Logica

Logica
1. Le proposizioni
1.1 Cosa studia la logica?
La logica studia le forme del ragionamento. Si occupa cioè di stabilire delle regole che permettano di passare da un'affermazione vera ad un'altra affermazione vera. La logica non si occupa dei contenuti del ragionamento, ma della sua correttezza.
1.2 Proposizioni e verità
I principali oggetti di cui si interessa la logica sono le proposizioni:
Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità
I valori di verità possibili sono due: vero e falso.
Esempi
Sono proposizioni:
2+2=5
la capitale d'Italia è Roma
il gatto parla bene l'inglese
I principi logici che regolano la verità delle proposizioni sono due:
Principio di non contraddizione. Una proposizione non può essere vera e falsa allo stesso tempo
Principio del terzo escluso. Una proposizione o è vera o è falsa
Le proposizioni possono essere semplici o composte. Una proposizione semplice è formata da un soggetto ed un predicato (oppure da soggetto, predicato
ed oggetto). Un esempio di proposizione semplice è
Maria va a scuola
Spesso però è necessario utilizzare proposizione complesse; queste si ottengono componendo più proposizioni semplici con le particelle "e", "o", "non" ,
che prendono il nome di connettivi logici
2. I connettivi logici
2.1 La congiunzione ("e")
La congiunzione logica (il cui simbolo è ) corrisponde alla particella "e". Una proposizione costruita usando la congiunzione è vera solo se sono vere le
due proposizioni elementari di cui si compone. Ad esempio la proposizione
5 è un numero primo e 7 è divisibile per 2
è composta dalle due proposizioni elementari
p: 5 è un numero primo (vera)
q: 7 è divisibile per 2 (falsa)
La proposizione composta p q è quindi falsa (perchè è falsa q).
2
logica.nb
è composta dalle due proposizioni elementari
p: 5 è un numero primo (vera)
q: 7 è divisibile per 2 (falsa)
La proposizione composta p q è quindi falsa (perchè è falsa q).
Ecco la tavola di verità della congiunzione:(A e B sono due proposizioni, V e F corrispondono a VERO e FALSO; A B è la proposizione composta "A e
B")
A
V
V
F
B A B
V
V
F
F
V
F
F
F
F
Mathematica
In Mathematica il simbolo per la congiunzione è il doppio & (&&). Vediamo come "calcolare" il valore di verità di una congiunzione. Ricordiamo che
True significa vero e False significa falso.
Definiamo due variabili p e q, la prima vera e la seconda falsa (come nel nostro esempio)
p
q
True;
False;
quindi valutiamo l'espressione p && q:
p && q
False
2.2 La disgiunzione ("o")
La disgiunzione
proposizione
(simbolo
) corrisponde alla particella "o". Considerando le due proposizioni dell'esempio precedente, la loro disginzione è la
5 è un numero primo o 7 è divisibile per 2
La disgiunzione è vera se almeno una delle due proposizioni di cui si compone è vera. La tavola di verità della disgiunzione è quindi
A
V
V
F
F
Mathematica
Il simbolo per la disgiunzione è la doppia barra verticale ||
p
q
False;
True;
p
True
q
B A B
V
V
F
V
V
V
F
F
logica.nb
3
2.3 La negazione ("non")
Da una proposizione possiamo costruirne un'altra usando la negazione (simbolo non). Se A è la proposizione "Oggi è una bella giornata", la proposizione
non A è
Oggi non è una bella giornata
la tavola di verità è molto semplice:
A non A
V
F
F
V
Mathematica
Il simbolo usato da Mathematica per indicare la negazione è il punto esclamativo (!). E' meglio usare la funzione Not (che ha lo stesso significato)
p
True
True
Not p
False
3. L'implicazione
3.1 Implicazione logica ("se... allora...")
In matematica si presenta spesso la necessità di legare due proposizioni p e q in modo ipotetico, cioè con un "se... allora...", Questa è la tipica forma del
ragionamento deduttivo: se si verifica p allora deve verificarsi anche q. Ad esempio:
se 8 è un multiplo di 4 allora è multiplo di 2
Qui le proposizioni sono:
p: 8 è un multiplo di 2
q: 8 è un multiplo di 4 (l'8 è sottointeso nella proposizione ipotetica)
Le proposizioni p e q si dicono rispettivamente premessa e conseguenza. Il connettivo logico che permette di costruire proposizioni di questo tipo si
chiama implicazione e si indica con il simbolo . Una proposizione come quella precedente si indicherebbe quindi con
8 è un multiplo di 4
o più sinteticamente p
8 è un multiplo di 2
q (e si legge "p implica q").
Qual è il valore di verità della proposizione composta p
q? Proviamo a stabilirlo con un esempio:
definiamo tollerante un professore se accetta due giustificazioni a quadrimestre, cioè se si realizza la seguente situazione:
se un alunno non fa i compiti per la seconda volta allora il professore lo giustifica
Si verificano queste situazioni:
L'alunno A chiede di giustificare per la seconda volta ed il professore X lo giustifica
L'alunno B chiede di giustificare per la terza volta ed il professore Y lo giustifica
L'alunno C chiede di giustificare per la prima volta ed il professore Z non lo giustifica
L'alunno D chiede di giustificare per la terza volta ed il professore W non lo giustifica
Quale dei professori X,Y,Z,W può essere definito intollerante? In base alla definizione data possiamo dire che certamente Z è intollerante; al tempo stesso
sono certamente tolleranti A e B. Sul professore D potremmo avere un dubbio ma non abbiamo prove della sua intolleranza. Fino a prova contraria rispetta
la nostra definizione di professore tollerante. Quindi la proposizione ipotetica è falsa solo quando la premessa è vera e la conseguenza è falsa.
In pratica: da premesse vere non si possono ricavare conseguenze false, mentre da una premessa falsa possiamo ricavare conseguenze sia false che vere.
Vediamo un altro esempio:
L'alunno C chiede di giustificare per la prima volta ed il professore Z non lo giustifica
4
L'alunno D chiede di giustificare per la terza volta ed il professore W non lo giustifica
logica.nb
Quale dei professori X,Y,Z,W può essere definito intollerante? In base alla definizione data possiamo dire che certamente Z è intollerante; al tempo stesso
sono certamente tolleranti A e B. Sul professore D potremmo avere un dubbio ma non abbiamo prove della sua intolleranza. Fino a prova contraria rispetta
la nostra definizione di professore tollerante. Quindi la proposizione ipotetica è falsa solo quando la premessa è vera e la conseguenza è falsa.
In pratica: da premesse vere non si possono ricavare conseguenze false, mentre da una premessa falsa possiamo ricavare conseguenze sia false che vere.
Vediamo un altro esempio:
se 1=2 allora 5=8
è una proposizione vera, infatti:
5=2+1+1+1 (vera)
2+1+1+1=2+2+2+2 (perchè la premessa mi permette di dire che 1=2, quindi scrivo 2 al posto di 1)
2+2+2+2=8 (vera)
quindi 5=8
Come vedete da una premessa falsa si può ottenere di tutto, quindi la proposizione
se 1=2 allora 5=8
è vera!
In sintesi, la tavola di verità dell'implicazione è la seguente:
A
V
V
F
B A B
V
V
F
F
V
V
F F
V
Attenzione: se è vera l'implicazione A B, non è detto che lo sia B A. Ad esempio la proposizione
Se un numero è divisibile per 6 allora è pari
è vera, ma non lo è la proposizione
Se un numero è pari allora è divisibile per 6
Mathematica
L'implicazione p q si esprime con lo stesso simbolo
In[10]:=
Out[11]=
p
p
False; q
q
(si ottiene digitando la sequenza
=>
) o con la funzione Implies[p,q]
True;
True
3.2 Condizioni necessarie e condizioni sufficienti
Nel linguaggio comune l'implicazione si può esprimere in modi diversi:
Essere maggiorenni implica avere il diritto di voto
Se sei maggiorenne allora hai il diritto di voto
Essere maggiorenni è condizione sufficiente per avere il diritto di voto
Per avere il diritto di voto è necessario essere maggiorenni
In generale in una implicazione A
B si dice che
A è condizione sufficiente per B (cioè è sufficiente che si verifichi A affinchè si verifichi anche B
B è condizione necessaria per A (infatti se non si verifica B non può verificarsi nemmeno A)
logica.nb
5
3.3 Contronominale ed inversa di una implicazione
Data un'implicazione A B (che chiamiamo diretta), possiamo costruire due proposizioni ad essa collegate:
L'implicazione inversa: B A
L'implicazione contronominale: non B
non A
Abbiamo già visto che l'inversa non ha lo stesso valore di verità della diretta, infatti se A B è vera, B A può essere falsa. La stessa cosa non accade con
la contronominale, che ha sempre lo stesso valore di verità dell'implicazione diretta. Vediamo un esempio:
consideriamo l'implicazione "se la macchina parte allora c'è benzina". L'implicazione inversa è
Se c'è benzina allora la macchina parte
questa proposizione non è necessariamente vera, perchè la macchina potrebbe anche restare ferma per altri motivi (motore rotto, batteria scarica o altro). La
proposizione contronominale è
Se non c'è benzina allora la macchina non parte
che è certamente vera, perchè la macchina non può partire senza benzina.
costruiamo la tavola di verità delle due implicazioni A B e nonB nonA:
A
V
V
F
B non A non B A B nonB nonA
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F F
V
V
V
V
come si vede i valori di verità delle due implicazioni (diretta e contronominale) sono sempre gli stessi.
3.4 Doppia implicazione ("se e solo se"). Equivalenza logica
Abbiamo detto che normalmente dalla verità dell'implicazione A B non possiamo dedurre la verità dell'implicazione inversa (B A). Ci sono però alcuni
casi in cui ciò accade. Consideriamo, per fare un esempio, l'implicazione
Se un numero è divisibile per 3 allora la somma delle sue cifre è un multiplo di 3
e scambiamo premessa e conseguenza per costruire l'implicazione inversa:
Se la somma delle cifre di un numero è un multiplo di 3 allora il numero è divisibile per 3
In questo caso entrambe le implicazioni sono vere, valgono cioè le due implicazioni
A BeB A
In questo caso si dice che le due proposizioni A e B sono logicamente equivalenti e si usa legarle con l'espressione "se e solo se". Sarebbe quindi corretto
scrivere
Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3
Dal punto di vista logico le due proposizioni sono legate da una doppia implicazione, il cui simbolo è . L'equivalenza logica tra due proposizioni esprime
il fatto che quelle due proposizioni assumono sempre lo stesso valore di verità; la relativa tavola di verità è la seguente:
A
V
V
F
F
B A
B
V
V
F
F
V
F
F
V
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che le due proposizioni A B e nonB nonA hanno sempre lo stesso valore di verità. Per quanto abbiamo appena
detto esse sono logicamente equivalenti: affermare A B è la stessa cosa che affermare nonB nonA.
Ci sono altri esempi di strutture logicamente equivalenti; ad esempio la proposizione A B è equivalente alla proposizione nonA
come si vede dalla tavola di verità:
B ( significa "o"),
6
logica.nb
A
V
V
F
B nonA A B nonA
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F F
le due proposizioni A B e nonA
V
V
B
V
B assumono sempre lo stesso valore di verità. Per questo sono equivalenti. Dire
se piove allora prendo l'ombrello
è equivalente ad affermare
non piove, oppure prendo l'ombrello
La proposizione A B equivale all'affermazione di due implicazioni A B e B A. Possiamo quindi dire che A è condizione sufficiente per B (prima
implicazione) ma anche che A è condizione necessaria per B (seconda implicazione). Per questo la proposizione "A se e solo se B" si esprime anche con la
struttura "A è condizione necessaria e sufficiente per B"