Analisi I (Messano)

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APPUNTI DEL CORSO
DI
ANALISI MATEMATICA I
Prof. B. Messano
A.A. 2012/2013
13 luglio 2013
ii
Questi appunti hanno l’obiettivo di offrire un agile strumento di studio approfondito e al tempo stesso di rapida consultazione agli studenti che devono
acquisire i fondamenti dell’Analisi Matematica.
Sono qui affrontati tutti gli argomenti previsti in un modulo (da 9 CFU)
di Analisi Matematica I.
L’esposizione teorica dei singoli argomenti è accompagnata da una serie
di esercizi, completamente svolti, che ne esemplificano gli aspetti praticoapplicativi.
La trattazione nel suo insieme è il frutto di un lungo lavoro di riflessione
teorica e di insegnamento a cui mi sono dedicato per circa un trentennio.
Desidero ringraziare la Prof.ssa Teresa Radice per la sua preziosa collaborazione.
Prof. B. Messano
Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli,
Univ. Napoli Federico II,
Ple Tecchio 80, 80125 Napoli (Italy)
e-mail: [email protected]
Prof. T. Radice
Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli,
Univ. Napoli Federico II,
Ple Tecchio 80, 80125 Napoli (Italy)
e-mail: [email protected]
iii
iv
Indice
iii
1
Elementi di teoria degli insiemi
1
1.1
La nozione di insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Proprietà definite in un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Operazioni sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Prodotto cartesiano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
La nozione di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2 I numeri reali
3
11
2.1
La definizione assiomatica dei numeri reali . . . . . . . . . . .
11
2.2
Intervalli di R. Insiemi separati, insiemi contigui . . . . . . .
17
2.3
Rappresentazione geometrica di R . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4
Sottoinsiemi finiti e sottoinsiemi infiniti di R . . . . . . . . .
20
2.5
Valore assoluto di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.6
Potenza n-ma e radice n-ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.7
Potenza con esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.8
Logaritmo di un numero reale positivo . . . . . . . . . . . . .
27
2.9
Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Funzioni reali di una variabile reale
3.1
Rappresentazione geometrica di
v
R2
. . . . . . . . . . . . . . .
35
35
vi
INDICE
3.2
Funzioni reali di una variabile reale . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3
Funzione potenza n-ma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.4
Funzione radice n-ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.5
Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.6
Funzione logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.7
Funzione potenza con esponente reale . . . . . . . . . . . . .
51
3.8
Misura in radianti di un angolo ... . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.9
Funzioni arcoseno e arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.10 Funzioni tangente e arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.11 Funzioni cotangente e arcocotangente
. . . . . . . . . . . . .
68
3.12 Equazioni lineari in seno e coseno omogenee . . . . . . . . . .
68
3.13 Equazioni lineari in seno e coseno non omogenee . . . . . . .
69
3.14 Equazioni di II grado in seno e coseno . . . . . . . . . . . . .
70
3.15 Disequazioni razionali in seno e coseno . . . . . . . . . . . . .
71
3.16 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.17 Insieme di definizione delle funzioni composte . . . . . . . . .
79
4 I numeri complessi
5
85
4.1
Riferimento polare in un piano . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.2
Il campo dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.3
Rappresentazione geometrica ... . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.4
Forma trigonometrica ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.5
Operazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.6
Radici n-me di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . .
95
4.7
Forma esponenziale di un numero complesso . . . . . . . . . . 100
Successioni numeriche ed elementi di topologia
103
5.1
Successioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2
Teoremi relativi ai limiti ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3
Operazioni con i limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4
Elementi di topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
INDICE
vii
5.5
Successioni estratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.6
Compatti di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Funzioni reali di una variabile reale: limiti ...
127
6.1
Limiti delle funzioni reali ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2
Operazioni con i limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3
Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4
Punti di discontinuità di una funzione . . . . . . . . . . . . . 146
6.5
Limite di una funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.6
Teoremi sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.7
Limiti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7 Calcolo differenziale per le ...
161
7.1
Derivata di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2
Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3
Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.4
Interpretazione geometrica della derivata . . . . . . . . . . . . 174
7.5
Punti angolosi e punti cuspidali . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.6
Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.7
Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.8
I teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . 180
7.9
I teoremi di L’Hôspital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.10 Infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.11 Infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8 Approssimabilità intorno ad un punto ...
201
8.1
Differenziale di una funzione in un punto . . . . . . . . . . . . 201
8.2
Formula di Taylor... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3
Calcolo del limite di una funzione... . . . . . . . . . . . . . . . 210
9 Applicazioni del calcolo differenziale
9.1
213
Funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
viii
INDICE
9.2
Funzioni convesse e concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.3
Punti di flesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.4
Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10 Integrazione indefinita
225
10.1 La nozione di integrale indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.2 Integrali indefiniti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.3 Linearità dell’integrale indefinito. . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.4 Integrale indefinito di una ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.5 Scomposizione in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.6 Scomposizione in fratti semplici ... . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.7 Le funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.8 Integrali delle funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11 Integrazione definita
249
11.1 Richiami sui sottoinsiemi di R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.2 Richiami sulla teoria della misura ... . . . . . . . . . . . . . . 251
11.3 Misurabilità del rettangoloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.4 Integrale definito di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.5 Proprietà dell’integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.6 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.7 Integrazione per sostituzione
12 Serie numeriche
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
281
12.1 Serie numeriche. Criterio di Cauchy ... . . . . . . . . . . . . . 281
12.2 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
12.3 Operazioni con le serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.4 Regolarità delle serie a termini non negativi . . . . . . . . . . 288
12.5 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.6 Serie assolutamente convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
INDICE
13 Geometria analitica nel piano: retta e coniche
ix
301
13.1 Retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.2 Circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.3 Ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
13.4 Iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
13.5 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
x
INDICE
Capitolo 1
Elementi di teoria degli
insiemi
1.1
La nozione di insieme.
Definizione 1.1.1. (G.Cantor, 1845-1918) Un insieme è un aggregato caotico di oggetti determinati e distinti.
Gli insiemi li denoteremo con le lettere maiuscole e i loro oggetti, detti
elementi, li denoteremo con le lettere minuscole.
Considerato un insieme S, dire che S è un aggregato caotico di elementi
significa che non ha importanza l’ordine con cui gli elementi compaiono in
S.
Dire che gli elementi di S sono determinati vuol dire che deve essere
possibile stabilire se un elemento appartiene o meno ad S.
Infine, dire che gli elementi di S sono distinti vuol dire che, se un elemento
appartiene ad S esso compare in S una sola volta.
Se l’insieme S è composto dagli elementi a e b, con a 6= b, denoteremo S
con uno dei simboli:
{a, b},
{b, a}.
1
2
CAPITOLO 1.
ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Per denotare che a appartiene ad S (risp. a non appartiene ad S),
scriveremo:
a∈S
(risp. a 6∈ S).
Nella teoria degli insiemi si usano i simboli = e 6= con il significato usuale.
Inoltre, si usano i simboli ∃ (esiste) e ∀ (per ogni) che sono detti, risp.,
quantificatore esistenziale e quantificatore universale.
Siano A e B due insiemi, diremo che A è incluso in B quando ogni elemento
di A appartiene a B, in tal caso diremo che A è un sottoinsieme di B e
scriveremo:
A ⊆ B.
Diremo che A è un sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ed esiste almeno un
elemento di B che non sta in A, in tal caso scriveremo:
A ⊂ B.
1.2
Proprietà definite in un insieme.
Definizione 1.2.1. Sia S un insieme. Una proprietà α si dice definita
nell’insieme S se qualunque sia l’elemento x ∈ S è verificata una sola delle
seguenti condizioni:
a) x gode della proprietà α (i.e. α è vera per x),
b) x non gode della proprietà α (i.e. α è falsa per x).
Consideriamo gli insiemi S = {1, 2, 3, 4, 5} e T = {automobili} e le
proprietà:
α : x è pari ,
β : x è un numero maggiore di 8,
γ : x è verde.
Ovviamente, le proprietà α e β sono definite in S e non sono definite in
T ; invece, la proprietà γ è definita in T e non è definita in S.
1.2. PROPRIETÀ DEFINITE IN UN INSIEME
3
Ritorniamo all’insieme S e alla proprietà α. Tale proprietà individua il
sottoinsieme A di S costituito da tutti gli elementi x di S che sono numeri
pari, cioè:
A = {x ∈ S : α} = {x ∈ S : x è pari} = {2, 4}.
Osserviamo che la proprietà β, pur essendo definita in S, non è soddisfatta
da alcun elemento di S.
Se si vuole che ogni proprietà definita in S individui un sottoinsieme di
S, allora è necessario introdurre un insieme che sia privo di elementi, tale
insieme lo diremo insieme vuoto e lo denoteremo con il simbolo ∅.
Dunque:
B = {x ∈ S : β} = {x ∈ S : x > 8} = ∅.
NOTA - Qualunque sia l’insieme S, per convenzione, si assume che l’insieme
vuoto sia contenuto in S, i.e. ∅ ⊆ S.
D’ora in poi, con il simbolo P(S) denoteremo l’insieme costituito da tutti
i sottoinsiemi di S e lo chiameremo insieme delle parti di S.
Definizione 1.2.2. Siano α e β due proprietà definite in S, diremo che la
proprietà α implica la proprietà β, in S, e scriveremo:
S
α =⇒ β,
se ogni volta che α è vera per un elemento x di S allora anche β è vera per
x.
S
Osserviamo che, se α =⇒ β allora:
A = {x ∈ S : α} ⊆ B = {x ∈ S : β};
infatti, se x ∈ A allora x soddisfa α quindi, per le ipotesi fatte, x soddisfa β,
S
dunque x ∈ B. E’ altrettanto banale vedere che, se A ⊆ B allora α =⇒ β .
Allora possiamo concludere dicendo che:
A = {x ∈ S : α} ⊆ B = {x ∈ S : β}
⇐⇒
S
α =⇒ β .
4
CAPITOLO 1.
ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Definizione 1.2.3. Siano α e β due proprietà definite in S, diremo che la
proprietà α è equivalente alla proprietà β, in S, e scriveremo:
S
α ⇐⇒ β,
S
S
se α =⇒ β e β =⇒ α.
S
Ovviamente, α ⇐⇒ β se e solo se A = B.
Ovvio significato hanno le scritture:
S
S
α 6=⇒ β,
α 6⇔ β.
Esempio. - Consideriamo gli insiemi S = {1, 2, 3, 4, 5}, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
e le seguenti proprietà definite sia in S che in T :
α : x è dispari e minore di 6,
β : x è dispari.
Osserviamo che
A = {x ∈ S : α} = {1, 3, 5},
B = {x ∈ S : β} = {1, 3, 5},
allora α ⇔ β in S.
Consideriamo ora:
A0 = {x ∈ T : α} = {1, 3, 5},
B 0 = {x ∈ T : β} = {1, 3, 5, 7};
essendo A0 ⊂ B 0 si ha che:
T
α =⇒ β
T
e
β 6⇒ α.
Dunque:
Due proprietà equivalenti in un insieme non è detto che lo siano in ogni
insieme.
1.3. OPERAZIONI SUGLI INSIEMI
1.3
5
Operazioni sugli insiemi.
Sia S un insieme e siano A e B due sottoinsiemi di S.
Gli insiemi:
A ∪ B = {x ∈ S : x ∈ A oppure x ∈ B},
A ∩ B = {x ∈ S : x ∈ A e x ∈ B},
B − A = {x ∈ S : x ∈ B e x 6∈ A} = {x ∈ B : x 6∈ A},
si dicono, risp., unione di A e B, intersezione di A e B, complemento di A
rispetto a B.
Esempio. - Sia S = {donne}, considerati gli insiemi:
A = {x ∈ S : x è bionda}
e B = {x ∈ S : x ha gli occhi azzurri},
risulta:
A ∪ B = {x ∈ S : x è bionda oppure ha gli occhi azzurri},
A ∩ B = {x ∈ S : x è bionda e ha gli occhi azzurri},
B − A = {x ∈ B : x ha gli occhi azzurri e non è bionda }.
6
CAPITOLO 1.
1.4
ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Prodotto cartesiano.
Siano A e B due insiemi non vuoti.
Definizione 1.4.1. Siano a ∈ A e b ∈ B. Si dice coppia ordinata di prima
coordinata a e seconda coordinata b il simbolo:
(a, b).
Due coppie ordinate (a, b) e (a0 , b0 ) sono uguali se:
a = a0 ,
b = b0 .
Definizione 1.4.2. Si chiama prodotto cartesiano di A per B, e si denota
con il simbolo:
A × B,
l’insieme costituito da tutte le coppie aventi prima coordinata in A e seconda
coordinata in B, i.e.:
A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Definizione 1.4.3. Siano A1 , A2 , ..., An insiemi non vuoti, si chiama n−pla
ordinata di prima coordinata a1 ∈ A1 , ..., n − ma coordinata an ∈ An il
simbolo:
(a1 , ..., an ).
Si chiama prodotto cartesiano degli insiemi A1 , A2 , ..., An l’insieme costituito
da tutte le n − ple aventi prima coordinata a1 ∈ A1 , ... , n − ma coordinata
a n ∈ An :
n
Y
Ai = {(a1 , ..., an ) : a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An } =
i=1
= {(a1 , ..., an ) : ai ∈ Ai , i = 1, ..., n}.
(1.1)
1.5. LA NOZIONE DI FUNZIONE
7
Definizione 1.4.4. Si consideri il prodotto cartesiano X×X, con X insieme
non vuoto. Ogni qualvolta si fissa un sottoinsieme < del prodotto cartesiano
X × X, si dice che in X è assegnata una relazione binaria; tale relazione,
con un abuso di notazione, si indica ancora con il simbolo <. Quando due
punti x e y di X sono tali che (x, y) ∈ < si dice che x e y verificano la
relazione < e per denotare ciò si scrive x<y.
Considerata una relazione binaria < in X:
def
< è riflessiva ⇐⇒
(x, x) ∈ <, ∀x ∈ X ;
def
< è simmetrica ⇐⇒
(x, y) ∈ < =⇒ (y, x) ∈ < ;
def
< è antisimmetrica ⇐⇒
(x, y) ∈ < =⇒ (y, x) 6∈ < ;
def
R è transitiva ⇐⇒
(x, y) ∈ <, (y, z) ∈ < =⇒ (x, z) ∈ < .
Definizione 1.4.5. Una relazione binaria < in X che sia transitiva e antisimmetrica si dice relazione d’ordine in X e l’insieme X si dice insieme
ordinato; in questo caso, per denotare che x è in relazione con y, oltre ai
simboli (x, y) ∈ < e x<y, si usa il simbolo x < y.
Definizione 1.4.6. Una relazione binaria < in X che sia riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione di equivalenza in X; in questo caso,
per denotare che x è in relazione con y, oltre ai simboli (x, y) ∈ < e x<y, si
usa il simbolo x ∼ y.
1.5
La nozione di funzione.
Definizione 1.5.1. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si dice funzione
(o applicazione) da X in Y una legge che ad ogni x ∈ X fa corrispondere
uno ed un solo elemento y ∈ Y ; per denotare che f è una funzione da X in
Y si scrive:
f : X → Y.
8
CAPITOLO 1.
ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Per ogni elemento x di X, l’elemento y di Y che f fa corrispondere a x si
denota con il simbolo f (x) e si chiama immagine di x tramite f .
L’insieme X si chiama dominio della funzione f e l’insieme:
f (X) = {y ∈ Y / ∃x ∈ X : f (x) = y} = {f (x) ∈ Y : x ∈ X},
si dice codominio della funzione f .
Si noti che f è una funzione da X in Y se e solo se:
∀x ∈ X ∃! y ∈ Y : f (x) = y
(il simbolo ∃! significa esiste ed è unico).
Definizione 1.5.2. Sia f una funzione da X in Y , si dice diagramma di f
il seguente sottoinsieme di X × Y :
G = {(x, f (x)) ∈ X × Y : x ∈ X}.
1. Siano X = {iscritti alla Facoltà di Ingegneria} e Y = {15, 16, ..., 89, 90};
la legge che ad ogni x ∈ X associa l’età di x è una funzione da X in
Y.
2. Siano X = {esseri umani} e Y = {donne}; la legge che ad ogni x ∈ X
associa la mamma di x è una funzione da X in Y .
3. Siano X = {mamme} e Y = {figli}; la legge che ad ogni x ∈ X associa
il figlio di x non è una funzione da X in Y .
4. Siano X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, ..., 19, 20}; la legge che ad ogni
x ∈ X associa 3x è una funzione da X in Y .
5. Siano X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, ..., 19, 20}; la legge che ad ogni
x ∈ X associa 3 è una funzione da X in Y .
D’ora in poi, salvo avviso contrario, con f denoteremo una funzione da X
in Y .
1.5. LA NOZIONE DI FUNZIONE
9
Considerata la funzione f , qualunque sia B ⊆ Y , l’insieme:
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B},
si chiama immagine inversa di B mediante f .
Definizione 1.5.3. Diremo che la funzione f è suriettiva quando risulta
f (X) = Y , cioè:
∀y ∈ Y ∃ x ∈ X : f (x) = y.
Definizione 1.5.4. Diremo che la funzione f è iniettiva se, qualunque siano
i punti x1 , x2 ∈ X, risulta:
x1 6= x2
f (x1 ) 6= f (x2 ).
=⇒
Definizione 1.5.5. Diremo che la funzione f è invertibile o biettiva o
1 − 1 quando f è iniettiva e suriettiva; in tal caso si ha che:
∀y ∈ Y ∃! x ∈ X : f (x) = y.
Se f : X → Y è biettiva allora resta individuata una funzione da Y in X
che ad ogni y ∈ Y associa quell’unico x ∈ X tale che f (x) = y; tale funzione
si denota con il simbolo f −1 , quindi:
f −1 : Y −→ X.
La funzione f −1 si chiama funzione inversa di f .
Ovviamente anche f −1 è biettiva e risulta:
f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ X
e
f (f −1 (y)) = y, ∀y ∈ Y.
D’ora in poi, con il simbolo N denoteremo l’insieme dei numeri naturali, i.e.
N = {1, 2, 3, . . . }.
Esempio. - La funzione:
f : n ∈ N −→ n + 5 ∈ {6, 7, . . . }
è una funzione invertibile e la sua inversa è:
f −1 : m ∈ {6, 7, . . . } −→ m − 5 ∈ N.
10
CAPITOLO 1.
1.6
ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Funzioni composte.
Siano X, Y e W tre insiemi non vuoti. Considerate le funzioni:
f : X −→ Y,
g : Y −→ W,
diremo funzione composta da f e g la funzione:
g ◦ f : x ∈ X −→ g(f (x)) ∈ W.
Esempio. - Se f : n ∈ N −→ 3n ∈ N e g : m ∈ N −→ 5m + 2 ∈ N, allora:
g ◦ f : n ∈ N −→ g(f (n)) = 5(3n) + 2 = 15n + 2 ∈ N.
Se f è una funzione invertibile da X in Y , allora si possono considerare
le funzioni:
iX = f −1 ◦ f : x ∈ X −→ x ∈ X,
iY = f ◦ f −1 : y ∈ Y −→ y ∈ Y,
la prima si chiama funzione identica in X e la seconda funzione identica in
Y.
Capitolo 2
I numeri reali
2.1
La definizione assiomatica dei numeri reali.
In questo capitolo richiamiamo le principali proprietà dell’insieme R dei
numeri reali.
C’è un primo gruppo di proprietà legate alle operazioni di addizione
(somma) e di moltiplicazione (prodotto) definite in R.
Gruppo 1. - In R sono definite le seguenti due operazioni:
+ : (a, b) ∈ R × R −→ a + b ∈ R
· : (a, b) ∈ R × R −→ a · b ∈ R
addizione,
moltiplicazione.
Queste due operazioni soddisfano le condizioni seguenti:
1.1 - Le operazioni + e · sono commutative, i.e.:
a + b = b + a,
a · b = b · a,
∀a, b ∈ R.
1.2 - Le operazioni + e · sono associative, i.e.:
(a + b) + c = a + (b + c),
(a · b) · c = a · (b · c),
11
∀a, b, c ∈ R.
(2.1)
(2.2)
12
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
1.3 - La moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione, i.e.:
a · (b + c) = a · b + a · c,
∀a, b, c ∈ R.
1.4 - In R ci sono due elementi 0 e 1, risp., lo zero e l’unità di R tali che:
a · 1 = a,
a + 0 = a,
∀a ∈ R.
Infine, sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1.5 - ∀x ∈ R
∃ ! x0 ∈ R : x + x0 = 0,
x0 prende il nome di opposto di x e si denota con −x.
∃ ! x00 ∈ R − {0} : x · x00 = 1,
1.6 - ∀x ∈ R − {0}
x00 prende il nome di inverso di x e si denota con x−1 .
Gruppo 2. - L’insieme R è totalmente ordinato, i.e., esiste in R una relazione d’ordine < tale che, qualunque siano i punti x, y ∈ R, con x 6= y,
risulta:
x<y
oppure
y < x.
Ricordiamo che la relazione d’ordine < in R è caratterizzata dalle seguenti proprietà:
x<y
e
y<z
=⇒
x < z,
x<y
=⇒
y 6< x,
∀x, y, z ∈ R,
∀x, y ∈ R,
proprietà transitiva,
proprietà antisimmetrica.
La relazione d’ordine totale < e la operazioni + e · sono legate dalle
seguenti due proprietà:
2.1 - Qualunque siano x, y, z ∈ R, risulta:
x<y
=⇒
x + z < y + z.
2.1. LA DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI
13
2.2 - Qualunque siano x, y ∈ R e z > 0, risulta:
x<y
=⇒
x · z < y · z.
Notazione - In seguito, si userà la scrittura x ≤ y per denotare che x < y
oppure x = y.
Prima di parlare di un’altra proprietà molto importante di R, abbiamo
bisogno di alcune definizioni.
Sia X un sottoinsieme non vuoto di R.
Definizione 2.1.1. Un elemento m0 di X si dice minimo di X se risulta:
m0 ≤ x, ∀x ∈ X;
per denotare che m0 è il minimo di X si scrive m0 = min X.
Definizione 2.1.2. Un elemento m00 di X si dice massimo di X se risulta:
x ≤ m00 , ∀x ∈ X;
per denotare che m00 è il massimo di X si scrive m00 = max X.
Definizione 2.1.3. Un elemento a di R si dice minorante di X se risulta:
a ≤ x, ∀x ∈ X;
se esiste un minorante di X allora X si dice limitato inferiormente.
Definizione 2.1.4. Un elemento b di R si dice maggiorante di X se risulta:
x ≤ b, ∀x ∈ X;
se esiste un maggiorante di X allora X si dice limitato superiormente.
Definizione 2.1.5. L’insieme X si dice limitato quando è limitato sia
inferiormente che superiormente.
14
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
Proprietà di completezza di R .
L’insieme R gode della seguente proprietà detta di completezza:
i) Qualunque sia il sottoinsieme X di R limitato inferiormente, esiste il
massimo e0 dell’insieme:
H = {a ∈ R : a minorante di X};
il numero reale e0 si chiama estremo inferiore di X e si denota con il
simbolo inf X.
La condizione i) è equivalente alla seguente:
ii) Qualunque sia il sottoinsieme X di R limitato superiormente, esiste il
minimo e00 dell’insieme:
K = {b ∈ R : b maggiorante di X};
il numero reale e00 si chiama estremo superiore di X e si denota con il
simbolo sup X.
Di facile verifica sono le proposizioni seguenti:
Proposizione 2.1.6. Sia X un sottoinsieme di R limitato inferiormente.
Il numero reale e0 è l’estremo inferiore di X se e solo se soddisfa le seguenti
condizioni:
α) e0 ≤ x
∀x ∈ X,
β) ∀ε > 0 ∃ x0ε ∈ X : x0ε < e0 + ε.
Proposizione 2.1.7. Sia X un sottoinsieme di R limitato superiormente.
Il numero reale e00 è l’estremo superiore di X se e solo se soddisfatta le
seguenti condizioni:
γ) x ≤ e00 ,
∀x ∈ X,
δ) ∀ε > 0 ∃ x00ε ∈ X : e00 − ε < x00ε .
2.1. LA DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI
15
Proposizione 2.1.8. Valgono le seguenti condizioni:
e) Se esiste il min X allora inf X = min X.
f ) Se esiste il max X allora sup X = max X.
Tra i sottoinsiemi di R, più comunemente usati, c’è l’insieme N dei numeri naturali che è costituito dall’unità di R e dal successivo di ogni suo
elemento, quindi:
N = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...};
se si usa la rappresentazione decimale, allora:
N = {1, 2, 3, ...}.
Poi, c’è l’insieme Z degli interi relativi:
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Inoltre, c’è l’insieme Q dei numeri razionali:
Q={
m
∈ R : m ∈ Z e n ∈ N}.
n
Infine, c’è l’insieme dei numeri irrazionali, R − Q, che è costituito da
tutti i numeri reali che non appartengono a Q; quindi, a tale insieme appartengono i numeri reali che non possono esprimersi come rapporto tra un
intero relativo e un numero naturale. Ad R − Q appartengono, ad esempio,
√
π e 2.
Vale la seguente:
Proposizione 2.1.9. (Densità di Q in R)
Qualunque siano x, y ∈ R, con x < y, esiste un q ∈ Q tale che:
x < q < y.
Concludiamo questo paragrafo osservando che, in R si possono definire altre due operazioni che si ricavano direttamente dall’addizione e dalla
16
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
moltiplicazione:
: (a, b) ∈ R × R −→ a − b = a + (−b) ∈ R
: (a, b) ∈ R × (R − {0}) −→
a
= a · (b−1 ) ∈ R
b
sottrazione,
divisione.
2.2. INTERVALLI DI R. INSIEMI SEPARATI, INSIEMI CONTIGUI 17
2.2
Intervalli di R. Insiemi separati, insiemi contigui.
Siano a, b ∈ R, con a ≤ b.
L’insieme:
{x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
(risp. {x ∈ R : a < x < b}),
si dice intervallo chiuso di estremi a e b (risp. intervallo aperto di estremi
a e b) e si denota con [a, b] (risp. ]a, b[).
L’insieme:
{x ∈ R : a ≤ x < b}
(risp. {x ∈ R : a < x ≤ b}),
si dice intervallo superiormente semiaperto di estremi a e b (risp. intervallo
inferiormente semiaperto di estremi a e b) e si denota con [a, b[ (risp. ]a, b]).
Si noti che, se a = b, [a, b] = {a} e ]a, b[= [a, b[=]a, b] = ∅.
Se a < b i numeri reali c =
a+b
2
e δ=
b−a
2
si dicono, risp., punto medio
e semiampiezza di ognuno dei suddetti intervalli; in particolare, risulta:
[a, b] = [c − δ, c + δ].
∧
Si chiama insieme ampliato dei numeri reali e si denota con il simbolo R,
l’insieme R con l’aggiunta dei simboli +∞ e −∞, cioè:
∧
R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}.
Qualunque sia x ∈ R, per convenzione:
−∞ < x < +∞.
Se a ∈ R, si introducono le notazioni seguenti:
] − ∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a},
] − ∞, a[= {x ∈ R : x < a},
18
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
[a, +∞[= {x ∈ R : x ≥ a},
]a, +∞[= {x ∈ R : x > a},
] − ∞, +∞[= R,
∧
[−∞, +∞] = R.
Per denotare che X non è limitato inferiormente (risp. superiormente)
si scrive:
inf X = −∞ (risp. sup X = +∞).
Esempi.
1)
X = [2, 3[, inf X = min X = 2, sup X = 3.
2) X = [−1, 2[∪{3}, inf X = min X = −1, sup X = max X = 3.
3) X = { n1 : n ∈ N}, inf X = 0, sup X = max X = 1.
4) X = {1 −
1
n
: n ∈ N}, inf X = min X = 0, sup X = 1.
5) X = { n1 − 1 : n ∈ N}, inf X = −1, sup X = max X = 0.
Definizione 2.2.1. Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti di R. X e Y
si dicono separati se:
x ≤ y,
∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
(2.3)
Si noti che la (2.3) è equivalente alla condizione:
sup X ≤ inf Y.
(2.4)
Definizione 2.2.2. Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti di R. X e Y
si dicono contigui se:
supX = inf Y,
il numero reale (2.5) si dice elemento di separazione di X e Y .
(2.5)
2.3. RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DI R
19
E’ facile dimostrare la seguente:
Proposizione 2.2.3. Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti di R. Le
condizioni seguenti sono equivalenti:
i) X e Y sono contigui
ii) X e Y sono separati ed inoltre soddisfano la condizione seguente:
∀ε > 0 ∃ xε ∈ X ∃yε ∈ Y : yε − xε < ε.
2.3
Rappresentazione geometrica di R.
Consideriamo una retta r e fissiamo su essa un punto O. Partendo da O,
la retta r può essere percorsa in due versi tra loro opposti, fissiamo uno di
tali versi e chiamiamolo verso positivo. In questo modo r è stata orientata
−
e prende il nome di asse, denotiamo tale asse con il simbolo →
r.
−
→
−
Chiameremo semiasse positivo, e lo denoteremo con r+ , la parte di →
r
costituita da tutti i punti che seguono O nel verso positivo (prefissato); in
−
→
modo analogo si definisce il semiasse negativo r− .
Ora, come unità di misura scegliamo un segmento u di estremi A e B.
Considerati gli elementi 0 e 1 di Z, associamo a 0 il punto O e ad 1 il
−
→
punto P1 di r+ tale che |OP1 | = |AB|. Poi, considerato l’elemento -1 di Z,
−
→
associamo a -1 il punto P−1 di r− tale che |OP−1 | = |AB|. In modo ovvio,
−
si può associare ad ogni intero relativo un punto di →
r.
Passiamo ai numeri razionali; ad esempio, vediamo al numero 45 quale
−
punto di →
r dobbiamo associare; consideriamo i punti Q1 , Q2 , Q3 , Q4 del
segmento OP1 tali che Q1 precede Q2 , Q2 precede Q3 , Q3 precede Q4 ed
inoltre:
|OQ1 | = |Q1 Q2 | = |Q2 Q3 | = |Q3 Q4 | = |Q4 P1 |,
al numero
4
5
associamo il punto Q4 . In modo ovvio si procede quando il nu-
meratore della frazione è maggiore del denominatore; infatti, se consideriamo
il numero
19
5 ,
basta osservare che
19
5
= 3 + 45 .
20
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
Riguardo ai numeri irrazionali consideriamo, ad esempio, il numero π =
3, 1415...; tale numero si approssima per difetto con 3, 14 =
con 3, 15 =
315
100
314
100
e per eccesso
→
−
e, sapendo quali sono i corrispondenti sull’asse r dei numeri
razionali 3, 14 e 3, 15 ci si fa un’idea di dove può essere posizionato il punto
−
di →
r corrispondente al numero π.
Procedendo in questo modo, si intuisce come ad ogni numero reale x
−
si può far corrispondere uno ed un sol punto Px di →
r , il punto Px si dice
→
−
immagine di x su r .
−
Viceversa, considerato un punto P di →
r e denotata con | OP | la misura,
rispetto ad u, del segmento di estremi O e P , a P si può associare il numero
reale:



 | OP |
xP =
O


 − | OP |
−
→
se P ∈ r+
se P = O
−
→
se P ∈ r− .
−
La corrispondenza biettiva tra i punti di R e i punti di →
r fornisce una
rappresentazione geometrica di R.
2.4
Sottoinsiemi finiti e sottoinsiemi infiniti di R.
Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti di R.
Definizione 2.4.1. X e Y si dicono equipotenti se esiste una funzione
biettiva da X in Y .
Definizione 2.4.2. Un sottoinsieme X di R si dice finito se esiste un n ∈ N
tale che X è equipotente all’insieme {1, ..., n}. Il numero n si dice cardinalità
di X.
In seguito, scriveremo | X |= n per denotare che X è equipotente a
{1, ..., n} e, quindi, che X ha n elementi.
Un sottoinsieme Y di R che non sia finito si dice infinito.
Un sottoinsieme Y di R si dice numerabile se è equipotente ad N. In
questo caso si scrive | Y |=| N |.
2.4. SOTTOINSIEMI FINITI E SOTTOINSIEMI INFINITI DI R
21
E’ interessante osservare che, se si denota con P (risp. D) l’insieme dei
numeri pari (risp. dispari) si ha che | P |=| N | (risp. | D |=| N |). Infatti,
la funzione f : n ∈ N → 2n ∈ P (risp. f : n ∈ N → 2n − 1 ∈ D) è
una funzione biettiva da N in P (risp. da N in D). Conseguentemente, a
differenza di quanto accade per gli insiemi finiti, due insiemi infiniti possono
essere equipotenti anche se uno dei due è un sottoinsieme proprio dell’altro.
Si può dimostrare che
Proposizione 2.4.3. Se X e Y sono due sottoinsiemi di R, entrambi
numerabili, allora X ∪ Y è numerabile.
Proposizione 2.4.4. Le condizioni seguenti sono vere:
1) | Q |=| N |, cioè Q è numerabile.
2) | R − Q |>| N |, cioè R − Q non è numerabile.
3) Un qualunque intervallo non degenere di R non è numerabile.
Proposizione 2.4.5. (Principio di induzione finita).
Sia K un sottoinsieme di N. Se K soddisfa le condizioni seguenti:
a) 1 ∈ K,
b) n ∈ K ⇒ n + 1 ∈ K,
allora K = N.
Esempio. - Proviamo che, per ogni k ∈ N, vale l’uguaglianza:
k(k + 1)
.
(2.6)
2
A norma del Principio di induzione finita, l’asserto sarà provato se mostre1 + ... + k =
remo che la (2.6) è vera per k = 1 ed inoltre, supposta vera per k = n,
facciamo vedere che è vera anche per k = n + 1.
La (2.6) per k = 1 diventa 1 =
1·2
2
= 1, dunque è vera per k = 1.
Ora, supponiamo che la (2.6) sia vera per k = n, cioè supponiamo che valga
l’uguaglianza:
1 + ... + n =
n(n + 1)
,
2
(2.7)
22
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
e proviamo che essa è vera anche per k = n + 1, cioè
1 + ... + n + (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
.
2
(2.8)
Sommando n + 1 a primo e a secondo membro della (2.7) si ha:
1 + ... + n + (n + 1) =
ed essendo
n(n+1)
2
+ (n + 1) =
n(n + 1)
+ (n + 1),
2
n(n+1)+2(n+1)
2
=
(n+1)(n+2)
,
2
(2.9)
dalla (2.9) segue
la (2.8).
L’asserto è cosı̀ provato.
2.5
Valore assoluto di un numero reale.
Se x è un numero reale, per valore assoluto di x si intende il numero stesso
se x ≥ 0 e l’opposto di x se x < 0, cioè, denotato il valore assoluto di x con
il simbolo | x |, si ha che:
| x |=



 x
se x > 0
0


 −x
se x = 0
se x < 0.
Esempi.
Sia a un numero reale positivo.
1) | x |≤ a
⇐⇒
−a ≤ x ≤ a
⇐⇒
x ∈ [−a, a].
2) | x |≥ a ⇐⇒ (x ≤ −a o x ≥ a) ⇐⇒ x ∈] − ∞, −a] ∪ [a, +∞[.
3) | x−1 |< a ⇐⇒ −a < x−1 < a ⇐⇒ 1−a < x < 1+a ⇐⇒ x ∈]1−a, 1+a[.
4) | x−1 |> a ⇐⇒ (x−1 < −a o x−1 > a) ⇐⇒ x ∈]−∞, 1−a[∪]1+a, +∞[.
Vediamo, ora, alcune proprietà del valore assoluto:
a) | x + y |≤| x | + | y |.
b) || x | − | y ||≤| x − y |.
2.5. VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE
23
c) | x · y |=| x | · | y |.
Le suddette proprietà sono di facile verifica; proviamo, ad esempio, la a).
Sappiamo che:
− | x |≤ x ≤| x |
e − | y |≤ y ≤| y |,
quindi, sommando membro a membro si ottiene:
−(| x | + | y |) ≤ x + y ≤| x | + | y |,
quindi, dall’esempio 1) segue l’asserto.
Esempio - Risolvere l’equazione
|x − 1| = 2x.
(2.10)
Soluzione. Essendo:
(
| x − 1 |=
x−1
x ∈ [1, +∞[
−x + 1
x ∈] − ∞, 1[,
per risolvere l’equazione (2.10) dobbiamo risolvere le seguenti due equazioni:
x − 1 = 2x
nell’intervallo
[1, +∞[,
−x + 1 = 2x
nell’intervallo
] − ∞, 1[.
e:
Dall’equazione x − 1 = 2x si ricava 2x − x = −1 e quindi x = −1 che non
appartiene a [1, +∞[.
Dall’equazione −x + 1 = 2x si ricava −2x − x = −1 e quindi x =
appartiene a ] − ∞, 1[.
Quindi x =
1
3
è l’unica soluzione.
1
3
che
24
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
2.6
Potenza n-ma e radice n-ma.
Definizione 2.6.1. Siano x ∈ R e n ∈ N. Si chiama potenza di base x ed
esponente n, e si denota con xn , il prodotto di n fattori tutti uguali a x.
Se x ∈ R − {0} si pone x0 = 1.
Definizione 2.6.2. Siano x ∈ R − {0} e n ∈ N. Si chiama potenza di base
x ed esponente −n, e si denota con x−n , il numero reale
1
xn .
Osserviamo che, se z1 , z2 ∈ Z e x, y ∈ R − {0}, allora:
xz1 · xz2 = xz1 +z2 ,
x z1
= xz1 −z2 ,
x z2
(xz1 )z2 = xz1 ·z2 ,
xz1 · y z1 = (x · y)z1 .
Se x > 0 si ha:
n
(−x) =

n


 −x
se n è dispari


 xn
se n è pari.
Fissato un arbitrario n ∈ N − {1}, si può dimostrare che:
∀y ∈ [0, +∞[
∃ ! x ∈ [0, +∞[
:
xn = y.
Definizione 2.6.3. Fissato un n ∈ N − {1}, qualunque sia y ∈ [0, +∞[, il
numero x ∈ [0, +∞[ tale che xn = y si dice radice n-ma di y e si denota con
√
il simbolo n y.
Osserviamo che, se n, q ∈ N − {1}, y1 , y2 ∈ [0, +∞[ e y3 ∈]0, +∞[, allora:
r
√
q
n y
√
y1
√
√
√
√
1
n
n
n
n
y1 · y2 = y1 · y2 , √
=
, q n y1 = n·q y1 .
n y
y
3
3
Esempi.
1) Riscrivere l’espressione (xy 3 )2 (5x3 y 2 )4 .
2.6. POTENZA N-MA E RADICE N-MA
25
Soluzione. (xy 3 )2 (5x3 y 2 )4 = x2 y 6 54 x12 y 8 = 625 x14 y 14 .
√
√
√
2) Provare che 3 50 + 5 18 = 30 2.
√
√
√
√
√
Soluzione. Infatti 3 50 + 5 18 = 3 · 5 2 + 5 · 3 2 = 30 2.
3) Vedere per quale valore di x vale l’uguaglianza:
√
√
3x + 7x = 1.
Soluzione. Osserviamo che:
√
√
√ √
√ √
√ √ √ 3x + 7x = 3 x + 7 x = x 3 + 7 ,
quindi la (3.42) diventa:
da cui:
√ √ √ x 3 + 7 = 1,
√
1
x =√ √
3+ 7
cioè:
x= √
1
1
1
√
√ .
=
√ 2 =
3 + 2 21 + 7
10 + 2 21
3+ 7
4) Se x < 2 quanto vale la seguente espressione?
p
4(x − 2)2 .
Soluzione Essendo:
p
p
4(x − 2)2 = 22 (x − 2)2 = 2|x − 2|
e |x − 2| = 2 − x in quanto x < 2, abbiamo che:
p
4(x − 2)2 = 2(2 − x) = 4 − 2x.
5) A quanto è uguale la quinta parte di 106 ?
Soluzione.
1
5
106 =
1
5
26 56 =
26 56
5
= 26 55 .
(2.11)
26
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
2.7
Potenza con esponente reale.
Definizione 2.7.1. Siano a ∈]0, +∞[ e r =
m
ar = a n =
√
n
m
n
∈ Q, si pone:
am .
Qualunque siano r1 , r2 ∈ Q e a, b ∈]0, +∞[, risulta:
ar1 ar2 = ar1 +r2 ,
(a > 1 e r1 < r2 )
(0 < a < 1 e r1 < r2 )
(ar1 )r2 = ar1 ·r2 ,
=⇒
=⇒
ar1 br1 = (a b)r1 .
ar1 < ar2 .
ar1 > ar2 .
Osservazione - Siano a ∈]0, +∞[−{1} e x ∈ R. Considerati gli insiemi:
H = {aq : q ∈ Q e q < x},
K = {ar : r ∈ Q e r > x},
si ha che:
I) Se a ∈]1, +∞[, q, r ∈ Q e q < x < r allora aq < ar , quindi H e K
sono separati; inoltre, si dimostra che:
sup H = inf K,
(2.12)
cioè H e K sono contigui.
II) Se a ∈]0, 1[, q, r ∈ Q e q < x < r allora aq > ar , quindi H e K sono
separati; inoltre, si dimostra che:
sup K = inf H,
(2.13)
cioè H e K sono contigui.
Definizione 2.7.2. I numeri (2.12) e (2.13) si denotano con il simbolo ax
e si dicono potenza di base a ed esponente x.
2.8. LOGARITMO DI UN NUMERO REALE POSITIVO
2.8
27
Logaritmo di un numero reale positivo.
Fissato un arbitrario a ∈]0, +∞[−{1}, si può dimostrare che:
∀y ∈]0, +∞[ ∃ ! x ∈ R
:
ax = y.
Definizione 2.8.1. Fissato un arbitrario a ∈]0, +∞[−{1}, qualunque sia
y ∈]0, +∞[, il numero reale x tale che ax = y si dice logaritmo in base a di
y e si denota con il simbolo loga y.
Concludiamo con alcune proprietà del logaritmo di un numero reale
positivo:
loga (y1 · y2 ) = loga y1 + loga y2 ,
1)
∀y1 , y2 ∈]0, +∞[.
Infatti, essendo y1 = aloga y1 e y2 = aloga y2 , si ha:
y1 · y2 = aloga y1 · aloga y2
⇐⇒
y1 · y2 = aloga y1 +loga y2
i.e.:
loga (y1 · y2 ) = loga aloga y1 +loga y2
2)
loga y t = t loga y,
⇐⇒
∀y ∈]0, +∞[, ∀t ∈ R.
Infatti, essendo y = aloga y , si ha che:
t
y t = aloga y = at loga y ⇐⇒
3)
loga (y1 · y2 ) = loga y1 + loga y2 .
loga ( yy21 ) = loga y1 − loga y2 ,
loga y t = t loga y.
∀y1 , y2 ∈]0, +∞[.
28
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
Infatti, ∀y1 , y2 ∈]0, +∞[, dalla 1) e dalla 2) si ha che:
loga (
4)
y1
) = loga (y1 · (y2 )−1 ) = loga y1 + loga (y2 )−1 = loga y1 − loga y2 .
y2
loga y =
logb y
logb a ,
∀y ∈]0, +∞[, ∀b ∈]0, +∞[−{1}.
Infatti, dall’uguaglianza:
loga y · logb a = logb aloga y = logb y,
segue l’asserto.
Esempio - Dall’uguaglianza loga 9 = 0, 20 ricavare la a.
Soluzione. Basta osservare che loga 9 = 0, 20 =
quindi a = 95 = 59049.
1
5
1
da cui si ricava 9 = a 5 e
2.9. POLINOMI
2.9
29
Polinomi.
Siano n ∈ N, a0 , a1 , ..., an−1 ∈ R e an ∈ R−{0}. Un polinomio nella variabile
x di grado n a coefficienti reali a0 , a1 , ..., an , ha la forma:
fn (x) = a0 + a1 x + ... + an xn =
n
X
ai xi .
(2.14)
i=0
Ogni addendo ai xi della (2.14), con ai 6= 0, si dice monomio (oppure
termine) di grado i, ai si dice coefficiente del termine di grado i; an si dice
primo coefficiente del polinomio (2.14), a0 si dice anche termine noto del
polinomio (2.14).
Se a0 = a1 = ... = an = 0 allora fn (x) si dice polinomio nullo.
Definizione 2.9.1. Due polinomi f (x) e g(x) sono uguali se risulta:
f (x) = g(x),
∀x ∈ R.
Proposizione 2.9.2. (Principio di identità dei polinomi)
Due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno ordinatamente
uguali i coefficienti dei monomi simili.
Si dimostra che:
Proposizione 2.9.3. Due polinomi di grado n sono uguali se assumono
valori uguali per n + 1 valori distinti di x.
Somma e prodotto di polinomi.
Somma. Siano f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn , g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm ,
con n ≥ m, an 6= 0, bm 6= 0. La somma di f (x) e g(x) è uguale al polinomio:
pn (x) = f (x) + g(x) = c0 + c1 x + ... + cn xn .
Se n = m allora ci = ai + bi , i = 0, 1, ..., n.
Se n > m allora ci = ai + bi , i = 0, 1, ..., m e ci = ai , i = m + 1, ..., n.
30
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
Prodotto. Siano f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn , g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm ,
con n ≥ m, an 6= 0, bm 6= 0. Il prodotto di f (x) e g(x) è uguale al polinomio:
pn+m (x) = f (x) · g(x) = c0 + c1 x + ... + cn+m xn+m .
Il grado di pn+m (x) è uguale a n + m, il primo cofficiente è cn+m = an bm e
gli altri coefficienti sono dati da:
c0 = a0 b0 ,
ci = ai b0 + ai−1 b1 + ... + a0 bi , i = 1, ..., m,
cm+i = am+i b0 + am+i−1 b1 + ... + ai bm , i = 1, ..., n − m,
cn+j = an bj + an−1 bj+1 + ... + an−m+j bm , j = 1, ..., m − 1,
cn+m = an bm .
Divisione euclidea tra polinomi.
Considerati due polinomi f (x) e g(x), risp., di grado n ed m, con n ≥ m,
esistono due polinomi q(x) e r(x) tali che:
f (x) = g(x)q(x) + r(x),
(2.15)
dove q(x) ha grado n − m e r(x) ha grado minore di m.
Definizione 2.9.4. Si dice che f (x) è divisibile per g(x) se il polinomio
r(x), che compare nella (2.15), è il polinomio nullo.
Esempio - Se f (x) = 2x4 + 3x3 + 4x + 1 e g(x) = x3 + 3 allora q(x) = 2x + 3
e r(x) = −2x − 8.
Teorema 2.9.5. (Ruffini)
Un polinomio f (x) è divisibile per x − x0 se e solo se f (x0 ) = 0. Il numero
x0 si dice radice o zero del polinomio fn (x).
2.9. POLINOMI
31
Equazioni di secondo grado.
Siano a ∈ R−{0} e b, c ∈ R. Consideriamo l’equazione di secondo grado:
ax2 + bx + c = 0;
(2.16)
essendo:
b
x+
ax2 + bx + c = a x2 + ab x + ac = a x2 + 2 2a
h
i
2
2
b
−4ac
= a x + 2a
− b 4a
,
2
b2
4a2
−
b2
4a2
+
c
a
=
(2.17)
la (2.16) diventa:
"
b
x+
2a
a
2
#
b2 − 4ac
−
= 0.
4a2
(2.18)
Posto ∆ = b2 − 4ac, la (2.18) possiamo scriverla:
x+
b 2
∆
= 2.
2a
4a
(2.19)
Dalla (2.19) segue che:
da cui si ottiene:
r
√
∆
∆
b =
,
x + =
2
2a
4a
2a
(2.20)
√
∆
b
=±
,
x+
2a
2a
(2.21)
cioè:
√
√
∆
−b ± ∆
b
x=− ±
=
,
(2.22)
2a
2a
2a
la (2.22) si dice formula risolutiva dell’equazione di secondo grado (2.16).
Si noti che:
b
1. se ∆ = 0 l’equazione (2.16) ha una sola soluzione x = − 2a
;
2. se ∆ > 0 l’equazione (2.16) ha due soluzioni reali e distinte;
3. se ∆ < 0 l’equazione (2.16) non ha soluzioni appartenenti ad R (ci
occuperemo di quest’ultimo caso nel Capitolo 4).
32
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
Segno del trinomio di secondo grado.
Consideriamo il trinomio di secondo grado p2 (x) = ax2 + bx + c, con
a ∈ R − {0} e b, c ∈ R. Allo scopo di studiare il segno di p2 (x), distinguiamo
tre casi.
Caso 1: ∆ > 0.
Per quanto detto in precedenza, p2 (x) ha due zeri reali e distinti:
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
, x2 =
.
(2.23)
2a
2a
Osservato che:
b
x1 + x2 = − ,
a
e
x1 x2 =
b 2
−
−
2a
√ 2
∆
b2
b2 − 4ac
c
= 2−
= ,
2
2a
4a
4a
a
il trinomio p2 (x) possiamo scomporlo come segue:
p2 (x) = ax2 + bx + c = a x2 + ab x + ac = a x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 =
= a x2 − x1 x − x2 x + x1 x2 = a x(x − x1 ) − x2 (x − x1 ) =
= a(x − x1 )(x − x2 ).
i.e.:
p2 (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
(2.24)
E’ immediato verificare che il trinomio p2 (x) assume lo stesso segno di a
all’esterno dell’intervallo [x1 , x2 ](intervallo delle radici).
Caso 2: ∆ = 0.
b
, si ha che:
In questo caso, essendo x1 = x2 = − 2a
p2 (x) = a(x − x1 )2 ,
(2.25)
b
allora il trinomio p2 (x) assume lo stesso segno di a in tutto R − {− 2a
}.
Caso 3: ∆ < 0.
2.9. POLINOMI
33
In quest’ultimo caso, essendo:
h
b 2
∆ i
p2 (x) = a x +
− 2
2a
4a
(2.26)
e ∆ < 0, il trinomio p2 (x) assume lo stesso segno di a in tutto R.
Equazioni e polinomi di grado superiore al primo.
Siano a ∈ R − {0} e b, c ∈ R, l’equazione:
ax2m + bxm + c = 0,
(2.27)
se m = 2 la (2.27) si dice equazione biquadratica, se m > 2 la (2.27) si dice
equazione trinomia.
Ponendo t = xm , la (2.27) si riduce all’equazione di II grado:
at2 + bt + c = 0.
(2.28)
Se t1 e t2 sono le soluzioni della (2.28) allora le soluzioni della (2.27) si
ottengono risolvendo le equazioni:
xm = t1 ,
xm = t2 .
(2.29)
E’ bene osservare che le soluzioni della (2.27) spesso non sono reali.
Concludiamo con alcune proposizioni.
Proposizione 2.9.6. Il binomio xn − an è divisibile per x − a e risulta:
xn − an = (x − a)(xn−1 + axn−2 + · · · + an−2 x + an−1 ).
Se n è pari, xn − an è divisibile anche per x + a.
34
CAPITOLO 2. I NUMERI REALI
Proposizione 2.9.7. Il binomio xn + an è divisibile per x + a se n è dispari
e risulta:
xn + an = (x + a)(xn−1 − axn−2 + · · · + an−3 x2 − an−2 x + an−1 ).
Se n è pari, xn + an non è divisibile né per x + a né per x − a.
Esempi.
1. Vedere se esiste un a ∈ R tale che l’uguaglianza:
4 2
x − 3a = a2 x2 + 2
9
(2.30)
sia valida qualunque sia x ∈ R.
Soluzione. A norma del principio d’identità dei polinomi, dalla (3.39)
si ha che a2 =
4
9
e −3a = 2, quindi a = − 32 è l’unica soluzione.
2. Considerato il polinomio:
x5 + 3x3 + 12a,
(2.31)
vedere per quale valore di a il numero −2 è una radice di (3.40).
Soluzione. Sostituendo, nella (3.40), x con −2 si ottiene:
(−2)5 + 3(−2)3 − 12a = −32 + 3(−8) + 12a = −56 + 12a,
allora a =
14
3 .
Capitolo 3
Funzioni reali di una
variabile reale
3.1
Rappresentazione geometrica di R2 .
Siano π un piano, O un punto di π, x e y una coppia di assi ortogonali aventi
in comune il punto O; la terna Oxy si dice sistema di riferimento cartesiano
ortogonale di origine O e assi coordinati x e y. Se sugli assi x e y si assegna
la stessa unità di misura allora Oxy si dice monometrico.
Per ogni punto P del piano π, indicheremo con Px e Py le proiezioni
ortogonali di P , risp., su x e y.
Se si denota con xP l’ascissa di Px nel sistema Ox e con yP l’ascissa di
Py nel sistema Oy, ad ogni punto P ∈ π viene associata una coppia ordinata
di numeri reali (xP , yP ); i numeri xP e yP si dicono coordinate cartesiane di
P nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy e si chiamano, risp.,
ascissa e ordinata di P in Oxy. Gli assi x e y sono detti, risp., asse delle
ascisse e asse delle ordinate.
Viceversa, considerato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Oxy nel piano π e assegnata una coppia (x, y) di numeri reali, esiste un
unico punto P di π avente ascissa x e ordinata y in Oxy; il punto P è
35
36
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
l’immagine su π dell’elemento (x, y) di R2 .
La corrispondenza tra gli elementi di R2 e le loro immagini sul piano π
è biettiva e fornisce una rappresentazione geometrica degli elementi di R2 .
3.2
Funzioni reali di una variabile reale.
Sia X un sottoinsieme non vuoto di R. Una funzione f : X → R si dice
funzione reale di una variabile reale.
Definizione 3.2.1. Si dice che la funzione f è dotata di minimo (risp.
massimo) se il suo codominio f (X) è dotato di minimo (risp. massimo),
i.e.:
∃ x̄ ∈ X : f (x̄) = min f (X) = min{f (x) : x ∈ X},
¯ ∈ X : f (x̄
¯) = max f (X) = max{f (x) : x ∈ X}).
(risp. ∃ x̄
Definizione 3.2.2. Si dice che la funzione f è limitata inferiormente (risp. superiormente) se il suo codominio f (X) è limitato inferiormente (risp.
superiormente), i.e.:
∃a ∈ R : a ≤ f (x), ∀x ∈ X,
(risp. ∃b ∈ R : f (x) ≤ b, ∀x ∈ X).
Il numero a (risp. b) si dice minorante (risp. maggiorante) di f .
Definizione 3.2.3. Se f è limitata inferiormente, essendo R completo,
esiste un l0 ∈ R tale che:
l0 = inf f (x) = inf f (X) = max{a ∈ R : a minorante di f },
x∈X
tale numero si dice estremo inferiore della funzione f .
Definizione 3.2.4. Se f è limitata superiormente, essendo R completo,
esiste un l00 ∈ R tale che:
l00 = sup f (x) = sup f (X) = min{b ∈ R : b maggiorante di f },
x∈X
tale numero si dice estremo superiore della funzione f .
3.2. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
37
Di facile verifica sono le proposizioni seguenti:
Proposizione 3.2.5. Sia f : X → R limitata inferiormente. Il numero reale l0 è l’estremo inferiore di f (X) se e solo se sono soddisfatte le condizioni
seguenti:
j) l0 ≤ f (x), ∀x ∈ X,
jj) ∀ε > 0 ∃ x0ε ∈ X : f (x0ε ) < l0 + ε.
Proposizione 3.2.6. Sia f : X → R limitata superiormente. Il numero reale l00 è l’estremo superiore di f (X) se e solo se sono soddisfatte le
condizioni seguenti:
i) f (x) ≤ l00 , ∀x ∈ X,
ii) ∀ε > 0 ∃ x00ε ∈ X : l00 − ε < f (x00ε ).
Diamo, ora, alcune definizioni.
Definizione 3.2.7. La funzione f : X → R si dice limitata se è limitata
sia inferiormente che superiormente.
Definizione 3.2.8. La funzione f : X → R si dice non limitata inferiormente (risp. superiormente ) e si scrive:
inf f (X) = −∞
(risp. sup f (X) = +∞),
quando:
∀K > 0 ∃ xK ∈ X : f (xK ) < −K
(risp. ∀K > 0 ∃ xK ∈ X : f (xK ) > K).
Definizione 3.2.9. La funzione f : X → R si dice crescente se, qualunque
siano x1 , x2 ∈ X, vale l’implicazione seguente:
x1 < x2
=⇒
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
38
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Definizione 3.2.10. La funzione f : X → R si dice strettamente crescente
se, qualunque siano x1 , x2 ∈ X, vale l’implicazione seguente:
x1 < x2
=⇒
f (x1 ) < f (x2 ).
Definizione 3.2.11. La funzione f : X → R si dice decrescente se, qualunque siano x1 , x2 ∈ X, vale l’implicazione seguente:
x1 < x2
=⇒
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Definizione 3.2.12. La funzione f : X → R si dice strettamente decrescente se, qualunque siano x1 , x2 ∈ X, risulta:
x1 < x2
=⇒
f (x1 ) > f (x2 ).
Definizione 3.2.13. La funzione f : X → R si dice monotona quando è
crescente oppure decrescente.
Di facile verifica sono le proposizioni seguenti:
Proposizione 3.2.14. Se f : X → R è crescente (risp. decrescente) allora
−f è decrescente (risp. crescente).
Proposizione 3.2.15. Se f : X → R è crescente (risp. decrescente), ha
segno costante e non si annulla in X allora
1
f
decrescente (risp. crescente) .
Osservazione - Si noti nella Proposizione 3.2.15 è necessario supporre che
la funzione f abbia segno costante in X altrimenti l’asserto non vale. A tale
scopo, considerata la funzione f (x) = x definita in R − {0}, si ha che f è
(strettamente) crescente in R − {0}; invece, la sua inversa
1
f (x)
decrescente in R − {0}, infatti −2 < 2 e f (−2) = − 21 <
= f (2).
1
2
= x1 , non è
Proposizione 3.2.16. Sia f : X → Y una funzione invertibile. Se f è
crescente (risp. strettamente crescente) allora f −1 è crescente (risp. strettamente crescente); se f è decrescente (risp. strettamente decrescente) allora
f −1 è decrescente (risp. strettamente decrescente).
3.2. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Proposizione 3.2.17. Siano f : X → Y
39
e g : Y → W . Le proposizioni
seguenti sono vere:
j) Se f e g sono entrambe crescenti (risp. decrescenti) allora g ◦ f è
crescente.
jj) Se f e g sono entrambe strettamente crescenti (risp. strettamente
decrescenti) allora g ◦ f è strettamente crescente.
jjj) Se f e g sono una crescente e l’altra decrescente allora g ◦ f è decrescente.
jv) Se f e g sono una strettamente crescente e l’altra strettamente decrescente allora g ◦ f è strettamente decrescente.
y = 2x
y =x+2
y
y=x
y=
2
10 x
x
2
y = − 10
x
y = −x + 2
40
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Definizione 3.2.18. Sia f una funzione reale definita nel sottoinsieme A
di R simmetrico rispetto all’origine (i.e. x ∈ A ⇒ −x ∈ A). Si dice che la
funzione f è una funzione pari (risp. dispari) in A se:
f (−x) = f (x) (risp. f (−x) = −f (x)),
∀x ∈ A.
Si noti che: il diagramma di una funzione pari (risp. dispari) è simmetrico
rispetto all’asse y (risp. all’origine O).
Definizione 3.2.19. Siano ω un numero reale positivo ed A un sottoinsieme
di R tale che
x∈A
=⇒
x + ω ∈ A.
La funzione f : A −→ R si dice periodica di periodo ω se risulta:
f (x + ω) = f (x), ∀x ∈ A.
3.3
Funzione potenza n-ma.
Sia n ∈ N. Si dice funzione potenza n-ma la funzione:
f : x ∈ R −→ xn ∈ R.
Vediamo alcune proprietà della funzione potenza n-ma.
I) Se n è pari risulta f (−x) = (−x)n = xn = f (x), ∀x ∈ R, quindi f
è una funzione pari (in R) e il suo diagramma è simmetrico rispetto
all’asse y; inoltre, si ha che:
0 ≤ x1 < x2
=⇒
xn1 < xn2 ,
x1 < x2 ≤ 0
=⇒
xn1 > xn2 ,
quindi f (x) = xn è strettamente crescente in [0, +∞[ e strettamente
decrescente in ] − ∞, 0].
Infine:
inf xn = min xn = 0,
x∈R
x∈R
sup xn = +∞.
x∈R
3.3. FUNZIONE POTENZA N-MA
41
II) Se n è dispari risulta (−x)n = −xn , ∀x ∈ R, quindi f (x) = xn è
una funzione dispari (in R) e il suo diagramma è simmetrico rispetto
all’origine degli assi; inoltre, si ha che:
x1 < x2
=⇒
xn1 < xn2 ,
quindi f (x) = xn è strettamente crescente in R.
Infine:
inf xn = −∞,
x∈R
sup xn = +∞.
x∈R
Concludiamo osservando che:
a) Se n è pari allora f (R) = [0, +∞[.
b) Se n è dispari allora f (R) = R.
c) Se n è pari allora la restrizione di f a ]−∞, 0], f/]−∞,0] , è una funzione
biettiva da ] − ∞, 0] a [0, +∞[ e la restrizione di f a [0, +∞[, f/[0,+∞[ ,
è una funzione biettiva da [0, +∞[ a [0, +∞[.
d) Se n è dispari allora f è una funzione biettiva di R in R.
y = x2
y
x
42
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
y
y = x3
y=x
x
y = x5
y
y = x3
y = x2
x
3.4. FUNZIONE RADICE N-MA
3.4
43
Funzione radice n-ma.
Fissiamo un generico n ∈ N − {1}, alla luce di quanto detto nelle I) e
II), del paragrafo 3.3, si ha che la restrizione della funzione potenza n-ma
all’intervallo [0, +∞[ è una funzione strettamente crescente da [0, +∞[ a
[0, +∞[, allora ha senso considerare la funzione inversa di tale restrizione e
cioè la funzione:
g : x ∈ [0, +∞[−→
√
n
x ∈ [0, +∞[,
questa prende il nome di funzione radice n-ma; essa è strettamente crescente
in [0, +∞[ e risulta:
inf
x∈[0,+∞[
√
n
x=
√
n
min
x = 0,
x∈[0,+∞[
sup
√
n
x = +∞.
x∈[0,+∞[
Osservazione - Se n è dispari viene spesso chiamata funzione radice n-ma
la funzione inversa della funzione potenza n-ma, cioè la funzione
g : x ∈ R −→ g(x) =
 √
n


 x


 −√
n
−x
y
y=
x
√
x
se x ≥ 0
se x < 0.
44
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
y = x2
y
y=x
√
y= x
x
Esempi.
1. x2 ≥ −2, ∀x ∈ R
i
h
√
√ i h√
2. x2 ≥ 2 ⇐⇒| x |≥ 2 ⇐⇒ x ∈ − ∞, − 2 ∪ 2, +∞ .
h √ √ i
√
3. x2 ≤ 3 ⇐⇒| x |≤ 3 ⇐⇒ x ∈ − 3, 3 .
4. x3 ≥ −2 ⇐⇒ x ≥ −
5. x3 ≥ 2 ⇐⇒ x ≥
√
3
h √
h
√
3
2 ⇐⇒ x ∈ − 3 2, +∞ .
2 ⇐⇒ x ∈
h√
3
h
2, +∞ .
i
√
√ i
6. x3 ≤ −2 ⇐⇒ x ≤ − 3 2 ⇐⇒ x ∈ − ∞, − 3 2 .
7. x3 ≤ 2 ⇐⇒ x ≤
√
3
i
√ i
2 ⇐⇒ x ∈ − ∞, 3 2 .
Esempi.
1.
2.
3.
√
√
√
x ≥ −2,
∀x ∈ [0, +∞[
x ≥ 3 ⇐⇒ x ≥ 32 ⇐⇒ x ∈ [9, +∞[.
x ≤ 3 ⇐⇒ x ∈ [0, +∞[ e x ≤ 32 ⇐⇒ x ∈ [0, 9].
3.5. FUNZIONE ESPONENZIALE
45
4.
√
3
x ≥ 2 ⇐⇒ x ≥ 23 ⇐⇒ x ∈ [8, +∞[.
5.
√
3
x ≤ 2 ⇐⇒ x ≤ 23 ⇐⇒ x ∈] − ∞, 8].
6.
√
3
x ≤ −2 ⇐⇒ x ≤ (−2)3 ⇐⇒ x ∈] − ∞, −8].
3.5
Funzione esponenziale.
Sia a ∈]0, 1[∪]1, +∞[. Si dice funzione esponenziale di base a la funzione:
f : x ∈ R −→ ax ∈]0, +∞[.
Dalle proprietà della potenza di base a ed esponente reale x viste nel Capitolo
2, segue che:
1) Se a ∈]1, +∞[, allora risulta:
x1 < x2 =⇒ ax1 < ax2 ,
quindi f (x) = ax è strettamente crescente in R.
2) Se a ∈]0, 1[, allora risulta:
x1 < x2 =⇒ ax1 > ax2 ,
quindi f (x) = ax è strettamente decrescente in R.
3) Qualunque sia a ∈]0, 1[∪]1, +∞[ risulta:
f (R) =]0, +∞[,
quindi:
inf ax = 0,
x∈R
sup ax = +∞.
x∈R
Infine, osserviamo che, qualunque siano x, y ∈ R, risulta:
f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x)f (y),
f (xy) = axy = (ax )y = (f (x))y = (f (y))x .
46
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
y=
2 x
10 e
y=
1 x
10 e
y=
5 x
100 e
y=
3 x
100 e
y=
13 x
1000 e
y
x
13 x
y = − 1000
e
3 x
e
y = − 100
5 x
y = − 100
e
1 x
y = − 10
e
2 x
y = − 10
e
3.6. FUNZIONE LOGARITMO
3.6
47
Funzione logaritmo.
Si chiama funzione logaritmo di base a , con ∈]0, 1[∪]1, +∞[, la funzione
inversa della funzione esponenziale in base a, cioè la funzione:
loga : x ∈]0, +∞[−→ loga x ∈ R.
Ovviamente tale funzione ha dominio uguale a ]0, +∞[ e codominio uguale
a R; inoltre, dalle proprietà della funzione esponenziale (viste nel paragrafo precedente) e dalla Proposizione 3.2.16, si ha che la funzione loga x
è strettamente crescente se a ∈]1, +∞[ ed è strettamente decrescente se
a ∈]0, 1[.
Osserviamo che:
inf
x∈]0,+∞[
loga x = −∞,
sup
loga x = +∞.
x∈]0,+∞[
Richiamiamo, infine, alcune proprietà della funzione logaritmo:
1) aloga x = x,
∀x ∈]0, +∞[;
2) loga ax = x,
∀x ∈ R;
3) loga (xy) = loga x + loga y,
4) loga ( xy ) = loga x − loga y,
5) loga xα = αloga x,
6) loga x =
logb x
logb a ,
∀x, y ∈]0, +∞[;
∀x, y ∈]0, +∞[;
∀x ∈]0, +∞[, ∀α ∈ R;
∀x ∈]0, +∞[, ∀b ∈]0, +∞[−{1}.
48
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
y
2
y = log(x + 0.001)
1
x
1
2
Esempi.
1. 2x < −3,
∅.
2. 2x > −3,
R.
3. 2x ≥ 3 ⇔ log2 2x ≥ log2 3 ⇔ x ≥ log2 3 ⇔ x ∈ [log2 3, +∞[.
3.6. FUNZIONE LOGARITMO
49
4. ( 21 )x ≥ 3 ⇔ log 1 ( 12 )x ≤ log 1 3 ⇔ x ≤ log 1 3 ⇔ x ∈] − ∞, log 1 3].
2
2
2
2
5. 2x ≤ 3 ⇔ log2 2x ≤ log2 3 ⇔ x ≤ log2 3 ⇔ x ∈] − ∞, log2 3].
6. ( 21 )x ≤ 3 ⇔ log 1 ( 12 )x ≥ log 1 3 ⇔ x ≥ log 1 3 ⇔ x ∈ [log 1 3, +∞[.
2
2
2
2
Esempi.
1. log2 x ≤ 3 ⇔ (x > 0 e 2log2 x ≤ 23 ) ⇔ (x > 0 e x ≤ 23 ) ⇔ x ∈]0, 8].
2. log 1 x ≤ 3 ⇔ ( 21 )
2
log 1 x
2
≥ ( 21 )3 ⇔ x ≥ ( 12 )3 ⇔ x ∈ [ 18 , +∞[.
3. log2 x ≥ 3 ⇔ 2log2 x ≥ 23 ⇔ x ≥ 23 ⇔ x ∈ [8, +∞[.
log 1 x
4. log 1 x ≥ 5 ⇔ x > 0 e ( 13 )
3
3
≤ ( 13 )5 ⇔ x ∈]0, 315 ].
Esempi.
1) Dall’uguaglianza logx = 5log3 + 3log7 ricavare la x.
Soluzione. Essendo 5log3 + 3log7 = log35 + log73 = log(35 73 ) =
log(83349), si ha che x = 83349.
2) Se si vuole che l’uguaglianza loga 7x = x valga per ogni x ∈ R, quanto
deve valere a?
x
Soluzione. Basta osservare che, qualunque sia x ∈ R, aloga 7 = ax da
cui si ricava 7x = ax quindi a = 7.
3) Risolvere l’equazione log 1 log5 x = 0.
2
Soluzione. Basta osservare che log 1 log5 x = 0 se e solo se log5 x = 1
2
e quindi ricavare che x = 5.
50
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
4) Scrivere in altro modo la seguente espressione:
72+log7 x .
Soluzione. Basta osservare che 72+log7 x = 72 ×7log7 x = 72 ×x = 49x.
3.7. FUNZIONE POTENZA CON ESPONENTE REALE
3.7
51
Funzione potenza con esponente reale.
Definizione 3.7.1. Sia α un numero reale non nullo. Si chiama funzione
potenza con esponente reale α la funzione:
f (x) = xα
definita in [0, +∞[ se α è maggiore di zero e in ]0, +∞[ se α è minore di
zero.
α
Se x ∈]0, +∞[, essendo xα = elogx = eαlogx , dalla Proposizione 3.2.17
segue che:
1)
se α > 0 allora f (x) = xα è strettamente crescente;
2)
se α < 0 allora f (x) = xα è strettamente decrescente.
Ovviamente, se α > 0 si ha che f ([0, +∞[) = [0, +∞[ e quindi:
min
xα = 0,
x∈[0,+∞[
xα = +∞;
sup
x∈]0,+∞[
invece, se α < 0 si ha che f (]0, +∞[) =]0, +∞[ e quindi:
xα = 0,
inf
x∈[0,+∞[
xα = +∞.
sup
x∈]0,+∞[
Esempi.
1
1) Risolviamo la disequazione xπ < 2. Siccome xπ = 2 ⇔ x = 2 π , per la
stretta crescenza della funzione xπ si ha che:
xπ < 2 ⇐⇒
1
1
x > 0 e x < 2 π ⇐⇒ x ∈]0, 2 π [
1
(2 π = sup{2r : r ∈ Q e
r < π1 } = inf{2r : r ∈ Q e r > π1 }).
2) Risolviamo la disequazione x−
x−
√
3
2
√
3
2
≥ 3. Essendo:
−
=3⇔x=3
1
√
32
1
=
3
1
√
32
52
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
per la stretta decrescenza della funzione x−
x−
√
3
2
≥ 3 ⇐⇒
1 x>0ex≤
3
1
√
32
√
3
2
si ha che:
i
1 h
⇐⇒ x ∈ 0, 1 .
√
3 32
3.8. MISURA IN RADIANTI DI UN ANGOLO ...
3.8
53
Misura in radianti di un angolo. Funzioni coseno e seno.
Sia π un piano orientato, nel quale sia stato scelto come verso positivo di
rotazione il verso antiorario. Supponiamo che π sia dotato di un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale Oxy.
Consideriamo la circonferenza C, di centro O e raggio 1, una generica
circonferenza C 0 , di centro O e raggio r0 > 0, e un semiasse t di origine O.
Denotate con A e A0 , risp., le intersezioni del semiasse positivo delle x con
C e C 0 e con P e P 0 , risp., le intersezioni di t con C e C 0 , risulta:
_
_
l(A0 P 0 )
l(AP )
=
,
1
r0
(3.1)
_
_
dove i simboli l(AP ) e l(A0 P 0 ) denotano, risp., la lunghezza dell’arco di
estremi A e P e la lunghezza dell’arco di estremi A0 e P 0 .
_
Il numero dato dalla (3.1) si dice misura in radianti dell’angolo AOP o,
_
equivalentemente, dell’angolo A0 OP 0 .
Siccome la lunghezza di C è 2π, possiamo concludere che: la misura in
radianti di un angolo giro è 2π, di un angolo piatto è π e di un angolo retto
è
π
2.
La relazione che intercorre tra la misura di un angolo misurato in gradi
e la misura di un angolo misurato in radianti è la seguente:
x : y = 180◦ : π,
da cui si ricava la formula per passare da gradi a radianti (risp. da radianti
a gradi):
y=
π
x
180◦
risp. x =
180◦ y .
π
Se, partendo da A (intersezione del semiasse positivo delle x con C),
percorriamo la circonferenza C nel verso antiorario e ci fermiamo al primo
54
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
incontro con il punto P (intersezione dell’asse t con C), individuiamo un
angolo la cui misura in radianti α appartiene all’intervallo [0, 2π[ (si noti
che, se C si orienta nel verso antiorario, α coincide con la misura dell’arco
di C di primo estremo A e secondo estremo P ); continuando a percorrere C,
sempre nello stesso verso, incontreremo di nuovo P e la misura in radianti
dell’angolo percorso è α + 2π. Iterando il procedimento individuiamo angoli
le cui misure in radianti sono date da:
α + 2kπ,
k ∈ N0 .
Ora, partendo da A, percorriamo la circonferenza C nel verso orario, al
primo incontro con P individuiamo un angolo la cui misura è α − 2π; cosı̀
facendo, otteniamo angoli le cui misure in radianti sono date da:
α − 2kπ,
k ∈ N.
Unendo i due risultati, otteniamo che al punto P di C si possono associare
i seguenti numeri reali:
α + 2kπ,
k ∈ Z.
(3.2)
Uno qualsiasi dei valori (3.2) rappresenta, sostanzialmente, una misura del_
l’angolo AOP ; l’insieme dei valori (3.2) prende il nome di argomento di P ,
mentre ciascuno dei valori che si ottengono fissando k nella (3.2) è detto una
determinazione dell’argomento di P .
E’ facile provare che:
∀x ∈ R ∃! (α, k) ∈ [0, 2π[×Z : x = α + 2kπ,
dunque:
∀x ∈ R ∃! P (x) ∈ C : x è una determinazione dell’argomento di P (x).
Alla luce di quanto appena detto ha senso definire le seguenti funzioni:
cos : x ∈ R −→ cosx = ascissa di P (x),
3.8. MISURA IN RADIANTI DI UN ANGOLO ...
55
sen : x ∈ R −→ senx = ordinata di P (x).
La prima di queste funzioni, che si denota con cosx, si chiama funzione
coseno e gode delle seguenti proprietà:
1) cos(R) = [−1, 1];
2) cos(x + 2kπ) = cosx, ∀k ∈ Z e ∀x ∈ R, quindi cosx è periodica di
periodo 2π;
3)
cos(−x) = cosx, cioè cosx è una funzione pari, quindi il suo diagramma è simmetrico rispetto all’asse delle y;
4)
min cosx = −1,
R
max cosx = 1.
R
La seconda di queste funzioni, che si denota con senx, si chiama funzione
seno e gode delle seguenti proprietà:
1)
sen(R) = [−1, 1];
2)
sen(x + 2kπ) = senx, ∀k ∈ Z e ∀x ∈ R, quindi senx è periodica di
periodo 2π;
3)
sen(−x) = −senx, cioè senx è una funzione dispari, quindi il suo
diagramma è simmetrico rispetto all’origine O;
4)
min senx = −1,
R
max senx = 1.
R
56
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
y
y = cos x
1
0
1
2π
π
x
3
2π
2π
−1
y
y = sin x
1
0
1
2π
π
x
3
2π
2π
−1
y
y = cos x
x
y = cos 2x
y
y = sin x
x
y = sin 2x
3.8. MISURA IN RADIANTI DI UN ANGOLO ...
Si noti che:
sen2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈ R.
Formule di addizione.
sen(x1 + x2 ) = senx1 cosx2 + senx2 cosx1 ,
sen(x1 − x2 ) = senx1 cosx2 − senx2 cosx1 ,
cos(x1 + x2 ) = cosx1 cosx2 − senx1 senx2 ,
cos(x1 − x2 ) = cosx1 cosx2 + senx1 senx2 .
Dalle formule di addizione segue facilmente che:
sen2x = 2senxcosx,
cos2x = cos2 x − sen2 x = 1 − 2sen2 x = 2cos2 x − 1,
i
1h
sen(x1 + x2 ) + sen(x1 − x2 ) ,
2
i
1h
senx1 senx2 = cos(x1 − x2 ) − cos(x1 + x2 ) ,
2
i
1h
cosx1 cosx2 = cos(x1 + x2 ) + cos(x1 − x2 ) ,
2
senx1 cosx2 =
π
π
π
− x) = sen cosx − senx cos = cosx,
2
2
2
π
π
π
cos( − x) = cos cosx + sen senx = senx,
2
2
2
π
π
π
sen( + x) = sen cosx + senx cos = cosx,
2
2
2
π
π
π
cos( + x) = cos cosx − sen senx = −senx,
2
2
2
sen(π − x) = senπ cosx − senx cosπ = senx,
sen(
57
58
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
cos(π − x) = cosπ cosx + senπsenx = −cosx,
sen(π + x) = senπ cosx + senx cosπ = −senx,
cos(π + x) = cosπ cosx − senπsenx = −cosx.
Esempi.
1. Consideriamo l’equazione:
senx = a.
(3.3)
Se x = α è soluzione della (3.3), allora tutte le soluzioni della (3.3)
sono date da:
x = (−1)k α + kπ,
k ∈ Z.
(3.4)
2. Consideriamo l’equazione:
1
senx = ,
2
essendo α =
π
6
(3.5)
soluzione della (3.5), tutte le soluzioni della (3.5) sono
date da:
x = (−1)k
π
+ kπ,
6
k ∈ Z.
(3.6)
3. Consideriamo la disequazione:
1
senx < ,
2
(3.7)
vista la periodicità della funzione seno basta risolvere la (3.7) nell’intervallo [0, 2π]; essendo sen π6 = sen(π− π6 ) =
della (3.7) è uguale a [0,
1
2
l’insieme delle soluzioni
π
5
6 [∪] 6 π, 2π].
4. Consideriamo la disequazione:
√
senx >
2
,
2
(3.8)
3.8. MISURA IN RADIANTI DI UN ANGOLO ...
59
risolviamo la (3.8) nell’intervallo [0, 2π]. Essendo:
√
π
π
2
sen = sen(π − ) =
,
4
4
2
l’insieme delle soluzioni della (3.8) è uguale a ] π4 , 34 π[.
5. Consideriamo l’equazione:
√
senx = −
essendo sen π3 =
√
3
2
3
,
2
(3.9)
√
e sen(π + α) = −senα si ha sen 43 π = −
3
2 ,
quindi,
per la (3.4) le soluzioni della (3.9) sono date da:
4
x = (−1)k π + kπ,
3
k ∈ Z.
6. Consideriamo la disequazione:
√
3
senx ≤ − ,
2
(3.10)
risolviamo la (3.10) nell’intervallo [0, 2π]. Tenendo conto di quanto
√
detto nell’esempio 5) ed essendo sen(π + α) = sen(2π − α) = −
3
2 ,
l’insieme delle soluzioni della (3.10) è uguale a [ 43 π, 53 π].
Esempi.
a) Consideriamo l’equazione:
cosx = a.
(3.11)
Se x = α è soluzione della (3.11), allora tutte le soluzioni della (3.11)
sono date da:
x = ±α + 2kπ,
k ∈ Z.
(3.12)
b) Consideriamo l’equazione:
1
cosx = ,
2
(3.13)
60
CAPITOLO 3.
essendo α =
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
π
3
soluzione della (3.13), tutte le soluzioni della (3.13)
sono date da:
x=±
π
+ 2kπ,
3
k ∈ Z.
(3.14)
c) Consideriamo la disequazione:
1
cosx < ,
2
(3.15)
vista la periodicità della funzione coseno basta risolvere la (3.15) nell’intervallo [0, 2π]; essendo cos π3 = cos(− π3 ) =
zioni della (3.15) è uguale a
1
2
l’insieme delle solu-
] π3 , 53 π[.
d) Consideriamo la disequazione:
√
cosx >
2
,
2
(3.16)
risolviamo la (3.16) nell’intervallo [0, 2π]; essendo cos π4 = cos(− π4 ) =
√
2
2
l’insieme delle soluzioni della (3.16) è uguale a ] − π4 , π4 [.
e) Consideriamo l’equazione:
√
cosx = −
essendo cos π6 =
√
√
−
3
2 ,
3
2
3
,
2
e cos(π − α) = cos(π + α) = −cosα si ha cos 56 π =
quindi, per la (3.12) le soluzioni della (3.17) sono date da:
5
x = ± π + 2kπ,
6
f)
(3.17)
k ∈ Z.
Consideriamo la disequazione:
√
cosx > −
3
,
2
(3.18)
risolviamo la (3.18) nell’intervallo [0, 2π]; tenendo conto di quanto detto nell’esempio e), l’insieme delle soluzioni della (3.18) è uguale a
[0, 65 π[∪] 76 π, 2π].
3.9. FUNZIONI ARCOSENO E ARCOCOSENO
3.9
61
Funzioni arcoseno e arcocoseno.
Osservato che la restrizione della funzione seno all’intervallo [− π2 , π2 ] è una
funzione strettamente crescente ed il suo codominio è [−1, 1], diamo la
seguente:
Definizione 3.9.1. Si dice funzione arcoseno la funzione inversa della restrizione della funzione seno all’intervallo [− π2 , π2 ], cioè:
π π
arcsen : x ∈ [−1, 1] −→ arcsenx ∈ [− , ].
2 2
Ovviamente risulta:
∀x ∈ [−1, 1],
sen(arcsenx) = x,
e:
π π
∀x ∈ [− , ].
2 2
arcsen(senx) = x,
Osserviamo che, essendo:
senx ∈ [−1, 1],
∀x ∈ R,
qualunque sia x ∈ R ha senso considerare:
arcsen(senx);
però, è bene notare che:
π π
x 6∈ [− , ]
2 2
=⇒
arcsen(senx) 6= x.
Dalla stretta crescenza della restrizione della funzione seno all’intervallo
[− π2 , π2 ] segue la stretta crescenza della funzione arcoseno nell’intervallo
[−1, 1].
Inoltre, risulta:
π
min arcsenx = − ,
2
x∈[−1,1]
max arcsenx =
x∈[−1,1]
π
.
2
62
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Osservato che la restrizione della funzione coseno all’intervallo [0, π] è
una funzione strettamente decrescente ed il suo codominio è [−1, 1], diamo
la seguente:
Definizione 3.9.2. Si dice funzione arcocoseno la funzione inversa della
restrizione della funzione coseno all’intervallo [0, π], cioè:
arccos : x ∈ [−1, 1] −→ arccosx ∈ [0, π].
Ovviamente risulta:
cos(arccosx) = x,
∀x ∈ [−1, 1],
e:
arccos(cosx) = x,
∀x ∈ [0, π].
Osserviamo che, essendo:
cosx ∈ [−1, 1],
∀x ∈ R,
qualunque sia x ∈ R ha senso considerare:
arccos(cosx),
però, è bene notare che:
x 6∈ [0, π]
=⇒
arccos(cosx) 6= x.
Dalla stretta decrescenza della restrizione della funzione coseno all’intervallo
[0, π] segue la stretta decrescenza della funzione arcocoseno nell’intervallo
[−1, 1].
Inoltre, risulta:
min arccosx = 0,
x∈[−1,1]
max arccosx = π.
x∈[−1,1]
3.10. FUNZIONI TANGENTE E ARCOTANGENTE
3.10
63
Funzioni tangente e arcotangente.
La funzione tangente si denota con il simbolo tgx ed è definita come segue:
tg : x ∈ R − {
π
senx
+ kπ : k ∈ Z} −→
∈ R.
2
cosx
La funzione tgx è periodica di periodo π, i.e.:
tg(x + kπ) = tgx,
∀k ∈ Z, ∀x ∈ R − {
π
+ kπ : k ∈ Z}
2
La funzione tgx è una funzione dispari, cioè tg(−x) = −tgx, quindi il
suo diagramma è simmetrico rispetto all’origine O.
La restrizione della funzione tgx all’intervallo ] − π2 , π2 [ è una funzione
strettamente crescente ed il suo codominio è tutto R.
Si dice funzione arcotangente e si denota con il simbolo arctgx, la funzione inversa della restrizione della funzione tgx all’intervallo ] − π2 , π2 [, i.e.:
arctg : x ∈ R −→ arctgx ∈] −
π π
, [.
2 2
Chiaramente risulta:
tg(arctgx) = x,
∀x ∈ R,
e:
arctg(tgx) = x,
∀x ∈] −
π π
, [.
2 2
Dalla stretta crescenza della restrizione della funzione tangente a ] − π2 , π2 [
segue la stretta crescenza della funzione arcotangente in R; ovviamente
π
inf arctgx = − ,
x∈R
2
sup arctgx =
x∈R
π
.
2
Esempio. - Consideriamo l’equazione:
tgx = a.
(3.19)
Se x = α è soluzione di (3.19), allora tutte le soluzioni di (3.19) sono
64
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
date da:
k ∈ Z.
x = α + kπ,
(3.20)
Quindi:
π
+ kπ,
4
tgx = 1
⇐⇒
x=
tgx = −1
⇐⇒
x=−
π
+ kπ,
4
k ∈ Z;
k ∈ Z;
√
3
2
1
2
⇐⇒
x=
π
+ kπ,
3
k ∈ Z;
1
1
tgx = √ = √2
3
3
⇐⇒
x=
π
+ kπ,
6
k ∈ Z;
√
tgx = 3 =
2
√
tgx = − 3 =
√
3
− 21
2
⇐⇒
x=−
π
+ kπ,
3
k ∈ Z.
3.10. FUNZIONI TANGENTE E ARCOTANGENTE
y
y = tan x
x
65
66
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
y
y = tan x
x
y = tan 12 x
3.10. FUNZIONI TANGENTE E ARCOTANGENTE
y
y = tan x
x
y = − tan x
67
68
CAPITOLO 3.
3.11
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Funzioni cotangente e arcocotangente.
La funzione cotangente si denota con il simbolo cotgx ed è definita come
segue:
cotg : x ∈ R − {kπ : k ∈ Z} −→
cosx
∈ R.
senx
La funzione cotgx è periodica di periodo π, i.e.:
cotg(x + kπ) = cotgx,
∀k ∈ Z, ∀x ∈ R − {kπ : k ∈ Z}.
La funzione cotgx è una funzione dispari, cioè cotg(−x) = −cotgx, quindi il
suo diagramma è simmetrico rispetto all’origine O.
La restrizione della funzione cotgx all’intervallo ]0, π[ è una funzione
strettamente decrescente ed il suo codominio è tutto R.
Si dice funzione arcocotangente e si denota con il simbolo arccotgx, la
funzione inversa della restrizione della funzione cotgx all’intervallo ]0, π[, i.e.:
arccotg : x ∈ R −→ arctgx ∈]0, π[.
Chiaramente risulta:
cotg(arccotgx) = x,
∀x ∈ R,
e:
arccotg(cotgx) = x,
∀x ∈]0, π[.
Dalla stretta decrescenza della restrizione della funzione cotangente a
]0, π[ segue la stretta decrescenza della funzione arcocotangente in R; ovviamente
inf arccotgx = 0,
x∈R
3.12
sup arccotgx = π.
x∈R
Equazioni lineari in seno e coseno omogenee.
Consideriamo l’equazione:
a senx + b cosx = 0,
a, b 6= 0.
(3.21)
3.13. EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO NON OMOGENEE69
Siccome gli zeri del coseno non soddisfano la (3.21), si può supporre cosx 6= 0
e dividere ambo i membri della (3.21) per cosx, ottenendo:
a
senx
+ b = 0,
cosx
da cui:
tgx = −
b
a
⇐⇒
b
x = − arctg .
a
Esempio. - Consideriamo l’equazione:
√
3senx − cosx = 0,
le soluzioni di tale equazioni sono:
1
tgx = √
3
3.13
⇐⇒
x=
π
+ kπ.
6
Equazioni lineari in seno e coseno non omogenee.
Consideriamo l’equazione:
a senx + b cosx + c = 0,
c 6= 0.
(3.22)
In questo caso per risolvere l’equazione (3.22) utilizziamo le formule seguenti:
senx =
2tg x2
,
1 + tg 2 x2
cosx =
1 − tg 2 x2
.
1 + tg 2 x2
Posto t = tg x2 , la (3.22) si trasforma nell’equazione:
a
2t
1 − t2
+
b
+ c = 0,
1 + t2
1 + t2
da cui si ottiene:
2at + b − bt2 + c + ct2 = 0,
70
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
cioè:
(c − b)t2 + 2at + b + c = 0.
Si osservi che, oltre alle soluzioni della soprascritta equazione, possono essere
soluzioni della (3.22) i punti x = π + 2kπ, k ∈ Z, punti in cui la funzione
tg x2 non è definita.
Esempio. - Consideriamo l’equazione:
√
√
senx − 3cosx − 3 = 0.
(3.23)
Iniziamo con l’osservare che, se nella (3.23) sostituiamo x con π + 2kπ, k ∈
√
√
Z, ottieniamo 0 − 3(−1) − 3 = 0, quindi i punti π + 2kπ, k ∈ Z sono
soluzioni dell’equazione (3.23). Inoltre, posto t = tg x2 , la (3.23) si trasforma
nell’equazione:
√ 1 − t2 √
2t
−
3
− 3 = 0,
1 + t2
1 + t2
da cui:
√ √
√
√
√ √
2t − 3 + 3t2 − 3 − 3t2 = 0 ⇐⇒ 2t − 2 3 = 0 ⇐⇒ t = 3,
quindi:
π
2
x √
x
= 3 ⇐⇒ = + kπ ⇐⇒ x = π + 2kπ.
2
2
3
3
Allora tutte le soluzioni della (3.23) sono date da:
tg
x = π + 2kπ
3.14
2
e x = π + 2kπ,
3
k ∈ Z.
Equazioni di II grado in seno e coseno.
Consideriamo, ad esempio, l’equazione:
√
sen2 x − 4 3 senxcosx + cos2 x + 2 = 0.
(3.24)
Ricordando che sen2 x + cos2 x = 1, si ha che 2 = 2(sen2 x + cos2 x) quindi la
(3.24) possiamo scriverla come segue:
√
3 sen2 x − 4 3 senxcosx + 3 cos2 x = 0,
3.15. DISEQUAZIONI RAZIONALI IN SENO E COSENO
71
da cui, supponendo cosx 6= 0 e dividendo per cos2 x, si ottiene:
√
3 tg 2 x − 4 3 tgx + 3 = 0,
allora:

1

√
√
√
√
4 3 ± 16 · 3 − 4 · 9
4 3±2 3  3
tgx =
=
=

6
6

 √3
√
da cui:
x=
π
+ kπ
6
e
x=
π
+ kπ,
3
k ∈ Z.
(3.25)
Resta da verificare se gli zeri della funzione cosx soddisfano la (3.24); sostituendo x con
π
2
+ kπ nella (3.24), si ottiene 1 = −2.
Allora le uniche soluzioni della (3.24) sono date dalla (3.25).
3.15
Esempio 1.
Disequazioni razionali in seno e coseno.
Consideriamo la disequazione:
cosx
> 0;
2 senx − 1
(3.26)
al solito, risolviamo tale disequazione nell’intervallo [0, 2π].
Soddisfano la (3.26) le soluzioni dei due sistemi:



 cosx > 0



 cosx < 0


 2senx − 1 > 0,


 2senx − 1 < 0.
Osserviamo che:
cosx > 0
⇐⇒
π 3
[0, [∪] π, 2π],
2 2
72
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
e:
2 senx − 1 > 0
⇐⇒
senx >
1
2
π 5
x ∈] , π[.
6 6
⇐⇒
Conseguentemente, la (3.26) è soddisfatta per:
π π 5 3
x ∈] , [∪] π, π[.
6 2 6 2
Esempio 2.
Consideriamo la disequazione:
2 senx − 1
√ < 0;
2 cosx + 2
(3.27)
al solito, risolviamo tale disequazione nell’intervallo [0, 2π].
Soddisfano la (3.27) le soluzioni dei due sistemi:



 2senx − 1 > 0



 2senx − 1 < 0


 2cosx +√2 < 0,


 2cosx +√2 > 0.
Osserviamo che:
2 senx − 1 > 0
⇐⇒
senx >
1
2
π 5
x ∈] , π[,
6 6
⇐⇒
e:
√
2 cosx + 2 > 0
√
⇐⇒
cosx > −
2
2
⇐⇒
3
5
x ∈ [0, π[∪] π, 2π].
4
4
Conseguentemente, la (3.27) è soddisfatta per:
π 3 5
5
x ∈ [0, [∪] π, π[∪] π, 2π].
6 4 6
4
Altri esempi.
3.15. DISEQUAZIONI RAZIONALI IN SENO E COSENO
73
1) Vedere quante soluzioni ha la seguente equazione nell’intervallo [0, 2π]:
senx − cosx = 0.
(3.28)
Basta ricordare che le funzioni seno e coseno assumono lo stesso valore
in
π
4
e in
π
4
+ π = 54 π.
2) Determinare il minimo periodo della funzione cos2 x.
Essendo:
cos2x = cos2 x − sen2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2cos2 x − 1
si ha che cos2 x =
1
2 (1
+ cos2x). A questo punto, ricordando che il
periodo della funzione cosT x è uguale a
2π
T ,
è sufficiente osservare che
il periodo della funzione cos2x è π e quindi il periodo della funzione
cos2 x è π.
74
CAPITOLO 3.
3) Se cosθ =
1
3
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
e θ ∈] − π2 , 0[ quanto vale senθ?
Ricordando che sen2 θ + cos2 θ = 1 ed essendo cosθ = 13 si ha che
1 2
+ sen2 θ = 1; quindi 91 + sen2 θ = 1 da cui sen2 θ = 1 − 19 = 98 .
3
Conseguentemente:
r
senθ = ±
8
2√
2;
=±
9
3
√
d’altro canto, dovendo essere θ ∈] − π2 , 0[, si ha che senθ = − 23 2.
3.16. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
3.16
75
Disequazioni irrazionali.
Sia n un intero maggiore di 1 e siano f e g due polinomi.
a) Se n è dispari si ha che:
a1 )
p
n
f (x) ≤ g(x)
⇐⇒
f (x) ≤ (g(x))n ;
(3.29)
p
n
f (x) ≥ g(x)
⇐⇒
f (x) ≥ (g(x))n .
(3.30)


f (x) ≥ 0







g(x) ≥ 0








f (x) ≤ (g(x))n ;
(3.31)
a2 )
b) Se n è pari si ha che:
b1 )
p
n
f (x) ≤ g(x)
⇐⇒
b2 )
p
n
f (x) ≥ g(x)
⇐⇒



 f (x) ≥ 0


 g(x) ≤ 0,
∪



 g(x) ≥ 0
(3.32)


 f (x) ≥ (g(x))n .
Esempi.
1) Allo scopo di risolvere una disequazione del tipo a1 ), consideriamo la
disequazione:
p
3
x2 + 27x + 27 ≤ x + 3.
(3.33)
Osserviamo che risolvere la (3.33) equivale a risolvere la disequazione:
x2 + 27x + 27 ≤ (x + 3)3 ,
76
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
cioè:
x2 + 27x + 27 ≤ x3 + 3x2 · 3 + 3x · 9 + 27
⇐⇒
x2 − x3 − 9x2 ≤ 0,
da cui:
x3 + 8x2 ≥ 0 ⇐⇒ x2 (x + 8) ≥ 0 ⇐⇒ x + 8 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −8.
2) Allo scopo di risolvere una disequazione del tipo a2 ), consideriamo la
disequazione:
p
3
x3 − 9x ≥ x + 3.
(3.34)
Osserviamo che risolvere la (3.34) equivale a risolvere la disequazione:
x3 − 9x ≥ (x + 3)3 ,
cioè:
x3 − 9x ≥ x3 + 3x2 · 3 + 3x · 9 + 27
⇐⇒
−9x − 9x2 − 27x − 27 ≥ 0,
da cui:
−9x2 − 36x − 27 ≥ 0
⇐⇒
x2 + 4x + 3 ≤ 0,
siccome l’equazione x2 + 4x + 3 = 0 ammette due soluzioni x1 = −3
e x2 = −1, si ha che l’equazione(3.34) è soddisfatta da tutti i punti x
appartenenti all’intervallo [−3, −1].
3) Allo scopo di risolvere una disequazione del tipo b1 ), consideriamo la
disequazione:
p
4x2 + 5x + 1 ≤ 2x + 3.
(3.35)
Osserviamo che risolvere la (3.35) equivale a risolvere il sistema:


4x2 + 5x + 1 ≥ 0







(3.36)
2x + 3 ≥ 0








4x2 + 5x + 1 ≤ (2x + 3)2 ;
3.16. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
77
siccome l’equazione 4x2 + 5x + 1 = 0 ammette due soluzioni x1 = −1
e x2 = − 41 , la prima disequazione del sistema (3.36) è soddisfatta da
tutti i punti x appartenenti al plurintervallo ] − ∞, −1] ∪ [− 14 , +∞[;
inoltre, la seconda disequazione del sistema (3.36) è soddisfatta da
tutti i punti x ∈] − 23 , +∞[; passiamo alla terza disequazione:
4x2 + 5x + 1 ≤ (2x + 3)2 ⇔ 4x2 + 5x + 1 ≤ 4x2 + 12x + 9 ⇔
⇔ 7x + 8 ≥ 0,
cioè x ≥ − 87 .
Concludendo la disequazione (3.36) è soddisfatta da tutti gli x appartenenti al plurintervallo [− 87 , −1] ∪ [− 14 , +∞[
4) Allo scopo di risolvere una disequazione del tipo b2 ), consideriamo la
disequazione:
p
x2 − 8x + 15 ≥ 9 − x.
(3.37)
Osserviamo che risolvere la (3.37) equivale a risolvere i sistemi:


2 − 8x + 15 ≥ 0


x



 9−x≥0
∪




 9 − x ≤ 0,
 x2 − 8x + 15 ≥ (9 − x)2 .
Iniziamo a risolvere il primo sistema:

2


 x − 8x + 15 ≥ 0


 9 − x ≤ 0.
Siccome l’equazione x2 − 8x + 15 = 0 ammette due soluzioni x1 = 3
e x2 = 5, la prima disequazione di tale sistema è soddisfatta da tutti
i punti x appartenenti al plurintervallo ] − ∞, 3] ∪ [5, +∞[; inoltre, la
seconda disequazione di tale sistema è soddisfatta da tutti i punti x
78
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
maggiori o uguali a 9. Concludendo il primo sistema è soddisfatto da
tutti gli x appartenenti all’intervallo [9, +∞[.
Passiamo al secondo sistema ed osserviamo che esso è equivalente al
seguente:



 x≤9


 x2 − 8x + 15 ≥ 81 − 18x + x2 ,
quindi:



 x≤9
⇐⇒


 10x ≥ 66



 x≤9


 x≥
33
5 ,
cioè il secondo sistema è soddisfatto da tutti i punti x ∈ [ 33
5 , 9].
Concludendo, si ha che l’equazione:
p
x2 − 8x + 15 ≥ 9 − x,
è soddisfatta da tutti gli x appartenenti a [9, +∞[∪
33
5
, 9 = 33
5 , +∞ .
3.17. INSIEME DI DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 79
3.17
Insieme di definizione delle funzioni composte.
Nel primo capitolo abbiamo considerato un caso particolare di funzione
composta; ora, occupiamoci del caso generale.
Siano X, Y , T e U quattro sottoinsiemi non vuoti di R. Considerate le
funzioni f : X → Y e g : T → U , se l’insieme:
H = {x ∈ X : f (x) ∈ T }
è non vuoto allora ha senso considerare la funzione:
g ◦ f : x ∈ H −→ g(f (x)) ∈ U,
tale funzione prende il nome di funzione composta tra f e g.
Esempi.
1) Determinare l’insieme di definizione della funzione:
h(x) = log7 (x2 − 3x).
Soluzione. Allo scopo di determinare l’insieme di definizione della
funzione h, consideriamo le funzioni:
f : x ∈ R −→ x2 − 3x ∈ R
e
g : y ∈]0, +∞[−→ log7 y ∈ R,
ed osserviamo che l’insieme di definizione della funzione h è dato da:
H = {x ∈ R : f (x) ∈]0, +∞[} = {x ∈ R : x2 − 3x > 0} =
= {x ∈ R : x(x − 3) > 0} =] − ∞, 0[∪]3, +∞[.
2) Determinare l’insieme di definizione della funzione:
h(x) = arccos log5 x.
80
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Soluzione. Allo scopo di determinare l’insieme di definizione della
funzione h, consideriamo le funzioni:
f : x ∈]0, +∞[−→ log5 x ∈ R
e g : y ∈ [−1, 1] −→ arccos y ∈ R,
ed osserviamo che l’insieme di definizione della funzione h è dato da:
H = {x ∈]0, +∞[: f (x) ∈ [−1, 1]} = {x ∈]0, +∞[: log5 x ∈ [−1, 1]} =
= {x ∈]0, +∞[: −1 ≤ log5 x ≤ 1} = {x ∈]0, +∞[: 5−1 ≤ x ≤ 5} = [ 15 , 5].
3) Determinare l’insieme di definizione della funzione:
p
k(x) = log(x2 − 1).
Soluzione. Allo scopo di determinare l’insieme di definizione della
funzione k, consideriamo le funzioni:
√
f : x ∈ R −→ x2 −1 ∈ R, g : y ∈]0, +∞[−→ log y ∈ R, h : z ∈ [0, +∞[−→ z,
ed osserviamo che l’insieme di definizione della funzione k è dato da:
K = {x ∈ R : f (x) ∈]0, +∞[ e g(f (x)) ∈ [0, +∞[} =
= {x ∈ R : x2 − 1 > 0 e log(x2 − 1) ≥ 0} =
√
= {x ∈ R : x2 − 1 > 0 e x2 − 1 ≥ 1} = {x ∈ R : |x| > 1 e |x| ≥ 2} =
√ √
√
= {x ∈ R : |x| ≥ 2} = − ∞, − 2 ∪
2, +∞ .
4) Determinare l’insieme di definizione della funzione:
k(x) = log log 1 (x − 2).
2
3.17. INSIEME DI DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 81
Soluzione. Allo scopo di determinare l’insieme di definizione della
funzione k, consideriamo le funzioni:
f : x ∈ R −→ x − 2 ∈ R,
g : y ∈]0, +∞[−→ log 1 y ∈ R, h : z ∈]0, +∞[−→ logz ∈ R,
2
ed osserviamo che l’insieme di definizione della funzione k è dato da:
K = {x ∈ R : f (x) ∈]0, +∞[ e g(f (x)) ∈]0, +∞[} =
= {x ∈ R : x − 2 > 0 e log 1 (x − 2) > 0} =
2
= {x ∈ R : x > 2 e x − 2 < 1} =
= {x ∈ R : x > 2 e x < 3} =]2, 3[.
5) Determinare l’insieme di definizione della funzione:
k(x) = log arctg(x2 − 1).
Soluzione. Allo scopo di determinare l’insieme di definizione della
funzione k, consideriamo le funzioni:
f : x ∈ R −→ x2 − 1 ∈ R,
i π πh
g : y ∈ R −→ arctgy ∈ − ,
, h : z ∈]0, +∞[−→ logz ∈ R,
2 2
ed osserviamo che l’insieme di definizione della funzione k è dato da:
K = {x ∈ R : f (x) ∈ R e g(f (x)) ∈]0, +∞[} =
= {x ∈ R : x2 − 1 ∈ R e arctg(x2 − 1) > 0} =
= {x ∈ R : x ∈ R e x2 − 1 > 0} =
= {x ∈ R : x2 > 1} =] − ∞, −1[∪]1, +∞[.
82
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
6) Determinare l’insieme di definizione della seguente funzione:
!−π
log 1 (x2 − 3x + 2)
3
.
f (x) = 1 −
log 1 (x − 2)
3
Soluzione. Per determinare l’insieme di definizione della funzione f
dobbiamo risolvere il sistema:

log 1 (x2 −3x+2)

3

>0
1
−

log 1 (x−2)


3









 x2 − 3x + 2 > 0
(3.38)





x−2>0









 x − 2 6= 1.
Risolviamo una per volta le disequazioni del sistema (3.38).
Iniziamo a risolvere la prima:
log 1 (x2 − 3x + 2)
3
1−
log 1 (x − 2)
> 0,
3
essa equivale alla seguente:
log 1 (x − 2) − log 1 (x2 − 3x + 2)
3
3
log 1 (x − 2)
> 0.
(3.39)
3
Soddisfano la (3.39) le soluzioni dei seguenti due sistemi:


log 1 (x − 2) − log 1 (x2 − 3x + 2) > 0


3
3
(3.40)


 log 1 (x − 2) > 0.
3


log 1 (x − 2) − log 1 (x2 − 3x + 2) < 0


3
3


 log 1 (x − 2) < 0.
3
(3.41)
3.17. INSIEME DI DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 83
Iniziamo a risolvere il sistema (3.40), esso equivale al sistema:


log 1 (x − 2) > log 1 (x2 − 3x + 2)


3
3
(3.42)


 log 1 (x − 2) > 0,
3
e, dalla stretta decrescenza della funzione logaritmo di base 13 , il sistema (3.42) equivale al sistema:

2


 x − 2 < x − 3x + 2


 0 < x − 2 < 1,
cioè:

2


 x − 3x + 2 − x + 2 > 0


 2 < x < 3,
da cui:

2


 x − 4x + 4 > 0


 2 < x < 3,
e ancora:

2


 (x − 2) > 0
(3.43)


 2 < x < 3.
Conseguentemente, siccome la prima disequazione è soddisfatta da
tutti i punti di R − {2}, il sistema (3.43) e quindi il sistema (3.40) è
soddisfatto da tutti i punti dell’intervallo ]2, 3[.
Passiamo, ora, al sistema (13.3). Utilizzando nuovamente la stretta
decrescenza della funzione logaritmo di base 13 , si vede che il sistema
(13.3) è equivalente al sistema:

2


 (x − 2) < 0


 x > 3,
84
CAPITOLO 3.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
e quest’ultimo non ha soluzioni. Allora la prima disequazione del
sistema (3.38) è soddisfatta da tutti i punti dell’intervallo ]2, 3[.
Ora, occupiamoci della seconda disequazione del sistema (3.38):
x2 − 3x + 2 > 0,
essendo le soluzioni dell’equazione x2 − 3x + 2 = 0, x1 = 1 e x2 = 2, la
seconda disequazione del sistema (3.38) è soddisfatta da tutti i punti
del plurintervallo ] − ∞, 1[∪]2, +∞[.
La terza disequazione del sistema (3.38) è soddisfatta da tutti i punti
dell’intervallo ]2, +∞[ ed, infine, l’ultima disuguaglianza del sistema
(3.38) è soddisfatta da tutti gli x diversi da 3.
Concludendo, l’insieme di definizione della f (x) è uguale all’intervallo
]2, 3[.
Capitolo 4
I numeri complessi
4.1
Riferimento polare in un piano.
Sia π un piano orientato, nel quale sia stato scelto come verso positivo di
rotazione il verso antiorario. Siano x una retta orientata (asse) di π e O
−→
un punto di x. Se P è un punto di π diverso da O, denotiamo con XP la
semiretta orientata (semiasse) di origine O passante per P , con ρ la distanza
di P da O e con θ la misura in radianti (determinata a meno di multipli interi
di 2π) dell’angolo che il semiasse positivo di x di origine O deve descrivere,
−→
ruotando in senso antiorario, per sovrapporsi al semiasse XP . I numeri
ρ e θ, cosı̀ determinati, si chiamano coordinate polari del punto P . Piú
precisamente, ρ si chiama raggio vettore o modulo di P e θ (determinato
a meno di multipli interi di 2π) si chiama anomalia o argomento di P . Si
conviene che il punto O abbia modulo nullo e argomento un qualunque
numero reale.
Quando in un piano orientato π si fissa un asse x, si sceglie un punto O
di x e si considera l’applicazione che ad ogni punto P del piano π fa corrispondere le coordinate polari di P , si dice che nel piano π è stato introdotto
un sistema di coordinate polari di polo O e asse polare x.
Supponiamo che in π siano stati introdotti sia un sistema di coordinate
85
86
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
cartesiane Oxy che un sistema di coordinate polari di polo O e asse polare
x. Ovviamente, il sistema che ci permette di passare dalle coordinate polari
ρ e θ del generico punto P alle coordinate cartesiane è dato da:



 x = ρ cos θ,
(4.1)


 y = ρ sen θ.
Viceversa, il sistema che ci permette di passare dalle coordinate cartesiane
x e y di un generico punto P 6= O alle coordinate polari ρ e θ è dato da:

p

x2 + y 2 ,
ρ
=



cos θ = √ 2x 2 ,
(4.2)
x +y


y

 sen θ = √
.
2
2
x +y
4.2
Il campo dei numeri complessi.
Definizione 4.2.1. Per campo dei numeri complessi C si intende l’insieme
R × R delle coppie ordinate di numeri reali in cui siano definite le seguenti
operazioni:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ),
dette somma e prodotto.
E’ facile verificare che:
1) Per la somma e per il prodotto vale sia la proprietà commutativa che
quella associativa; inoltre, vale la proprietà distributiva del prodotto
rispetto alla somma.
2) La coppia (0, 0) è l’elemento neutro per la somma.
3) La coppia (1, 0) è l’elemento neutro per il prodotto.
4.2. IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI
87
4) Il simmetrico di (x, y) rispetto alla somma è −(x, y) = (−x, −y) e si
dice opposto di (x, y).
5) Se (x, y) 6= (0, 0), il simmetrico di (x, y) rispetto al prodotto è:
(x, y)−1 =
y x
,
−
,
x2 + y 2 x2 + y 2
(x, y)−1 si dice l’inverso di (x, y).
Consideriamo l’insieme:
< = {(x, 0) ∈ R × R : x ∈ R},
ed osserviamo che, qualunque siano (x1 , 0), (x2 , 0) ∈ <, risulta:
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0),
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 x2 , 0);
allora, l’insieme < è stabile sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto.
Inoltre, si noti che la somma e il prodotto tra gli elementi (x1 , 0) e (x2 , 0) di
< si effettua applicando a tali elementi le stesse regole che si applicano per la
somma e il prodotto dei numeri reali x1 e x2 . Ciò giustifica la convenzione di
considerare i numeri reali come particolari numeri complessi; quindi, d’ora
in poi, il numero complesso (x, 0) sarà considerato identico al numero reale
x e si porrà:
(x, 0) = x,
∀x ∈ R.
Ora, considerato l’insieme:
= = {(0, y) ∈ R × R : y ∈ R},
osserviamo che, qualunque siano (0, y1 ), (0, y2 ) ∈ =, risulta:
(0, y1 ) + (0, y2 ) = (0, y1 + y2 ),
(4.3)
88
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
(0, y1 ) · (0, y2 ) = (−y1 y2 , 0);
allora l’insieme = è stabile rispetto alla somma ma non è stabile rispetto al
prodotto.
I numeri complessi non reali si diranno numeri immaginari e gli elementi
dell’insieme = si diranno immaginari puri.
L’immaginario puro (0, 1) si chiama unità immaginaria e si denota con
la lettera i oppure j. Notiamo che:
i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1,
i3 = −i,
i4 = −i2 = 1,
i5 = i,
dunque, le potenze di i si riproducono periodicamente di quattro in quattro.
Infine, osservato che:
(0, y) = (0, 1)(y, 0) = i(y, 0),
il generico numero complesso (x, y) si può scrivere come segue:
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + i(y, 0),
quindi, tenendo presente la (4.3), si ha:
(x, y) = x + iy,
(4.4)
la (4.4) si chiama forma algebrica del numero complesso (x, y).
Dato un numero complesso z = x + iy, il numero reale x si dice parte
reale di z e si scrive x = Re z, e il numero reale y si dice coefficiente della
parte immaginaria di z e si scrive y = Im z.
Il numero complesso z̄ = x − iy si chiama complesso coniugato di z.
Si dice modulo del numero complesso z il numero reale
denota con il simbolo | z |. Ovviamente risulta | z |=| z̄ |.
Valgono le relazioni seguenti:
Re z =
z + z̄
,
2
Im z =
z − z̄
,
2i
p
x2 + y 2 e si
4.3. RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA ...
89
z z̄ = x2 + y 2 =| z |2 ,
1
z̄
z̄
, se z 6= 0.
=
= 2
z
z z̄
x + y2
4.3
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi.
Considerato un piano π, con un sistema di riferimento cartesiano Oxy, si può
stabilire una corrispondenza biettiva tra i numeri complessi e i punti di π;
infatti, al numero complesso z = x+iy si può associare quell’unico punto P di
π avente coordinate (x, y) e viceversa. Quindi, il punto P si può interpretare
come l’immagine, sul piano π, del numero complesso z = x + iy. Pertanto,
l’insieme C dei numeri complessi può essere identificato con l’insieme dei
punti del piano π.
I numeri reali (x, 0) hanno per immagine i punti dell’asse x, detto asse
reale, mentre gli immaginari puri (0, y) hanno per immagine i punti dell’asse
y, detto asse immaginario. Il piano π si dice, convenzionalmente, piano
complesso o piano di Gauss.
Notiamo che il numero complesso z = x + iy e il suo coniugato z̄ = x − iy
hanno immagine sul piano complesso i punti P = (x, y) e P̄ = (x, −y), quest’ultimo è il simmetrico di P rispetto all’asse x; invece, il numero complesso
z = x + iy e il suo opposto −z = −x − iy hanno immagine sul piano complesso i punti P = (x, y) e P 0 = (−x, −y), quest’ultimo è il simmetrico di P
rispetto all’origine O.
90
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
4.4
Forma trigonometrica di un numero complesso.
Se P è l’immagine sul piano complesso del numero complesso z = x + iy, la
distanza ρ di P da O (misura del segmento OP ) è uguale al modulo di z,
dunque:
p
ρ =| z |= x2 + y 2 .
Supposto z 6= 0, si dice argomento di z il valore dell’angolo θ (misurato
in radianti e definito a meno di un multiplo intero di 2π) che il semiasse
reale positivo deve descrivere, ruotando in senso antiorario, per sovrapporsi
al semiasse di origine O e passante per P . L’argomento di z si denota con
arg z.
Per quanto detto sopra e dalla (4.1), si ha che x = ρ cosθ e y = ρ senθ,
quindi:
z = ρ(cosθ + isenθ),
(4.5)
la (4.5) prende il nome di forma trigonometrica del numero complesso z. Si
noti che la (4.5) vale anche per z = 0; in questo caso, si assegna a θ un
arbitrario valore visto che ρ = 0 e, quindi, P = O.
Notiamo che, se θ è un valore dell’argomento di z allora, ∀k ∈ Z, θ + 2kπ
è ancora un valore dell’argomento di z.
Si chiama argomento principale di z e si denota col simbolo Arg z l’unico
valore dell’argomento di z appartenente all’intervallo ] − π, π] .
Sia z = x ∈ R; osserviamo che, se x > 0 allora | z |= x e θ = 0; invece,
se x < 0 allora | z |= −x e θ = π.
Sia z = iy, con y ∈ R; notiamo che, se y > 0 allora | z |= y e θ =
invece, se y < 0 allora | z |= −y e θ = − π2 .
π
2;
4.5. OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
4.5
91
Operazioni con i numeri complessi.
Considerati i numeri complessi:
z1 = ρ1 (cos θ1 + isen θ1 ) e z2 = ρ2 (cos θ2 + isen θ2 ),
iniziamo con l’osservare che z1 = z2 se e solo se:
ρ1 = ρ2
ed ∃k ∈ Z : θ1 − θ2 = 2kπ.
I) Qualunque siano i numeri complessi z1 , ..., zn risulta:
n
n
n
n
Y
Y
Y
X
zi =
|zi | e arg
zi =
arg zi ,
i=1
i=1
i=1
(4.6)
(4.7)
i=1
cioè il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli e l’argomento del prodotto è uguale alla somma degli
argomenti.
Per semplicità proviamo la (4.7) nel caso n = 2. Osserviamo che:
z1 z2 = ρ1 ρ2 cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 + i(cos θ1 sen θ2 + cos θ2 sen θ1 ) =
= ρ1 ρ2 cos(θ1 + θ2 ) + isen(θ1 + θ2 ) ,
da cui segue l’asserto.
II) Dalla (4.7) segue immediatamente che, qualunque sia z ∈ C, risulta:
| z n |=| z |n ,
arg z n = n arg z.
III) Qualunque sia z ∈ C − {0}, risulta:
1
1
1
,
arg = −arg z.
=
z
|z|
z
Infatti, essendo zz −1 = 1 e arg 1 = 0, dalla (7) si ha che:
1
1
1
1
,
z · = 1 ⇐⇒| z || |= 1 ⇐⇒| |=
z
z
z
|z|
e:
arg(
1
1
1
z) = 0 ⇐⇒ arg + arg z = 0 ⇐⇒ arg = −arg z.
z
z
z
(4.8)
(4.9)
92
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
IV) Qualunque siano z1 ∈ C e z2 ∈ C − {0} , è facile provare che:
z | z |
1
1
,
=
z2
| z2 |
arg
z1
= arg z1 − arg z2 .
z2
(4.10)
V) Qualunque sia z ∈ C, è facile provare che:
| z̄ |=| z |,
arg z̄ = −arg z.
(4.11)
VI) Sia z = x + iy = ρ cos θ + i ρ sen θ, con x 6= 0. Osservato che
y
x
= tg θ, si prova facilmente che:
θ=

y


 arctg( x ),


 arctg( y ) + π
x
Esempi.
se x > 0,
(4.12)
se x < 0.
√
π
z1 = 1 + i 3, |z1 | = 2, argz1 =
3
√
π
z2 = 1 − i 3, |z2 | = 2, argz2 = −
3
√
π
z3 = −1 + i 3, |z3 | = 2, argz3 = π −
3
√
π
z4 = −1 − i 3, |z4 | = 2, argz4 = −π +
3
Esercizi.
1. Determinare il modulo e l’argomento dei seguenti numeri complessi:
1,
i,
1 − i,
1 + i,
√
1 + i 3,
i 6
,
1−i
(1 + i)(−1 + i)
√
.
(1 + i 3)5
2. Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso:
√
√ | 3 + i|3 1 − i 3
z=
.
(1 + i)2
4.5. OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
93
Soluzione. Consideriamo i vari numeri complessi che figurano nel
numero z:
√
z1 = | 3 + i|,
Osserviamo che:
√
z2 = 1 − i 3,
z3 = 1 + i.
√
√
z1 = | 3 + i| = 3 + 1 = 2;
quindi, |z1 | = 2 e θ1 = argz1 = 0.
Passiamo a z2 , osserviamo che:
√
√
|z2 | = |1 − i 3| = 1 + 3 = 2,
inoltre, l’argomento θ2 di z2 si ottiene da:

1


 cosθ2 = 2

√

 senθ = − 3 ,
2
2
quindi θ2 = − π3 .
Infine, considerato z3 osserviamo che:
|z3 | = |1 + i| =
√
1+1=
√
2,
inoltre, l’argomento θ3 di z3 si ottiene da:

√1


 cosθ3 = 2


 senθ =
3
√1 ,
2
quindi θ3 = π4 .
Concludendo:
23 2
23 2
= 23 = 8,
|z| = √
=
2
( 2)2
e:
π
π
π π
π
argz = 3argz1 − argz2 − 2argz3 = 3 · 0 − −
−2 = − = − .
3
4
3
2
6
94
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
3. Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso:
z=
(1 + i) (−1 + i)
√
.
(1 + i 3)5
Soluzione. Osserviamo che:
z1 = 1 + i,
|z1 | =
√
√
π
2, θ1 = argz1 =
4
3
π
= π
4
4
√
√
π
z3 = (1 + i 3), |z3 | = 1 + 3 = 2, θ3 = argz3 = .
3
z2 = −1 + i, |z2 | =
Allora:
2, θ2 = argz2 = π −
√ √
2 2
1
|z| =
=
5
2
16
e
argz = argz1 + (−argz2 ) − 5argz3 =
5
13
π
π 3
− π − π = − π = −2π − ,
4 4
3
6
6
quindi:
π
Argz = − .
6
4.6. RADICI N-ME DI UN NUMERO COMPLESSO
4.6
95
Radici n-me di un numero complesso.
Siano n ∈ N e z = ρ(cos θ + isen θ) 6= 0. Per radice n-ma di z si intende un
qualunque numero complesso w tale che wn = z.
Dimostriamo la seguente
Proposizione 4.6.1. Qualunque sia z ∈ C − {0} esistono n radici n-me
distinte di z e sono date dalla formula:
√
θ
+
2kπ
θ
+
2kπ
√
n
z = n ρ cos
+ i sen
.
n
n
k∈{0,1,...,n−1}
(4.13)
Dimostrazione. Iniziamo con l’osservare che, il numero complesso w = r(cos φ+
i sen φ) è una radice n-ma di z se wn = z e quindi:
rn (cos nφ + i sen nφ) = ρ(cos θ + i sen θ),
da cui si ricava:
rn = ρ
i.e :
r=
√
n
ρ
e
e
nφ = θ + 2kπ, k ∈ Z,
φ=
θ + 2kπ
, k ∈ Z.
n
Dunque, i numeri complessi:
θ + 2kπ
θ + 2kπ √
n
,
ρ cos
+ i sen
n
n
k∈Z
(4.14)
sono tutte radici n-me del numero complesso z.
Allo scopo di provare che le radici n-me di z date dalla (4.14) non sono
tutte distinte, consideriamo due di esse:
θ + 2k1 π θ + 2k2 π √ θ + 2k1 π
√ θ + 2k2 π
w1 = n ρ cos
+i sen
, w2 = n ρ cos
+i sen
,
n
n
n
n
e vediamo quando sono uguali.
Siccome w1 e w2 hanno lo stesso modulo, esse sono uguali se la differenza
tra i loro argomenti è un multiplo intero di 2π, cioè se:
k1 k2
θ + 2k1 π θ + 2k2 π
−
= 2hπ ⇐⇒
−
= h ⇐⇒ k1 − k2 = hn;
n
n
n
n
96
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
quindi, w1 e w2 sono uguali se la differenza tra k1 e k2 è un multiplo intero
di n. Dunque, possiamo concludere dicendo che esistono solo n radici n-me
distinte di z e per ottenerle basta far variare k in un insieme costituito da
n numeri interi consecutivi.
La (4.13) è cosı̀ provata.
Osservazione 1. - Considerato un numero complesso z 6= 0, abbiamo visto
che z ha n radici n-me distinte date dalla (4.13). Tali radici, avendo tutte lo
√
stesso modulo n ρ, hanno come immagine nel piano complesso n punti che
√
giacciono sulla circonferenza C di centro l’origine e raggio n ρ. Osserviamo
che, se n ≥ 3, tali punti sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto
nel cerchio avente frontiera C. Infatti, qualunque sia k ∈ {0, 1, ..., n − 1},
l’argomento della radice n-ma wk di z è dato da:
θ + 2kπ
θ
2π
= +k ,
n
n
n
cioè, gli argomenti delle radici n-me di z sono:
θ0 =
θ
2π
θ
2π
θ
, θ1 = +
, ... , θn−1 = + (n − 1) ,
n
n
n
n
n
quindi, due argomenti consecutivi differiscono per
2π
n .
Conseguentemente,
il poligono avente come vertici le immagini sul piano complesso delle radici
n-me di z, essendo inscritto in un cerchio, è un poligono regolare.
Osservazione 2. - Consideriamo le n radici n-me del numero complesso
z = ρ(cos θ + isen θ) 6= 0:
wk =
θ + 2kπ
θ + 2kπ √
n
ρ cos
+ i sen
,
n
n
k = 0, ..., n − 1.
(4.15)
Osservato che:
cos θ+2kπ
+ isen θ+2kπ
n
n
θ
θ
2kπ 2kπ = cos
+
+ isen
+
=
n
n
n
n
θ
θ 2kπ
2kπ = cos + isen
cos
+ isen
,
n
n
n
n
4.6. RADICI N-ME DI UN NUMERO COMPLESSO
97
e che le radici n − me dell’unità sono date da:
vk = cos
2kπ
2kπ
+ i sen
,
n
n
k = 0, ..., n − 1,
(4.16)
dalla (4.15) segue che:
wk = w0 v k ,
k = 0, ..., n − 1.
Allora, possiamo concludere dicendo che:
le radici n-me wk di z si ottengono moltiplicando la radice n-ma w0 di z per
le radici n-me dell’unità.
Esempi
1) Calcolare le radici seste di 1.
Siccome ρ = 1 e θ = 0 si ha che:
2kπ
√
2kπ 6
1 = cos
+ i sen
.
6
6 k∈{0,1,...,5}
2) Calcolare le radici quinte di i.
Siccome ρ = 1 e θ =
√
5
π
2
si ha che:
π
π
+ 2kπ
+ 2kπ i = cos 2
+ i sen 2
.
5
5
k∈{0,1,...,4}
3) Calcolare le radici seste di 1 + i.
√
Siccome ρ = 2 e θ si ottiene risolvendo il sistema:

√1


 cosθ = 2


 senθ =
√1 ,
2
cioè θ = π4 , allora:
√
6
1+i=
π
π
√ + 2kπ
+ 2kπ 2 cos 4
+ i sen 4
.
6
6
k∈{0,1,...,5}
12
(4.17)
98
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
4) Calcolare le soluzioni della seguente equazione:
w3 + 2 = 0.
(4.18)
La (4.18) è equivalente a w3 = −2, cioè, w =
√
3
−2. Posto z = −2 si
ha che | z |= 2 e θ = π. Allora, le soluzioni della (4.18) sono date da:
√
π + 2kπ
π + 2kπ 3
w=
2 cos
+ i sen
.
3
3
k∈{0,1,2}
Dunque:
w0 =
√
3
√
3
√ 1
π √
3
π
3
= 2
+i
,
2 cos + i sen
3
3
2
2
√
π + 2π
π + 2π √
3
3
+i sen
= 2(−1) = − 2,
3
3
1 √3 √
π + 4π √
π + 4π
3
3
+i sen
= 2 −i
= w0 .
w2 = 2 cos
3
3
2
2
w1 =
2 cos
Concludiamo questo paragrafo con il seguente:
Esempio. - Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso
e calcolarne le radici cubiche:
z=
√
5
3) (2+i2 3)
,
(1−i)4 |1+i|4
(1−i
√
è richiesta la determinazione dell’argomento principale (cioè appartenente a
] − π, π]) dei numeri complessi che compongono z.
√
√
π
z1 = 1 − i 3, |z1 | = 1 + 3 = 2, Argz1 = − ,
3
√
√
π
z2 = 2 + 2i 3, |z2 | = 4 + 12 = 4, Argz2 = ,
3
√
π
z3 = 1 − i, |z3 | = 2, Argz3 = − ,
4
4.6. RADICI N-ME DI UN NUMERO COMPLESSO
z4 = |1 + i|, |z4 | =
√
2, Argz4 = 0,
25 · 4
√
|z| = √
= 8,
( 2)4 ( 2)4
π
π
π
5
π
4
7
argz = −5(− ) − − 4(− ) = π − + π = π + π = π,
3
3
4
3
3
3
3
π
Argz = .
3
Passiamo alle radici cubiche di z:
π
π
√
3
3 + 2kπ
3 + 2kπ
wk = 8 cos
+ isen
3
3
k=0,1,2.
e quindi:
√
3
w0 = 8 cos
π
3
π
3
√
π
π
3
8 cos + isen
3
3
9
9
π
π
√
√
7
7
3
3
3 + 2π
3 + 2π
w1 = 8 cos
+ isen
= 8 cos π + isen π
3
3
9
9
π
π
√
√
+ 4π
+ 4π
13
13
3
3
w2 = 8 cos 3
+ isen 3
= 8 cos π + isen π =
3
3
9
9
√
5
5
3
= 8 cos(− π) + isen(− π) .
9
9
+ isen
=
99
100
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
4.7
Forma esponenziale di un numero complesso.
Richiamiamo la seguente uguaglianza di Eulero:
eiθ = cos θ + i sen θ,
(4.19)
si noti che il numero complesso eiθ ha modulo 1 e argomento θ + 2kπ.
Considerati i numeri complessi z1 = ρ1 (cosθ1 + isenθ1 ) = ρ1 eiθ1 e z2 =
ρ2 (cosθ2 + isenθ2 ) = ρ2 eiθ2 osserviamo che:
z1 z2 = ρ1 eiθ1 ρ2 eiθ2 = ρ1 ρ2 ei(θ1 +θ2 ) ,
(4.20)
dunque:
| z1 z2 |=| z1 || z2 |,
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ).
Se si suppone z2 6= 0, si ha che:
ρ1 eiθ1
ρ1
z1
= ei(θ1 −θ2 ) ,
=
iθ
2
z2
ρ2
ρ2 e
(4.21)
dunque
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
z1
arg
z2
e
= argz1 − argz2 .
(4.22)
Dalla (4.19) si ricava
e−iθ = cosθ − isenθ.
(4.23)
Osserviamo, inoltre, che:
i) Se z = eiθ = cosθ + isenθ e, quindi, z̄ = e−iθ = cosθ − isenθ si ha che:
cosθ =
eiθ + e−iθ
,
2
senθ =
eiθ − e−iθ
,
2i
in accordo con il fatto che:
Re z =
z + z̄
2
e
Im z =
z − z̄
.
2i
(4.24)
4.7. FORMA ESPONENZIALE DI UN NUMERO COMPLESSO
101
ii) Considerato il numero complesso z = ρ(cosθ + isenθ) = ρeiθ , dalle
(4.19) e (4.23) segue che:
z̄ = ρe−iθ ,
(4.25)
dunque
|z̄| = |z|
arg(z̄) = −arg(z).
e
(4.26)
iii) Se z = ρ(cosθ + isenθ) = ρeiθ , allora:
z n = ρn einθ .
(4.27)
Infine, se z 6= 0 e n ∈ N − {1}, allora:
√
n
z=
√
n
ρ ei
θ+2kπ
n
,
k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.
(4.28)
102
CAPITOLO 4. I NUMERI COMPLESSI
Capitolo 5
Successioni numeriche ed
elementi di topologia
5.1
Successioni numeriche.
Definizione 5.1.1. Si dice successione di numeri reali una qualunque funzione reale definita nell’insieme N dei numeri naturali, i.e.:
f : n ∈ N → f (n) ∈ R.
(5.1)
Posto, ∀n ∈ N, an = f (n), la successione (5.1) si denota con uno dei simboli
seguenti:
{an },
(an )n∈N .
Osservazione - Siccome quasi tutte le funzioni elementari hanno insieme
di definizione contenente l’insieme N dei numeri naturali, la restrizione di
ognuna di esse ad N fornisce un valido esempio di successione.
Esempi.
1. f : n ∈ N → n2 ∈ R, an = n2 , ∀n ∈ N, {an } = {n2 }.
2. f : n ∈ N → (−1)n ∈ R, an = (−1)n , ∀n ∈ N, {an } = {(−1)n }.
103
104CAPITOLO 5.
3. f : n ∈ N →
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
1
n
∈ R, an = n1 , ∀n ∈ N, {an } = { n1 }.
4. f : n ∈ N → n2 +n+3 ∈ R, an = n2 +n+3, ∀n ∈ N, {an } = {n2 +n+3}.
5. f : n ∈ N → (−1)n n ∈ R, an = (−1)n n, ∀n ∈ N, {an } = {(−1)n n};
si noti che:
n
an = (−1) n =



 n,
se n è pari


 −n
se n è dispari.
Definizione 5.1.2. Considerata la successione {an }, il codominio di tale
successione, i.e. f (N) = {an ∈ R : n ∈ N}, si dice sostegno della successione
{an }.
Definizione 5.1.3. Una successione {an } si dice limitata inferiormente
(risp. superiormente) se tale è il suo sostegno, cioè, se:
∃ a ∈ R : a ≤ an ,
∀n ∈ N
(risp. ∃ b ∈ R : an ≤ b,
∀n ∈ N).
Inoltre, {an } si dice limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente, i.e.:
∃ a, b ∈ R : a ≤ an ≤ b,
∀n ∈ N.
Esempi.
1. an = n2 , ∀n ∈ N; {an } limitata inferiormente e non limitata superiormente e, ovviamente
inf n2 = min n2 = 1,
n∈N
n∈N
sup n2 = +∞.
n∈N
2. an = (−1)n , ∀n ∈ N; {an } limitata inferiormente e superiormente e,
ovviamente
inf (−1)n = min(−1)n = −1,
n∈N
n∈N
sup(−1)n = max(−1)n = 1.
n∈N
n∈N
5.1. SUCCESSIONI NUMERICHE
105
3. an = (−1)n n, ∀n ∈ N; {an } non limitata né inferiormente né superiormente e, ovviamente
inf (−1)n n = −∞,
n∈N
sup(−1)n n = +∞.
n∈N
Definizione 5.1.4. Si dice che la successione {an } converge al numero reale
l quando:
∀ε > 0 ∃ νε ∈ R : n > νε =⇒| an − l |< ε.
(5.2)
Il numero reale l si chiama limite della successione {an } oppure limite per
n che tende a +∞ di an e si scrive:
lim an = l.
n→+∞
Se l = 0 la successione {an } si dice infinitesima.
Definizione 5.1.5. Si dice che la successione {an } diverge negativamente
quando:
∀K > 0 ∃ νK ∈ R : n > νK =⇒ an < −K.
(5.3)
In questo caso si scrive:
lim an = −∞.
n→+∞
Definizione 5.1.6. Si dice che la successione {an } diverge positivamente
quando:
∀K > 0 ∃ νK ∈ R : n > νK =⇒ an > K.
(5.4)
In questo caso si scrive:
lim an = +∞.
n→+∞
Definizione 5.1.7. Una successione si dice regolare quando è convergente
oppure divergente.
106CAPITOLO 5.
5.2
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
Teoremi relativi ai limiti di successioni.
Definizione 5.2.1. Sia l ∈ R, diremo intorno di l un intervallo del tipo:
]l − ε, l + ε[,
qualunque sia ε > 0. (In generale, per intorno di l si intende un qualunque
intervallo aperto ]a, b[, con a < l < b).
Definizione 5.2.2. Sia l = +∞, diremo intorno di +∞ un intervallo del
tipo:
]a, +∞[,
qualunque sia a ∈ R.
Definizione 5.2.3. Sia l = −∞, diremo intorno di −∞ un intervallo del
tipo:
] − ∞, a[,
qualunque sia a ∈ R.
D’ora in poi, per denotare che l’intervallo J di R è un intorno di un
∧
elemento l di R useremo il simbolo J(l) oppure, denotato con =(l) l’insieme
degli intorni di l, scriveremo:
J ∈ =(l).
Ritorniamo alla condizione (5.2):
∀ε > 0 ∃ νε ∈ R : n > νε =⇒| an − l |< ε.
Osserviamo che:
n > νε ⇐⇒ n ∈]νε , +∞[,
e:
| an − l |< ε ⇔ −ε < an − l < ε ⇔ l − ε < an < l + ε ⇔ an ∈]l − ε, l + ε[,
5.2. TEOREMI RELATIVI AI LIMITI ...
107
allora, essendo ]νε , +∞[∈ =(+∞) e ]l − ε, l + ε[∈ =(l), la (5.2) possiamo
scriverla come segue:
∀J(l) ∃ I(+∞) : n ∈ I(+∞) =⇒ an ∈ J(l).
(5.5)
Si noti che:
1. Se l = −∞, posto J(−∞) =] − ∞, −K[ e I(+∞) =]νK , +∞[, la
condizione (5.5) è proprio la (5.3).
2. Se l = +∞, posto J(+∞) =]K, +∞[ e I(+∞) =]νK , +∞[, la condizione (5.5) è proprio la (5.4).
Teorema 5.2.4. (Teorema sull’unicità del limite)
Se la successione {an } è regolare allora essa è dotata di un unico limite.
Dimostrazione. Supponiamo che la successione {an } abbia due limiti l1 e l2 ,
con l1 < l2 .
Detto a un numero reale tale che l1 < a < l2 , consideriamo J1 =] − ∞, a[
e J2 =]a, +∞[ intorni, risp., di l1 e l2 ed osserviamo che:
J1 ∩ J2 = ∅.
(5.6)
Essendo l1 il limite di {an }, relativamente a J1 esiste un ν1 tale che:
n > ν1 =⇒ an ∈ J1 ;
analogamente, essendo l2 il limite di {an }, relativamente a J2 esiste un ν2
tale che:
n > ν2 =⇒ an ∈ J2 .
Conseguentemente:
n > max{ν1 , ν2 } =⇒ an ∈ J1 ∩ J2 ,
in contrasto con la (5.6). Dunque l1 = l2 .
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
108CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
Esempi.
1. Proviamo che:
1
= 0.
n
Facendo riferimento alla (5.2) dobbiamo provare che:
1 1
∀ε > 0 ∃ νε ∈ R : n > νε =⇒ = < ε.
n
n
Qualunque sia ε > 0 osserviamo che:
lim
n→+∞
1
1
< ε ⇐⇒ n >
n
ε
1
quindi basta scegliere νε = ε .
2. Proviamo che:
n
1
= .
2n + 5
2
Facendo riferimento alla (5.2) dobbiamo provare che:
n
1 − < ε.
∀ε > 0 ∃ νε ∈ R : n > νε =⇒ 2n + 5 2
Iniziamo con l’osservare che:
n
1 2n − 2n − 5 −5
5
− =
,
=
=
2n + 5 2
2(2n + 5)
2(2n + 5)
4n + 10
lim
n→+∞
allora, qualunque sia ε > 0:
n
1 5
5
1 5
− < ε ⇐⇒
< ε ⇐⇒ 4n+10 > ⇐⇒ n > ( −10),
2n + 5 2
4n + 10
ε
4 ε
quindi basta scegliere νε = 41 ( 5ε − 10).
3. Proviamo che:
lim (3 − n) = −∞.
n→+∞
Facendo riferimento alla (5.3) dobbiamo provare che:
∀K > 0 ∃ νK ∈ R : n > νK =⇒ 3 − n < −K.
Qualunque sia K > 0:
3 − n < −K ⇐⇒ −n < −K − 3 ⇐⇒ n > K + 3,
quindi basta scegliere νK = K + 3 .
5.2. TEOREMI RELATIVI AI LIMITI ...
109
4. Proviamo che:
lim (n2 + 3) = +∞.
n→+∞
Facendo riferimento alla (5.4) dobbiamo provare che:
∀K > 0 ∃ νK ∈ R : n > νK =⇒ n2 + 3 > K.
Qualunque sia K > 0:
√
n2 + 3 > K ⇐⇒ n2 > K − 3 =⇒ n > K − 3
√
√
quindi basta scegliere νK = K − 3 (si noti che, per far si che K − 3
abbia senso, deve essere K ≥ 3).
Proposizione 5.2.5. La successione {an } è infinitesima se e solo se la
successione dei moduli {| an |} è infinitesima, i.e.
lim an = 0
n→+∞
⇐⇒
lim |an | = 0.
n→+∞
Dimostrazione. Basta osservare che:
an ∈] − ε, ε[
⇐⇒
| an |∈] − ε, ε[.
Proposizione 5.2.6. Se {an } è una successione regolare, allora:
lim an = l =⇒ lim | an |=| l | .
n→+∞
n→+∞
(5.7)
Dimostrazione. Se l ∈ R, basta osservare che || an | − | l ||≤| an − l |.
L’asserto si prova in modo altrettanto banale sia quando l = −∞ che quando
l = +∞.
Osservazione - Mostriamo, con un esempio, che l’esistenza del limite della
successione {| an |} non implica l’esistenza del limite della successione {an }.
110CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
A tale scopo, considerata la successione {(−1)n }, osserviamo che:
lim | (−1)n |= 1,
n→+∞
d’altro canto, essendo:
n
(−1) =



 1
se n è pari,


 −1
se n è dispari,
si ha che:
6 ∃ lim (−1)n .
n→+∞
L’asserto è cosı̀ provato.
E’ immediato provare che:
Proposizione 5.2.7. Se {an } è una successione convergente allora {an } è
limitata.
Passiamo, ora, al seguente
Teorema 5.2.8. (Teorema della permanenza del segno 1)
Sia {an } una successione regolare tale che:
lim an > 0,
n→+∞
allora:
∃ ν : n > ν =⇒ an > 0.
(5.8)
Più in generale, qualunque sia a ∈ R, se:
lim an > a,
n→+∞
allora:
∃ ν : n > ν =⇒ an > a.
(5.9)
5.2. TEOREMI RELATIVI AI LIMITI ...
111
Dimostrazione. Proviamo la (5.8), analogamente si prova la (5.9). Posto:
lim an = l,
n→+∞
proviamo la (5.8) nel caso in cui l ∈ R, in modo analogo si prova il caso in
cui l = +∞.
Sia ε un numero reale positivo tale che l − ε > 0; dalla definizione di
limite, relativamente ad ε:
∃ νε : n > νε =⇒ an > l − ε > 0,
da cui segue la (5.8).
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
Teorema 5.2.9. (Teorema della permanenza del segno 2)
Sia {an } una successione regolare tale che:
lim an < 0,
n→+∞
allora:
∃ ν : n > ν =⇒ an < 0.
(5.10)
Più in generale, qualunque sia a ∈ R, se:
lim an < a,
n→+∞
allora:
∃ ν : n > ν =⇒ an < a.
(5.11)
Teorema 5.2.10. (Teorema del confronto 1)
Siano {an }, {bn } e {cn } tre successioni di numeri reali soddisfacenti la
condizione:
∃m ∈ N : an ≤ bn ≤ cn ,
∀n > m.
Se
lim an = lim cn = l ∈ R,
n→+∞
n→+∞
112CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
allora:
lim bn = l.
n→+∞
Dimostrazione. Per le ipotesi fatte, fissato un arbitrario ε > 0 si ha che:
∃ν1 : n > ν1 =⇒ l − ε < an < l + ε,
∃ν2 : n > ν2 =⇒ l − ε < cn < l + ε.
Quindi, per n > max{m, ν1 , ν2 } si ha:
l − ε < an ≤ bn ≤ cn < l + ε,
da cui segue l’asserto.
Esempio. - Osservato che:
0 < sen
1
1
< ,
n
n
∀n ∈ N,
1
= 0,
n→+∞ n
e
lim
dal Teorema 5.2.10 segue che:
lim sen
n→+∞
1
= 0.
n
La dimostrazione del teorema seguente è analoga a quella del Teorema
5.2.10
Teorema 5.2.11. (Teorema del confronto 2)
Siano {an } e {bn } due successioni di numeri reali soddisfacenti la condizione:
∃m ∈ N : an ≤ bn ,
∀n > m.
Allora valgono le seguenti implicazioni:
lim an = +∞ =⇒ lim bn = +∞
n→+∞
n→+∞
lim bn = −∞ =⇒ lim an = −∞.
n→+∞
n→+∞
5.2. TEOREMI RELATIVI AI LIMITI ...
113
Definizione 5.2.12. La successione {an } si dice crescente (risp. decrescente) se risulta:
an ≤ an+1 (risp. an ≥ an+1 ), ∀n ∈ N.
Le seguenti due proposizioni saranno dimostrate, nel Capitolo 6, nel caso
più generale delle funzioni monotone.
Proposizione 5.2.13. (Regolarità delle successioni crescenti)
Se {an } è una successione crescente, allora {an } è regolare e risulta:


se {an } è limitata superiormente,

 l ∈ R,
lim an = sup an =
n→+∞

n∈N

 +∞,
se {a } non è limitata superiormente.
n
Proposizione 5.2.14. (Regolarità delle successioni decrescenti)
Se {an } è una successione decrescente, allora {an } è regolare e risulta:


se {an } è limitata inferiormente,

 l ∈ R,
lim an = inf an =
n→+∞

n∈N

 −∞,
se {a } non è limitata inferiormente.
n
Esempi.
1. Sia a ∈]0, +∞[−{1}, dalle proprietà di monotonia della funzione ax ,
segue che:
n
lim a =
n→+∞



 +∞,


 0,
se a > 1 ,
se a ∈]0, 1[ .
2. Sia a ∈]0, +∞[−{1}, dalle proprietà di monotonia della funzione loga x,
si ha che:
lim loga n =
n→+∞



 +∞,
se a > 1 ,


 −∞,
se a ∈]0, 1[ .
114CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
3. Dalla stretta crescenza della funzione arctgx segue che:
lim arctg n =
n→+∞
π
,
2
π
lim arctg (−n) = − .
2
n→+∞
4. Dalla stretta crescenza della funzione
lim
√
3
n→+∞
n = +∞,
lim
√
3
x segue che:
√
3
n→+∞
−n = −∞.
5. Dalle proprietà di monotonia della funzione xα che:


se α > 0 ,

 +∞,
α
lim n =
n→+∞


 0,
se α < 0 .
Il numero e di Nepero.
Consideriamo le successioni:
n
1 n o
,
1+
n
n
1+
1 n+1 o
.
n
Si può dimostrare che la prima successione è strettamente crescente e limitata superiormente, mentre la seconda è strettamente decrescente e limitata
inferiormente ed, inoltre, risulta:
1 n
1 n+1
1 n+1
1 n
= sup 1+
= e = lim 1+
= inf 1+
.
lim 1+
n→+∞
n→+∞
n∈N
n
n
n
n
n∈N
Il numero e = 2, 71... è un numero irrazionale e prende il nome di numero
di Nepero.
Media aritmetica e media geometrica.
Siano α1 , ..., αn ∈ R. Si chiama media aritmetica dei numeri α1 , ..., αn il
numero reale:
n
X
i=1
n
αi
.
5.2. TEOREMI RELATIVI AI LIMITI ...
115
Siano β1 , ..., βn ∈ [0, +∞[. Si chiama media geometrica di β1 , ..., βn il
numero reale non negativo:
v
u n
uY
n
t
βi .
i=1
Enunciamo, ora, le proposizioni seguenti:
Proposizione 5.2.15. Sia {an } una successione di numeri reali. Posto,
per ogni n ∈ N:
n
X
An =
ai
i=1
n
,
risulta:
∧
lim an = l ∈ R
=⇒
n→+∞
lim An = l.
n→+∞
Proposizione 5.2.16. Sia {an } una successione di numeri reali non negativi. Posto, per ogni n ∈ N:
v
u n
uY
n
ai ,
Gn = t
i=1
risulta:
lim an = l ∈ [0, +∞]
n→+∞
=⇒
lim Gn = l.
n→+∞
Esempio. - Proviamo che:
lim
n→+∞
√
n
n = 1.
Consideriamo la successione {an }, dove:


se n = 1 ,

 1,
an =



n
n−1 ,
se n > 1.
116CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
Osservato che:
√
n
a1 · ... · an =
r
n
1·
√
n
2
· ... ·
= nn
1
n−1
e che:
"
1
n
n
= lim
lim an = lim
n→+∞ n 1 −
n→+∞
n→+∞ n − 1
#
1
n
= lim
n→+∞
1
1−
1
n
= 1,
dalla Proposizione 5.2.16 segue l’asserto.
5.3
Operazioni con i limiti.
Proposizione 5.3.1. Siano {an } e {bn } due successioni di numeri reali tali
che:
lim an = a,
n→+∞
lim bn = b,
n→+∞
e sia λ ∈ R. Allora:
lim (an + bn ) = lim an + lim bn ,
n→+∞
n→+∞
lim (λ · an ) = λ · lim an ,
n→+∞
n→+∞
lim (an · bn ) = lim an · lim bn ,
n→+∞
n→+∞
se a + b ha senso.
n→+∞
n→+∞
(5.12)
se λ · a ha senso.
(5.13)
se a · b ha senso.
(5.14)
Dimostrazione. Proviamo le (5.12), (5.13) e (5.14) nel caso particolare in
cui a, b ∈ R; in modo analogo si provano gli altri casi.
Dim. della (5.12). - Dobbiamo provare che:
∀ε > 0 ∃ νε ∈ R : n > νε =⇒| (an + bn ) − (a + b) |< ε.
Fissato un ε > 0 si ha che:
ε
∃ νε0 ∈ R : n > νε0 =⇒| an − a |< ,
2
(5.15)
ε
∃ νε00 ∈ R : n > νε00 =⇒| bn − b |< ,
2
(5.16)
5.3. OPERAZIONI CON I LIMITI
117
d’altro canto:
| (an + bn ) − (a + b) |≤| an − a | + | bn − b |,
(5.17)
quindi, posto νε = max{νε0 , νε00 }, da (5.15), (5.16), (5.17) segue che:
n > νε =⇒| (an + bn ) − (a + b) |< ε.
Per l’arbitrarietà di ε segue l’asserto.
Dim. della (5.13). - L’asserto è immediato se λ = 0. Sia λ 6= 0, per
provare la (5.13) dobbiamo far vedere che:
∀ε > 0 ∃ νε ∈ R : n > νε =⇒| λan − λa |< ε.
Iniziamo con l’osservare che:
| λan − λa |= |λ||an − a|.
(5.18)
D’altro canto, essendo limn→+∞ an = a ∈ R, fissato un ε > 0 si ha che:
∃ νε ∈ R : n > νε =⇒| an − a |<
ε
.
|λ|
(5.19)
Allora, da (5.18) e (5.19), segue che:
∃ νε ∈ R : n > νε =⇒| λan − λa |< ε.
Per l’arbitrarietà di ε segue l’asserto.
Dim. della (5.14). - Iniziamo con l’osservare che, essendo {an } convergente, allora {an } è limitata; quindi, esiste un M > 0 tale che | an |≤ M, ∀n ∈
N. Allora:
| an bn − ab | =| an bn − an b + an b − ab |≤
≤| an || bn − b | + | b || an − a |≤ M | bn − b | + | b || an − a | .
Conseguentemente, essendo:
lim | an − a |= 0,
n→+∞
lim | bn − b |= 0,
n→+∞
118CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
si ha che:
lim | an bn − ab |≤ M lim | bn − b | + | b | lim | an − a |= 0.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
L’asserto è cosı̀ provato.
Passiamo alla seguente proposizione la cui dimostrazione è analoga alla
precedente:
Proposizione 5.3.2. Siano {an } e {bn } due successioni di numeri reali tali
che:
lim an = a
n→+∞
lim bn = b.
n→+∞
Le seguenti proposizioni sono vere:
i) Se b ∈ R − {0} e bn 6= 0, ∀n ∈ N, allora:
1
1
= .
n→+∞ bn
b
lim
(5.20)
ii) Se b = 0 e bn > 0, ∀n ∈ N, allora:
1
= +∞.
n→+∞ bn
lim
(5.21)
iii) Se b = 0 e bn < 0, ∀n ∈ N, allora:
1
= −∞.
n→+∞ bn
lim
(5.22)
iv) Se a ∈ R, b 6= 0 e bn =
6 0, ∀n ∈ N, allora:
(
a
se b ∈ R ,
an
b
=
lim
n→+∞ bn
0
se b ∈ {−∞, +∞} .
Nei capitoli successivi ci occuperemo delle forme indeterminate:
0 · (±∞),
±∞
,
±∞
0
.
0
(5.23)
5.3. OPERAZIONI CON I LIMITI
119
Esempi.
1. Se ah 6= 0 e bk 6= 0, allora:



 +∞ ·
ah nh
a0 + a1 n + ... + ah nh
=
lim
=
lim
n→+∞ bk nk
n→+∞ b0 + b1 n + ... + bk nk



ah
bk
0
ah
bk
se h > k ,
se h < k ,
se h = k .
2. Proviamo che, qualunque sia h ∈]1, +∞[ risulta:
lim
n→+∞
n!
= +∞.
hn
A tale scopo, consideriamo il numero naturale m tale che m ≤ h <
m + 1.
Qualunque sia n > m + 1, si ha:
1 2
m m+1
n
m! n
n!
= · · ... ·
·
· ... · > m · ;
n
h
h h
h
h
h
h
h
quindi:
m! n n!
m!
n
≥
lim
·
= m lim
= +∞,
n→+∞ hn
n→+∞ hm h
h n→+∞ h
lim
da cui l’asserto.
3. Proviamo che:
nn
= +∞.
n→+∞ n!
lim
A tale scopo, basta osservare che:
nn
n
n
n
= ·
· ... · > n.
n!
n n−1
1
120CAPITOLO 5.
5.4
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
Elementi di topologia.
∧
Ricordiamo che nella Sezione 2, denotato con x0 un punto di R, abbiamo
indicato con =(x0 ) l’insieme costituito da tutti gli intorni di x0 .
Definizione 5.4.1. Il punto x0 ∈ R si dice punto d’accumulazione per il
sottoinsieme X di R quando:
(X − {x0 }) ∩ I 6= ∅,
∀I ∈ =(x0 ).
L’insieme dei numeri reali che sono d’accumulazione per X si dice derivato
di X e si denota con il simbolo DrX, dunque:
DrX = {x0 ∈ R : x0 è d’accumulazione per X}.
I punti del derivato di X si dicono punti d’accumulazione al finito di X.
∧
Definizione 5.4.2. Il punto +∞ (risp. −∞) di R si dice punto d’accumulazione per il sottoinsieme X di R quando:
X ∩ I 6= ∅,
∀I ∈ =(+∞) (risp. ∀I ∈ =(−∞)).
Esempi.
a) Se X è un sottoinsieme finito di R allora DrX = ∅.
b) Se X =]0, 1[∪{3} allora DrX = [0, 1].
c) Se X = N allora DrX = ∅, inoltre +∞ è d’accumulazione per X.
d) Se X = Z allora DrX = ∅, inoltre +∞ e −∞ sono d’accumulazione
per X.
e) Se X = Q allora DrX = R, inoltre +∞ e −∞ sono d’accumulazione
per X.
5.4. ELEMENTI DI TOPOLOGIA
121
f ) Se X = R − Q allora DrX = R, inoltre +∞ e −∞ sono d’accumulazione per X.
g) Se X = { n1 : n ∈ N} allora DrX = {0}.
Si dimostra che:
Proposizione 5.4.3. Le seguenti condizioni sono vere:
I) Se X è limitato e infinito allora DrX 6= ∅.
II) Se X è non limitato superiormente allora +∞ è d’accumulazione per
X.
III) Se X è non limitato inferiormente allora −∞ è d’accumulazione per
X.
Proposizione 5.4.4. X è dotato di almeno un punto d’accumulazione se e
solo se X è infinito.
Proposizione 5.4.5. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
I) x0 è d’accumulazione per X;
II) esiste una successione {xn } di punti di X − {x0 } tale che:
lim xn = x0 .
n→+∞
Definizione 5.4.6. Un punto x0 ∈ X − DrX si dice punto isolato di X.
Si noti che x0 ∈ X è un punto isolato di X se e solo se esiste I ∈ =(x0 )
tale che X ∩ I = {x0 }.
Definizione 5.4.7. Un punto x0 ∈ X si dice punto interno ad X se esiste
I ∈ =(x0 ) tale che I ⊆ X. L’insieme dei punti interni ad X si chiama
◦
interno di X e si denota con X .
122CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
Definizione 5.4.8. Un punto x0 6∈ X si dice punto esterno ad X se x0 è
◦
interno a Y = R − X, i.e., x0 ∈ Y .
Definizione 5.4.9. Un punto x0 ∈ R si dice punto di frontiera per X se x0
non è né interno né esterno ad X, i.e., ∀I ∈ =(x0 ) risulta:
X ∩ I 6= ∅,
(R − X) ∩ I 6= ∅.
L’insieme dei numeri reali che sono di frontiera per X si dice frontiera di
X e si denota con uno dei simboli F rX, ∂X.
Esempi.
◦
1. Se X = N allora X = ∅ e F rX = N.
◦
2. Se X = Q allora X = ∅ e F rX = R.
◦
3. Se X = [0, 1[∪{3} allora X =]0, 1[ e F rX = {0, 1, 3}.
Definizione 5.4.10. L’insieme X ∪ DrX si chiama chiusura di X e si
denota con il simbolo X.
Definizione 5.4.11. Un sottoinsieme C di R si dice chiuso se contiene il
proprio derivato, i.e. DrC ⊆ C.
Ovviamente:
C è chiuso
⇐⇒
C = C.
Esempi.
a) Se X = {1, 2}, allora DrX = ∅ ⊆ X, quindi X = X.
b) Se X = [0, 1], allora DrX = [0, 1] = X, quindi X = X.
c) Se X = [0, 1[, allora DrX = [0, 1] 6⊆ X, quindi X non è chiuso.
5.5. SUCCESSIONI ESTRATTE
123
d) Se X = [0, +∞[, allora DrX = [0, +∞[= X, quindi X = X.
e) Se X = R, allora DrX = R = X, quindi X = X.
f ) Se X = ∅, allora DrX = ∅ = X, quindi X = X.
Definizione 5.4.12. Un sottoinsieme A di R si dice aperto se il suo complementare, R − A, è chiuso.
Si osservi che, per quanto è stato visto negli esempi e) e f ), R e il ∅
sono insiemi sia aperti che chiusi; essi sono gli unici sottoinsiemi di R
contemporaneamente aperti e chiusi.
5.5
Successioni estratte.
Definizione 5.5.1. Sia {an } una successione numerica. Se {nk } è una
successione strettamente crescente di numeri naturali, allora la successione:
{ank },
si chiama successione estratta da {an } o sottosuccessione di {an }.
Considerata la successione {an }, sono sottosuccessioni di {an } le successioni {a2k−1 } e {a2k } costituite, risp., dagli elementi di {an } aventi indici
dispari e dagli elementi di {an } aventi indici pari.
Nota - Osserviamo che, se {nk } è una successione strettamente crescente
di numeri naturali, allora:
lim nk = +∞.
k→+∞
Infatti, dall’appartenenza di n1 ad N si ha n1 ≥ 1 ed essendo n2 > n1 , si
ha che n2 ≥ 2; quindi, essendo n3 > n2 , si ha che n3 ≥ 3. Iterando questo
ragionamento si ottiene che:
nk ≥ k,
∀k ∈ N,
124CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
da cui segue l’asserto.
Si può dimostrare che:
Proposizione 5.5.2. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
1. La successione {an } è regolare e risulta:
lim an = l;
n→+∞
2. Qualunque sia la successione {ank } estratta da {an } risulta:
lim ank = l;
k→+∞
3. Le successioni {a2k−1 } e {a2k } estratte da {an } sono regolari e risulta:
lim a2k−1 = lim a2k = l.
k→+∞
k→+∞
Proposizione 5.5.3. Le condizioni seguenti sono vere:
I) Se la successione {an } è limitata, allora esiste una successione {ank }
estratta da {an } convergente.
II) Se la successione {an } non è limitata inferiormente (risp. superiormente) allora esiste una successione {ank } estratta da {an } divergente
negativamente (risp. positivamente).
Teorema 5.5.4. (Criterio di Cauchy per le successioni)
La successione {an } è convergente se e solo se:
∀ε > 0 ∃νε : m, n > νε ⇒ | am − an |< ε.
(5.24)
5.6. COMPATTI DI R
5.6
125
Compatti di R.
Definizione 5.6.1. Un sottoinsieme X di R si dice compatto quando è
chiuso e limitato.
Esempi.
1. Ogni intervallo chiuso e limitato di R è compatto.
2. Ogni sottoinsieme finito di R è compatto.
3. I seguenti insiemi non sono compatti:
X={
1
: n ∈ N},
n
Y = [0, 1[,
W = [0, +∞[.
Infatti, X è limitato ma non è chiuso in quanto 0 ∈ DrX − X; Y
è limitato ma non è chiuso in quanto 1 ∈ DrY − Y ; W è chiuso in
quanto DrW = W ma non è limitato.
Si dimostra che:
Proposizione 5.6.2. X è compatto se e solo se da ogni successione di punti
di X se ne può estrarre una convergente ad un punto di X.
Proposizione 5.6.3. Ogni compatto di R è dotato di minimo e di massimo.
126CAPITOLO 5.
SUCCESSIONI NUMERICHE ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA
Capitolo 6
Funzioni reali di una
variabile reale: limiti e
continuità
6.1
Limiti delle funzioni reali di una variabile reale.
∧
Definizione 6.1.1. Siano X un sottoinsieme di R, x0 ∈ R un punto d’ac∧
cumulazione per X, f una funzione da X in R e l ∈ R. Il punto l si dice
limite per x che tende ad x0 della funzione f , e si scrive:
lim f (x) = l,
x→x0
(6.1)
se:
∀J(l) ∃ I(x0 ) : x ∈ (X − {x0 }) ∩ I =⇒ f (x) ∈ J.
(6.2)
Se l ∈ R si dice che f converge ad l in x0 ; in particolare, se l = 0 la funzione
f si dice infinitesima in x0 . Se l = +∞ (risp. l = −∞) si dice che f diverge
positivamente (risp. negativamente) in x0 .
In ognuno dei suddetti casi la f si dice regolare in x0 .
127
128CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Nel capitolo precedente abbiamo visto che la successione {an } ha limite
∧
l ∈ R se e solo se:
∀J(l) ∃ I(+∞) : n ∈ N ∩ I =⇒ an ∈ J;
(6.3)
si noti la stretta analogia tra la (6.2) e la (6.3).
Analizziamo qualche caso particolare della (6.2).
1) Se x0 ∈ R e l ∈ R allora la (6.2) possiamo scriverla come segue:
∀ > 0 ∃δ > 0 : x ∈ (X − {x0 })∩]x0 − δ , x0 + δ [ =⇒
=⇒ f (x) ∈]l − , l + [,
(6.4)
o, equivalentemente:
∀ > 0 ∃δ > 0 : x ∈ X e 0 <| x − x0 |< δ =⇒
=⇒| f (x) − l |< .
(6.5)
2) Se x0 ∈ R e l = +∞ allora la (6.2) possiamo scriverla come segue:
∀K > 0 ∃δK > 0 : x ∈ X e 0 <| x − x0 |< δK =⇒
=⇒ f (x) > K.
(6.6)
3) Se x0 ∈ R e l = −∞ allora la (6.2) possiamo scriverla come segue:
∀K > 0 ∃δK > 0 : x ∈ X e 0 <| x − x0 |< δK =⇒
=⇒ f (x) < −K.
(6.7)
4) Se x0 = +∞ e l ∈ R allora la (6.2) possiamo scriverla come segue:
∀ > 0 ∃M > 0 : x ∈ X e x > M =⇒| f (x) − l |< .
(6.8)
5) Se x0 = +∞ e l = +∞ allora la (6.2) possiamo scriverla come segue:
∀K > 0 ∃MK > 0 : x ∈ X e x > MK =⇒ f (x) > K.
(6.9)
6) Se x0 = −∞ e l = +∞ allora la (6.2) possiamo scriverla come segue:
∀K > 0 ∃MK > 0 : x ∈ X e x < −MK =⇒ f (x) > K.
(6.10)
6.1. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI ...
129
Esempi.
1. Proviamo che:
lim
x→+∞
Osservato che la funzione f (x) =
1
= 0.
x
1
x
è definita nell’insieme X = R−{0},
facendo riferimento alla (6.8) dobbiamo provare che:
∀ε > 0 ∃Mε > 0 : x ∈ X e x > Mε
1
< ε.
x
=⇒
Qualunque sia ε > 0 si ha che:
1
<ε
x
⇐⇒
1
x> ,
ε
quindi, basta scegliere Mε = 1ε .
2. Proviamo che:
5 = +∞.
x→3 x − 3
5 Osservato che la funzione f (x) = x−3
è definita nell’insieme X =
lim R − {3}, facendo riferimento alla (6.6) dobbiamo provare che:
5 (∀K > 0 ∃δK > 0 : x ∈ X e 0 <| x−3 |< δK ) =⇒ > K.
x−3
Qualunque sia K > 0, si ha che:
5 5
> K ⇐⇒ x 6= 3 e | x−3 |<
x−3
K
quindi, basta scegliere δK =
⇐⇒
0 <| x−3 |<
5
,
K
5
K.
Teorema 6.1.2. (Teorema sull’unicità del limite)
Se f : X → R è dotata di limite nel punto x0 , allora tale limite è unico.
Dimostrazione. Supponiamo che nel punto x0 la funzione f abbia due limiti,
l0 e l00 . Proviamo il teorema nel caso in cui x0 , l0 , l00 ∈ R, in modo analogo si
provano gli altri casi.
130CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Fissato un arbitrario ε > 0, essendo l0 e l00 limiti di f in x0 , si ha che:
ε
∃δε0 : | f (x) − l0 |< ,
2
∀x ∈ (X − {x0 })∩]x0 − δε0 , x0 + δε0 [
ε
∃δε00 : | f (x) − l00 |< ,
2
∀x ∈ (X − {x0 })∩]x0 − δε00 , x0 + δε00 [.
Conseguentemente, posto δε = min{δε0 , δε00 }, qualunque sia x appartenente a
(X − {x0 })∩]x0 − δε , x0 + δε [ si ha che:
|l0 − l00 | = |l0 − f (x) + f (x) − l00 | ≤ |l0 − f (x)| + |f (x) − l00 | < ε,
quindi, per l’arbitrarietà di ε > 0, segue che l0 = l00 .
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
Utile per il seguito è la seguente proposizione, già vista nel Capitolo 5:
∧
Proposizione 6.1.3. Se x0 ∈ R è un punto d’accumulazione per X, allora
esiste una successione {xn } tale che:
xn ∈ X − {x0 }, ∀n ∈ N,
e
lim xn = x0 .
n→+∞
(6.11)
Definizione 6.1.4. Una successione {xn } soddisfacente la (6.11) si dice
successione di punti di X approssimante x0 .
Teorema 6.1.5. (Teorema fondamentale sulla regolarità di una funzione in un punto) Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto d’accumulazione per X e f : X → R. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
i) f è regolare nel punto x0 ed ha limite l;
ii) qualunque sia la successione {xn } di punti di X approssimante x0 ,
risulta:
lim f (xn ) = l.
n→+∞
6.1. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI ...
131
Dimostrazione. Proviamo che: i) ⇒ ii).
Considerata una qualunque successione {xn } di punti di X approssimante x0 , l’asserto sarà provato se mostreremo che, fissato un generico intorno
J di l esiste un ν tale che:
n > ν =⇒ f (xn ) ∈ J.
(6.12)
Relativamente all’intorno J di l, dalla i) esiste un intorno I di x0 tale che:
x ∈ (X − {x0 }) ∩ I =⇒ f (x) ∈ J;
(6.13)
ora, relativamente ad I, essendo {xn } una successione di punti di X approssimante x0 , si ha che esiste un ν tale che:
n > ν =⇒ xn ∈ (X − {x0 }) ∩ I,
conseguentemente, dalla (6.13) si ha che:
n > ν =⇒ f (xn ) ∈ J.
La (6.12) è cosı̀ provata.
Proviamo che: ii) ⇒ i).
Tanto per fissare le idee, supponiamo che x0 , l ∈ R; in modo analogo si
provano gli altri casi.
Per provare la i) bisogna far vedere che:
∀ε > 0 ∃δε > 0 : x ∈ X − {x0 } ∩]x0 − δε , x0 + δε [⇒| f (x) − l |< ε. (6.14)
Supponiamo che la (6.14) non sia verificata; allora, esiste un ε > 0 tale che:
∀δ > 0 ∃xδ ∈ X − {x0 } ∩]x0 − δ, x0 + δ[ : | f (xδ ) − l |≥ ε.
(6.15)
Qualunque sia n ∈ N, posto δn = n1 , dalla (6.15) si ha che:
1
1
∃xn ∈ X − {x0 } ∩]x0 − , x0 + [ : | f (xn ) − l |≥ ε.
n
n
(6.16)
132CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Conseguentemente, la {xn } è una successione di punti di X approssimante
x0 ed inoltre:
lim f (xn ) 6= l,
n→+∞
in contrasto con la ii).
Il teorema è cosı̀ provato.
Proposizione 6.1.6. La funzione f è infinitesima in un punto se e solo se
lo è il suo modulo | f |.
Dimostrazione. Basta osservare che:
f (x) ∈] − ε, ε[ ⇐⇒
| f (x) |∈] − ε, ε[.
Proposizione 6.1.7. Se f è regolare in x0 , allora:
lim f (x) = l =⇒ lim | f (x) |=| l | .
x→x0
x→x0
Dimostrazione. Se l ∈ R, basta osservare che || f (x) | − | l ||≤| f (x) − l |.
In modo altrettanto banale si prova l’asserto quando l = −∞ e l = +∞.
E’ immediato provare che:
Proposizione 6.1.8. Se f è una funzione convergente in un punto x0 allora
f è limitata in un intorno di tale punto.
Teorema 6.1.9. (Teorema del confronto 1)
Siano X un sottoinsieme di R e x0 un punto d’accumulazione per X. Se
f , g e h sono tre funzioni reali definite in X soddisfacenti le seguenti due
condizioni:
i) esiste un I ∈ =(x0 ) tale che:
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x),
∀x ∈ I ∩ (X − {x0 }),
(6.17)
6.1. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI ...
133
i)
lim f (x) = lim h(x) = l ∈ R,
x→x0
x→x0
(6.18)
allora:
lim g(x) = l.
x→x0
Dimostrazione. A norma del Teorema 6.1.5, l’asserto sarà provato se mostreremo che per ogni successione {xn } di punti di X approssimante x0 risulta:
lim g(xn ) = l.
n→+∞
Considerata una generica successione {xn } di punti di X approssimante x0 ,
dalla (6.18) e dal Teorema 6.1.5 segue che:
lim f (xn ) = lim h(xn ) = l,
n→+∞
n→+∞
(6.19)
inoltre, essendo {xn } approssimante x0 , relativamente all’intorno I di x0 ,
considerato nella i), esiste un νI tale che:
n > νI
⇒
xn ∈ (X − {x0 }) ∩ I.
Dunque, per la (6.17) si ha che:
f (xn ) ≤ g(xn ) ≤ h(xn ), ∀n > νI ,
cosı̀, per la (6.19) e per il Teorema 5.2.10 segue l’asserto.
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
Esempio. - Provare che:
lim xsen
x→0
1
= 0.
x
Infatti, ∀x ∈ R − {0}, risulta:
1
0 ≤ xsen ≤| x |,
x
quindi, dal Teorema 6.1.9 segue l’asserto.
La dimostrazione del teorema seguente è analoga a quella del Teorema
6.1.9.
134CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Teorema 6.1.10. (Teorema del confronto 2)
Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto d’accumulazione per X, f e g
due funzioni reali definite in X. Se esiste un I ∈ =(x0 ) tale che:
f (x) ≤ g(x),
∀x ∈ I ∩ (X − {x0 }),
ed inoltre:
lim f (x) = +∞ (risp. lim g(x) = −∞),
x→x0
x→x0
allora:
lim g(x) = +∞ (risp. lim f (x) = −∞).
x→x0
x→x0
Dimostriamo, ora, il seguente:
Teorema 6.1.11. Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto d’accumulazione per X, f e g due funzioni reali definite in X e regolari in x0 . Se
risulta:
lim f (x) < lim g(x)
x→x0
x→x0
risp. lim f (x) > lim g(x) ,
x→x0
x→x0
(6.20)
allora:
∃ I ∈ =(x0 ) : x ∈ I ∩ (X − {x0 }) =⇒ f (x) < g(x) risp.f (x) > g(x) .
(6.21)
Dimostrazione. Posto:
lim f (x) = l1 ,
x→x0
lim g(x) = l2 ,
x→x0
per la (6.20) esiste l ∈ R tale che l1 < l < l2 .
Relativamente all’intervallo ] − ∞, l[∈ =(l1 ):
∃ I1 ∈ =(x0 ) : x ∈ I1 ∩ (X − {x0 })
=⇒
f (x) ∈] − ∞, l[,
=⇒
g(x) ∈]l, +∞[.
e relativamente all’intervallo ]l, +∞[∈ =(l2 ):
∃ I2 ∈ =(x0 ) : x ∈ I2 ∩ (X − {x0 })
6.1. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI ...
135
Conseguentemente, posto I(x0 ) = I1 (x0 ) ∩ I2 (x0 ), si ha che:
x ∈ I(x0 ) ∩ (X − {x0 })
=⇒
f (x) < l < g(x),
da cui segue la (6.21).
Un caso particolare del teorema appena dimostrato è il seguente:
Teorema 6.1.12. (Teorema della permanenza del segno)
Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto d’accumulazione per X, f una
funzione reale definita in X e regolare in x0 . Se risulta:
lim f (x) < 0 (risp. > 0),
(6.22)
x→x0
allora:
∃ I ∈ =(x0 ) : x ∈ I ∩ (X − {x0 })
=⇒
f (x) < 0 (risp. > 0).
(6.23)
Di facile verifica è la seguente:
Proposizione 6.1.13. Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto d’accumulazione per X, f e g due funzioni reali definite in X e regolari in x0 .
Se:
∃ I ∈ =(x0 ) : x ∈ I ∩ (X − {x0 })
f (x) ≤ g(x).
=⇒
(6.24)
allora:
lim f (x) ≤ lim g(x),
x→x0
(6.25)
x→x0
Osservazione - Vogliamo mostrare con un esempio che, se nella (6.24) si
mette la disuguaglianza stretta, non è detto che la disuguaglianza stretta
continui a valere anche nella (6.25). A tale scopo, basta considerare:
X =]0, +∞[,
1
f (x) = − ,
x
g(x) =
1
x
136CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
ed osservare che f (x) < g(x), ∀x ∈ X, ma:
lim f (x) = 0 = lim g(x).
x→+∞
x→+∞
Prima di passare alla nozione di limite sinistro e limite destro di una
funzione in un punto diamo la seguente:
Definizione 6.1.14. Siano x0 ∈ R e X ⊆ R. Si chiama parte di X a destra
di x0 l’insieme:
Xx+ = X ∩ ]x0 , +∞[= {x ∈ X : x > x0 }.
0
Si chiama parte di X a sinistra di x0 l’insieme:
Xx− = X ∩ ] − ∞, x0 [= {x ∈ X : x < x0 }.
0
Esempio. - Sia X =]1, 2] ∪ {3}, si noti che:
X1+ =]1, 2] ∪ {3}, X1− = ∅, X2− =]1, 2[, X2+ = {3}, X3− =]1, 2], X3+ = ∅,
dunque 1 ∈ DrX1+ , 1 6∈ DrX1− , 2 ∈ DrX2− , 2 6∈ DrX2+ , 3 6∈ DrX3− ,
3 6∈ DrX3+ .
∧
Definizione 6.1.15. Siano f : X → R e x0 ∈ DrXx+ . Si dice che l ∈ R
0
è il limite per x che tende a x0 dalla destra della funzione f se l è il limite
per x che tende a x0 della restrizione di f a Xx+ , quindi:
0
lim f (x) = lim f/X
x→x0
x→x+
0
x+
0
(x) = l;
l si dice anche limite destro della funzione f nel punto x0 .
(Si ricordi che con il simbolo f/X
x+
0
all’insieme Xx+ .)
si denota la restrizione della funzione f
0
In modo analogo si definisce il limite per x che tende a x0 dalla sinistra
della funzione f :
l = lim f (x) = lim f/X
x→x−
0
x→x0
x−
0
(x);
l si dice anche limite sinistro della funzione f nel punto x0 .
6.1. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI ...
137
Di facile verifica è la seguente:
Proposizione 6.1.16. Siano x0 ∈ R e f : X → R. Valgono le seguenti
proposizioni:
1) Se x0 ∈ DrXx+ ∩ DrXx− , allora:
0
0
lim f (x) = l ⇐⇒ lim f (x) = lim f (x) = l.
x→x0
x→x−
0
x→x+
0
2) Se x0 ∈ DrXx+ − DrXx− , allora:
0
0
lim f (x) = l ⇐⇒ lim f (x) = l.
x→x0
x→x+
0
3) Se x0 ∈ DrXx− − DrXx+ , allora:
0
0
lim f (x) = l ⇐⇒ lim f (x) = l.
x→x0
x→x−
0
Esempi
a) Consideriamo la funzione f (x) =
(x−1)(x−4)
x(x−3)
ed osserviamo che f (x) è
definita nell’insieme X = R − {0, 3} e i punti 0 e 3 sono d’accumulazione
sia a destra che a sinistra per X. Calcoliamo i limiti destro e sinistro di
f nei punti 0 e 3:
lim
(x − 1)(x − 4)
= −∞,
x(x − 3)
lim
(x − 1)(x − 4)
= −∞,
x(x − 3)
x→0+
x→3+
b) Consideriamo la funzione f (x) =
lim
(x − 1)(x − 4)
= +∞,
x(x − 3)
lim
(x − 1)(x − 4)
= +∞.
x(x − 3)
x→0−
x→3−
x
x−1
√2
ed osserviamo che f (x) è
definita nell’insieme X =]−∞, 0]∪]1, +∞[ e il punto 1 è d’accumulazione
a destra per X. Osserviamo che:
lim
x→1+
x √2
= +∞.
x−1
c) Considerata la funzione:
f (x) =



 x


 2
se x ≤ 1
se x > 1,
138CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
osserviamo che:
lim f (x) = lim x = 1,
x→1−
x→1−
lim f (x) = lim 2 = 2.
x→1+
x→1+
Prima di passare al prossimo teorema richiamiamo la definizione di funzione monotona (crescente o decrescente).
Definizione 6.1.17. La funzione f : X → R si dice crescente (risp.decrescente) se, qualunque siano x1 , x2 ∈ X, vale l’implicazione seguente:
x1 < x2
f (x1 ) ≤ f (x2 )
=⇒
(risp. f (x1 ) ≥ f (x2 )).
Teorema 6.1.18. (Teorema sulla regolarità delle funzioni monotone) Siano X un sottoinsieme di R e f : X → R. Le seguenti proposizioni
sono vere:
i) Se x0 ∈ DrXx− allora:
0
lim f (x) =
x→x−
0













sup f (x)
x∈Xx−
se f è crescente in Xx−
0
0
(6.26)
inf f (x)
x∈Xx−
se f è decrescente in Xx− .
0
0
ii) Se x0 ∈ DrXx+ allora:
0
lim f (x) =
x→x+
0







inf f (x)
x∈Xx+
se f è crescente in Xx+
0
0




sup f (x)


x∈Xx+
se f è decrescente in Xx+ .
0
0
iii) Se X non è limitato superiormente, allora:


sup f (x)
se f è crescente in un intorno di +∞

 x∈X

lim f (x) =
x→+∞



 inf f (x)
se f è decrescente in un intorno di +∞.
x∈X
6.1. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI ...
139
iv) Se X non è limitato inferiormente, allora:
lim f (x) =
x→−∞


inf f (x)


 x∈X
se f è crescente in un intorno di −∞



 sup f (x)
se f è decrescente in un intorno di −∞.
x∈X
Dimostrazione. Proviamo la proposizione i), in modo analogo si provano le
altre proposizioni.
Dimostriamo la (6.26) nel caso in cui f è crescente, analogamente si
prova l’altro caso. Dunque, posto:
sup f (x) = l,
x∈Xx−
0
facciamo vedere che:
lim f (x) = l.
x→x−
0
Iniziamo col provare il caso in cui l ∈ R. Qualunque sia ε > 0, per la seconda
proprietà dell’estremo superiore:
∃ xε ∈ Xx− : l − ε < f (xε );
(6.27)
0
d’altro canto, per la crescenza di f in Xx− , si ha che:
0
f (xε ) ≤ f (x), ∀x ∈ Xx− ∩]xε , x0 [,
0
(6.28)
inoltre, per la prima proprietà dell’estremo superiore si ha:
f (x) ≤ l, ∀x ∈ Xx− .
(6.29)
0
Allora, dalle (6.27), (6.28) e (6.29) si ha che:
l − ε < f (xε ) ≤ f (x) ≤ l < l + ε, ∀x ∈ Xx− ∩]xε , x0 [,
0
da cui, per l’arbitrarietà di ε, segue l’asserto.
140CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Ora, passiamo al caso l = +∞. Qualunque sia K > 0, per la seconda
proprietà dell’estremo superiore:
∃ xK ∈ Xx− : f (xK ) > K,
(6.30)
0
d’altro canto, per la crescenza di f in Xx− si ha che:
0
f (x) ≥ f (xK ), ∀x ∈ Xx− ∩]xK , x0 [.
0
(6.31)
Conseguentemente dalle (6.30) e (6.31) segue che:
f (x) > K,
∀x ∈ Xx− ∩]xK , x0 [,
0
da cui, per l’arbitrarietà di K, si ha l’asserto.
Notiamo che, per ottenere l’asserto, sarebbe bastata la crescenza di f/X
in un intorno sinistro del punto x0 e non in tutto Xx− .
0
Il teorema è cosı̀ provato.
Esempi
a) Qualunque sia n ∈ N:
lim xn = +∞,
x→+∞
n
lim x =
x→−∞



 +∞
se n è pari


 −∞
se n è dispari.
b) Qualunque sia n ∈ N:
1
= 0.
x→±∞ xn
lim
Se n è pari:
lim
x→0
1
= +∞.
xn
x−
0
6.1. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI ...
141
Se n è dispari:
lim
x→0+
1
= +∞,
xn
lim
x→0−
1
= −∞,
xn
quindi
1
.
x→0 xn
6 ∃ lim
c) Qualunque sia α ∈ R:



 +∞ se α > 0
α
lim x =
x→+∞


 0
se α < 0 ,
d) Qualunque sia a ∈]0, +∞[−{1}:



 +∞ se a > 1
x
lim a =
x→+∞


 0 se a ∈]0, 1[,
e) Qualunque sia a ∈]0, +∞[−{1}:



 +∞ se a > 1
lim loga x =
x→+∞


 −∞ se a ∈]0, 1[,
α
lim x =
x→0+
lim a =



 0
se a > 1


 +∞ se a ∈]0, 1[.
lim loga x =
x→0+
se α > 0


 +∞ se α < 0 .
x
x→−∞



 0



 −∞ se a > 1


 +∞ se a ∈]0, 1[.
f ) Dalla stretta crescenza delle funzioni tgx e arctgx segue che:
lim tgx = +∞,
x→ π2 −
lim arctgx =
x→+∞
π
,
2
lim tgx = −∞.
x→ π2 +
π
lim arctgx = − .
x→−∞
2
142CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
6.2
Operazioni con i limiti.
Proposizione 6.2.1. Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto d’accumulazione per X, f e g due funzioni reali tali che:
lim f (x) = l1 ,
lim g(x) = l2 ,
x→x0
x→x0
(6.32)
∧
con l1 , l2 ∈ R. Allora, se l1 + l2 ha senso, risulta:
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x),
x→x0
x→x0
x→x0
(6.33)
e, se l1 · l2 ha senso, si ha:
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x).
x→x0
x→x0
Inoltre, se g(x) 6= 0 in un intorno di x0 e
x→x0
l1
l2
ha senso, allora:
lim f (x)
f (x)
x→x0
=
.
g(x)
lim g(x)
lim
x→x0
(6.34)
(6.35)
x→x0
La dimostrazione di questa proposizione è analoga a quella della Proposizione 5.3.1, relativa alle successioni.
Esempi.
1) Se an 6= 0, allora:
lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) =
x→−∞
= lim xn (an +
x→−∞
n
= lim an x =
x→−∞
a1
an−1
a0
+ ... + n−1 + n ) =
x
x
x



 an (+∞)
se n è pari


 a (−∞)
n
se n è dispari.
6.2. OPERAZIONI CON I LIMITI
143
2) Se an 6= 0, allora:
lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) =
x→+∞
= lim an xn =
x→+∞



 +∞ se an > 0


 −∞ se a < 0 .
n
3) Se an 6= 0 e bm 6= 0, allora:
an xn + ... + a1 x + a0
=
x→−∞ bm xm + ... + b1 x + b0
lim
=
an
lim xn−m
bm x→−∞
=













an
bm (−∞)
an
bm (+∞)
an
se
bm
0
se n > m e n − m è dispari,
se n > m e n − m è pari,
n = m,
se n < m .
4) Se an 6= 0 e bm 6= 0, allora:
an xn + ... + a1 x + a0
=
x→+∞ bm xm + ... + b1 x + b0
lim
=
an
lim xn−m
bm x→+∞
=




an
bm (+∞)
an
se
bm


 0
se n > m,
n = m,
se n < m .
√
5) Consideriamo la funzione f (x) = x + x2 − 1 ed osserviamo che f (x) è
definita nell’insieme X =] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[. Calcoliamo i limiti di f
in +∞ e in −∞:
p
lim (x + x2 − 1) = +∞,
x→+∞
√
√
p
(x + x2 − 1)(x − x2 − 1)
2
√
=
lim (x + x − 1) = lim
x→−∞
x→−∞
x − x2 − 1
x2 − x2 + 1
1
√
√
= lim
= 0.
x→−∞ x − x2 − 1
x→−∞ x − x2 − 1
= lim
144CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
6) Consideriamo la funzione f (x) =
√
3
x3 − 1 − x che è definita in R.
Calcoliamo i limiti di f in +∞ e in −∞:
lim (
x→±∞
p
3
x3 − 1 − x) =
p
√
√
( 3 x3 − 1 − x)( 3 (x3 − 1)2 + x 3 x3 − 1 + x2 )
p
√
= lim
=
x→±∞
( 3 (x3 − 1)2 + x 3 x3 − 1 + x2 )
= lim
x→±∞
6.3
(
p
3
x3 − 1 − x3
√
= 0.
(x3 − 1)2 + x 3 x3 − 1 + x2 )
Funzioni continue.
Definizione 6.3.1. Siano X ⊆ R e x0 ∈ X ∩ DrX. La funzione f : X → R
si dice continua in x0 se:
lim f (x) = f (x0 ),
x→x0
cioè, se:
∀ε > 0 ∃δε > 0 : x ∈ X e | x − x0 |< δε =⇒| f (x) − f (x0 ) |< ε.
Nota - C’è la convenzione che ogni funzione è continua nei punti isolati del
suo insieme di definizione.
Definizione 6.3.2. Siano X ⊆ R, Y ⊆ X e f : X → R. La funzione f si
dice continua in Y se è continua in ogni punto di Y .
Proposizione 6.3.3. Siano f1 , f2 : X → R. Se f1 e f2 sono continue nel
punto x0 di X allora sono continue in x0 anche le funzioni:
f1 + f2 ,
f1 · f2 ,
f1
f2
se f2 (x0 ) 6= 0.
6.3. FUNZIONI CONTINUE
145
Definizione 6.3.4. Siano f : X → R e x0 ∈ DrXx− (risp. x0 ∈ DrXx+ ).
0
0
Si dice che nel punto x0 la funzione f è continua a sinistra (risp. a destra)
se risulta:
lim f (x) = f (x0 )
x→x−
0
(risp. lim f (x) = f (x0 )).
x→x+
0
Esempi
1) Riconsideriamo la funzione:



 x
f (x) =


 2
se x ≤ 1
se x > 1,
ed osserviamo che:
lim f (x) = lim x = 1 = f (1),
x→1−
x→1−
lim f (x) = lim 2 = 2 6= f (1).
x→1+
x→1+
Quindi, nel punto 1 la funzione f è continua a sinistra ma non è continua
a destra.
2) Consideriamo la funzione parte intera f (x) = [x], x ∈ R (ricordiamo che
con il simbolo [x] si denota la parte intera del numero reale x). Si vede
facilmente che tale funzione è continua nei punti di (R − Z) ∪ {0}; nei
punti dell’insieme N la funzione è continua a destra e non continua a
sinistra; invece, nell’insieme degli interi negativi, la funzione è continua
a sinistra e non continua a destra.
Enunciamo il seguente:
Teorema 6.3.5. (Teorema inverso di Bolzano)
Siano X un sottoinsieme di R e f : X → R. Se f è monotona in X e f (X)
è un intervallo, allora f è continua in X.
Da questo teorema consegue la continuità, in ogni punto del loro insieme
di definizione, delle funzioni: potenza n-ma, radice n-ma, esponenziale, lo-
146CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
garitmo, potenza con esponente reale, seno, arcoseno, coseno, arcocoseno,
tangente, arcotangente, cotangente, arcocotangente.
Ad esempio, proviamo la continuità della funzione seno in tutto R.
Iniziamo con l’osservare che, la restrizione di tale funzione all’intervallo
[− π2 , π2 ]
è una funzione strettamente crescente e il suo codominio è l’intervallo
[−1, 1] quindi, per il Teorema inverso di Bolzano, tale restrizione è una
funzione continua; inoltre, la restrizione della funzione seno all’intervallo
[ π2 , 23 π] è una funzione strettamente decrescente e il suo codominio è ancora
l’intervallo [−1, 1] quindi, anche tale restrizione è una funzione continua.
Dunque, la funzione seno è continua nell’intervallo [− π2 , 32 π] di ampiezza 2π.
Essendo la funzione seno periodica di periodo 2π, si ha che tale funzione è
continua in tutto R.
6.4
Punti di discontinuità di una funzione.
Definizione 6.4.1. Siano X ⊆ R, x0 ∈ X ∩ DrX e f : X → R. Si dice
che la funzione f ha una discontinuità eliminabile nel punto x0 se:
lim f (x) = l ∈ R − {f (x0 )}.
x→x0
Considerata la funzione:



 f (x)
g(x) =


 l
(6.36)
se x 6= x0
se x = x0 ,
se è verificata la (6.36) risulta:
lim g(x) = lim f (x) = l = g(x0 ),
x→x0
x→x0
quindi, la funzione g è continua in x0 e si dice prolungamento continuo di
f in x0 .
6.4. PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE
147
Definizione 6.4.2. Siano X ⊆ R, x0 ∈ X ∩ DrX e f : X → R . Si dice
che la funzione f ha una discontinuità di prima specie nel punto x0 se:
lim f (x) = l2 ∈ R,
lim f (x) = l1 ∈ R,
x→x−
0
x→x+
0
(6.37)
e l1 6= l2 .
Definizione 6.4.3. Siano X ⊆ R, x0 ∈ X ∩DrX e f : X → R discontinua
in x0 . Si dice che la funzione f ha una discontinuità di seconda specie nel
punto x0 se la discontinuità di f in x0 non è né eliminabile né di prima
specie.
Esempi.
a) Per la funzione parte intera f (x) = [x], x ∈ R, i punti x ∈ Z − {0} sono
tutti punti di discontinuità di prima specie.
b) Consideriamo la funzione:



 x
f (x) =


 logx
se x ≤ 0
se x > 0,
ed osserviamo che:
lim f (x) = lim x = 0,
x→0−
x→0−
lim f (x) = lim logx = −∞,
x→0+
x→0+
quindi, il punto 0 è un punto di discontinuità di seconda specie.
b) Consideriamo la funzione:



 0
f (x) =


 1
se x ∈ Q
se x ∈ R − Q,
ed osserviamo che tale funzione è discontinua in ogni punto di R e in
tali punti la f ha tutte discontinuità di seconda specie in quanto non
esiste né il limite sinistro né il limite destro.
148CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
6.5
Limite di una funzione composta.
Teorema 6.5.1. (Teorema sul limite di una funzione composta) Siano X e Y due sottoinsiemi di R, x0 un punto d’accumulazione per X, y0
un punto d’accumulazione per Y . Siano f : X −→ Y e g : Y −→ R due
funzioni tali che:
lim g(y) = l.
lim f (x) = y0 ,
y→y0
x→x0
Se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
1) g è continua in y0 ,
2) esiste un intorno I di x0 tale che f (x) 6= y0 , ∀x ∈ (X − {x0 }) ∩ I,
allora g ◦ f è regolare in x0 e risulta:
lim g(f (x)) = l.
x→x0
(6.38)
Osservazione - Con un esempio proviamo che, se non è soddisfatta né la
1) né la 2), non è detto che valga la (6.38). A tale scopo, si considerino la
funzione f (x) = 1, ∀x ∈ R, e la funzione:


se y ∈ R − {1}
 2y

g(y) =


 3
se y = 1.
Posto x0 = 0 e y0 = 1, risulta:
lim f (x) = 1,
x→0
lim g(y) = 2.
y→1
D’altro canto, essendo g(f (x)) = g(1) = 3, si ha che:
lim g(f (x)) = 3 6= 2,
x→0
da cui segue l’asserto.
6.5. LIMITE DI UNA FUNZIONE COMPOSTA
149
Corollario 6.5.2. Siano X e Y due sottoinsiemi di R, x0 ∈ X. Se f è una
funzione da X in Y continua in x0 e g è una funzione da Y in R continua
in y0 = f (x0 ), allora g ◦ f è continua in x0 .
Corollario 6.5.3. Siano {an } una successione di punti di Y convergente al
punto y0 ∈ Y e g : Y −→ R continua in y0 , allora:
lim g(an ) = g
n→+∞
lim an = g(y0 ).
n→+∞
Esempi.
a) Calcolare il limite seguente:
lim log
x→+∞
x2 − 1 .
x2 − x + 1
Osserviamo che:
x2 − 1
= 1,
x→+∞ x2 − x + 1
lim
inoltre, logy è continua in 1 quindi per il Teorema sul limite di una
funzione composta si ha:
lim log
x→+∞
x2 − 1 = log1 = 0.
x2 − x + 1
b) Proviamo che:
2
lim 5 π arctg(log(x
3 −8))
x→2+
1
= .
5
Osserviamo che:
x → 2+ ⇒ x3 −8 → 0+ ⇒ log(x3 −8) → −∞ ⇒ arctg(log(x3 −8)) → −
quindi
2
5 π arctg(log(x
3 −8))
2
π
1
→ 5 π (− 2 ) = 5−1 = .
5
π
2
150CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
c) Provare che:
1
lim log2 (8x + arcsen3 (1 − x 5 )) = 3.
x→1
d) Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni e calcolare i
limiti nei loro punti critici :
2
.
1) f (x) = log xx2−x
+1
2) f (x) =
1
π
−arctg x1
4
.
1
3) f (x) = e x2 −1 .
x
4) f (x) = arctg x+1
.
Proposizione 6.5.4. Siano f : X1 −→ R, g : X2 −→ R e x0 un punto
d’accumulazione per X = {x ∈ X1 ∩ X2 : f (x) > 0}. Se:
lim f (x) = l1 ∈]0, +∞[
x→x0
lim g(x) = l2 ∈ R,
e
x→x0
allora:
lim f (x)
g(x)
x→x0
= (l1 )l2 .
Esempio. - Usufruendo della Proposizione 6.5.4 si ottiene immediatamente
che:
lim logx
x→3
1
x
1
= (log3) 3 .
Proposizione 6.5.5. Siano f : X1 −→ R, g : X2 −→ R e x0 un punto
d’accumulazione per X = {x ∈ X1 ∩ X2 : f (x) > 0, g(x) > 0, g(x) 6= 1}.
Se:
lim f (x) = l1 ∈]0, +∞[
x→x0
e
lim g(x) = l2 ∈ ]0, 1[∪]1, +∞[ ,
x→x0
allora:
lim logg(x) f (x) = logl2 l1 =
x→x0
log l1
.
log l2
6.6. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
6.6
151
Teoremi sulle funzioni continue.
Lemma 6.6.1. Ogni sottoinsieme compatto di R è dotato di minimo e di
massimo.
Dimostrazione. Sia Y un sottoinsieme compatto di R. Proviamo che Y è
dotato di minimo, in modo analogo si prova che Y è dotato di massimo.
Essendo Y limitato si ha che:
inf Y = e0 ∈ R,
(6.39)
quindi, l’asserto sarà provato se mostreremo che e0 ∈ Y .
A norma della seconda proprietà caratteristica dell’estremo inferiore si
ha che:
∀ε > 0
∃yε ∈ Y : yε < e0 + ε.
(6.40)
Dalla (6.40) segue che:
∀n ∈ N
∃ yn ∈ Y : yn < e0 +
1
,
n
conseguentemente, sfruttando la prima proprietà caratteristica dell’estremo
inferiore si ha che:
e0 ≤ yn < e0 +
1
,
n
∀n ∈ N.
Allora, a norma del teorema del confronto, la successione {yn } converge ad
e0 ;inoltre, per la compattezza di Y , si ha che e0 ∈ Y .
L’asserto è cosı̀ dimostrato.
152CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Teorema 6.6.2. (Teorema di Weierstrass)
Se X è un sottoinsieme compatto di R e f : X → R è una funzione continua,
allora f (X) è compatto ed inoltre:
¯ ∈ X : f (x̄) = min f (x),
∃ x̄, x̄
x∈X
¯) = max f (x).
f (x̄
x∈X
(6.41)
Dimostrazione. Una volta provato che f (X) è compatto, la (6.41) segue dal
Lemma 6.6.1.
Per dimostrare che f (X) è compatto basta far vedere che da ogni successione di punti di f (X) se ne puó estrarre una convergente ad un punto
di f (X). Sia {yn } una successione di punti di f (X). Denotiamo con {xn }
una successione di punti di X tale che f (xn ) = yn , ∀n ∈ N.
Dalla compattezza di X consegue l’esistenza di una successione {xnk }
estratta da {xn } tale che:
lim xnk = x0 ∈ X.
k→+∞
Ora, considerata la successione {f (xnk )} estratta da {f (xn )} osserviamo
che, grazie alla continuità di f , risulta:
lim f (xnk ) = f (x0 ),
k→+∞
quindi, dall’appartennza di x0 ad X, segue la convergenza di {f (xnk )} al
punto f (x0 ) di f (X).
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
Teorema 6.6.3. (Teorema degli zeri)
Se f : [a, b] → R è una funzione continua che assume valori di segno opposto
nei punti a e b, allora esiste un α ∈]a, b[ tale che:
f (α) = 0.
(6.42)
Dimostrazione. Supponiamo, tanto per fissare le idee, che f (a) < 0 < f (b).
6.6. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
Considerato il punto medio c =
a+b
2
153
di [a, b], se f (c) = 0 l’asserto è dimo-
strato. In caso contrario, posto:


 [a, c] se f (c) > 0

[a1 , b1 ] =


 [c, b] se f (c) < 0,
e osservato che f (a1 ) < 0 < f (b1 ), rifacciamo per [a1 , b1 ] lo stesso discorso
fatto per [a, b]. Infatti, considerato il punto medio c1 =
a1 +b1
2
di [a1 , b1 ], se
f (c1 ) = 0 l’asserto è dimostrato; in caso contrario, poniamo:



 [a1 , c1 ] se f (c1 ) > 0
[a2 , b2 ] =


 [c , b ]
1 1
se f (c1 ) < 0.
Iterando questo procedimento, si ottiene una successione {[an , bn ]} strettamente decrescente di intervalli contenuti in [a, b] tale che, per ogni n ∈ N
risulta:
bn − an =
b−a
,
2n
f (an ) < 0 < f (bn ).
Ovviamente la successione {an } è crescente e limitata, quindi:
lim an = sup an = α ∈ R;
n→∞
n
inoltre, essendo bn = an +
b−a
2n ,
si ha che:
lim bn = lim an +
n→∞
n→∞
b − a
= α.
2n
Infine, per ogni n ∈ N, essendo f (an ) < 0 < f (bn ) per la continuità di f si
ha:
f (α) = f
lim an = lim f (an ) ≤ 0,
n→∞
n→∞
da cui segue la (6.42).
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
f (α) = f
lim bn = lim f (bn ) ≥ 0,
n→∞
n→∞
154CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Teorema 6.6.4. (Teorema di Bolzano per le funzioni continue)
Se I è un intervallo di R ed f : I → R è una funzione continua, allora f
assume tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e il suo estremo
superiore, quindi f (I) è un intervallo.
Dimostrazione. Posto l0 = inf f (I), l00 = supf (I) e considerato un qualunque λ ∈]l0 , l00 [, proviamo che:
∃α ∈ I : f (α) = λ.
Per la seconda proprietà, sia dell’estremo inferiore che dell’estremo superiore, esistono x1 , x2 ∈ I tali che:
l0 ≤ f (x1 ) < λ < f (x2 ) ≤ l00 .
Posto:
a = min{x1 , x2 } e
b = max{x1 , x2 },
consideriamo la funzione:
g(x) = f (x) − λ,
x ∈ [a, b].
Ovviamente g è continua in [a, b]; inoltre, risulta g(x1 ) = f (x1 ) − λ < 0
e g(x2 ) = f (x2 ) − λ > 0, quindi:
g(a)g(b) = g(x1 )g(x2 ) < 0.
Conseguentemente, per il Teorema degli zeri, esiste un α ∈]a, b[ tale che
0 = g(α) = f (α) − λ, cioè f (α) = λ.
L’asserto è cosı̀ dimostrato.
Si può dimostrare che:
Teorema 6.6.5. Se I è un intervallo di R ed f : I −→ R è una funzione
continua, allora le condizioni seguenti sono equivalenti:
1) f è invertibile in I.
2) f è strettamente monotona in I.
6.6. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
155
Teorema 6.6.6. Siano I un intervallo di R ed f : I → R. Se f è una
funzione continua e invertibile in I, allora f −1 è continua in f (I).
Dimostrazione. Essendo f continua e invertibile in I, per il Teorema 6.6.5,
f è strettamente monotona in I. Allora f −1 è strettamente monotona e il
suo codominio I è un intervallo; quindi, per il Teorema inverso di Bolzano,
f −1 è continua in f (I).
Teorema 6.6.7. (Criterio di Cauchy per le funzioni)
Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto d’accumulazione per X e
f : X −→ R.
Le proposizioni seguenti sono equivalenti:
1) f è convergente nel punto x0 .
2) ∀ε > 0 ∃Iε (x0 ) : x0 , x00 ∈ Iε (x0 ) ∩ (X − {x0 }) ⇒| f (x0 ) − f (x00 ) |< ε.
Corollario 6.6.8. Siano X un sottoinsieme di R, x0 ∈ X ∩ Dr(X) e f una
funzione reale definita in X. Le proposizioni seguenti sono equivalenti:
1) f è continua nel punto x0 .
2) ∀ε > 0 ∃δε > 0 : x0 , x00 ∈ X∩]x0 − δε , x0 + δε [ ⇒| f (x0 ) − f (x00 ) |< ε.
Osservazione - Siano X un sottoinsieme di R e f : X → R. Dal Corollario
6.6.8 segue che f è una funzione continua in X se e solo se:
∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃δx,ε > 0 : x0 , x00 ∈ X∩ ]x − δx,ε , x + δx,ε [ ⇒
⇒| f (x0 ) − f (x00 ) |< ε.
(6.43)
Definizione 6.6.9. Siano X un sottoinsieme di R e f : X −→ R. f si dice
uniformemente continua in X se e solo se:
∀ε > 0 ∃δε > 0 : x0 , x00 ∈ X e | x0 − x00 |< δε ⇒| f (x0 ) − f (x00 ) |< ε. (6.44)
Dal confronto fra le (6.43) e (6.44) si capisce perché, quando è soddisfatta
la (6.44), si parla di continuità uniforme.
156CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Teorema 6.6.10. (Teorema di Cantor)
Se X è un sottoinsieme compatto di R e f : X −→ R è continua in X,
allora f è uniformemente continua in X.
Teorema 6.6.11. Sia f : X −→ R. Le proposizioni seguenti sono equivalenti:
1) f è uniformemente continua in X.
2) Qualunque siano le successioni {xn } e {yn } di punti di X tali che:
lim | xn − yn |= 0,
(6.45)
lim | f (xn ) − f (yn ) |= 0.
(6.46)
n
si ha che:
n
Esempi.
a) Proviamo che la funzione f (x) =
1
x
è uniformemente continua in
[1, +∞[.
L’asserto segue banalmente dalla definizione di funzione uniformemente continua visto che ∀x0 , x00 ∈ [1, +∞[ risulta:
0
x − x00 1
1
00
0
| f (x ) − f (x ) |= 00 − 0 = 0 00 ≤ |x0 − x00 |.
x
x
xx
b) La funzione f (x) =
1
x
è continua ma non uniformemente continua in
]0, 1]. Infatti, considerate le successioni { n2 } e { n1 } di punti di ]0, 1],
risulta:
2
1 1
lim − = lim = 0,
n n
n n
n
d’altro canto:
n
n
2
1 =
lim
lim f
−f
−
n
=
lim
− = +∞;
n
n
n
n
n
2
2
quindi, dal Teorema 6.6.11 segue l’asserto.
6.6. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
157
c) La funzione f (x) = sen x1 è continua ma non uniformemente continua
1
1
} di punti
in ]0, 1]. Infatti, considerate le successioni { π +2nπ
}, { 3π +2nπ
2
2
di ]0, 1], risulta:
1
lim π
−
n + 2nπ
2
3π
2
1
= 0,
+ 2nπ d’altro canto, essendo sen π2 + 2nπ = 1 e sen 3π
2 + 2nπ = −1 si ha:
3π
π
lim sen
+ 2nπ − sen
+ 2nπ = 2;
n
2
2
quindi, dal Teorema 6.6.11 segue l’asserto.
d) La funzione f (x) = logx è continua ma non uniformemente continua
in ]0, 1]. Infatti, considerate le successioni { n2 } e { n1 } di punti di ]0, 1],
risulta:
2
1
1
lim − = lim = 0,
n n
n n
n
d’altro canto, essendo:
log
si ha:
2
2
1
− log = log n1 = log2,
n
n
n
2
1 lim log − log = log2;
n
n
n
quindi, dal Teorema 6.6.11 segue l’asserto.
158CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
6.7
Limiti fondamentali.
a) Proviamo che:
senx
= 1.
x
Se x ∈]0, π2 [, sappiamo che:
lim
(6.47)
x→0
senx ≤ x ≤ tgx,
da cui, dividendo tutto per senx si ottiene:
1≤
x
1
≤
,
senx
cosx
e cioè:
i πh
∀x ∈ 0,
.
(6.48)
2
Si noti che, se x ∈] − π2 , 0[ allora −x ∈ 0, π2 , quindi dalla (6.48) segue:
i π h
sen(−x)
cos(−x) ≤
≤ 1, ∀x ∈ − , 0 ,
−x
2
cosx ≤
senx
≤ 1,
x
conseguentemente, essendo la funzione coseno una funzione pari e la
funzione seno una funzione dispari, si ha che:
i π h
senx
cosx ≤
≤ 1, ∀x ∈ − , 0 .
x
2
(6.49)
Da (6.48) e (6.49) segue che:
i π h
i πh
senx
cosx ≤
≤ 1, ∀x ∈ − , 0 ∪ 0,
.
x
2
2
(6.50)
Dalla (6.50) e dal Teorema del confronto segue la (6.47).
Utilizzando la (6.47) calcoliamo qualche limite.
1)
senax
senax
bx
a a
= lim
·
·
= ,
x→0 senbx
x→0
ax
senbx b
b
lim
∀a, b ∈ R − {0}.
6.7. LIMITI FONDAMENTALI
159
2)
lim
x→+∞
xsen
sen x1
seny
1
= lim
= lim
= 1.
1
x→+∞
y→0 y
x
x
3)
lim
x→0
b)
arcsenx
arcsenx
y
= lim
= lim
= 1.
x→0
y→0
x
sen(arcsenx)
seny
Altri limiti fondamentali:
lim
x→0
lim
x→+∞
1+
1 − cosx
1
= .
x2
2
1 x
= e,
x
lim
x→−∞
(6.51)
1+
1 x
= e.
x
(6.52)
1
x
lim 1 + x
= e.
(6.53)
α x
= eα ,
x
∀α ∈ R.
(6.54)
1
loga (1 + x)
= loga e =
.
x→0
x
loga
(6.55)
ax − 1
= loga.
x→0
x
(6.56)
x→0
lim
x→+∞
1+
lim
lim
(1 + y)α − 1
= α,
y→0
y
lim
∀α ∈ R.
(6.57)
160CAPITOLO 6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: LIMITI ...
Esempio. - Sfruttando la (6.57) proviamo che:
√
1 + senx − 1
1
lim
= .
x→0
x
2
Infatti:
√
1 + senx − 1
lim
x→0
x
√1 + senx − 1 senx = lim
·
=
x→0
senx
x
√1 + y − 1 senx
1
= lim
· lim
= .
y→0
x→0 x
y
2
Capitolo 7
Calcolo differenziale per le
funzioni reali di una variabile
reale
7.1
Derivata di una funzione.
Siano X ⊆ R, f : X → R e x0 ∈ X ∩ Dr(X). La funzione:
g : x ∈ X − {x0 } −→
f (x) − f (x0 )
∈ R,
x − x0
si chiama rapporto incrementale di f relativo al punto x0 .
Definizione 7.1.1. Siano X ⊆ R, f : X → R e x0 ∈ X ∩ Dr(X). Se
esiste
lim g(x) = lim
x→x0
x→x0
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
allora tale limite si chiama derivata prima di f nel punto x0 e si denota con
uno dei simboli f 0 (x0 ) e Df (x0 ). La funzione f si dice derivabile in x0 se
f 0 (x0 ) ∈ R.
161
162
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
Proposizione 7.1.2. Se f è derivabile in x0 allora f è continua in x0 .
Dimostrazione. Basta osservare che, essendo f 0 (x0 ) ∈ R risulta:
f (x) − f (x0 )
lim (f (x) − f (x0 )) = lim
(x − x0 ) =
x→x0
x→x0
(x − x0 )
f (x) − f (x0 )
lim (x − x0 ) =
(x − x0 ) x→x0
= f 0 (x0 ) · 0 = 0,
= lim
x→x0
da cui segue la continuità di f in x0 .
Proviamo, con un esempio, che una funzione f può essere continua in un
punto ma non dotata di derivata in tale punto. A tale scopo, consideriamo
la funzione:
f (x) =| x | .
Ovviamente f è continua nel punto 0; d’altro canto, essendo:


se x > 0
 xx = 1,
f (x) − f (0)
|x| 
=
=

x−0
x

 −x = −1,
se x < 0,
x
si ha che:
lim
x→0+
f (x) − f (0)
= 1,
x−0
e
lim
x→0−
f (x) − f (0)
= −1,
x−0
quindi f non è dotata di derivata nel punto 0.
Definizione 7.1.3. Siano X ⊆ R, f : X → R e x0 ∈ X ∩ Dr(Xx+ ). Se
0
esiste
lim
x→x+
0
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
allora tale limite si chiama derivata destra della funzione f nel punto x0 e
si denota con il simbolo f+0 (x0 ). La funzione f si dice derivabile a destra in
x0 se f+0 (x0 ) ∈ R.
7.1. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
163
In modo analogo si definisce la derivata sinistra di f nel punto x0 .
Esempi.
a) La funzione f (x) =| x | è derivabile a sinistra e a destra nel punto 0 e
risulta f+0 (0) = 1, f−0 (0) = −1.
b) Consideriamo la funzione:
f (x) =



 2,


 1,
se x ≥ 0
se x < 0
ed osserviamo che:
f+0 (0) = lim
x→0+
2−2
f (x) − f (0)
= lim
= 0,
+
x−0
x
x→0
e
f−0 (0) = lim
x→0−
f (x) − f (0)
1−2
−1
= lim
= lim
= +∞.
−
−
x−0
x
x
x→0
x→0
Quindi, nel punto 0, f è derivabile a destra ed è dotata di derivata
sinistra.
Osservazione - Se x0 è un punto interno ad X, allora esiste un δ > 0 tale
che l’intervallo ]x0 − δ, x0 + δ[ è incluso in X quindi, posto h = x − x0 , si ha
che:
x ∈]x0 − δ, x0 + δ[−{x0 } ⇐⇒ 0 < |x − x0 | < δ ⇐⇒ h ∈] − δ, δ[−{0}.
Dall’uguaglianza h = x − x0 si ricava x = x0 + h; conseguentemente, il
rapporto incrementale di f relativo al punto x0 lo possiamo scrivere:
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
=
x − x0
h
allora:
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
,
h→0
x − x0
h
164
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
lim
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
,
x − x0
h
h→0+
lim
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
.
−
x − x0
h
h→0
x→x+
0
x→x−
0
7.2
1.
Derivate delle funzioni elementari.
Se c è una costante reale, la funzione f (x) = c, x ∈ R, è derivabile in
ogni punto x ∈ R e risulta f 0 (x) = 0.
Infatti, basta osservare che:
c−c
f (x + h) − f (x)
=
= 0.
h
h
2.
Considerata la funzione f (x) = xn , x ∈ R, proviamo che:
f 0 (x) = n xn−1 , x ∈ R.
Infatti, se x ∈ R − {0}, risulta:
h n
(1 + hx )n − 1
f (x + h) − f (x)
(x + h)n − xn
n−1 (1 + x ) − 1
=
= xn
=
x
;
h
h
h
h
x ·x
x
allora, ricordando (cfr. limiti fondamentali) che:
lim
h→0
(1 + hx )n − 1
h
x
= n,
si ha:
(1 + hx )n − 1
f (x + h) − f (x)
= lim xn−1
= nxn−1 .
h
h→0
h→0
h
x
f 0 (x) = lim
Invece, se x = 0 si ha che:
f (h) − f (0)
f (h)
hn
=
=
= hn−1 ,
h
h
h
quindi, se n = 1, si ha f 0 (0) = 1 e, se n 6= 1 si ha f 0 (0) = 0. L’asserto
è cosı̀ dimostrato.
7.2. DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
3.
165
Considerata la funzione f (x) = ax , x ∈ R, proviamo che:
f 0 (x) = ax loga, x ∈ R.
Infatti, per ogni x ∈ R, risulta:
f (x + h) − f (x)
ax+h − ax
ah − 1
=
= ax
;
h
h
h
allora, ricordando (cfr. limiti fondamentali) che:
ah − 1
= loga,
h→0
h
lim
si ha:
f 0 (x) = ax loga.
4.
Considerata la funzione f (x) = senx, x ∈ R, proviamo che:
f 0 (x) = cosx, x ∈ R.
Infatti, per ogni x ∈ R, risulta:
f (x + h) − f (x)
h
=
sen(x + h) − senx
=
h
=
senxcosh + senhcosx − senx
cosh − 1
senh
= senx
+ cosx
,
h
h
h
allora, essendo:
cosh − 1 cosh − 1
1
= lim
h = − · 0 = 0,
h→0
h→0
h
h2
2
lim
si ha:
lim
h→0
senh
= 1,
h
sen(x + h) − senx
= cosx.
h→0
h
f 0 (x) = lim
5.
Considerata la funzione f (x) = cosx, x ∈ R, in modo analogo a com’è
stato fatto in 4, si prova che:
f 0 (x) = −senx, x ∈ R.
166
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
6.
Considerata la funzione f (x) = xα , x ∈]0, +∞[, in modo analogo a
com’è stato fatto in 2, si prova che:
f 0 (x) = αxα−1 , x ∈]0, +∞[.
Si noti che, se α > 0 allora f (x) = xα è definita anche nel punto 0;
calcoliamo la derivata di tale funzione nel punto 0:


se α = 1

 1
α
h
α−1
0
= lim h
=
f (0) = lim
0
se α > 1

h→0+
h→0+ h

 +∞
se 0 < α < 1 .
In particolare, se α =
1
n
risulta:
√
D( n x) =




n
1
√
n n−1
x
se x > 0


 +∞
se x = 0 .
Enunciamo, ora, il seguente:
Teorema 7.2.1. (Teorema sulla derivabilità della funzione inversa)
Siano I un intervallo di R, f : I → R continua e invertibile, y un punto
dell’intervallo f (I). Se f è derivabile nel punto f −1 (y) di I, e la derivata
di f in tale punto è diversa da zero, allora f −1 è derivabile nel punto y e
risulta:
(f −1 )0 (y) =
1
[f 0 (x)]x=f −1 (y)
.
(7.1)
Esempi.
1. Usufruendo della (7.1) calcoliamo, qualunque sia y ∈]0, +∞[, la derivata della funzione loga y:
D(loga y) =
1
1
1
= x
=
.
[D(ax )]x=loga y
[a loga]x=loga y
yloga
7.3. REGOLE DI DERIVAZIONE
167
2. Usufruendo della (7.1) calcoliamo, qualunque sia y ∈]−1, 1[, la derivata
della funzione arcseny:
D(arcseny) =
1
[D(senx)]x=arcseny
=
1
[cosx]x=arcseny
=
1
1
1
=p
=p
.
=
2
cos(arcseny)
1 − sen (arcseny)
1 − y2
3. In modo analogo si vede che, qualunque sia y ∈] − 1, 1[, la derivata
della funzione arccosy è data da:
1
D(arccosy) = −p
.
1 − y2
Nel paragrafo 7.8 ci occuperemo delle derivate delle funzioni arcoseno e arcocoseno nei punti -1 e 1.
7.3
Regole di derivazione.
a) Se f è una funzione derivabile nel punto x, allora:
(cf (x))0 = cf 0 (x),
∀c ∈ R.
(7.2)
La verifica della (7.2) è immediata.
b) Se f e g sono funzioni derivabili nel punto x, allora:
(f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x).
Per provare la (7.3) basta osservare che:
f (x + h) + g(x + h) − (f (x) + g(x))
=
h
=
f (x + h) − f (x) + g(x + h) − g(x)
=
h
f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x)
+
,
h
h
e far tendere h a zero.
=
(7.3)
168
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
c) Se f e g sono funzioni derivabili nel punto x, allora:
(f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
(7.4)
Per provare la (7.4) basta osservare che:
f (x + h)g(x + h) − (f (x)g(x))
=
h
=
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) − f (x)g(x)
=
h
=
g(x + h) − g(x)
f (x + h) − f (x)
g(x + h) + f (x)
,
h
h
e far tendere h a zero.
Esempi.
1.
D(senxlogx) = cosxlogx + senx x1
2.
D(ex x5 ) = ex x5 + 5ex x4 .
7.3. REGOLE DI DERIVAZIONE
169
Teorema 7.3.1. (Teorema sulla derivabilità di una funzione composta) Siano X, Y ⊆ R, f : X → Y , g : Y → R. Se f è derivabile nel
punto x0 e g è derivabile in f (x0 ), allora g ◦ f è derivabile in x0 e risulta:
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ).
(7.5)
Dimostrazione. Posto y0 = f (x0 ) e considerata la funzione ausiliaria:

g(y)−g(y0 )

se y ∈ Y − {y0 }

y−y0

(7.6)
ϕ(y) =


 g 0 (y ) se y = y ,
0
0
dalla derivabilità di g in y0 segue la continuità di ϕ in y0 .
Iniziamo col provare la seguente uguaglianza:
g(f (x)) − g(f (x0 ))
f (x) − f (x0 )
= ϕ(f (x))
, ∀x ∈ X − {x0 }.
(7.7)
x − x0
x − x0
Infatti, fissato un x ∈ X − {x0 }, se risulta f (x) = f (x0 ) allora ϕ(f (x)) =
ϕ(f (x0 )) = g 0 (y0 ) ∈ R, quindi:
g(f (x)) − g(f (x0 ))
f (x) − f (x0 )
= 0 e ϕ(f (x))
= g 0 (y0 ) · 0 = 0,
x − x0
x − x0
dunque la (7.7) è verificata; se f (x) 6= f (x0 ) allora:
ϕ(f (x)) =
g(f (x)) − g(f (x0 ))
,
f (x) − f (x0 )
e anche in questo caso la (7.7) è banalmente verificata.
D’altro canto, per la continuità di ϕ in y0 = f (x0 ) e di f in x0 si ha:
lim ϕ(f (x)) = ϕ(f (x0 )) = g 0 (f (x0 )),
x→x0
quindi, dalla derivabilità di f in x0 segue:
f (x) − f (x0 ) lim ϕ(f (x))
= g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ).
x→x0
x − x0
Conseguentemente dalla (7.7) si ha:
f (x) − f (x0 ) g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ) = lim ϕ(f (x))
=
x→x0
x − x0
g(f (x)) − g(f (x0 ))
= (g ◦ f )0 (x0 ).
= lim
x→x0
x − x0
Il teorema è cosı̀ provato.
170
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
Esempi.
Negli esempi che seguono supponiamo che le funzioni f e g siano derivabili in x.
1. Proviamo che se g(x) è diversa da zero in un intorno del punto x e
g 0 (x) è diversa da zero in x allora:
f (x) 0 f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
=
.
g(x)
g 2 (x)
(7.8)
Infatti, basta osservare che:
f (x)
D
= D f (x)(g(x))−1 = f 0 (x)(g(x))−1 + f (x)(−1)(g(x))−2 g 0 (x) =
g(x)
=
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f 0 (x) f (x)g 0 (x)
−
=
.
g(x)
g 2 (x)
g 2 (x)
Utilizzando la (7.8) si ottiene che:
(a) D(tgx) = D( senx
cosx ) =
cosxcosx−senx(−senx)
cos2 x
=
1
cos2 x
= 1 + tg 2 x
(b) D(cotgx) = − sen12 x
(c) D(arctgy) =
1
[1+tg 2 x]x=arctgy
=
1
.
1+y 2
2. Proviamo che:
D | f (x) |
=

0


 f (x)
se f (x) > 0


 −f 0 (x)
se f (x) < 0.
(7.9)
Infatti, osservato che la funzione g(y) = |y|, y ∈ R, è derivabile in
R − {0} e la sua derivata è data da:


se y > 0

 1
D(g(y)) =


 −1 se y < 0,
l’asserto consegue dalla (7.5), visto che |f (x)| = g(f (x)).
7.3. REGOLE DI DERIVAZIONE
171
3. Proviamo che, se f (x) 6= 0 allora:
f 0 (x)
D log|f (x)| =
.
f (x)
(7.10)
Infatti, dalla (7.5) e dalla (7.9) si ha che:

1
0

se f (x) > 0

f (x) f (x)

1
D log|f (x)| =
D(|f (x)|) =

|f (x)|

 1 (−f 0 (x)) se f (x) < 0,
−f (x)
da cui l’asserto.
Dalla (7.10), qualunque sia x ∈ R − {0}, si ha che:
D(log|x|) =
1
.
x
4. Se f è una funzione positiva, dalla (7.5) segue che:
D((f (x))α ) = α(f (x))α−1 f 0 (x).
5. Usufruendo della (7.5) si ha che:
D af (x) = af (x) f 0 (x) loga.
D(senf (x)) = (cosf (x))f 0 (x).
D(cosf (x)) = (−senf (x))f 0 (x).
D(tgf (x)) =
f 0 (x)
= (1 + tg 2 f (x))f 0 (x).
cos2 f (x)
D(cotgf (x)) = −
D
p
n
f (x) =
f 0 (x)
.
sen2 f (x)
f 0 (x)
p
n n f n−1 (x)
f 0 (x)
D(arcsenf (x)) = p
1 − f 2 (x)
f 0 (x)
D(arccosf (x)) = −p
1 − f 2 (x)
D(arctgf (x)) =
f 0 (x)
1 + f 2 (x)
172
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
6. Vediamo qualche altro esempio:
D(sen(tgx)) = cos(tgx)
D(tg(logx)) =
1
.
cos2 x
1
cos2 logx
1
.
x
2
2
2
1
2
√
D((tgx) 3 ) = (tgx) 3 −1
=
.
3
cos2 x
3cos2 x 3 tgx
D(lg|arcsenx|) =
1
1
√
.
arcsenx 1 − x2
D(sen(log(5 − x)))3 = 3(sen(log(5 − x)))2 cos(log(5 − x))
1
(−1) =
5−x
2
sen(log(5 − x)) cos(log(5 − x))
= −3
.
5−x
D
p
n
log(sen2 x)
=
1
q
n n log(sen2 x)
=
1
n−1 sen2 x 2senxcosx =
2
n−1 .
tgx n n log(sen2 x)
q
Calcoliamo, ora, le derivate delle seguenti funzioni composte:
(f (x))g(x) ,
logg(x) f (x).
Ricordiamo che, se f : X1 → R e g : X2 → R, allora la funzione (f (x))g(x) è
definita nell’insieme H1 = {x ∈ X1 ∩X2 : f (x) > 0} e la funzione logg(x) f (x)
è definita nell’insieme H2 = {x ∈ X1 ∩ X2 : f (x) > 0, g(x) > 0, g(x) 6= 1}.
7.3. REGOLE DI DERIVAZIONE
173
Se x ∈ H1 è un punto di derivabilità per le funzioni f e g, allora:
D((f (x))g(x) ) = D elogf (x)
g(x)
=
= D eg(x)logf (x) = eg(x)logf (x) D(g(x)logf (x)) =
= f (x)g(x) g 0 (x)logf (x) + g(x)
f 0 (x) .
f (x)
Se x ∈ H2 è un punto di derivabilità per le funzioni f e g, allora:
logf (x) D(logg(x) f (x)) = D
=
log(g(x))
f 0 (x)
g 0 (x)
f (x) log(g(x)) − logf (x) g(x)
.
log 2 g(x)
Esempi.
1. Consideriamo la funzione xx , essa è definita in ]0, +∞[ e in tale intervallo la sua derivata vale:
1
D(xx ) = D(exlogx ) = exlogx (logx + x ) = xx (logx + 1).
x
2. Consideriamo la funzione logx arctgx, essa è definita in ]0, +∞[−{1} e
in tale insieme la sua derivata vale:
D(logx arctgx) = D(
log(arctgx)
)=
logx
1
1+x2
arctgx logx
− log(arctgx) x1
log 2 x
.
174
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
7.4
Interpretazione geometrica della derivata.
Sia π un piano orientato, nel quale sia stato scelto come verso positivo di
rotazione il verso antiorario. Sia Oxy un sistema di riferimento cartesiano
ortogonale di π.
Considerati i punti P0 = (x0 , y0 ) e P1 = (x1 , y1 ), ricordiamo che una
coppia di numeri direttori della retta r passante per P0 e P1 è data da:
(x1 − x0 , y1 − y0 );
dunque le equazione parametriche della retta r sono:



 x = x0 + (x1 − x0 ) t


 y = y + (y − y ) t,
0
1
0
t ∈ R.
Consideriamo una funzione f : I → R continua nell’intervallo I di R e
denotiamo con Γ il diagramma di f . Sia x0 un punto di I e sia h ∈ R − {0}
tale che x0 + h ∈ I.
Denotata con rh la retta secante Γ nei punti:
P0 = (x0 , f (x0 ))
e
P = (x0 + h, f (x0 + h)),
una coppia di numeri direttori di rh è data da:
(h, f (x0 + h) − f (x0 )),
quindi le equazione parametriche della retta rh sono:



 x = x0 + h t


 y = f (x ) + (f (x + h) − f (x )) t,
0
0
0
t ∈ R.
Ricavando t dalla prima equazione e sostituendo nella seconda si ottiene
l’equazione cartesiana di rh :
y = f (x0 ) +
f (x0 + h) − f (x0 )
(x − x0 ).
h
7.4. INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLA DERIVATA
175
Orientiamo rh nel verso delle x crescenti e denotiamo con θh la misura, in
−
radianti, dell’angolo acuto formato da →
rh e dal semiasse positivo delle x.
Osserviamo che:
f (x0 + h) − f (x0 )
= tgθh .
h
(7.11)
−
La quantità (7.11) si chiama coefficiente angolare dell’asse →
rh .
Sfruttando la continuità della funzione tgx, il teorema sul limite delle
funzioni composte e la (7.11) è facile provare la seguente:
Proposizione 7.4.1. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
i) Esiste il limite:
π π
lim θh = θ0 ∈ [− , ].
h→0
2 2
ii) Esiste il limite:
lim tgθh =
h→0



 −∞
tgθ0


 +∞
se θ0 = − π2
se θ0 ∈] − π2 , π2 [
se θ0 =
π
2
.
iii) Esiste il limite:
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h
i.e., f è dotata di derivata nel punto x0 .
Definizione 7.4.2. Si dice che il diagramma Γ di f è dotato di retta
tangente nel punto (x0 , f (x0 )) se esiste il limite:
π π
lim θh = θ0 ∈ [− , ],
h→0
2 2
o ciò che è lo stesso, se f è dotata di derivata nel punto x0 .
Si noti che:
1) Se θ0 ∈] − π2 , π2 [ allora la funzione f è derivabile nel punto x0 e risulta:
f 0 (x0 ) = tgθ0 ;
176
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
quindi, l’equazione della tangente a Γ nel punto (x0 , f (x0 )) è data da:
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
2) Se θ0 =
π
2
allora:
f 0 (x0 ) = +∞.
3) Se θ0 = − π2 allora:
f 0 (x0 ) = −∞.
Nei casi 2) e 3), la retta tangente a Γ nel punto (x0 , f (x0 )) è ortogonale
all’asse x ed ha equazione:
x = x0 .
7.5
Punti angolosi e punti cuspidali.
◦
Definizione 7.5.1. Siano I un intervallo di R, x0 ∈ I, f : I → R continua nel punto x0 e Γ il diagramma di f . Supponiamo che esistano f−0 (x0 )
e f+0 (x0 ) e che f+0 (x0 ) 6= f−0 (x0 ). Il punto P0 = (x0 , f (x0 )) si dice punto
angoloso di Γ se f+0 (x0 ) ∈ R oppure f−0 (x0 ) ∈ R. Il punto P0 si dice punto
cuspidale (o cuspide) di Γ se f+0 (x0 ) = +∞ e f−0 (x0 ) = −∞ o, viceversa,
f+0 (x0 ) = −∞ e f−0 (x0 ) = +∞.
Si noti che nella Definizione 7.5.1 l’ipotesi di continuità di f nel punto
x0 è necessaria; infatti, se si considera la seguente funzione, non continua
nel punto 0:
f (x) =




1
|x|


 0
se x 6= 0
se x = 0,
si ha che f+0 (0) = +∞ e f−0 (0) = −∞, ma il punto (0, 0) non è cuspidale.
7.6. DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE
Infatti, quando x > 0 risulta
f+0 (0) = lim
x→0+
x→0−
=
1
x
quindi:
1
f (x) − f (0)
1
= lim x = lim 2 = +∞;
x−0
x→0+ x
x→0+ x
invece, quando x < 0 risulta
f−0 (0) = lim
1
|x|
177
1
|x|
= − x1 quindi:
− x1
1
f (x) − f (0)
= lim
= lim − 2 = −∞.
−
−
x−0
x
x
x→0
x→0
Passiamo, ora, alla funzione f (x) = |x|α , x ∈ R, dove α è un fissato
elemento di ]0, 1[. Osserviamo che:
f 0 (0+ ) = lim
x→0+
f (x) − f (0)
xα
1
= lim
= lim 1−α = +∞
+
+
x−0
x
x→0
x→0 x
e
f (x) − f (0)
=
x−0
α
(−x)α
1
(−x)
= lim −
= − lim
= −∞
= lim
x
−x
x→0−
x→0− (−x)1−α
x→0−
f 0 (0− ) = lim
x→0−
quindi, (0, 0) è un punto cuspidale.
Si noti che se α = 1 il punto (0, 0) è un punto angoloso.
7.6
Derivate di ordine superiore.
Siano X ⊆ R, x0 ∈ X ed f : X → R. Se f è derivabile in un intorno I di x0
contenuto in X allora ha senso considerare la funzione rapporto incrementale
di f 0 in x0 :
f 0 (x) − f 0 (x0 )
.
x − x0
Definizione 7.6.1. La funzione f si dice dotata di derivata seconda nel
: x ∈ I − {x0 } −→
punto x0 se esiste
f 0 (x) − f 0 (x0 )
,
x→x0
x − x0
tale limite si denota con f 00 (x0 ) e si dice derivata seconda di f nel punto x0 .
lim
La funzione f si dice derivabile due volte in x0 se f 00 (x0 ) ∈ R.
178
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
In modo ovvio si definisce la derivata n − ma di f nel punto x0 :
f n (x0 ) = lim
x→x0
f n−1 (x) − f n−1 (x0 )
x − x0
In seguito, per denotare che la funzione f : X → R è continua in X scriveremo f ∈ C 0 (X, R); per denotare che la funzione f ha derivata prima continua
in X scriveremo f ∈ C 1 (X, R); per denotare che la funzione f ha derivata
n − ma continua in X scriveremo f ∈ C n (X, R); infine, per denotare che f
è indefinitamente derivabile in X scriveremo f ∈ C ∞ (X, R).
7.7
Massimi e minimi relativi.
Definizione 7.7.1. Siano X ⊆ R, x0 ∈ X e f : X → R. Il punto x0 si dice
punto di massimo relativo per f se esiste I ∈ =(x0 ) tale che:
f (x) ≤ f (x0 ),
∀x ∈ X ∩ I.
(7.12)
Definizione 7.7.2. Siano X ⊆ R, x0 ∈ X e f : X → R. Il punto x0 si dice
punto di minimo relativo per f se esiste I ∈ =(x0 ) tale che:
f (x0 ) ≤ f (x),
∀x ∈ X ∩ I.
(7.13)
Se nelle (7.12) (risp. (7.13)), per x 6= x0 , vale la disuguaglianza stretta
allora il punto x0 si dice punto di massimo (risp. minimo) relativo proprio
per f .
E’ immediato provare che:
Proposizione 7.7.3. Il punto x0 è un punto di massimo relativo per f se
e solo se esiste I ∈ =(x0 ) tale che, per ogni x ∈ (X − {x0 }) ∩ I, risulta:
x < x0
=⇒
f (x) − f (x0 )
≥0
x − x0
x > x0
=⇒
f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0
7.7. MASSIMI E MINIMI RELATIVI
179
Inoltre, se f è derivabile a sinistra e a destra nel punto x0 , allora il punto
x0 è un punto di massimo relativo per f se e solo se:
f−0 (x0 ) ≥ 0,
f+0 (x0 ) ≤ 0.
Proposizione 7.7.4. Il punto x0 è un punto di minimo relativo per f se e
solo se esiste I ∈ =(x0 ) tale che, ∀x ∈ (X − {x0 }) ∩ I, risulta:
x < x0
=⇒
f (x) − f (x0 )
≤0
x − x0
x > x0
=⇒
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
Inoltre, se f è derivabile a sinistra e a destra nel punto x0 , allora il punto
x0 è un punto di minimo relativo per f se e solo se:
f−0 (x0 ) ≤ 0,
f+0 (x0 ) ≥ 0.
Per quanto detto sopra segue immediatamente il seguente:
Teorema 7.7.5. (Teorema di Fermat)
◦
Se f è derivabile nel punto x0 ∈ X e x0 è un punto di massimo o di minimo
relativo per f , allora:
f 0 (x0 ) = 0.
(7.14)
Si noti che la condizione (7.14) è necessaria ma non sufficiente affinché
il punto x0 sia di massimo o di minimo relativo per f . A tale scopo basta
considerare la funzione f (x) = x3 , tale funzione ha derivata prima nulla
nello zero ma tale punto non è né di massimo né di minimo relativo per f .
180
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
7.8
I teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy.
Teorema 7.8.1. (Teorema di Rolle)
Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[. Se f (a) = f (b)
allora esiste un c ∈]a, b[ tale che:
f 0 (c) = 0.
(7.15)
Dimostrazione. Essendo f continua in [a, b], per il Teorema di Weierstrass,
¯ ∈ [a, b] tali che f (x̄) = min f ([a, b]) e f (x̄
¯) = max f ([a, b]).
esistono x̄, x̄
¯), allora f è costante in [a, b], quindi:
Se f (x̄) = f (x̄
f 0 (x) = 0, ∀x ∈ [a, b],
da cui segue l’asserto.
¯), essendo f (a) = f (b), si ha che x̄ ∈]a, b[ oppure x̄
¯ ∈]a, b[,
Se f (x̄) 6= f (x̄
nel primo caso x̄ è un punto di minimo relativo per f interno ad [a, b] e nel
¯ è un punto di massimo relativo per f interno ad [a, b]; allora,
secondo caso x̄
in entrambi i casi, dal Teorema di Fermat segue l’asserto.
Prima di passare al prossimo teorema, è utile ricordare che l’equazione
cartesiana della retta passante per i i punti (a, f (a)) e (b, f (b)) è data da:
y = f (a) +
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
(7.16)
Teorema 7.8.2. (Teorema di Lagrange)
Se f : [a, b] → R è continua in [a, b] ed è derivabile in ]a, b[, allora esiste un
c ∈]a, b[ tale che:
f (b) − f (a)
= f 0 (c).
b−a
Dimostrazione. Consideriamo la funzione ausiliaria:
f (b) − f (a)
ϕ(x) = f (x) − f (a) +
(x − a) , ∀x ∈ [a, b];
b−a
(7.17)
(7.18)
notiamo che, ∀x ∈ [a, b], ϕ(x) rappresenta la differenza tra l’ordinata del
punto del diagramma di f avente ascissa x e l’ordinata del punto della retta
di equazione (7.16) avente anch’esso ascissa x.
7.8. I TEOREMI DI ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY
181
Ovviamente, ϕ(x) è continua in [a, b] ed è derivabile in ]a, b[, inoltre
risulta:
ϕ(a) = f (a) − f (a) +
f (b) − f (a)
(a − a) = 0
b−a
e
ϕ(b) = f (b) − (f (a) + (f (b) − f (a)) = 0.
Allora, per il Teorema di Rolle, esiste un c ∈]a, b[ tale che ϕ0 (c) = 0, ed
essendo:
ϕ0 (x) = f 0 (x) −
f (b) − f (a)
,
b−a
si ha che:
0 = ϕ0 (c) = f 0 (c) −
f (b) − f (a)
b−a
=⇒
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
Proposizione 7.8.3. Siano I un intervallo di R e f : I → R una funzione
◦
◦
continua in I e derivabile in I. Se f 0 (x) = 0, ∀x ∈ I, allora f (x) è costante
in I.
Dimostrazione. L’asserto sarà dimostrato se faremo vedere che, fissato un
x0 ∈ I, qualunque sia x ∈ I − {x0 } risulta f (x) = f (x0 ).
Per le ipotesi fatte, qualunque sia x ∈ I − {x0 }, la funzione f è derivabile in I(x0 , x) (intervallo aperto di estremi x0 e x) ed è continua in
I[x0 , x](intervallo chiuso di estremi x0 e x); allora, per il Teorema di Lagrange, esiste un punto c ∈ I(x0 , x) tale che:
f 0 (c) =
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
conseguentemente, essendo c interno ad I si ha che f 0 (c) = 0 e quindi f (x) =
f (x0 ). Dall’arbitrarietà di x ∈ I − {x0 } segue l’asserto.
Osservazione - Per la validità della Proposizione 7.8.3, l’ipotesi che I sia
un intervallo è necessaria. Infatti, se si considera la funzione:
f (x) = [x], x ∈ X = (R − Z) ∪ {0},
182
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
tale funzione ha derivata nulla su tutto X ma è tutt’altro che costante in
X.
Definizione 7.8.4. Siano X ⊆ R e f : X → R. Si dice che la funzione
ϕ : X → R è una primitiva di f se ϕ è derivabile in X e risulta:
ϕ0 (x) = f (x),
∀x ∈ X.
Proposizione 7.8.5. Siano I un intervallo di R e f : I → R. Se ϕ è una
primitiva di f , allora ogni primitiva di f differisce da ϕ per una costante.
Dimostrazione. Ovviamente, ∀c ∈ R, la funzione ϕ + c è una primitiva di
f . Quindi, fissata una generica primitiva ψ di f , l’asserto sarà provato se
mostreremo che esiste una costante c tale che ψ − ϕ = c. Essendo ψ e ϕ
primitive di f si ha che ψ 0 (x) = f (x) = ϕ0 (x), ∀x ∈ I, dunque:
(ψ(x) − ϕ(x))0 = ψ 0 (x) − ϕ0 (x) = 0, ∀x ∈ I,
da cui, per la Proposizione 7.8.3 segue l’asserto.
Definizione 7.8.6. Siano I un intervallo di R e f : I → R continua in I. Si
R
dice integrale indefinito di f , e si denota con il simbolo f (x)dx, l’insieme
costituito da tutte le primitive di f , cioè:
Z
f (x)dx = {ψ : ψ primitiva di f }.
Considerata una primitiva ϕ di f , dalla Proposizione 7.8.5 si ha che:
Z
f (x)dx = {ϕ + c : c ∈ R};
di solito, con un abuso di notazione, si scrive:
Z
f (x)dx = ϕ + c
7.8. I TEOREMI DI ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY
183
Esempi.
1) Se f (x) = x1 , x ∈ R − {0}, allora una primitiva di f è la funzione
ϕ(x) = log|x|, quindi:
Z
2) Se f (x) =
1
,
1+x2
1
dx = log|x| + c.
x
x ∈ R, allora una primitiva di f è la funzione
ϕ(x) = arctgx, quindi:
Z
1
dx = arctgx + c.
1 + x2
3) Se f (x) = senx, allora una primitiva di f è la funzione ϕ(x) = −cosx,
quindi:
Z
senx dx = −cosx + c.
Usufruendo del Teorema di Lagrange si può provare il seguente:
Corollario 7.8.7. Siano f : [a, b] → R e x0 ∈]a, b[. Se fè continua in [a, x0 ]
(risp. [x0 , b]) è derivabile in ]a, x0 [ (risp. ]x0 , b[) e, inoltre, esiste il limite
seguente:
lim f 0 (x) = λ
x→x−
0
(risp. lim f 0 (x) = λ),
x→x+
0
allora f è dotata di derivata sinistra (risp. destra) nel punto x0 e risulta:
f−0 (x0 ) = λ
(risp. f+0 (x0 ) = λ).
Esempi.
1) Consideriamo la funzione f (x) = arcsenx, x ∈ [−1, 1]; abbiamo visto che
tale funzione è derivabile in ] − 1, 1[ e la sua derivata prima è data da:
f 0 (x) = √
1
;
1 − x2
risultando:
lim f 0 (x) = +∞,
x→−1+
lim f 0 (x) = +∞,
x→1−
184
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
dal Corollario 7.8.7 segue che:
f 0 (−1) = f+0 (−1) = +∞,
f 0 (1) = f−0 (1) = +∞.
Dunque, esiste la derivata della funzione arcsenx sia in -1 che in 1.
2) Consideriamo la funzione:

2


 x −1
se x ∈ I1 =] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
2
f (x) = |x − 1| =


 1 − x2
se x ∈ I2 =] − 1, 1[.
Ovviamente f è derivabile all’interno del plurintervallo I1 e nell’intervallo
I2 e risulta:
0
f (x) =



 2x


 −2x
se x ∈=] − ∞, −1[∩]1, +∞[
se x ∈] − 1, 1[ .
D’altro canto si ha che:
lim f 0 (x) = lim 2x = −2,
x→−1−
x→−1−
lim f 0 (x) = lim (−2x) = 2,
x→−1+
x→−1+
lim f 0 (x) = lim (−2x) = −2, lim f 0 (x) = lim 2x = 2,
x→1−
x→1−
x→1+
x→1+
allora, dal Corollario 7.8.7 segue che:
f−0 (−1) = −2,
f+0 (−1) = 2,
f−0 (1) = −2,
f+0 (1) = 2.
Quindi, f è derivabile a sinistra e a destra in -1 e 1 ma non è derivabile
in tali punti.
Teorema 7.8.8. (Teorema di Cauchy)
Siano f, g : [a, b] → R continue in [a, b] e derivabili in ]a, b[. Se g(a) 6= g(b)
e, inoltre, f 0 e g 0 non si annullano simultaneamente in uno stesso punto di
]a, b[, allora esiste un c ∈]a, b[ tale che:
f 0 (c)
f (b) − f (a)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
(7.19)
7.9. I TEOREMI DI L’HÔSPITAL
185
Dimostrazione. Consideriamo la funzione ausiliaria:
f (b) − f (a)
ψ(x) = f (x) − f (a) +
(g(x) − g(a)) .
g(b) − g(a)
Si noti che ψ(a) = 0 = ψ(b); inoltre, ψ è continua in [a, b], derivabile in ]a, b[
e risulta:
ψ 0 (x) = f 0 (x) −
f (b) − f (a) 0
g (x).
g(b) − g(a)
(7.20)
Allora, per il Teorema di Rolle esiste un punto c ∈]a, b[ tale che:
0 = ψ 0 (c) = f 0 (c) −
f (b) − f (a) 0
g (c);
g(b) − g(a)
(7.21)
d’altro canto, siccome f 0 e g 0 non si possono annullare simultaneamente in
uno stesso punto di ]a, b[, si ha che g 0 (c) 6= 0, quindi dalla (7.21) segue la
(7.19).
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
7.9
I teoremi di L’Hôspital.
Teorema 7.9.1. (I Teorema di L’Hospital)
∧
Sia x0 ∈ R
e siano f, g :]a, x0 [→ R (risp.
f, g :]x0 , b[→ R) funzioni
soddisfacenti le seguenti condizioni:
i) f e g sono derivabili in ]a, x0 [ (risp. ]x0 , b[),
ii) g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈]a, x0 [ (risp. ∀x ∈]x0 , b[),
iii) f e g sono infinitesime nel punto x0 .
Se esiste:
lim
x→x0
∧
f 0 (x)
= l ∈ R,
0
g (x)
allora:
lim
x→x0
f (x)
= l.
g(x)
186
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
Esempi.
Calcoliamo alcuni limiti fondamentali usufruendo del I Teorema di
L’Hospital:
senx H
cosx
= lim
= 1;
x→0 x
x→0 1
1 − cosx H
senx
lim
= lim
= 0;
x→0
x→0 1
x
senx
1
1 − cosx H
= lim
= ;
lim
2
x→0 2x
x→0
x
2
(7.22)
lim
loga (1 + x) H
lim
= lim
x→0
x→0
x
1
(1+x)loga
1
=
(7.23)
(7.24)
1
;
loga
(7.25)
ax − 1 H
ax loga
= loga;
= lim
x→0
x→0
x
1
(7.26)
(1 + x)α − 1 H
α(1 + x)α−1
= α.
= lim
x→0
x→0
x
1
(7.27)
lim
lim
Usufruendo del I Teorema di L’Hospital e dei limiti fondamentali proviamo
che:
log 1 + (sen2 x − x2 )
2
lim
=−
x→0
(1 − cosx)sen2 x
3
e
lim
x→0
arcsenx − x
1
= .
x − arctgx
2
Infatti:
log 1 + (sen2 x − x2 )
lim
=
x→0
(1 − cosx)sen2 x
log 1 + (sen2 x − x2 ) sen2 x − x2
x2
x2
= lim
=
x→0
sen2 x − x2
x4
1 − cosx sen2 x
sen2 x − x2
2senxcosx − 2x
H
· 2 · 1 = 2 lim
=
4
x→0
x→0
x
4x3
= 1 · lim
=
1
sen2x − 2x H 1
2cos2x − 2
lim
= lim
=
3
2 x→0
x
2 x→0
3x2
=
1
cos2x − 1
4
cos2x − 1
4 1
2
lim
= lim
= (− ) = − ;
2
2
3 x→0
x
3 x→0 (2x)
3 2
3
7.9. I TEOREMI DI L’HÔSPITAL
e:
187
√
(1 + x2 )(1 − 1 − x2 )
√
= lim
=
x→0
x2 1 − x2
√
1 + x2 1 − 1 − x2
=
= lim √
x→0
x2
1 − x2
√
1 + x2
1 − x2 − 1
= lim √
lim
=
x→0
−x2
1 − x2 x→0
=1·
1
1
= .
2
2
Osservazione - Proviamo, con un esempio, che il I Teorema di L’Hospital fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per l’esistenza del
limite di
f (x)
g(x)
in x0 . A tale scopo consideriamo le funzioni f (x) = x2 cos x1 e
g(x) = ex − 1 ed osserviamo che:
x
x2 cos 1
f (x)
1 = lim x x = lim x
(xcos ) = 1 · 0 = 0,
x→0 g(x)
x→0 e − 1
x→0 e − 1
x
lim
(abbiamo sfruttato il fatto che |xcos x1 | ≤ |x|).
D’altro canto, si ha che:
2xcos x1 + x2 (−sen x1 )(− x12 )
2xcos x1 + sen x1
f 0 (x)
=
=
g 0 (x)
ex
ex
e quest’ultima funzione non è regolare nel punto zero.
Teorema 7.9.2. (II Teorema di L’Hospital)
∧
Sia x0 ∈ R
e siano f, g :]a, x0 [→ R (risp.
soddisfacenti le seguenti condizioni:
i) f e g sono derivabili in ]a, x0 [ (risp. ]x0 , b[),
ii) g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈]a, x0 [ (risp. ∀x ∈]x0 , b[),
iii) f e g sono infinite nel punto x0 .
Se esiste:
lim
x→x0
∧
f 0 (x)
= l ∈ R,
0
g (x)
f, g :]x0 , b[→ R) funzioni
188
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
allora:
lim
x→x0
f (x)
= l.
g(x)
Esempio. - Usufruendo del II Teorema di L’Hospital e dei limiti fondamentali proviamo che:
lim logx (ex − 1) = 1.
x→0+
Infatti:
log(ex − 1) H
lim logx (e − 1) = lim
= lim
logx
x→0+
x→0+
x→0+
x
= lim
x→0+
ex
ex
ex −1
1
x
=
x
ex = 1.
−1
Forme indeterminate del tipo 0 · (±∞).
Vediamo due esempi:
lim (senx logx) = lim
x→0+
x→0+
logx
1
senx
H
= lim
x→0+
1
x
cosx
− sen
2x
=
1 senx
senx =
cosx x
= −1 · 1 · 0 = 0.
= lim
x→0+
lim
x→+∞
−
2
1+x2
x→+∞ − 12
x
2arctgx − π H
(2arctgx − π)x = lim
= lim
1
x→+∞
= lim
x→+∞
x
−2
x2 = −2.
1 + x2
=
7.9. I TEOREMI DI L’HÔSPITAL
189
Casi che si riconducono alle forme indeterminate del tipo 0 · (±∞).
1) Forma indeterminata del tipo 00 .
Calcolare il limite seguente:
π
lim (ex − e)cotg 2 x
(7.28)
x→1+
Osservato che:
π
π
x −e)
(ex − e)cotg 2 x = e(cotg 2 x)log(e
allo scopo di calcolare il limite (7.28), iniziamo a calcolare il limite:
log(ex − e) H
π
= lim
lim (cotg x)log(ex − e) = lim
2
tg π2 x
x→1+
x→1+
x→1+
= lim
x→1+
=e
ex
ex −e
1
π
cos2 π2 x 2
=
2π cos 2 x H
2 cos2 π2 x
x 2
e
= lim e
lim
=
x
π e −e
π x→1+ ex − e
x→1+
x
2cos π2 x(−sen π2 x) π2
2
lim
= 0.
π x→1+
ex
Allora:
π
π
x −e)
lim (ex − e)cotg 2 x = lim e(cotg 2 x)log(e
x→1+
x→1+
= e0 = 1.
2) Forma indeterminata del tipo 1±∞ .
a) Calcolare il limite seguente:
2
1 x
lim
cos
x→+∞
x
Osservato che:
2
1
1 x
2
cos
= ex log(cos x )
x
(7.29)
190
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
allo scopo di calcolare il limite (7.29), iniziamo a calcolare il limite:
lim
x→+∞
x2 log(cos x1 ) = lim
x→+∞
= lim
1
cos x1
x→+∞
=−
log(cos x1 )
1
x2
(−sen x1 )(− x12 )
− x23
H
=
=
h 1 sen 1 − 1 i
1
1
x
x2
lim
=− .
1
1
1
2 x→+∞ cos x x − x2
2
Allora:
1
1
1 2
1
2
lim (cos )x = lim ex log(cos x ) = e− 2 = √ .
+
x
e
x→0
x→+∞
b) Calcolare il limite seguente:
i x √1
h
(2 −1)( 1+tgx−1)
lim etg(senx−log(x+1))
.
(7.30)
x→0+
Osservato che:
i x √1
h
tg(senx−log(x+1))
√
(2 −1)( 1+tgx−1)
etg(senx−log(x+1))
= e (2x −1)( 1+tgx−1) ,
allo scopo di calcolare il limite (7.30), iniziamo a calcolare il limite:
lim
x→0+
tg(senx − log(x + 1))
=
√
(2x − 1) 1 + tgx − 1
tg(senx − log(x + 1))
x 1
tgx
x 1
√
(senx − log(x + 1)) x
=
senx − log(x + 1)
2 − 1 x 1 + tgx − 1 tgx x
tg(senx − log(x + 1)) x
tgx
x
1
√
(senx − log(x + 1)) 2 =
senx − log(x + 1) 2x − 1 1 + tgx − 1 tgx
x
= lim
x→0+
= lim
x→0+
cosx −
1
senx − log(x + 1) H 2
=1·
· 2 · 1 · lim
=
lim
log2
x2
log2 x→0+
2x
x→0+
H
=
1
1
1
lim −senx +
=
.
2
+
log2 x→0
(x + 1)
log2
1
x+1
=
7.9. I TEOREMI DI L’HÔSPITAL
191
Allora:
lim
x→0+
h
tg(senx−log(x+1))
e
i
√1
(2x −1)( 1+tgx−1)
1
= e log2 .
192
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
7.10
Infinitesimi.
∧
Siano x0 ∈ R = R ∪ {−∞, +∞} , X ⊆ R e f, g : X → R infinitesime in x0 .
Definizione 7.10.1. Si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine maggiore
di g, e si scrive ord f > ord g, oppure f = o(g), quando:
lim
x→x0
f (x)
= 0.
g(x)
(7.31)
Definizione 7.10.2. Si dice che f è un infinitesimo in x0 dello stesso ordine
di g, e si scrive ord f = ord g, quando:
lim
x→x0
f (x)
= l ∈ R − {0}.
g(x)
(7.32)
Definizione 7.10.3. Si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine minore
di g, e si scrive ord f < ord g, quando:
lim
x→x0
|f (x)|
= +∞.
|g(x)|
(7.33)
Definizione 7.10.4. Si dice che f e g sono infinitesimi non confrontabili
in x0 , quando:
6 ∃ lim
x→x0
|f (x)|
.
|g(x)|
(7.34)
Esempi
1) Essendo:
x
x2
= lim
x = 1 · 0 = 0,
x→0 log(x + 1)
x→0 log(x + 1)
lim
x2 è un infinitesimo nel punto 0 di ordine maggiore di log(x + 1).
2) Essendo:
ex − 1
ex − 1 x = lim
= 1 · 1 = 1,
x→0
x→0 senx
x senx
lim
ex − 1 e senx sono infinitesimi nel punto 0 dello stesso ordine.
7.10. INFINITESIMI
193
3) Essendo:
1 − cosx
1 − cosx 1 1
= lim
= · (+∞) = +∞,
4
x→0
x→0
x
x2
x2
2
lim
1 − cosx è un infinitesimo nel punto 0 di ordine minore di x4 .
4) Siccome:
senxcos x1
,
x→0
x
le funzioni senxcos x1 e x sono infinitesimi non confrontabili nel punto
6 ∃ lim
0.
Siano f e g infinitesimi in x0 dello stesso ordine, considerato il numero l
dato dalla (7.32) si ha che:
lim
f (x) − l · g(x) −l = 0 ⇒ lim
= 0 ⇒ f (x)−l·g(x) = o(g(x)).
x→x0
g(x)
g(x)
f (x)
x→x0
Alla luce di quanto è stato appena detto si può dare la seguente:
Definizione 7.10.5. Se f e g sono infinitesimi dello stesso ordine in x0 ,
allora l’infinitesimo l g(x) si chiama parte principale dell’infinitesimo f(x) e
risulta:
f (x) = l · g(x) + o(g(x)).
Definizione 7.10.6. Se x0 ∈ R, la funzione f : x ∈ R → |x − x0 | si dice
infinitesimo fondamentale nel punto x0 .
Se x0 = ±∞ la funzione f : x ∈ R − {0} →
1
|x|
si dice infinitesimo
fondamentale nel punto x0 .
Definizione 7.10.7. Siano x0 ∈ R e f una funzione infinitesima in x0 . Se
esiste un α ∈]0, +∞[ tale che:
lim
x→x0
allora:
∧
f (x)
= l ∈ R,
α
|x − x0 |
(7.35)
194
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
i) Se l = 0 si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine maggiore di α.
ii) Se l ∈ R − {0} si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine α.
iii) Se l = ±∞ si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine minore di
α.
Esempi
1) Essendo:
senx
= 1,
x→0 x
si ha che senx è un infinitesimo nel punto 0 di ordine 1, quindi:
lim
senx = x + o(x).
2) Essendo:
1
1 − cosx
= ,
2
x→0
x
2
si ha che 1 − cosx è un infinitesimo nel punto 0 di ordine 2, quindi:
lim
1
1 − cosx = x2 + o(x2 ).
2
3) Essendo:
log 3 (1 + x)
= lim
lim
x→0
x→0
x3
log(1 + x)
x
3
= 1,
si ha che log 3 (1 + x) è un infinitesimo nel punto 0 di ordine 3, quindi:
log 3 (1 + x) = x3 + o(x3 ).
Definizione 7.10.8. Siano x0 ∈ R e f una funzione infinitesima in x0 . Se,
qualunque sia α ∈]0, 1[, risulta:
lim
x→x0
f (x)
= ±∞,
|x − x0 |α
allora si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine zero.
7.10. INFINITESIMI
195
Definizione 7.10.9. Siano x0 ∈ R e f una funzione infinitesima in x0 . Se,
qualunque sia n ∈ N, risulta:
lim
x→x0
f (x)
= 0,
|x − x0 |n
allora si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine infinito.
Definizione 7.10.10. Siano x0 = ±∞ e f una funzione infinitesima in x0 .
Se esiste un α ∈]0, +∞[ tale che:
lim
f (x)
1
|x|α
x→x0
∧
= l ∈ R,
(7.36)
allora:
i) Se l = 0 si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine maggiore di α.
ii) Se l ∈ R − {0} si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine α.
iii) Se l = ±∞ si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine minore di α.
Definizione 7.10.11. Siano x0 = ±∞ e f una funzione infinitesima in x0 .
Se, qualunque sia α ∈]0, 1[, risulta:
lim
f (x)
x→x0
1
|x|α
= ±∞,
allora si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine zero.
Definizione 7.10.12. Siano x0 = ±∞ e f una funzione infinitesima in x0 .
Se, qualunque sia n ∈ N, risulta:
lim
x→x0
f (x)
1
|x|n
= 0,
allora si dice che f è un infinitesimo in x0 di ordine infinito.
196
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
Esempi.
1) Osserviamo che, qualunque sia α ∈]0, 1[ risulta:
1
logx
x→+∞ 1α
x
lim
xα
αxα−1
= lim αxα = +∞,
= lim
1
x→+∞ logx
x→+∞
x→+∞
x
= lim
1
logx
quindi, la funzione
è un infinitesimo nel punto +∞ di ordine zero.
2) Osserviamo che, qualunque sia n ∈ N risulta:
1
ex
x→+∞ 1n
x
lim
xn
nxn−1
n!
=
lim
= ... = lim x = 0,
x
x
x→+∞ e
x→+∞
x→+∞ e
e
= lim
quindi, la funzione
1
ex
è un infinitesimo nel punto +∞ di ordine infinito.
Proposizione 7.10.13. Siano f1 , f2 , g1 , g2 funzione infinitesime nel punto
x0 . Se f2 = o(f1 ) e g2 = o(g1 ) e:
lim
x→x0
f1 (x)
= l,
g1 (x)
allora:
lim
x→x0
f1 (x) + f2 (x)
= l.
g1 (x) + g2 (x)
Dimostrazione. Infatti, essendo per ipotesi:
lim
x→x0
f2 (x)
= 0,
f1 (x)
lim
x→x0
g2 (x)
= 0,
g1 (x)
si ha:
f1 (x) + f2 (x)
lim
= lim
x→x0 g1 (x) + g2 (x)
x→x0
1+
f1 (x)
·
g1 (x)
1+
f2 (x)
f1 (x)
g2 (x)
g1 (x)
= lim
x→x0
f1 (x)
= l.
g1 (x)
7.11. INFINITI
197
Esempi
1.
senx + (ex − 1)3 + (log(1 + x))2
senx
= lim
= 1.
x→0
x→0 tgx
tgx + (1 − cosx)
lim
2.
√
√
√
4
2x − 1 + x − (1 − cosx)
1
x
1
x
1
√
√
√
√
=
lim
=
lim
= .
lim √
4
4
4
4
4
3
2
+
+
+
2 x→0
2 x→0
2
senx x
senx
x→0 2 senx x − x + tg x
3.
√
3senx(ex − 1) + x4 + xtgxlog(1 + x)
lim
=
4(1 − cosx) + (arcsenx)4
x→0+
x
e −1 2
3 senx
3senx(ex − 1)
3
x
x x
= lim
= lim
= .
1−cosx
2
+
+
4(1 − cosx)
2
x→0
x→0
4 x2 x
7.11
Infiniti.
∧
Siano x0 ∈ R, X ⊆ R e f, g : X → R infinite in x0 .
Definizione 7.11.1. Si dice che f è un infinito in x0 di ordine maggiore di
g, e si scrive ord f > ord g, quando:
lim
x→x0
|f (x)|
= +∞.
|g(x)|
(7.37)
Definizione 7.11.2. Si dice che f è un infinito in x0 dello stesso ordine di
g, e si scrive ord f = ord g, quando:
lim
x→x0
f (x)
= l ∈ R − {0}.
g(x)
(7.38)
Definizione 7.11.3. Si dice che f è un infinito in x0 di ordine minore di
g, e si scrive ord f < ord g, quando:
lim
x→x0
f (x)
= 0.
g(x)
(7.39)
198
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
Definizione 7.11.4. Si dice che f e g sono infiniti non confrontabili in x0
quando:
6 ∃ lim |
x→x0
f (x)|
.
|g(x)|
(7.40)
Esempi
1) Essendo:
ex
= +∞,
x→+∞ x2
lim
ex è un infinito nel punto +∞ di ordine maggiore di x2 .
2) Essendo:
1
|senx|
lim
x→0 x1
|e −1|
1
|senx|
e
1
|ex −1|
|ex − 1|
= 1,
x→0 |senx|
= lim
sono infiniti nel punto 0 dello stesso ordine.
3) Essendo:
lim
x→+∞
1
logx
= lim
= 0,
x→+∞ x
x
logx è un infinito nel punto +∞ di ordine minore di x.
Definizione 7.11.5. Se x0 ∈ R la funzione f : x ∈ R−{x0 } →
1
|x−x0 |
si dice
infinito fondamentale nel punto x0 . Se x0 = ±∞ la funzione f : x ∈ R → |x|
si dice infinito fondamentale nel punto x0 .
Definizione 7.11.6. Siano x0 ∈ R e f una funzione infinita in x0 . Se
esiste un α ∈]0, +∞[ tale che:
lim
x→x0
f (x)
1
|x−x0 |α
∧
= l ∈ R,
(7.41)
allora:
i) Se l = ±∞ si dice che f è un infinito in x0 di ordine maggiore di α.
7.11. INFINITI
199
ii) Se l ∈ R − {0} si dice che f è un infinito in x0 di ordine α.
iii) t Se l = 0 si dice che f è un infinito in x0 di ordine minore di α.
Definizione 7.11.7. Siano x0 ∈ R e f una funzione infinita in x0 . Se,
qualunque sia α ∈]0, 1[, risulta:
f (x)
lim
x→x0
1
|x−x0 |α
= 0,
allora si dice che f è un infinito in x0 di ordine zero.
Definizione 7.11.8. Siano x0 ∈ R e f una funzione infinita in x0 . Se,
qualunque sia n ∈ N, risulta:
lim
x→x0
|f (x)|
1
|x−x0 |n
= +∞,
allora si dice che f è un infinito in x0 di ordine infinito.
Definizione 7.11.9. Siano x0 = ±∞ e f una funzione infinita in x0 . Se
esiste un α ∈]0, +∞[ tale che:
lim
x→x0
∧
f (x)
= l ∈ R,
α
|x|
(7.42)
allora:
i) Se l = ±∞ si dice che f è un infinito in x0 di ordine maggiore di α.
ii) Se l ∈ R − {0} si dice che f è un infinito in x0 di ordine α.
iii) Se l = 0 si dice che f è un infinito in x0 di ordine minore di α.
Definizione 7.11.10. Siano x0 = ±∞ e f una funzione infinita in x0 . Se,
qualunque sia α ∈]0, 1[, risulta:
lim
x→x0
f (x)
= 0,
|x|α
allora si dice che f è un infinito in x0 di ordine zero.
200
CAPITOLO 7. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE ...
Definizione 7.11.11. Siano x0 = ±∞ e f una funzione infinita in x0 . Se,
qualunque sia n ∈ N, risulta:
lim
x→x0
|f (x)|
= +∞,
|x|n
allora si dice che f è un infinito in x0 di ordine infinito.
Osserviamo che, qualunque sia α ∈]0, 1[ risulta::
1
logx
= lim
= 0,
x→+∞ αxα
xα
quindi, la funzione logx è un infinito nel punto +∞ di ordine zero.
lim
x→+∞
Osserviamo che, qualunque sia n ∈ N risulta:
ex
ex
ex
lim n = lim
=
...
=
lim
= +∞,
x→+∞ x
x→+∞ nxn−1
x→+∞ n!
quindi, la funzione ex è un infinito nel punto +∞ di ordine infinito.
Proposizione 7.11.12. Siano f1 , f2 , g1 , g2 funzioni infinite nel punto x0 .
Se f1 è un infinito in x0 di ordine maggiore di f2 e g1 è un infinito in x0 di
ordine maggiore di g2 e:
lim
x→x0
f1 (x)
= l,
g1 (x)
allora:
f1 (x) + f2 (x)
= l.
g1 (x) + g2 (x)
Dimostrazione. Infatti, essendo per ipotesi:
lim
x→x0
lim
x→x0
f2 (x)
= 0,
f1 (x)
lim
x→x0
g2 (x)
= 0,
g1 (x)
si ha:
f1 (x) + f2 (x)
lim
= lim
x→x0 g1 (x) + g2 (x)
x→x0
f1 (x) 1 +
·
g1 (x) 1 +
f2 (x) f1 (x)
g2 (x)
g1 (x)
= lim
x→x0
Esempio.
x3 + logx + 3x2
x3
=
lim
= +∞.
x→+∞
x→+∞ 4x2
4x2
lim
f1 (x)
= l.
g1 (x)
Capitolo 8
Approssimabilità intorno ad
un punto di una funzione con
polinomi
8.1
Differenziale di una funzione in un punto.
Siano X ⊆ R ed f : X → R derivabile in x0 ∈ X.
Si dice differenziale primo della funzione f nel punto x0 la funzione:
df (x0 ) : ∆x ∈ R → f 0 (x0 )∆x ∈ R.
Posto X 0 = {∆x ∈ R : x0 + ∆x ∈ X}, consideriamo la funzione:
r : ∆x ∈ X 0 −→ r(∆x) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )∆x ∈ R.
Osserviamo che:
r(∆x)
∆x→0 ∆x
lim
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )∆x
=
∆x→0
∆x
= lim
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
− f 0 (x0 ) = 0,
∆x
201
202CAPITOLO 8. APPROSSIMABILITÀ INTORNO AD UN PUNTO ...
dunque, possiamo concludere che r(∆x) è un infinitesimo nel punto zero di
ordine maggiore di 1.
Posto ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ), per quanto detto sopra si ha che:
∆f (x0 ) − df (x0 ) = r(∆x) = o(∆x),
cioè:
∆f (x0 ) = df (x0 ) + r(∆x) = f 0 (x0 )∆x + o(∆x),
allora, se f 0 (x0 ) 6= 0, si ha che df (x0 ) = f 0 (x0 )∆x è la parte principale
dell’infinitesimo ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ).
Ritorniamo al differenziale primo della funzione f nel punto x0 . Notiamo
che, se f (x) è la funzione identica su R (i.e. f (x) = x, x ∈ R), allora possiamo calcolare il suo differenziale primo in un qualunque punto x; inoltre,
essendo f 0 (x) = 1, ∀x ∈ R, si ha che:
dx : ∆x ∈ R −→ ∆x ∈ R.
Da quanto detto sopra, si deduce che il differenziale primo di una funzione
f nel punto x0 si può ottenere come prodotto della derivata prima di f in
x0 e del differenziale primo della funzione identica in R, i.e. :
df (x0 ) = f 0 (x0 )dx.
Allora:
df (x0 )
,
(8.1)
dx
cioè la derivata prima di f in x0 si puó esprimere come rapporto di due
f 0 (x0 ) =
differenziali. La (8.1) prende il nome di notazione di Leibniz della derivata
prima di f in x0 .
Proposizione 8.1.1. Se f e g sono funzioni derivabili in un punto x, allora
valgono le seguenti uguaglianze:
d(af (x) + bg(x)) = a df (x) + b dg(x), ∀a, b ∈ R;
8.2. FORMULA DI TAYLOR...
203
d(f (x)g(x)) = g(x)df (x) + f (x) dg(x);
g(x)df (x) − f (x) dg(x)
f (x)
=
, (g(x) =
6 0).
d
g(x)
g 2 (x)
Siano X ⊆ R, x ∈ X e f : X −→ R derivabile n volte in x.
Si dice differenziale n-mo della funzione f nel punto x la funzione:
dn f (x) : ∆x ∈ R −→ f n (x)(∆x)n ∈ R.
Osserviamo che:
df (x) = f 0 (x)dx,
d2 f (x) = d(df (x)) = d(f 0 (x)dx) = (f 0 (x)dx)0 dx = f 00 (x)(dx)2 ,
dn f (x) = d(dn−1 f (x)) = ... = f n (x)(dx)n .
8.2
Formula di Taylor per le funzioni reali di una
variabile reale.
Siano X ⊆ R, x0 ∈ X e f : X −→ R derivabile n volte in x0 . Il polinomio:
pn (x) = f (x0 ) +
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
f 0 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ... +
(x − x0 )n ,
1!
2!
n!
(8.2)
si dice polinomio di Taylor della funzione f di ordine n e di punto iniziale
x0 .
Si prova facilmente che, qualunque sia i ∈ {0, 1, ..., n}, risulta:
(i)
p(i)
n (x0 ) = f (x0 ).
(8.3)
Inoltre, si puó dimostrare che pn (x) è l’unico polinomio reale di grado non
superiore ad n che soddisfa la (8.3).
Posto:
rn (x) = f (x) − pn (x),
proviamo il seguente:
∀x ∈ X,
(8.4)
204CAPITOLO 8. APPROSSIMABILITÀ INTORNO AD UN PUNTO ...
Teorema 8.2.1. Se f : X −→ R è derivabile n volte in x0 , allora:
lim
x→x0
rn (x)
= 0,
(x − x0 )n
(8.5)
cioè, rn (x) è un infinitesimo in x0 di ordine maggiore di n.
Dimostrazione. Allo scopo di provare la (8.5) osserviamo che:
lim
x→x0
f (x) − pn (x)
rn (x)
= lim
=
(x − x0 )n x→x0 (x − x0 )n
= lim
f (x) − f (x0 ) +
f 0 (x0 )
1! (x
x→x0
= lim
f (x) − f (x0 ) −
f 0 (x0 )
1! (x
x→x0
00
(x0 )
− x0 ) + f 2!
(x − x0 )2 + ... +
(x − x0 )n
00
(x0 )
− x0 ) − f 2!
(x − x0 )2 − ... −
(x − x0 )n
f (n) (x0 )
(x
n!
f (n) (x0 )
(x
n!
Applicando il teorema di L’Hospital si ottiene che:
rn (x)
=
(x − x0 )n
f 0 (x) − f 0 (x0 ) −
= lim
lim
x→x0
x→x0
= lim
x→x0
f 0 (x) − f 0 (x0 ) −
f 00 (x0 )
2! 2(x
− x0 ) − ... −
n(x − x0 )n−1
f 00 (x0 )
1! (x
− x0 ) − ... −
n(x − x0 )n−1
f (n) (x0 )
n(x
n!
f (n) (x0 )
(n−1)! (x
− x0 )n−1
− x0 )n−1
.
Dopo aver applicato n − 1 volte il teorema di l’Hospital si ottiene che:
=
− x0 )n
− x0 )n
.
=
8.2. FORMULA DI TAYLOR...
lim
x→x0
205
rn (x)
=
(x − x0 )n
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) − f (n) (x0 )(x − x0 )
=
n · (n − 1) · ... · 2 (x − x0 )
= lim
x→x0
=
1
lim
n! x→x
0
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) f (n) (x0 )(x − x0 )
−
x − x0
x − x0
=
1
lim
n! x→x
0
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 )
− f (n) (x0 )
x − x0
=
1
n!
lim
x→x0
!
=
!
=
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 )
− f (n) (x0 ) = 0.
x − x0
Il teorema è cosı̀ provato.
Considerata la funzione
rn (x)
(x−x0 )n
definita nell’insieme X −{x0 }, dalla (8.5)
segue che la seguente funzione:

rn (x)

se x ∈ X − {x0 }

 (x−x0 )n ,
ωn (x) =


 0
se x = x0 ,
è il prolungamento continuo, nel punto x0 , della funzione
(8.6)
rn (x)
(x−x0 )n .
Osserviamo che dalla (8.6) si ricava:
rn (x) = ωn (x)(x − xo )n , ∀x ∈ X;
(8.7)
infatti, se x ∈ X − {x0 } la (8.7) segue dalla la (8.6) e, se x = x0 risulta
rn (x0 ) = f (x0 ) − pn (x0 ) = 0 = ωn (x0 ).
Siccome dalle (8.2) e (8.4) si ottiene:
f (x) = f (x0 ) +
f n (x0 )
f 0 (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + rn (x),
1!
n!
(8.8)
206CAPITOLO 8. APPROSSIMABILITÀ INTORNO AD UN PUNTO ...
dalla (8.7) segue che:
f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 )
f n (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + ωn (x)(x − x0 )n ,
1!
n!
cioè:
f 0 (x0 )
(x − x0 ) + ... +
f (x) = f (x0 ) +
1!
!
f (n) (x0 )
+ ωn (x) (x − x0 )n . (8.9)
n!
La (8.9) si dice formula di Taylor della funzione f di ordine n e di punto
iniziale x0 , con il resto di Peano.
Passiamo, ora, a dimostrare il seguente:
Teorema 8.2.2. (Formula di Taylor con il resto di Lagrange)
Siano X un intervallo di R, x0 ∈ X ed f : X −→ R derivabile n + 1
volte in X. Allora, qualunque sia x ∈ X − {x0 }, esiste un punto ξ ∈ I(x0 , x)
(intervallo aperto di estremi x0 e x) tale che:
f (x) = f (x0 )+
f 0 (x0 )
f (n) (x0 )
f (n+1) (ξ)
(x−x0 )+...+
(x−x0 )n +
(x−x0 )n+1 ,
1!
n!
(n + 1)!
(8.10)
cioè:
rn (x) =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
(8.11)
La (8.10) prende il nome di formula di Taylor della funzione f , di ordine n
e di punto iniziale x0 , con il resto di Lagrange; la (8.11) prende il nome di
espressione del resto secondo Lagrange.
Dimostrazione. Sia, tanto per fissare le idee, x0 < x. Poiché rn (x) è un
infinitesimo in x0 di ordine maggiore di n, è naturale ricercare l’espressione
di rn (x) nella forma:
rn (x) = ψn (x)(x − x0 )n+1 .
(8.12)
Sostituendo la (8.12) nella (8.8) si ha che:
f (x) = f (x0 ) +
f (n) (x0 )
f 0 (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + ψn (x)(x − x0 )n+1 .
1!
n!
(8.13)
8.2. FORMULA DI TAYLOR...
207
Consideriamo la funzione ausiliaria che si ottiene dal secondo membro della
(8.13) sostituendo x0 con t:
g(t) = f (t)+
f (n) (t)
f 0 (t)
(x−t)+...+
(x−t)n +ψn (x)(x−t)n+1 ,
1!
n!
t ∈ [x0 , x].
Essendo f derivabile n + 1 volte in X si ha che g(t) è derivabile in [x0 , x];
inoltre, risulta:
g(x) = f (x) +
f (n) (x)
f 0 (x)
(x − x) + ... +
(x − x)n + ψn (x)(x − x)n+1 = f (x),
1!
n!
e, dalla (8.13) si ha che g(x0 ) = f (x). Conseguentemente, per il teorema di
Rolle, esiste un punto ξ ∈]x0 , x[ tale che g 0 (ξ) = 0.
Calcoliamo, ora, la derivata prima di g(t):
g 0 (t) = f 0 (t) + f 00 (t)(x − t) + f 0 (t)(−1) + ... +
f (n+1) (t)
(x − t)n +
n!
+
f (n) (t)
(x − t)n−1 (−1) + (n + 1)ψn (x)(x − t)n (−1) =
(n − 1)!
=
f (n+1) (t)
(x − t)n − (n + 1)ψn (x)(x − t)n ,
n!
dunque:
0 = g 0 (ξ) =
f (n+1) (ξ)
(x − ξ)n − (n + 1)ψn (x)(x − ξ)n ,
n!
da cui, essendo x − ξ 6= 0, si ha:
f (n+1) (ξ)
.
(n + 1)!
(8.14)
f 0 (0)
f (n) (0) n f (n+1) (ξ) n+1
x + ... +
x +
x
,
1!
n!
(n + 1)!
(8.15)
ψn (x) =
Dalle (8.12) e (8.14) segue la (8.11).
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
Se x0 = 0 la (8.10) diventa:
f (x) = f (0) +
208CAPITOLO 8. APPROSSIMABILITÀ INTORNO AD UN PUNTO ...
e prende il nome di formula di Mac-Laurin della funzione f di ordine n.
Esempi.
1.
Consideriamo la funzione f (x) = ex ed osserviamo che:
f k (x) = ex , ∀k ∈ N,
quindi, ∀k ∈ N, risulta f k (0) = 1.
Allora, la formula di Mac-Laurin di ordine n della funzione ex è data
da:
ex = 1 +
si noti che:
rn (x) =
2.
xn
x
+ ... +
+ rn (x);
1!
n!
eξ
xn+1 ,
(n + 1)!
ξ ∈ I(0, x).
Consideriamo la funzione f (x) = sen x ed osserviamo che:
f 0 (x) = cosx, f 00 (x) = −senx, f 000 (x) = −cosx, f (IV ) (x) = senx, ...,
quindi ∀k ∈ N ∪ {0} :
f (2k) (x) = (−1)k senx,
f (2k+1) (x) = (−1)k cosx,
(8.16)
dove, per convenzione, f (0) = f e (−1)0 = 1.
Dalla (8.16) segue che:
f (2k) (0) = 0,
f (2k+1) (0) = (−1)k ,
allora, la formula di Mac-Laurin di ordine 2n + 1 della funzione senx
è data da:
senx =
x
x3
x2n+1
−
+ ... + (−1)n
+ r2n+1 (x);
1!
3!
(2n + 1)!
si noti che:
r2n+1 (x) = (−1)n+1
senξ
x2n+2 ,
(2n + 2)!
ξ ∈ I(0, x).
8.2. FORMULA DI TAYLOR...
3.
209
Consideriamo la funzione f (x) = cos x ed osserviamo che:
f 0 (x) = −senx, f 00 (x) = −cosx, f 000 (x) = senx, f (IV ) (x) = cosx, ...,
quindi ∀k ∈ N:
f (2k) (x) = (−1)k cosx,
f (2k−1) (x) = (−1)k senx.
(8.17)
Dalla (8.17) segue che:
f (2k) (0) = (−1)k ,
f (2k−1) (0) = 0,
allora, la formula di Mac-Laurin di ordine 2n della funzione cosx è
data da:
cosx = 1 −
x2n
x2 x4
+
+ ... + (−1)n
+ r2n (x);
2!
4!
(2n)!
si noti che:
r2n (x) = (−1)n+1
4.
senξ
x2n+1 ,
(2n + 1)!
ξ ∈ I(0, x).
Consideriamo la funzione f (x) = log(x + 1), x ∈] − 1, +∞[ ed osserviamo che:
f 0 (x) =
1
1
2
, f 00 (x) = −
, f 000 (x) =
,
2
1+x
(1 + x)
(1 + x)3
f (IV ) (x) = −
2·3
, ...,
(1 + x)4
quindi ∀k > 1 :
f (k) (x) = (−1)k−1
(k − 1)!
.
(1 + x)k
Dunque:
f 0 (0) = 1
e f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)!
∀k ≥ 2,
allora, la formula di Mac-Laurin di ordine n della funzione log(x + 1)
è data da:
log(1 + x) = x −
xn
x2 x3
+
+ ... + (−1)n−1
+ rn (x).
2
3
n
210CAPITOLO 8. APPROSSIMABILITÀ INTORNO AD UN PUNTO ...
Si noti che:
rn (x) = (−1)n
8.3
1
1 n+1 n+1
x
,
n+1 1+ξ
ξ ∈ I(0, x).
Calcolo del limite di una funzione tramite la
formula di Mac-Laurin di alcune funzioni elementari.
a) Proviamo che:
x2
1
cosx − e− 2
=− .
lim
x→0 (log(1 + x))4
12
Osserviamo, innanzitutto, che:
x2
cosx − e− 2
cosx − e
lim
= lim
x→0 (log(1 + x))4
x→0
x4
d’altro canto:
cosx = 1 −
e
ex = 1 +
−x2
2
;
x2 x4
+
+ o(x4 ),
2!
4!
x2
x
+
+ o(x2 ),
1!
2!
quindi:
e−
x2
2
=1+
−x2
1 −x2 2
+
+ o(x4 );
2
2! 2
dunque:
cosx − e−
x2
2
=1−
x2 x4
+
+ o(x4 )−
2!
4!
−x2
1 −x2 2
− 1+
+
+ o(x4 ) =
2
2! 2
=
x4 x4
x4
−
+ o(x4 ) = − + o(x4 ).
24
8
12
8.3. CALCOLO DEL LIMITE DI UNA FUNZIONE...
Allora:
x2
211
4
− x12 + o(x4 )
cosx − e− 2
1
lim
=
lim
=− .
4
x→0 (log(1 + x))4
x→0
x
12
b) Proviamo che:
lim
1
−
1 = 0.
senx
x→0 x
Osserviamo, innanzitutto, che:
1
1 senx − x
senx − x
lim
−
= lim
= lim
;
x→0 x
x→0 xsenx
x→0
senx
x2
d’altro canto sappiamo che senx = x −
1
1 −
=
lim
x→0 x
senx
= lim
x−
x→0
x3
3!
x3
3!
+ o(x3 ), allora:
3
− x3! + o(x3 )
+ o(x3 ) − x
=
lim
= 0.
x→0
x2
x2
c) Proviamo che:
2log(1 + x) − 2senx + x2
2
√
= .
3
x→0
3
x +1−1
Osserviamo, innanzitutto, che:
lim
2log(1 + x) − 2senx + x2
2log(1 + x) − 2senx + x2
√
;
= lim
1 3
x→0
x→0
x3 + 1 − 1
2x
lim
d’altro canto:
senx = x −
e
log(1 + x) = x −
x3
+ o(x3 ),
3!
x2 x3
+
+ o(x3 ),
2
3
quindi:
2
2(log(1 + x) − senx) = −x2 + x3 + o(x3 ).
3
Allora:
2log(1 + x) − 2senx + x2
√
=
x→0
x3 + 1 − 1
lim
2 3
3
−x2 + 23 x3 + o(x3 ) + x2
4
3 x + o(x )
=
lim
=
.
1
1
3
3
x→0
x→0
3
2x
2x
= lim
212CAPITOLO 8. APPROSSIMABILITÀ INTORNO AD UN PUNTO ...
Capitolo 9
Applicazioni del calcolo
differenziale
9.1
Funzioni monotone.
Proposizione 9.1.1. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in
I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
1) f è crescente in I.
2) f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ I.
Dimostrazione. Proviamo che 1) =⇒ 2). Fissato un arbitrario punto x0 di
X, proviamo che f 0 (x0 ) ≥ 0.
Essendo f crescente in I si ha che:
x < x0 ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) e
allora:
f (x) − f (x0 )
≥ 0,
x − x0
x > x0 ⇒ f (x) ≥ f (x0 ),
∀x ∈ I − {x0 },
quindi:
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
Per l’arbitrarietà di x0 segue l’asserto.
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
213
214 CAPITOLO 9. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Proviamo che 2) =⇒ 1). Proviamo che, qualunque siano x1 , x2 ∈ I, con
x1 < x2 , risulta
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
A norma del teorema di Lagrange esiste un punto ξ ∈]x1 , x2 [ tale che:
f (x1 ) − f (x2 )
= f 0 (ξ),
x1 − x2
allora, essendo per ipotesi f 0 (ξ) ≥ 0 e x1 < x2 , si ha che f (x1 ) − f (x2 ) ≤ 0,
quindi f (x1 ) ≤ f (x2 ). L’asserto è cosı̀ provato.
Osservazione - Se nella Proposizione 9.1.1 non si suppone che I sia un
intervallo, l’equivalenza tra 1) e 2) non è detto che valga. Infatti, la funzione
tgx, che è definita nell’insieme X = R − { π2 + kπ : k ∈ Z}, non è crescente
in X nonostante abbia derivata prima, uguale a
1
,
cos2 x
strettamente positiva
in X.
Proposizione 9.1.2. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in
I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
10 ) f è decrescente in I.
20 ) f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ I.
Proposizione 9.1.3. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in
I. Se f 0 (x) > 0 in I allora la funzione f è strettamente crescente in I.
Dimostrazione. Qualunque siano x1 , x2 ∈ I, con x1 < x2 , proviamo che
f (x1 ) < f (x2 ).
A norma del teorema di Lagrange esiste un punto ξ ∈]x1 , x2 [ tale che:
f (x1 ) − f (x2 )
= f 0 (ξ),
x1 − x2
allora, essendo f 0 (ξ) > 0 e x1 < x2 , si ha che f (x1 ) − f (x2 ) < 0, quindi
f (x1 ) < f (x2 ).
L’asserto è cosı̀ provato.
9.1. FUNZIONI MONOTONE
215
Proposizione 9.1.4. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in
I. Se f 0 (x) < 0 in I allora la funzione f è strettamente decrescente in I.
Proposizione 9.1.5. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in
I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
i) f è strettamente crescente in I.
ii) f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ I, e non esiste un intervallo J ⊆ I tale che:
f 0 (x) = 0 ∀x ∈ J.
Dimostrazione. Proviamo che i) =⇒ ii). Essendo f strettamente crescente
in I, per la Proposizione 9.1.1, si ha che f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ I. D’altro canto,
se esistesse un intervallo J ⊆ I tale che f 0 (x) = 0, ∀x ∈ J, allora f sarebbe
costante in J in contrasto con l’ipotesi di stretta crescenza della f .
Proviamo che ii) =⇒ i). Essendo f 0 (x) ≥ 0 in I, per la Proposizione
9.1.1, si ha che f è crescente in I. Se non fosse strettamente crescente
esisterebbero x1 , x2 ∈ I, con x1 < x2 , tali che f (x1 ) = f (x2 ) allora, per
la crescenza di f , si avrebbe f (x1 ) = f (x) = f (x2 ), ∀x ∈ [x1 , x2 ], quindi
f sarebbe costante nell’intervallo [x1 , x2 ]. Conseguentemente, risulterebbe
f 0 (x) = 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ], in contrasto con le ipotesi.
La proposizione è cosı̀ dimostrata.
Proposizione 9.1.6. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in
I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
i0 ) f è strettamente decrescente in I.
ii0 ) f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ I, e non esiste un intervallo J ⊆ I tale che:
f 0 (x) = 0 ∀x ∈ J.
Passiamo, ora, al seguente teorema che fornisce una condizione sufficiente
per l’esistenza di un punto di massimo o di minimo relativo proprio di una
funzione.
216 CAPITOLO 9. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
◦
Teorema 9.1.7. Siano I un intervallo di R, x0 ∈ I e f : I −→ R derivabile
n volte in x0 . Se n è pari e risulta:
f 0 (x0 ) = ... = f n−1 (x0 ) = 0
e
f n (x0 ) 6= 0,
(9.1)
allora le seguenti proposizioni sono vere:
a) Se f n (x0 ) > 0 allora il punto x0 è un punto di minimo relativo proprio
per f .
b) Se f n (x0 ) < 0 allora il punto x0 è un punto di massimo relativo proprio
per f .
Dimostrazione. Proviamo la a) in modo analogo si prova la b).
Dalla (9.1) e dalla formula di Taylor di ordine n − 1 per la funzione f 0
di punto iniziale x0 e con il resto di Peano, segue che:
f 0 (x) = f 0 (x0 ) +
=
f n (x0 )
(n−1)!
f 00 (x0 )
1! (x
− x0 ) + ... +
f n (x0 )
(n−1)!
+ ωn−1 (x) (x − x0 )n−1 =
+ ωn−1 (x) (x − x0 )n−1 .
(9.2)
Essendo ωn−1 (x) infinitesima nel punto x0 e
f n (x
0)
> 0, esiste un δ > 0
tale che:
f n (x0 )
+ ωn−1 (x) > 0,
(n − 1)!
∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[;
d’altro canto, essendo n − 1 dispari, risulta (x − x0 )n−1 < 0 se x ∈]x0 − δ, x0 [
e risulta (x − x0 )n−1 > 0 se x ∈]x0 , x0 + δ[; dunque, dalla (9.2) segue che
f 0 (x) < 0 in ]x0 − δ, x0 [ e f 0 (x) > 0 in ]x0 , x0 + δ[. Conseguentemente,
la f è strettamente decrescente in ]x0 − δ, x0 [ e strettamente crescente in
]x0 , x0 + δ[, quindi x0 è un punto di minimo relativo proprio per f .
9.2. FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE
9.2
217
Funzioni convesse e funzioni concave.
Siano I un intervallo di R, f : I −→ R e Γ il diagramma di f .
Consideriamo due punti di Γ, P1 = (x1 , f (x1 )) e P2 = (x2 , f (x2 )), con
x1 < x2 . Le equazioni parametriche del segmento di estremi P1 e P2 sono
date da:



 x = x1 + (x2 − x1 )t,


 y = f (x ) + (f (x ) − f (x ))t, t ∈ [0, 1],
1
2
1
esse si possono scrivere anche nel modo seguente:



 x = tx2 + (1 − t)x1 ,


 y = tf (x ) + (1 − t)f (x ), t ∈ [0, 1];
2
1
dunque, il generico punto del segmento di estremi P1 e P2 ha coordinate:
(tx2 + (1 − t)x1 , tf (x2 ) + (1 − t)f (x1 )),
t ∈ [0, 1].
Osserviamo, inoltre, che il generico punto dell’arco di Γ di estremi P1 e P2
ha coordinate:
tx2 + (1 − t)x1 , f (tx2 + (1 − t)x1 ) ,
t ∈ [0, 1].
Definizione 9.2.1. La funzione f si dice convessa in I se, ∀x1 , x2 ∈ I, con
x1 < x2 , e ∀t ∈ [0, 1], risulta:
f (tx2 + (1 − t)x1 ) ≤ tf (x2 ) + (1 − t)f (x1 ).
(9.3)
Definizione 9.2.2. La funzione f si dice concava in I se, ∀x1 , x2 ∈ I, con
x1 < x2 , e ∀t ∈ [0, 1], risulta:
f (tx2 + (1 − t)x1 ) ≥ tf (x2 ) + (1 − t)f (x1 ).
(9.4)
218 CAPITOLO 9. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
La funzione f si dice strettamente convessa (risp. strettamente concava)
se nella (9.3) (risp. (9.4)) vale la disuguaglianza stretta ∀t ∈]0, 1[.
Dal punto di vista geometrico, la funzione f è convessa (risp. concava)
quando, comunque si fissino P1 e P2 su Γ, l’arco di Γ di estremi P1 e P2 si
trova al di sotto (risp. al di sopra) del segmento P1 P2 .
Si può dimostrare che:
Proposizione 9.2.3. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R. Se f è
convessa o concava nell’intervallo I, allora f è continua in I.
Teorema 9.2.4. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in I.
Le condizioni seguenti sono equivalenti:
i) f è convessa in I.
ii) Qualunque sia x0 ∈ I, il diagramma Γ di f è al di sopra della retta
tangente a Γ nel punto P0 = (x0 , f (x0 )), cioè risulta:
f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ), ∀x ∈ I.
Teorema 9.2.5. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile in I.
Le condizioni seguenti sono equivalenti:
i) f è concava in I.
ii) Qualunque sia x0 ∈ I, il diagramma Γ di f è al di sotto della retta
tangente a Γ nel punto P0 = (x0 , f (x0 )), cioè risulta:
f (x) ≤ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ), ∀x ∈ I.
Teorema 9.2.6. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile due
volte in I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
j) f è convessa in I.
9.3. PUNTI DI FLESSO
219
jj) f 00 (x) ≥ 0, ∀x ∈ I.
Teorema 9.2.7. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile due
volte in I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
j) f è concava in I.
jj) f 00 (x) ≤ 0, ∀x ∈ I.
Teorema 9.2.8. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile due
volte in I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
i) f è strettamente convessa in I.
ii) f 00 (x) ≥ 0, ∀x ∈ I, e non esiste un intervallo J ⊆ I tale che f 00 sia
identicamente nulla in J.
Teorema 9.2.9. Siano I un intervallo di R e f : I −→ R derivabile due
volte in I. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
i) f è strettamente concava in I.
ii) f 00 (x) ≤ 0, ∀x ∈ I, e non esiste un intervallo J ⊆ I tale che f 00 sia
identicamente nulla in J.
Osservazione - Ovviamente, se f 00 (x) > 0 (risp. f 00 (x) < 0) in I allora f
è strettamente convessa (risp. strettamente concava) in I.
9.3
Punti di flesso.
Definizione 9.3.1. Siano X un sottoinsieme di R, x0 un punto interno ad
X e f : X −→ R una funzione dotata di derivata nel punto x0 . Il punto
P0 = (x0 , f (x0 )) si dice punto di flesso per il diagramma di f , se esiste un
220 CAPITOLO 9. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
intorno ]x0 − δ, x0 + δ[ di x0 incluso in X tale che f è strettamente convessa
(risp. strettamente concava) in ]x0 − δ, x0 [ e f è strettamente concava (risp.
strettamente convessa) in ]x0 , x0 + δ[.
Denotiamo con Γ il diagramma della funzione f . Se P0 è un punto di
flesso per Γ, allora la tangente τ a Γ in P0 si dice tangente di flesso.
Si dimostra facilmente che:
Proposizione 9.3.2. Siano X ⊆ R, x0 un punto interno ad X e f : X → R
derivabile 2 volte in x0 . Se il punto P0 è un punto di flesso per Γ, allora
f 00 (x0 ) = 0.
Proviamo, ora, la seguente:
Proposizione 9.3.3. Siano X ⊆ R, x0 un punto interno ad X e f : X → R
derivabile 3 volte in x0 . Se:
f 00 (x0 ) = 0,
f 000 (x0 ) 6= 0,
allora il punto P0 è un punto di flesso per Γ.
Dimostrazione. Supponiamo, tanto per fissare la idee, che f 000 (x0 ) < 0.
Allora, essendo f 00 (x0 ) = 0, si ha:
0 > f 000 (x0 ) = lim
x→x0
f 00 (x)
f 00 (x) − f 00 (x0 )
= lim
,
x→x0 x − x0
x − x0
quindi, essendo x0 interno a X, per il teorema della permanenza del segno
esiste un δ > 0 tale che:
f 00 (x)
< 0,
x − x0
∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[.
Allora f 00 (x) > 0 in ]x0 −δ, x0 [ e f 00 (x) < 0 in ]x0 , x0 +δ[; conseguentemente,
f è strettamente convessa in ]x0 −δ, x0 [ e strettamente concava in ]x0 , x0 +δ[.
L’asserto è cosı̀ provato.
9.4. ASINTOTI
221
◦
Teorema 9.3.4. Siano X un intervallo di R, x0 ∈ X e f : X −→ R
derivabile n volte in x0 . Se n è dispari e risulta:
f 00 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0
e
f (n) (x0 ) 6= 0,
(9.5)
allora il punto (x0 , f (x0 )) è un punto di flesso per il diagramma di f .
La dimostrazione del Teorema 9.3.4 è analoga a quella del Teorema 9.1.7;
in questo caso, basta considerare la formula di Taylor di ordine n − 2 per la
funzione f 00 di punto iniziale x0 e con il resto di Peano, e seguire gli stessi
ragionamenti fatti nella dimostrazione del Teorema 9.1.7.
9.4
Asintoti.
Sia r una retta di equazione cartesiana y = mx+n. Siano X un sottoinsieme
di R non limitato superiormente, f : X → R e Γ diagramma di f .
Considerato il punto P = (x, f (x)) di Γ, la distanza di P da r è data da:
δ(x) =
| f (x) − mx − n |
√
.
1 + m2
Definizione 9.4.1. Si dice che la retta r, di equazione y = mx + n, è un
asintoto a destra per Γ se risulta:
lim δ(x) = 0.
x→+∞
(9.6)
Se m 6= 0 allora r si dice asintoto obliquo a destra per Γ; se m = 0 allora r
si dice asintoto orizzontale a destra per Γ.
In modo analogo si definisce l’asintoto a sinistra.
Chiaramente la (9.6) è equivalente alla condizione seguente:
lim (f (x) − mx − n) = 0,
x→+∞
(9.7)
e, cioè, al tendere di x a +∞ tende a zero la distanza tra l’ordinata del
punto (x, f (x)) e l’ordinata del punto di r avente la stessa ascissa x.
222 CAPITOLO 9. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Ora, proviamo che la condizione (9.7) è equivalente alle seguenti condizioni:
f (x)
= m ∈ R,
lim (f (x) − mx) = n ∈ R.
(9.8)
x→+∞ x
x→+∞
Infatti, se vale la (9.7) la seconda delle (9.8) è immediata; riguardo alla
lim
prima, basta osservare che:
f (x)
x→+∞ x
lim
f (x) − mx − n + mx + n
=
x→+∞
x
f (x) − mx − n
mx + n
= lim
+ lim
= 0 + m = m.
x→+∞
x→+∞
x
x
= lim
Viceversa, se valgono le (9.8) esse forniscono i numeri m ed n tali da
verificare la (9.7).
Per quanto detto sopra, possiamo concludere che:
la retta di equazione y = mx + n è un asintoto a destra per Γ se e solo se
valgono le (9.8).
Un discorso analogo vale per gli asintoti a sinistra.
Esempi.
1) Considata la funzione f (x) = logx, facciamo vedere che essa non ha
asintoti a destra. Infatti:
lim
x→+∞
logx
=0 e
x
lim logx = +∞.
x→+∞
√
2) Considata la funzione f (x) = 2x + x, x ≥ 0, facciamo vedere che essa
non ha asintoti a destra. Infatti:
√
√
2x + x
lim
=2 e
lim (2x + x − 2x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
x
Definizione 9.4.2. Siano X ⊆ R, x0 ∈ R−X e f : X → R. Se x0 ∈ DrXx+
0
e risulta:
lim f (x) = ±∞,
x→x+
0
allora si dice che la retta di equazione x = x0 è un asintoto verticale a destra
per il diagramma di f .
9.4. ASINTOTI
223
Definizione 9.4.3. Siano X ⊆ R, x0 ∈ R−X e f : X → R. Se x0 ∈ DrXx−
0
e risulta:
lim f (x) = ±∞,
x→x−
0
allora si dice che la retta di equazione x = x0 è un asintoto verticale a
sinistra per il diagramma di f .
Esempi.
a) Consideriamo la funzione f (x) = x1 , x ∈ R − {0}. Risultando:
lim
x→0+
1
= +∞
x
e
lim
x→0−
1
= −∞,
x
si ha che la retta di equazione x = 0 è un asintoto verticale sia a destra
che a sinistra per il diagramma di f .
b) Consideriamo la funzione f (x) =
1
,
(x−2)2
x ∈ R − {2}. Risultando:
1
= +∞,
x→2 (x − 2)2
lim
si ha che la retta di equazione x = 2 è un asintoto verticale sia a destra
che a sinistra per il diagramma di f .
224 CAPITOLO 9. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Capitolo 10
Integrazione indefinita
10.1
La nozione di integrale indefinito.
Richiamiamo le definizioni di primitiva di una funzione e di integrale indefinito già date nel Capitolo VII.
Definizione 10.1.1. Siano X ⊆ R e f : X → R. Una funzione ϕ : X → R
si dice primitiva di f se ϕ è derivabile in X e risulta:
ϕ0 (x) = f (x),
∀x ∈ X.
Definizione 10.1.2. Siano I un intervallo di R e f : I → R continua in
R
I. Si dice integrale indefinito di f , e si denota con il simbolo f (x)dx,
l’insieme costituito da tutte le primitive di f , cioè:
Z
f (x)dx = {ψ : ψ primitiva di f }.
Considerata una primitiva ϕ di f , abbiamo visto che:
Z
f (x)dx = {ϕ + c : c ∈ R};
di solito, con un abuso di notazione, si scrive:
Z
f (x)dx = ϕ + c
225
226
CAPITOLO 10.
10.2
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Integrali indefiniti fondamentali.
A)
xα+1
D
α+1
=x
Z
α
=⇒
xα+1
+ c,
α+1
xα dx =
∀α ∈ R − {−1}.
A0 )
Z
[f (x)]α f 0 (x)dx =
[f (x)]α+1
+ c,
α+1
∀α ∈ R − {−1}.
B)
1
D(log|x|) =
x
Z
1
dx = log|x| + c.
x
=⇒
B0)
Z
1 0
f (x)dx = log|f (x)| + c.
f (x)
C)
ax
D
loga
x
=a
Z
=⇒
ax dx =
ax
+ c.
loga
C 0)
Z
af (x) f 0 (x)dx =
af (x)
+ c.
loga
D)
Z
Dsenx = cosx
=⇒
cosxdx = senx + c.
D0 )
Z
cos(f (x))f 0 (x)dx = senf (x) + c.
E)
Z
Dcosx = −senx
=⇒
senxdx = −cosx + c.
10.3. LINEARITÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO.
227
E0)
Z
sen(f (x))f 0 (x)dx = −cos(f (x)) + c.
F)
1
Dtgx =
cos2 x
Z
=⇒
1
dx = tgx + c.
cos2 x
F 0)
Z
f 0 (x)
dx = tg(f (x)) + c.
cos2 f (x)
G)
1
Dcotgx = −
sen2 x
Z
=⇒
1
dx = −cotgx + c.
sen2 x
G0 )
Z
f 0 (x)
dx = −cotg(f (x)) + c.
sen2 f (x)
H) Concludiamo con il seguente integrale
Z
3x + 2
dx,
I=
x−3
osservato che 3x + 2 = 3(x − 3) + 11 si ha che:
Z
Z
Z
3(x − 3) + 11
1
I=
dx = 3 dx + 11
dx = 3x + 11log|x − 3| + c.
x−3
x−3
10.3
Linearità dell’integrale indefinito.
Proposizione 10.3.1. Siano f, g ∈ C 0 (I, R) e a, b ∈ R allora:
Z
Z
Z
(af (x) + bg(x))dx = a f (x)dx + b g(x)dx.
Esempio.
Z Z
Z
1
1
2
2
+ 2x dx =
dx + 2x2 dx = log|x| + x3 + c.
x
x
3
(10.1)
228
CAPITOLO 10.
10.4
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Integrale indefinito di una funzione razionale.
1) Siano a, b ∈]0, +∞[, vediamo come si calcolano gli integrali del tipo
Z
1
dx.
+b
ax2
Ad esempio, calcoliamo l’integrale:
Z
Z
Z
1
1
1
dx =
dx =
dx =
2 2
2 2
2x2 + 3
3( 3 x + 1)
3( 3 x + 1)
q
2
Z
Z
1 1
1
1
3
dx = √ √
dx =
=
q 2
q 2
3
3 2
2
2
+1
+1
3x
3x
q
= √16 arctg 23 x + c.
2) Siano a, b ∈]0, +∞[ e m, n ∈ R
Z
Z
Z
mx + n
mx
1
dx =
dx + n
dx,
2
2
2
ax + b
ax + b
ax + b
(10.2)
il secondo integrale del secondo membro della (10.2) è del tipo considerato in 1); quindi, occupiamoci solo del primo l’integrale:
Z
Z
Z
mx
m
2ax
m
D(ax2 + b)
dx
=
dx
=
dx =
ax2 + b
2a
ax2 + b
2a
ax2 + b
m
= 2a
log|ax2 + b| + c.
3) Siano p, q ∈ R, vediamo come si calcolano gli integrali del tipo
Z
x2
A tale scopo distinguiamo 3 casi:
1
dx.
+ px + q
10.4. INTEGRALE INDEFINITO DI UNA ...
229
3a ) Caso ∆ = p2 − 4q = 0:
Z
1
dx =
2
x + 4x + 4
Z
1
1
dx = −
+c
2
(x + 2)
x+2
3b ) Caso ∆ = p2 − 4q < 0:
Z
1
dx,
x2 + 3x + 4
I=
osservato che
x2 + 3x + 4 = x2 + 2 23 x +
9
4
−
9
4
+4=
3 2 7
7 2x + 3 2
√
= x+
+ =
+1 ,
2
4
4
7
si ha
4
I =
7
Z
2
=√
7
1
2x+3 2
√
7
2
dx = √
7
+1
2x+3
√
7
2
2x+3
√
+
7
D
Z
√2
7
Z
2x+3
√
7
2
dx =
+1
2
2x + 3 dx = √ arctg √
+ c.
7
7
1
3c ) Del caso ∆ = p2 − 4q > 0 ci occuperemo nel paragrafo successivo.
4) Siano m, n, p, q ∈ R, con ∆ = p2 − 4q < 0
Z
Z
2x + 2n
mx + n
m
m +p−p
dx
=
dx =
2
2
x + px + q
2
x + px + q
=
m
2
Z
2x + p
m 2n − mp dx
+
x2 + px + q
2
m
m
m 2n − mp = log(x2 + px + q) +
2
2
m
l’ultimo integrale è stato già considerato in 3).
Z
1
dx =
x2 + px + q
Z
x2
1
dx,
+ px + q
230
CAPITOLO 10.
10.5
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale il cui denominatore ha solo
zeri semplici.
Consideriamo un polinomio P2 (x), di grado n ≥ 2, a coefficienti reali.
Supponiamo che P2 (x) sia monico, i.e. il primo coefficiente è uguale a 1,
e che l’equazione
P2 (x) = 0
(10.3)
abbia r soluzioni reali semplici, i.e. tutte distinte tra loro, denotiamole con
α1 , ... , αr , e 2s soluzioni complesse β1 ± iγ1 , ... , βs ± iγs , anch’esse, tutte
semplici. Si noti che r + 2s = n = grP2 (x).
Considerata la generica coppia di soluzioni complesse e coniugate βj ±iγj
dell’equazione (10.3) osserviamo che
(x − (βj + iγj ))(x − (βj − iγj )) = ((x − βj ) + iγj )((x − βj ) − iγj ) =
= (x − βj )2 + γj2 = x2 − 2βj x + βj2 + γj2 ,
allora il polinomio P2 (x) si può scrivere come segue
P2 (x) = (x − α1 ) . . . (x − αr ) (x2 − 2β1 x + β12 + γ12 ) . . . (x2 − 2βs x + βs2 + γs2 ),
(10.4)
da cui, posto pj = −2βj e qj =
βj2
+
γj2 ,
la (10.4) possiamo scriverla come
segue
P2 (x) = (x − α1 ) ... (x − αr ) (x2 + p1 x + q1 ) ... (x2 + ps x + qs ).
(10.5)
Vale il seguente:
Teorema 10.5.1. Considerata la funzione razionale:
P1 (x)
,
P2 (x)
(10.6)
con grP1 (x) < grP2 (x), esistono n costanti A1 , ..., Ar , B1 , C1 , ..., Bs , Cs , tali
che:
r
s
X B j x + Cj
P1 (x) X Ai
=
+
.
P2 (x)
x − αi
x 2 + p j x + qj
i=1
j=1
(10.7)
10.5. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI
231
La (10.7) prende il nome di scomposizione in fratti semplici della funzione
razionale
P1 (x)
P2 (x) .
Dalla (10.7) e dalla proprietà di linearità dell’integrale indefinito otteniamo che:
Z
r
X
P1 (x)
dx =
P2 (x)
i=1
Z
s
X
Ai
dx +
x − αi
Z
j=1
B j x + Cj
dx.
+ p j x + qj
x2
Osservazione - Si noti che, se il grado del polinomio P1 (x) è maggiore
o uguale al grado del polinomio P2 (x), denotati con Q(x) e R(x), risp.,
il quoziente e il resto della divisione euclidea tra P1 (x) e P2 (x), si ha che
P1 (x) = P2 (x)Q(x) + R(x), quindi
R(x)
P1 (x)
= Q(x) +
.
P2 (x)
P2 (x)
In questo modo la funzione razionale è stata scomposta nella somma di un
polinomio (facilmente integrabile) e di una nuova funzione razionale il cui
numeratore ha grado minore del denominatore.
232
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Esempi.
1. Calcolare il seguente integrale:
Z
x2 + x + 1
dx.
(x + 2)(x2 − 1)
Osservato che P2 (x) = (x + 2)(x2 − 1) ha solo gli zeri semplici α1 =
−2, α2 = −1 e α3 = 1, per il Teorema 10.5.1 esistono tre costanti
A1 , A2 , A3 tali che:
A1
A2
A3
x2 + x + 1
=
+
+
=
2
(x + 2)(x − 1)
x+2 x−1 x+1
=
A1 (x − 1)(x + 1) + A2 (x + 2)(x + 1) + A3 (x + 2)(x − 1)
=
(x + 2)(x2 − 1)
=
A1 (x2 − 1) + A2 (x2 + 2x + x + 2) + A3 (x2 + 2x − x − 2)
=
(x + 2)(x2 − 1)
=
A1 x2 − A1 + A2 x2 + 3A2 x + 2A2 + A3 x2 + A3 x − 2A3
=
(x + 2)(x2 − 1)
=
(A1 + A2 + A3 )x2 + (3A2 + A3 )x − A1 + 2A2 − 2A3
.
(x + 2)(x2 − 1)
Da cui, per il Principio d’identità dei polinomi, deve risultare


 A1 + A2 + A3 = 1

3A2 + A3 = 1


 −A + 2A − 2A = 1,
1
2
3
risolvendo il sistema si ottiene A1 = 1, A2 = 12 , A3 = − 12 , allora
1
− 12
x2 + x + 1
1
2
=
+
+
.
(x + 2)(x2 − 1)
x+2 x−1 x+1
Conseguentemente, utilizzando la proprietà di linearità dell’integrale
si ha
R
x2 +x+1
dx
(x+2)(x2 −1)
=
R
1
x+2 dx
+
R
1
2
x−1 dx +
R
= log|x + 2| + 12 log|x − 1|
− 12
x+1 dx =
− 12 log|x +
1| + c.
10.5. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI
233
Vediamo, ora, un altro modo per calcolare le costanti A1 , A2 , A3 .
Partendo dall’uguaglianza
x2 + x + 1
A1
A2
A3
=
+
+
,
2
(x + 2)(x − 1)
x+2 x−1 x+1
(10.8)
e moltiplicando entrambi i membri della (10.8) per il denominatore di
A1 si ha
x2 + x + 1
A2 (x + 2) A3 (x + 2)
= A1 +
+
;
2
x −1
x−1
x+1
(10.9)
a questo punto, ponendo x = −2 nella (10.9), si ottiene
x2 + x + 1
A1 =
x2 − 1
=
x=−2
4−2+1
= 1.
4−1
Analogamente, se moltiplicando entrambi i membri della (10.8) per il
denominatore di A2 si ottiene
x2 + x + 1
(x − 1)
A3 (x − 1)
=
+ A2 +
;
(x + 2)(x + 1)
x+2
x+1
(10.10)
se nella (10.10) poniamo x = 1 si ottiene
x2 + x + 1
A2 =
(x + 2)(x + 1)
=
x=1
1+1+1
1
= .
3·2
2
In modo analogo si ricava che
1
A3 = − .
2
Quest’ultimo metodo è praticamente indispensabile quando il numero
delle radici reali è molto elevato.
2. Calcolare il seguente integrale
Z
x+1
dx.
(x − 1)(x2 − 3x + 3)
234
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Osservato che P2 (x) = (x − 1)(x2 − 3x + 3) ha uno zero reale α1 = 1
e due zeri complessi e coniugati, per il Teorema 10.5.1 esistono tre
costanti A, B, C tali che
x+1
(x−1)(x2 −3x+3)
=
A
Bx + C
+ 2
=
x − 1 x − 3x + 3
=
A(x2 − 3x + 3) + (Bx + C)(x − 1)
=
(x − 1)(x2 − 3x + 3)
=
Ax2 − 3Ax + 3A + Bx2 + Cx − Bx − C
=
(x − 1)(x2 − 3x + 3)
=
(A + B)x2 + (−3A − B + C)x + 3A − C
,
(x − 1)(x2 − 3x + 3)
da cui, per il Principio d’identità dei polinomi, deve risultare



 A+B =0
−3A − B + C = 1


 3A − C = 1,
risolvendo il sistema si ottiene A = 2, B = −2, C = 5, allora
2
−2x + 5
x+1
=
+ 2
.
2
(x − 1)(x − 3x + 3)
x − 1 x − 3x + 3
Conseguentemente, utilizzando la proprietà di linearità dell’integrale
10.5. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI
si ha:
Z
x+1
dx
(x−1)(x2 −3x+3)
Z
=2
1
dx +
x−1
−2x + 5
=
− 3x + 3
Z
x2
Z
2x − 3 − 2
dx =
x2 − 3x + 3
Z
2x − 3
dx + 2
2
x − 3x + 3
= 2log|x − 1| −
= 2log|x − 1| −
235
= 2log|x − 1| − log(x2 − 3x + 3) + 2
Z
x2
1
dx =
− 3x + 3
3
1
2x−3 2
Z
4
4
= 2log|x − 1| − log(x − 3x + 3) + √
3
2
Z
√
3
√2
3
2
2x−3
√
3
+1
dx =
dx =
+1
4
2x − 3
= 2log|x − 1| − log(x2 − 3x + 3) + √ arctg √
+ c;
3
3
si noti che, abbiamo tenuto conto del fatto che
2
9 9
x2 −3x+3 = x2 −2 x+ − +3 =
3
4 4
x−
2
3
2
+
3
3
=
4
4
2x − 3
√
3
2
+1 .
3. Calcolare il seguente integrale
Z
x2 + x + 1
dx.
(x + 2)(x2 + 1)
Osservato che P2 (x) = (x + 2)(x2 + 1) ha un zero reale α1 = −2 e due
zeri complessi e coniugati, esistono tre costanti A, B, C tali che
x2 + x + 1
A
Bx + C
=
+ 2
.
(x + 2)(x2 + 1)
x+2
x +1
(10.11)
Per calcolare le costanti A, B e C, seguiamo un procedimento diverso
da quello seguito nell’esempio 2.
236
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Moltiplicando entrambi i membri della (10.11) per il denominatore di
A si ottiene
x2 + x + 1
(Bx + C)(x + 2)
=A+
;
(10.12)
2
x +1
x2 + 1
osserviamo che, se nella (10.12) poniamo x = −2, otteniamo
2
x +x+1
4−2+1
3
A=
=
= .
2
x +1
4+1
5
x=−2
Allora
3
x2 + x + 1
Bx + C
5
=
+ 2
.
2
(x + 2)(x + 1)
x+2
x +1
(10.13)
A questo punto, allo scopo di calcolare B, moltiplichiamo entrambi i
membri della (10.13) per x
3
Bx2 + Cx
x3 + x2 + x
5x
=
+
(x + 2)(x2 + 1)
x+2
x2 + 1
(10.14)
ora, calcolando il limite per x → +∞ del primo e del secondo membro
della (10.14), si ottiene
1=
3
+B
5
=⇒
B =1−
3
2
= .
5
5
Sostituendo il valore di B nella (10.13), abbiamo
3
2
x2 + x + 1
5
5x + C
=
+
;
2
(x + 2)(x + 1)
x+2
x2 + 1
(10.15)
siccome i due membri della (10.15) devono coincidere per ogni x ∈
R − {−2}, se nella (10.15) diamo ad x il valore zero, otteniamo
3
1
= 5 +C
2
2
=⇒
C=
1
3
2
1
−
=
= .
2 10
10
5
Conseguentemente, essendo A = 35 , B =
Z
x2 + x + 1
3
= dx =
2
(x + 2)(x + 1)
5
Z
2
5
e C = 15 , si ha che:
1
dx +
x+2
Z
2
1
5x + 5
dx,
x2 + 1
ora, non bisogna far altro che calcolare due integrali già visti in precedenza.
10.6. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI ...
10.6
237
Scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale il cui denominatore ha almeno
uno zero con molteplicità maggiore di uno.
Consideriamo il polinomio P2 (x) di grado n ≥ 2. Supponiamo che P2 (x) sia
monico e che l’equazione P2 (x) = 0 abbia p soluzioni reali distinte tra loro
α1 ,..., αp , con molteplicità, risp., h1 , ..., hp , e 2v soluzioni complesse distinte
tra loro β1 ± iγ1 ,..., βv ± iγv , con molteplicità, risp., k1 , ..., kv ; si noti che
h1 + ... + hp + 2k1 + ... + 2kv = n = grP2 (x). Con un discorso analogo a
quello fatto nella sezione precedente otteniamo che:
P2 (x) = (x − α1 )h1 ... (x − αp )hp (x2 + p1 x + q1 )k1 ... (x2 + pv x + qv )kv .
Denotato con P2∗ (x) il polinomio che si ottiene da P2 (x) scalando di un’unità
gli esponenti dei fattori che compaiono in P2 (x), cioè:
P2∗ (x) = (x−α1 )h1 −1 ... (x−αp )hp −1 (x2 +p1 x+q1 )k1 −1 ... (x2 +pv x+qv )kv −1 ,
e posto m = grP2∗ (x), si può dimostrare che:
Teorema 10.6.1. Considerata la funzione razionale:
P1 (x)
,
P2 (x)
con grP1 (x) < grP2 (x), esistono n costanti A1 , ..., Ap , B1 , C1 , ..., Bv , Cv ,
b0 , ..., bm−1 , tali che:
p
v
X
X
Bj x + Cj
P1 (x)
Ai
=
+
+
2
P2 (x)
x − αi
x + p j x + qj
i=1
j=1
(10.16)
+
d b0 + b1 x + ... + bm−1
dx
P2∗ (x)
xm−1
.
La (10.16) prende il nome di formula di Hermite per la scomposizione in
fratti semplici della funzione razionale
P1 (x)
P2 (x) .
238
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Dalla (10.16) e dalla proprietà di linearità dell’integrale indefinito si ha
che:
Z
=
P1 (x)
dx =
P2 (x)
p Z
X
i=1
+
v
X
Ai
dx +
x − αi
j=1
Z
B j x + Cj
dx+
+ p j x + qj
x2
(10.17)
b0 + b1 x + ... + bm−1 xm−1
.
P2∗ (x)
Esempi.
1. Calcolare il seguente integrale
3x4 + 3x2 − x + 2
dx.
x5 + x3
Il polinomio P2 (x) = x5 + x3 = x3 (x2 + 1) ha uno zero reale α1 = 0
Z
con molteplicità tre e due zeri complessi e coniugati semplici, quindi
P2∗ (x) = x2 ed esistono cinque costanti A, B, C, b0 e b1 tali che
3x4 + 3x2 − x + 2
A Bx + C
d b0 + b1 x
= + 2
+
=
x5 + x3
x
x +1
dx
x2
=
A Bx + C
b1 x2 − (b0 + b1 x)2x
+ 2
+
=
x
x +1
x4
=
A Bx + C
−b1 x − 2b0
+ 2
+
=
x
x +1
x3
=
Ax2 (x2 + 1) + (Bx + c)x3 − (b1 x + 2b0 )(x2 + 1)
=
x5 + x3
=
Ax4 + Ax2 + Bx4 + Cx3 − b1 x3 − 2b0 x2 − b1 x − 2b0
=
x5 + x3
=
(A + B)x4 + (C − b1 )x3 + (A − 2b0 )x2 − b1 x − 2b0
.
x5 + x3
10.6. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI ...
239
Da cui, per il Principio d’identità dei polinomi, deve risultare


A+B =3






 C − b1 = 0
A − 2b0 = 3




−b1 = −1




−2b0 = 2,
e cioè


b1 = 1






 b0 = −1
A = 2b0 + 3 = −2 + 3 = 1




B =3−A




C = 1.
Conseguentemente
1 2x + 1
d −1 + x 3x4 + 3x2 − x + 2
= + 2
+
.
5
3
x +x
x x + 1 dx
x2
(10.18)
Allora, utilizzando la proprietà di linearità dell’integrale si ha
Z
Z
Z
Z
3x4 + 3x2 − x + 2
1
2x + 1
d −1 + x
dx
=
dx
+
dx
+
dx =
x5 + x3
x
x2 + 1
dx
x2
Z
= log|x| +
2x
dx +
2
x +1
Z
x2
1
x−1
dx +
=
+1
x2
= log|x| + log(x2 + 1) + arctgx +
x−1
+ c.
x2
2. Calcolare il seguente integrale
Z
x3
dx.
(x2 + x + 1)2
Il polinomio P2 (x) = (x2 + x + 1)2 due zeri complessi e coniugati con
molteplicità due, quindi P ∗ (x) = x2 +x+1 ed esistono quattro costanti
240
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
B, C, b0 e b1 tali che
x3
(x2 +x+1)2
b0 + b1 x
Bx + C
d
=
= 2
+
x + x + 1 dx x2 + x + 1
b1 (x2 +x+1)−(b0 +b1 x)(2x+1)
(x2 +x+1)2
=
Bx+C
x2 +x+1
=
(Bx+C)(x2 +x+1)+b1 x2 +b1 x+b1 −(2b0 x+b0 +2b1 x2 +b1 x)
(x2 +x+1)2
=
Bx3 +Bx2 +Bx+Cx2 +Cx+C+b1 x2 +b1 x+b1 −2b0 x−b0 −2b1 x2 −b1 x
(x2 +x+1)2
=
Bx3 +(B+C−b1 )x2 +(B+C−2b0 )x+C+b1 −b0
.
(x2 +x+1)2
+
=
=
=
Dunque, per il Principio d’identità dei polinomi, deve risultare



B=1



 B+C −b =0
1
 B + C − 2b0 = 0




 C + b1 − b0 = 0,
da cui si ricava che



B=1



 C = −1
3
1

b0 = 3




 b1 = 2 ,
3
Conseguentemente
1 2
x − 13
x3
d
3 + 3x
= 2
+
.
(x2 + x + 1)2
x + x + 1 dx x2 + x + 1
(10.19)
10.6. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI ...
241
Allora, utilizzando la proprietà di linearità dell’integrale si ha che
1 2
Z
Z
Z
x − 31
x3
d
3 + 3x
dx =
dx =
dx +
(x2 + x + 1)2
x2 + x + 1
dx x2 + x + 1
=
1
2
Z
2
1
2x − 23 + 1 − 1
3 + 3x
dx
+
=
x2 + x + 1
x2 + x + 1
1
1 5
= log(x2 + x + 1) + (− )
2
2 3
5
= log(x + x + 1) −
6
2
1
2
Z
Z
1
5 2
= log(x2 + x + 1) 2 − √
6 3
3
4
2
1
dx
3 + 3x
+
=
x2 + x + 1 x2 + x + 1
dx
2
2x+1
√
3
+
+1
√2
3
Z
2x+1
√
3
2
1
2
3 + 3x
x2 + x +
dx +
+1
1
=
1
2
3 + 3x
x2 + x +
1
1
2x + 1 + 2x
1
5
+ c.
= log(x2 + x + 1) 2 − √ arctg √
+ 23 3
x +x+1
3 3
3
=
242
CAPITOLO 10.
10.7
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Le funzioni iperboliche.
La funzione seno iperbolico si denota con il simbolo senh x ed è definita come
segue:
ex − e−x
∈ R.
(10.20)
2
= −senhx, la funzione senh x è una funzione
senh : x ∈ R −→
e−x −ex
2
Essendo senh(−x) =
dispari.
Osserviamo che, la funzione senh x è strettamente crescente in quanto
sia ex che −e−x sono funzioni strettamente crescenti. D’altro canto, dalla
continuità di ex e −e−x segue la continuità di senh x quindi, per il teorema
di Bolzano, la funzione senh x ha come codominio un intervallo; inoltre,
essendo
lim senh x = −∞,
x→−∞
lim senh x = +∞,
x→+∞
il codominio di senh x è tutto R. Conseguentemente, senh x è un omeomorfismo (i. e. invertibile e continua con la sua inversa) di R su R. Determiniamo
la funzione inversa della funzione senh x :
ex − e−x
= y ⇐⇒ ex − e−x = 2y ⇐⇒ e2x − 2yex − 1 = 0,
2
da cui
p
p
2y ± 4y 2 + 4
e =
= y ± y 2 + 1.
2
p
p
2
Siccome y − y + 1 < 0, l’unica soluzione è ex = y + y 2 + 1 cioè
p
x = log(y + y 2 + 1).
(10.21)
x
Allora, la funzione inversa della funzione senh x è la funzione
p
sett senh : y ∈ R −→ log(y + y 2 + 1) ∈ R,
(10.22)
che prende il nome di settore seno iperbolico.
La funzione coseno iperbolico si denota con il simbolo cosh x ed è definita
come segue:
cosh : x ∈ R −→
ex + e−x
∈ R.
2
(10.23)
10.7. LE FUNZIONI IPERBOLICHE
Essendo cosh (−x) =
e−x +ex
2
243
= coshx, la funzione cosh x è una funzione
pari; allora, per stabilire le proprietà di monotonia della funzione cosh x
basta considerare la restrizione di cosh x all’intervallo [0, +∞[. Osservato
che
d
cosh x = senh x,
dx
e che la funzione senh x è positiva in [0, +∞[ si ha che la restrizione della funzione cosh x all’intervallo [0, +∞[ è strettamente crescente; inoltre,
essendo cosh 0 = 1 e
lim cosh x = +∞,
x→+∞
il codominio della restrizione della funzione cosh x all’intervallo [0, +∞[ è
l’intervallo [1, +∞[.
Conseguentemente, la restrizione della funzione cosh x all’intervallo [0, +∞[
è un omeomorfismo di [0, +∞[ su [1, +∞[.
Determiniamo,ora, la funzione inversa della restrizione della funzione
cosh x all’intervallo [0, +∞[:
ex + e−x
= y ⇐⇒ ex + e−x = 2y ⇐⇒ e2x − 2yex + 1 = 0,
2
da cui
p
ex = y ± y 2 − 1
⇐⇒
p
x = log(y ± y 2 − 1).
Allora la funzione inversa della restrizione della funzione cosh x all’intervallo
[0, +∞[ è la funzione
p
sett cosh : y ∈ [1, +∞[−→ log(y + y 2 − 1) ∈ [0, +∞[,
(10.24)
e prende il nome di settore coseno iperbolico.
La funzione tangente iperbolica si denota con il simbolo tgh x ed è data
da:
tgh : x ∈ R −→
ex − e−x
∈] − 1, 1[.
ex + e−x
Si vede facilmente che:
D(tghx) =
4
;
cosh2 x
(10.25)
244
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
quindi, la funzione tghx è strettamente crescente nel suo insieme di definizione. La sua inversa è detta settore tangente iperbolica, si denota con il
simbolo setttghx ed è data da:
setttgh : y ∈] − 1, 1[ −→
1+y
1
∈ R.
log
2
1−y
(10.26)
Calcoliamo le derivate prime delle funzioni settore seno iperbolico, settore
coseno iperbolico e settore tangente iperbolica.
√
D(settsenhx) = D(log(x + x2 + 1)) =
1
2x
√
=
1+ √
=
x + x2 + 1 √ 2 x2 + 1
1
x2 + 1 + x
√
√
=
=
x + x2 + 1
x2 + 1
1
=√
,
2
x +1
(10.27)
√
D(settcoshx) = D(log(x + x2 − 1)) =
1
2x
√
=
1+ √
=
x + x2 − 1 √ 2 x2 − 1
1
x2 − 1 + x
√
√
=
=
x + x2 − 1
x2 − 1
1
=√
,
2
x −1
(10.28)
D(sett tghx) = D( 12 log 1+x
1−x ) =
1 1 − x 1 − x − (1 + x)(−1)
=
=
2 1+x
(1 − x)2
1
.
=
1 − x2
(10.29)
10.8. INTEGRALI DELLE FUNZIONI IRRAZIONALI
10.8
245
Integrali delle funzioni irrazionali.
A)
Z
1
D(arcsenx) = √
1 − x2
=⇒
√
1
dx = arcsenx + c.
1 − x2
A0 )
Z
f 0 (x)
p
dx = arcsenf (x) + c.
1 − f 2 (x)
B)
D(settsenh x) = √
Z
1
x2 + 1
=⇒
√
1
dx = settsenh x + c.
x2 + 1
B0)
f 0 (x)
Z
p
f 2 (x) + 1
dx = settsenhf (x) + c.
C)
Z
1
D(settcosh x) = √
2
x −1
=⇒
√
1
dx = settcosh x + c.
−1
x2
C 0)
Z
f 0 (x)
p
dx = settcoshf (x) + c.
f 2 (x) − 1
I) Siano a, b ∈]0, +∞[, vediamo come si calcolano gli integrali del tipo
Z
1
√
dx.
ax2 ± b
Ia )
Z
√
1
3x2 + 1
dx =
1
dx = √
√ 2
3
3x +1
1
R
r
= √13 settsenh
√
Z
3x + c.
√
3
r
dx =
√ 2
3x + 1
246
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
Ib )
Z
√
q
1
3x2 − 5
dx =
R
s 1 dx
2
q
√
3
5
x −1
5
= √13 settcosh
q
3
5x
= √13
R
s
q
3
5
2
3
x
5
dx =
−1
+ c.
II) Se m, n ∈ R e a, b ∈]0, +∞[, allora:
Z
Z
Z
2ax
mx + n
m
1
√
√
dx =
dx + n √
dx =
2a
ax2 ± b
ax2 ± b
ax2 ± b
m
=
2a
Z
2
(2ax)(ax ± b)
1
m (ax2 ± b) 2
+n
=
1
2a
2
Z
− 12
√
Z
dx + n
√
1
dx =
ax2 ± b
1
dx,
ax2 ± b
l’ultimo integrale è stato già considerato in I).
III) Siano p, q ∈ R, vediamo come si calcolano gli integrali del tipo:
Z
1
p
dx.
2
x + px + q
IIIa ) Vediamo il caso ∆ = p2 − 4q = 0
Z
1
√
dx =
x2 + 2x + 1
Z
1
dx =
|x + 1|
(
log(x + 1) + c se, x > −1,
−log(−x − 1) + c se, x < −1.
IIIb ) Vediamo il caso ∆ = p2 − 4q < 0
Z
√
x2
1
dx.
+ 3x + 3
Osservato che
3
9 9
3
3
3
x + 3x + 3 = x + 2 x + − + 3 = (x + )2 + =
2
4 4
2
4
4
2
2
2x + 3
√
3
2
+1 ,
10.8. INTEGRALI DELLE FUNZIONI IRRAZIONALI
247
si ha
Z
Z
1
1
√
dx = q q
dx =
2
2
3
2x+3
x + 3x + 3
√
+1
4
Z
=
3
√2
3
2x + 3
q
dx = settsenh √
2
2x+3
3
√
+1
+ c.
3
IIIc ) Vediamo il caso ∆ = p2 − 4q > 0
Z
√
x2
1
dx.
+ 5x + 4
Osservato che
25 25
5
x + 5x + 4 = x + 2 x + − + 4 =
2
4
4
2
2
5
x+
4
2
9
9
− =
4
4
2x + 5
3
2
−1 ,
si ha
Z
1
√
dx =
x2 + 5x + 4
Z
1
s
q
9
4
2
3
Z
=
2x+5
3
q
2x+5 2
3
dx =
2
−1
dx = settcosh
−1
2x + 5
3
+ c.
IV) Siano m, n, p, q ∈ R
Z
Z
+p−p
2x + 2n
mx + n
m
p
p m
dx =
dx =
2
x2 + px + q
x2 + px + q
=
m
2
Z
1
(2x + p)(x2 + px + q)− 2 dx +
1
m (x2 + px + q) 2
m 2n − mp =
+
1
2
2
m
2
m 2n − mp 2
m
Z
Z
1
p
dx =
2
x + px + q
1
p
dx,
2
x + px + q
248
CAPITOLO 10.
INTEGRAZIONE INDEFINITA
l’ultimo integrale è stato già considerato in III).
V) Consideriamo l’integrale
Z
1
p
dx,
−x2 + px + q
ovviamente tale integrale ha senso solo se ∆ = p2 + 4q > 0.
Si osservi che
−x2 + px + q = −(x2 − px) + q = −(x2 − 2 p2 x +
= −(x
=
p2
4
− p2 )2
p2 +4q
4
+ + q = −(x −
2 2x−p
1− √
,
p 2
2)
p2
4
+
p2
4 )+
p2 +4q
=
4
−
q=
p2 +4q
quindi
Z
1
p
−x2 + px + q
Z
dx =
√
2
p2 +4q
2x − p
r
+ c.
2 dx = arcsenp 2
p
+
4q
2x−p
1− √ 2
p +4q
Capitolo 11
Integrazione definita
11.1
Richiami sui sottoinsiemi di R2 .
Siano π un piano, Oxy un sistema di riferimento cartesiano ortogonale su π
e P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ) due punti di π.
a) La distanza tra P1 e P2 è il numero reale non negativo:
p
kP1 − P2 k = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
(11.1)
b) Se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2 , il rettangolo chiuso di estremi P1 e P2 è l’insieme:
[x1 , x2 ] × [y1 , y2 ] = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [x1 , x2 ] e y ∈ [y1 , y2 ]}.
(11.2)
In modo analogo si definisce il rettangolo aperto ]x1 , x2 [×]y1 , y2 [, semiaperto superiormente [x1 , x2 [×[y1 , y2 [, ... .
Il punto:
C=
x + x y + y 1
2
1
2
,
,
2
2
(11.3)
si dice centro del rettangolo di estremi P1 e P2 ; i numeri reali non negativi:
δ1 =
x2 − x1
,
2
δ2 =
249
y2 − y1
,
2
(11.4)
250
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
si dicono semidimensioni del rettangolo di estremi P1 e P2 . Si noti che:
[x1 , x2 ] × [y1 , y2 ] = [c1 − δ1 , c1 + δ1 ] × [c2 − δ2 , c2 + δ2 ] =
= {(x, y) ∈ R2 : |x − c1 | ≤ δ1 e |y − c2 | ≤ δ2 },
dove c1 =
x1 +x2
2
e c2 =
(11.5)
y1 +y2
2 .
c) Il quadrato aperto di centro il punto P0 = (x0 , y0 ) e semidimensione δ > 0
è dato da:
]x0 − δ, x0 + δ[×]y0 − δ, y0 + δ[=
= {(x, y) ∈ R2 : |x − x0 | < δ e |y − y0 | < δ};
(11.6)
il cerchio aperto di centro P0 = (x0 , y0 ) e raggio δ > 0 è dato da:
C(P0 , δ) = {P ∈ π : kP − P0 k < δ} =
p
= {(x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ}.
(11.7)
Definizione 11.1.1. Ogni rettangolo (risp. cerchio) aperto e non vuoto di
centro P0 si chiama intorno rettangolare (risp. circolare) di P0 .
Osservazione - Ogni intorno rettangolare di P0 contiene un intorno circolare di P0 e viceversa.
Definizione 11.1.2. Un sottoinsieme X di R2 si dice limitato se esiste un
cerchio di raggio δ > 0 che lo contiene.
Definizione 11.1.3. Sia X un sottoinsieme di R2 , un punto P0 si dice interno ad X se esiste un cerchio aperto di centro P0 contenuto in X; l’insieme
◦
dei punti interni ad X si denota con X e si chiama interno di X. Il punto
P0 si dice esterno ad X se è interno al suo complementare R2 − X.
Definizione 11.1.4. Il punto P0 si dice punto di frontiera per X se non è
né interno né esterno ad X; l’insieme dei punti di frontiera per X si denota
con il simbolo F rX oppure con ∂X e si chiama frontiera di X.
11.2. RICHIAMI SULLA TEORIA DELLA MISURA ...
251
Definizione 11.1.5. Sia X un sottoinsieme di R2 , si dice reticolazione o
partizione di X ogni insieme costituito da un numero finito di sottoinsiemi
di X a due a due privi di punti interni in comune e tali che la loro unione
sia X.
Definizione 11.1.6. Un punto P0 di R2 si dice punto d’accumulazione per
il sottoinsieme X di R2 quando, qualunque sia l’intorno I di P0 , risulta:
I ∩ (X − {P0 }) 6= ∅.
11.2
(11.8)
Richiami sulla teoria della misura secondo
Peano-Jordan in R2 .
Definizione 11.2.1. Sia I = [a, b]×[c, d] un rettangolo di R2 , si dice misura
elementare di I il numero reale non negativo:
m(I) = (b − a)(d − c).
(11.9)
Definizione 11.2.2. Si dice plurirettangolo chiuso di R2 ogni unione di un
numero finito di rettangoli chiusi di R2 .
Definizione 11.2.3. Siano P un plurirettangolo chiuso di R2 e {I1 , ..., In }
una partizione di P costituita da rettangoli chiusi di R2 , si dice misura
elementare di P il numero reale non negativo:
m(P ) =
n
X
m(Ii ).
(11.10)
i=1
(Si può provare che il numero dato dalla (11.10) non varia al variare della
partizione di P costituita da rettangoli chiusi di R2 ).
Denotato con P l’insieme dei plurirettangoli chiusi di R2 , si può considerare la funzione:
m : P ∈ P −→ m(P ) ∈ [0, +∞[,
essa prende il nome di misura elementare nell’insieme P.
(11.11)
252
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
La funzione (11.11) gode delle seguenti proprietà:
1) Finita additività:
◦
◦
P1 , P2 ∈ P, P1 ∩ P2 = ∅ =⇒ m(P1 ∪ P2 ) = m(P1 ) + m(P2 ).
(11.12)
2) Crescenza:
P1 , P2 ∈ P, P1 ⊆ P2 =⇒ m(P1 ) ≤ m(P2 ).
(11.13)
◦
Definizione 11.2.4. Sia X un sottoinsieme di R2 limitato e tale che X 6= ∅.
Considerati i seguenti sottoinsiemi di [0, +∞[:
A = {m(P 0 ) : P 0 ∈ P e P 0 ⊆ X},
B = {m(P 00 ) : P 00 ∈ P e X ⊆ P 00 },
(11.14)
si dice misura interna di X, e si denota con il simbolo mi (X), il numero
reale positivo:
mi (X) = sup A;
(11.15)
si dice misura esterna di X, e si denota con il simbolo me (X), il numero
reale positivo:
me (X) = inf B.
(11.16)
Dalla crescenza della misura elementare in P segue che:
mi (X) = sup A ≤ inf B = me (X),
(11.17)
dunque A e B sono separati.
◦
Definizione 11.2.5. Sia X un sottoinsieme di R2 limitato tale che X 6= ∅.
L’insieme X si dice misurabile secondo Peano-Jordan se gli insiemi A e B
sono contigui, in tal caso si pone:
m(X) = mi (X) = me (X).
◦
(11.18)
Osserviamo che, se X = ∅ allora A = {0}, quindi è naturale dare la
seguente:
11.2. RICHIAMI SULLA TEORIA DELLA MISURA ...
253
◦
Definizione 11.2.6. Sia X un sottoinsieme di R2 limitato tale che X = ∅.
L’insieme X si dice misurabile secondo Peano-Jordan se:
me (X) = inf B = 0,
(11.19)
ovviamente, in questo caso, m(X) = 0.
Dalla caratterizzazione dei sottoinsiemi contigui di R seguono immediatamente le seguenti due proposizioni:
Proposizione 11.2.7. Sia X un sottoinsieme di R2 limitato e tale che
◦
X 6= ∅. X è misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se:
∀ε > 0 ∃P 0 , P 00 ∈ P : P 0 ⊆ X ⊆ P 00 e m(P 00 ) − m(P 0 ) < ε.
(11.20)
Proposizione 11.2.8. Sia X un sottoinsieme di R2 limitato e tale che
◦
X = ∅. X è misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se:
∀ε > 0 ∃P ∈ P : X ⊆ P e m(P ) < ε.
(11.21)
Vale, inoltre, la seguente:
Proposizione 11.2.9. Sia X un sottoinsieme di R2 limitato. X è misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se ∂X è misurabile secondo PeanoJordan e m(∂X) = 0.
Esempio di insieme non misurabile secondo Peano-Jordan.
Proviamo che l’insieme X = [0, 1]2 ∩ Q2 non è misurabile secondo Peano◦
Jordan. Siccome X = ∅, per provare che X non è misurabile basta far vedere
che la misura esterna di X è positiva; ma ciò è evidente visto che ogni P
appartenente a P e includente X include [0, 1]2 quindi me (X) = m([0, 1]2 ) =
inf B = 1.
Considerato l’insieme:
M = {X ⊆ R2 : X è limitato e misurabile secondo Peano-Jordan},
si può provare che
254
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
Proposizione 11.2.10. Qualunque siano X, Y ∈ M risulta:
X ∪ Y ∈ M,
X ∩ Y ∈ M,
X − Y ∈ M.
(11.22)
Proposizione 11.2.11. Se {Xn } è una successione di elementi di M tale
che:
∞
[
Xn ∈ M
e
Xi ∩ Xj = ∅, ∀i 6= j,
n=1
allora:
m
∞
[
∞
X
Xn =
m(Xn ).
n=1
n=1
(11.23)
Consideriamo, ora, la funzione:
m : X ∈ M −→ m(X) ∈ [0, +∞[,
(11.24)
essa si chiama misura secondo Peano-Jordan in M; il valore che essa assume
in un X ∈ M si dice misura secondo Peano-Jordan di X.
Si dimostra che
Proposizione 11.2.12. Qualunque siano X, Y ∈ M risulta:
◦
◦
X ∩ Y = ∅ =⇒ m(X ∪ Y ) = m(X) + m(Y );
(11.25)
X ⊆ Y =⇒ m(X) ≤ m(Y );
(11.26)
X ⊆ Y =⇒ m(Y − X) = m(Y ) − m(X);
(11.27)
m(X ∪ Y ) = m(X) + m(Y ) − m(X ∩ Y ).
(11.28)
◦
Proposizione 11.2.13. Se X ∈ M allora X ∈ M e X ∈ M, inoltre:
◦
m(X) = m(X) = m X .
Ora, occupiamoci della misurabilità dei sottoinsiemi non limitati di R2 .
A tale scopo, consideriamo la successione {In } di quadrati di R2 , dove:
In = [−n, n]2 ,
∀n ∈ N.
11.3. MISURABILITÀ DEL RETTANGOLOIDE
255
Definizione 11.2.14. Sia X un sottoinsieme non limitato di R2 . L’insieme
X si dice misurabile secondo Peano-Jordan se per ogni n ∈ N risulta:
X ∩ In ∈ M.
In tal caso, si pone:
m(X) = lim m(X ∩ In ).
n→+∞
(11.29)
Si noti che:
X ∩ In ⊆ X ∩ In+1 ,
∀n ∈ N,
quindi dalla (11.26) segue la crescenza della successione {m(X ∩ In )} allora:
m(X) = lim m(X ∩ In ) = sup m(X ∩ In ).
n→+∞
11.3
n
Misurabilità del rettangoloide.
Siano [a, b] un intervallo compatto di R, con a < b, e x0 , x1 , ..., xn , n+1
punti di [a, b] tali che:
a = x0 < x1 < ... < xn = b .
D’ora in poi, col simbolo D(x0 , x1 , ..., xn ) denoteremo la seguente partizione
di [a, b]:
{[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], ..., [xn−1 , xn ]}.
Il numero reale:
δD = max (xi − xi−1 ).
1≤i≤n
si dice ampiezza della partizione D(x0 , x1 , ..., xn ).
Definizione 11.3.1. Sia f : [a, b] → [0, +∞[. Il sottoinsieme di R2 :
R = {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]},
si chiama rettangoloide di base [a, b] relativo alla funzione f .
256
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
Proviamo il seguente:
Teorema 11.3.2. Se f ∈ C 0 ([a, b], [0, +∞[) allora il rettangoloide R è
misurabile secondo Peano-Jordan.
Dimostrazione. Se f è identicamente nulla, allora R coincide col segmento
dell’asse x di estremi a e b, quindi è misurabile ed ha misura nulla.
Se f non è identicamente nulla allora R ha interno non vuoto, dunque
per provare la misurabilità di R basta far vedere che:
∀ε > 0 ∃P 0 , P 00 ∈ P
: P 0 ⊆ R ⊆ P 00 e m(P 00 ) − m(P 0 ) < ε.
(11.30)
A norma del Teorema di Cantor, la funzione f è uniformemente continua in
[a, b], quindi:
: x0 , x00 ∈ [a, b] e | x0 − x00 |< δε =⇒
∀ε > 0 ∃δε > 0
(11.31)
ε
.
=⇒| f (x ) − f (x ) |<
b−a
0
00
Allo scopo di dimostrare la (11.30), fissiamo un ε > 0, consideriamo un
δε > 0 determinato dalla (11.31) e scegliamo una partizione D(x0 , x1 , ..., xn )
di [a, b] avente ampiezza δD < δε .
Osserviamo che qualunque sia i ∈ {1, ..., n}, considerato l’intervallo
[xi−1 , xi ], per il Teorema di Weierstrass esistono xi , xi ∈ [xi−1 , xi ] tali che:
f (xi ) = mi =
min
xi−1 ≤x≤xi
f (x)
e
f (xi ) = Mi =
max
xi−1 ≤x≤xi
f (x);
allora, essendo:
| xi − xi |≤ xi − xi−1 ≤ δD < δε ,
dalla (11.31) segue che:
Mi − mi = f (xi ) − f (xi ) <
ε
.
b−a
(11.32)
Ora, consideriati i plurirettangoli:
PD0 =
n
[
n
[
([xi−1 , xi ] × [0, mi ] e PD00 =
[xi−1 , xi ] × [0, Mi ] ,
i=1
i=1
11.3. MISURABILITÀ DEL RETTANGOLOIDE
257
osserviamo che:
PD0 ⊆ R ⊆ PD00 .
(11.33)
Inoltre, posto sD = m(PD0 ) e SD = m(PD00 ), si ha che:
SD − s D =
n
X
(xi − xi−1 )Mi −
i=1
=
n
X
n
X
(xi − xi−1 )mi =
i=1
(xi − xi−1 )(Mi − mi ).
i=1
Allora, per la (11.32):
SD − sD <
=
ε
b−a
n
X
i=1
n
X
(xi − xi−1 )
i=1
ε
=
b−a
ε
(xi − xi−1 ) =
(b − a) = ε,
b−a
(11.34)
per l’arbitrarietà di ε, dalla (11.33) e dalla (11.34) segue la (11.30).
Il teorema è cosı̀ dimostrato.
Ora, consideriamo gli insiemi:
H = {sD ∈ [0, +∞[ : D = D(x0 , x1 , ..., xn ) generica partizione di [a, b]},
K = {SD ∈ [0, +∞[ : D = D(x0 , x1 , ..., xn ) generica partizione di [a, b]}.
Osserviamo che, qualunque siano le partizioni D1 (x00 , x01 , ..., x0n1 ) e D2 (x000 , x001 , ..., x00n2 )
di [a, b], considerati i plurirettangoli:
PD0 1
n1 [
=
[x0i−1 , x0i ]
×
(1)
[0, mi ]
e
PD00 2
=
i=1
n2 [
(2)
[x00i−1 , x00i ] × [0, Mi ] ,
i=1
si ha che:
PD0 1 ⊆ R ⊆ PD00 2 ,
quindi:
sD1 = m(PD0 1 ) ≤ SD2 = m(PD00 2 ),
dunque H e K sono separati.
258
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
D’altro canto, nella dimostrazione del Teorema 11.3.2 abbiamo visto che:
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε =⇒ SD − sD < ε,
(11.35)
quindi H e K oltre ad essere separati sono anche contigui.
Conseguentente:
sup sD = inf SD ;
D
D
ed essendo:
sD ≤ m(R) ≤ SD ,
(11.36)
si ha che:
sup sD = m(R) = inf SD .
(11.37)
D
D
Osservazione - Siano f ∈ C 0 ([a, b], [0, +∞[) e D(x0 , x1 , ..., xn ) una partizione di [a, b]. Poniamo, per ogni i ∈ {1, ..., n}:
Ii = [xi−1 , xi ],
mi = min f (Ii ),
Mi = max f (Ii ).
Qualunque sia i ∈ {1, ..., n}, denotato con ξi un generico punto di Ii ,
poniamo:
Ri0 = Ii × [0, mi ],
Ri = Ii × [0, f (ξi )],
Ri00 = Ii × [0, Mi ].
Ovviamente, qualunque sia i ∈ {1, ..., n}, essendo mi ≤ f (ξi ) ≤ Mi risulta:
Ri0 ⊆ Ri ⊆ Ri00 ,
quindi :
m(Ri0 ) ≤ m(Ri ) ≤ m(Ri00 ).
Allora, posto:
PD0 =
n
[
Ri0 ,
PD =
i=1
n
[
i=1
Ri ,
PD00 =
n
[
Ri00 ,
i=1
e:
sD = m(PD0 ) =
n
X
i=1
(xi − xi−1 )mi ,
SD = m(PD00 ) =
n
X
(xi − xi−1 )Mi ,
i=1
11.4. INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE
σD = m(PD ) =
n
X
259
(xi − xi−1 )f (ξi ),
i=1
si ha che:
sD ≤ σD ≤ SD .
(11.38)
Conseguentemente, per la (11.36) si ha:
| σD − m(R) |≤ SD − sD ,
e, per la (11.35) risulta che:
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε , ∀ξi ∈ Ii ⇒| σD −m(R) |< ε.
(11.39)
11.4
Integrale definito di una funzione.
Iniziamo col provare il seguente
Teorema 11.4.1. Se f ∈ C 0 ([a, b], R), allora esiste un unico numero reale
λ soddisfacente la condizione seguente:
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε , ∀ξi ∈ Ii =⇒| σD − λ |< ε,
(11.40)
dove Ii = [xi−1 , xi ] e σD =
Pn
i=1 (xi
− xi−1 )f (ξi ).
Dimostrazione. Iniziamo col provare l’unicità di λ. Siano λ0 e λ00 due numeri
reali soddisfacenti la (11.40); allora, fissato un arbitrario ε > 0, si ha che:
∃δε0 > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε0 , ∀ξi ∈ Ii =⇒| σD − λ0 |< ε,
∃δε00 > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε00 , ∀ξi ∈ Ii =⇒| σD − λ00 |< ε.
Conseguentemente, posto δε = min{δε0 , δε00 }, per ogni D(x0 , x1 , ..., xn ) partizione di [a, b], con δD < δε , si ha:
| λ0 − λ00 |=| λ0 − σD + σD − λ00 |≤| λ0 − σD | + | σD − λ00 |< 2ε,
260
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
quindi, per l’arbitrarietà di ε > 0, segue λ0 = λ00 . L’unicità di λ è cosı̀
provata.
Ora, passiamo a dimostrare l’esistenza di λ. Per fare ciò distinguiamo
tre casi:
i) f ∈ C 0 ([a, b], [0, +∞[),
ii) f ∈ C 0 ([a, b], ] − ∞, 0]),
iii) f ∈ C 0 ([a, b], R).
Nel caso i), considerato il rettangoloide:
R = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y ∈ [0 , f (x )]},
dall’unicità del numero reale λ soddisfacente la (11.40) e dalla (11.39) segue
che:
λ = m(R).
Nel caso ii), proviamo che λ = −m(R0 ), dove:
R0 = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y ∈ [f (x ), 0 ]}.
Innanzitutto, osserviamo che il rettangoloide relativo alla funzione −f , continua e non negativa in [a, b]:
R00 = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y ∈ [0 , −f (x )]},
è il simmetrico, rispetto all’asse x, di R0 ; quindi, essendo R00 misurabile, si
ha che R0 è misurabile e risulta m(R0 ) = m(R00 ). Inoltre, per quanto detto
in i), risulta che:
∀ε > 0
∃δε > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε , ∀ξi ∈ Ii =⇒
n
X
=⇒|
(xi − xi−1 )(−f (ξi )) − m(R0 ) |< ε.
i=1
(11.41)
11.4. INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE
261
D’altro canto, essendo:
!
n
n
X
X
0 0
(xi − xi−1 )f (ξi ) + m(R ) =
(xi − xi−1 )(−f (ξi )) − m(R ) = −
i=1
i=1
n
X
= (xi − xi−1 )f (ξi ) + m(R0 ) =| σD − (−m(R0 )) |,
i=1
dalla (11.41) segue che:
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε , ∀ξi ∈ Ii =⇒ σD − (−m(R0 )) < ε,
dall’unicità di λ segue che λ = −m(R0 ).
Per concludere la dimostrazione del teorema ci resta da esaminare il caso
iii). Iniziamo col considerare le funzioni seguenti:
f − : x ∈ [a, b] → min{0, f (x)}.
f + : x ∈ [a, b] → max{0, f (x)},
Denotiamo con R+ e R− i rettangoloidi di base [a, b] relativi, risp., alle
funzioni f + e f − .
Posto:
+
σD
n
X
=
(xi − xi−1 )f + (ξi ),
−
σD
=
n
X
(xi − xi−1 )f − (ξi ),
i=1
i=1
proviamo che:
λ = m(R+ ) − m(R− ).
A tale scopo, osserviamo che f (x) = f + (x) + f − (x), ∀x ∈ [a, b], e che:
σD =
n
X
i=1
(xi − xi−1 )f (ξi ) =
n
X
(xi − xi−1 )(f + (ξi ) + f − (ξi )) =
i=1
n
n
X
X
+
−
=
(xi − xi−1 )f + (ξi ) +
(xi − xi−1 )f − (ξi ) = σD
+ σD
.
i=1
i=1
Ora, osservato che la funzione f + è non negativa e che la funzione f − è non
positiva, per quanto detto in i) e ii), fissato un ε > 0 risulta che:
+
∃δε+ > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε+ , ∀ξi ∈ Ii =⇒| σD
− m(R+ ) |< ε,
262
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
−
∃δε− > 0 : ∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε− , ∀ξi ∈ Ii =⇒| σD
+ m(R− ) |< ε,
dunque, posto δε = min{δε+ , δε− }, si ha che:
+
−
∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε , ∀ξi ∈ Ii =⇒| σD
−m(R+ ) | + | σD
+m(R− ) |< 2ε.
(11.42)
D’altro canto, essendo:
+
−
+ σD
− m(R+ ) + m(R− ) |≤
σD − m(R+ ) − m(R− ) =| σD
+
−
≤| σD
− m(R+ ) | + | σD
+ m(R− ) |,
dalla (11.42) segue che:
∀D(x0 , x1 , ..., xn ), δD < δε , ∀ξi ∈ Ii =⇒| σD − (m(R+ ) − m(R− )) |< 2ε,
da cui, per l’arbitrarietà di ε segue l’asserto.
Il teorema è cosı̀ provato.
Definizione 11.4.2. Sia f ∈ C 0 ([a, b], R); il numero reale λ soddisfacente
la (11.40) si chiama integrale definito della funzione f esteso all’intervallo
[a, b] e si denota col simbolo:
Z
f (x)dx,
(11.43)
[a,b]
la funzione f si dice funzione integranda.
Il simbolo
R
è una deformazione della lettera S, iniziale della parola
somma, e si chiama segno di integrale, il prodotto f (x)dx sta a ricordare i
prodotti f (ξi )(xi − xi−1 ) presenti nella somma integrale σD .
Tenendo presente quanto detto nella dimostrazione del Teorema 11.4.1,
si ha che:
a) Se f ∈ C 0 ([a, b], [0, +∞[), allora:
Z
f (x)dx = m(R).
[a,b]
11.5. PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO
263
b) Se f ∈ C 0 ([a, b], ] − ∞, 0]), allora:
Z
f (x)dx = −m(R0 ).
[a,b]
c) Se f ∈ C 0 ([a, b], R), allora:
Z
f (x)dx = m(R+ ) − m(R− ).
[a,b]
L’integrale definito della funzione f esteso all’intervallo [a, b] si denota
anche col simbolo:
Zb
f (x)dx.
a
Il suddetto simbolo, a differenza del simbolo (11.43), ha senso anche quando
b < a, cosı̀ si pone:
Zb
f (x)dx =
a
 R


 [a,b] f (x)dx
se a ≤ b


 −R
[b,a] f (x)dx
se b < a .
Il punto a si dice primo estremo di integrazione e il punto b si dice secondo
estremo di integrazione.
11.5
Proprietà dell’integrale definito.
E’ immediato verificare che:
I) Se f ∈ C 0 ([a, b], [0, +∞[), allora:
Z
Z
f (x)dx ≤
f (x)dx,
[α,β]
[a,b]
Inoltre, se a < b, allora:
Z
f (x)dx = 0
[a,b]
∀[α, β] ⊆ [a, b].
⇐⇒
f (x) = 0, ∀x ∈ [a, b].
264
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
II) Se f ∈ C 0 ([a, b], R), allora:
R
| f (x) | dx =
[a,b]
R
(f + (x) − f − (x))dx =
[a,b]
=
R
[a,b]
f + (x)dx −
R
[a,b]
f − (x)dx = m(R+ ) + m(R− ).
11.5. PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO
265
III) Se f ∈ C 0 ([a, b], R), il modulo dell’integrale della funzione f è minore
o uguale dell’integrale del modulo di f , cioè:
Z
Z
| f (x) | dx.
f (x)dx ≤
[a,b]
[a,b]
Infatti, risulta | m(R+ ) − m(R− ) |≤ m(R+ ) + m(R− ).
IV) Qualunque sia α ∈ R, risulta:
Z
αdx = α(b − a).
[a,b]
Infatti, σD =
Pn
i=1 (xi
− xi−1 )α = α(b − a).
V) Se f ∈ C 0 ([a, b], R), qualunque sia c ∈ [a, b], risulta:
Z
Z
Z
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx,
[a,b]
[a,c]
[c,b]
e, più in generale, qualunque siano x, y, z ∈ [a, b], vale la seguente
proprietà di finita additività dell’integrale:
Zy
Zy
Zz
f (t)dt +
f (t)dt =
x
x
f (t)dt.
z
VI) Qualunque siano α, β ∈ R e f1 , f2 ∈ C 0 ([a, b], R), vale la seguente
proprietà di linearità dell’integrale:
Z
Z
Z
(αf1 (x) + βf2 (x))dx = α
f1 (x)dx + β
f2 (x)dx.
[a,b]
[a,b]
[a,b]
VII) Qualunque siano f1 , f2 ∈ C 0 ([a, b], R), tali che f1 (x) ≤ f2 (x),
∀x ∈ [a, b], vale la seguente proprietà di monotonia dell’integrale:
Z
Z
f1 (x)dx ≤
f2 (x)dx.
[a,b]
[a,b]
266
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
Proviamo, ora, la proposizioni seguente:
Proposizione 11.5.1. (Proprietà di continuità dell’integrale)
Sia f ∈ C 0 ([a, b], R). Qualunque sia ε > 0 esiste un δε > 0 tale che,
qualunque sia [a0 , b0 ] ⊆ [a, b], se b0 − a0 < δε allora:
Z
f (x)dx < ε.
(11.44)
[a0 ,b0 ]
Dimostrazione. Consideriamo un l > 0 tale che | f (x) |≤ l, ∀x ∈ [a, b].
Fissato un generico ε > 0 e posto δε = εl , qualunque sia [a0 , b0 ] ⊆ [a, b],
con b0 − a0 < δε , risulta:
Z
Z
f (x) dx ≤
[a0 ,b0 ]
| f (x) | dx ≤ l(b0 − a0 ) < lδε = ε.
[a0 ,b0 ]
L’asserto è cosı̀ provato.
Passiamo, ora, al seguente:
Teorema 11.5.2. (Teorema della media integrale) Se f ∈ C 0 ([a, b], R),
allora esiste un punto ξ ∈ [a, b] tale che:
Z
f (x)dx = f (ξ)(b − a).
[a,b]
Dimostrazione. Posto m = min f ([a, b]) e M = max f ([a, b]), si ha:
m ≤ f (x) ≤ M,
∀x ∈ [a, b],
quindi, dalla proprietà di monotonia dell’integrale:
Z
Z
Z
mdx ≤
f (x)dx ≤
M dx.
[a,b]
[a,b]
[a,b]
Dalla (11.45) e dalla IV) segue che:
Z
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a),
[a,b]
(11.45)
11.5. PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO
267
da cui, dividendo tutto per b − a si ottiene:
R
f (x)dx
[a,b]
m≤
b−a
≤ M.
Allora, dal teorema di Bolzano segue l’esistenza di un ξ ∈ [a, b] tale che:
R
f (x)dx
[a,b]
= f (ξ),
b−a
da cui segue l’asserto.
Definizione 11.5.3. Siano I un intervallo di R, f ∈ C 0 (I, R) e x0 ∈ I. La
funzione:
Zx
F : x ∈ I −→
f (t)dt,
(11.46)
x0
si chiama funzione integrale della funzione f di punto iniziale x0 .
Proviamo il seguente:
Lemma 11.5.4. (Lemma fondamentale del calcolo integrale)
La funzione F definita dalla (11.46) è derivabile in I e risulta:
Zx
d
F (x) =
dx
0
f (t)dt = f (x), ∀x ∈ I,
x0
dunque, F è una primitiva di f ed è l’unica che si annulla in x0 .
Dimostrazione. Siano x un generico punto di I e ∆x ∈ R − {0} tale che
x + ∆x ∈ I. Osserviamo che:
x+∆x
R
F (x+∆x)−F (x)
∆x
=
x0
Rx
x0
∆x
x+∆x
R
=
f (t)dt−
f (t)dt
x
∆x
,
x+∆x
R
f (t)dt
=
f (t)dt+
x0
x
R0
x
∆x
f (t)dt
=
268
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
quindi, per il Teorema della media esiste un θ ∈ [0, 1] tale che:
F (x + ∆x) − F (x)
= f (x + θ∆x).
∆x
Conseguentemente, a norma della continuità di f in x si ha:
f (x) = lim f (x + θ∆x) = lim
∆x→0
∆x→0
F (x + ∆x) − F (x)
= F 0 (x).
∆x
Dall’arbitrarietà di x ∈ I segue l’asserto.
Osservazione - Dal Lemma fondamentale del calcolo integrale segue che:
Se f ∈ C 0 (I, R), allora una primitiva di f è data dalla (11.46), quindi:
Zx
Z
f (x)dx =
f (t)dt + c,
x0
con c generico elemento di R e x0 generico elemento di I.
Teorema 11.5.5. (Teorema fondamentale del calcolo integrale)
Siano f ∈ C 0 (I, R) e G una primitiva di f . Allora, fissato un x0 ∈ I,
risulta:
Zx
f (t)dt = G(x) − G(x0 ) = [G(t)]xx0 .
x0
Dimostrazione. Essendo G una primitiva di f , da quanto detto nell’Osservazione 1, esiste un c ∈ R tale che:
Zx
G(x) =
f (t)dt + c,
x0
da cui segue che G(x0 ) = c e quindi l’asserto.
11.6. INTEGRAZIONE PER PARTI
11.6
269
Integrazione per parti.
Proposizione 11.6.1. Se f, g ∈ C 0 ([a, b], R), allora:
Zb
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) a −
0
Zb
f 0 (x)g(x)dx.
(11.47)
a
a
Dimostrazione. Basta osservare che:
d
(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x),
dx
quindi:
Zb
d
(f (x)g(x))dx =
dx
Zb
Zb
0
f (x)g(x)dx +
a
a
f (x)g 0 (x)dx,
a
cioè:
b
f (x)g(x) a =
Zb
Zb
0
f (x)g(x)dx +
a
f (x)g 0 (x)dx,
a
da cui segue la (11.47).
Esempi.
a)
Z
Z
xD(−cosx)dx = −xcosx +
xsenxdx =
b)
Z
Z
arctgxdx =
Z
Z
arctgxD(x)dx = xarctgx−
cosxdx = −xcosx + senx + c.
x
1
dx = xarctgx− log(1+x2 )+c.
2
1+x
2
270
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
c) Sia α ∈ R − {−1}:
R
xα logxdx
=
R
=
logx xα+1
α+1
logxD
xα+1
α+1
−
R
α+1
dx = logx xα+1 −
1 xα+1
α+1 α+1
1 xα+1
x α+1 dx
=
+ c.
Si noti che, per α = −1 l’integrale si calcola senza far uso del metodo di
integrazione per parti; infatti:
Z
Z
Z
1
1
D(log 2 x) = log 2 x + c.
x−1 logxdx = logxD(logx)dx =
2
2
d)
R
Z
sen(mx)cos(nx)dx =
sen(mx)sen(nx)
=
−
n
sen(nx)
dx =
sen(mx)D
n
Z
cos(mx) m
Z
sen(nx)
dx =
n
cos(nx)
cos(mx)D −
dx =
n
=
sen(mx)sen(nx) m
−
n
n
=
Z
cos(nx)
cos(nx)
sen(mx)sen(nx) m
−
cos(mx) −
− −msen(mx) −
dx =
n
n
n
n
sen(mx)sen(nx)
m
m2
=
+ 2 cos(mx)cos(nx) + 2
n
n
n
Z
sen(mx)cos(nx)dx,
allora:
Z
m2
sen(mx)sen(nx)
m
sen(mx)cos(nx)dx =
+ 2 cos(mx)cos(nx),
1− 2
n
n
n
da cui segue:
Z
sen(mx)cos(nx)dx =
n2
n2 − m 2
sen(mx)sen(nx) m
+ 2 cos(mx)cos(nx) +c.
n
n
11.6. INTEGRAZIONE PER PARTI
271
e)
R
log n xdx =
da cui, posto In =
R
log n xD(x)dx = log n x x −
R
= x log n x − n log n−1 xdx,
R
R
nlog n−1 x x1 xdx =
log n xdx, si ottiene la seguente formula ricorrente
In = x log n x − n In−1 .
(11.48)
Sostituendo, nella (11.48), n con n − 1 si ottiene
In−1 = x log n−1 x − (n − 1) In−2 ;
quindi
In = xlog n x−nxlog n−1 x−n(n−1)In−2 = x[log n x−nlog n−1 x]−(n−1) In−2 .
Si noti che, se nella (11.48) si pone n = 1 si ha
I1 = x logx − I0 ,
da cui, essendo
Z
I0 =
dx = x + c,
otteniamo che
Z
log n xdx = x log n x − nlog n−1 x + n(n − 1)log n−2 x + · · · + (−1)n n! + c.
f)
R
xn D(−cosx)dx = −xn cosx + nxn−1 cosxdx =
R
= −xn cosx + nxn−1 D(senx)dx =
R
= −xn cosx + n xn−1 senx − (n − 1)xn−2 senxdx =
R
= −xn cosx + nxn−1 senx − n(n − 1) xn−2 senxdx,
R
da cui, posto In = xn senxdx, si ottiene la seguente formula ricorrente
R
xn senxdx =
R
In = −xn cosx + nxn−1 senx − n(n − 1)In−2 .
272
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
g)
R
senn xdx =
senn−1 xD(−cosx)dx =
R
= −senn−1 xcosx + (n − 1)senn−2 xcos2 xdx =
R
= −senn−1 xcosx + (n − 1) senn−2 x(1 − sen2 x)dx =
R
R
= −senn−1 xcosx + (n − 1) senn−2 xdx − (n − 1) senn xdx,
R
dunque
Z
(1 + n − 1)
senn xdx = −senn−1 cosx + (n − 1)
Z
senn−2 xdx,
cioè
Z
senn−1 xcosx n − 1
+
senn−2 xdx,
sen xdx = −
n
n
R
da cui, posto In = senn xdx, si ottiene la seguente formula ricorrente
Z
n
In = −
h)
Z
7
2
sen xcos xdx =
Z
senn−1 xcosx n − 1
+
In−2 .
n
n
7
2
sen x(1 − sen x)dx =
Z
7
sen xdx −
(11.49)
Z
sen9 xdx,
a questo punto basta applicare la formula ricorrente (11.49).
i)
R
sen8 x
cos2 xdx =
8
Z
sen8 x 2
sen8 x
=
cos x −
2cosx(−senx)dx =
8
8
Z
sen8 x 2
1
=
cos x +
sen9 xcosxdx =
8
4
sen8 x 2
1
cos x + sen10 x + c.
=
8
40
sen7 xcos3 xdx =
Z
D
11.7. INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
11.7
273
Integrazione per sostituzione.
In questo paragrafo con I e J denotiamo due intervalli di R.
Proposizione 11.7.1. Siano ϕ ∈ C 1 (J, I) e f ∈ C 0 (I, R). Se F è una
primitiva di f allora la funzione F (ϕ(t)) è una primitiva di f (ϕ(t))ϕ0 (t).
Dimostrazione. Infatti D(F (ϕ(t))) = F 0 (ϕ(t))ϕ0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t).
Proposizione 11.7.2. Siano ϕ ∈ C 1 (J, I) e f ∈ C 0 (I, R). Qualunque siano
t1 , t2 ∈ J risulta:
Zt2
ϕ(t
Z 2)
0
f (ϕ(t))ϕ (t)dt =
t1
f (x)dx.
(11.50)
ϕ(t1 )
Dimostrazione. Denotata con F una primitiva di f , si ha
Zt2
t
f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F (ϕ(t)) t21 = F (ϕ(t2 )) − F (ϕ(t1 )) =
0
t1
ϕ(t
Z 2)
f (x)dx.
ϕ(t1 )
Proposizione 11.7.3. Siano ϕ ∈ C 1 (J, I) e f ∈ C 0 (I, R). Se ϕ è invertibile
allora, qualunque siano x1 , x2 ∈ I risulta:
ϕ−1
Z (x2 )
Zx2
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
f (x)dx =
x1
(11.51)
ϕ−1 (x1 )
Dimostrazione. Denotata con F una primitiva di f , si ha
Rx2
x1
x
f (x)dx = F (x) x21 = F (x2 ) − F (x1 ) = F (ϕ(ϕ−1 (x2 ))) − F (ϕ(ϕ−1 (x1 ))) =
ϕ−1 (x )
= F (ϕ(t)) ϕ−1 (x21 ) =
L’asserto è cosı̀ dimostrato.
ϕ−1
R(x2 )
ϕ−1 (x
1)
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
274
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
Esempi.
A) Se R(ax ) è una funzione razionale di ax , allora gli integrali del tipo:
Z
R(ax )dx,
si calcolano con la sostituzione t = ax e quindi x = loga t.
Calcolare l’integrale
Z2
I=
22x
dx.
1 + 23x
1
Posto t =
2x ,
dx =
i.e. x = log2 t, e osservato che
1
dt;
tlog2
si ha
Z4
I=
x = 1 ⇒ t = 2,
t2
1
1
dt =
3
1 + t tlog2
log2
2
x = 2 ⇒ t = 4,
Z4
t
dt,
1 + t3
2
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
B) Se R(senx, cosx) è una funzione razionale delle funzioni senx e cosx,
allora gli integrali del tipo:
Z
R(senx, cosx)dx,
si calcolano con la sostituzione t = tg x2 e quindi x = 2arctgt; è
utile ricordare che senx =
2t
1+t2
e cosx =
1−t2
1+t2
.
Calcolare l’integrale
π
Z2
I=
senx + cosx
dx.
senx − cosx
− π2
Posto t = tg x2 , i.e. x = 2arctgt, e osservato che
dx =
2
dt;
1 + t2
x=−
π
⇒ t = −1,
2
x=
π
⇒ t = 1,
2
11.7. INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
275
si ha
Z1
I
2t
1+t2
=
2t
2
−1 1+t
+
−
1−t2
1+t2
1−t2
1+t2
2
dt = 2
1 + t2
Z1
−t2 + 2t + 1
dt,
(1 + t2 )(t2 + 2t − 1)
−1
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
C) Se R(sen2 x, cos2 x, senxcosx, tgx) è una funzione razionale delle funzioni
sen2 x, cos2 x, senxcosx, tgx, allora gli integrali del tipo:
Z
R(sen2 x, cos2 x, senxcosx, tgx)dx,
si calcolano con la sostituzione t = tgx e quindi x = arctgt; è utile
ricordare che sen2 x =
t2
1+t2
e cos2 x =
1
1+t2
.
Calcolare l’integrale
π
Z4
I=
sen2 x + senxcosx
dx.
(1 + tg 2 x)2
0
Posto t = tgx, i.e. x = arctgt, e osservato che
dx =
1
dt;
1 + t2
x = 0 ⇒ t = 0,
x=
π
⇒ t = 1,
4
si ha che
Z1
I=
t2
1+t2
+
1+
t
1+t2
t2
1
dt =
(1 + t2 )2
0
Z1
t2 + t
dt,
(1 + t2 )4
0
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
D) Se R(x,
√
n
αx + β) è una funzione razionale, allora gli integrali del tipo:
Z
p
R(x, n αx + β)dx,
si calcolano con la sostituzione t =
√
n
αx + β e quindi x =
tn −β
α .
276
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
Calcolare l’integrale
√
x − 3x + 1
dx.
x2
Z4
I=
1
√
Posto t = 3x + 1, i.e. x =
2
dx = tdt,
3
t2 −1
3 ,
e osservato che
√
x = 4 ⇒ t = 13,
x = 1 ⇒ t = 2,
si ha
√
Z13 t2 −1
3 −t
t2 −1 2
( 3 )
I=
2
2
tdt,
3
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
p
p
E) Se R x, n1 αx + β, . . . , ns αx + β è una funzione razionale, allora gli
integrali del tipo:
Z
p
p
R x, n1 αx + β, . . . , ns αx + β dx,
si calcolano con la sostituzione t =
√
n
αx + β e quindi x =
tn −β
α ,
dove n = m.c.m.{n1 , . . . , ns }.
Calcolare l’integrale
Z2
I=
√
3
x
√ dx.
1+3 x
1
Posto t =
√
6
x e quindi x = t6 , e osservato che
dx = 6t5 dt,
x = 1 ⇒ t = 1,
si ha
√
6
Z
I=
1
2
x=2⇒t=
t2
6t5 dt,
1 + 3t3
√
6
2,
11.7. INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
277
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
q
F) Se R x, n αx+β
è una funzione razionale, allora gli integrali del tipo:
γx+δ
Z
s
R x,
n
αx + β dx,
γx + δ
si calcolano con la sostituzione t =
q
n
αx+β
γx+δ .
Calcolare l’integrale
Z4r
I=
x+1 1
dx.
x − 2 3x
3
q
Posto t = x+1
x−2 e quindi x =
−6t
dx = 2
dt;
(t − 1)2
2t2 +1
,
t2 −1
e osservato che
r
x = 3 ⇒ t = 2,
x=4⇒t=
5
,
2
si ha
q
q
5
2
Z
I=
t
2
1
3 2t+1
t2 −1
−6t
dt =
− 1)2
5
Z2
(t2
−2t2
dt,
(2t + 1)(t2 − 1)
2
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
s
s
αx + β
αx + β
G) Se R x, n1
, . . . , ns
è una funzione razionale, allora
γx + δ
γx + δ
gli integrali del tipo:
s
s
n1 αx + β
ns αx + β
R x,
,...,
dx,
γx + δ
γx + δ
q
si calcolano con la sostituzione t = n αx+β
γx+δ .
Z
p
H) Sia R(x, αx2 + βx + γ) una funzione razionale. Per calcolare gli
278
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
integrali del tipo:
Z
p
R(x, αx2 + βx + γ)dx,
bisogna distinguere due casi:
H1 ) α > 0 e ∆ 6= 0.
H2 ) α < 0 e ∆ > 0.
Caso H1 ). In questo caso si considera la sostituzione razionalizzante:
p
αx2 + βx + γ
√
t−x=
.
α
Ad esempio, calcoliamo l’integrale:
Z
I=
1p 2
x + x + 1 dx.
x2
√
Posto t − x = x2 + x + 1 si ha x =
dx =
t2 −1
2t+1
quindi
4t2 + 2t − 2t2 + 2
2t2 + 2t + 2
2t(2t + 1) − (t2 − 1)2
dt
=
dt
=
dt;
(2t + 1)2
(2t + 1)2
(2t + 1)2
inoltre
p
x2 + x + 1 = t −
Allora
Z
I=
t2 − 1
2t2 + t − t2 + 1
t2 + t + 1
=
=
.
2t + 1
2t + 1
2t + 1
t2 + t + 1 2t2 + 2t + 2
dt,
(2t + 1)2
( 2t+1 )2 2t + 1
1
t2 −1
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
Caso H2 ). In questo caso si può supporre α = −1, in caso contrario basta
mettere in evidenza −α. Consideriamo, dunque, gli integrali del tipo:
Z
p
R(x, −x2 + βx + γ)dx,
11.7. INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
279
supponendo che ∆ = β 2 + 4γ sia maggiore di zero.
Denotati con x1 e x2 gli zeri del trinomio −x2 + βx + γ, e supposto
x1 < x2 , si considera la sostituzione razionalizzante:
r
x2 − x
.
t=
x − x1
Ad esempio, calcoliamo l’integrale:
Z
1
√
I=
dx.
(2 + x) 2 + x − x2
q
Osservato che x1 = −1 e x2 = 2, si pone t = 2−x
x+1 e quindi x =
=
2−t2
,
1+t2
t2 −2
−1−t2
da cui si ricava
dx =
−6t
−2t(1 + t2 ) − (2 − t2 )2t
dt =
dt;
2
2
(1 + t )
(1 + t2 )2
inoltre
r
r
p
p
2−x
2−x
2
2
2 + x − x = (2 − x)(x + 1) =
(x + 1) = (x + 1)
,
x+1
x+1
si noti che abbiamo messo (x + 1) invece che |x + 1| in quanto x deve
appartenere all’intervallo [−1, 2] visto che il segno del primo coefficiente
del trinomio 2 + x − x2 è negativo.
Allora
Z
I=
2+
2−t2
1+t2
1
−6t
dt,
2−t2
( 1+t2 + 1)t (1 + t2 )2
a questo punto il problema è risolto, basta calcolare l’integrale di una
funzione razionale.
280
CAPITOLO 11. INTEGRAZIONE DEFINITA
Capitolo 12
Serie numeriche
12.1
Serie numeriche. Criterio di Cauchy per le
serie.
Definizione 12.1.1. Sia {xn } una successione di numeri reali. Qualunque
sia n ∈ N, diremo somma parziale n-ma della successione {xn } il numero
reale:
sn =
n
X
xi .
i=1
La successione delle somme parziali n-me di {xn } :
{sn },
si dice serie numerica di termine generale xn e si denota con uno dei simboli:
x1 + x2 + ... + xn + ...,
∞
X
xn ,
n=1
X
n≥1
xn ,
X
xn ;
(12.1)
n∈N
la successione {xn } si dice successione generatrice della serie (12.1).
Definizione 12.1.2. La serie (12.1) si dice convergente, divergente, regolare
oppure non regolare se tale è la successione delle somme parziali {sn }.
281
282
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
Se la serie (12.1) è regolare, il limite della successione {sn } si dice somma
della serie e si denota con gli stessi simboli con cui abbiamo denotato la serie:
x1 + x2 + ... + xn + ...,
∞
X
xn ,
n=1
X
xn ,
n≥1
X
xn .
n∈N
Usufruendo del Criterio di Cauchy per le successioni numeriche proviamo
la seguente:
Proposizione 12.1.3. (Criterio di Cauchy per le serie)
La serie (12.1) converge se e solo se:
∀ε > 0 ∃νε : n > νε ⇒ | xn+1 + ... + xn+p |< ε, ∀p ∈ N.
(12.2)
Dimostrazione. A norma del Criterio di Cauchy, applicato alla successione
delle somme parziali {sn }, abbiamo che:
∀ε > 0 ∃νε : m, n > νε ⇒ | sm − sn |< ε.
(12.3)
Supposto, per fissare le idee, m > n e quindi m = n + p, con p ∈ N, la (12.3)
diventa:
∀ε > 0 ∃νε : n > νε ⇒ | xn+1 + ... + xn+p |< ε, ∀p ∈ N.
(12.4)
L’asserto è cosı̀ provato.
D’ora in poi, il numero reale xn+1 + ... + xn+p lo chiameremo resto
parziale della serie (12.1) di indici n e p e lo denoteremo con il simbolo
rn,p .
Dalla (12.2), per p = 1, segue banalmente la seguente:
Proposizione 12.1.4. Condizione necessaria affinché la serie (12.1) converga è che la successione {xn } sia infinitesima.
Mostriamo con un esempio che la suddetta condizione non è sufficiente;
cioè, facciamo vedere che la serie (12.1) può non convergere anche se la
successione generatrice {xn } è infinitesima.
12.1. SERIE NUMERICHE. CRITERIO DI CAUCHY ...
283
A tale scopo, consideriamo la serie:
∞
1+
X1
1 1
1
+ + ... + + ... =
,
2 3
n
n
(12.5)
n=1
che è detta serie armonica. Osservato che la successione generatrice { n1 } è
infinitesima, dimostriamo che la serie da essa generata diverge positivamente.
Sappiamo che (1 + n1 )n < e, ∀n ∈ N, quindi:
1 n
1
1 1
log 1 +
< 1 ⇐⇒ n log(1 + ) < 1 ⇐⇒ log 1 +
< ,
n
n
n
n
da cui segue che:
s0n
=
n
X
i=1
n
X1
1
< sn =
.
log 1 +
i
i
i=1
Allora l’asserto sarà provato se mostreremo che la serie {s0n } diverge positivamente.
Si noti che:
n
n
X
1 X i + 1
3
n+1
s0n =
log 1 +
=
= log 2 + log + ... + log
=
log
i
i
2
n
i=1
i=1 = log 2 · 32 · ... · n+1
= log(n + 1),
n
quindi:
lim s0
n→+∞ n
= lim log(n + 1) = +∞.
n→+∞
Consideriamo, ora, la serie resto n-mo della serie (12.1), cioè la serie:
∞
X
xi = xn+1 + xn+2 + xn+3 + ... ,
(12.6)
i=n+1
Ovviamente si ha che:
La serie (12.1) converge (risp. diverge negativamente, diverge positivamente,
non regolare) se e solo se la serie (12.6) converge (risp. diverge negativamente, diverge positivamente, non regolare); cioè, la serie (12.6) ha lo stesso
carattere della serie (12.1).
284
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
Infine, osserviamo che:
Se la serie (12.6) converge, detta rn la sua somma, risulta:
∞
X
xn = sn + rn .
(12.7)
n=1
12.2
Serie geometrica.
Si dice serie geometrica di ragione x e primo termine 1 la serie seguente:
1 + x + x2 + ... + xn + ... .
(12.8)
Vogliamo studiare il carattere della serie (12.8) al variare di x in R. Osserviamo che, se x = 1 allora sn = n quindi la (12.8) diverge positivamente.
Ora, consideriamo il caso in cui x 6= 1; essendo:
1 − xn = (1 − x)(1 + x + ... + xn−1 ),
la somma parziale n-ma della serie (12.8) la possiamo scrivere come segue:
sn = 1 + x + ... + xn−1 =
1 − xn
.
1−x
Proviamo la seguente:
Proposizione 12.2.1. Le proposizioni seguenti sono vere:
a) Se | x |< 1 allora la serie (12.8) converge e la sua somma è:
∞
X
xn =
n=0
1
.
1−x
b) Se x ≥ 1 allora la serie (12.8) diverge positivamente.
c) Se x ≤ −1 allora la serie (12.8) è non regolare.
Dimostrazione. Iniziamo a provare la a).
Se | x |< 1 allora:
lim | x |n = 0,
n→+∞
12.2. SERIE GEOMETRICA
285
quindi:
lim xn = 0,
n→+∞
conseguentemente:
1 − xn
lim sn = lim
= lim
n→+∞
n→+∞ 1 − x
n→+∞
1
xn
−
1−x 1−x
=
1
,
1−x
da cui l’asserto.
Passiamo, ora, a dimostrare la b).
Se x = 1 abbiamo già visto che la serie diverge positivamente; se x > 1
si ha che:
xn − 1
1 − xn
= lim
= +∞,
n→+∞ x − 1
n→+∞ 1 − x
lim sn = lim
n→+∞
da cui l’asserto.
Infine, proviamo la c).
Se x = −1 risulta s1 = 1, s2 = 0, s3 = 1, s4 = 0, ..., quindi s2n−1 = 1 e
s2n = 0, dunque la (12.8) è oscillante (non regolare). Se x < −1 allora:
1 − x2n
= −∞,
n→+∞ 1 − x
lim s2n = lim
n→+∞
1 − x2n+1
= +∞,
n→+∞
1−x
lim s2n+1 = lim
n→+∞
da cui segue l’asserto.
Esempi.
1. Consideriamo la serie:
∞
X
(−1)n−1 senn x = senx − sen2 x + ... + (−1)n−1 senn x + ... .
n=1
(12.9)
La serie (12.9) è una serie geometrica di primo termine senx e ragione
−senx; essa si puó scrivere come segue:
∞
X
(−1)n−1 senn x = senx[1−senx+sen2 x+ ... +(−1)n−1 senn−1 x+ ... ].
n=1
286
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
Allora, per la Proposizione 12.2.1, essa converge se e solo se | −senx |<
1 cioè se x 6= ± π2 + 2kπ, k ∈ Z, e risulta:
∞
X
Si noti che, se x =
(−1)n−1 senn x =
n=1
π
2 + 2kπ
senx
.
1 + senx
la (12.9) è oscillante e se x = − π2 + 2kπ la
(12.9) diverge negativamente.
2. Consideriamo la serie:
∞
X
(−1)n+1 x2n = x2 − x4 + ... + (−1)n+1 x2n + ... .
(12.10)
n=1
La serie (12.10) è una serie geometrica di primo termine x2 e di ragione
−x2 ; essa si puó scrivere come segue:
∞
X
(−1)n+1 x2n = x2 [1 − x2 + x4 + ... + (−1)n+1 x2n−2 + ... ].
n=1
Allora, per la Proposizione 12.2.1, essa converge se | −x2 |< 1 cioè se
x ∈] − 1, 1[ e risulta:
∞
X
(−1)n+1 x2n =
n=1
x2
.
1 + x2
Si noti che, se x = ±1 la (12.10) è oscillante.
3. Considerata la serie:
∞
X
(3x)n−1 = 1 + 3x + ... + (3x)n−1 + ... ,
(12.11)
n=1
tale serie è una serie geometrica di primo termine 1 e di ragione 3x.
Allora, per la Proposizione 12.2.1, essa converge se | 3x |< 1 cioè se
| x |<
1
3
e risulta:
∞
X
(3x)n−1 =
n=1
1
.
1 − 3x
Si noti che, se x = − 13 la (12.11) è oscillante e se x =
diverge positivamente.
1
3
la (12.11)
12.3. OPERAZIONI CON LE SERIE
12.3
287
Operazioni con le serie.
Consideriamo le serie:
∞
X
∞
X
an ,
n=1
bn ,
n=1
supponiamo che esse siano regolari e abbiano come somma, risp., a e b.
Proposizione 12.3.1. Se la somma a + b ha senso, allora:
∞
X
(an + bn ) =
n=1
∞
X
an +
n=1
∞
X
bn .
(12.12)
n=1
Dimostrazione. Basta osservare che:
∞
X
(an + bn ) = lim
n→+∞
n=1
n
n
n
X
X
X
(ai + bi ) = lim
ai +
bi =
= lim
n→+∞
n→+∞
i=1
n
X
i=1
ai + lim
n
X
n→+∞
i=1
bi =
i=1
∞
X
i=1
an +
n=1
∞
X
bn .
n=1
Proposizione 12.3.2. Qualunque sia λ ∈ R, se il prodotto λa ha senso,
allora:
∞
X
λan = λ
n=1
∞
X
an .
(12.13)
n=1
Dimostrazione. Basta osservare che:
∞
X
n=1
λan = lim
n→+∞
n
X
i=1
λai
n
n
∞
X
X
X
= lim λ
ai = λ lim
ai = λ
an .
n→+∞
i=1
n→+∞
i=1
n=1
288
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
12.4
Regolarità delle serie a termini non negativi.
Consideriamo la serie:
∞
X
an .
(12.14)
n=1
Se la serie (12.14) è a termini non negativi, i.e. an ≥ 0, ∀n ∈ N, allora:
sn ≤ sn + an+1 = sn+1 ,
∀n ∈ N,
cioè, la successione {sn } è crescente, quindi al serie (12.14) è regolare e la
sua somma è data da:
∞
X
an = lim sn = sup sn .
n→+∞
n=1
(12.15)
n
Esempi.
1. Considerata la serie:
∞
X
n+1
n=1
n+3
,
(12.16)
essendo:
lim
n→+∞
n+1
= 1,
n+3
a norma della Proposizione 12.1.4, si ha che la serie (12.16) diverge
positivamente.
2. Considerata la serie:
∞ X
n=1
n−
p
n2 − 2n + 5 ,
(12.17)
12.5. CRITERI DI CONVERGENZA
289
essendo:
lim
n→+∞
n−
p
n2 − 2n + 5 =
= limn→+∞
√
√
n− n2 −2n+5
n+ n2 −2n+5
√
n+ n2 −2n+5
=
n(2 − n5 )
n2 − n2 + 2n − 5
q
= lim q
n→+∞
n→+∞
n + n 1 − n2 + n52
n 1+ 1− 2 +
= lim
n
(2 − n5 )
q
n→+∞
1 + 1 − n2 +
= lim
5
n2
=
= 1,
5
n2
a norma della Proposizione 12.1.4, si ha che la serie (12.17) diverge
positivamente.
12.5
Criteri di convergenza.
Passiamo, ora, a dimostrare alcune proposizioni che forniscono delle condizioni sufficienti affinché una serie converga.
Proposizione 12.5.1. (Criterio della radice.)
Sia:
∞
X
an ,
(12.18)
n=1
una serie a termini non negativi. Se:
lim
√
n
n→+∞
an = l,
allora si ha che:
i) Se l < 1 la serie (12.18) converge.
ii) Se l > 1 la serie (12.18) diverge positivamente.
(12.19)
290
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
Dimostrazione. Iniziamo col provare la i).
Considerato un numero reale β ∈]l, 1[, dalla (12.19) segue l’esistenza di un
√
ν ∈ N tale che n an < β, ∀n > ν, cioè an < β n , ∀n > ν. Allora:
∞
X
an ≤ β ν+1 + β ν+2 + β ν+3 + ... = β ν+1 1 + β + β 2 + ...
= β ν+1
n=ν+1
1
.
1−β
Conseguentemente:
∞
X
an =
n=1
ν
X
∞
X
an +
n=1
an ≤
n=ν+1
ν
X
an + β ν+1
n=1
1
< +∞.
1−β
La i) è cosı̀ provata.
Proviamo, ora, la ii). Basta osservare che, essendo:
lim
n→+∞
√
n
esiste un ν ∈ N tale che
√
n
an > 1,
an > 1, ∀n > ν, cioè an > 1, ∀n > ν; quindi, per
la Proposizione 12.1.4, la serie (12.18) diverge positivamente.
Esempi.
1. Considerata la serie:
∞
X
n=1
1
,
(log(n + 1))n
(12.20)
essendo:
s
lim
n
n→+∞
1
1
= lim
= 0,
n
n→+∞ log(n + 1)
(log(n + 1))
per il Criterio della radice la (12.20) converge.
2. Considerata la serie:
∞
X
1
,
( 7)n2
n=1
essendo:
s
lim
n→+∞
n
√
1
1
= lim √
= 0,
2
n
n→+∞
( 7)
( 7)n
√
per il Criterio della radice la (12.21) converge.
(12.21)
12.5. CRITERI DI CONVERGENZA
3. Considerata la serie:
291
∞
X
nn
,
(3 | x |)n2
n=1
(12.22)
essendo:
s
lim
nn
n
(3 | x
n→+∞
|)n2
= lim



 +∞
n→+∞
n
=
(3 | x |)n 

 0
se 0 <| x |≤
se | x |>
1
3
1
3
per il Criterio della radice la (12.22) converge nel plurintervallo ] −
∞, − 13 [∪] 13 , +∞[ e diverge positivamente nell’intervallo [− 31 , 13 ].
4. Considerata la serie:
∞
X
nlog n
,
(log n)n
(12.23)
n=1
essendo:
s
lim
n
n→+∞
nlog n
(log n)n
log n
log n
n n
elog n n
= lim
= lim
n→+∞ log n
n→+∞
log n
= lim
e
log n
n
log n
log n
n→+∞
=
log 2 n
e n
= lim
= 0,
n→+∞ log n
per il Criterio della radice la (12.23) converge.
5. Considerata la serie:
∞
X
n
n=1
essendo:
s
lim
n→+∞
n
√
√
n
√
n
en
,
(12.24)
√1
n n
nn
n n
elog n
=
lim
=
lim
=
lim
n→+∞ e
n→+∞ e
n→+∞
en
e
per il Criterio della radice la (12.24) converge.
√1
n
= lim
n→+∞
e
log
√ n
n
e
1
= ,
e
292
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
Proposizione 12.5.2. (Criterio del rapporto)
Sia:
∞
X
an ,
(12.25)
n=1
una serie a termini positivi. Se:
lim
n→+∞
an+1
= l,
an
(12.26)
allora si ha che:
j) Se l < 1 la serie (12.25) converge.
jj) Se l > 1 la serie (12.25) diverge positivamente.
Dimostrazione. Iniziamo col provare la j).
Considerato un numero reale β ∈]l, 1[, dalla (12.26) segue l’esistenza di un
ν ∈ N tale che
an+1
an
< β, ∀n > ν, cioè an+1 < βan , ∀n > ν. Allora, si ha che:
aν+3 < βaν+2 < β 2 aν+1 , ... ,
aν+2 < βaν+1 ,
aν+k+1 < β k aν+1 , ... .
Quindi:
∞
X
an ≤ βaν+1 + β 2 aν+1 + ... + β k aν+1 + ... =
n=ν+2
= βaν+1 1 + β + ... + β k−1 + ...
1
.,
= βaν+1 1−β
Conseguentemente:
∞
X
n=1
an =
ν+1
X
n=1
an +
∞
X
n=ν+2
an ≤
ν+1
X
n=1
an + βaν+1
1
< +∞.
1−β
La j) è cosı̀ provata.
La dimostrazione della jj) è analoga a quella della j); in questo caso,
basta considerare un β ∈]1, l[.
12.5. CRITERI DI CONVERGENZA
293
Esempi.
1. Considerata la serie:
∞
X
2n
n=1
essendo:
2n+1
(n+1)!
lim
2n
n→+∞
n!
n!
,
(12.27)
2
= 0,
n→+∞ (n + 1)
= lim
per il Criterio del rapporto la (12.27) converge.
2. Considerata la serie:
∞
X
n!
,
nn
(12.28)
n=1
essendo:
(n+1)!
(n+1)n+1
lim
n!
n→+∞
nn
=
n+1
(n+1)n+1
lim
1
n→+∞
nn
= lim
1
n
n→+∞ (n+1)
nn
=
1
(n+1)n
lim
1
n→+∞
nn
= lim
n→+∞
1
n+1 n
n
=
1
< 1,
e
per il Criterio del rapporto la (12.28) converge.
3. Considerata la serie:
∞
X
| 4x + 1 |n
n=1
n3
,
(12.29)
essendo:
|4x+1|n+1
(n+1)3
lim |4x+1|n
n→+∞
n3
= lim | 4x + 1 |
n→+∞
n3
=| 4x + 1 |,
(n + 1)3
per il Criterio del rapporto la (12.29) converge se:
1
| 4x+1 |< 1 ⇐⇒ −1 < 4x+1 < 1 ⇐⇒ −2 < 4x < 0 ⇐⇒ − < x < 0.
2
Quindi, la (12.29) converge per x ∈] − 12 , 0[.
294
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
Prima di passare al prossimo criterio di convergenza, denotato con α un
generico numero reale positivo, consideriamo la seguente serie:
∞
X 1
1
1
1
1 + α + α + ... + α + ... =
,
2
3
n
nα
(12.30)
n=1
detta serie armonica generalizzata. Si noti che, se nella (12.30) si pone α = 1
si ottiene la serie armonica.
Si può dimostrare che:
Proposizione 12.5.3. La serie armonica generalizzata (12.30) converge se
α > 1 e diverge positivamente se α ≤ 1.
Usufruendo della Proposizione 12.5.3 proviamo il seguente:
Proposizione 12.5.4. (Criterio dell’infinitesimo)
Sia:
∞
X
an ,
(12.31)
n=1
una serie a termini non negativi, allora le proposizioni seguenti sono vere:
i) Se esiste un numero reale α > 1 tale che:
lim
an
n→+∞ 1α
n
= l ∈ [0, +∞[,
(12.32)
allora la serie (12.31) converge.
ii) Se esiste un numero reale α ≤ 1 tale che:
lim
an
n→+∞ 1α
n
= l ∈]0, +∞],
(12.33)
allora la (12.33) diverge positivamente.
Si ossservi che, se vale la (12.32) (risp. (12.33)) allora la successione {an }
è un infinitesimo in +∞ di ordine maggiore o uguale ad α (risp. minore o
uguale ad α).
12.5. CRITERI DI CONVERGENZA
295
Sia β ∈]l, +∞[, valendo la
Dimostrazione. Iniziamo col provare la i).
(12.32), relativamente a β esiste un ν ∈ N tale che:
n>ν
=⇒
an
1
nα
<β
=⇒
an < β
1
.
nα
Dunque:
∞
X
an =
n=1
ν
X
∞
X
an +
n=1
an ≤
n=ν+1
ν
X
an +
n=1
∞
X
n=ν+1
ν
∞
X
X
1
1
β α =
an + β
,
n
nα
n=1
n=ν+1
allora, essendo α > 1, a norma della Proposizione 12.5.3 la serie (12.31)
converge.
Infine, proviamo la ii). Sia β ∈]0, l[, valendo la (12.33), relativamente a
β esiste un ν ∈ N tale che:
n>ν
Dunque:
=⇒
∞
X
an
1
nα
an ≥
n=1
>β
∞
X
=⇒
an ≥
n=ν+1
an > β
∞
X
n=ν+1
β
1
.
nα
1
nα
allora, essendo α ≤ 1, a norma della Proposizione 12.5.3 la serie (12.31)
diverge positivamente.
Esempi.
1. Considerata la serie:
∞
X
3n2 + 1
,
n4 + n + 1
(12.34)
n=1
essendo:
an =
n2 (3 + n12 )
(3 + n12 )
3n2 + 1
=
=
n4 + n + 1
n4 (1 + n13 + n14 )
n2 (1 + n13 +
1 ,
)
n4
cioè:
1
,
n2
quindi α = 2 e, per la i) del Criterio dell’infinitesimo, la serie (12.34)
an '
converge.
296
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
2. Considerata la serie:
∞
X
7n − sen n
√
,
n n+5
n=1
(12.35)
essendo:
an =
n(7 − senn n )
(7 − senn n )
7n − sen n
√
= √
=
,
√
5
5
√
n n+5
n n(1 + n√
)
n(1
+
)
n
n n
cioè:
1
an ' √ ,
n
quindi α =
1
2
e, per la ii) del Criterio dell’infinitesimo, la serie (12.35)
diverge positivamente.
3. Considerata la serie:
∞
X
log n
,
n
(12.36)
n=1
essendo:
an
1
n
= log n
si ha che la successione {an } è un infinitesimo in +∞ di ordine minore
di 1 quindi, per la ii) del Criterio dell’infinitesimo, la serie (12.36)
diverge positivamente.
Utili per il seguito sono le formule di Mac-Laurin delle funzioni
ex , sen x, cos x, log (1 + x) .
ex = 1 +
senx =
xn
x
+ ... +
+ o(xn ).
1!
n!
x
x3
x2n+1
−
+ ... + (−1)n
+ o(x2n+1 ).
1!
3!
(2n + 1)!
cosx = 1 −
x2 x4
x2n
+
+ ... + (−1)n
+ o(x2n ).
2!
4!
(2n)!
(12.37)
(12.38)
(12.39)
12.5. CRITERI DI CONVERGENZA
log(1 + x) = x −
297
x2 x3
xn
+
+ ... + (−1)n−1
+ o(xn ).
2
3
n
(12.40)
Esempi
1. Stabilire il carattere della seguente serie:
2
∞ X
log(1 + n1 )
−
1
.
1
n − 1
e
n=1
(12.41)
Dalle (12.40) e (12.37) si ha che:
1
1 1 1 1 1
1
log(1+ ) = − 2 + 3 +o( 3 ),
n
n 2n 3n
n
1
1 1 1 1 1
1
e n = 1+ +
+
+o( 3 ),
n 2! n2 3! n3
n
allora:
an =
log(1 + n1 )
1
en − 1
1
n
=
−
1 1
2 n2
+
2
−1
1 1
3 n3
=
n
=
−
1 1
2 n2
+
1 1
3 n3
− n12 + o( n12 )
1
n
1
en − 1
1
n
+
1 1
2! n2
+
1
n
2
+ o( n1 )
'
+
1 1
2! n2
+
=
1 1
1
1 1
n + 2! n2 + 3! n3
1 1
1
3! n3 + o( n3 ) − 1
+ o( n13 ) − 1 −
1+
=
2
+ o( n13 ) − (1 +
1+
1
1
log(1 + n1 ) − e n + 1
1
1 1
1 1
n − 2! n2 − 3! n3
1 1
1
3! n3 + o( n3 ) − 1
+ o( n13 )) + 1
− o( n13 ) + 1
2
1
,
n2
quindi α = 2 e, per la i) del Criterio dell’infinitesimo, la serie (12.41)
converge.
2. Stabilire il carattere della seguente serie:
∞ X
n=1
1
3
cos n1
−
1
.
nlog(1 + n1 )
(12.42)
Dalle (12.39) e (12.40) si ha che:
cos
1
1 1 1 1
1
= 1−
+
+o( 4 ),
2
4
n
2! n 4! n
n
2
1
11 1 1
1
nlog(1+ ) = 1−
+ 2 +o( 2 ),
n
2n 3n
n
=
298
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
allora:
an =
=
cos n1
−1
nlog(1 + n1 )
1−
1 1
2! n2
+
1 1
4! n4
1
=
=
1−
1 1
2! n2
+
1 1
4! n4
=
1−
quindi α =
1
3
− nlog(1 + n1 )
nlog(1 + n1 )
11
2n
+
1 1
3 n2
1 1
11
2 n + 3 n2
o( n12 )
+
+ o( n14 ) − 1 +
1−
1
n
cos
+ o( n14 ) − (1 −
1−
3
11
2n
+
1 1
3 n2
1
1
11
3
2 n + o( n ))
11
1 1
1
2 n + 3 n2 + o( n2 )
+
'
11
1 1
2 n − 3 n2
o( n12 )
1
1
1
3
=
+ o( n12 ))
+ o( n12 ))
1
3
=
1
3
=
,
n3
e, per la ii) del Criterio dell’infinitesimo, la serie (12.42)
diverge positivamente.
12.6
Serie assolutamente convergenti.
La serie:
∞
X
an ,
(12.43)
n=1
an ∈ R, si dice assolutamente convergente se la serie dei moduli:
∞
X
| an |,
(12.44)
n=1
è convergente.
Usufruendo del Criterio di convergenza di Cauchy si prova facilmente
che:
∞
X
n=1
| an |< +∞
=⇒
∞
X
an
è convergente.
n=1
i.e., se la serie (12.43) è assolutamente convergente allora essa è convergente.
12.6. SERIE ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI
299
Infatti, se la serie (12.43) è assolutamente convergente, per il Criterio di
convergenza di Cauchy si ha che:
∀ε > 0 ∃ν : n > ν =⇒ | an+1 | + ... + | an+p |< ε,
∀p ∈ N,
(12.45)
d’altro canto, sappiamo che:
| an+1 + ... + an+p |≤| an+1 | + ... + | an+p |,
quindi dalla (12.45) segue l’asserto.
Osserviamo esplicitamente che:
∞
X
=
6 ⇒
an < +∞
n=1
∞
X
| an |< +∞,
n=1
cioè, la convergenza della serie (12.43) non implica la convergenza assoluta
della stessa.
A tale scopo, basta considerare la serie:
∞
X
1
(−1)n ,
n
n=1
che converge per il Criterio di Leibnitz relativo alle serie alternanti, ma che
non converge assolutamente in quanto la serie dei moduli coincide con la
serie armonica che sappiamo divergere positivamente.
Dai Criteri di convergenza della radice e del rapporto, visti nel capitolo
precedente, segue immediatamente che:
A) Considerata la serie:
∞
X
an ,
n=1
se:
lim
n→+∞
p
n
| an | = l,
allora:
i) se l < 1 la serie (12.46) converge assolutamente.
(12.46)
300
CAPITOLO 12. SERIE NUMERICHE
ii) se l > 1 la serie (12.46) non converge assolutamente.
B) Considerata la serie a termini non nulli:
∞
X
an ,
n=1
se:
a
n+1 lim = l,
n→+∞
an
allora:
i) se l < 1 la serie (12.47) converge assolutamente.
ii) se l > 1 la serie (12.47) non converge assolutamente.
(12.47)
Capitolo 13
Geometria analitica nel
piano: retta e coniche
13.1
Retta
Un’equazione algebrica di primo grado in due variabili, del tipo
ax + by + c = 0
(13.1)
con a e b reali non entrambi nulli, rappresenta una retta, nel senso che la
retta è costituita da tutti e soli i punti le cui coordinate (x, y) soddisfano
l’equazione data. La (13.1) prende il nome di equazione generale della retta.
È possibile ricavare dalla (13.1) un’altra forma dell’equazione di una
retta generica, isolando il termine in y e dividendo per b, posto quest’ultimo
diverso da zero:
ax + by + c = 0
→
by = −ax − c
→
a
c
y =− x− ,
b
b
b 6= 0.
La precedente equazione viene di solito scritta nella forma
y = mx + q
301
(13.2)
302CAPITOLO 13. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: RETTA E CONICHE
che prende il nome di equazione della retta in forma esplicita. Le relazioni m = − ab e q = − cb permettono di passare da una forma all’altra
dell’equazione della retta.
Si osservi che, passando dalla (13.1) alla (13.2), abbiamo dovuto porre
b 6= 0. Questo comporta che, mentre la (13.1) rappresenta tutte le rette, la
(13.2) rappresenta tutte le rette tranne quelle parallele all’asse y.
L’equazione di una retta parallela all’asse delle x è
y = y0 .
Analogamente, l’equazione di una retta parallela all’asse delle y è
x = x0 .
Il coefficiente angolare m di una retta ne esprime quantitativamente la
pendenza. Essa è data dal rapporto tra la differenza delle ordinate di due
suoi punti P = (x1 , y1 ), Q = (x2 , y2 ) e la differenza tra le relative ascisse:
m=
y2 − y1
.
x2 − x1
Il parametro m può essere positivo, negativo o nullo. Se m è zero, la retta
è parallela all’asse delle x. Se m = 1, la retta è parallela alla bisettrice del
primo e terzo quadrante; una retta parallela all’asse delle y ha coefficiente
angolare infinito.
L’intercetta q sull’asse delle y è l’ordinata del punto di intersezione della
retta con l’asse delle y. Una retta passa per l’origine O = (0, 0) del sistema
di coordinate se e solo se q = 0.
Date due rette r1 : y = m1 x + q1 ed r2 : y = m2 x + q2 , le condizioni di
parallelismo // e ortogonalità ⊥ tra r1 ed r2 sono:
r1 //r2
r1 ⊥ r2
⇔
⇔
m1 = m2 ;
m1 · m2 = −1.
13.1. RETTA
303
Siano P = (x1 , y1 ) e Q = (x2 , y2 ) due punti del piano cartesiano e sia r
una retta di equazione ax + by + c = 0. La distanza di P da Q è data da:
p
d(P, Q) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Il punto medio M del segmento P Q ha coordiante:
M(
x1 + x2 y1 + y2
,
).
2
2
La distanza di P da r è data da:
d(P, r) =
|ax1 + by1 + c|
√
.
a2 + b2
Esempi.
1. Dati i punti P1 = (1, 2), P2 = (3, 3), P3 = (3, 4), P4 = (−5, 4), calcolare
le distanze d(P1 , P2 ), d(P2 , P3 ), d(P3 , P4 ).
Soluzione.
p
√
(3 − 1)2 + (3 − 2)2 = 5;
p
√
d(P2 , P3 ) = (3 − 3)2 + (4 − 3)2 = 1 = 1;
p
√
d(P3 , P4 ) = (−5 − 3)2 + (4 − 4)2 = 64 = 8.
d(P1 , P2 ) =
2. Determinare il punto M allineato con A = (2, 1) e B = (−6, 4) ed
equidistante da essi.
Soluzione.
5
M è il punto medio del segmento AB, dunque M ( 2+(−6)
, 1+4
2
2 ), M (−2, 2 ).
3. Calcolare la distanza del punto P (1, −3) dalla retta r di equazione
x − y − 7 = 0.
Soluzione.
d(P, r) =
|1(1)−(−3)−7|
√
12 +12
=
|−3|
√
2
=
√3 .
2
304CAPITOLO 13. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: RETTA E CONICHE
4. Determinare l’equazione della retta r passante per P = (−1, 1), avente
coefficiente angolare m = 4.
Soluzione.
r : y = 4x + q. Imponendo il passaggio per P , si ha che 1 = 4(−1) + q,
da cui q = 5, dunque r ha equazione y = 4x + 5.
5. Determinare l’equazione della retta r passante per P = (−1, 1) avente
coefficiente angolare m = − 12 .
Soluzione.
y = − 21 x + q, 1 = − 12 (−1) + q, q = 12 , quindi r : y = − 12 x + 21 .
6. Determinare l’equazione della retta passante per i punti P1 = (1, 2) e
P2 = (3, 3).
Soluzione.
y2 − y1 = 1, x2 − x1 = 2, entrambi non nulli, per cui la retta non
è parallela agli assi coordinati. Il suo coefficiente angolare è m = 21 ,
dunque y = 12 x+q. Dal passaggio per P1 , 2 = 21 +q, q = 23 . L’equazione
è y = 12 x + 32 .
7. Determinare l’equazione della retta passante per i punti P2 = (3, 3) e
P3 = (3, 4).
Soluzione.
x3 − x2 = 0, quindi la retta è parallela all’asse dell y e la sua equazione
è x = 3.
8. Determinare l’equazione della retta passante per i punti P3 = (3, 4),
P4 = (−5, 4).
Soluzione.
13.1. RETTA
305
y4 − y3 = 0, quindi la retta è parallela all’asse dell x e la sua equazione
è y = 4.
9. Determinare l’equazione della retta r0 passante per P (−1, 2) e parallela
a r : 2x + 3y − 1 = 0.
Soluzione.
La retta r in forma esplicita ha equazione y = − 23 x + 31 . Il suo
coefficiente angolare è m = − 23 . La retta r0 ha dunque equazione
y = − 32 x + q; 2 = − 23 (−1) + q, q = 43 , da cui y = − 23 x + 34 .
10. Determinare l’equazione della retta r passante per P = (1, 3) e parallela all’asse delle y.
Soluzione.
r : x = x0 ; dovendo r passare per P , si ha 1 = x0 , quindi r0 : x = 1.
11. Determinare l’equazione della retta r passante per P = (0, −2) e
parallela all’asse delle x.
Soluzione.
r : y = y0 ; siccome r0 deve passare per P , si ha −2 = y0 , quindi
r0 : y = −2.
12. Determinare l’equazione della retta r0 passante per P = (1, 1) ed
ortogonale ad r : y =
4x+1
−3 .
Soluzione.
1
Il coefficiente angolare di r è m = − 43 ; quello di r0 sarà m0 = − m
= 43 .
Allora r0 : y = 34 x + q; 1 = 43 (1) + q, q =
1
4
e r0 : y = 34 x + 14 .
306CAPITOLO 13. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: RETTA E CONICHE
13. Determinare il valore del parametro k per il quale la retta r : kx+2y−1
è parallela alla retta s : x + 6y + 1 = 0 e il valore del parametro k per
il quale r risulta ortogonale ad s.
Soluzione.
Il coefficiente angolare di r è m = − k2 ; quello di s è m0 = − 61 . La
condizione di parallelismo tra r ed s è m = m0 , cioè − k2 = − 16 che
fornisce k = 31 . La condizione di ortogonalità tra r ed s è m · m0 = −1,
cioè − k2 · (− 16 ) = −1 che fornisce k = −12.
14. Vedere se il seguente sistema ammette soluzioni:



 −3y = −5x + 2



Soluzione.
5
3x
(13.3)
− y − 1 = 0.
Basta osservare che la seconda equazione del sistema
(13.3) si può scrivere come segue
−3y = −5x + 3
ed osservare che il sistema (13.3) non ha soluzioni in quanto le rette
aventi equazioni −3y = −5x + 2 e −3y = −5x + 3 sono parallele.
13.2. CIRCONFERENZA
13.2
307
Circonferenza
La circonferenza è definita come il luogo dei punti P = (x, y) che hanno la
stessa distanza r (il raggio) da un punto dato C = (x0 , y0 ) (il centro). La
sua equazione sarà dunque
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .
(13.4)
Se il centro C coincide con l’origine O = (0, 0) degli assi cartesiani, l’equazione della circonferenza diventa
x2 + y 2 = r2 .
Sviluppando i quadrati, la (13.4) diventa:
x2 + y 2 + ax + by + c = 0.
I parametri di questa forma sono legati a quelli della (13.4) dalle seguenti
relazioni:
r
r=
a
b
(− )2 + (− )2 − c =
2
2
r
a2 b2
+
−c
4
4
a
x0 = − ,
2
b
y0 = − .
2
Dalla prima relazione segue che la (13.4) rappresenta una circonferenza,
eventualmente degenere, se risulta
a2 b2
+
− c ≥ 0.
4
4
Esempi.
1. Determinare l’equazione della circonferenza di centro C = (2, 1) e
raggio r = 3.
Soluzione.
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 9.
308CAPITOLO 13. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: RETTA E CONICHE
2. Determinare l’equazione della circonferenza γ che passa per i punti
P = (5, 0), Q = (0, −5), R = (−3, −4).
Soluzione.
L’equazione della circonferenza è x2 + y 2 + ax + by + c = 0. Imponendo
il passaggio per i punti dati, si ottiene un sistema di 3 equazioni in 3
incognite
passaggio per P : E1
25 + 5a + c = 0;
passaggio per Q: E2
25 − 5b + c = 0;
passaggio per R: E3
9 + 16 − 3a − 4b + c = 0.
E1 − E2 :
5(a + b) = 0
E2 − E3 :
3a − b = 0,
da cui a = b = 0. Sostituendo in una delle 3 equazioni, si ha c = −25,
dunque γ : x2 + y 2 − 25 = 0. Il centro di γ è C = (0, 0) e il raggio è
r = 5.
3. Trovare centro e raggio della circonferenza γ : x2 +y 2 −2x+4y −4 = 0.
Soluzione.
4
a = −2,
centro è C = (− −2
2 , − 2 ) = (1, −2), il raggio
q b = 4, c = −4. Il√
è r = 44 + 16
9 = 3.
4 − (−4) =
13.3. ELLISSE
13.3
309
Ellisse
Si dice ellisse il luogo dei punti P = (x, y) per i quali è costante la somma 2a
delle distanze da due punti fissati F1 , F2 (i fuochi dell’ellisse). Supponendo
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) tali che 0 < c < a, possiamo ricavare la sua
equazione traducendo in forma algebrica la condizione di sopra:
p
p
(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.
Elevando due volte al quadrato, otteniamo
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
(13.5)
Ponendo b2 = a2 − c2 e dividendo entrambi i membri della (13.5) per a2 b2 ,
si ottiene l’equazione dell’ellisse in forma canonica
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
I parametri a e b rappresentano le lunghezze dei semiassi dell’ellisse.
Esempi.
1. Determinare l’equazione dell’ellisse E passante per i punti P = (3, 0)
√
e Q = ( 5, 32 ). Trovare la lunghezza dei semiassi e le coordinate dei
fuochi di E.
Soluzione.
E :
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Il passaggio per P fornisce
per Q fornisce
√
( 5)2
a2
+
4
9b2
= 1; allora si ha
2
9
+ 0 = 1 e il passaggio
a2
a2 = 9, da cui a = 3, e
2
= 4, da cui b = 1. Dunque E : x9 + y1 = 1. c2 = a2 − b2 = 8 e i
√
√
fuochi sono F1 = (− 8, 0) e F2 = ( 8, 0).
4b2
2. Determinare l’equazione dell’ellisse E avente un fuoco nel punto F1 =
(−1, 0) e semiasse maggiore a = 3.
310CAPITOLO 13. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: RETTA E CONICHE
Soluzione.
Sappiamo che c = 1, a = 3 e c2 = a2 − b2 , dunque b2 = a2 − c2 = 8,
√
2
2
b = 8. Allora E : x9 + y8 = 1.
13.4. IPERBOLE
13.4
311
Iperbole
Si dice iperbole il luogo dei punti P = (x, y) tali che sia costante la differenza 2a tra le distanze da due punti fissati F1 , F2 (i fuochi dell’iperbole).
Supponendo F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) tali che 0 < a < c, si ottiene
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
Poiché c > a, poniamo b2 = c2 − a2 e, dividendo per −a2 b2 , si ha l’equazione
dell’iperbole in forma canonica
x2 y 2
− 2 = 1.
a2
b
(13.6)
Dalla (13.6) segue che l’iperbole è compresa nella parte di piano delimitata
dalle rette y = ± ab x. Tali rette si dicono asintoti. Si osservi che gli assi
coordinati sono assi di simmetria della conica e la (13.6) si dice anche riferita
agli assi.
Quando a = b, si parla di iperbole equilatera, di equazione x2 − y 2 = a2 .
Se l’iperbole equilatera si riferisce agli asintoti, anziché agli assi, allora la
sua equazione diventa xy = k.
Esempi.
1. Determinare vertice, fuochi e asintoti dell’iperbole di equazione
x2
8
−
y2
4
= 1.
Soluzione.
√
√
√
a = 8, b = 2. I vertici sono V1 = (−a, 0) = (− 8, 0), V2 = ( 8, 0); i
√
√
fuochi sono F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), dove c = a2 + b2 = 12, cioè
√
√
F1 = (−2 3, 0) e F2 = (2 3, 0). Gli asintoti sono le rette di equazione
y = ± ab x, ossia y = ±
√
2
2 x.
312CAPITOLO 13. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: RETTA E CONICHE
2. Scrivere l’equazione dll’iperbole riferita agli assi avente come vertici i
punti V1 = (−3, 0) e V2 = (3, 0), sapendo che uno degli asintoti passa
per il punto P = (−6, 4).
Soluzione.
Si ha che a = 3. Dei due asintoti, quello che passa per P è quello
di equazione y = − ab x, dato che a e b sono positivi e che il punto P
si trova nel secondo quadrante. Dunque 4 = − 3b (−6), da cui b = 2.
L’equazione cercata è
x2
9
−
y2
4
= 1.
13.5. PARABOLA
13.5
313
Parabola
La parabola è il luogo dei punti P = (x, y) equidistanti da un punto fissato F
(il fuoco) e da una retta r fissata (la direttrice). Se F = (0, p) e r : y = −p,
p > 0, traducendo in forma algebrica la suddetta condizione, si ottiene
l’equazione della parabola in forma canonica
y = ax2 ,
dove
a=
1
.
4p
Essa ha il vertice nell’origine degli assi cartesiani e l’asse delle ordinate come
asse di simmetria. In generale, una parabola con asse di simmetria parallelo
all’asse delle ordinate ha equazione
y = ax2 + bx + c.
Posto ∆ = b2 − 4ac, la parabola ha:
vertice
V = (−
∆
b
,− )
2a 4a
b 1−∆
,
)
2a 4a
b
asse di simmetria
x=−
2a
−1 − ∆
direttrice
y=
.
4a
fuoco
F = (−
Esempi.
1. Determinare l’equazione della parabola passante per P = (3, 1) e
avente il vertice in V = ( 32 , − 54 ).
Soluzione.
b
= 32 , da cui b = −3a. Dal passaggio per
L’ascissa del vertice è − 2a
P , si ha 1 = 9a2 + 3b + c; poichè b = −3a, risulta c = 1. Dunque
y = ax2 − 3ax + 1. Poichè V appartiene alla parabola, risulta − 45 =
9
9
4 a − 2 a + 1,
che fornisce a = 1. L’equazione cercata è y = x2 − 3x + 1.
314CAPITOLO 13. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: RETTA E CONICHE
2. Trovare vertice, fuoco, asse e direttrice della parabola di equazione
y = 2x2 − 5x + 3.
Soluzione.
a = 2, b = −5, c = 3, ∆ = 25 − 24 = 1. Dunque V = ( 45 , − 18 ),
F = ( 54 , 0), l’asse ha equazione x =
5
4
e la direttrice è la retta y = − 41 .
Bibliografia
[1]
A. Alvino e G. Trombetti , Elementi di matematica I, Liguori Editore,
(1999).
[2]
A. Alvino, L. Carbone e G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica,
Liguori Editore,(1998).
[3]
P. Marcellini e C. Sbordone,
Analisi Matematica uno,
Liguori
Editore,(1998).
[4]
P. Marcellini e C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, I Volume
parte prima,
[5]
Liguori Editore,(1995).
P. Marcellini e C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, I Volume
parte seconda,
Liguori Editore,(1995).
315

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