(x) ] > Log [n . bg(x) ]
(Log è il logaritmo in base 10)
Es.
4 . 5x + 1 < 3 . 22 x + 3
Log 4 + x Log 5 + Log 5 < Log 3 + 2 x Log 2 + 3 Log 2
x ( Log 5 – Log 4) < (Log 3 + Log 8) – (Log 4 + Log 5)
Log 6/5
x Log 5/4 < Log 24/20
e quindi la soluzione è
x = 
Log 5/4
3° tipo
Disequazioni esponenziali nelle quali è opportuno effettuare un cambiamento di variabile,
come
af(x) = z
Es
22x - 2x + 1 - 23 ≤ 0
22x - 2 . 2x - 8 ≤ 0
ponendo 2x = z si ottiene
z2 - 2 z - 8 ≤ 0
___
-2
Ponendo la disequazione = 0 le soluzioni sono z = 1 ± √ 1+8 = .
4
Per cui è - 2 ≤ z ≤ 4 ossia
- 2 ≤ 2x che è sempre verificata
- 2 ≤ 2x ≤ 4 che equivale al sistema
2x ≤ 4 che si può scrivere nella forma
x Log 2 ≤ Log 4 da cui
2
Log 4
2 Log 2
x ≤  =  = 2
Lo schema è
●
Log 2
Log 2
La disequazione data è quindi soddisfatta per
68
x ≤ 2
CALCOLO COMBINATORIO
Il calcolo combinatorio ha lo scopo di studiare il numero totale dei gruppi diversi che si
possono formare con n elementi dati.
DISPOSIZIONI SEMPLICI
Si dicono disposizioni semplici di n elementi diversi presi a r a r o di classe r (n > r )
tutti i gruppi che si possono formare prendendo r degli n elementi dati, considerando
gruppi diversi quelli che differiscono per almeno un elemento o per l'ordine in cui gli r
elementi sono stati presi
Ad es dati gli elementi 1,2,3,4,5 sono disposizioni semplici di 5 elementi di classe 3 i
gruppi seguenti 1,2,3 ; 3,2,4 ; 4,3,5 ; 2,3,1 ; 5,3,4 ecc.
Il numero delle disposizioni semplici di n elementi presi a r a r si indica con Dn,r
È dimostrabile che è
Dn,r = n (n-1) (n-2)………(n-r+1)
(1)
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
Le disposizioni di n elementi presi a r a r in cui nei vari gruppi un elemento può
comparire fino a r volte si definiscono disposizioni con ripetizione
Il numero di disposizioni con ripetizione di n elementi di classe r è
D rn, r = n r
PERMUTAZIONI SEMPLICI
Si definisce permutazione semplice la disposizione semplice di n elementi presi a n a n
e si scrive
Pn = Dn,n
La formula (1) si trasforma così nella (2)
Pn = n (n-1) (n-2)……..3 • 2 • 1
(2)
Tale prodotto di un numero intero positivo n per tutti i numeri interi consecutivi
decrescenti, fino all'unità, si definisce fattoriale di n e il suo simbolo è n !
La (2) si può quindi scrivere
Pn = n !
(
69
COMBINAZIONI SEMPLiCI
Si definisce combinazione semplice di n elementi diversi presi a r a r il numero totale
dei gruppi che si possono formare prendendo r degli n elementi, considerando diversi
solo i gruppi che differiscono per almeno un elemento, indipendentemente dall'ordine in
cui gli r elementi vengono presi.
La combinazione semplice si indica con Cn,r
Ad es i gruppi 1,.2, 3 e
combinazione
2,3,1 rappresentano due disposizioni semplici ma la stessa
E' evidente che ogni combinazione può dare luogo a tante disposizioni quante sono le
permutazioni degli r elementi
Per cui risulta
Dn,r = Cn r
•
Pr
(4)
E quindi dalla (1), dalla (3) e dalla (4) si ricava
Dn,r
n (n-1) (n-2)……(n-r+1)
Cn,r =  = 
Pr
r!
COEFFICIENTE BINOMIALE
Il numero di combinazioni semplici di n elementi diversi di classe r si può anche
indicare con il simbolo  n  che si chiama coefficiente binomiale e si legge n su r
r 
 n 
n!
Si può quindi scrivere
Cn,r =  r  = 
r ! (n-r) !
Poiché convenzionalmente è 0 ! = 1
risulta
n = 1
0
E' inoltre
n =  n 
r
 n-r 
 n  =  n-1  +  n-1 
r 
 r -1 
 r 
 n  = n n–r
 r+1
 r  r +1
BINOMIO DI NEWTON
Applicando il coefficiente binomiale lo sviluppo di un binomio elevato ad una potenza
intera positiva n si può scrivere
(a+b)n = n an + n an-1 b + n an-2 b2 +………+  n  a bn-1 + n bn
0
1
2
n-1
n
Lo sviluppo di (a-b)n si ottiene dalla espressione precedente sostituendo -b a b
70
CALCOLO DELLE PROBABILITA'
Si definiscono eventi l'estrazione di una carta da un mazzo, il lancio di un dado o di una
moneta, l'estrazione di una pallina da un'urna, l'estrazione di un numero del lotto e così via
Si possono evidentemente verificare eventi favorevoli o contrari a seconda che essi
corrispondano o meno a ciò che ci si attende.
PROBABILITA' MATEMATICA
E' il rapporto tra il numero degli eventi favorevoli e quello degli eventi possibili totali purché
siano tutti ugualmente possibili.
Se f è il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un evento e c quello dei casi contrari,
il numero dei casi possibili è m = f + c
Se p è la probabilità che un evento si verifichi e q quella opposta si ha
p=f/m e q=c/m
e ovviamente
p+q=1
Risulta quindi che p è un numero positivo normalmente inferiore all'unità
( p = 1 equivale a certezza )
PROBABILITA' TOTALE
Se p1 , p2 ecc sono le probabilità di eventi possibili che si escludono a vicenda, cioè
incompatibili fra di loro, dicesi probabilità totale la somma
p1 + p2 +…..+ pn
Es
Dati tre sacchetti contenenti rispettivamente 20 numeri (da 1 a 20), 40 numeri (da 1 a
40) e 90 numeri (da 1 a 90) la probabilità che dal primo sacchetto si estragga ad es un 8
è
p1 = 1 / 20
La probabilità che dal secondo sacchetto si estragga pure un 8 è p2 = 1 / 40
Infine la probabilità che dall'ultimo sacchetto si estragga ancora un 8 è p3 = 1 / 90
La probabilità totale cioè la probabilità che un 8 venga estratto da tutti e tre i sacchetti
è
1 / 20 + 1 / 40 + 1 / 90 = 31 / 360 = 0,0861
PROBABILITA' COMPOSTA
Se gli eventi sono tra loro indipendenti (ossia tali che l'avverarsi di uno di essi non
influenzi il verificarsi degli altri) la probabilità complessiva dell'evento risultante dal
concorso di n eventi, dicesi probabilità composta il prodotto p1 • p2 •……• pn
Es
Nel gioco del lotto la probabilità che tra i 90 numeri esca un determinato numero ( ad
es. 8 ) è
p1 = 1 / 90
La probabilità che, in una seconda estrazione, esca un altro determinato numero (ad
es. 31 ) è, tenendo conto che i numeri rimasti sono 89,
p2 = 1 / 89
Essendo i due eventi indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità che esca la coppia
determinata di numeri ( 8 e 31 ) è
1 / 90 • 1 / 89 = 1 / 8610
che è la
probabilità composta
71
DUE ESEMPI
Se si getta un dado due volte quale è la probabilità che entrambe le volte compaia il
5?
Ovviamente la probabilità che la prima volta compaia un 5 è 1 / 6 (perché 6 sono
le facce del dado )
La probabilità che anche la seconda volta compaia un 5 è di nuovo 1 / 6
Essendo i due eventi tra loro indipendenti la probabilità richiesta è una probabilità
composta è cioè
1 / 6 • 1/6 = 1 / 36 = 0,19444
Quale è invece la probabilità che lanciando una sola volta due dadi si abbia come somma
5?
Il totale 5 si può avere ad es con un 1 e con un 4 o viceversa
Come nell' es precedente la probabilità che compaia 1 in un dado e 4 nell'altro è
1 /
36 e così pure è 1 / 36 la probabilità che compaia 4 nel primo dado e 1 nel
secondo La probabilità totale è quindi, essendo i due eventi incompatibili tra di loro,
la somma delle due probabilità e cioè
2 / 36
Il numero 5 si può però ottenere anche con i numeri 2 e 3 e viceversa e anche in
questo caso la probabilità totale è 2 / 36
La probabilità complessiva che si verifichi l'evento richiesto è 4 / 36 = 0,111111
BIBLIOGRAFIA
Per la compilazione del " Compendio di analisi matematica " sono stati consultati
specialmente i seguenti testi:
- " Elementi di analisi matematica " di R. Ferrauto,
Dante Alighieri
edito dalla Società Editrice
- " Analisi infinitesimale e numerica " di G. Zwirner e L. Scaglianti, edito dalla
CEDAM
- " Strutture – Funzioni " di G Zwirner e L Scaglianti, edito dalla CEDAM
- " Corso di geometria analitica e analisi matematica " :di L. Tonolini, edito dalla
Minerva Italica
- " Geometria analitica e complementi di algebra " di L. Cateni, C. Bernardi e
Maracchia, edito da Le Monnier
"Corso di geometria analitica e complementi di algebra" di Dodero, Baroncini e
Toscani, edito da Ghisetti e Corvi Editori
- " matHELP " di M. Scovenna e N. Checcaglini, edito dalla CEDAM
- " Dizionario enciclopedico – Matematica " di A. Marini , N. Barcellona , M.
Tinelli, edito dal Gruppo Editoriale Jackson
72
S.
INDICE
SUCCESSIONI ................................................................................................ pag
2
FUNZIONI......................................................................................................... pag. .......4
Dominio o insieme di definizione di una funzione ................................ ................4
Condominio di una funzione................................................................ ................4
LIMITI .............................................................................................................. pag. ........5
Limite destro e limite sinistro............................................................... ................9
Teoremi sui limiti.................................................................................. ................9
Operazioni sui limiti.............................................................................. ..............10
Limiti notevoli ....................................................................................... ..............11
Forme indeterminate............................................................................ ..............11
FUNZIONI CONTINUE ..................................................................................... pag. .....12
Teoremi sulle funzioni continue............................................................ ..............12
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO........................................................ pag. .....13
RAPPORTO INCREMENTALE ......................................................................... pag. .....14
DERIVATE........................................................................................................ pag. .....14
.
Quadro riassuntivo delle operazioni sulle derivate ............................... ..............15
Derivate fondamentali .......................................................................... ..............15
Teorema di Rolle.................................................................................. ..............16
Teorema di Cauchy.............................................................................. ..............16
Teorema di Lagrange........................................................................... ..............16
Teorema di De L' Hopital ..................................................................... ..............16
Concavità e convessità di una curva.................................................... ..............17
Funzioni crescenti e decrescenti .......................................................... ..............17
Massimi e minimi relativi di una funzione ............................................. ..............17
Flessi ................................................................................................... ..............18
Ricerca di mass., min.e flessi mediante lo studio del segno della deriv. 1^ ........18
Quadro riassuntivo di massimi, minimi e flessi ..................................... ..............19
19
DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
pag
ASINTOTI
pag. .....20
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui ....................................................
20
FUNZIONE ASINTOTICA AD UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA ............ pag.
21
STUDIO DELL' ANDAMENTO DI UNA FUNZIONE
pag. .....22
Studio di una funzione con termini in valore assoluto.......................... ..............23
RISOLUZIONE GRAFICA DI DISEQUAZIONI .................................................. pag. .....24
RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI 25
Metodo di bisezione
25
Metodo delle tangenti
26
INTEGRALI....................................................................................................... pag. .....27
Area deI trapezoide
.
27
.
Integrale definito
27
Teorema di Torricelli – Barrow ............................................................. ..............28
Funzioni primitive ................................................................................ ..............28
Calcolo dell'integrale definito............................................................... ..............28
Teorema del valor medio o della media .............................................. ..............29
Valore efficace
.............................................
29 . .
Proprietà dell'integrale definito ............................................................ ..............29
Integrale definito con uno o entrambi gli estremi infiniti
29
Integrazione approssimata..................................................................
30
Calcolo di aree
..............30
Calcolo di volumi................................................................................. ..............31
Calcolo di volumi di solidi di rotazione................................................. ............. 32
Calcolo della lunghezza di un tratto di curva piana..............................
32
Teorema di Guldino ............................................................................ ..............33
73
Teorema di Archimede......................................................................... ..............34
Integrale indefinito................................................................................ ..............34
Proprietà dell'integrale indefinito .......................................................... ..............34
Alcuni integrali notevoli ........................................................................ ..............35
Integrazione per scomposizione, per parti, per sostituzione ................. ..............36
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ........................................................................... pag......37
Equazioni differenziali a variabili separabili ..........................................
...37
Equazioni differenziali omogenee
38
Complementi di algebra
EQUAZIONI PARAMETRICHE E NON PARAMETRICHE................................ pag.
39
SISTEMA MISTO.............................................................................................. pag.
39
. .
DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO
pag
39
.
EQUAZIONI NON PARAMETRICHE
pag
39
.
Metodo del confronto diretto
39
EQUAZIONI PARAMETRICHE
pag . 39
.
Metodo del confronto diretto................................................................
39 .
.
Metodo di Cartesio
41
Metodo di Tartinville ............................................................................
43. .
.
SISTEMI MISTI CON EQUAZIONI PARAMETRICHE IN 2 INCOGNITE
pag
46
. .
.
METODI GRAFICI
pag
48 . .
.
Metodo grafico della parabola fissa
50 . . .
DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO IRRAZIONALE
pag
51 . .
.
.
.Metodo algebrico
51 . ..
Metodo grafico
52
.
RISOLUZIONE DI SISTEMI PARAMETRICI CON LE MATRICI ....................... pag.
53. . .
.
Teorema di Rouche' Capelli ..................................................................
53
Regola di Cramer .................................................................................. .............. 54
DISEQUAZIONI ................................................................................................ pag
56
Disequazioni di 1° grado
56
Sistemi di disequazioni di 1° grado
56
Disequazioni di 2° grado
56
Sistemi di disequazioni di 2° grado
58
Disequazioni frazionarie
59
Disequazioni irrazionali
60
Disequazioni con espressioni di x in valore assoluto
62
Disequazioni logaritmiche
66
Disequazioni esponenziali
67
CALCOLO COMBINATORIO .......................................................................... pag.
69
.
.
Disposizioni semplici
69
Disposizioni con ripetizione..................................................................
69
.
.
Permutazioni semplici .........................................................................
69
Combinazioni semplici
........ 70
Coefficiente binomiale
.......... 70
BINOMIO DI NEWTON ..................................................................................... pag.
70
CALCOLO DELLE PROBABILITA'.................................................................... .............. 71
Probabilità matematica......................................................................... .............. 71
Probabilità totale .................................................................................. .............. 71
Probabilità composta............................................................................ .............. 71
Due esempi........................................................................................... .............. 72
BIBLIOGRAFIA................................................................................................ pag. ..... 72
74