Corso di laurea in Chimica
Matematica
Esercizi vari su integrali, equazioni differenziali e calcolo differenziale per funzioni di più variabili
1.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
a)
Z
x2 sin x dx,
e2
b)
e
2.
Z
1
dx
x log x
c)
ex + 1
dx.
e2x − 1
Risolvere le seguenti equazioni differenziali:
a) 3y 00 + y 0 − 2y = 21 − 6t2 ;
b) (1 + t2 )y 0 = 1 − 4ty.
3.
Sia A la regione del piano xy limitata dall’asse x e dal grafico delle
funzioni
√
1 √
√ x + 1.
x,
e
2
Calcolare l’area di A.
4.
Verificare che la funzione
2
1
u(t, x) = √ e−x /(4t)
t
è soluzione dell’equazione
∂2u
∂u
(t, x) =
(t, x).
∂t
∂x2
5.
Siano u e v i versori che formano con i (versore dell’asse x) un angolo
di π/4. Sia
f (x, y) = sin(x2 y) + x2 − 2y.
Stabilire quale fra
∂f
∂u (1, 0)
e
∂f
∂v (1, 0)
è maggiore. Quale sarebbe la risposta se
della funzione f si sapesse soltanto che
∂f
∂x (1, 0)
>0e
Calcolare i seguenti integrali:
Z 1√
Z
arctan x
dx,
b)
log(x2 + 1) dx,
a)
2
1
+
x
0
∂f
∂y (1, 0)
< 0?
6.
1
Z
c)
1
log(x + 1) √ dx.
x
7.
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
√
t3 y 0 = e−2y (1 + t)
8.
Calcolare |∇f
√1 , 1
2 2
y(1) = 0.
|, dove
f (x, y) =
log(x2 + 2y 2 )
p
.
y − x2 + y
9. Sia f (x, y) = x log(2x2 − y). Determinare gli eventuali punti (x0 , y0 ) per
i quali
∂f
(x0 , y0 ) = 0,
per ogni u
∂u
10.
Sia f (x, y) = x + 31 y 3 . Determinare la funzione y = u(x) per la quale
u(0) = 1 e in ogni punto del suo grafico la retta tangente è parallela al gradiente
di f in quel punto.
11.
Sia f (x) = x2 + 2 cos x.
a) Verificare che
f (x) ≥ 0
per x ∈ [0, π/2].
b) Calcolare l’area di
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ f (x)}.
12.
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
2y 00 + 5y 0 + 2y = 4t2
13.
Risolvere le seguenti equazioni differenziali:
a) y 0 − 2ty = t,
14.
y(0) = 0, y 0 (0) = −2.
b) y 0 − 2ty = ty 2 ,
Calcolare i seguenti integrali:
Z 1
Z
x arctan x dx,
b)
a)
0
c) y 0 − 2ty = t(y 2 + 1),
sin x
dx,
cos x − 2
2
Z
c)
tan2 x
dx
cos2 x
15.
Sia f (x, y) = 4
a) Calcolare
p
√
√
x2 + y 3 /y 2 e u = (1/ 2)i − (1/ 2)j.
∂f
(1, 2).
∂u
b) Sia r la retta di equazione x + y − 3 = 0, passante per il punto P0 = (1, 2).
È possibile che il valore di f in (3, 2) sia massimo o minimo rispetto ai
valori assunti da f sulla retta r?
√
16.
Sia f (x) = x 4 − x2 . Siano a, b ≥ 0 i valori non negativi in cui f si
annulla. Calcolare l’area compresa fra il grafico di f nell’intervallo [a, b] e l’asse
delle ascisse.
17. Determinare il valore β > 0 per il quale il valore medio di f (x) = 4xe2x
in [0, β] sia pari a 2.
18.
Risolvere:
2y 00 − y 0 − 3y = 3t2 − 2
19.
y 0 (0) = −2
y(0) = 2,
Calcolare i seguenti integrali:
Z
a)
1
xex−1 dx ,
Z
x − log(x + 1)
dx ,
x+1
Z
π/2
b)
0
Z
c)
sin x
dx ,
2 − sin2 x
d)
p
sin 2x 4 − cos2 x , dx .
0
20.
Sia f (x) = x log x. Sia T la regione nel quarto quadrante del piano
cartesiano (cioè x ≥ 0 e y ≤ 0) delimitata dall’asse x e dal grafico di f .
a) Disegnare approssimativamente T .
Dato α ≥ 0 sia Sα = {(x, y) : x ≥ α} .
b) Calcolare l’area di T ∩ S1/2 .
c) Calcolare l’area di S0 .
21.
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
0
ty + y = 1 − log t
y(1) = 3
3
22.
Risolvere:
a) 2y 00 + 3y 0 − 2y = et ;
b)
00
2y + 3y 0 − 2y = 2t − 3
y(0) = 1,
y 0 (0) = −3
Quali sono le soluzioni dell’equazione 2y 00 + 3y 0 − 2y = et + 2t − 3?
√
x2 − 5e2y . Calcolare
23.
Sia f (x, y) =
24.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z
(e2x − x)2 dx;
a)
π/2
b)
∂2f
(3, 0) .
∂y∂x
p
sin 2x 1 + 3 sin2 x dx;
Z
c)
√
√
x sin(x x) dx;
0
25.
Sia f (x, y) =
√
x2 + e2y .
a) Calcolare
∂2f
,
∂y∂x
∇f ,
nel punto (3/4, 0). Calcolare inoltre, in tale punto, ∂f /∂v, dove v è il
vettore unitario con la stessa direzione e verso di ∇f (3/4, 0).
b) Qual è il luogo dei punti in cui il gradiente di f è parallelo
alla retta y = x?
√
In tali punti, quanto vale ∂f /∂u, se u = (i − j)/ 2?
26.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z 1
2 2
a)
(1 − x ) x dx;
b) (1 − x) sin x dx;
Z
c)
(log x)2 dx.
0
27.
Sia f (x) = 1 −
√
x.
a) Calcolare l’area del sottografico di f relativo all’intervallo [0, 1].
b) Determinare il valore α ∈ (0, 1) per il quale la retta orizzontale y = α
suddivide il sottografico di cui al punto (a) in due regioni di ugual area.
28.
Calcolare le derivate parziali seconde della funzione
f (x, y) = (1 − x2 y)ex−2y
nel punto (0, 0).
4
