A. Sul teorema di Rolle 1. Si enunci il teorema di Rolle e si mostri

A. Sul teorema di Rolle
1. Si enunci il teorema di Rolle e si mostri, con opportuni esempi, che se una
qualsiasi delle tre condizioni previste non è soddisfatta, il teorema non è valido.
[Quesito 10, 2009 Suppletiva]
2. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese,
(1652-1719)], che se l’equazione: x n + a n−1 x n−1 +.....+ a1 x + a0 =0 ammette radici
reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione: nxn−1 + (n − 1)
an−1 x n−2 +......+ a1 = 0 [Quesito 5, 2003 PNI]
3. Utilizzando il teorema di Rolle, si verifichi che il polinomio x n + px + q (p, q ∈
R), se n è pari ha al più due radici reali, se n è dispari ha al più tre radici reali.
[Quesito 6, 2002 PNI]
4. Dimostrare che se p(x) è un polinomio allora tra due qualsiasi radici distinte di
p(x) c’è una radice di p'(x). [Quesito 3, 2001 PNI]
5. Utilizzando il teorema di Rolle provare che tra due radici reali di ex sen x = 1 c’è
almeno una radice di ex cos x = – 1. [Quesito 5, 2001 PNI Suppletiva]
B. Sul teorema di Lagrange
f (x) = 𝑥 3 0 ≤ x ≤ 1
6. Data la funzione{ 2
determinare il parametro k
x − kx + k 1 < x ≤ 2
in modo che nell’intervallo [0, 2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il
punto di cui la tesi del teorema assicura l’esistenza. [Quesito 9, 2015]
7. Si mostri che la funzione y = x 3 + 8 soddisfa le condizioni del Teorema del valor
medio (o Teorema di Lagrange)
sull’intervallo [– 2, 2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e se ne illustri
il significato geometrico. [Quesito 5, 2007]
Si provi che per la funzione f(x) = x 3 − 8, nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2, sono verificate le
condizioni di validità del teorema di Lagrange e si trovi il punto in cui si verifica la
tesi del teorema stesso.
8. La funzione f (x) = x 3 − 2x 2 soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange
f (b) − f (a)
nell’intervallo [0,1]? Se sí, trova il punto ξ che compare nella formula
=f
b−a
'(ξ) [Quesito 7, 2006]
9. La funzione reale di variabile reale è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1;
3] e derivabile nell’intervallo aperto ]1, 3[. Si sa che f (1) = 1 e inoltre 0 ≤ f ' (x) ≤ 2
per ogni x dell’intervallo ]1, 3[. Spiegare in maniera esauriente perché risulta
1 ≤ f (3) ≤ 5. [Quesito 8, 2002]
10. Dire formalizzando la questione e utilizzando il teorema del valor medio o di
Lagrange se è vero che ‘se un automobilista compie un viaggio senza soste in cui
la velocità media è 60 km/h, allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro
dell’automobile deve indicare esattamente 60km/h. [Quesito 10, 2001 PNI]
2 C. Sul teorema di de l’Hôpital
ln(sen3x)
11. Si calcoli lim+
[Quesito 2, 2014 Estero = Europa]
x→0
12. Si calcolilim
ln(senx)
√𝑥 −1
x→1
lnx2
[Quesito 1, 2014 Estero – Americhe]
13. Si calcoli il limite della funzione
senx + cos x + √2
logsen2x
8, 2014 Suppletiva]
14. Si calcoli
lim+
23𝑥 −34𝑥
x2
x→0
tgx − tga
15. Si calcoli lim
x→𝑎
16. Si calcoli lim
x→0
x−a
1− cos3x
x2
𝜋
, quando x tende a . [Quesito
4
[Quesito 1, 2012 PNI]
[Quesito 6, 2011]
[Quesito 7, 2009 Estero – Americhe]
17. Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi
per dimostrare che e’: lim
𝑥 2008
= 0 [Quesito 4, 2008 PNI]
x→+∞ 2𝑥
x + senx
18. Si consideri la funzione
. Stabilire se si puo’ calcolarne il limite per
x − cos x
x → + ∞ e spiegare se il calcolo puo’ essere effettuato ricorrendo al teorema di
De L’Hospital. [Quesito 10, 2001]
Verifica se le due funzioni f(x) = lnx , g(x) = x + 3 soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy
nell’intervallo I = [1;3] e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che verificano il
teorema.
1^ ipotesi: Df = R 0 ; Dg = R; le due funzioni sono continue xI ;
2^ ipotesi: f ' x  
1
; Df '  R 0 ;
x
g ' x   1; Dg'  R , f e g sono derivabili x]1;3[;
3^ ipotesi: g’(x) = 1  0 x]1;3[.
Le funzioni f(x) e g(x) soddisfano alle ipotesi del teorema di Cauchy.
I punti dell’intervallo I che verificano il teorema sono le soluzioni dell’equazione
f 3  f 1 f ' x 0 

;
g3  g1 g ' x 0 
ln3  ln1 1

;
64
x0
x0 
2
.
ln3
Verifica se la funzione f x   x 3  x 2  2 (figura precedente) nell’intervallo I = [-1;2] soddisfa
alle ipotesi del teorema di Lagrange e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che
verificano il teorema.
1^ ipotesi:
2^ ipotesi:
Df = R; la f(x) è continua xI ;
f ' x   3x 2  2x ; Df ’ = R , quindi la f(x) è derivabile x]-1;2[;
La funzione f(x) soddisfa alle ipotesi del teorema di Lagrange.
I punti dell’intervallo I che verificano il teorema sono le soluzioni dell’equazione:
f ' x 0  
f b  f a 
ba
6
 3x 02  2x 0  ; 3x 02  2x 0  2  0
3

x1, 2 
1 7
.
3
2) Verifica se la funzione f x   tgx
nell’intervallo I = [0;] soddisfa alle ipotesi del teorema
di Lagrange e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che verificano il teorema.
1^ ipotesi:
2^ ipotesi:
Df = R\{/2 + k}, quindi la f(x) non è sempre continua in I ;
f ' x   1  tg 2 x ; Df ’ = Df , quindi la f(x) non è sempre derivabile in I.
La funzione f(x) non soddisfa né alla prima ipotesi, né alla seconda, quindi il teorema di
Lagrange, in questo caso, non è applicabile.
3) Sia s(t) = -t3 + t2 + t + 2 ( t  0 ) l’equazione oraria del moto di un punto su una retta.
Rispondi ai seguenti quesiti, considerando s in metri e t in secondi:
a. determina la velocità media vm nell’intervallo di tempo I = [0;3/2];
b) dimostrare, giustificando la risposta, che esiste almeno un istante t0 interno ad I, in cui la
velocità istantanea è uguale alla velocità media in I;
c) determinare l’istante in cui il corpo inverte il senso del moto sulla retta.
Risposte
a) v m 
s
;
t
3
2
s   s ( 0 )
vm =
3

1
m/s e, per il teorema di Lagrange, vm = s’(t0).
4
2
2
b) v(t) = s’(t); v(t) = -3t2 +2t +1 ; v(t0) = vm   3t 0  2 t 0  1 
1
4
 t0 
2  13
sec
6
c) v(t)  0; -3t2 +2t +1  0 per -1/3  t  1, quindi t =1 sec.
Data la funzione f x   x 3  x 2  2 (vedi Fig.), determinane gli intervalli di monotonia.
Dominio: Df = R;
f ' x   3x 2  2x ;
f ' x   0
per x  0  x 
2
3
1) Siano date le funzioni:
f ( x)  2 x 3  2 x  1
e
 ( x)  x 3  x in  1, 2

Calcoliamo i valori che esse assumono agli estremi dell’intervallo  1, 2  .
f (1)  1,
 (1)  2,
f (2)  13,
 (2)  10.
Le funzioni assegnate sono continue nell’intervallo considerato. Calcoliamo le derivate prime:
f ( x)  6 x 2  2 ;  ( x)  3 x 2  1.
Notiamo che le funzioni assegnate sono anche derivabili nei punti interni dell’intervallo  1, 2  .
Consideriamo il rapporto:
f ( x) 6 x 2  2

 ( x) 3x 2  1
Notiamo che il denominatore non si annulla mai.
Poiché le ipotesi di Cauchy sono tutte verificate, esiste almeno un punto x 0 dell’intervallo  1, 2  ,
in corrispondenza del quale vale la seguente relazione:
f (2)  f (1) f ( x0 )

;
 (2)   (1)  ( x0 )
quindi si ha:
6 x0 2  2

3 x0 2  1
3 x0 2  7
3

 0  x0
2
2  ( 3 x0 2  1 )
1
2

7
.
3
Per ipotesi, i punti x 0 devono appartenere all’intervallo  1, 2  , quindi bisogna scartare la soluzione
negativa. In definitiva, il punto che cercavamo ha per ascissa x0 
7
.
3
2) Siano date le funzioni:
f ( x) 
x2
4
x 1
,
 ( x)  x 2  3 ,
in
Calcoliamo i valori che esse assumono agli estremi dell’intervallo
  2, 1 
  2, 1  .
3
;
2
 (2)  7 ;  (1)  4 .
f (2)  0 ;
f (1) 
Le funzioni assegnate sono continue nell’intervallo considerato. Calcoliamo le derivate prime:
f ( x) 
x 4  1  ( x  2)  4 x 3
( x 4  1) 2

 3x 4  8 x 3  1
( x 4  1) 2
;
 ( x)  2 x .
Notiamo che le funzioni f ( x) e  ( x) sono derivabili nei punti interni dell’intervallo
  2, 1  .
Consideriamo il rapporto:
f ( x)  3x 4  8 x 3  1

 ( x)
( x 4  1) 2  2 x
il quale si annulla nel punto di ascissa x  0 ( che è un punto appartenente all’intervallo   2, 1  ).
Perciò, una delle ipotesi del teorema di Cauchy, secondo cui la derivata  (x ) deve essere sempre
diversa da zero nei punti di quel intervallo, non è verificata.
1) Controllare se la funzione y  x 2  x  1 , nell’intervallo chiuso [1;2] , verifica le
ipotesi del Teorema di Rolle e in caso affermativo, calcolare l’ascissa dei punti dove
si annulla la derivata della funzione.
2)Verifica se le due funzioni f(x) = lnx , g(x) = x + 3 soddisfano le ipotesi del
teorema di Cauchy nell’intervallo I = [1;3] e, in caso affermativo, trova i punti
dell’intervallo che verificano il teorema.
3) Verifica se le due funzioni f ( x) 
x2
4
x 1
,
 ( x)  x 2  3 ,
in
  2, 1  soddisfano
le ipotesi del teorema di Cauchy e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo
che verificano il teorema.
4) Sia s(t) = -t3 + t2 + t + 2 ( t  0 ) l’equazione oraria del moto di un punto su una
retta.
Rispondi ai seguenti quesiti, considerando s in metri e t in secondi:
a. determina la velocità media vm nell’intervallo di tempo I = [0;3/2];
b) dimostrare, giustificando la risposta, che esiste almeno un istante t0 interno
ad I, in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media in I;
c) determinare l’istante in cui il corpo inverte il senso del moto sulla retta.
ln(sen3x)
5)Si calcoli lim+
x→0
ln(senx)
6)Si calcoli il limite della funzione
senx + cos x + √2
logsen2x
, quando x tende a
𝜋
4
7)
f (x) = 𝑥 3 0 ≤ x ≤ 1
determinare il parametro k in modo
x 2 − kx + k 1 < x ≤ 2
che nell’intervallo [0, 2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di
cui la tesi del teorema assicura l’esistenza
Data la funzione{
8) Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi per
dimostrare che e’: lim
x→+∞
𝑥 2008
2𝑥
=0
1)Verifica se le due funzioni f ( x)  2 x 3  2 x  1 e  ( x)  x 3  x in  1, 2  soddisfano
le ipotesi del teorema di Cauchy e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo
che verificano il teorema.
2) Verifica se la funzione f x   tgx
nell’intervallo I = [0;] soddisfa alle ipotesi
del teorema di Lagrange e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che
verificano il teorema.
3) Sia s(t) = -t3 + t2 + t + 2 ( t  0 ) l’equazione oraria del moto di un punto su una
retta.
Rispondi ai seguenti quesiti, considerando s in metri e t in secondi:
a. determina la velocità media vm nell’intervallo di tempo I = [0;3/2];
b) dimostrare, giustificando la risposta, che esiste almeno un istante t0 interno
ad I, in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media in I;
c) determinare l’istante in cui il corpo inverte il senso del moto sulla retta.
f (x) = 𝑥 3 0 ≤ x ≤ 1
determinare il parametro k in
x 2 − kx + k 1 < x ≤ 2
modo che nell’intervallo [0, 2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il
punto di cui la tesi del teorema assicura l’esistenza
4) Data la funzione{
5) Si calcoli lim
x→𝑎
tgx − tga
x−a
6)Si calcoli il limite della funzione
senx + cos x + √2
logsen2x
, quando x tende a
𝜋
4
7) Controllare se la funzione y  x 2  x  1 , nell’intervallo chiuso [1;2] , verifica le
ipotesi del Teorema di Rolle e in caso affermativo, calcolare l’ascissa dei punti dove
si annulla la derivata della funzione.
8) Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi per
dimostrare che e’: lim
x→+∞
𝑥 2008
2𝑥
=0