Lezione VI
COSTRUZIONE DELLE TAVOLE, FUNZIONI BIOMETRICHE, MISURE
DI SINTESI
Agnese Maria Di Brisco
[email protected]
Testo di Riferimento: G.A., DEMOGRAFIE, MILANO, MC GRAW-HILL, 2010 - Cap. 3.2
A. Di Brisco ( )
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Tavole di Mortalità, funzioni biometriche, misure di sintesi
1
Tavole di Mortalità
2
Funzioni Biometriche
3
Relazione tra tassi e probabilità
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Tavole di Mortalità
Mortalità
Il fenomeno mortalità è stato a lungo analizzato nel corso delle precedenti
lezioni.
Nella precedente esercitazione sono stati costruiti tassi e probabilità
rispetto al fenomeno in esame, che verranno ora brevemente ricordati.
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Tavole di Mortalità
Tassi di mortalità
1
Tasso specifico per età x e anno di calendario t:
t mx
2
=
t Mx
(1.1.t Px +
1000
per x = 0, 1, . . . , ω − 1
Tasso specifico per età x e generazione g
mxg =
3
31.12.t Px )/2
Mxg
1000
g
)/2
(Pxg + Px+1
per x = 0, 1, . . . , ω − 1
Tasso specifico per generazione g e anno di calendario t
tm
g
=
tM
(1.1.t P g +
g
31.12.t P
g )/2
1000
per x = 0, 1, . . . , ω − 1
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Tavole di Mortalità
Probabilità di morte
1
probabilità tra compleanni
qxg =
2
Mxg
Pxg
probabilità prospettiva per generazione g e anno di calendario t
tq
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g
=
tM
g
1.1.t P
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g
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Tavole di Mortalità
Tavole di mortalità
La tavola di mortalità (o di sopravvivenza) è lo strumento privilegiato per
descrivere il processo di estinzione di una generazione di individui.
In generale la tavola di mortalità, così come il diagramma di Lexis, può
essere utilizzata per descrivere l’evoluzione di diversi fenomeni demografici
nel corso della vita di un individuo. Nel nostro corso applicheremo la
metodologia delle tavole esclusivamente al fenomeno mortalità.
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Tavole di Mortalità
Tavole di mortalità
Il tempo individuale è misurato a partire da un evento di origine e si
conclude con la sperimentazione dell’evento di interesse: nel caso della
mortalità l’evento origine è la nascita e l’evento di interesse è il decesso.
Per costruire una tavola di mortalità occorrono:
• l’ammontare iniziale della popolazione sottoposto ad eliminazione
• la serie delle probabilità di morte tra compleanni qx
Si osserva che le probabilità possono essere calcolate
• per tutte le età di una generazione
• in corrispondenza delle diverse età di tutte le generazioni che
convivono in un dato intervallo biennale
Nel primo caso si può costruire una tavola di mortalità per generazioni
mentre nel secondo caso si ottiene una tavola di mortalità per
contemporanei.
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità per generazioni o per contemporanei: un
esempio
Il seguente esempio vuole meglio chiarire la differenza che sussiste tra una
tavola di mortalità per generazioni ed una tavola di mortalità per
contemporanei.
Si supponga di considerare una popolazione fittizia in cui tutti si
estinguono prima del quarto compleanno e sia che:
1
Nell’anno 1965 sono nati 100 bambini e nel primo anno di vita ne sono
deceduti 29
2
Nel 1964 sono nati 80 bambini, di questi 60 hanno raggiunto il primo
anno di vita e 20 sono deceduti prima del secondo anno di compleanno.
3
Della generazione del 1963, 45 bambini arrivano a compiere il secondo
anno di vita e di questi 15 giungono al terzo compleanno.
4
Nel 1962 sono nati 90 bambini. Di questi 15 sono deceduti nel primo
anno di vita, 25 nel secondo, 40 nel terzo.
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità per generazioni o per contemporanei: un
esempio
Rappresentando l’informazione a disposizione in un opportuno diagramma
di Lexis si ottiene:
Le informazioni note sono in nero, in blu quelle ricavate per differenza
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità per generazioni : le probabilità
Le informazioni contenute nel diagramma di Lexis consentono di calcolare
le necessarie probabilità di morte, attraverso cui si procederà alla
costruzione della tavola.
Si supponga di voler calcolare una tavola di mortalità per generazioni e ci si
focalizzi sulla generazione dei nati nel 1962. Le probabilità di morte tra
compleanni saranno relative alla generazione e saranno 4, tanti quanti sono
gli anni di sopravvivenza massimi della popolazione in esame:
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità per generazioni : le probabilità
q0 =
M01962
15
=
= 0.167
1962
90
P0
q1 =
M11962
25
= 0.333
=
75
P11962
q2 =
q3 =
A. Di Brisco ( )
40
M21962
=
= 0.8
1962
50
P2
M31962
10
=
=1
1962
10
P3
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità per contemporanei : le probabilità
Si supponga di voler calcolare, invece, una tavola di mortalità per
contemporanei nell’intervallo biennale 1965-1966. I soggetti a rischio di
sperimentare l’evento sono quelli con età x nel 1965 mentre gli eventi sono
quelli accaduti nel biennio 1965-1966 (figura B del diagramma di Lexis); le
probabilità tra compleanni sono sempre 4, tanti quanti sono gli anni di
sopravvivenza massimi della popolazione in esame:
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità per contemporanei : le probabilità
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q0 =
M01965
29
=
= 0.29
P
100
1965 0
q1 =
20
M11964
=
= 0.333
60
1965 P1
q2 =
M21963
30
=
= 0.667
45
1965 P2
q3 =
M31962
10
= 0.333
=
10
P
1965 3
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità per generazioni o per contemporanei: un
esempio
Nella seguente figura sono riportate le probabilità di morte per generazione
e per contemporanei calcolate.
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità: costruzione
Occorre ora procedere formalmente a definire le quantità utili a costruire la
tavola di mortalità:
1
l0 corrisponde all’ammontare iniziale della popolazione (di solito si
considera per convenzione un multiplo di 10, ad esempio 100000 di
individui). Con lx si indica, allora, l’ammontare della popolazione in
età x;
2
qx corrisponde alla probabilità di morte dal compleanno x al
compleanno x + 1. Ad esempio q0 è la probabilità di morte dalla
nascita al compimento del primo compleanno;
3
dx corrisponde al numero di decessi in età x. Ad esempio d0 è il
numero di decessi prima del compimento del primo compleanno.
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità: costruzione
Si supponga di conoscere l0 e q0 . Allora si possono calcolare:
1
il numero di morti prima del primo compleanno
d0 = l0 q0
2
i sopravviventi della tavola al primo compleanno
l1 = l0 − d0
Allora generalizzando:
dx = lx qx
lx+1 = lx − dx
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità: esempio
Si completi la seguente tavola di mortalità:
x
0
1
2
3
A. Di Brisco ( )
lx
100000
dx
4000
qx
0.08
80150
567
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità: esempio
Occorre completare gli spazi vuoti della tavola di mortalità:
q0 =
d0
4000
=
= 0.04
l0
100000
l1 = l0 − d0 = 100000 − 4000 = 96000
d1 = l1 q1 = 96000 × 0.08 = 7680
l2 = l1 − d1 = 96000 − 7680 = 88320
d2 = l2 − l3 = 88320 − 80150 = 8170
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q2 =
d2
8170
=
= 0.0925
l2
88320
q3 =
d3
567
=
= 0.007
l3
80150
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Tavole di Mortalità
Tavola di mortalità: esempio
Si riportano i risultati ottenuti nella tavola
x
0
1
2
3
A. Di Brisco ( )
lx
100000
96000
88320
80150
dx
4000
7680
8170
567
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qx
0.04
0.08
0.0925
0.007
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Funzioni Biometriche
Funzioni biometriche della tavola di mortalità
Le tre quantità finora introdotte nella tavola di mortalità:
• qx probabilità di morte
• dx decessi
• lx sopravviventi
sono dette funzioni biometriche e sono funzioni dell’età x.
É molto utile rappresentarle graficamente per studiare come esse varino al
variare dell’età.
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Funzioni Biometriche
Funzioni biometriche: probabilità di morte
Il grafico mostra l’andamento della probabilità di morte al variare dell’età:
in ascissa è rappresentata l’età mentre in ordinata è indicata la probabilità
di morte qx . Come è prevedibile la funzione qx è crescente e assume valore
pari a 1 all’età irraggiungibile ω (è un evento certo che tutta la coorte si
estingua prima di raggiungere l’età ω).
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Funzioni Biometriche
Funzioni biometriche: decessi
Il grafico mostra l’andamento dei decessi al variare dell’età: in ascissa è
rappresentata l’età mentre in ordinata è indicato il numero di decessi dx . Si
osserva come il numero di decessi entro il primo anno di vita sia piuttosto
elevato per poi diminuire drasticamente nell’età adulta e riaumentare
durante le età più avanzate. L’andamento tipico è dunque quello di una
campana con un lieve picco nell’età 0.
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Funzioni Biometriche
Funzioni biometriche: sopravviventi
Il grafico mostra l’andamento dei sopravviventi al variare dell’età: in ascissa
è rappresentata l’età mentre in ordinata è indicato il numero di
sopravviventi lx . Come è prevedibile il numero di sopravviventi è una
funzione strettamente decrescente: la funzione lx decresce lentamente
durante l’età adulta per poi diminuire drasticamente fino a 0, ossia
all’estinzione della coorte, nelle età più avanzate.
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Funzioni Biometriche
Altre funzioni biometriche
Oltre alle tre fondamentali funzioni biometriche costitutive della tavola è
possibile definire delle nuove funzioni che arricchiscono l’informazione
relativa al processo di eliminazinoe di una popolazione. Esso sono
sinteticamente descritte nel seguito:
• px è detta probabilità di sopravvivenza ed è pari al complemento a 1
della probabilità di morte, per ogni età
px = 1 − qx
Anche attraverso le probabilità di sopravvivenza è possibile calcolare i
sopravviventi infatti vale la relazione:
lx+1 = lx px
Infatti si deriva che:
lx+1 = lx − dx = lx − lx qx = lx (1 − qx ) = lx px
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Funzioni Biometriche
Altre funzioni biometriche
• Lx è pari al numero di anni vissuti complessivamente dai soggetti tra
l’età x e l’età x + 1.
dx
2
Ossia è pari al numero di soggetti che sono arrivati in vita all’età x + 1
più la metà dei soggetti che sono morti prima di compiere x + 1 anni
ma che erano in vita al compleanno x-esimo. Si prende la metà poichè
per convenzione si fissa che tutti coloro che sono morti tra i due
compleanni sono vissuti mediamente metà anno. Una formula
alternativa è la seguente, ricavabile tramite semplici passaggi algebrici:
Lx = lx+1 +
Lx = lx+1 +
dx
lx − lx+1
lx + lx+1
= lx+1 +
=
2
2
2
Di fatto, allora, gli anni vissuti si possono interpretare come la
popolazione media in età x.
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Funzioni Biometriche
Altre funzioni biometriche
• Tx è pari alla retrocumulata degli anni vissuti e risulta pari a:
Tx = Lx + Lx+1 + · · · + Lω−1
• ex è la speranza di vita all’età x e rappresenta il numero medio di anni
che restano da vivere ai sopravviventi all’età x:
ex =
Tx
lx
Molto usato è la speranza di vita alla nascita e0 poichè esprime il
numero medio di anni vissuto da una generazione.
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Relazione tra tassi e probabilità
Calcolare i tassi di mortalità dalle tavole
Un tasso di mortalità età-specifico è pari, come ben sappiamo, al numero di
morti in età x diviso la popolazione media nella stessa età:
mx =
Mx
P̄x
Osservando che Mx = dx e che la popolazione media è pari a Lx , come
osservato nelle slides precedenti, allora il tasso di mortalità età-specifico
può essere ricavato dalle tavole:
mx =
A. Di Brisco ( )
dx
Lx
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Relazione tra tassi e probabilità
Relazione tra tassi e probabilità
Sapendo che mx = Ldxx si vuole scrivere la probabilità di morte qx in
funzione di mx . Svolgiamo dei passaggi algebrici. Dividendo numeratore e
denominatore per Lx :
qx =
dx
dx /Lx
mx
=
=
=
lx
lx /Lx
lx /Lx
Osserviamo che Lx = lx +l2x+1 e allora tramite passaggi algebrici otteniamo
che:
lx + lx − dx
dx
lx + lx+1
=
= lx −
Lx =
2
2
2
Allora possiamo sostituire nell’equazione lx = Lx +
qx =
A. Di Brisco ( )
dx
2
mx
mx
mx
2mx
==
=
mx =
d
x
lx /Lx
1+ 2
2 + mx
(Lx + 2 )/Lx
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Relazione tra tassi e probabilità
Relazione tra tassi e probabilità
Infine si vuole scrivere il tasso età specifico mx in funzione della probabilità
di morte qx :
2qx
mx =
2 − qx
Svolgendo i passaggi infatti:
2mx
qx =
2 + mx
1
2 + mx
1
1
=
=
+
qx
2mx
mx
2
1
1
2 + mx
1
− =
=
qx
2
2mx
mx
2 − qx
1
=
2qx
mx
2qx
mx =
2 − qx
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