IDENTITÀ ED EQUAZIONI

Appunti di MATEMATICA
Equazioni di primo grado
IDENTITÀ ED EQUAZIONI
Una identità è una eguaglianza tra due espressioni letterali che è verificata per qualsiasi valore
attribuito alle lettere contenute nell’espressione.
Ad esempio le seguenti eguaglianze sono delle identità:
3  (2a  b) 2  12a 2  12ab  3b 2
x 2  4x  4  ( x  2) 2
La seconda uguaglianza, infatti, è soddisfatta per qualsiasi valore assegnato alla x: ad esempio se ad
x sostituiamo 3 oppure 4 si ottiene:
32  4  3  4  (3  2) 2
42  4  4  4  (4  2) 2
25  25
36  36
e questo è verificabile per qualsiasi valore della x.
Non è una identità la seguente uguaglianza:
2  3x  x  8
poiché esiste solo un valore della x che verifica l’uguaglianza tra il primo ed il secondo membro (il
numero 3).
Si chiama primo membro l’espressione che sta alla sinistra del segno di uguaglianza, mentre
l’espressione che sta alla destra è chiamato secondo membro.
Primo
membro
Secondo
membro
𝑥 + 3 = 3𝑥 + 5
Le uguaglianze che non soddisfano l’identità sono chiamate equazioni.
Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni letterali che diventa vera o falsa a seconda dei
valori attribuiti ai simboli letterali contenuti in essa.
I simboli letterali contenuti in una equazione si chiamano incognite. Ad esempio, la prima equazione
delle due seguenti ha un’unica incognita x, mentre la seconda equazione ha due incognite x e y.
𝑥 + 3 = 3𝑥 + 5
x  y  2x  y  1
I valori che in una equazione soddisfano l’eguaglianza si chiamano radici o soluzioni e costituiscono
l’insieme delle soluzioni dell’equazione.
Per verificare se una uguaglianza è una identità si deve accertare che l’espressione del primo membro
sia uguale a quella del secondo membro.
1
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Equazioni di primo grado
ESERCIZI
Verificare se le seguenti uguaglianze sono delle identità o delle equazioni:
1. ( x  2)  ( x  2)  7  ( x  1)  1  2  ( x  2)
2
2
2. −𝑥(−𝑥 ) + 6𝑥 = 𝑥(6 − 𝑥 )
3
3
3. −3 + 𝑥 + 1 + (−2𝑥) = −3𝑥 − 8𝑥 + 2(2𝑥 − 1)
3
4.
2
𝑥−5
𝑥+1
3
𝑥
1
= − (6 + 2) + 3
CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI
In base alla posizione dell’incognita le equazioni sono:
 intere: se l’incognita è presente solo al numeratore;
Esempi:




3x  1  2  2 x

2 x
 3x
7
fratte o frazionarie: se l’incognita è presente anche al denominatore;
Esempi:

1
23
x

1 x
1

1 x x 1
numeriche: se i coefficienti sono tutti numeri;
Esempi:

3x  1  2  2 x

1 x
1

1 x x 1
letterali: se alcuni coefficienti sono rappresentati da lettere (di solito a, b, c, ..) che
vengono chiamati parametri;
Esempi:

x  a  2 x  2a  4

b
 2a
x
Una equazione si dice in forma normale se tutti i termini della uguaglianza sono stati portati a primo
(o a secondo membro). Pertanto, in un lato dell’equazione compare lo zero e dall’altro il polinomio è
ridotto senza monomi simili.
2
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Equazioni di primo grado
Esempi:


4x 2  2x  1  0
3x  4  0
Il termine che non contiene l’incognita si chiama termine noto.
Per grado di una equazione si intende il grado del polinomio ridotto, cioè il maggiore esponente con
cui l’incognita compare nell’equazione ridotta in forma normale.
Esempi:

4x 2  2x  1  0

è una equazione di 2° grado ad una incognita

3x  4  0

è una equazione di 1° grado ad una incognita

3x  y  4  0

è una equazione di 1° grado a due incognite

3x  x  x  4  0 
3
2
è una equazione di 3° grado ad una incognita
Le equazioni si possono ulteriormente suddividere rispetto all’insieme delle soluzioni:
 impossibile: quando l’equazione non ha soluzioni, cioè non esiste alcun valore attribuibile
all’incognita per cui sia soddisfatta l’uguaglianza.
Esempi:



x  x2

0x  2
determinata: le soluzioni sono in un numero finito, cioè esistono dei definiti valori dell’incognita
che soddisfano l’uguaglianza.
Esempi:

2x  1  1  x

5x  1  6
indeterminata: le soluzioni dell’equazione sono infinite, cioè esistono infiniti valori
dell’incognita che soddisfano l’uguaglianza.
Esempi:

3x  2 x  x

0x  0
PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Ad esempio le seguenti equazioni sono equivalenti perché hanno la stessa soluzione (𝑥 = 1):
3𝑥 + 2(𝑥 − 1) = 𝑥 + 2
6(𝑥 + 2) = 3𝑥 + 15
Per la risoluzione delle equazioni si utilizzano i principi di equivalenza che permettono di
semplificare le espressioni per giungere alla soluzione.
3
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Equazioni di primo grado
Primo principio di equivalenza: se si aggiunge o si toglie uno stesso numero, positivo o negativo,
o una stessa espressione ai due membri di una equazione, si ottiene una equazione equivalente.
Infatti se alla seguente uguaglianza togliamo od aggiungiamo uno stesso numero si ottiene
nuovamente una uguaglianza:
6+4=5+5
6+4+2=5+5+2
6+4−3=5+5−3
Dal precedente principio si deduce quanto segue:
 Regola della soppressione dei termini uguali: se nei due membri di una equazione sono presenti
gli stessi termini o espressioni, questi possono essere eliminati.
Esempi:

3x  2x  3  2  4 x  2
1
1
4 ( 𝑥 + 2) + (𝑥 − 5) = 2 ( 𝑥 + 1) + (𝑥 − 5)
2
3
3𝑥 + 2(𝑥 + 3) + 2 = 4𝑥 + 2
1
1
4 ( 𝑥 + 2) + (𝑥 − 5) = 2 ( 𝑥 + 1) + (𝑥 − 5)
2
3
Regola del trasporto dei termini: in una equazione è possibile trasportare un termine da un
membro all’altro purché gli venga cambiato il segno.
Esempi:
3x  2x  3  2  4 x
1
1
4 ( 𝑥 + 2) + (𝑥 − 5) = 2 ( 𝑥 + 1)
2
3
Sommiamo ad entrambi i membri l’espressione −(𝑥 − 5)
Sommiamo ad entrambi i membri il termine -2
3𝑥 + 2(𝑥 + 3) + 2 − 2 = 4𝑥 − 2
1
1
4 ( 𝑥 + 2) + (𝑥 − 5) − (𝑥 − 5) = 2 ( 𝑥 + 1) − (𝑥 − 5)
2
3
Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo i due membri di una uguaglianza per
uno stesso numero, diverso da zero, oppure per una stessa espressione letterale, si ottiene una
equazione equivalente a quella precedente.
Dal secondo principio di equivalenza derivano le seguenti regole.
 Regola del cambiamento del segno: cambiando segno a tutti i termini di una equazione, si ottiene
una equazione equivalente alla precedente.
Esempi:
3x  2  4 x  3
1
(𝑥 − 5) = 2 ( 𝑥 + 1)
3
3x  1  2 1  4 x  1  3 1
1
(−1)(𝑥 − 5) = (−1)2 ( 𝑥 + 1)
3
4
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2
−𝑥 + 5 = − 𝑥 − 2
3
 3x  2  4 x  3

Regola della soppressione dei denominatori numerici: moltiplicando ciascun termine
dell’equazione per il m.c.m. dei denominatori si ottiene una equazione equivalente alla
precedente, ma senza denominatori.
Esempio:
x x
 2
3 4

4𝑥−3𝑥
12
24
= 12
RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NUMERICHE INTERE AD UNA INCOGNITA
Per risolvere una equazione numerica intera si procede nel seguente modo
 si eseguono le operazioni indicate;
 se nell’equazione compaiono denominatori numerici, si riducono i due membri allo stesso minimo
comune denominatore;
 si eliminano i denominatori moltiplicando i due membri per il minimo comune denominatore;
 si portano a primo membro i termini con l’incognita e al secondo membro gli altri termini;
 si riducono i termini ottenendo la forma Ax = B. Se A è diverso da zero l’equazione è determinata
e quindi si ottiene la soluzione dividendo il termine noto per il coefficiente dell’incognita. Se A
= 0 si possono avere le seguenti situazioni:
o B = 0 l’equazione diventa 0x = 0, cioè l’equazione è indeterminata;
o B diverso da zero 0x = B l’equazione diventa impossibile.
ESERCIZI
Risolvere le seguenti equazioni:
1.
6𝑥 − 54 = 0; −20𝑥 + 4 = 0
2.
4(1 − 𝑥) − 3(𝑥 + 2) = 4 − 𝑥
3.
−8(3 + 𝑥) + 3(3 − 𝑥) − 5 = −6𝑥 − 10(𝑥 + 2)
4.
[27 + (−3)3 𝑥] = 9
5.
3(1 − 𝑥) = 2(1 − 𝑥) + 𝑥 + 3
6.
3(𝑥 + 2) − 4(𝑥 − 2) = 2(2 − 𝑥)
1
[9; 5]
[-1]
[0]
[impossibile]
[-1]
[-10]
5
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Equazioni di primo grado
1
4
1
6
+
−
1
3𝑥−4
3
3
𝑥
=2+
[4]
2−𝑥
[𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒]
6
23
[𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎]
6
1
5
1
2
2
4
(𝑎 − 3) + (𝑎 + 1) = (𝑎 + 2) −
2
𝑥
1
5
𝑥 + 2 (𝑥 + 1) − 3 − 𝑥 = 6 −
3
1 2
4−𝑥 2
2
1
[ (5𝑥 − 10) − 4𝑥] + 2 (𝑥 + 1) = 3
4 5
5+2𝑥
7
𝑥
2𝑥 − 3 [2(3𝑥 − 1) − 𝑥] = 2 𝑥 − 1
5
2
1
4
1
1
[10]
𝑥
1−𝑥
2
[𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒]
[2]
1
− 3 (6 − 2𝑥) = 3 + 6
(12 − 5𝑥) −
[−5]
(1 − 4)
1
𝑥−9
75
[− 16]
1
15.
10
+ 5𝑥 =
12
2−
17.
[2]
= 1 − (𝑥 − 4)
5
2
3
2
(2𝑥 − 1) − 1 = −
6
𝑥+5
2
2𝑥−1
14.
16.
3
4𝑥 + 6 − (2𝑥 + 3) = 3(2𝑥 − 3)
[8]
1
1
= 2 (𝑥 − 2) − 1
[3]
18.
x  22  x  42  2x  72x  6  x  12  x  32
19.
3
x  2 5  1 1  x   3 x  1  3x  15

4
2 2
8
 2
20.
x  5 2 x  7  1
2  3x  2 x  5  1

 1  


5
15
2
17  6
15  2
[impossibile]
21.
2  x  2 x  1    6 x  1   2 xx  1  7 x
2  3 
6

[impossibile]
[indeterminata]
2
6
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22.
1
3
9
x
 2 x  3
2
20 20
3 10
 2 x  3
1 
1
5

 2   2  
2 
2

Equazioni di primo grado
[indeterminata]
7
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Equazioni di primo grado
DOMINIO DI UNA EQUAZIONE FRAZIONARIA
Una equazione si dice fratta o frazionaria se compare l’incognita anche in uno solo dei
denominatori.
Le soluzioni di una equazione frazionaria vanno ricercate solo tra quei valori che la trasformano in
una uguaglianza cha ha un significato, cioè bisogna escludere dalle sue possibili soluzioni quei valori
per i quali non avrebbe più senso parlare di uguaglianza vera oppure falsa.
L’insieme dei valori che, sostituiti al posto dell’incognita, trasformano l’equazione in una
uguaglianza, vera oppure falsa, si dice dominio dell’equazione.
I dominio di una equazione viene espresse per mezzo delle condizioni a cui devono soddisfare le
eventuali soluzioni che sono chiamate condizioni di accettabilità delle soluzioni.
Esempio:
3
6  10 x
1

2
2x  2 2 x
Perché l’equazione abbia senso è necessario che i denominatori siano diversi da zero. Pertanto:
x  2  0  x  2
x0
In conclusione l’equazione si trasforma in una uguaglianza, vera o falsa, per tutti i valori attribuiti
alla incognita x tranne che per -2 e 0, poiché l’equazione sarebbe priva di significato. Il domino
dell’equazione si scrive come segue:
D     2,0
ESERCIZI
Stabilire le condizioni di accettabilità e il dominio delle seguenti equazioni:
a.
3x
5x  6
2x


x2 x2
x7
b.
1
1
2


3x  1 35  x  4x  3
c.
1
1
3


x  1 x  1 x  4
RISOLUZIONE DI UNA EQUAZIONE FRAZIONARIA NUMERICA
8
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Equazioni di primo grado
Per risolvere una equazione frazionaria è necessario liberarla dai denominatori moltiplicando
entrambi i membri per il denominatore comune. Naturalmente perché l’equazione abbia senso è
necessario che il denominatore sia diverso da zero, cioè si devono trovare le condizioni di accettabilità
o di esistenza.
Trovate le condizioni di esistenza e conseguentemente il dominio dell’equazione, si risolve
l’equazione e si confrontano le soluzioni con il dominio di esistenza. Se le soluzioni rientrano nel
dominio, allora la soluzione è accettabile.
ESERCIZI
Risolvere le seguenti equazioni stabilendone le condizioni di accettabilità ed il dominio.
a.
x 1 x 1

x  3 x 1
b.
x  1 5x  1 x  2


x 1 x2 1 x 1
c.
1
2x
3

 2
x x 1
2x
[-5]
d.
1  x 2x  3

x  1 2x  1
1
[ ]
4
e.
7
16
6
 2

x3x  1 9 x  1 x3x  1
[1]
f.
1 x
x 1
1

 1
2x  2 2 x
x x  2 
[indeterminata; x  0; x  2 ]
g.
34 x  1
15
23x  2 23x  1



3x  2
33x  2
3x  1
3x  1
[impossibile]
EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE RICONDUCIBILI A QUELLE DI PRIMO GRADO
Se una equazione è riconducibile alla forma Px   0 , dove P  x  è un polinomio di grado n
scomponibile in fattori di primo grado nella variabile x, si può risolvere applicando la legge
dell’annullamento del prodotto.
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Appunti di MATEMATICA
Equazioni di primo grado
Esempio:
x 2  2x  0  x( x  2)  0
Soluzioni
x0
x2
ESERCIZI
Risolvere le seguenti equazioni.
a.
x  32 x  1  0
b. x 2  2 x  1  0
x  1
x 2  5x  6  0
x  2; x  3
c.
a  2; a  2
d. 2a 2  8  0
PROBLEMI DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA
a. La somma tra i
2
di un numero e la sua metà è uguale al numero stesso diminuito di 10. Trovare
5
il numero.
b. Francesco ha 14 anni e sua sorella ne ha 12. Quanti anni fa l’età di Francesco era il doppio dell’età
della sorella?
c. In un parcheggio vi sono in tutto 196 veicoli, tra automobili e motociclette. Sapendo che le ruote
sono complessivamente 648, determina il numero delle automobili e delle motociclette che vi
sono in quel parcheggio.
d. Un numero è tale che il suo triplo diminuito di 4 è uguale alla somma del doppio con il successivo
del numero stesso.
10
Appunti di MATEMATICA
Equazioni di primo grado
e. La somma di 3 numeri è 130. Sapendo che il terzo è il doppio del primo e che il secondo è
2
del
3
terzo, determina i tre numeri.
f. Di due numeri si sa che uno di essi è
2
dell’altro e che la loro somma è 55. Determina i due
3
numeri.
g. Giovanni ha 12 anni e suo padre ne ha 33. Tra quanti anni l’età di Giovanni sarà la metà di quella
di suo padre?
h. Per assistere ad uno spettacolo teatrale, 190 spettatori hanno pagato il biglietto intero e 72 il
biglietto ridotto, il cui costo è uguale ai
2
di quello del biglietto intero. Sapendo che l’incasso
3
complessivo è stato di 1428 €, determina il costo del biglietto intero e di quello ridotto.
i. Gli studenti di 2 classi partecipano ad una gita scolastica. Dividendo il costo del noleggio del
pullman in parti uguali, ciascuno dovrebbe pagare 9 €. Tuttavia 5 alunni che partecipano alla gita,
non pagano per cui ciascuno dei rimanenti deve pagare 10 €. Quanti alunni hanno partecipato alla
gita.
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