Tangenti ad una curva e velocità istantanea

Tangenti ad una curva e velocità istantanea.
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• Calcola l’equazione della retta tangente alla parabola y = 4x , passante per il punto P(1,4)
(appartenente alla parabola).
Per trovare la tangente occorre impostare il sistema tra l’equazione della parabola ed il fascio proprio
di rette di centro (1,4). L’equazione del fascio proprio di rette è y-y0=m(x-x0) . Sostituiamo le
coordinate del centro del fascio P(1,4) : otteniamo il fascio
y-4=m(x-1)
P(1,4)
Impostiamo il sistema e applicchiamo il metodo del confronto :
{
{
y = 4x2
y-4=m(x-1)
4x2 =m(x-1)+4 ;
y = 4x2
y= m(x-1)+4
4x2 - m(x-1)-4=0 ;
4x2 - mx+m-4=0 ;
Calcoliamo il delta dell’equazione di secondo grado associata al sistema
∆=b2-4ac ;
∆= m2-4.4(m-4) ;
∆= m2-16m+64 ;
Se la retta cercata è tangente alla parabola il sistema ammette una sola soluzione, quindi il delta
dev’essere uguale a zero
∆= 0 ;
m2-16m+64=0
Risolviamo l’equazione completa di secondo grado in emme (non occorre applicare la formula
risolutiva perché il trinomio è lo sviluppo di un quadrato). Scomponendo otteniamo:
(m-8)2=0 ;
m=8
m-8=0 ;
Una volta ottenuto il valore numerico di emme siamo in grado di scrivere l’equazione della retta,
tangente alla parabola, passante per il punto P :
y-4=m(x-1) ;
se
m=8
y-4=8(x-1);
y=4+8x-8;
y=+8x-4 .
• Dato un corpo che si muove di moto uniformemente accelerato, con accelerazione a=8 m/sec2, determina la distanza
dall’origine dopo un secondo e la velocità istantanea sempre dopo un secondo , sapendo che la velocità iniziale è
zero e parte dall’origine.
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L’equazione oraria del moto uniformemente accelerato è s=1/2 at + v0t+ s0
Se v0=0 m/sec ,
s0 =0 m ,
l’equazione oraria diventa
s= 1/2 .8t2 ,
a = 8 m/sec2 ,
P(1,4)
s= 4t2
La distanza del corpo dall’origine dopo 1 secondo si ottiene sostituendo t=1sec nell’equazione oraria
s=4(1)2=4m.
Per calcolare la velocità istantanea dopo 1 secondo occorre determinare il coefficiente angolare della retta
tangente alla curva nel punto di ascissa t=1secondo. Occorre saper determinare l’equazione della tangente
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alla parabola di equazione s= 4t , passante per il punto P(1,4) appartenente alla curva.
Il problema è analogo a quello risolto nel primo punto.