1_Modelli di sopravvivenza

Il modello attuariale per la descrizione della sopravvivenza
Poiché
si ha
f x (t ) f 0 ( x + t )
=
= µ (x + t )
S (x + t)
t px
f x (t ) = t p x µ ( x + t )
Osservazione: a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo si ha
P(Tx ≤ t + ∆t Tx > t ) ≅ µ ( x + t )∆t
Si definisce vita media residua di una persona di età x
+∞
ex = E (Tx ) = ∫ t dFx (t )
0
Si ha
+∞
+∞
+∞
+∞
0
0
0
0
ex = E (Tx ) = ∫ t dFx (t ) = ∫ 1 − Fx (t ) dt = ∫ t p x dt = ∫
S (x + t)
dt
S ( x)
32
Il modello attuariale per la descrizione della sopravvivenza
Si definisce tasso centrale di mortalità relativo all’intervallo di età ( x, x + 1)
1
∫ µ ( x + t )S ( x + t ) dt
mx = 0
1
∫ S ( x + t ) dt
0
Più in generale si può definire il coefficiente di mortalità relativo all’intervallo di età
( x, x + n )
n
∫ µ ( x + t )S ( x + t ) dt
n mx
=
0
n
∫ S ( x + t ) dt
0
33
Tavole di mortalità
TAVOLE DI MORTALITÀ
In ambito attuariale la funzione di sopravvivenza è generalmente descritta mediante una
tavola di mortalità o tavola di sopravvivenza.
La tavola di sopravvivenza può essere interpretata come la tabulazione sugli interi di una
funzione di sopravvivenza S ( x ) definita per x ≥ 0 , quindi di tipo continuo.
x
0
1
2
M
ω −1
ω
S (x )
1
0,99172
0,99105
M
0,00015
0
ω è detta età estrema ed è tale che S (ω − 1) > 0 ed S (ω ) = 0
Definiamo le grandezze che compaiono in una tavola di sopravvivenza.
34
Tavole di mortalità
x
0
1
2
3
lx
dx
qx
Lx
mx
100.000 828 0,008280 99.586,00 0,008314
99.172 67 0,000676 99.138,50 0,000676
99.105 42 0,000424 99.084,00 0,000424
99.063 32 0,000323 99.047,00 0,000323
o
Tx
ex
7.881.389,00
7.781.803,00
7.682.664,50
7.583.580,50
78,81
78,47
77,52
76,55
M
M
M
M
M
M
M
M
109
110
111
30
15
0
15
15
0,500000
1,000000
22,50
7,50
0,666667
2,000000
30,00
7,50
1,00
0,50
Si definiscono le seguenti grandezze
Def.
l x = l0 S ( x )
x = 0, 1, K , ω
dove l0 è detto radice della tavola ed è fissato opportunamente, per esempio l0 = 100.000
lx
Def.
esprime il numero atteso di individui in vita all’età x , a partire da una collettività di l0
neonati, nell’ipotesi che la sopravvivenza sia descritta dalla funzione di
sopravvivenza S ( x )
d x = l x − l x +1
x = 0, 1, K , ω
d x esprime il numero atteso di decessi nell’intervallo di età ]x, x + 1]
35
Tavole di mortalità
Si ha
qx = 1 − px = 1 −
S ( x + 1)
l
d
= 1 − x +1 = x
S ( x)
lx
lx
Per definire le seguenti grandezze
o
Lx
mx
Tx
ex
occorre assumere che la distribuzione di probabilità, espressa attraverso la funzione di
sopravvivenza S ( x ) , x ≥ 0 , sia dotata di funzione di densità continua
Si ha allora
f x (t ) = −
f0 (x )
1 d
=−
lx
S (x)
l x dx
d
d lx
S (x) = −
dx
dx l0
µ (x) =
d
1 d
p
=
−
l x +t
t x
dt
l x dt
µ (x + t ) =
f0 (x ) = −
f x (t )
1 d
=−
lx +t
l x + t dt
t px
e da queste si può calcolare la vita media alla nascita e0 e la vita media residua ex di un
individuo di età x
36
Tavole di mortalità
Si ha
ω
ω
ωl
0
0 l0
e0 = ∫ S ( x) dx = ∫
x
dx =
∫ l x dx
0
l0
Si definisce
ω
T0 = ∫ l x dx
Def.
0
Poiché
e0 =
T0
l0
esprime la vita media alla nascita, allora
T0
(NB: da non confondere con il n.a. durata aleatoria di vita alla nascita)
rappresenta il numero atteso di anni vissuti da una collettività di l0 neonati
37
Tavole di mortalità
Analogamente si ha
ω−x
ω−x
ω−x
0
0
ex = ∫ t p x dt = ∫
lx +t
dt =
lx
∫ l x + t dt
0
lx
ω
=
∫ l y dy
x
lx
Si definisce
ω
Tx = ∫ l y dy
Def.
x
Poiché
ex =
Tx
lx
esprime la vita media residua di un individuo di età x , allora
Tx
(NB: da non confondere con il n.a. durata aleatoria di vita per un individuo di età
x ) rappresenta il numero atteso di anni vissuti da una collettività di l x individui di
età x
38
Tavole di mortalità
Per il tasso centrale di mortalità relativo all’intervallo di età ( x, x + 1) si ha
1
1
mx = 0
1
= 01
0
0
∫ µ ( x + t )S ( x + t ) dt
∫ S ( x + t ) dt
∫ f 0 ( x + t ) dt
∫ S ( x + t ) dt
=
S ( x ) − S ( x + 1)
l x − l x +1
dx
=
=
1
1
1
∫ S ( x + t ) dt
∫ l x +t dt ∫ l x + t dt
0
0
0
Si definisce
1
Lx = ∫ l x + t dt
Def.
0
Poiché
Lx = Tx − Tx +1
Lx esprime il numero atteso di anni vissuti da una popolazione di l x individui di età
x , tra le età x ed x + 1
Si ha allora
mx =
dx
Lx
39
Tavole di mortalità
Osservazione: poiché nella tavola di sopravvivenza la funzione S ( x ) è definita sugli interi
x = 0, 1, K , ω , per calcolare
1
Lx = ∫ l x + t dt
0
occorre approssimare l’integrale.
Se si approssima l’integrale mediante l’area del trapezio, ovvero si considera
l’interpolante lineare per definire la funzione l x +t per t ∈ (0,1) , si ottiene la seguente
approssimazione
l +l
Lx ≅ x x +1
2
Essendo inoltre
ω
Tx = ∫ l y dy = Lx + Lx +1 + L + Lω −1
x
si ottiene la seguente approssimazione
ω − x −1 l
+l
Tx ≅ ∑ x + h x + h +1
2
h =0
e quindi l’approssimazione della vita media residua ex mediante la vita media completa
1 ω − x −1 l x + h + l x + h +1
ex =
∑
2
lx h =0
o
40
Tavole di mortalità
Osservazione
poiché si ha
S (x) =
S ( x) S ( x − 1)
S (1)
⋅
⋅L
S ( x − 1) S ( x − 2)
S (0)
per x = 1, 2,K, ω − 1
ed essendo
S ( x)
P (T0 > x)
P(T0 > x , T0 > x − 1)
=
=
= P (T0 > x T0 > x − 1) = p x −1
P(T0 > x − 1)
S ( x − 1) P(T0 > x − 1)
per x = 1, 2,K, ω − 1
si ottiene
S ( x ) = p x −1 ⋅ p x − 2 ⋅L p0
per x = 1, 2,K, ω − 1
Quindi la stima della funzione di sopravvivenza, in un modello non parametrico, potrà
essere ottenuta mediante la stima delle probabilità condizionate di sopravvivenza p x
ovvero mediante la stima delle probabilità condizionate di decesso q x .
41
Stima delle probabilità di decesso mediante lo stimatore di Kaplan-Meier
STIMA DELLE PROBABILITÀ DI DECESSO
MEDIANTE LO STIMATORE DI KAPLAN-MEIER
Obiettivo:
stimare le probabilità q x , x = 0,1,K, ω − 1
Consideriamo la generica classe di età ]x, x + 1] e supponiamo di avere osservato in tale
classe di età
t1 , t 2 , K , t k
con x < t1 < t2 < K < tk ≤ x + 1
d1 , d 2 , K , d k
decessi alle età
n j , j = 1, K , k ,
il numero di individui in vita all’età t j
essendo
che hanno dato luogo ai d j decessi
Si noti che t0 = x rappresenta l’istante iniziale
La stima di Kaplan-Meier per la probabilità q x è
 dj 
qˆ x = 1 − pˆ x = 1 − ∏ 1 − 
 nj 
j =1 

K
42