Analisi Matematica
annuncio pubblicitario
LIUC eBook
Analisi
Matematica
Anna Maria Mascolo Vitale
LIUC eBook, 3
Analisi Matematica
Anna Maria Mascolo Vitale
LIUC Università Cattaneo
Castellanza 2013
Analisi matematica
Anna Maria Mascolo Vitale
Copyright 2013 © Università Carlo Cattaneo - LIUC – C.so Matteotti, 22 - 21053 Castellanza (VA)
Data di pubblicazione: Novembre 2013 - ISBN 978-88-908806-2-9
Prefazione
Nell’ e-Book si presenta una raccolta di esercizi e di prove scritte, completa di
soluzioni, corredata anche da alcuni opportuni richiami di teoria, con lo scopo di offrire
un valido contributo alla preparazione dell’esame di Analisi Matematica.
Il contenuto dell’e-Book permette allo Studente di mettere alla prova le proprie
conoscenze e le relative capacità applicative riuscendo, inoltre, a comprendere in modo
adeguato e preciso la tipologia di prova scritta che lo attende.
Infine l’e-Book non sostituisce il libro di testo adottato o l’eserciziario consigliato, ma
lo si può considerare come una dispensa che li integra e li completa, un saggio
compagno di viaggio lungo il percorso verso la prova d’esame.
Anna Maria Mascolo Vitale
5
6
CONCETTI PRIMITIVI
Iniziamo da quei
concetti matematici
detti
primitivi
proprio per evidenziare che non sono riconducibili a nozioni più elementari.
I concetti primitivi sono considerati i mattoni primari mediante i quali si definiscono tutti gli
altri concetti matematici. I più comuni concetti primitivi sono quelli di:
insieme,
numero naturale,
punto,
retta,
piano e spazio,
relazione tra insiemi.
INSIEMI
Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti, detti elementi, in modo che sia sempre
possibile affermare con chiarezza se un dato elemento appartenga o no all’insieme.
Un insieme può essere rappresentato in due modi:
per elencazione,
ossia dando l’elenco dei suoi elementi, posto entro parentesi graffe, come nei seguenti esempi:
A = {2,4,6} ,
C = {a, e, i, o, u} ,
B = {1,2,3,5,7,11} ,
D = {100,101,102,103,...} ,
Insieme vuoto = 0/ = { } , ({0} ≠ 0/ ) ,
N = {0, 1, 2,...} , Z = {0, ± 1, ± 2,...} ,
7
oppure mediante proprietà caratteristica,
vale a dire precisando alcune proprietà che distinguono in modo inequivocabile i suoi elementi.
Allora gli insiemi degli esempi precedenti, definiti in questo secondo modo, diventano:
A = {insieme dei numeri pari da 2 a 6},
B = {insieme dei numeri primi da 1 a 11} ,
C = {insieme delle vocali della lingua italiana},
D = {insieme dei numeri naturali ≥ 100},
Insieme vuoto = {insieme privo di elementi},
N = {insieme dei numeri naturali},
Z = {insieme dei numeri interi}.
DIAGRAMMI DI EULERO-VENN
y
Simbolo di Peano “∈
∈”
“∈
∈” si legge “appartiene ”,
“∉
∉” si legge “non appartiene ”.
x∈
∈A : x appartiene ad A, y ∉ A : y non appartiene ad A,
8
x∉B, y∉B.
Altri simboli:
Simbolo
∀
" per ogni"
∃
" esiste almeno un elemento"
∃!
" esiste uno ed un solo elemento"
∃/
Significato
" non esiste alcun elemento"
∧
“AND (e contemporaneamente)”
-congiunzione tra proposizioni-
∨
“OR (oppure)”
-disgiunzione tra proposizioni-
,(:)
“tale che”
⇒
⇔
" se ............. allora"
" se e solo se"
L’implicazione ″ p ⇒ q ″
può essere letta in due modi equivalenti:
″ p è condizione sufficiente per q ″
″ q è condizione necessaria per p ″.
La doppia implicazione ″ p ⇔ q ″
si legge anche:
″ p è condizione necessaria e sufficiente perché valga q ″ .
9
INCLUSIONE
A è un sottoinsieme di B , si scrive A ⊆ B in simboli:
x∈
∈A ⇒ x∈
∈B
A è un sottoinsieme proprio di B, A⊂
⊂B
(∀
∀x : x ∈A ⇒ x ∈B) ∧ (∃
∃x : x∈
∈B ∧ x∉
∉A)
Le relazioni ⊆ , ⊇ godono delle seguenti proprietà:
riflessiva : A ⊆ A ,
antisimmetrica : A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B ,
transitiva : A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C .
10
UNIONE:
è l’insieme degli elementi che appartengono ad A o a B,
A ∪ B = {x: x∈
∈A ∨ x∈
∈B}
},
A
B
INTERSEZIONE:
è l’insieme degli elementi che appartengono ad A e a B,
A ∩ B = {x: x∈
∈A ∧ x∈
∈B}
},
.
A ∩ B
11
DIFFERENZA:
la differenza tra A e B è un insieme indicato con A|B , costituito dagli elementi di A che
non appartengono a B .
A
A|B
B
Se, come accade spesso l’insieme rispetto al quale si riferiscono tutte le operazioni è
l’insieme U , denominato insieme universo , allora l’operazione differenza tra U ed A è
detta :
COMPLEMENTAZIONE
e si indica con: CU A = U | A .
CARDINALITA’ O POTENZA DI UN INSIEME
Due insiemi A, B si dicono di uguale cardinalità, o potenza
se possono essere messi in corrispondenza biunivoca tra loro ,ossia se esiste una legge che
associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B, e viceversa.
Due insiemi A, B di uguale cardinalità si dicono equipotenti.
Un insieme si dice numerabile se ha la stessa cardinalità dell’insieme N dei numeri naturali.
12
NUMERI NATURALI
“Dio ha creato i numeri naturali; tutto il resto è opera dell’uomo”
Leopold Kronecker (1823-1891)
N = {0, 1, 2, 3, ........, n ,..... } ,
in N sono definite due operazioni interne (con le relative proprietà):
moltiplicazione:
∀m, n ∈ N :
m + n∈ N,
l’addizione e la
m⋅ n∈ N .
Si indica con N0 l’insieme dei naturali privato dello zero, pertanto,
N 0 = {1, 2, 3, ........, n ,..... } .
PROPRIETA’ :
1) Esistono in N due elementi, 0 e 1, che sono elementi neutri per l’addizione e per la
moltiplicazione rispettivamente, cioè:
∀m ∈ N : m + 0 = 0 + m = m; m ⋅1 = 1 ⋅ m = m .
2) Vale inoltre la legge di annullamento del prodotto :
∀m, n ∈ N : m ⋅ n = 0 ⇒ m = 0 o n = 0 .
3) In N vale la relazione d’ordine, nel senso che per ogni coppia di numeri naturali m ed n vale
una ed una sola delle seguenti alternative:
m = n;
m < n;
m>n .
4)Ad ogni numero naturale n , corrisponde un altro, unico e ≠ n che è definito il successivo di n
e indicato con n + 1 .
13
NUMERI INTERI RELATIVI
Z := {......... − 3,−2,−1,0, 1, 2, 3, ........} ,
N⊂Z.
In Z la differenza di due numeri relativi è sempre un intero relativo; ciò è dovuto al fatto che:
∀b ∈ Z ∃ x ∈ Z : b + x = 0 ;
il numero x si definisce opposto di b e si scrive:
x=−b.
Definizione:
si dice valore assoluto del numero relativo a , in simboloa,
il numero non negativo così definito:
se a ≥ 0
a
a =
− a se a < 0 .
quindi: ∀a ∈ Z : a ≥ 0
Esempio:
+ 5 = +5 = 5;
e
a =0⇔ a =0.
− 5 = −(− 5) = +5 = 5; 0 = 0 .
NUMERI RAZIONALI
m
Q: = ± con m, n ∈ N n ≠ 0 .
n
N ⊂Z ⊂Q .
m p
Se m, n, p, q,∈ N (n ≠ 0, q ≠ 0) si ha :
=
⇔ m⋅q = p⋅n
n q
( pertanto un numero razionale è rappresentato da infinite frazioni).
0
n
=0 ,
=1 .
In particolare si pone
n
n
m p
<
⇔ m⋅q < p⋅n .
Si ha inoltre
n q
Nell’insieme Q dei numeri razionali è sempre possibile la divisione se il divisore è diverso da
zero, ossia:
∀a, b ∈ Q con a ≠ 0 ⇒ b : a ∈ Q , ciò si deve al verificarsi della seguente proprietà:
∀a ∈ Q con a ≠ 0 ∃ x ∈ Q : a ⋅ x = 1;
il numero x si dice inverso di a e si scrive
1
x = = a −1 .
a
14
PROPRIETA' DI DENSITA' :
∀ a, b ∈ Q,
con a < b,
esistono infiniti razionali
maggiori di a e minori di b;
a+b
a + c1
, c2 =
, ecc..
basta prendere c1 =
2
2
Esistenza dei numeri irrazionali:
0
1
d
Teorema.
Il numero d, misura della diagonale del quadrato di lato 1, tale che d 2 = 2 , non è razionale.
Dimostrazione:
per assurdo supponiamo che d , tale che d 2 = 2 , sia razionale;
m
sia, quindi, d = con m ed n primi tra loro ,
n
d2 =
m2
2
= 2 ⇒ m 2 = 2n 2 , dunque m2 è pari e perciò m è pari ;
n
m = 2 k (k intero ) ⇒ m 2 = 4k 2 ⇒ 4k 2 = 2 n 2 ⇒ n 2 = 2k 2 ⇒ n 2 è pari e perciò anche n è pari.
I due interi m ed n sono allora entrambi pari , in contraddizione con l’ipotesi che siano primi tra
loro.
15
Definizione:
numero reale è un qualsiasi allineamento decimale (periodico o non) dotato di segno.
L’insieme di tali allineamenti sarà indicato con R;
Q è un sottoinsieme proprio di R.
I numeri reali non razionali si dicono numeri irrazionali .
Si dice che l’insieme dei reali R ha la potenza del continuo in quanto è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e l’insieme stesso dei reali.
REALI = RAZIONALI ∪ IRRAZIONALI
R = Q ∪ (R−Q) ,
Q ∩ (R−Q) = O/ .
Alcuni numeri irrazionali :
3 = 1.7320508........
π = 3.14159265358979323.......
(rapporto tra la circonferenza ed il diametro)
e = 2.7182818284.......
base dei logaritmi " detta base naturale,
n
1
limite della successione an = 1 +
n
φ = 1.6180339887.........
(rapporto aureo)
16
Valore assoluto
Per ogni numero reale x, il valore assoluto di x, indicato con x , è definito da
se x ≥ 0
x
, x ≥ 0 ∀x,
x =0⇔ x =0,
x =
− x se x < 0
dalla definizione di valore assoluto segue che:
∀a ≥ 0 : x < a ⇔ −a < x < a .
Proprietà del valore assoluto:
∀x, y ∈ R
x⋅ y = x ⋅ y
x+ y ≤ x + y
( disuguaglianza triangolare)
RELAZIONE D'ORDINE TOTALE
∀ x ,y ∈ R
x<y o x=y o x>y.
PROPRIETA' D'ORDINE :
1) ∀ x, y, z ∈ R
x≤y
⇔ x+z≤y+z.
2) ∀ a > 0 , con a ∈ R,
x≤y ⇒ a⋅x ≤ a⋅y.
CONSEGUENZE :
a) ∀ a < 0 , con a ∈ R ,
x≤y
⇔
b) 0 < x ≤ y
a⋅x≥a⋅y;
⇒
1 1
≥ >0 ;
x y
c) 0 < x ≤ y ⇒ 0 < x 2 ≤ y 2 ;
d) x < y e u < v ⇒ x + u < y + v .
17
R ampliato =R*
L’insieme dei numeri reali R, con l’aggiunta dei due elementi (punti):
{+ ∞} e {− ∞} ,
prende il nome di R ampliato e si indica con
R* = R ∪ {+ ∞} ∪ {− ∞} .
E’ possibile rappresentare “visivamente” l’insieme R*;
infatti mettendo in corrispondenza biunivoca i punti della retta reale R con quelli di una
semicirconferenza, proiettando questi ultimi dal centro C della semicirconferenza sulla retta R ,
si osserva che ai punti A e B, estremi della semicirconferenza, non corrisponde su R alcun
punto.
Si stabilisce che: {− ∞} è il corrispondente del punto A, {+ ∞} è il corrispondente del punto
B.
18
INTERVALLI
Definizione.
Dati due numeri reali a, b, si chiama intervallo di estremi a e b uno dei seguenti insiemi:
[a, b] , insieme dei numeri reali x : a ≤ x ≤ b
[a, b ) , insieme dei numeri reali x : a ≤ x < b
(a, b] , insieme dei numeri reali x : a < x ≤ b
(a, b ) , insieme dei numeri reali x : a < x < b
Gli intervalli sopra definiti sono insiemi limitati.
Si chiamano intervalli illimitati ,ad esempio, le semirette:
(− ∞, b ) , insieme dei numeri reali x : x < b
[a,+∞ ) , insieme dei numeri reali x : x ≥ a
oppure l’intera retta (− ∞,+∞) .
Intorno di un punto x0 ∈R:
è un qualunque intervallo aperto che ha come punto medio x0 ; si indica l’intorno con:
U x0 = ( x0 − r , x0 + r ) , r > 0 .
Intorno destro di un punto x0 ∈R:
è un intervallo aperto, metà di un intorno completo; si indica l’intorno destro con:
U x+ = ( x0 , x0 + r ) , r > 0 .
0
Intorno sinistro di un punto x0 ∈R:
è un intervallo aperto, metà di un intorno completo; si indica l’intorno sinistro con:
U x−0 = ( x0 − r , x0 ) , r > 0 .
Punto di frontiera.
Un punto x si dice di frontiera, per un sottoinsieme A dei numeri reali,
se, in ogni suo intorno, cadono sia punti di A che del complementare di A.
Si osserva che un punto di frontiera può appartenere od anche non appartenere al sottoinsieme
A.
Punto interno.
Un punto x si dice interno, per un sottoinsieme A dei numeri reali, se appartiene ad A e non è di
frontiera.
Punto esterno.
Un punto x si dice esterno, per un sottoinsieme A dei numeri reali, se non appartiene ad A e non
è di frontiera.
19
Insieme limitato superiormente
Un insieme A si dice limitato superiormente
se esiste un numero reale k tale che: ∀ a ∈ A risulti a ≤ k . In simboli:
∃ k : ∀a ∈ A a ≤ k .
L’elemento k si dice maggiorante dell’insieme A.
Insieme limitato inferiormente
Un insieme A si dice limitato inferiormente
se esiste un numero reale h tale che: ∀ a ∈ A risulti a ≥ h . In simboli:
∃ h : ∀a ∈ A a ≥ h .
L’elemento h si dice minorante dell’insieme A.
Insieme limitato
Un insieme A si dice limitato se risulta esserlo sia inferiormente che superiormente.
Estremo superior dell’insieme A
Si definisce estremo superiore dell’insieme A il minimo dei maggioranti e si indica con Sup
A.
Se Sup A appartiene ad A, allora prende il nome di massimo di A e si indica con M.
Estremo inferiore dell’insieme A
Si definisce estremo inferiore dell’insieme A il massimo dei minoranti e si indica con Inf A.
Se Inf A appartiene ad A, allora prende il nome di minimo di A e si indica con m.
Insiemi non limitati
Se l’insieme A ⊆ R non è limitato superiormente (inferiormente) si dice che
sup A = +∞
(inf A = −∞)
e, quindi, si può affermare che:
ogni insieme A ⊆ R non vuoto è dotato di estremo superiore ed inferiore;
sup A (inf A) è un numero se A è limitato superiormente (inferiormente), altrimenti è
+ ∞ (−∞) .
20
Il simbolo di sommatoria : ∑
Il simbolo di sommatoria ∑ si utilizza per rappresentare la somma di un insieme con un
numero finito di elementi, assegnati secondo una sequenza logica.
Esempio
Assegnato l’insieme:
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,14,16 } = {∀a n = 2n : 0 ≤ n ≤ 8 , n ∈ N },
la somma degli elementi dell'insieme A si indica, utilizzando il simbolo di sommatoria,
nel modo seguente:
8
0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 =
∑ 2n .
n =0
8
•
∑ 2n
si legge:
“ somma per n da 0 a 8 di 2n”
• 2n si definisce:
“argomento della sommatoria”
n =0
• n è un numero naturale ≥ 0 e si definisce:
“indice della sommatoria”.
In generale si scrive:
k
a0 + a1 + a2 + a3 + ..... + ak =
∑a
n
.
n =0
21
Casi particolari
1. Se il primo valore dell’indice è uguale all’ultimo, non si ha una somma e, quindi:
1
∑a
n
= a1 .
n =1
1
Esempio:
∑ 3n = 3
1
1
.
n =1
2. Se l’argomento a n della sommatoria è indipendente dall’indice, il valore massimo
dell’ indice stabilisce quante volte l’argomento è sommato e, pertanto:
∑ c = c ⋅ k = c .( numero di addendi della ∑ ).
k
n =1
5
Esempio:
∑ 4 = 4 ⋅ 5 = 20 .
n =1
3. L’espressione (− 1)k è utilizzata per rappresentare le alternanze di segno. Infatti si ha:
(− 1)k
+ 1
=
− 1
se k è pari
se k è dispari
.
Esempi:
3.1 − 1 +
3.2 1 −
1 1 1
1
− + + ⋅⋅⋅⋅⋅ +
=
2 3 4
18
1 1 1
1
+ − + ⋅⋅⋅⋅⋅ − =
2 3 4
18
18
∑ (− 1)
k =1
18
∑ (− 1)
1
.
k
k
k +1
k =1
1
.
k
4. La somma di un numero finito di numeri dispari può essere scritta indicando il
generico numero dispari con 2n − 1 oppure con 2k + 1 .
17
Esempio: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +31 + 33 =
∑ 2n − 1
n =1
22
16
oppure
∑ 2k + 1 .
k =1
Proprieta’ del simbolo di sommatoria
1) La lettera con cui si denota l' indice può essere sostituita con una qualsiasi altra lettera :
k
∑
an =
n =1
k
∑a .
i
i =1
2) Prodotto per una costante : ogni costante moltiplicativa può essere " portata da dentro a fuori"
dal simbolo di sommatoria e viceversa :
k
∑ (c ⋅ a
k
n
n =1
4
Esempio :
∑3⋅ n
3
= 3⋅
n =1
) = c ⋅∑ a n
n =1
4
∑n
3
.
n =1
3) Somma di sommatorie o proprietà associativa :
k
k
k
n =1
n =1
n =1
∑ (an ± bn ) = ∑ a n ± ∑ bn
5
Esempio :
2 1
n + =
n
n =1
∑
5
∑
n2 +
n =1
5
.
1
∑n .
n =1
4) Scomposizione di una sommatoria :
h
∑
an +
n =1
9
Esempio :
∑
n =1
en +
15
∑
en =
n =10
h+ k
∑
an =
n = h +1
h+ k
∑a
n
.
n =1
15
∑e
n
.
n =1
5) Traslazione di indici :
h
∑
n =1
4
Esempio :
∑
n =1
2 n +3 =
an =
h+ m
∑a
n−m
.
n =1+ m
7
∑2
n
.
n=4
23
6) Prodotto di sommatorie :
n m
n
m
ak ⋅
bi =
a k bi :
k =1 i =1 k =1 i =1
nella sommatoria doppia scritta, i cui termini dipendono uno dall' indice k e l' altro dall' indice
∑
∑
∑∑
i , prima si calcola la sommatoria interna tenendo fisso k e facendo variare i , poi si calcola la
sommatoria esterna facendo variare k .
3
Esempio :
k3
k =1
∑
1
=
i
i =1
2
∑
3
2
∑∑ k
31
i
k =1 i =1
3
=
∑k
k =1
3
1
3
1
1 + = (1 + 8 + 27 ) 1 + = 36 ⋅ = 54.
2
2
2
Calcolo di alcune somme.
n
1)Somma dei primi n interi positivi: S =
∑ k = 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(n − 1) + n .
k =1
Si può usare il seguente artificio :
si prende in considerazione una doppia somma 2 S, scritta nel seguente modo:
2 S = [1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + (n − 1) + n ] + [n + (n − 1) + (n − 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1],
ed, utilizzando opportunamente la proprietà associativa, si ha :
2 S = (1 + n ) + (2 + n − 1) + (3 + n − 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (n − 1 + 2 ) + (n + 1) = (n + 1) ⋅ n , da cui si ottiene
n (n + 1)
e così si può concludere che :
2
n
n (n + 1)
∑k = 2 .
k =1
S=
99
Esempio:
∑k =
k =1
24
99 ⋅ 100
= 99 ⋅ 50 = 4950 .
2
2) Somma dei termini di una progressione geometrica di ragione q :
n
∑q
k
= 1 + q + q 2 + q 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +q n ,
k =0
n
per q = 1,
∑q
si ha:
k
= 11
+4
1 +412
+4
⋅ ⋅ ⋅4
⋅3
+1 = n + 1 ;
( n +1) volte
k =0
n
per q ≠ 1,
∑
si ha:
qk =
k =0
1 − q n+1
1− q
.
Dimostrazione:
n
Dall’uguaglianza
∑q
k
= 1 + q + q 2 + q 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + q n , moltiplicandone entrambi i membri
k =0
per q, si ha:
n
q⋅
∑q
k
= q + q 2 + q 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + q n + q n+1 ,
k =0
sottraendo, poi, rispettivamente i primi ed i secondi membri delle due uguaglianze, si ottiene:
n
(1 − q )∑ q k
= 1 − q n+1 ,
k =0
n
da cui si ricava la formula:
∑
k =0
qk =
1 − q n+1
1− q
[
1 − (1 3)9 3
1
Esempio:
= 1 − (1 3)9
=
1−1 3
2
3
k =0
8
∑
k
.
]
.
25
3) Somma dei quadrati dei primi n numeri:
n
∑k
2
=
k =1
n (n + 1)(2n + 1)
.
6
Si omette per brevità la relativa dimostrazione.
9
Esempio:
∑k
k =1
26
2
=
9 ⋅ 10 ⋅ 19
= 3 ⋅ 5 ⋅ 19 = 285
6
.
Esercizi
Testi
1. Si determini il valore dell’espressione:
2
2
k
1
4 .
− ⋅
3
k =0
k =0
∑
∑
2. Si determini il valore dell’espressione:
10
∑ (3i − 2) .
i =1
3. Si determini il valore dell’espressione:
4
2k + 1
∑ log k + 3
.
k =0
4. Si determini il valore dell’espressione:
2
∑
4 ⋅ 3 n − 32n
9n
n =0
.
5. Si determini il valore dell’espressione:
6
∑ 15 ⋅ 2
1
n =0
−n
.
6. Si determini, per quale valore del parametro reale k, si verifica la seguente uguaglianza:
4
∑n
n=2
k
2
=
−2
5
.
7
7. Si calcoli, operando una opportuna semplificazione, la somma:
100
1
1
−
.
k k + 1
k =1
∑
8. Si determini, utilizzando la proprietà di traslazione degli indici, il valore dell’espressione:
8
∑2
−3−k
.
k =3
27
Soluzioni
2
2
k
7
28
1
1 1
1.
4 = 1 − + ⋅ (3 ⋅ 4) = ⋅ 12 =
.
− ⋅
3
3 9
9
3
k =0
k =0
∑
∑
10
10
10
i =1
i =1
i =1
∑ (3i − 2) = 3∑ i − ∑ 2 = 3 ⋅
2.
4
2k + 1
10 ⋅ 11
− 2 ⋅ 10 = 165 − 20 = 145.
2
∑ log k + 3 = log 3 + log 4 + log1 + log 6 + log 7 = log 3 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 = log 8
3.
1
3
7
9
1 3 7 9
3
.
k =0
2
∑
4.
6
∑ 15 ⋅ 2
4
∑n
n=2
100
−n
k
2
1
=
15
−2
=
6
∑
2
∑ 3 −∑ 1
n =0
1
n =0
6.
= 4
9n
n =0
5.
2
4 ⋅ 3 n − 32n
2n =
n =0
1
n
n =0
52
25
1 1
= 41 + + − 3 =
−3=
.
9
9
3 9
1 1 − 2 7 127
⋅
=
.
15 1 − 2
15
5
5 5
1 1 1 5
⇒ k + + = ⇒ k ⋅ = ⇒ k = 1 .
7
7 7
2 7 14 7
∑ k − k + 1 = 1 + − 2 + 2 + − 3 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + − 100 + 100 − 101 = 1 − 101 = 101 .
7.
1
1
1
1
1
1
1
1
k =1
6
8
8.
∑2
k =3
28
−3− k
5
=
∑2
k =0
−k
1
1−
5
k
1
2 = 2 ⋅ 1 − 1 = 63 .
=
=
1
2
64 32
1−
k =0
2
∑
1
1
100
Fattoriale di n
Definizione
Con
fattoriale di n s’intende:
il prodotto dei primi n interi positivi e si indica con n! (si legge “n fattoriale “) ,
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ........ ⋅ (n − 1) ⋅ n .
Il numero n! cresce molto rapidamente al crescere di n , come si può vedere calcolandone alcuni
valori:
3! = 1⋅2⋅3 = 6 ,
7! = 1⋅2⋅3⋅….⋅7 = 5040 ,
10! = 1⋅2⋅3⋅…..⋅10 =3628800 .
Per definizione 0! =1.
Proprietà
1)
n! = n⋅ (n − 1)! .
2)
se 0 < k < n ,
n!
= n(n − 1)(n − 2 )......(n − k + 1)
(n − k )!
;
infatti :
n!
n(n − 1)(n − 2)......(n − k + 1)(n − k )(n − k − 1)......3 ⋅ 2 ⋅ 1
=
= n(n − 1)(n − 2 )......(n − k + 1) ,
(n − k )!
(n − k )(n − k − 1)......3 ⋅ 2 ⋅ 1
dove il prodotto n(n − 1)(n − 2 ).......(n − k + 1) è il prodotto di k fattori partendo da n
e decrescenti.
Esempi:
12!
= 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1320 ;
9!
100!
= 100 ⋅ 99 = 9900 .
98!
29
Una parentesi: i numeri primi
Un numero naturale è detto primo se è divisibile soltanto per se stesso e per l’unità. Si dimostra
che ogni numero naturale può essere scritto come prodotto di soli numeri primi. Se si pensa ai
numeri naturali come ad un analogo aritmetico delle molecole chimiche, tenute insieme dal
legame della moltiplicazione, in tale analogia, i numeri primi svolgono il ruolo degli atomi.
Teorema
L’insieme dei numeri primi è illimitato superiormente, ossia esistono infiniti numeri
primi.
La dimostrazione, che è qui riportata, risale ad EUCLIDE, vissuto circa 2300 anni addietro.
EUCLIDE così ragionò:
supponiamo che esista un numero finito di primi.
In tal caso uno di essi, chiamiamolo P, sarà il più grande.
Costruiamo il fattoriale del numero P ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ….. ⋅ P ,
consideriamo, poi, il numero Q uguale al fattoriale di P aumentato di 1, ossia:
Q = (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ….. ⋅ P ) + 1 ,
dalla composizione del numero Q si deduce che:
Q > P ed, inoltre, è evidente che esso non è esattamente divisibile per nessun intero da 2 a P,
in quanto ognuna di tali divisioni lascerebbe un resto uguale ad 1.
Si hanno due possibilità per il numero Q :
- Q non è primo ed allora deve essere esattamente divisibile per qualche primo maggiore di P;
- Q è primo e, quindi, lo stesso Q risulta essere un primo maggiore di P.
In conclusione:
entrambe le possibilità descritte implicano l’esistenza di un numero primo più grande di P ,
assunto inizialmente come numero primo più grande di tutti.
Ciò significa che l’ipotesi di numero primo più grande di tutti non è considerabile.
30
Coefficienti binomiali
Definizione
Si definisce coefficiente binomiale l’espressione :
n
n!
cn,k = =
0≤k ≤n .
k k! (n − k )!
0
n n
Per definizione = 1. Inoltre : = = 1.
0
0 n
n n (n − 1)(n − 2 ).........(n − k + 1)
Per la proprietà del fattoriale, si può scrivere anche : =
,
k!
k
6 6 ⋅ 5 30
espressione che è utile per il calcolo dei coefficienti; ad esempio : =
=
= 15 .
2!
2
2
Proprietà
n n
, ad esempio :
1) =
k n − k
9 9 9 ⋅ 8 ⋅ 7 9 ⋅ 8 ⋅ 7
= =
=
= 3 ⋅ 4 ⋅ 7 = 84 .
3!
1⋅ 2 ⋅ 3
3 6
n n − 1 n − 1
+
, ad esempio :
2) =
k k − 1 k
8 7 7
8⋅7 ⋅6 7 ⋅6⋅5 7 ⋅6
= + ⇒
=
+
⇒ 8 ⋅ 7 = 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 3 ⇒ 56 = 35 + 21 .
1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2
5 4 5
31
Potenza del binomio
(a + b )
n
n
=
∑c
k
n ,k
a b
n−k
n
=
k =0
n
∑ k a
k
b n−k =
k =0
n
n
n
n n−2 2 n n−1 n n
a b +
a b + a .
= b n + ab n−1 + a 2 b n−2 + ............ +
0
1
2
n − 2
n − 1
n
(a − b )
n
n
=
∑ (− 1)
n
k
c n,k a b
n−k
k =0
n
=
∑ (− 1)
k =0
n
n k n−k
a b
.
k
Esercizi con soluzioni
n − 1
= 5(n − 2 ) ,
2
1. Si risolva l’equazione:
n − 1
= 5(n − 2 )
2
⇔
(n − 1)(n − 2) = 5(n − 2)
2
x
x
2. Si risolva l’equazione: 2 = 3 ,
2
3
x
x
2 = 3 ⇒
2
3
32
(n > 3)
x( x − 1) =
.
⇒ n − 1 = 10 ⇒ n = 11.
( x > 3) .
x( x − 1)( x − 2 )
x−2
⇒ 1=
⇒ x=4 .
2
2
10
3. Nello sviluppo del binomio: x 3 +
1 5
y
4
, si calcoli il coefficiente del termine in x 24 y10 .
10
3 1 5
x + y =
4
( )
10
10
k
10 3 10 − k 1 5
10 1
x
=
y =
k
4 k = 0 k 4
k =0
∑
∑
k
(x ) (y ) ∑
3 10 − k
5 k
10
k
10 1
= x 30 − 3k y 5k ,
k 4
k =0
30 − 3k = 24
x 30 − 3k y 5k = x 24 y10 ⇒
⇒ k = 2,
5k = 10
2
pertanto, il coefficiente del termine in x
24 10
y
10 1
10 ⋅ 9 1 45
è =
⋅ =
.
2 16 16
2 4
7
1
, si calcoli il coefficiente del termine in x 2 x .
4. Nello sviluppo del binomio: x +
3 x
7
1
x +
=
3 x
7
=
k =0
∑
3k − 7
x 2
7 k 1
x
k 3 x
= x2 x ⇔
7−k
3k − 7
x 2
7
=
k =0
∑
=
5
x2
7 1 7 −k k
x
k 3
⇔
( x)
−7 + k
7
=
∑
k =0
7 1 7 − k
x
k 3
3k − 7
2
,
3k − 7 5
= ⇒ 3k = 12 ⇒ k = 4 ,
2
2
3
pertanto, il coefficiente del termine in x
2
7 1
7 ⋅ 6 ⋅ 5 1 35
x è =
⋅
=
.
6
27 27
4 3
33
RETTA
y = 0 : asse delle ascisse; x = 0 : asse delle ordinate;
y = k : retta parallela all' asse delle ascisse; x = h : retta parallela all' asse delle ordinate;
y = mx : retta passante per l' origine ( tranne l' asse delle y );
y = mx + q : retta generica del piano;
y − y 0 = m ( x − x0 ) : retta di coefficiente angolare m passante per il punto (x0 , y 0 );
m=
y 2 − y1
: coefficiente angolare della retta passante per i punti A( x1 , y1 ) e B( x2 , y 2 ) ;
x2 − x1
ax + by + c = 0 : equazione di una retta generica in ℜ 2 .
Considerate due rette aventi, rispettivamente, coefficienti angolari m1 ed m2 si hanno le due condizioni :
a) di parallelismo m1 = m2 ,
b) di perpendicolarità m1 ⋅ m2 = −1.
CIRCONFERENZA
( x − x0 )
2
+ ( y − y0 ) = r
2
2
: circonferenza di raggio r e centro ( x0 , y 0 ) ;
x 2 + y 2 = r 2 : circonferenza di raggio r e centro l' origine;
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 : equazione di una circonferenza generica in R 2 ,
il centro ed il raggio sono legati ai parametri a, b, c, dalle relazioni :
a
x0 = −
2
b
y0 = −
2
a2 b2
r =
+
−c
4
4
,
a2 b2
+
−c >0 .
4
4
ELLISSE
2
2
x
y
+ 2 = 1 : equazione dell' ellisse, riferita al centro, con semiassi a e b.
2
a
b
PARABOLA
y = ax (a ≠ 0 ) : parabola col vertice nell' origine ed asse di simmetria x = 0 ;
2
b
− b 2 + 4ac
y = ax 2 + bx + c : parabola col vertice nel punto xv = − , y v =
2a
4a
b
ed asse di simmetria di equazione x = − .
2a
IPERBOLE
k
y = : iperbole equilatera avente per asintoti gli assi cartesiani.
x
34
SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE E RELATIVE SOLUZIONI
1. Si risolva, graficamente, il sistema:
x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 0
y + x 2 ( x + 4) = 0
(
)
,
precisando il numero delle soluzioni ed indicandole con una lettera.
x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 0
y + x 2 ( x + 4) = 0
(
)
x 2 + ( y − 1)2 = 4
x 2 + ( y − 1)2 = 4
⇒
∪
x = −4
y = − x 2
x = −4
A
B
Il sistema ammette due soluzioni: sono i punti A e B , intersezioni della circonferenza:
x 2 + ( y − 1)2 = 4 con la parabola y = − x 2 .
Non esistono, invece, intersezioni tra la circonferenza x 2 + ( y − 1)2 = 4 e la retta x = −4 .
2. Si risolva, graficamente, il seguente sistema, indicando con una lettera ogni eventuale soluzione:
(x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 4
2 y2
=1
.
x +
25
5
A
2
−1
B
B
Il sistema ammette due soluzioni.
35
3. Si determini quante soluzioni ammette il sistema :
x 2 + y 2 − 2 y = 0
( x − 2 )( y − x − 1) = 0 .
x 2 + y 2 − 2 y = 0
( x − 2 )( y − x − 1) = 0
2
y − 2y + 4 = 0
⇒
x = 2
⇒
x 2 + y 2 − 2 y = 0 x 2 + y 2 − 2 y = 0
⇒
⇔
∨
x = 2
y = x + 1
2
∆
2
= −3 < 0
2 x − 1 = 0 ⇒ x = ±
4
: non si hanno soluzioni ∨
2 ⇒
y = x +1
2 − 2 +2 2 2 +2
, B
il sistema ammette due soluzioni: A −
,
2 , 2 .
2
2
B
1
A
2
4. Si risolva, con metodo algebrico, il seguente sistema, specificando il numero delle soluzioni:
x2 y2
=1
+
9
4
2
y − 1 ( x − 3) = 0 .
x2 y2
x2 y2
x2 y2
=1
+
+
=1 +
=1
,
⇔ 4
∨ 4
9
4
9
9
y 2 − 1 ( x − 3) = 0
y = ±1
x = 3
(
(
)
)
4
4 y 2 = −45
2
x = ±
⇒
,
⇒ non esistono soluzioni reali;
3
x = 3
y = ±1
in conclusione, il sistema ammette quattro soluzioni:
4
4
4
4
A −
2 , − 1 , B
2 , − 1, C −
2 , 1, D
2 , 1 .
3
3
3
3
9 x 2 = 32
y = ±1
36
POTENZA CON BASE REALE ED ESPONENTE NATURALE
La definizione di potenza ennesima di un numero reale a è data ponendo, ∀ a ∈ R:
(a ≠ 0)
a0 = 1
a =a
1
(∀n ∈ N
a n = a1
⋅ a2⋅ 4
⋅3
⋅a
4
e n ≥ 2)
n volte
a ed n sono, rispettivamente, base ed esponente della potenza.
Il simbolo 0 0 è privo di significato.
Si possono dimostrare le seguenti proprietà:
∀a, b ∈ R e ∀m, n ∈ N
1. a n ⋅ a m = a n + m
( )
( se n ≥ m )
2. a n : a m = a n −m
,
,
3. a n = a n ⋅ m
,
4. a n ⋅ b n = (a ⋅ b )n
,
5. a n : b n = (a : b )n .
Se a ≠ 0, si attribuisce significato anche alla potenza, con esponente intero negativo, ponendo:
1
a −n = n
a
m
da cui a n ⋅ a − n = 1 , quindi, a n è l' inverso di a − n .
RADICI ARITMETICHE
Sia a un numero reale positivo (a ∈ R + ) ed n un numero naturale ≥ 1, si definisce
n
radice n-esima aritmetica di a e la si indica col simbolo
( che esiste ed è unico ) tale che x = a ,
x=na
a quel numero reale positivo x
n
Si pone, inoltre,
Per definizione
n
⇔
xn = a .
0 =0 .
(n a )n = a .
Per n = 2, si scrive semplicemente a .
n
Con n pari si ha: ∀a ∈ R
an = a .
Per le radici aritmetiche valgono le seguenti proprietà:
1)
3)
n
a m = nr a mr ; 2) n a n b = n a ⋅ b
( a)
n
m
= n a m ; 4) m n a = m⋅n a
n
a :n b = n a:b ;
5) a < b ⇒
;
n
a <n b.
POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE
La potenza, con base reale ed esponente razionale, si definisce soltanto se la base a è reale
positiva.
∀a ∈ R + e ∀n, m ∈ N con n ≠ 0
1
an
m
an
si pone
= a
,
= n am .
Per le potenze, con base reale positiva ed esponente razionale, continuano a valere le proprietà delle
potenze già elencate per le potenze ad esponente intero.
n
37
EQUAZIONI IRRAZIONALI
Le equazioni irrazionali sono equazioni nelle quali compaiono radicali contenenti l’incognita;
per risolverle occorre “liberarle dai radicali” e per far questo si applica il principio di equivalenza:
A n ( x ) = B n (x )
equivale a
A n ( x ) = B n (x )
A( x ) = B( x ) per n dispari ,
A(x ) = B(x ) per n pari .
in generale non equivale a
Pertanto , ottenute le soluzioni delle equazioni irrazionali, o si esegue la”verifica delle soluzioni”,
nelle equazioni di partenza, o si confrontano le soluzioni con le condizioni di realtà dei radicali.
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
Una disequazione è irrazionale, se contiene radicali contenenti l’incognita.
Se si considera il caso in cui la disequazione irrazionale contiene soltanto un radicale, si distinguono
i seguenti due casi:
1. se il radicale ha indice dispari si ha :
A( x ) ≤ B( x )
⇔
A( x ) ≤ B 2 n +1 ( x ) ,
(2 n+1 A( x ) ≥ B( x )
⇔
A( x ) ≥ B 2n +1 (x ) ) ;
2 n +1
2. se il radicale ha indice pari (poniamo n =2 ) si hanno i due sottocasi:
a)
b)
38
A( x ) < B( x )
A( x ) > B( x )
A( x ) ≥ 0
⇔ B( x ) > 0
2
A( x ) < B (x )
B(x ) ≤ 0
⇔
A( x ) ≥ 0
∪
;
B ( x ) > 0
A( x ) > B 2 ( x ) .
EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO
Sono equazioni del tipo:
A( x ) = k ,
A( x ) = B( x ) , ecc.
Ricordando la definizione di valore assoluto,
A( x ) se A( x ) ≥ 0
A( x ) =
− A( x ) se A( x ) < 0
pertanto, l'equazione
si ha che :
A( x ) ≥ 0 ∀x per cui ha significato A( x ) ;
A( x ) = k , k ∈ R
è impossibile se k < 0,
è equivalente ad A( x ) = ± k se k ≥ 0 .
DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO
Si considerano i seguenti due casi particolari:
1. A( x ) ≥ k
la disequazione è verificata ∀x , se k ≤ 0,
la disequazione è equivalente ad
A(x ) ≤ −k oppure ad A( x ) ≥ k , se k > 0.
2. A( x ) ≤ k
la disequazione è impossibile, se k < 0,
la disequazione è equivalente a
− k ≤ A( x ) ≤ k
, se k ≥ 0.
39
EQUAZIONI ESPONENZIALI
Si dicono equazioni esponenziali le equazioni in cui l'incognita compare all'esponente.
Si ricorda che per gli esponenziali valgono le proprietà delle potenze ad esponente reale, in
particolare:
ax = a y ⇔ x = y
a x > 0 ∀x ∈ R e ∀a > 0 .
a x = b , con a > 0 e a ≠ 1,
è impossibile se b ≤ 0 ,
ammette un’unica soluzione se b > 0 .
L' equazione esponenziale
PROPRIETA' DEI LOGARITMI
∀ a, b, c > 0
e a ≠ 1 valgono le seguenti proprietà:
1.
log a b ⋅ c = log a b + log a c ;
2.
log a
3.
b
= log a b − log a c ;
c
log a b r = r log a b ∀r ∈ R ;
4.
log a b =
5.
log a b = log a c ⇔ b = c .
log c b
log c a
c ≠1 ;
1
se b = c log a b =
;
log
a
b
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE
PROPRIETA':
se a > 1
ax > ay ⇔ x > y ,
se 0 < a < 1
ax > ay ⇔ x < y .
CONSEGUENZE:
∀x, y > 0 e se a > 1 ,
∀x, y > 0 e se 0 < a < 1,
40
log a x > log a y ⇔ x > y ,
log a x > log a y ⇔ x < y .
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI CON SOLUZIONI
Esercizi svolti
1. Si risolva l’equazione: x 3 + 27 + x 2 − 9 = 0 ,
x + 27 + x − 9 = 0
3
2
⇔
x 3 + 27 = 0
2
x − 9 = 0
x = −3
⇒
x = ±3
⇒ x = −3 è soluzione dell' equazione.
x 2 + 3x < 2 ,
2. Si risolva la disequazione:
x 2 + 3x ≥ 0
x ≤ −3 ∪ x ≥ 0
x + 3x < 2 ⇒
⇒
⇒
x 2 + 3x − 4 < 0 − 4 < x < 1
pertanto, la disequazione è soddisfatta: ∀x : −4 < x ≤ −3 ∪ 0 ≤ x < 1 .
2
3. Si risolva la disequazione:
3 − log x
≤0
log x + 1
,
x > 0
x > 0
N ≥ 0 ⇒ 3 − log x ≥ 0 ⇒
⇒
⇒ ∀x : 0 < x ≤ e 3
3
log
x
≤
3
x ≤ e
,
x > 0
x > 0
1
,
D > 0 ⇒ log x + 1 ≥ 0 ⇒
⇒
1⇒x>
log
x
>
−
1
e
x
>
e
e3
0
1/e
−
−
+
[
)
la disequazione, quindi, è soddisfatta ∀x : x ∈ (0,1 e ) ∪ x ∈ e 2 ,+∞ .
(
)
(
)
4. Si risolva la disequazione: log 2 − e x ≤ log 1 + e x ,
2 − e x > 0
la disequazione è equivalente al sistema:
⇒
2 − e x ≤ 1 + e x
pertanto, la disequazione è soddisfatta:
e x < 2
x
2e ≥ 1
⇒
x < log 2
,
x ≥ − log 2
∀x ∈ [− log 2, log 2) .
41
x−6 > 0
5. Si risolva il sistema di disequazioni: 4 + e x
>1
x
e − 3
,
x−6 > 0
x ≠ 6
x ≠ 6
⇒ 7
⇒
,
4 + ex
>0
>1
x > log 3
x
x
e − 3
e − 3
pertanto, il sistema è soddisfatto ∀x : log 3 < x < 6 ∪ x > 6 .
4 − x + x 2 + 2 > 0
6. Si risolva il sistema di disequazioni:
,
3
x − 3 ≥ −2
4 − x + x 2 + 2 > 0
x ≤ 4
x ≤ 4
⇒
⇒
x − 3 ≥ −8
x ≥ −5
3 x − 3 ≥ −2
,
pertanto,il sistema è soddisfatto ∀x ∈ [− 5,4] .
(
)
e x − 3 e 4 ⋅ e 2 x + 3 ≤ 0
7. Si risolva il sistema di disequazioni:
,
log(2 − x ) < 0
(
)
4
4
e x − 3 e 4 ⋅ e 2 x + 3 ≤ 0
e x ≤ e 3
x ≤
,
⇒
⇒
3
log(2 − x ) < 0
1 < x < 2
1 < x < 2
4
quindi, il sistema è soddisfatto ∀x : 1 < x ≤
.
3
log( x − 2 ) < 0
8. Si risolva il sistema di disequazioni: 2 x 2 − 5 x > −2
sin x + 1 ≥ 0
log(x − 2 ) < 0
2
2 x − 5 x > −2
sin x + 1 ≥ 0
42
2 < x < 3
⇒ x ≤ 0 ∨
∀ x ∈ R
x≥
5
2
,
5
, pertanto, il sistema è soddisfatto ∀ x ∈ , 3 .
2
log( x − 1) − log(− x + 2 ) ≤ 0
9. Si risolva il sistema di disequazioni:
,
x 2 + 9 ≤ x + 2
x > 1
x
−
1
>
0
3
log( x − 1) − log(− x + 2 ) ≤ 0 ⇒ − x + 2 > 0
⇒ x < 2 ⇒ ∀x :1 < x ≤ ,
2
x −1 ≤ −x + 2
3
x ≤
2
x +9 ≤ x+2
2
⇒
x > −2
x + 2 > 0
5
⇒
2
5 ⇒ x ≥ ; pertanto:
2
4
x + 9 ≤ (x + 2)
x ≥ 4
log( x − 1) − log(− x + 2 ) ≤ 0
2
x + 9 ≤ x + 2
⇒
3
1 < x ≤ 2
5
3
, quindi, il sistema è soddisfatto ∀ x : ≤ x ≤
.
4
2
x ≥ 5
4
e 2 x+ 2 ≤ e x 2 −3 x
10. Si risolva il sistema di disequazioni:
,
9 − x 2 > −2
e 2 x+ 2 ≤ e x2 −3 x
2 x + 2 ≤ x 2 − 3 x
x 2 − x − 2 ≥ 0
x ≤ −1 ∨ x ≥ 2
⇒
⇒
⇒
,
− 3 < x < 3
9 − x 2 > 0
− 3 < x < 3
9 − x 2 > −2
pertanto, il sistema è soddisfatto ∀x : x ∈ (− 3,1] ∨ x ∈ [2,3) .
43
Misura di un angolo in radianti
l = lunghezza dell’arco AB
r = raggio della circonferenza
Si definisce misura in radianti x dell’angolo ab: x = l/r ,
x =l
se r = 1
Relazione fra misura in gradi e misura in radianti:
α
360°
44
=
x
.
2π
Circonferenza trigonometrica
Centro in O, raggio 1
P = (cos x, sin x)
sin2 x + cos2 x = 1
sin x
tan x =
cos x ≠ 0 .
cos x
Nel Io quadrante:
sin x = PQ
cos x = OQ
TA
PQ
tan x =
=
= TA
OA = 1
OA
OQ
In generale:
sin x = ordinata di P
cos x = ascissa di P
tang x = ordinata “con segno” di T
45
Angoli notevoli
α
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
46
x
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2
2π
sin x
0
1/2
√2/2
√3/2
1
0
−1
0
cos x
1
√3/2
√2/2
1/2
0
−1
0
1
tan x
0
1/√3
1
√3
/
0
/
0
Grafici di sin x, cos x e tan x
y = sin x
y = cos x
y = tan x
47
48
y = sin x
y = cos x
y = tan x
(− ∞, + ∞)
(− ∞, + ∞)
x ≠ π/2 + kπ
[−1, 1]
[−1, 1]
(− ∞, + ∞)
dispari
pari
dispari
2π
2π
π
Dominio
Insieme delle
immagini
Simmetrie
Periodicità
Relazione fra i grafici di sin x e cos x:
cos x = sin (x +
(traslazione orizzontale verso sinistra di
π
2
π
2
)
).
49
Alcune formule trigonometriche
Formule di addizione e sottrazione
sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos (x ± y) = cos x cos y
m sin x sin y
Caso particolare: formule di duplicazione
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
Formule di bisezione
x 1 − cos x
sin2 =
2
2
x 1 + cos x
cos2
=
.
2
2
Formule parametriche
2t
x
sin x =
(con t = tan
∧ x ≠π+2kπ)
2
2
1+ t
1− t2
.
cos x =
1+ t 2
50
NUMERI COMPLESSI
Un numero complesso può essere rappresentato nella forma:
a + ib ,
dove a e b sono numeri reali ed i è un simbolo che soddisfa alla proprietà:
i2 = −1.
Il numero complesso a + ib può anche essere rappresentato mediante la coppia ordinata (a , b) e
disegnato come punto del piano , detto: piano di Gauss.
Im
a + ib
i
0
1
a
Re
Nel piano di Gauss:
l’asse delle ascisse è definito: asse reale,
l’asse delle ordinate è definito: asse immaginario,
i punti sull’asse reale sono: i numeri reali,
i punti sull’asse immaginario sono: i numeri immaginari puri del tipo z = ib .
Di conseguenza, il numero complesso: i = 0 + 1⋅ i corrisponde al punto (0,1) .
51
Forma algebrica di un numero complesso
La scrittura
z = a + ib ,
è detta forma algebrica dei numeri complessi;
a si chiama parte reale di z e si indica con Re(z),
b si chiama parte immaginaria di z e si indica con Im(z).
Uguaglianza tra numeri complessi
Due numeri complessi a + ib
e c + id sono uguali se:
a=c e b=d ,
vale a dire se sia le loro parti reali sia quelle immaginarie sono uguali.
Somma e differenza di due numeri complessi
La somma e la differenza di due numeri complessi sono ottenute sommando e sottraendo,
rispettivamente, le loro parti reali e le loro parti immaginarie:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d ) i ,
(a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d ) i .
Prodotto di due numeri complessi
Il prodotto di due numeri complessi è definito in modo che le relative proprietà commutativa e
distributiva rimangano valide:
(a + bi ) ⋅ (c + di ) = a ⋅ (c + di ) + b i ⋅ (c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 ,
ed essendo : i 2 = −1, si ha :
(a + bi ) ⋅ (c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc ) i .
Modulo del numero complesso
Si chiama modulo del numero complesso a + ib la sua distanza dall’origine.
Si usa la notazione:
z = a + ib = a 2 + b 2 .
Coniugato del numero complesso
Si definisce coniugato del numero a + ib il numero complesso a − ib .
Il coniugato è indicato con: z = a − ib .
52
Proprietà
• z e z hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta ;
• z + z = 2a = 2 Re ( z ) ,
z − z = 2ib = 2i Im( z ) ;
•z = z ;
• z ≥0
• z2 = z
e z = 0 ⇔ z = 0;
2
,
z⋅z = z
2
.
Forma trigonometrica di un numero complesso
z = a + ib
b
z
θ = arg(z)
a
O
Dato il numero z = a + ib , essendo:
(*)
a = ρ cos θ , b = ρ sin θ ,
il numero complesso z può essere scritto nella forma:
z = ρ (cosθ + i sin θ )
detta: forma trigonometrica dei numeri complessi.
Le relazioni inverse della (*) sono:
ρ = a2 + b2 ,
cos θ =
a
a +b
2
2
,
sin θ =
b
a +b
2
2
.
53
TEOREMI DI DE MOIVRE
Prodotto di due numeri complessi
Assegnati:
z1 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) , z 2 = ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) ,
si ha:
z1 ⋅ z 2 = ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) ⋅ ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = ρ1 ρ 2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )] ,
quindi, il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto
dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.
Si osserva che, come caso particolare del prodotto, si ha la formula di De Moivre per la potenza:
z n = ρ n [cos(nθ ) + i sin (nθ )] .
Quoziente di due numeri complessi
Assegnati:
z1 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) , z 2 = ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) ,
si ha:
z1
ρ (cos θ1 + i sin θ1 )
ρ
= 1
= 1 [cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )] ,
z 2 ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
ρ2
quindi, il quoziente di due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il
quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti.
54
RADICI n-ESIME
Definizione
Dato un numero complesso ω , si dice che z è una radice n-esima (complessa) di ω se risulta:
zn = ω
.
Teorema
Sia ω ∈ C, ω ≠ 0 e n intero ≥1.
Esistono n radici n-esime complesse
z 0 , z1 ,......., z n −1 di ω ;
posto
e
ω = r (cosϕ + i sin ϕ )
z k = ρ k (cos θ k + i sin θ k ) ,
si ha:
ρk = n r ,
ϕ 2kπ
θk = +
,
n
n
k = 0,1,......., n − 1 .
RADICI QUADRATE COMPLESSE
Sia ω ∈ C, ω ≠ 0 .
Esistono 2 radici n-esime complesse di ω;
posto
ω = r (cosϕ + i sin ϕ )
e
z k = ρ k (cos θ k + i sin θ k ) ,
si ha:
ρk = r ,
ϕ
θ k = + kπ ,
2
k = 0,1 .
Pertanto si individuano:
ϕ
ϕ
z 0 = r cos + i sin ,
2
2
ϕ
ϕ
z1 = r cos + π + i sin + π = − z 0 .
2
2
55
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
L’equazione di secondo grado
az 2 + bz + c = 0
con coefficienti a, b, c ∈ C , si risolve con la ″solita″ formula:
z=
dove si intende la radice
b 2 − 4ac
− b + b 2 − 4ac
2a
,
calcolata in senso complesso.
Osservazione: si può omettere il segno ± davanti alla radice, poiché il simbolo
campo complesso denota due numeri, uno opposto dell’altro.
nel
Dal teorema sulle radici n-esime si deduce che nel campo complesso C l’equazione:
zn + a = 0
(a ∈ C),
ammette esattamente n radici.
E’ possibile generalizzare tale risultato ed enunciare, quindi, il seguente:
Teorema fondamentale dell’algebra
Un’equazione polinomiale del tipo
a0 + a1 z + ..... + a n z n = 0
(an ≠ 0) ,
con coefficienti complessi qualsiasi, ammette precisamente n radici in C , se ognuna di esse viene
contata con la sua molteplicità *.
* Definizione di molteplicità
Se P (z) è un polinomio in z di grado n e z0 è una sua radice,
si dice che z0 è una radice di molteplicità k (k intero, ≥1) per P (z) se vale la formula:
P( z ) = ( z − z0 )k ⋅ Q(z ) ,
dove Q (z) è un polinomio tale che Q (z0) ≠ 0 .
56
FORMULA di EULERO
La formula di Eulero esprime un legame, in campo complesso, tra le funzioni trigonometriche
(seno, coseno) e la funzione esponenziale:
e iy = cos y + i sin y , y ∈ R .
La formula di Eulero e iy = cos y + i sin y
consente di trasformare la forma trigonometrica dei numeri complessi nella forma esponenziale, nel
modo seguente:
z = ρ (cos θ + i sin θ ) = ρ e iθ
( e θ = cosθ + i sin θ ) .
i
Uso della formula di Eulero
1. e z = e x +iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y ) .
2. e z = e x −iy = e x e −iy = e x [cos(− y ) + i sin(− y )] = e x (cos y − i sin y ) .
3. e iπ = cos π + i sin π = −1 .
4. e −iπ = cos(− π ) + i sin (− π ) = cos π − i sin π = −1 .
π
π 1
i
5. e −1+i π / 2 = e −1e i π / 2 = e −1 cos + i sin = (0 + i (1)) = .
2
2 e
e
57
ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI
TESTI
1. Dato il numero complesso z = −1 + i 3 ,
1+ z
;
2− z
b) dopo aver scritto z in forma trigonometrica, si calcoli e, successivamente, si scriva in forma
algebrica z 5 .
3 −i
2. Dopo aver scritto il numero complesso α =
in forma trigonometrica, si calcoli
1− i 3
a) si calcoli e si scriva in forma algebrica α =
w = α 6 e si indichino le radici seconde di w .
3. Dato il numero complesso ω = 2i , si calcolino e si rappresentino nel piano di Gauss le radici
complesse w .
1
, si calcoli z = α 3 . Si determinino, poi, tutte le radici terze di z .
i
5. Si calcolino le radici terze di z = 27i .
4. Assegnato α = 3 −
6. Si determini e si disegni, sul piano di Gauss, l’insieme dei numeri complessi che soddisfano
2
l’equazione: 3 − z = 2 z + 2 z . Si individuino, poi, nell’insieme determinato, i due numeri
complessi w1 e w2 tali che:
Re(w1 ) = Re(w2 ) = 3 .
7. Assegnato α = 1 + i 3 , si calcoli z = α 4 . Si determinino, poi, tutte le radici quarte di z .
8. Si determinino e si rappresentino nel piano di Gauss i punti
l’uguaglianza:
z = x + iy che verificano
z z + 4 z + 2 z = 4i .
9. Si determinino nel piano di Gauss i punti z = x + iy che verificano l’equazione:
2 z + i ⋅ ( z z − 2i ) = 1 .
10. Si risolva nel piano complesso l’equazione:
z 2 + 2iz − 1 − 2i = 0 .
11. Si determini, per quali valori di z∈C, il numero:
(
z z + i 2z − z + 2
risulta reale positivo.
58
)
(
)3
12. Dopo avere scritto in forma trigonometrica i numeri complessi : α = 1 + 3 i e β = − 3 + i ,
si determinino z1 = α ⋅ β , z 2 =
α
, z3 = α
β
dandone, successivamente, la rappresentazione
anche in forma algebrica.
13. Si risolva nel campo complesso, utilizzando l’intervallo (− π , π ], l’equazione:
(z − 3)3 = −8i
e se ne scrivano le soluzioni anche in forma algebrica.
14. Si risolva, nel campo complesso, l’equazione:
z 4 − 8iz = 0 .
15. Si determinino i punti z = x + iy che verificano l’equazione:
2 z 2 + i ⋅ (z z − 6 − 2i ) = 2 .
16. Si determinino e si rappresentino, nel piano di Gauss, i punti z = x + iy che verificano
l’uguaglianza:
2 z = 1 + iz .
SOLUZIONI
(
)
1+ z
i 3
i
i⋅ 3 +i
1
3
=
=
=
= − +i
;
2− z 3−i 3
4
4
4
3 −i
1
3
2
b) z = −1 + i 3 , ρ = 4 = 2 , cos θ = − , sin θ =
, tgθ = − 3 , θ = π ,
2
2
3
2
2
10
10
4
4
z = 2 cos π + i sin π , z 5 = 32 cos π + i sin π = 32 cos π + i sin π ,
3
3
3
3
3
3
1. a) z = −1 + i 3 , α =
(
)
1
3
= −16 1 + i 3 .
in forma algebrica z 5 = 32 − − i
2
2
2. α =
3 −i
1− i 3
α = cos
π
6
=
+ i sin
(
π
6
)(
)
3 − i 1+ i 3
3 1
π
=
+ i , ρ =1 , θ =
,
4
2 2
6
, w = α 6 = cos π + i sin π = −1 ,
π
π
w = cos + kπ + i sin + kπ , k = 0,1 .
2
2
59
π
π
3. ω = 2i = 2 cos + i sin ,
2
2
π
π
ρ k = ω = 2 cos + kπ + i sin + kπ , k = 0,1 ,
4
4
π
π
2
2
=1+ i ,
+i
= 2
4
4
2
2
2
5π
5π
2
= −(1 + i ) = − ρ 0 .
ρ1 = 2 cos
+ i sin
+i
= − 2
4
4
2
2
ρ 0 = 2 cos
+ i sin
1
1
3
π
4. α = 3 − = 3 + i , ρ = 2 , sin θ = , cosθ =
⇒θ=
in [0,2π ) ,
i
2
2
6
π
π
π
π
a = 2 cos + i sin , z = a 3 = 8 cos + i sin = 8i ,
6
6
2
2
π 2 kπ
π 2 kπ
ρ k = 3 z = 2 cos +
+ i sin +
, k = 0,1,2 ,
3
3
6
6
5
5
π
π
ρ 0 = 2 cos + i sin = 3 + i , ρ1 = 2 cos π + i sin π = − 3 + i ,
6
6
6
6
3
3
ρ 2 = 2 cos π + i sin π = −2i .
2
2
π 2kπ
π
π
π 2kπ
5. z = 27i = 27 cos + i sin , ρ k = 3cos +
+ i sin +
2
2
3
3
6
6
π
π 3
5
5 3
ρ 0 = 3 cos + i sin =
3 + 1 , ρ1 = 3 cos π + i sin π = −
6
6 2
6
6 2
3
3
ρ 2 = 3 cos π + i sin π = −3i .
2
2
(
60
)
(
con k = 0,1,2 ,
)
3 +1 ,
.
2
6. 3 − z = 2 z + 2 z , da z = x + iy , z = x − iy , si ha:
3 − x − iy
2
= 2 x + 2iy + 2 x − 2iy ⇔ (3 − x )2 + y 2 = 4 x ⇔ x 2 + y 2 − 10 x + 9 = 0 ,
x >0
l’insieme dei punti determinato è una circonferenza di centro C (5,0) e raggio r = 4;
per individuare, poi, i due numeri complessi w1 e w2 richiesti, si deve intersecare la circonferenza
x 2 + y 2 − 10 x + 9 = 0 x = 3
con la retta x = 3 e si risolve il sistema:
,
⇒
x = 3
y = ±2 3
ottenendo, quindi, w1 = 3 − 2 3 i e w2 = 3 + 2 3 i rappresentati nel seguente grafico:
w1
w2
x= 3
1
3
, sinθ =
, tanθ = 3 , θ = π 3 ⇒ α = 2(cos π 3 + i sin π 3) ,
2
2
1
4
4
3
= − 8 1+ i 3 ,
z = α 4 = 16 cos π + i sin π = −16 + i
3
3
2
2
π kπ
π kπ
wk = 4 z = 2 cos +
+ i sin +
, k = 0,1,2,3 ,
3 2
3 2
7. α = 1 + i 3 ⇒ ρ = 2 , cos θ =
(
)
5
5
π
π
w0 = 2 cos + i sin = 1 + i 3 , w1 = 2 cos π + i sin π = − 3 + i ,
3
3
6
6
4
4
11
11
w2 = 2 cos π + i sin π = −1 − i 3 , w3 = 2 cos π + i sin π = 3 − i .
3
3
6
6
61
8. z z + 4 z + 2 z = 4i , z = x + iy , z = x − iy ,
z z + 4 z + 2 z = 4i ⇒ ( x + iy )( x − iy ) + 4( x + iy ) + 2( x − iy ) = 4i ⇒ x 2 + y 2 + 6 x + i (2 y − 4 ) = 0 ⇒
x 2 + y 2 + 6 x = 0
x 2 + 6 x + 4 = 0
x = −3 ± 5
⇒
⇒
⇒
y = 2
y = 2
y = 2
si ottengono i punti
(
,
z1 = −3 − 5 + 2i , z 2 = −3 + 5 + 2i rappresentati sul piano di Gauss,
) (
)
rispettivamente, in A − 3 − 5 , 2 , B − 3 + 5 , 2 .
3
B
A
−6
y =2
−
9. 2 z + i ⋅ ( z z − 2i ) = 1 , z = x + iy , z = x − iy ,
(
)
2 ⋅ ( x + iy ) + i ⋅ [( x + iy ) ⋅ ( x − iy ) − 2i ] = 1 ⇒ 2 x + 2iy + i ⋅ x 2 + y 2 + 1 = 0 ⇒
(
)
2 x + 1 = 0
x = − 1 2
x = −1 2
⇒ 2x + 1 + i ⋅ x 2 + y 2 + 2 y = 0 ⇒ 2
⇒
⇒
,
x + y 2 + 2 y = 0
4 y 2 + 8 y + 1 = 0 y = −1 ± 3 2
(
)
(
)
si ottengono le soluzioni : z1 = − 1 2 + i − 1 − 3 2 , z 2 = − 1 2 + i − 1 + 3 2 .
10. z 2 + 2iz − 1 − 2i = 0 ,
z = −1 + − 1 + 1 + 2i = −i + 2i ,
2i = 2 , arg (2i ) =
π
2
2
π
2
π
= ± (1 + i ) ,
2i = ± 2 cos + i sin = ± 2
+i
4
4
2
2
z1 = −i + 1 + i = 1 , z 2 = −i − 1 − i = −1 − 2i .
62
(
)
(
)
(
)
11. z z + i 2 z − z + 2 = (x + iy )( x − iy ) + i 2 x − 2iy − x − iy + 2 = x 2 + y 2 + 3 y + i x + 2 risulta
x = − 2
reale positivo se:
, quindi, se x = − 2 e ∀y : y < −2 ∨ y > −1 .
y 2 + 3 y + 2 > 0
(
)
3
π
π
5
5
12. α = 1 + 3 i = 2 cos + i sin = 8 (cos π + i sin π ) , β = − 3 + i = 2 cos π + i sin π ,
3
3
6
6
3 1
11
11
α ⋅ β = 16 cos π + i sin π = 16
− i = 8 3 − i ,
6
6
2
2
3 1
α
π
π
π
π
= 4 cos + i sin = 4
+ i = 2 3 + i , α = ±2 2 cos + i sin = ±2 2 i .
6
6
2
2
β
2 2
3
(
(
)
)
13. ( z − 3)3 = −8i ⇒ z = 3 + radice cubica di − 8i , − 8i = 8[cos(− π 2) + i sin(− π 2)] ,
3
π 2kπ
π 2kπ
− 8i = 2 cos − +
+ i sin − +
, k = 0,1,2 ,
3
3
6
6
l’equazione ( z − 3)3 = −8i ammette, quindi, le tre seguenti soluzioni:
π
π
π
π
z 0 = 3 + 2 cos − + i sin − = 3 + 3 − i , z1 = 3 + 2 cos + i sin = 3 + 2i ,
6
2
6
2
5
5
z 2 = 3 + 2 cos − π + i sin − π = 3 − 3 − i.
6
6
63
14. z 4 − 8iz = 0 ,
(
)
z z 3 − 8i = 0 da cui le soluzioni z = 0 ∨ z 3 = 8i ,
si risolve, quindi, l' equazione z 3 = 8i calcolando le radici cubiche di 8i,
π 2kπ
π
π
π 2kπ
essendo 8i = 8 cos + i sin , si ha z k = 2cos +
+ i sin +
con k = 0,1,2
2
2
3
3
6
6
π
π
5
5
da cui : z 0 = 2 cos + ì sin = 3 + i , z1 = 2 cos π + ì sin π = − 3 + i ,
6
6
6
6
3
3
z 2 = 2 cos π + ì sin π = −2i .
2
2
15. 2 z 2 + i ⋅ (z z − 6 − 2i ) = 2 ,
z = x + iy , z = x − iy ,
(
)
2 ⋅ ( x + iy )2 + i ⋅ [( x + iy ) ⋅ ( x − iy ) − 6 − 2i ] = 2 ⇔ 2 x 2 − 2 y 2 + i ⋅ x 2 + y 2 + 4 xy − 6 = 0 ⇒
x 2 − y 2 = 0
y = ± x
⇒ 2
⇒
2
x + y 2 + 4 xy − 6 = 0
x + y 2 + 4 xy − 6 = 0
y = − x
y = x
∨ 2
,
2
2 x + 6 = 0 : equazione senza soluzioni in R
6 x = 6 da cui x = ±1
si ottengono così le soluzioni : z1 = −1 − i , z 2 = 1 + i .
16.2 z = 1 + iz ⇔ 2 x 2 + y 2 = 1 + i ( x + iy ) ⇔ 2 x 2 + y 2 − 1 + y + ix = 0 ⇒
x = 0
x = 0
⇒
⇒ per y < 0 si ha − y − 1 = 0 e, quindi, y = −1,
⇒
2 x 2 + y 2 − 1 + y = 0
2 y − 1 + y = 0
1
mentre, per y > 0, si ha 3 y − 1 = 0 ed y = ,
3
1
1
si ottengono così i punti z1 = −i , z 2 = i rappresentati, nel piano di Gauss, in A (0,−1) e B 0 , .
3
3
64
TRASFORMAZIONI DELLE FUNZIONI
1. f ( x ) + k , (k ∈ R ) : determina una traslazione del grafico della funzione lungo l’asse delle
ordinate e, precisamente, il grafico di f ( x ) + k si ottiene da quello di f (x ) , con una traslazione
di k unità verso il basso, se k < 0, con una traslazione di k unità verso l’alto, se k > 0 .
2. f ( x + k ), (k ∈ R ) : determina una traslazione del grafico della funzione lungo l’asse delle
ascisse e, precisamente, il grafico di f ( x + k ) si ottiene da quello di f (x ) , con una traslazione di k
unità a destra, se k < 0, con una traslazione di k unità a sinistra, se k > 0.
3. f ( x ) : determina un grafico di funzione pari; per costruire il grafico della funzione y = f ( x )
si lascia inalterato quello nel semipiano destro e lo si ribalta simmetricamente rispetto all’asse delle
ordinate.
4. f ( x ) : determina un grafico di funzione con punti di ordinata non negativa; per costruire il
grafico della funzione y = f ( x ) si lasciano inalterati i punti di ordinata non negativa, mentre quelli
di ordinata negativa vengono trasformati nei loro simmetrici, rispetto all’asse delle ascisse.
5. f (− x ) : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di f (x ) , dopo un ribaltamento
attorno all’asse delle ordinate.
6. − f (x ) : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di f (x ) , dopo un ribaltamento
attorno all’asse delle ascisse.
7. k ⋅ f ( x ) : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di f (x ) , moltiplicando per k tutte
le ordinate di f (x ) e, precisamente, il grafico si modifica nella direzione verticale.
8. f (h ⋅ x ) : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di f (x ) , moltiplicando per h tutte
le ascisse di f (x ) e, precisamente, il grafico si modifica nella direzione orizzontale.
Esempio.
Considerata la funzione y = ln x ,
1
1
e
si possono applicare su di essa le otto trasformazioni descritte.
65
1.
1
1
1
−1
y = ln x + 1
y = ln x − 1
2.
−1
0
1
y = ln(x − 1)
y = ln(x + 1)
3.
−1
1
y = ln x
66
2
4.
1
y = ln x
5.
−1
y = ln(− x )
6.
1
y = − ln x
67
7.
3
1
e
y = 3 ln x
8.
3
x
y = ln
3
RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA EQUAZIONE
Risolvere graficamente l’equazione:
f (x ) = g (x ) ,
significa, dopo aver disegnato il grafico delle funzioni y = f ( x ) e y = g (x ) ,
individuare, se esistono, valori della variabile x per i quali le due funzioni assumono uguali
ordinate.
Si risolvano graficamente le equazioni:
1. x 3 = x + 1 ; 2.
68
3
x = −x 2 + 1 .
1. x 3 = x + 1
α
l’equazione è soddisfatta per x = α , (1< α <2 ) .
2.
3
x = −x2 + 1
α
−1
0
β
1
l’equazione è soddisfatta per x = α , (α <−1 ) e per x = β , ( 0 < β <1 ) .
69
RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE
Risolvere graficamente la disequazione:
( f (x) ≤ g (x)) ,
f (x ) ≥ g (x ) ,
significa, dopo aver disegnato il grafico delle funzioni y = f (x ) e y = g (x ) ,
individuare per quali valori della variabile x , nei domini delle due funzioni, le ordinate della
funzione y = f (x ) si mantengono maggiori od uguali delle ordinate della funzione y = g ( x) ,
(le ordinate della funzione y = f (x ) si mantengono minori od uguali delle ordinate della funzione
y = g (x) ).
ESERCIZI PROPOSTI CON SOLUZIONI
Si risolvano graficamente le disequazioni:
1. cos x ≥ e x − 1
α
la disequazione è soddisfatta ∀x ≤ α , ( 0 < α < π / 2) .
2. log (x + 2 ) ≤ x 2 − 2 x
−2
α
la disequazione è soddisfatta ∀x : −2 < x ≤ α ∪ x ≥ β .
70
β
3. e x − 2 ≥ log( x + 1)
2
−1
α
β
la disequazione è soddisfatta ∀ x : −1 < x ≤ α ∪ x ≥ β .
4. ln(x + 1) < − x 2 + 3x + 4
4
−1
0
α
la disequazione è soddisfatta ∀x : −1 < x < α
4
con 3 < α < 4 .
71
5. e x − 2 ≥
3
x −1
la disequazione è soddisfatta ∀x : α ≤ x < 1 ∨ x ≥ β .
6.
3
x −1 ≤
2
x +1
α
−1 O
β
la disequazione è soddisfatta ∀x : x ≤ α ∨ − 1 < x ≤ β .
7. ln ( x + 2 ) > −2 x 2 − x + 3
0 1 α
2
β 4
la disequazione è soddisfatta ∀x : 1 < x < α ∨ x > β con 1 < α < 2 e 3 < β < 4 .
72
NOZIONI DI TEORIA RICHIAMATE ED UTILIZZABILI NELLA SOLUZIONE
DEGLI ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI E SULLE SERIE
an = q ,
n
CARATTERE DELLA SUCCESSIONE GEOMETRICA
q n = 1, q, q 2 , q 3 ,.........., q n ,...... . ,
{ }
+ ∞
1
n
lim q =
n → +∞
0
non esiste
se
se
q > 1,
q = 1,
se
q < 1,
se q ≤ −1.
Esempi :
n
lim 3 n = +∞ ,
n → +∞
α
1
lim − = 0 ,
n → +∞ 2
an = n , n ∈ N 0 ,
n
2
lim = 0 , lim (− 2 )n = non esiste.
n → +∞ 3
n → +∞
CARATTERE DELLA SUCCESSIONE POTENZA
nα = 1, 2α , 3α , .........., nα ,...... ,
{ }
se α > 0,
+ ∞
lim n = 1
n→+∞
0
α
se α = 0,
se α < 0.
Esempi :
lim n 2 = +∞ ,
n→+∞
lim n 0 = 1 ,
n→+∞
lim (n )−4 = 0 .
n→+∞
GERARCHIA DEGLI INFINITI
(∀α > 0, k > 0, q > 1)
n!
↑
qn
↑
nα
↑
log a n .
In particolare si dimostra che:
(log a n) k
lim
= 0,
n→ +∞
nα
lim
n→ +∞
nα
qn
= 0.
73
IL NUMERO DI NEPERO “e”
n
1
Consideriamo la successione: f (n ) = an = 1 + , n ∈ N 0 ,
n
f (1) = 2 ,
2
9
3
f (2 ) = = ,
4
2
3
64
4
f (3) = =
,
27
3
4
625
5
f (4 ) = =
,
256
4
................................................
2 <
9
64
625
<
<
< ....
4
27
256
.
Si deduce, quindi, che la successione an è: strettamente crescente e limitata inferiormente .
In simboli:
a n +1 > a n
∀ n ∈ N0
,
an ≥ 2
∀n≥1 .
Inoltre, si può verificare che la successione an è limitata anche superiormente;
infatti, se si confronta la successione an con la successione:
1
bn = 1 +
n
n +1
,
si evidenzia che:
1o) an < bn ∀n ∈ N 0 ;
1 n 1 n+1
1 + < 1 +
n n
2o) bn è una successione strettamente decrescente.
3
4
b = 4 > b = 3 = 27 > b = 4 = 256 .
2
3
1
8
81
2
3
Si può allora scrivere:
2 ≤ an < 4 ,
e concludere che la successione an , a termini positivi,
superiormente, converge, ossia ammette limite finito.
Si dimostra che il limite di an è il numero irrazionale:
e = 2.7182818284….,
n
1
detto numero di Nepero, e si scrivere lim 1 + = e .
n→+∞
n
74
strettamente crescente e limitata
CARATTERE DELLA SERIE GEOMETRICA
+∞
La serie geometrica è la serie:
∑q
n
= 1 + q + q 2 + q 3 + ....... + q n + .... .
.
n=0
Si dimostra che la serie geometrica ha il seguente carattere:
converge ed ha per somma S =
1
1− q
se q < 1 ,
diverge a + ∞ se q ≥ 1 ,
è irregolare
se q ≤ −1 .
+∞
Osservazione: se q < 1
∑
n
qn =
n = n0
q 0
1− q
.
CONDIZIONE DI CONVERGENZA PER OGNI SERIE
+∞
Condizione necessaria affinché una serie
∑a
n
converga è che il termine generale an sia
n =0
infinitesimo, ossia, lim an = 0 .
n → +∞
CARATTERE DELLA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA
+∞
∑n
n =1
1
α
,
α ≥ 0,
la serie converge se α > 1,
la serie diverge se α ≤ 1.
75
CRITERIO DEL CONFRONTO
Siano
∑a
n
e
∑b
n
due serie a termini non negativi tali che:
an ≤ bn
la serie
la serie
definitivamente,
∑a
∑b
n
n
è detta minorante,
maggiorante ,
allora valgono le due seguenti implicazioni:
1a) se la serie maggiorante
2a) se la serie minorante
∑b
n
∑a
n
è convergente, lo è anche la serie minorante
è divergente, lo è anche la serie maggiorante
∑a
n
∑b
n
;
.
CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO (PER SERIE A TERMINI POSITIVI)
Se le due successioni, a termini positivi, {an } e {bn } sono asintotiche,
an ∼ bn ,
allora le corrispondenti serie:
∑a
n
e
∑b
n
hanno lo stesso carattere, cioè: o sono entrambe convergenti , o sono entrambe divergenti.
CRITERIO DEL RAPPORTO (PER SERIE A TERMINI POSITIVI)
+∞
∑a
Assegnata
n
con an > 0, se esiste finito il limite del rapporto
n =1
ossia
l >1
an +1
= l ,si hanno i seguenti tre casi:
n → +∞ an
⇒
la serie diverge ,
lim
l <1
⇒
la serie converge ,
l =1
⇒
nulla si può concludere.
76
an +1
,
an
SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILE
+∞
Data la serie
∑a
+∞
n
, a n ∈ R , se si considera la serie dei moduli
n =0
∑a
: questa è una serie a
n
n =0
termini reali non negativi.
Teorema
+∞
Se la serie dei moduli
∑a
+∞
n
è convergente, allora anche la serie
n =0
∑a
n
è convergente .
n =0
Definizione
+∞
Una serie
∑a
n
+∞
si dice assolutamente convergente, se converge la serie dei moduli
n =0
∑a
n
.
n =0
Osservazione: la convergenza assoluta implica la convergenza (ordinaria), detta anche convergenza
semplice; il viceversa non è sempre vero .
SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO.
CRITERIO DI LEIBNIZ
Sia data la serie a termini di segno alternato:
+∞
∑ (− 1) a
n
n
, con an > 0 , ∀ n ∈ N . Se :
n=0
i) la successione { an} è decrescente,
ii) lim an = 0+ ,
n → +∞
allora la serie è convergente.
77
SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO: APPROSSIMAZIONE DELLA SOMMA.
+∞
Sia
∑ (− 1) a
n
n
n =1
con: a n > 0 ,
an +1 < an ∀n .
Si consideri il seguente caso:
a1 = 10, a2 = 7.5, a3 = 6, a4 = 5, a5 = 3, a6 = 1.5, a7 = 0.5
e la relativa rappresentazione sulla retta reale
s1 = (− 1) a1 = −10,
1
s2 = s1 + (− 1) a2 = −10 + 7.5 = −2.5 > s1 ,
2
s3 = s2 + (− 1) a3 = −2.5 − 6 = −8.5 < s2 ,
3
s4 = s3 + (− 1) a4 = −8.5 + 5 = −3.5 > s3 ,
4
s5 = s4 + (− 1) a5 = −3.5 − 3 = −6.5 < s4 ,
5
s6 = s5 + (− 1) a6 = −6.5 + 1.5 = −5 > s5 ,
6
s7 = s6 + (− 1) a7 = −5 − 0.5 = −5.5 < s6 .
7
Dalla rappresentazione in R2 delle somme parziali si deduce che: ogni somma parziale di indice
dispari approssima la somma della serie per difetto, mentre ogni somma parziale di indice pari
approssima la somma della serie per eccesso.
78
SUCCESSIONI E SERIE
TESTI
1. Si dispongano in ordine crescente di infinito le seguenti successioni:
4 n , log 4 n , n e n ,
5
n 6 , n10 .
2. Date le successioni a n = (− 4n + log n )4 e bn = 8n 4 + e − n ,
a
a) si calcoli il lim n ;
n→+∞ bn
b) si dica, giustificando la risposta, se an è asintotica a bn.
+∞
3. Si calcoli la somma della serie:
∑
3
.
n =0
3n
+∞
(− 1)2n
n =0
2n
4. Si calcoli la somma della serie: ∑
.
5. Si determini il carattere della serie:
+∞
∑
n=2
1
4 n−2
ed, in caso di convergenza, se ne calcoli la somma.
6. Siano:
an =
n+2
n3
k
ed s k =
∑a
n
,
n =1
a) si calcolino s2 e s3;
+∞
b) si determini il carattere della serie
∑ an .
n =1
7. Considerata la serie:
+∞
∑
n =1
3 n+
n +1
1
n ,
3 n +1 n
;
n→ +∞
n +1
a) si calcoli il lim
b) si stabilisca il carattere della serie, giustificando la risposta.
79
+∞
8. Si studi il carattere della serie:
∑
1
.
n −1 + n
n =1
9. Si stabilisca il carattere della serie:
+∞
log n + 2 n
n =1
2 n + 3n
∑
.
10. Si determini il carattere della serie:
+∞
3n + 2
n=0
en
∑
.
11. Assegnata la serie:
+∞
∑ 2(x + 2)
n
,
x∈R ,
n=0
a) si determini, per quali valori del parametro reale x, la serie è convergente;
b) per i valori reali trovati, relativi alla convergenza, se ne scriva la somma.
12) Assegnata la serie geometrica:
+∞
∑[log (x − 1)]
n
3
, x ∈ R,
n=0
a) si determini, per quali valori del parametro reale x, la serie converge;
b) si determini il carattere della serie per x = 10 .
13. Assegnata la serie:
+∞
∑ (3 − log x)
n
, x∈R,
n=0
a) si determini, per quali valori del parametro reale x, la serie converge;
b) si determini il carattere della serie per x = e 4 ;
100
c) per x = e , si calcoli la somma
4
∑(3 − log x) .
n
n =0
14. Si consideri la serie:
+∞
∑
nα − 2
n2 + 2
e sia sn la successione delle sue somme parziali;
a) per α = 2, si calcolino s1 ed s 2;
n =0
80
,
(α > 0) ,
b) si determini il carattere della serie, al variare del parametro reale α > 0.
15. Si determini il carattere della serie:
+∞
∑
n =0
n +3
, α ∈R ,
α
n +5
al variare del parametro reale α .
16. Assegnata la serie:
+∞
n 5 + 11
∑ (n + 1)
k
3
n =1
, k ∈R ,
a) si determinino i valori del parametro reale k, per i quali è soddisfatta la condizione necessaria di
convergenza;
b) per k = 2, si stabilisca il carattere della serie.
17. Si studi il carattere della serie:
+∞
3
∑
n
, α ∈R ,
(n + 1) nα
n =1
al variare del parametro reale α .
18. Assegnata la serie:
+∞
∑
(1 − a) n
n=0
, a∈R ,
3n
a) si determini, per quali valori del parametro reale a, la serie converge;
b) si calcoli, per quali valori del parametro reale a, la somma della serie è S =
3
.
2
19. Assegnata la successione:
an =
n − log n
(kn )3 + n
k ≥0,
,
a) si calcoli, al variare del parametro reale k, il lim an;
+∞
b) si determini il carattere della serie
∑ an , al variare del parametro reale k .
n =1
20. Assegnata la successione: a n =
2n k + n 2
n4 + 2
,
k ∈R ,
81
a) si calcoli il limite della successione, al variare del parametro reale k ;
+∞
b) si studi il carattere della serie
∑ an
, per k = 4 e per k = 1.
n =1
21. Assegnata la successione: a n =
1
3n
k ∈R ,
,
1− 2 k
a) si determini il carattere di an , al variare del parametro reale k;
+∞
b) si studi il carattere della serie
∑ a n , al variare del parametro reale k.
n =1
22. Assegnate le successioni: a n =
2
a) si determini il carattere della serie
∑ an ;
n
e bn = a n − a n +1 ,
+∞
n =1
b) si calcoli il limite di bn ;
+∞
c) si determini il carattere della serie
∑ bn
,come limite della successione delle somme parziali.
n =1
23. Si determini il valore dell’espressione:
(− 2 )k 1
+ +
4
3
k =0
2
∑
+∞
3 n −1
∑2
n =0
2n
.
24. Si determini, giustificando la risposta, il carattere delle seguenti serie:
+∞
a)
∑3
n =0
82
(− 1)n + 3n 2 ;
−n
+ 2n
2
+∞
b)
(− 1)n
∑n
n =1
4
n
+∞
; c)
∑ (q − 2)
n=2
log n
n
(q > 2)
.
SOLUZIONI
1. Gli infiniti, in ordine crescente, sono: log 4 n ,
5
n 6 , n10 , ne n , 4 n .
In particolare ne n è infinito di ordine inferiore a 4 n perché:
lim
ne n
n→+∞
4
n
n
= lim
n→+∞
(4 e)
n
= 0 + , (4 e > 1) .
an
(− 4n + log n )4 = lim 256n 4 = 32 ;
= lim
n→+∞ bn
n→+∞ 8n 4 + e − n
n→+∞ 8n 4
a
b) a n non è asintotica a bn , perchè lim n ≠ 1 ; si osserva che an ∼ 32 bn .
n →+∞ bn
2. a)
lim
3. Si tratta di una serie geometrica di ragione q =1/3, quindi, convergente:
+∞
∑
3
n =0 3
(−1) 2n
n
= 3⋅
+∞
∑
n=0
n
3
9
1
= .
=
1
2
3
1−
3
n
1
=
.
2n
2n 2
La serie assegnata è una serie geometrica di ragione q =1/2, quindi, la sua somma è:
4. a n =
=
1
S=
+∞
5.
∑4
n =2
+∞
1
=
n−2
∑4
1
n=0
1
= 2.
1 − 1/ 2
: è una serie geometrica di ragione q =
n
1
, quindi, è convergente ed ha per
4
somma:
S=
k
6. a) s k =
∑
n =1
n+2
n
3
;
s 2 = a1 + a 2 = 3 +
b) la serie è a termini positivi; a n ∼
n
n
3
=
1
n2
1
4
= .
1 − 1/ 4 3
1 7
= ;
2 2
s3 = s 2 + a3 =
7 5 199
+
=
;
2 27 54
, pertanto, per il criterio del confronto asintotico, la
+∞
serie data ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata
1
∑ n2
e, quindi, è convergente.
n =1
83
1
n ∼ 3 n = 3 ,
7. a n =
n
n
n +1
3
a) lim a n = lim
= 0+ ;
n→ +∞
n → +∞ n
b) la serie è a termini positivi, quindi è regolare;
3 n+
+∞
asintotico: infatti ha lo stesso carattere della serie
è divergente, per il criterio del confronto
1
∑ n1 / 2 .
1
1
1
,
n
n −1 + n
la serie data è a termini positivi, quindi è regolare; per il criterio del confronto asintotico, ha lo
8. a n =
∼
+∞
stesso carattere della serie
1
∑ n , quindi, è divergente.
1
9. Si tratta di una serie a termini positivi:
log n + 2 n
2n
n
2
= ,
n
n
n
3
2 +3
3
la serie data, per il criterio del confronto asintotico, ha lo stesso carattere della serie geometrica
di ragione q = 2/3 , quindi, è convergente.
3n + 2
3n
∼
n
3
10. an =
∼ n = ,
n
e
e
e
la serie data è a termini positivi e, quindi, regolare; per il criterio del confronto asintotico, ha lo
3
stesso carattere della serie geometrica di ragione q = > 1 , quindi, è divergente.
e
+∞
11.
∑ 2(x + 2)
n =0
n
=2
+∞
∑ (x + 2)n
,
n =0
a) è una serie geometrica di ragione q = (x + 2); essa converge se e solo se:
x + 2 < 1 ⇒ − 1 < x + 2 < 1 ⇒ − 3 < x < −1 ;
b) ∀x: −3 < x < −1 si ha: S = 2 ⋅
84
1
−2
.
=
1 − ( x + 2) x + 1
+∞
12.
∑[log (x − 1)]
, x∈R,
n
3
n=0
a) la serie è geometrica di ragione q = log 3 (x − 1) ; essa converge se e solo se:
x −1 > 0
x > 1
log3 (x − 1) > −1
−1
log3 ( x − 1) < 1 ⇔
⇔ x −1 > 3 ⇔ x > 4 / 3 ,
log3 (x − 1) < 1
x −1 < 3
x < 4
4
pertanto, i valori di x per i quali la serie è convergente, sono: < x < 4 ;
3
b) per x = 10 si ottiene log 3 ( x − 1) = log 3 9 = 2 > 1 , quindi, la serie è divergente.
+∞
∑ (3 − log x)
n
13.
è una serie geometrica di ragione q = 3 − log x .
n=0
a) La serie è convergente se e solo se:
x < e 4
3 − log x > −1
log x < 4
3 − log x < 1 ⇔
⇔
⇔
⇒ e2 < x < e4 ;
2
3
−
log
x
<
1
log
x
>
2
x > e
+∞
b) per x = e la base della serie è: 3 − log e = −1 ⇒ la serie geometrica diventa
4
4
∑ (−1)
n
n=0
e, pertanto, è irregolare;
c)
100
∑ (−1)
n
= 1 − 1 + .... + 1 = 1: infatti i primi cento termini si elidono a due a due e rimane solo l' ultimo.
n=0
+∞
14.
nα − 2
∑ n2 + 2 ,
n =0
a) per α = 2 : an =
α
n −2
n
α
n2 − 2
n +2
1
2
, s1 = a 0 + a1 = −1 −
1
4
=−
;
3
3
s 2 = s1 + a 2 = −
4 1
+ = −1;
3 3
=
(α > 0) ,
n +2
n 2 n 2−α
la serie data è a termini positivi e, quindi, regolare; per il criterio del confronto asintotico, ha lo
b)
2
∼
+∞
stesso carattere di
1
∑ n 2−α ; pertanto:
1
la serie è convergente per 2 − α > 1 , cioè per 0 < α < 1 ; la serie è divergente per α ≥ 1.
85
15. a n =
n +3
> 0 ∀n ;
α
n +5
se α <
1
: lim a n = +∞ ,
2 n→+∞
se α =
1
: lim a n = 1 ;
2 n→+∞
1
: la serie è divergente perchè non soddisfa la condizione necessaria di convergenza;
2
n
1
3
3
1
per α > : a n ∼ α = α −1 / 2 ⇒ se α ≤
la serie diverge, se α >
la serie converge.
2
2
2
n
n
per α ≤
+∞
∑a
16. a) La condizione necessaria di convergenza per una serie
è che a n → 0 .
n
n =1
an =
n 5 + 11
(n + 1)
3
n5 2
∼
k
n
3k
→ 0 per 3k >
5
5
⇒k> ;
2
6
b) la serie è a termini positivi, quindi, è regolare;
+∞
se k = 2 la serie
∑a
+∞
n
ha lo stesso carattere di
n =1
+∞
n5 2
∑n
n =1
=
6
∑n
n =1
1
:
72
tale serie è una serie armonica generalizzata con α = 7 2 , pertanto, convergente.
3
17. La serie è a termini positivi e, quindi, regolare;
n
α
∼
n1/ 3
1
=
α +1
α +2 / 3
(n + 1) n
n
n
2
1
1
se α + > 1 , cioè , α > la serie data converge; se α ≤
la serie data diverge .
3
3
3
18. Si tratta di una serie geometrica il cui termine generale è : a n =
a) la serie è convergente, se e solo se: − 1 <
b) S =
(1 − a) n
3n
n
1− a
=
,
3
1− a
< 1 ⇔ − 3 < 1− a < 3 ⇔ − 2 < a < 4 ;
3
1
3
3
=
= ⇔ a = 0 (valore accettabile).
1− a 2 + a 2
1−
3
19. Se k = 0 an =
n − log n
n
∼
n
n
a) per k = 0 : a n → 1
;
,
se k > 0 : an ∼
n
k 3n 3
=
1
k 3n 2
,
per k > 0 : a n → 0 + ;
+∞
b) la serie
∑a
n
è a termini positivi, quindi, è regolare;
n =1
+∞
per k = 0 an non è infinitesima, quindi ,
∑ an è divergente;
n =1
+∞
per k > 0 la serie è convergente perché ha lo stesso carattere della serie
1
∑ n2 .
1
86
,
20. a n =
2n k + n 2
2n k + n 2
∼
,
n4 + 2
n4
a) se k < 4 : il numeratore è infinito di ordine inferiore al denominatore ⇒ a n → 0 ;
se k = 4 : a n ∼
2n 4
n4
→ 2 ; se k > 4 : a n ∼
2n k
n4
→ +∞ ;
+∞
∑ an è a termini positivi , quindi è regolare;
b) la serie
n =1
per k = 4 : a n → 2 , pertanto la serie diverge a +∞, poiché non è soddisfatta la condizione
necessaria di convergenza;
n2
1
per k = 1 : a n ∼ 4 = 2 , per il criterio del confronto asintotico, la serie è convergente.
n
n
21. a) La successione è convergente per 1 − 2k ≥ 0 , in particolare:
1
1
1
se 1 − 2 k = 0 , cioè, k = allora a n = è costante, a n → ;
2
3
3
1
1
se 1 − 2 k > 0 , cioè, k < , allora a n → 0 ; se 1 − 2 k < 0 , cioè, k > , allora a n → +∞;
2
2
+∞
b) la serie è a termini positivi e, quindi, regolare;
∑
n =1
1
an =
3
+∞
∑n
n =1
1
1− 2 k
,
se 1 − 2k > 1 cioè k < 0, la serie è convergent e , se 1 − 2k ≤ 1 cioè k ≥ 0, la serie è divergente .
22. a n =
a)
2
n
+∞
+∞
n =1
n =1
∑ a n = 2∑ n1 / 2
b) bn =
2
n
−
1
2
n +1
è una serie armonica generalizzata divergente;
:
lim bn = 0;
n→+∞
2
2 2
2 2
2
2
+
+ L +
,
c) s n = b1 + b2 + b3 + L + bn = 2 −
+
−
−
−
2 2
3 3
4
n +1
n
sn = 2 −
2
n +1
+∞
→ 2 ⇒ la serie
∑b
1
+∞
n
è convergente e si ha :
∑b
n
= 2.
1
87
+ ∞ n −1
(− 2 )k 1
3
23.
+
+
=
2n
4
3
2
k =0
n =0
7 1 1
7 4 37
= +
= + =
.
3
4 3
4 3 12
1−
4
2
∑
∑
+∞
24.a)
(− 1)n + 3n 2 ,
∑3
n =0
−n
+ 2n
2
(− 2)k
2
∑
4
k =0
2
+
+∞
3 n −1
∑ ∑2
k =0
1
+
3
n =0
2n
1 1
1
= − +1+1+
4 2
3
la serie è a termini positivi, il termine generale a n
+∞
∑
(
− 1)n + 3n 2
=
3
−n
+ 2n
n
3
=
4
n =0
2
→
3
e, quindi,
2
non soddisfa la condizione necessaria per la convergenza, pertanto la serie diverge a + ∞;
+∞
b)
(− 1)n
∑n
n =1
4
+∞
moduli
, la serie è a termini di segno alternato, la serie converge assolutamente poichè la serie dei
n
(− 1)n
∑n
n =1
4
n
+∞
=
∑n
n =1
+∞
1
4
n
con α = 5 4 > 1 , quindi, la serie
=
∑n
n =1
+∞
(− 1)n
∑n
n =1
+∞
c)
∑ (q − 2)
n=2
log n
n
1
54
4
converge essendo una serie armonica generalizzata
converge anche semplicemente;
n
(q > 2) , la serie è a termini positivi a n =
log n
(q − 2)
n
→ 0+ ,
log(n + 1) (q − 2 )n
1
=
< 1 per q − 2 > 1 , quindi, la serie :
n
+
1
n→ +∞ (q − 2)
log n
q−2
col criterio del rapporto, si ha lim
+∞
per q > 3 converge, per 2 < q < 3 diverge, per q = 3 diverge essendo
∑ (q − 2)
n =1
88
+∞
log n
n
=
∑ log n .
n =1
DEFINIZIONE SUCCESSIONALE DI LIMITE
e c ∈ I = (a, b ) ,
Sia I = (a, b )
f ( x ) sia una funzione di variabile reale definita in I , salvo al più nel punto c .
Si dice che il limite di f (x) per x che tende a c dalla destra è l ( finito o infinito) e si scrive:
lim f ( x ) = l
x →c +
(oppure
f (x ) → l
per x → c +
)
se, per qualunque successione {xn } di punti del dominio di f (x) convergente a c e,
maggiore di c, la successione delle immagini { f (xn )} tende a l.
89
CASI DI NON ESISTENZA DEL LIMITE
lim sin x
non esiste .
x→+∞
Si considerino le due successioni:
xn =
π
+ 2 nπ ,
2
per n → +∞
yn = −
xn → +∞ ,
π
+ 2 nπ ,
2
y n → +∞ ,
n∈ N,
π
π
π
π
f ( xn ) = f + 2nπ = sin + 2nπ = sin = 1 ⇒ lim f ( xn ) = lim sin = 1 ,
n → +∞
n → +∞
2
2
2
2
π
π
π
π
f ( y n ) = f − + 2nπ = sin − + 2nπ = sin − = −1 ⇒ lim f ( y n ) = lim sin − = −1 ,
n → +∞
n → +∞
2
2
2
2
quindi il
lim sin x non esiste , perché non soddisfa la definizione successionale di limite.
n→+∞
lim sin
x→+0+
1
x
non esiste .
Si considerino le due successioni:
1
,
n∈ N,
π 2 + 2 nπ
1
1
per n → +∞
xn →
= 0 + , yn →
= 0+ ,
+∞
+∞
1
1
f ( x n ) = f 1
= sin 1
= sin 2nπ = 0 ⇒ lim f (xn ) = lim sin 2nπ = 0 ,
n → +∞
n → +∞
2nπ
2 nπ
1
1
= sin1
= sin (π 2 + 2nπ ) = sin (π 2 ) = 1 ⇒
f ( y n ) = f
π 2 + 2nπ
π 2 + 2nπ
π
⇒ lim f ( y n ) = lim sin = 1 ,
n → +∞
n → +∞
2
1
quindi il lim sin
non esiste , perché non soddisfa la definizione successionale di limite.
x
x → +0 +
xn =
90
1
,
2nπ
yn =
LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA
Teorema.
Se f è continua in x0 e g è continua in f (x0), allora la funzione composta g [ f ( x )] è continua
in x0 .
Esempi :
lim e− x = e−1 =
2
x →−1
1
;
e
π
lim log(1 + cos x ) = log1 + cos = log1 = 0 ;
π
2
x→
2
lim x 2 − x − 1 = 4 − 2 − 1 = 1 ;
x →2
2 x3 − x − 2 + 1
1
lim 2
=
=− ;
x → −1 x − 3 x
1+ 3
4
lim 3 e1− x − 8 x 2 − 1 = 3 − 8 = −2 .
x →1
LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA
(cambio di variabile nel calcolo del limite)
lim f [g ( x )] = ?
x → x0
All’interno del limite si può cambiare variabile, ponendo:
t = g (x ) ,
per x → x0 , g ( x ) → g ( x0 ) = t0
( x0 , t0 ∈ R* ) .
Si può enunciare il seguente teorema:
se:
i) f o g è definita in un intorno di x0 ( salvo al più x0 stesso) ,
ii) per x → x0 , g (x ) → t0 ,
allora:
lim f [g ( x )] = lim f (t ) .
x → x0
t →t0
91
LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI COMPOSTE
( FORME SIMBOLICHE )
e f (x)
lim
f ( x )→ −∞
e f ( x ) = e−∞ = 0+ ,
lim e f ( x ) = e + ∞ = +∞ ,
f ( x )→ +∞
lim e f ( x ) = e0 = 1 .
f ( x )→ 0
ln f ( x )
lim + ln f ( x ) = ln 0 + = −∞ ,
f ( x )→ 0
lim ln f ( x ) = ln (+ ∞ ) = +∞ .
f ( x )→ +∞
f (x )
lim
f (x ) = 0 = 0 ,
lim
f (x ) = + ∞ = +∞ .
f ( x )→0+
f ( x )→+∞
3
f (x )
lim 3 f ( x ) = 3 − ∞ = −∞ ,
f ( x )→ −∞
lim 3 f ( x ) = 3 0 = 0 ,
f ( x )→ 0
lim 3 f ( x ) = 3 + ∞ = +∞ .
f ( x )→ +∞
92
LIMITI NOTEVOLI
Per x → 0
Per x → ±∞
Per f (x ) → 0
sin x
→1 ,
x
tan x → 1 ,
x
1 − cosx → 1 ,
x2
2
, inoltre:
lim x e x = 0 −
, inoltre :
x →0
x → −∞
tan x ∼ x ,
1 − cosx ∼
sin x
→0 .
x
sin f (x )
→1 ,
f (x )
tan f ( x )
→1 ,
f (x )
1 − cos f ( x ) → 1 ,
f (x )2
2
lim x ln x = 0 −
+
sin x ∼ x ,
1 2
x .
2
sin f (x ) ∼
f (x ) ,
tan f ( x ) ∼ f (x ) ,
1 − cos f ( x ) ∼
lim xα ln x = 0 − ,
x →0 +
lim xα e x = 0,
x → −∞
1
f ( x )2 .
2
(∀α > 0)
(∀α > 0)
.
.
93
x
1
lim 1 + = e
x → ±∞
x
Da tale limite se ne deducono altri notevoli :
1)
1
lim x ln1 + = 1 ,
x → ±∞
x
2)
lim (1 + x )
3)
x →0
1
x
=e ,
ln (1 + x )
=1
x →0
x
ln (1 + x ) ∼ x ,
⇒
lim
ex −1
4) lim
=1
x →0 x
ex −1 ∼ x .
⇒
1
lim 1 +
f ( x )→±∞
f ( x )
1)
1
=1 ,
lim f ( x ) ln1 +
f ( x )→ ±∞
f ( x )
2)
lim (1 + f ( x ))
f ( x )→ 0
3)
lim
f ( x )→ 0
ln (1 + f ( x ))
=1
f (x )
4)
lim
f ( x )→ 0
e f (x ) − 1
=1 ⇒
f (x )
94
1
f (x )
f (x )
=e ,
⇒
ln(1 + f ( x )) ∼ f ( x ) ,
e f ( x ) − 1 ∼ f (x ) .
=e
FORME DI INDECISIONE ESPONENZIALE
Le forme di indecisione esponenziale provengono dal calcolo dei limiti delle funzioni del tipo:
y = f (x )g ( x )
e sono le seguenti:
1∞ , 00 , ∞0 .
Generalmente si trasforma la funzione:
y = f (x )g ( x )
nella forma esponenziale:
y = e g ( x )log f ( x )
e l’indecisione così appare all’esponente sotto forma di prodotto:
0⋅∞
Esempi:
• lim x x
x →0
: è la forma di indecisione 00 ,
+
lim x log x
lim+ x x = lim+ e x log x = e x→0
x →0
1
• lim
+ x
x →0
x →0
+
= e0 = 1 .
x
: è la forma di indecisione ∞ 0 ,
lim − x log x
1
+
lim = lim e − x log x = e x→0
= e0 = 1.
+ x
+
x →0
x →0
x
1
• lim (1 + x ) x
x →0
: è la forma di indecisione 1∞ ,
il limite è “e” ( si riconosce il limite notevole ).
Osservazione:
0
∞
non è una forma di indecisione , infatti lim
+
x →0
1
xx
=e
lim
x →0 +
log x
x
= e −∞ = 0+ .
95
ASINTOTO OBLIQUO
y = mx + q
P
y = f (x )
Q
x
PQ = f ( x ) − [mx + q ]
y = f (x)
P
Q
x
96
y = mx + q
Assegnata una funzione f , definita in un intervallo (a , +∞ ) , si verifichi che:
lim f ( x ) = +∞ .
x → +∞
Può accadere che in una situazione come questa esista una retta di equazione:
y = mx + q,
(m ≠ 0) ,
tale che:
lim [ f (x ) − (mx + q )] = 0 .
(*)
x→+∞
La (*) significa che: la distanza del grafico di f dalla retta tende a zero per x → +∞ .
Definizione
Se si verifica che:
lim [ f ( x ) − (mx + q )] = 0 ,
x→+∞
si dice che la retta di equazione
y = mx + q
è asintoto obliquo
per la f (per x → +∞ ) .
CONDIZIONI PER L’ESISTENZA DELL’ASINTOTO OBLIQUO
Il verificarsi che:
lim [ f (x ) − (mx + q )] = 0 ,
x→+∞
è equivalente alla coppia di condizioni:
i)
ii)
lim
x → +∞
f (x )
= m (m ≠ 0) ,
x
lim [ f ( x ) − mx ] = q .
x →+∞
Osservazioni:
1)
m è la pendenza limite del grafico di f ;
2)
q è l’ordinata all’origine dell’asintoto ;
3)
condizione necessaria perché una funzione
f ammetta asintoto obliquo è che per x → +∞ sia un infinito del 10 ordine .
97
DEFINIZIONE DI: MASSIMO (MINIMO) E PUNTO DI MASSIMO (MINIMO)
Sia f : D ⊆ R → R .
M è massimo di f in e x0 ∈D è punto di massimo se: f (x0 ) = M ≥ f (x )
∀x ∈ D ;
m è minimo di f
in e x0 ∈D è punto di minimo se:
f (x0 ) = m ≤ f (x )
∀x ∈ D .
DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO
Sia f : (a, b ) → R , c ∈ (a, b )
si dice che la funzione f è continua in x = c se lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (c ) ,
x →c −
x →c +
ossia per x → c il limite sinistro di f è uguale al limite destro di f e tale limite uguaglia il valore
della f in x = c .
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Se f è continua su [a, b] , allora f ha massimo e minimo assoluti in [a, b] .
Esistono, quindi, in [a, b] due punti x1, x2 tali che:
M = f ( x1 ) ≥ f ( x ) e m = f ( x2 ) ≤ f ( x ) ∀x ∈ [a, b] .
TEOREMA DEGLI ZERI
Sia: i) f continua in [a, b] , ii) f (a ) ⋅ f (b ) < 0 .
Allora esiste c ∈ (a, b ) tale che f (c ) = 0 .
Si osserva che lo zero è unico qualora f è anche strettamente monotona.
DEFINIZIONE DI DERIVATA E CALCOLO DELLE DERIVATE
CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI CRITICI O SINGOLARI
Punto angoloso. Punto a tangente verticale. Cuspide.
DEFINIZIONE DI PUNTO DI MASSIMO (MINIMO) LOCALE
Sia f : D ⊆ R → R e x0 ∈ D .
Si dice che x0 è un punto di massimo locale se, esiste un intorno U ( x0 ) = ( x0 − r , x0 + r ) ,
tale che per ogni x di tale intorno e del dominio di f , si ha: f ( x ) ≤ f ( x0 ) .
Si dice che x0 è un punto di minimo locale se, esiste un intorno U ( x0 ) = ( x0 − r , x0 + r ) ,
tale che per ogni x di tale intorno e del dominio di f , si ha: f ( x ) ≥ f ( x0 ) .
98
TEOREMA DI FERMAT
Sia f definita in un intervallo [a, b]. Se f ha un massimo o un minimo locale in un punto
x0 ∈ (a, b), dove è derivabile, allora:
f ' ( x0 ) = 0 ,
quindi, x0 è un punto stazionario.
TEOREMA DI LAGRANGE
Sia f : [a, b] → R con: i) f continua in [a, b] , ii) f derivabile in (a, b ) ,
f (b ) − f (a )
.
allora ∃ c ∈ (a, b ) : f ' (c ) =
b−a
TEST DI MONOTONIA
Sia f : (a, b ) → R, derivabile. Allora ∀ x ∈ (a, b ) :
⇔
f
crescente
f
de crescente
⇔
f ' (x ) ≥ 0
f ' (x ) ≤ 0 .
TEST DI CONVESSITA’
Sia f due volte derivabile in un intervallo (a,b). Si avrà:
a) f ' ' ≥ 0 in (a, b ) ⇔
b) f ' ' ≤ 0 in (a, b ) ⇔
f
f
convessa in (a, b ),
concava in (a, b ) .
DEFINIZIONE DI PUNTO DI FLESSO
Sia f : (a, b ) → R ,
x 0 ∈ (a, b ) ,
x 0 è punto di flesso per la funzione f se :
(i ) f è continua in x 0 ,
(ii ) f ammette retta tangente in x 0 ,
(iii) esiste un intorno destro (sinistro) di x 0 in cui f è convessa e un intorno sinistro (destro) di x 0
in cui f è concava.
Osservazioni:
1) la retta tangente in un punto di flesso attraversa il grafico della funzione;
2) in un punto di flesso x0 , se la funzione è derivabile due volte, si ha f ' ' ( x0 ) = 0 .
99
CONDIZIONE SUFFICIENTE DI DERIVABILITA’
e 2 x
f ( x) =
x 3 + 2 x + 1
Sia
per x ≤ 0
per x > 0
.
Si pone allora la seguente domanda: f è derivabile in R ?
Sicuramente la funzione è continua e derivabile per ogni x ≠ 0, quindi si può calcolare f ' ( x)
∀ x ≠ 0:
2e 2 x
per x < 0
f ' ( x) =
3x 2 + 2
per x > 0 .
Per verificare la derivabilità della f in x = 0 si utilizza il seguente procedimento:
si verifica se f è continua in x = 0.
Se f non è continua in x = 0 , allora non è ivi derivabile;
se f è continua in x = 0, si calcolano
i seguenti limiti: lim− f ' ( x) e lim+ f ' ( x) ,
x→0
x→0
se i limiti esistono finiti, si dimostra che:
lim f ' ( x) = f '− (0)
x→0 −
e la
e lim+ f ' ( x) = f '+ (0) ,
x →0
la fu nzione risulta allora derivabile in x = 0 se f '− (0) = f '+ (0) .
Riprendendo l’esempio iniziale, si ha: lim− e 2 x = lim+ ( x 3 + 2 x + 1) = 1 = f (0 ) ,
x →0
x →0
pertanto f è continua in x = 0 ,
2e 2 x
per x < 0
f ' ( x) =
,
3x 2 + 2
per x > 0
lim− f ' ( x) = lim− 2e 2 x = 2 ,
x →0
x →0
lim+ f ' ( x) = lim+ 3 x 2 + 2 = 2 ,
x →0
x →0
quindi, f ' − (0) = f ' + (0) = 2 ⇒ ∃ f ' (0) = 2 ,
Osservazioni:
- se uno od entrambi i limiti sono infiniti, la funzione non è derivabile in x = 0, ma ne è nota la pendenza
che si definisce infinita ;
- se almeno uno dei due limiti non esiste in x = 0, non si può dire nulla circa la derivabilità della
funzione.
100
TEST DELLA DERIVATA SECONDA
Sia f definita in (a,b), derivabile due volte in x0 .
Si abbia inoltre f ' (x0 ) = 0 , quindi, x0 è un punto stazionario per f .
Teorema
Condizione sufficiente affinché x0 sia di estremo locale per f è che sia:
f ' ' (x0 ) ≠ 0 .
In particolare:
se f ' ' ( x0 ) > 0 allora x0 è un punto di minimo locale ,
se f ' ' ( x0 ) < 0
allora x 0 è un punto di massimo locale .
Osservazione:
se f ' ' ( x0 ) = 0 , non si può dire nulla sulla natura del punto x0 .
Esempio:
assegnata
natura.
f ( x ) = x3 − x 2e x , si verifichi che x = 0 è un punto stazionario e se ne individui la
f (x) = x 3 − x 2 e x
,
D = (− ∞,+∞ ),
f ' (x ) = 3x 2 − 2 xe x − x 2 e x = 3x 2 − e x (2 x − x 2 )
f ' (0 ) = 0
(
)
(
)
f ' ' (x ) = 6 x − e x 2 x − x 2 + 2 − 2 x = 6 x − e x − x 2 + 2
f ' ' (0) = −2 < 0
⇒ x = 0 è punto di massimo locale.
101
GRAFICO DELLA FUNZIONE DERIVATA PRIMA
1. Si determina il dominio della funzione derivata prima e se ne studiano i limiti agli estremi del
dominio.
2. Per disegnare il grafico della funzione derivata prima, inoltre, si tiene conto che:
- dove f è crescente, f ' è positiva;
- dove f è decrescente,
f'
è negativa;
- dove f ammette un punto stazionario f ' è nulla;
- dove f è convessa, f ' è crescente;
- dove f è concava, f ' è decrescente;
- per funzioni derivabili fino al secondo ordine, un punto di flesso della f risulta essere un punto
stazionario per la f ' .
ESERCIZI SULLE FUNZIONI
TESTI
1. Assegnata la funzione:
f ( x ) = sin 2 x + 2 cos x − e − x +1 ,
a) si verifichi che il punto x = 0 è un punto stazionario per la funzione ;
b) si determini, utilizzando il test della derivata seconda, la natura del punto stazionario.
2
2. Assegnata la funzione:
f ( x ) = cos 3 x − 2 x +
a
,
a∈ R ,
1− x
a) si determini il parametro reale a, sapendo che x = 0 è un punto stazionario;
b) si determini, utilizzando il test della derivata seconda, la natura del punto stazionario.
3. Assegnata la funzione:
f (x ) = x − 2 + x 3 − 3x 2 ,
a) si verifichi che la funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri nell’intervallo [1,4] ;
b) si determini se la funzione è derivabile nel punto x = 2.
102
4. Assegnata la funzione:
(
)
f ( x ) = log x 2 + 2 x + 3 ,
a) si determini il dominio della funzione;
b) si determini, utilizzando il test di monotonia, il più ampio intervallo contenente x = 0 in cui la
funzione è invertibile;
c) si scriva l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto x = 0.
5. Assegnata la funzione:
x + 2
f (x ) = 1 − x
− x 2 + 4 x + k
−4≤ x≤0
k ∈R ,
,
0<x≤4
a) si determini, per quale valore del parametro reale k, la funzione è continua in x = 0
successivamente, si verifichi se la stessa è anche derivabile in x = 0;
b) per il valore del parametro reale k determinato al punto a), si risolva l’equazione:
f (x ) = −
1
4
e,
nell’intervallo [− 4,4] .
6. Assegnata la funzione:
e x +1
f ( x ) = cos x
π
x − 2
x≤0
0<x≤
x>
π
π
2
,
2
a) se ne tracci il grafico;
b) si stabilisca dove la funzione non è continua o non derivabile;
c) si determinino gli eventuali punti di massimo e minimo locale.
103
7. Assegnata la funzione:
f (x ) = 3 − x +
1
,
x
a) si determinino: il dominio, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti;
1
b) si giustifichi l’affermazione: la funzione ammette massimo e minimo nell’intervallo − 2,− ;
2
c) si determinino il massimo ed il minimo ed eventuali punti di massimo e minimo locale della
1
funzione nell’intervallo − 2,− .
2
8. Assegnata la funzione:
f (x ) = e2 x −2 − x + 4 + 3
6
x
,
a) si determinino: il dominio, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti;
b) si scriva l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto x = 1.
9. Assegnata la funzione:
x 2 + 2ax + b
f (x ) =
sin x + cos 2 x
x<0
x≥0
,
a, b ∈ R ,
a) si determini, per quali valori dei parametri reali a, b , la funzione è continua e derivabile in x = 0 ;
b) si dica, giustificando la risposta, se per a = 1 ∧ b = 0 la funzione soddisfa le ipotesi del teorema
di Lagrange nell’intervallo [− 1,1] .
10. Assegnata la funzione:
2e − x +1 + k
f (x ) =
x 2 log x
x <1
x ≥1
,
k ∈R ,
a) si determini, per quale valore del parametro reale k, la funzione è continua in x = 1 e si verifichi
se, per tale valore di k, la stessa è anche derivabile in x = 1;
b) si scriva l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto x0 = e .
104
11. Assegnata la funzione:
x 3 − ax + b
f (x ) =
4 x 5 + 1
x<0
,
x≥0
a, b ∈ R ,
a) si determini, per quali valori dei parametri reali a, b, la funzione è continua e derivabile in x = 0;
b) per i valori dei parametri determinati al punto a), si verifichi se la funzione ammette derivata
seconda in x = 0 e se il punto x = 0 è un punto di flesso.
12. Assegnata la funzione:
f ( x ) = log(sin x + 2 x + 1) ,
3
definita nell’intervallo 0, π ,
2
a) si verifichi graficamente che:
3
∀ x ∈ 0, π ;
2
b) si utilizzi il test di monotonia per giustificare l’invertibilità della funzione
3
0, 2 π ;
sin x + 2 x + 1 > 0
c) si determini la derivata della funzione inversa f
−1
( y ) nel punto y 0 = log 3π
nell’intervallo
.
3
( Al valore dell’ordinata y 0 = log 3π corrisponde l' ascissa x 0 = π ) .
2
SOLUZIONI
1. f ( x ) = sin 2 x + 2 cos x − e − x
2
+1
,
a) f ' (x ) = 2 sin x cos x − 2 sin x + 2 xe − x
2
+1
, f ' (0 ) = 0 ⇒ x = 0 è un punto stazionari o per la funzione ;
b ) f ' ' ( x ) = 2 cos 2 x − 2 sin 2 x − 2 cos x + 2e − x +1 − 4 x 2 e − x +1 ,
f ' ' (0 ) = 2e > 0 , pertanto, x = 0 è un punto di minimo relativo per la funzione .
2
2
105
2. f ( x ) = cos 3 x − 2 x +
a
,
1− x
a∈R,
a) f ' ( x ) = −3 cos 2 x sin x − 2 +
a
(1 − x )2
, f ' (0) = 0 ⇒ − 2 + a = 0 ⇒ a = 2 ;
b) per a = 2 f ' ( x ) = −3 cos 2 x sin x − 2 +
2
(1 − x )
2
, f ' ' (x ) = 6 cos x sin 2 x − 3 cos3 x +
4
(1 − x )3
,
utilizzando il test della derivata seconda, si ha f ' ' (0) = 1 > 0 e, quindi, x = 0 è un punto di minimo
locale.
3. f ( x ) = x − 2 + x 3 − 3 x 2 ,
− x + 2 + x 3 − 3x 2
per 1 ≤ x < 2
a) f ( x ) =
, la funzione è continua nell' intervallo[1,4] :
x − 2 + x 3 − 3x 2
per 2 ≤ x ≤ 4
infatti f è continua negli intervalli [1,2 ) , (2,4] perché funzione elementare; in x = 2 si ha :
f (2 ) = −4 = lim f (x ) , inoltre, f (1) = −1 < 0 , f (4) = 18 > 0 ; pertanto la funzione soddisfa le
x →2 m
ipotesi del teorema degli zeri nell’intervallo [1,4] ;
− 1 + 3 x 2 − 6 x
b) f ' ( x ) =
1 + 3 x 2 − 6 x
per 1 ≤ x < 2
per 2 < x ≤ 4
,
lim f ' ( x ) = lim − 1 + 3 x 2 − 6 x = −1 = f −' (2 ), lim f ' ( x ) = lim 1 + 3 x 2 − 6 x = 1 = f +' (2 ),
x →2−
x →2−
x →2+
x →2+
allora si può afermare che il punto x = 2 è un punto angoloso.
(
)
4. f ( x ) = log x 2 + 2 x + 3 ,
∆
a) D = (− ∞,+∞) essendo x 2 + 2 x + 3 > 0 ∀x ∈ R , = −2 < 0 ;
4
b) per utilizzare il test di monotonia, si studia il segno della derivata prima della funzione,
2x + 2
f ' (x ) = 2
, f ' ( x ) < 0 per x < −1, f ' ( x ) > 0 per x > −1 ;
x + 2x + 3
f è strettamente decrescente nell’intervallo (− ∞,−1) ed ivi invertibile,
f è strettamente crescente nell’intervallo (− 1,+∞ ) ed ivi invertibile,
pertanto, il più ampio intervallo contenente x = 0 in cui la funzione è invertibile è l’intervallo
[− 1,+∞ ) ;
2
c) f (0) = log 3, f ' (0 ) =
, l’equazione della retta tangente al grafico della funzione
3
2
nel punto x = 0 è: y − log 3 = x ⇒ 3 y − 2 x − 3 log 3 = 0 .
3
106
5.
x + 2
f (x ) = 1 − x
− x 2 + 4 x + k
a) f (0 ) = 2 = lim f ( x ),
−
x →0
−4≤ x≤0
0< x≤4
lim f ( x ) = lim − x 2 + 4 x + k = k = f (0 ) ⇔
x→0+
la funzine è continua in x = 0 per k = 2;
x + 2
f (x ) = 1 − x
− x 2 + 4 x + 2
k ∈R ,
,
x →0 +
3
, f ' (x ) = (1 − x )2
− 2 x + 4
−4≤ x≤0
0< x≤4
−4≤ x<0
k = 2,
, f −' (0 ) = 3 ≠ f +' (0 ) = 4
0< x≤4
la funzione non è derivabile in x = 0, che risulta essere un punto angoloso per la funzione;
1
x+2
1
1
b) f ( x ) = − ⇒
=−
in [− 4,0] ∨ − x 2 + 4 x + 2 = −
in (0,4] ,
4
1− x
4
4
x+2
1
= − ⇒ 4 x + 8 = −1 + x ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3 soluzione accettabile in quanto ∈ [− 4,0],
1− x
4
1
8 ± 100
− x 2 + 4x + 2 = −
⇒ − 4 x 2 + 16 x + 9 = 0 ⇒ 4 x 2 − 16 x − 9 = 0 ⇒ x =
,
4
4
1
9
x1 = − , x 2 =
sono soluzioni non accettabili in quanto ∉ (0,4] .
2
2
6.
e x +1
f ( x ) = cos x
π
x − 2
x≤0
0<x≤
x>
π
π
,
2
2
a)
e
1
π
2
107
b) f (0 ) = e = lim f (x ) ,
x →0 −
non derivabile in x = 0;
π
f = 0 = lim f ( x ) ,
π−
2
x→
2
− sin x
f ' (x ) =
1
lim f ( x ) = lim cos x = 1 , ⇒ la funzione non è continua e, quindi,
x →0 +
lim f (x ) = lim x −
x→
0< x<
x>
π
x →0 +
π+
x→
2
π+
π
2
= 0 , la funzione è continua in x =
π
2
,
2
π
2
,
2
π
π
lim f ' ( x ) = lim − sin x = −1 = f −' , lim f ' (x ) = lim 1 = 1 = f +' ,
−
−
+
+
π
π
π
2 x→π
2
x→
x→
x→
2
2
pertanto la funzione non è derivabile in x =
2
π
2
2
e così x =
π
2
è un punto angoloso .
c) dal grafico si deduce che: x = 0 è un punto di massimo locale, x =
π
2
è un punto di minimo locale .
1
3+ x+
per x < 0
1
x
7. a) f ( x ) = 3 − x +
⇒ f (x ) =
, D = (− ∞,0 ) ∪ (0,+∞ ) ,
x
3− x+ 1
per x > 0
x
1
lim 3 + x + = lim x = −∞ ⇒ la retta y = x + 3 è asintoto obliquo per x → −∞,
x → −∞
x x→−∞
1
1
infatti lim f ( x ) − ( mx + q ) = lim 3 + x + − 3 − x = lim = 0 − ,
x → −∞
x →−∞
x → −∞ x
x
1
lim 3 − x + = lim − x = −∞ ⇒ la retta y = − x + 3 è asintoto obliquo per x → +∞,
x → +∞
x x →+∞
1
1
infatti lim f ( x ) − ( mx + q ) = lim 3 − x + − 3 + x = lim = 0 + ,
x → +∞
x →+∞
x → +∞ x
x
1
lim f ( x ) = lim = m ∞ ⇒ la retta x = 0 è asintoto verticale per x → 0;
m
m x
x →0
x →0
1
b) la funzione ammette massimo e minimo nell’intervallo − 2,− per il teorema di Weierstrass:
2
1
1
infatti la f ( x ) = 3 + x + è continua nell’intervallo chiuso e limitato − 2,− ;
x
2
108
x2 −1
1
, f ' ( x ) = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = −1 nell' intervallo − 2,− ,
2
x
x
1
f ' ( x ) > 0 per − 2 < x < −1, f ' ( x ) < 0 per − 1 < x < − , x = −1 è punto di massimo locale e globale, f (− 1) = 1,
2
1
1
1
1 1
f (− 2 ) = , f − = , quindi M = 1 in x = −1, m = in x = −2 e x = − .
2
2
2
2 2
c) f ' ( x ) = 1 −
1
2
=
2
6
, D = (− ∞,0) ∪ (0,+∞ ) ,
x
lim f ( x ) = lim − x = +∞ , f ( x ) ∼ − x ⇒ f è un infinito del primo ordine ed è, quindi, soddisfatta la
8. a) f ( x ) = e 2 x − 2 − x + 4 + 3
x →−∞
x →−∞
condizione necessaria per l' esistenza dell' asintoto obliquo (m = −1), q = lim e 2 x −2 − x + 4 +
x →−∞
6
3
x
+ x = 4,
y = − x + 4 è l' asintoto obliquo per x → −∞;
6
lim f ( x ) = lim
= m ∞ ⇒ x = 0 è asintoto verticale;
m
m
x →0
x →0 0 m
lim f ( x ) = lim e 2 x − 2 = +∞ , ∃/ l' asintoto obliquo;
x →+∞
x →+∞
b) f ' ( x ) = 2e 2 x − 2 − 1 −
, f (1) = 10 , f ' (1) = −1 ,
x4
l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto x = 1 è: y + x − 11 = 0 .
2
3
x 2 + 2ax + b
9. a) f ( x ) =
sin x + cos 2 x
f (0 ) = 1 = lim f ( x ) ,
x →0
+
x<0
x≥0
,
a, b ∈ R ,
lim f ( x ) = lim x 2 + 2ax + b = b = f (0 ) ⇔ b = 1,
x →0 −
x →0 −
la funzione è continua in x = 0 ∀a ∈ R e per b = 1,
x<0
2 x + 2 a
f ' (x ) =
,
x>0
cos x − 2 sin x cos x
lim f ' ( x ) = 2a = f −' (0 ) , lim f ' ( x ) = 1 = f +' (0 ) , f −' (0 ) = f +' (0 ) ⇔ a = 1 2 e b = 1;
x →0 −
x →0 +
pertanto, la funzione è derivabile in x = 0 per a = 1 / 2 e b = 1 .
b) per a = 1 e b = 0 in [− 1,1] , la funzione non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange, poiché non
è continua e, quindi, non derivabile in x = 0, punto interno all’intervallo.
109
2e − x +1 + k
10.a) f ( x ) =
x 2 log x
x <1
k ∈R ,
,
x ≥1
f (1) = 0 = lim f ( x ) , lim f ( x ) = lim 2e − x +1 + k = 2 + k = f (1) ⇔ 2 + k = 0 ⇔ k = −2,
x →1+
x →1−
x →1−
la funzione è continua in x = 1 per k = −2,
2e − x +1 − 2
f (x ) =
x 2 log x
− 2e − x +1
, f ' (x ) =
2 x log x + x
x <1
x ≥1
x <1
x >1
,
lim − 2e − x +1 = −2 = f −' (1) , lim 2 x log x + x = 1 = f +' (1) ,
x →1−
f −' 1
x →1+
( ) = −2 ≠ f +' (1) = 1 , quindi, la funzione non è derivabile in x = 1 che è così un punto angoloso;
b) f (e) = e 2 , f ' (e ) = 3e , pertanto l’equazione della retta, tangente al grafico della funzione nel
punto di ascissa x0 = e, è : y − e 2 = 3e (x − e ) ⇒ y = 3 ex − 2e 2 .
x 3 − ax + b
11.a) f ( x ) =
4 x 5 + 1
f (0 ) = 1 = lim f ( x ),
x →0
+
x<0
x≥0
a, b ∈ R ,
,
lim f ( x ) = lim x 3 − ax + b = b = f (0 ) per b = 1,
x →0 −
x →0 −
allora la funzione è continua in x = 0 ∀ a ∈ R e per b = 1;
x 3 − ax + 1
f (x ) =
4 x 5 + 1
x<0
x≥0
3 x 2 − a
f ' (x ) = 5
4
x
4
,
lim f ' (x ) = lim 3x 2 − a = −a = f −' (0 ),
x →0 −
f −' 0
( )=
lim f ' ( x ) = lim
x →0 −
x →0 −
x →0 +
x<0
x>0
,
54
x = 0 = f +' (0 ),
4
f +' (0) per a = 0, pertanto la funzione ammette derivata prima in x = 0 per a = 0 e b = 1,
e, quindi, ammette la retta tangente in x = 0;
x<0
6 x
b) f ' ' (x ) = 5 1
,
x>0
16 4 3
x
lim f ' ' ( x ) = lim 6 x = 0 = f −'' (0 ) ≠
x →0
−
x →0
−
lim f ' ' ( x ) = lim
x →0
+
5
x → 0 + 16
1
4
x
3
= +∞ = f +'' (0 ) ;
pertanto, la funzione non ammette derivata seconda in x = 0; inoltre :
per x < 0 f ' ' (x ) = 6 x < 0
per x > 0 f ' ' ( x ) =
⇒ per x < 0
5 1
>0
⇒ per x > 0
16 4 x 3
allora x = 0 è punto di flesso per la funzione .
110
f è concava,
f è convessa,
3
è definita nell’intervallo 0, π ,
2
3
∀ x ∈ 0, π ⇒ sin x > −2 x − 1
2
y = sin x
12. f ( x ) = log(sin x + 2 x + 1)
a) sin x + 2 x + 1 > 0
0
3
∀ x ∈ 0, π
2
3π⁄2
−1
y = −2 x − 1
cos x + 2
>0
sin x + 2 x + 1
3
3
∀ x ∈ 0, π ⇒ f è strettamente crescente in 0, π ;
2
2
3
quindi, la funzione è invertibile in 0, π ;
2
b) f ' ( x ) =
[
c) D f
−1
( y )]y0 =log 3π
=
1
1
1
3
=
=
= π .
3
2
D[ f ( x )]x0 = π cos x + 2
2
2
sin x + 2 x + 1 3
x0 = π 3π
2
111
STUDIO DI FUNZIONE
TESTI
1. Assegnata la funzione:
(
)
f ( x ) = e 2 x +1 − x 2 + 2 ,
si determinino: il dominio ed il segno della funzione , i limiti agli estremi del dominio ed eventuali
asintoti , crescere, decrescere ed eventuali punti di estremo locale; si tracci un grafico qualitativo
della funzione.
2. Assegnata la funzione:
f (x ) =
3x
,
1 − log x
si determinino: il dominio ed il segno della funzione, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali
asintoti, crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale, lim f ' ( x ), lim f ' ( x ) ; si tracci
x→0+
x →+∞
un grafico qualitativo della funzione .
3. Assegnata la funzione:
(
)
f ( x ) = e x − 4 log e x + 3 ,
si determinino: il dominio della funzione , i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti ,
crescere , decrescere ed eventuali punti di estremo locale , si tracci un grafico qualitativo della
funzione.
4. Assegnata la funzione:
f (x ) = x 2 ( x − 2)2 ,
a) si determinino: il dominio, gli zeri ed il segno della funzione, i limiti agli estremi del dominio,
crescere, decrescere ed eventuali punti di estremo locale ; si tracci un grafico qualitativo della
funzione;
b) al variare del parametro α ∈ R , si determini il numero delle soluzioni reali distinte
dell’equazione f ( x ) = α .
5. Assegnata la funzione:
f (x ) = x + 2 +
1
,
x +1
si determinino: il dominio ed il segno della funzione , i limiti agli estremi del dominio ed eventuali
asintoti , crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale , concavità e convessità; si tracci
un grafico qualitativo della funzione.
6. Assegnata la funzione:
112
f ( x ) = 4 log(x + 1) − x 2 + 2 ,
si determinino: il dominio della funzione , i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti,
crescere , decrescere ed eventuali punti di estremo locale , concavità e convessità; si tracci un
grafico qualitativo della funzione.
7. Assegnata la funzione:
x 3 + kx 2 + 1
f (x ) =
x 2 − 1
x <1
x ≥1
k ∈R ,
,
a) si determini, per quale valore del parametro reale k, la funzione è continua in x =1;
b) si verifichi l’eventuale derivabilità della funzione in x =1;
c) per il valore del parametro determinato al punto a), si studi la funzione. Si determinino: il
dominio , i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti, crescere e decrescere ed eventuali
punti di estremo locale, concavità e convessità ed eventuali punti di flesso; si tracci poi un grafico
qualitativo della funzione .
8. Assegnata la funzione:
(
)(
)
f (x ) = e x + 1 ⋅ e x − 3 ,
si determinino: il dominio, le intersezioni con gli assi ed il segno della funzione, i limiti agli estremi
del dominio ed eventuali asintoti, crescere, decrescere ed eventuali punti di estremo locale,
eventuali punti di flesso; si tracci un grafico qualitativo della funzione.
9. Assegnata la funzione:
(
)
f ( x ) = log x 2 + 3 + x − 2 ,
si determinino: il dominio, l’intersezione con l’asse delle ordinate, i limiti agli estremi del dominio
ed eventuali asintoti, crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale, concavità e
convessità ed eventuali punti di flesso; si tracci un grafico qualitativo della funzione.
10. Assegnata la funzione:
f (x ) = x 3 − 3 x + 1 ,
a) si determinino: il dominio, l’intersezione con l’asse delle ordinate, i limiti agli estremi del
dominio ed eventuali asintoti, crescere e decrescere, eventuali punti angolosi ed eventuali punti di
estremo locale, concavità e convessità; si tracci un grafico qualitativo della funzione;
b) si dica, giustificando la risposta, se la funzione verifica le ipotesi del teorema del valore
medio (di Lagrange) nell’intervallo [− 1,1] .
11. Assegnata la funzione:
f (x ) = x +
4
,
x2
si determinino: il dominio ed il segno della funzione , i limiti agli estremi del dominio ed eventuali
asintoti , crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale , convessità e concavità; si tracci
un grafico qualitativo della funzione.
12. Assegnata la funzione:
(
)
f ( x ) = log x + 3 + x − 2 ,
113
si determinino: il dominio, l’intersezione con l’asse delle ordinate, i limiti agli estremi del dominio
ed eventuali asintoti, crescere e decrescere, eventuali punti angolosi ed eventuali punti di estremo
locale, concavità e convessità; si tracci un grafico qualitativo della funzione.
13. Assegnata la funzione:
1
f (x ) = − x 4 + x 3 − 2 ,
4
si determinino: il dominio, l’intersezione con l’asse delle ordinate, i limiti alla frontiera del dominio
ed eventuali asintoti, crescere e decrescere, eventuali minimi e massimi locali, concavità e
convessità, eventuali punti di flesso; si tracci un grafico qualitativo della funzione.
14. Assegnata la funzione:
f (x ) = 1 − x e 2 x ,
a) si determinino: il dominio, il segno e le intersezioni con gli assi, i limiti agli estremi del dominio
ed eventuali asintoti, eventuali punti angolosi, eventuali punti di estremo locale, concavità e
convessità ed eventuali punti di flesso; si tracci un grafico qualitativo della funzione;
b) si determini il dominio della funzione derivata f ' e se ne tracci un grafico probabile, utilizzando
anche quello della funzione f .
15. Assegnata la funzione:
f (x ) =
x 2 − 3x + 2
x
,
a) si determinino: il dominio ed il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti,
crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale, lim f ' ( x ) , lim f ' ( x ) ; si tracci un
x →1−
x→2+
grafico qualitativo della funzione;
b) si determini il dominio della funzione derivata f ' e se ne tracci un grafico probabile, utilizzando
anche quello della funzione f .
SOLUZIONI
(
)
D = (− ∞,+∞) ,
1. f ( x ) = e 2 x +1 − x 2 + 2 ,
(
)
(
)
f ± 2 = 0 , f ( x ) > 0 ∀x ∈ − 2 , 2 ,
(
(− x
)
+ 2) =
f (0) = 2e,
(
lim f ( x ) = lim e 2 x +1 − x 2 + 2 = lim − e 2 x +1 x 2 = 0 − ,
x →−∞
x →−∞
x →+∞
x →+∞
lim f ( x ) = lim e 2 x +1
114
2
x →−∞
lim − e 2 x +1 x 2 = −∞
x →+∞
) (
f ( x ) < 0 ∀x ∈ − ∞ , − 2 ∨
)
2 ,+∞ ,
y = 0 è asintoto orizzontale,
( non esiste l' asintoto obliquo );
(
)
f ' ( x ) = 2e 2 x +1 − x 2 − x + 2 , f ' ( x ) = 0 per x = −2 e x = 1 ,
f ' ( x ) > 0 ∀ x ∈ (− 2,1), f ' ( x ) < 0 ∀ x ∈ (− ∞,−2 ) ∨ x ∈ (1,+∞ ),
quindi, si può concludere che x = −2 è punto di minimo locale, f (− 2 ) = −
mentre x = 1 è punto di massimo locale ed assoluto, f (1) = e 3 .
2
e3
,
e3
−2
1
3x
,
D = (0, e ) ∪ (e,+∞ ) ,
1 − log x
f ( x ) > 0 in (0, e ) , f ( x ) < 0 in (e,+∞ ) ;
2. f ( x ) =
3e
3x
0+
=
= 0 + , lim f ( x ) = ± = ±∞ ⇒ x = e è asintoto verticale,
+
+ − log x
m
+∞
x →0
x →0
x →e
0
3x
lim f (x ) = lim
= −∞ , la funzione non ammette asintoto obliquo per x → +∞ ;
x→+∞
x →+∞ − log x
3(2 − log x )
f ' (x ) =
f ' ( x ) = 0 ⇔ 2 − log x = 0 ⇒ x = e 2 , f ' (x ) < 0 in e 2 ,+∞ ,
2
(1 − log x )
lim f (x ) = lim
(
( )
)
( )
f ' (x ) > 0 in (0, e ) ed in e, e 2 , x = e 2 è punto di massimo locale ; f e 2 = −3e 2 ;
3(2 − log x )
− 3 log x
3
3
lim f ' ( x ) = lim
= lim
= lim −
=
= 0+ ,
2
2
+
+
+
+
log x + ∞
x →0
x → 0 (1 − log x )
x → 0 (log x )
x →0
3(2 − log x )
− 3 log x
3
3
lim f ' (x ) = lim
= lim
= lim −
=
= 0− .
2
2
x → +∞
x → +∞ (1 − log x )
x → +∞ (log x )
x → +∞ log x
−∞
e
e2
−3e3
115
(
)
3. f (x ) = e x − 4 log e x + 3
e x + 3 > 0 ∀x ⇒ D = (− ∞,+∞ ) ,
,
lim f ( x ) = lim − 4log 3 = −4log3 ⇒ y = −4 log 3 è asintoto orizzontale,
x→−∞
x→−∞
x→+∞
x→−∞
lim f ( x ) = lim e x = +∞ , pertanto, essendo f ( x ) ∼ e x , non esiste l' asintoto obliquo ;
f ' (x ) = e x −
4e x
=
(
)
ex ex −1
, f ' ( x ) = 0 ⇔ e x = 1 ⇒ x = 0 è punto stazionario,
e +3
e +3
f ' ( x ) < 0 in (− ∞,0) , f ' ( x ) > 0 in (0,+∞ ) ,
quindi x = 0 è punto di minimo locale e globale ; f (0) = 1 − 4 log 4 = 1 − 8 log 2 ≅ −4.56 ;
x
x
−4log3
f (0) = f (2) = 0,
D = (− ∞,+∞ ) ,
4.a) f ( x ) = x 2 ( x − 2)2 ,
f ( x ) > 0 in D \ {0,2} ,
lim f ( x ) = lim x 4 = +∞ , si osserva che, essendo f (x ) ∼ x 4 , non esiste l' asintoto obliquo;
x→± ∞
x→± ∞
2
f ' ( x ) = 2 x( x − 2) + 2 x 2 ( x − 2 ) = 4 x( x − 2)( x − 1) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2 ,
f ' ( x ) < 0 in (− ∞,0 ) ed in (1,2 ) ⇒ f è decrescent e negli intervalli (− ∞,0 ) , (1,2 ) ,
f ' ( x ) > 0 in (0,1) ed in (2,+∞ ) ⇒ f è crescente negli intervalli (0,1) , (2, +∞ ) ,
x = 0 e x = 2 sono punti di minimo locale e globale con f (0 ) = f (2 ) = 0,
x = 1 è punto di massimo locale con f (1) = 1 ;
0
1
2
−
116
+
−
+
1
0
b)
per
per
per
per
per
f (x ) = α
α <0
α =0
0 <α <1
α =1
α >1
1
2
α ∈ R , dal grafico precedente si deduce che:
l' equazione non ammette soluzioni,
l' equazione ammette due soluzioni,
l' equazione ammette quattro soluzioni,
l' equazione ammette tre soluzioni,
l' equazione ammette due soluzioni.
1
D = (− ∞,−1) ∨ (− 1,+∞ ) ,
,
x +1
x 2 + 3x + 3
f (x ) > 0 ⇒
> 0 ⇒ x > −1 x 2 + 3 x + 3 > 0 ∀x ∈ R , f ( x ) < 0 ⇒ x < −1
x +1
1
lim± f ( x ) = lim± − 1 + ± = ±∞, x = −1 è asintoto verticale,
x→−1
x→−1
0
(
)
lim f x = lim x = ± ∞ ,
y = x + 2 è asintoto obliquo per x → ±∞;
5. f (x ) = x + 2 +
(
x→±∞
)
x→±∞
f ' (x ) = 1 −
1
=
x2 + 2x
,
f ' ( x ) = 0 per x = −2 e x = 0,
(x + 1)2 (x + 1)2
∀x ∈ (− ∞,−2) ∨ (0,+ ∞ ) ,
f ' (x ) > 0
f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ (− 2,−1) ∨ (− 1,0) ,
pertanto f è strettamente crescente negli intervalli (− ∞,−2) , (0,+∞ ) ,
mentre è strettamente decrescente in (− 2,−1) ed in (− 1 − 0) ,
x = −2 è punto di massimo locale , x = 0 è punto di minimo locale , f (− 2 ) = −1, f (0 ) = 3 ;
1
f ' ' (x ) =
, f ' ' ( x ) < 0 in (− ∞,−1), f ' ' ( x ) > 0 in (1,+∞ ) ,
(x + 1)3
allora f è concava in (− ∞,−1) ed è convessa in (1,+∞ ) .
117
y = x+2
−1
6. f ( x ) = 4 log(x + 1) − x 2 + 2
0
D = (− 1,+∞ ) ,
f (0) = 4 log1 + 2 = 2 ,
lim f ( x ) = lim − x 2 = −∞ , essendo f ( x ) ∼ - x 2 allora la funzione non ammette asintoto obliquo,
x→+∞
x→+∞
x→−1+
x→−1+
lim f ( x ) = lim 4 log 0 + = − ∞ , x = −1 è asintoto verticale ;
f ' (x ) =
4
4 − 2x 2 − 2x
− 2x =
,
x +1
x +1
f ' ( x ) = 0 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇒ x = −2 ∉ D, x = 1 ,
4 − 2x 2 − 2x
>0 ,
x +1
f ' ( x ) > 0 in (− 1,1) , f ' (x ) < 0 in (1,+∞ ) ,
x = 1 è punto di massimo locale e globale, f (1) = 4 log 2 + 1 ≅ 3.8;
f ' (x ) > 0 ⇒
f ' ' (x ) = −
118
4
(x + 1)2
− 2 < 0 nel dominio della funzione , pertanto, f è concava in (− 1,+∞ ) .
−1
x 3 + kx 2 + 1
7. f ( x ) =
x 2 − 1
a) f (1) = 0 = lim+ f (x ) ,
x→1
1
x <1
x ≥1
k ∈R ,
,
lim− f ( x ) = lim− x 3 + kx 2 + 1 = 2 + k = 0 per k = −2,
x→1
x →1
la funzione è allora continua in x = 1 per k = −2;
x 3 − 2 x 2 + 1
b) f ( x ) =
x 2 − 1
x <1
x ≥1
lim f ' ( x ) = lim 3x 2 − 4 x = −1 = f −' (1),
x→1−
quindi
3 x 2 − 4 x
, f ' (x ) = x
2
x −1
lim f ' ( x ) = lim
x <1
x >1
x
1
= +∞,
+
x2 −1 0
la funzione non è derivabile in x = 1 e, quindi, x = 1 è un punto angoloso;
x→1−
x 3 − 2 x 2 + 1
c) f ( x ) =
x 2 − 1
x <1
x ≥1
x→1+
x→1+
=
,
, D = (− ∞,+∞)
119
lim f ( x ) = lim x 3 − 2 x 2 + 1 = lim x 3 = −∞, essendo f (x ) ∼ x 3 , allora non esiste l' asintoto obliquo,
x→−∞
x→−∞
lim f ( x ) = lim
x→+∞
f (x ) ∼ x
x→+∞
x →−∞
x − 1 = lim x = lim x = +∞,
2
x→+∞
x →+∞
: è verificata la condizione necessaria per l' esistenza dell' asintoto obliquo, m = 1,
x 2 − 1 − x ⋅ x 2 − 1 + x
−1
−1 −1
= lim
q = lim x − 1 − x = lim
= lim
=
= 0,
x →+∞
x→+∞
x →+∞
x2 −1 + x
x 2 − 1 + x x→+∞ 2 x + ∞
pertanto y = x è asintoto obliquo per x → +∞;
2
per x < 1 f ' ( x ) = 3 x 2 − 4 x, f ' ( x ) = 0 per x = 0, f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ (− ∞,0 ) ed f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ (0,1),
x
per x > 1 f ' ( x ) =
> 0 ∀ x ∈ (1,+∞ ),
2
x −1
quindi f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ (0,1) , f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ (− ∞,0 ) ∨ (1,+∞ )
⇒ x = 0 è punto di massimo locale , f (0 ) = 1, x = 1 è punto di minimo locale,
f (1) = 0;
per x < 1 f ' ' ( x ) = 6 x − 4, f ' ' ( x ) = 0 per x =
per x > 1 f ' ' ( x ) =
(x
−1
2
)
−1 x2 −1
2
2
2
, f ' ' ( x ) < 0 ∀x ∈ − ∞, ed f ' ' ( x ) > 0 ∀x ∈ ,1,
3
3
3
< 0 ∀ x ∈ (1,+∞ ),
2
2
quindi, f ' ' ( x ) < 0 ∀x ∈ − ∞, ∨ (1,+∞ ) , f ' ' ( x ) > 0 ∀x ∈ ,1
3
3
2
2
e, così, f è concava in − ∞, ed in (1,+∞ ) ed è convessa in ,1,
3
3
si può allora concludere che x =
2
2 11
è punto di flesso con f =
.
3
3 27
0
120
2⁄3
1
(
)(
)
8. f ( x ) = e x + 1 ⋅ e x − 3
,
D = (− ∞,+∞ ) ,
x = 0
y = 0
x = 0
x = log 3
,
⇒
,
⇒
x
x
x
x
y = f ( x ) = e + 1 ⋅ e − 3
y = f ( x ) = e + 1 ⋅ e − 3
y = −4
y = 0
(
)(
)
(
)(
)
f ( x ) > 0 ⇒ e x − 3 > 0 ⇒ x > log 3 ≅ 1 ,
f ( x ) < 0 in (− ∞, log 3) ed f ( x ) > 0 in (log 3,+∞ ),
lim f (x ) = lim − 3 = −3 ⇒ y = −3 è asintoto orizzontale per x → −∞,
x→−∞
x→−∞
x→+∞
x→+∞
lim f (x ) = lim e 2 x = +∞, essendo f ( x ) ∼ e 2 x , non esiste l' asintoto obliquo per x → +∞,
(
) (
)
(
)
f ' (x ) = e x e x − 3 + e x e x + 1 = 2e x e x − 1 ,
f ' (x ) = 0 ⇒ e x − 1 = 0 ⇒ x = 0,
f ' (x ) < 0 per x < 0 ⇒ f è strettamente decrescente nell'intervallo (− ∞,0),
f ' (x ) > 0 per x > 0 ⇒ f è strettamente crescente nell'intervallo (0,+∞ ),
pertanto x = 0 è punto di minimo locale e globale con f (0) = −4;
1
f ' ' ( x ) = 2e x e x − 1 + 2e 2 x = 2e x 2e x − 1 , f ' ' ( x ) = 0 per x = log = − log 2,
2
f ' ' ( x ) < 0 per x < − log 2, f ' ' ( x ) > 0 per x > − log 2,
3 5
15
si conclude, così, che x = − log 2 è punto di flesso ed f (− log 2 ) = − ⋅ = − = −3.75.
2 2
4
(
)
(
)
log 3
−3
121
(
)
D = (− ∞,+∞ ) ,
9. f ( x ) = log x 2 + 3 + x − 2 ,
x = 0
x = 0
⇒
y = f ( x ) = log x 2 + 3 + x − 2 y = log 3 − 2 ≅ −1
(
)
,
lim f ( x ) = lim x = m ∞ , f ( x ) ∼ x ⇒ la funzione è un infinito del primo ordine per x → m ∞,
x→m ∞
x →m ∞
inoltre la funzione soddisfa la condizione necessaria per ammettere l' asintoto obliquo (m = 1), ma non quella
(
)
(
)
sufficiente : infatti q = lim f ( x ) − mx = lim log x 2 + 3 + x − 1 − x = lim log x 2 + 3 − 1 = +∞,
x →m ∞
x→m ∞
x→m ∞
pertanto non esiste l' asintoto obliquo;
2x
x 2 + 2x + 3
∆
+
1
=
,
f ' (x ) > 0 ⇒ x 2 + 2 x + 3 > 0
= −2 < 0 ⇒ f ' ( x ) > 0∀x ∈ R
2
2
4
x +3
x +3
f è strettamente crescente nell' intervallo(− ∞,+∞ ) e la funzione, quindi, non ammette punti di estremo locale;
f ' (x ) =
f ' ' (x ) =
(
)
2 x 2 + 3 − 4x 2
(x
2
+3
)
2
=
− 2x 2 + 6
(x
2
+3
)
2
, f ' ' (x ) = 0 ⇒ x 2 − 3 = 0 ⇒ x = ± 3,
f ' ' ( x ) > 0 ⇒ x 2 − 3 < 0 ⇒ ∀x : − 3 < x < 3 , f ' ' ( x ) < 0 ⇒ x 2 − 3 > 0 ⇒ ∀x : x < − 3 ∪ x > 3 ,
(
)
(
) ( 3,+∞),
3 sono punti di flesso, f (− 3 ) = log 6 −
f è convessa in − 3 , 3 ed è concava in − ∞,− 3 ∨
allora x = − 3 e x =
− 3
122
3
3 − 2 ≅ −2, f
( 3 ) = log 6 +
3 − 2 ≅ 1 .4 .
10. a) f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 ,
D = (− ∞,+∞ ) ,
x = 0
x = 0
⇒
3
y = f ( x ) = x − 3 x + 1 y = f (0 ) = 1
,
lim f ( x ) = lim x 3 = m ∞ , f ( x ) ∼ x 3 , pertanto ∃/ l' asintoto obliquo,
x→m ∞
x →m ∞
x + 3 x + 1
f (x ) =
x 3 − 3 x + 1
3
per x < 0
per x ≥ 0
,
3 x 2 + 3
f ' (x ) =
3 x 2 − 3
per x < 0
per x > 0
,
per x < 0 : f ' ( x ) = 3 x 2 + 3 > 0 ⇒ f è strettamente crescente nell' intervallo (− ∞,0 ),
per x > 0 : f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 = 0 per x 2 = 1 ⇒ x = 1, f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 > 0 per x 2 > 1 ossia ∀x : x > 1,
f ' ( x ) < 0 ∀x : 0 < x < 1 ⇒ f è strettamente decrescente nell' intervallo (0,1),
mentre e strettamente crescente nell' intervallo (1,+∞ ),
quindi, x = 0 è punto di massimo locale, x = 1 è punto di minimo locale, f (0 ) = 1, f (1) = −1;
lim f ' ( x ) = lim 3 x 2 + 3 = 3 = f −' (0 ) , lim f ' ( x ) = lim 3 x 2 − 3 = −3 = f +' (0 ),
x→0−
x →0 −
x→0+
x →0 +
allora, x = 0 è punto angoloso;
6 x
f ' ' (x ) =
6 x
per x < 0
⇒
per x > 0
f ' ' ( x ) < 0 ∀x ∈ (− ∞,0 ) e, quindi, la funzione è concava nell' intervallo (− ∞,0 ) ,
⇒
f ' ' ( x ) > 0 ∀x ∈ (0,+∞ ) e, quindi, la funzione è convessa nell' intervallo (0,+∞ ) .
1
1
−1
b) la funzione non verifica le ipotesi del teorema del valore medio nell’intervallo [−1,1] perché, pur
essendo continua in tale intervallo, non è ivi derivabile e si può, allora concludere che x = 0 è un
punto angoloso per la funzione.
123
11. f ( x ) = x +
f (x ) =
x3 + 4
4
x2
D = (− ∞,0) ∪ (0,+∞ ) ,
,
> 0 ⇒ x 3 + 4 > 0 ⇒ x > −3 4 ,
2
x
f ( x ) < 0 ∀x ∈ − ∞,−3 4 , f ( x ) > 0 ∀x ∈ − 3 4 ,0 ∪ (0,+∞ )
(
)
(
)
lim f ( x ) = lim x = m ∞ , y = x è asintoto obliquo per x → m ∞,
x→ m ∞
x →m ∞
lim f ( x ) = lim
x→0
x →0
m
f ' (x ) = 1 −
8
x
f ' (x ) > 0 ⇒
3
=
m
4
x
2
=
x3 − 8
x
x3 − 8
x3
3
4
0+
= +∞ , x = 0 è asintoto verticale ;
2
, ⇒ x 3 − 8 = 0 ⇒ x = 2,
0
⇒ Num > 0 ⇒ x > 2, Den > 0 ⇒ x > 0,
+
−
+
f è strettamente crescente negli intervalli (− ∞,0 ) , (2,+∞ ), f è strettamente decrescente nell' intervallo (0,2 ),
si conclude allora che x = 2 è punto di minimo locale con f (2 ) = 3;
f ' ' (x ) =
24
x4
> 0 ∀x ∈ D ⇒ f è convessa negli intervalli (− ∞,0 ) , (0,+∞ ) .
2
124
(
)
12. f ( x ) = log x + 3 + x − 2 ,
D = (− 3,+∞ ) , f (0) = log 3 + 2 ≅ 3 ,
log( x + 3) − x + 2 per x < 2
,
f (x ) =
log( x + 3) + x − 2 per x ≥ 2
lim f ( x ) = lim log( x + 3) = −∞ , x = −3 è asintoto verticale,
x → −3+
x → −3+
lim f ( x ) = lim x = +∞ , ∃/ l' asintoto obliquo;
x → +∞
x → +∞
1
− x − 2
x + 3 − 1 per x < 2
x + 3 per x < 2
f ' (x ) =
=
,
1 + 1 per x > 2
x + 4
per x > 2
x + 3
x + 3
f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ (− 2,2 ) , f ' (x ) > 0 ∀x ∈ (− 3,−2 ) ∨ (2,+∞ ),
f è strettamente decrescente in (− 2,2 ) mentre è strettamente crescente in (− 3,−2 ) ∨ (2,+∞ ),
lim
x→2
−
−x−2
4
x+4 6
= − = f −' (2 ), lim
= = f +' (2 ) ,
+
x+3
5
5
x →2 x + 3
essendo f −' (2 ) ≠ f +' (2 ) , allora, x = 2 è un punto angoloso ,
x = −2 è punto di massimo locale, x = 2 è punto di minimo locale, f (− 2 ) = 4 , f (2 ) = log 4 ≅ 1.4 ;
1
< 0 per x < 2
−
2
( x + 3)
f ' ' (x ) =
,
1
−
< 0 per x > 2
( x + 3)2
dallo studio del segno della derivata seconda si conclude che la funzione è concava
negli intervalli (− 3,2 ) e (2,+∞ ).
−3
−2
2
125
1
13. f ( x ) = − x 4 + x 3 − 2 ,
D = (− ∞,+∞ ) ,
f (0) = −2 ,
4
f ' (x ) = − x 3 + 3 x 2 = x 2 (− x + 3) ,
f ' (x ) = 0 ⇔ x 2 (− x + 3) = 0 ⇒ x = 0 ∪ x = 3 ,
f ' ( x ) > 0 ∀x : x < 0 ∨ 0 < x < 3 , f ' ( x ) < 0 ∀x : x > 3 ,
f è strettamen te crescente in (− ∞ ,0 ) ed in (0,3) , f è strettamen te decrescent e in (3,+∞ ) ,
allora x = 0 è punto di flesso a tangente orizzontal e, x = 3 è punto di massimo locale e globale
ed f (3) = 19 4 = 4.75 ,
f ' ' ( x ) = −3x 2 + 6 x , f ' ' ( x ) = 0 ⇔ 3 x(− x + 2) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2 ,
f ' ' ( x ) > 0 ∀x : 0 < x < 2 , f ' ' ( x ) < 0 ∀x : x < 0 ∨ x > 2 ,
f è concava in (− ∞,0) ed in (2,+∞ ) , mentre è convessa in (0,2 ) ,
si può affermare, quindi, che x = 0 e x = 2 sono punti di flesso con f (0) = −2 ed f (2) = 2 .
3
−2
126
14. 1.a) f ( x ) = 1 − x e 2 x ,
x = 0
,
y = f (0 ) = 1
D = (− ∞,+∞ ) ,
f ( x ) > 0 nel dominio D eccetto che in x = 1,
y = 0
x = 1
⇒
,
2x
y = f ( x ) = 1 − x e
y = 0
(1 − x ) e 2 x
f (x ) =
( x − 1) e 2 x
x ≤1
x >1
,
(1 − 2 x ) e 2 x
x <1
f ' (x ) =
, f −' (1) = −e 2 , f +' (1) = e 2 ⇒ x = 1 è un punto angoloso,
2x
(2 x − 1) e
x >1
1
1
1
f ' ( x ) = 0 per x = , f ' ( x ) < 0 in ,1 , f ' ( x ) > 0 in − ∞, ed in (1,+∞ ) ,
2
2
2
1
pertanto x = è un punto di massimo locale ed x = 1 è un punto di minimo locale e globale,
2
1 1
f = e , f (1) = 0 ,
2 2
− 4 x e 2 x
x <1
f ' ' (x ) =
, f ' ' ( x ) = 0 per x = 0 , f ' ' ( x ) < 0 in (0,1),
4 x e 2 x
x >1
f ' ' ( x ) > 0 in (− ∞,0 ) ed in (1,+∞ ) , f è concava in (0,1) , mentre è convessa in (− ∞,0 ) ed in (1,+∞ ) ,
allora x = 0 è un punto di flesso con f (0 ) = 1 ;
1
1/2
1
b) la funzione ammette un punto angoloso in x =1 e, quindi , non è ivi derivabile; pertanto il
è D' = (− ∞,1) ∪ (1,+∞ ) . Inoltre, considerato che: dove f è crescente
dominio della f '
(decrescente) f ' è positiva (negativa), dove f è convessa (concava) f ' è crescente (decrescente) e
che nel punto di flesso della f la f ' ammette un punto stazionario, si può tracciare il seguente
grafico della funzione derivata
1
1
127
15. a) f ( x ) =
x 2 − 3x + 2
,
x
D = (− ∞,0) ∪ (0,1] ∪ [2,+∞ ) ,
f ( x ) < 0 in (− ∞,0 ) , f ( x ) > 0 in (0,1) ∪ (2,+∞ ) , f (1) = f (2) = 0 ,
±x
= ±1 , la retta y = 1 è asintoto orizzontale per x → +∞ ,
x→±∞
x →±∞ x
x→±∞ x
la retta y = −1 è asintoto orizzontale per x → −∞ ,
lim f (x ) = lim
lim f ( x ) = lim
x→0
±
x →0
±
x
= lim
2
= ±∞ , la retta x = 0 è asintoto verticale per x → 0 ± ,
0
±
2 x 2 − 3x
− x 2 − 3x + 2
2
f ' (x ) = 2 x − 3x + 2 2
x
3x − 4
, f ' (x ) = 0 ⇒ 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 3 ∉ D ,
2 x 2 x 2 − 3x + 2
f ' ( x ) < 0 in (− ∞,0 ) ∪ (0,1) , f ' ( x ) > 0 in (2,+∞ ) , f è strettamente decrescente in (− ∞,0 ) ∪ (0,1),
=
f è strettamente crescente in (2,+∞ ) , x = 1 e x = 2 sono punti di minimo locale,
3x − 4
−1
3x − 4
2
lim f ' ( x ) = lim
= + = −∞ lim f ' ( x ) = lim
= + = +∞ .
x→1−
x →1− 2 x 2 x 2 − 3 x + 2
x→ 2+
x →2 + 2 x 2 x 2 − 3 x + 2
0
0
y=1
0
y= −1
128
1
2
b) f non è derivabile da sinistra in x = 1, non è derivabile da destra in x = 2; pertanto il dominio
della f ' è D' = (− ∞,0) ∪ (0,1) ∪ (2,+∞) . Inoltre, considerato che, dove f è crescente (decrescente) f '
è positiva (negativa), dove f è convessa (concava) f ' è crescente (decrescente) e che nel punto di
flesso della f la f ' ammette un punto stazionario, si può tracciare il seguente grafico della funzione
derivata:
0
1
2
129
ANALISI MATEMATICA
Ia prova parziale dell’ 8-11-2005
1. Si determini e si disegni, sul piano di Gauss, l’insieme dei numeri complessi che soddisfano
l’equazione: 4 z + 3 − 4i = 5 . Si individui, poi, nell’insieme determinato, il numero w ≠ 0 tale che:
Re(w) = Im(w) .
2. Assegnata la funzione:
3
2 cosx
f (x ) =
− e x + 5
2
3
per − π < x < 0
2
,
per 0 ≤ x < ln 4
3
dopo aver tracciato il grafico della funzione, nell’intervallo − π , ln 4 , se ne determini l’estremo
2
superiore ed inferiore e, se esistono, il massimo ed il minimo evidenziando, anche, gli eventuali
punti di massimo e di minimo.
3. Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione: ln (x + 1) < 1 +
2
.
x
4. Assegnata la funzione:
ln( x + 3)
,
1− x
si determini il dominio della f (x) e se ne studi il segno.
f (x ) =
n
5. Assegnata a n = 3 x 2 + 2 x + 1 , x ∈ R ,
a) dopo aver determinato, per quali valori del parametro reale x , è convergente la serie geometrica:
+∞
∑
n =0
n
3 x 2 + 2 x + 1 ,
se ne scriva la somma per x = − 1 2 ;
101
b) si calcoli, per x = −2 , la somma:
∑a
n
.
n =2
6. Assegnata la successione:
2n k + 3
an = k
, k ∈R e k > 0 ,
5n + n 4
a) si determini il limite di an , al variare del parametro reale k ;
b) si determini, per k =
130
10
, il carattere della serie
3
+∞
∑a
n =1
n
.
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della Ia prova parziale dell’ 8-11-2005
2
2
1 . 4z + 3 − 4i = 5 ⇒ 4( x − iy ) + 3 − 4i = 5 ⇒ (4 x + 3) + i (− 4 y − 4 ) = 5 ⇒ (4 x + 3) + (− 4 y − 4 ) = 25 ⇒
3
x + 2y = 0 ,
2
si ha, quindi, che il luogo dei punti che soddisfa l’equazione assegnata è la circonferenza, passante per
l’origine degli assi cartesiani, di centro C (− 3 4 , − 1) e di raggio r = 5 4 ;
⇒ 16 x 2 + 16 y 2 + 24 x + 32 y = 0 ⇒ x 2 + y 2 +
considerato il generico numero complesso w = x + iy ,
nell’insieme rappresentato dai punti della circonferenza, si
individua quello, non nullo, che soddisfa la condizione
Re(w) = Im(w) , risolvendo il sistema:
3
2
2 7
2
x = − 7 4
x + y + x + 2 y = 0 2 x + x = 0
⇒
⇒
,
2
2
x
,
y
≠
0
y
=
−
7
4
y = x
y = x
−3/2
−2
A
si ottiene così la soluzione non nulla: A (−7/4, −7/4) e
7 7
pertanto, w = − − i .
4 4
3
2 cosx
2. f ( x ) =
− e x + 5
2
3
per − π < x < 0
2
3/2
,
per 0 ≤ x < ln 4
−3π/2
−π
O
−3/2
dal grafico si deduce che:
M = 3/2 per x = −π e x = 0
Inf= −3/2 e non esiste il minimo, poiché
ln 4 ∉ (− 3π 2 , ln 4) .
3 3. ln (x + 1) < 1 +
ln4
2
,
x
−1
α
1
β
O
la disequazione è, quindi, soddisfatta ∀x : −1 < x < α ∨ 0 < x < β .
131
x + 3 > 0
ln( x + 3)
, D=
1− x
1 − x ≠ 0
x > −3
⇒
⇒ D = (− 3,−1) ∪ (− 1,1) ∪ (1,+∞ ) ;
x ≠ ±1
f ( x ) = 0 ⇒ ln ( x + 3) = 0 ⇒ x + 3 = 1 ⇒ x = −2 ,
ln ( x + 3)
f (x ) > 0 ⇒
> 0 , Num > 0 ⇒ ln ( x + 3) > 0 ⇒ x + 3 > 1 ⇒ x > −2 ,
1− x
4. f ( x ) =
Den > 0 ⇒ 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ − 1 < x < 1 ,
−3
−2
−
+
−1
+
1
−
dal grafico si conclude che: f ( x ) < 0 in (− 2,−1) ed in (1,+∞ ) , f ( x ) > 0 in (− 3,−2) ed in (− 1,1) .
+∞
5. a)
∑
n =0
n
3 x 2 + 2 x + 1 ,
la serie geometrica converge se e solo se: − 1 < 3 x 2 + 2 x + 1 < 1 ⇔
x 2 + 2 x < 0
− 2 < x < 0
⇔ −1 < x 2 + 2 x + 1 < 1 ⇔
⇔
, la serie converge, quindi, ∀x : −2 < x < 0 ,
x 2 + 2 x + 2 > 0 (∆ < 0)
∀x ∈ R
per x = − 1 2 , a n
6. a) a n =
=31
2n k + 3
5n k + n 4
10
b) per k =
la serie
3
+∞
serie 2∑
n =1
diverge.
132
1
n2 3
4 ed S =
2n k
4
n
2n 4
∼
4
6n
2n k
5n k
1
1− 3 1 4
101
; b) per x = −2 , la somma:
per 0 < k < 4
per k = 4
per k > 4
∑ a = ∑1 = 100 .
n
n =2
a n → 0 +
, pertanto : a → 1
n
3
2
a n →
5
99
n =0
per 0 < k < 4
per k = 4
;
per k > 4
+∞
∑a
n
, per il criterio del confronto asintotico, ha lo stesso carattere della
n =1
,ossia di una armonica generalizzata con α = 2 3 < 1 , quindi, la serie considerata
ANALISI MATEMATICA
IA prova parziale dell’ 8-11-2006
1. Si determini e si disegni, sul piano di Gauss, l’insieme dei numeri complessi che soddisfano
2
l’equazione: 3 − z = 2 z + 2 z . Si individuino, poi, nell’insieme determinato, i due numeri
complessi w1 e w2 tali che:
Re(w1 ) = Re(w2 ) = 3 .
2. Assegnata la funzione:
e x − 1
f (x ) = x 2 − 2 x
− x + 6
per − ln 2 < x ≤ 0
per
0< x<3
,
per 3 < x ≤ 7
a) se ne determini il dominio e se ne tracci il grafico;
b) si determinino: l’estremo superiore ed inferiore, gli eventuali massimo e minimo
evidenziando, anche, i relativi punti di massimo e di minimo.
3. Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione:
3
x +1 >
2
.
x −1
4. Assegnata la funzione:
x2 − x
f (x ) =
,
ln (3 − x )
se ne determini il dominio e se ne studi il segno.
5. Si determini il carattere delle seguenti serie, scrivendone la somma, quando è possibile:
+∞
a)
∑
n =1
3 n − 2 + 2 −n
2 2n
+∞
;
(n + 3)! ;
b) ∑ 3
n (n + 4)!
n =1
+∞
e −n + n
∑n
c)
n =1
2
+ 3n
.
133
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della IA prova parziale dell’8 -11-2006
2
1. 3 − z = 2 z + 2 z , da z = x + iy , z = x − iy , si ha:
3 − x − iy
2
= 2 x + 2iy + 2 x − 2iy ⇔ (3 − x )2 + y 2 = 4 x ⇔ x 2 + y 2 − 10 x + 9 = 0 ,
x >0
l’insieme dei punti determinato è una circonferenza di centro C (5,0) e raggio r = 4;
per individuare, poi, i due numeri complessi w1 e w2 richiesti, si deve intersecare la circonferenza
x 2 + y 2 − 10 x + 9 = 0 x = 3
,
con la retta x = 3 e si risolve il sistema:
⇒
x = 3
y = ±2 3
ottenendo, quindi, w1 = 3 − 2 3 i e w2 = 3 + 2 3 i rappresentati nel seguente grafico:
w1
w2
x=
=3
2.
3
−ln2
2
O
3
7
−1/2
−1
a) D = (− ln 2,3) ∪ (3,7] ;
b) dal grafico si deduce che: Inf = m = −1 per x = 7 , Sup = 3 e non esiste il massimo, poiché 3 ∉ D .
134
x +1 >
3
3.
2
,
x −1
α
β
O 1
la disequazione è, quindi, soddisfatta ∀x : α < x < 1 ∨ x > β .
x 2 − x ≥ 0
x −x
4. f ( x ) =
, D = 3 − x > 0
ln (3 − x )
ln(3 − x ) ≠ 0
x ≤ 0 ∨ x ≥ 1
⇒ x < 3
⇒ D = (− ∞,0] ∪ [1,2) ∪ (2,3) ;
x ≠ 2
2
f ( x ) = 0 ⇒ x 2 − x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1 , essendo il numeratore della funzione sempre positivo
o nullo nel suo dominio, per determinare il segno della funzione si studia il segno del denominatore, quindi,
f ( x ) > 0 ⇒ ln(3 − x ) > 0 ⇒ 3 − x > 1 ⇒ x < 2 ,
+
0
1
+
−
2
3
dal grafico si conclude che: f ( x ) < 0 in (2,3) , f (x ) > 0 in (− ∞,0) ed in (1,2) .
5.a) Si osserva che la serie può essere scritta come somma di due serie geometrich e convergent i, infatti :
+∞
3 n−2 + 2 −n
∑
2 2n
n =1
+∞
b)
∑
n =1
1
=
9
(n + 3)! ,
n (n + 4)!
3
n
+∞
3
+
4
n =1
∑
+∞
n
1 3
1
1
1
1 1 10
1
+ ⋅
= + =
;
= ⋅ ⋅
8
9 4 1 − 3 4 8 1 − 1 8 3 7 21
n =1
∑
con il criterio asintotico si ha :
3
(n + 3)! =
1
1
∼ 43
3
n (n + 4)!
n (n + 4) n
: la serie,
quindi, è asintotica ad una serie armonica generalizzata con α = 4 3 > 1 e, pertanto, converge;
+∞
e −n + n
∑n
c)
n =1
2
+ 3n
, con il criterio asintotico si ha :
il cui termine generale è
lim
n→+∞
+∞
n =1
3n
n 2 + 3n
∼
n
3n
, si studia ora il carattere della serie,
, utilizzando il criterio del rapporto e si ottiene:
n + 1 3n 1
⋅
= < 1 , si può così affermare, sempre per il criterio asintotico, che la serie
n 3
3 n +1
e −n + n
∑n
n
e −n + n
2
+ 3n
converge .
135
ANALISI MATEMATICA
I prova parziale del 27-11-2007
1.(3) Si calcolino, utilizzando le opportune regole, le seguenti somme:
a
k
1
1
a)
k − ;
2
5
k =0
4
∑
10
b)
∑ (− 1)
n
n =0
1
.
5
2.(6)Assegnata la funzione:
per − π < x < 0
3 cos x
f (x ) = x 2 − 4 x + 3
3
x − 3
per
0< x≤3
per
3< x≤4
,
a) se ne determini il dominio e se ne tracci il grafico;
b) si determinino: l’estremo superiore ed inferiore, gli eventuali massimo e minimo
evidenziando, anche, i relativi punti di massimo e di minimo;
c) si individuino gli intervalli in cui la funzione è concava o convessa.
3.(4)Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione: ln ( x + 2 ) > −2 x 2 − x + 3 .
4.(5)Assegnata la funzione:
f (x ) =
2
x +2
se ne determini il dominio e se ne studi il segno.
−
1
,
2 x −1
5.(5)Si determini il carattere delle seguenti serie:
+∞
a)
(n − 2)! ;
∑ (− 1)
n
n!
n =1
+∞
∑
b)
n =1
n 3 ln n
e 2n
.
6.(5) Assegnata la serie geometrica:
+∞
∑ [log (x
3
n =0
2
+2
)]
n
, x ∈ R,
a) si determini, per quali valori del parametro reale x, la serie converge;
b) si determini il carattere della serie per x = 79 .
7.(5) Assegnata la successione:
an =
qn
, q∈R ,
4 ⋅ 3n
a) si determini il limite di an , al variare del parametro reale positivo q ;
+∞
b) si determini, per q = 2 e q = −4 , il carattere della serie
∑a
n =1
è possibile.
136
n
, scrivendone la somma quando
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della Ia prova parziale del 27-11-2007
4
4
k
k
1
1 4 ⋅ 5 1 − (1 2)5
1 1
1 1
1
k−
−
= 2 − 2 ⋅ 1 − = ;
1. a)
k − =
= ⋅
5 2
1−1 2
2 5 k =0
2
32 16
5
k =0
k =0
4
∑
∑ ∑
10
b)
∑ (− 1)
n =0
n
1 1
=
poiché la somma degli undici addendi uguaglia l’ultimo, essendo i primi dieci
5 5
somma di cinque coppie di numeri opposti.
2.a)
3
−π
−π 2
0
2
3
4
−1
D = (− π ,0 ) ∪ (0,4] ;
b) dal grafico si deduce che: Inf = m = −1 per x = 2 , Sup = 3 e non esiste il massimo, poiché
−π e 0∉ D ;
c) dal grafico si evince anche che la funzione è concava negli intervalli: (− π ,− π 2), (− π 2 , 0) , (3,4)
ed è convessa nell’intervallo (0,3) .
3. ln ( x − 1) > − x 2 + 4 x ,
0 1 α
2
β 4
la disequazione è, quindi, soddisfatta ∀x : 1 < x < α ∨ x > β con 1 < α < 2 e 3 < β < 4 .
137
4. f ( x ) =
2
x +2
−
1
2 x −1
=
(
3 x −4
)(
)
x + 2 2 x −1
,
f (x ) = 0 ⇔ 3 x − 4 = 0 ⇒ x = 16 9 , f (x ) > 0 ⇒
1 1
D = 0, ∪ ,+∞
4 4
(
3 x −4
)(
) > 0,
x + 2 2 x −1
Num > 0 ⇔ 3 x − 4 > 0 ⇒ x > 16 9 , Den > 0 ⇔ 2 x − 1 > 0 ⇒ x > 1 4 ,
pertanto si conclude che la funzione è negativa nell’intervallo (1 4 ,16 9)
(0,1 4) ed in (16 9 , + ∞ ) .
+∞
5.a)
∑ (− 1)
(n − 2 )! ,
n
n!
n =1
+∞
la serie è a termini di segno alternato, si considera allora la serie dei moduli :
+∞
(n − 2 )! = (n − 2 )!
∑ (− 1)n
∑
n!
n =1
, mentre è positiva in
e con il criterio asintotico si ha
n!
n =1
(n − 2 )! ∼
n!
1
n2
,
termine generale di una serie armonica generalizzata con α = 2 > 1 e, pertanto, convergente,
si può così concludere che la serie assegnata, converge assolutamente e, quindi, anche
semplicemente;
+∞
∑
b)
n =1
lim
n→+∞
n 3 ln n
e 2n
, la serie è a termini positivi, utilizzando il criterio del rapporto, si ha:
(n + 1)3 ln(n + 1) ⋅
e
2(n +1)
e 2n
3
n ln n
=
1
e2
< 1 e, quindi, la serie converge.
(
)
6. a) la serie è geometrica di ragione q = log 3 x 2 + 2 > 0 ∀x ∈ R ; essa converge se e solo se:
(
)
log 3 x 2 + 2 < 1 ⇔ x 2 + 2 < 3 ⇒ x 2 < 1 ⇒ x < −1 ∨ x > 1 ,
pertanto, i valori di x per i quali la serie è convergente, sono: ∀x ∈ R : x ∈ (− ∞,−1) ∨ (1,+∞) ;
b) per x = 79 si ottiene q = log 3 81 = 4 > 1 , quindi, la serie è divergente.
0+
per 0 < q < 3
n
q
1
7.a)per n → +∞
→
per q = 3
,
n
4⋅3
4
+ ∞ per q > 3
pertanto la successione converge ∀q : 0 < q ≤ 3, mentre diverge per q > 3;
1
b) per q = 2 ,
4
con S =
n
2
2
è una serie geometrica convergente 0 < q = < 1
3
3
n =1
∑
1 2
1
1
⋅ ⋅
= ,
4 3 1− 2 3 2
1
per q = −4 ,
4
138
+∞
+∞
n
4
4
− è una serie geometrica irregolare, essendo q = − < −1 .
3
3
n =1
∑
ANALISI MATEMATICA
Ia prova parziale del 10-11-2008
1.a) Si determini, utilizzando la definizione, il carattere della seguente serie telescopica:
+∞
∑
1
n −1
n =2
−
1
;
n
9
1
1
b)si calcoli, utilizzando le proprietà delle sommatorie, la somma:
−
+
n
1
n
−
n=2
.
∑
10
∑ (3n − 14)
n =0
2. Assegnata la funzione:
3 cos x
f (x ) = x 2 − 4 x + 3
3 x − 3
per − π ≤ x < 0
per
0< x<3
per
3< x<7
,
a) se ne determini il dominio e se ne tracci il grafico;
b) si determinino: l’estremo superiore ed inferiore, gli eventuali massimo e minimo
evidenziando, anche, i relativi punti di massimo e di minimo; si individuino, inoltre, gli eventuali
punti di estremo locale della funzione.
3
3.Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione: ln ( x + 1) <
.
x−2
4. Si determini il carattere delle seguenti serie:
+∞
a)
(− 1)n (n − 1)! ;
∑
(n + 1)!
n =1
+∞ 3
∑
b)
n =1
n 4 + ln 2 n − 1
n n + e −n
+∞
;
∑
c)
n 4 ln(n + 3)
n =1
e 2n
.
5. Assegnata la successione:
an =
qn
, q∈R ,
2 ⋅ 3 n−1
a) si determini il limite di an , al variare del parametro reale positivo q ;
+∞
b) si determini, per q = 2 e q = −5 , il carattere della serie
∑a
n
, scrivendone la somma quando
n =1
è possibile.
139
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della Ia prova parziale del 10-11-2008
+∞
1.a)
1
1
−
: si calcola la successione {S n } delle somme parziali della serie assegnata,
1
n
−
n
n =2
∑
1
, S3 = 1 −
1
1
1
b)
−
+
n
−
n
1
n=2
10
S2 = 1 −
, ......, S n = 1 −
1
2
3
n
che la serie converge ed ha per somma S = 1;
9
∑
∑ (3n − 14) = 1 −
n =0
1
9
,.... ed essendo lim 1 −
n→+∞
10
10
n =0
n =0
∑ n − ∑14 = 3 + 3 ⋅
+3
2
1
n
= 1 , si può concludere
10 ⋅ 11
35
− 11 ⋅ 14 = .
2
3
2.a)
3
−π
1
0 1
2
3
7
−3
D = [− π ,0) ∪ (0,3) ∪ (3,7 ) ;
b) dal grafico si deduce che m = Inf = −3 per x = − π , Sup = 3 e non esiste il massimo poiché 0 ∉ D ;
si rileva, inoltre che:
x = 1 è punto di minimo locale con f (1) = 0 ed x = 2 è punto di massimo locale con f (2 ) = 1
3
3. ln ( x + 1) <
,
x−2
−1
α
2
β
la disequazione è soddisfatta ∀x : − 1 < x < α ∨ 2 < x < β .
140
+∞
4.a)
∑ (− 1)
n
n =1
(n − 1)! ,
(n + 1)!
la serie è a termini di segno alternato, si considera allora la serie dei moduli :
+∞
+∞
(
(n − 1)!
n − 1) !
(− 1)
=∑
∑
(n + 1)! n=1 (n + 1)!
n =1
n
e, con il criterio asintotico , si ha
(n − 1)! = 1 ∼ 1 ,
(n + 1)! n ⋅ (n + 1) n 2
termine generale di una serie armonica generalizzata con α = 2 > 1 e, pertanto, convergente,
si può così concludere che la serie assegnata, converge assolutamente e, quindi, anche
semplicemente;
+∞ 3
∑
b)
n n + e −n
n =1
3
n 4 + ln 2 n − 1
n 4 + ln 2 n − 1
−n
3
∼
n4
, utilizzando il criterio del confronto asintotico si ha :
n4 3
=
=
1
3 2− 4 3
=
1
n n n
n n +e
n
n
termine generale di una serie armonica generalizzata con α = 1 6 < 1 , pertanto la serie diverge a + ∞;
+∞
∑
c)
n =1
lim
n→+∞
n 4 ln(n + 3)
32
16
, la serie è a termini positivi, utilizzando il criterio del rapporto, si ha:
e 2n
(n + 1)4 ln(n + 4) ⋅
e 2(n+1)
e 2n
n 4 ln (n + 3)
=
1
e2
< 1 e, quindi, la serie converge.
0+
per 0 < q < 3
n
n
q
3 q
3
5.a)per n → +∞
= ⋅ n →
per q = 3
,
n −1
2 3
2
2⋅3
+ ∞ per q > 3
pertanto la successione converge ∀q : 0 < q ≤ 3, mentre diverge per q > 3;
3
b) per q = 2 ,
2
con S =
+∞
n
2
2
è una serie geometrica convergente 0 < q = < 1
3
3
n =1
∑
3 2
1
⋅ ⋅
= 3,
2 3 1− 2 3
3
per q = −5 ,
2
+∞
n
5
5
− è una serie geometrica irregolare, essendo q = − < −1 .
3
3
n =1
∑
141
ANALISI MATEMATICA
Ia prova parziale del 10-11-2009
1.Si calcoli, utilizzando le proprietà delle sommatorie, la somma:
37
∑ (− 1)
19
n
⋅5 +
n =1
∑ 38 n + 2 .
1
n =0
2. Assegnata la funzione:
per − π ≤ x < 0
3 cos x
f (x ) = 2
x − 4 x + 3
per
0< x<3
,
a) se ne determini il dominio e se ne tracci il grafico;
b) si determinino: gli estremi superiore ed inferiore, gli eventuali massimo e minimo
evidenziando, anche, i relativi punti di massimo e di minimo; si individuino, inoltre, gli eventuali
punti di estremo locale della funzione.
3.Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione: ln(x + 1) < e x − 2 .
4. Assegnata la funzione:
f (x ) =
x 2 − 3x − 2 x ,
se ne determini il dominio e se ne studi il segno.
5. Si determini il carattere delle seguenti serie:
+∞ 3
∑
a)
n=1
n5 + n − 1
n n + e −n
+∞
q n ln n
; b)
+ n con q > 0 ,
3
3
n=2
∑
6. Si dispongano in ordine crescente di infinito le seguenti successioni:
4 n , n 3 ln n ,
142
n 2 ⋅ (n + 1)!
, n 3 , (lnn )100 , n! .
(n − 1)!
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della Ia prova parziale del 10-11-2009
37
19
19
(− 1) ⋅ 5 + 1 n + 2 = −5 + 1
1)
n+
38
38
n =1
n =0
n =0
∑
n
∑
19
1 19 ⋅ 20
+ 20 ⋅ 2 =
2
∑ ∑ 2 = −5 + 38 ⋅
n=0
= −5 + 45 = 40 .
2.a)
3
−π
1
0
1
2
3
−3
D = [− π ,0) ∪ (0,3) ;
b) dal grafico si deduce che m = Inf = −3 per x = − π , Sup = 3 e non esiste il massimo poiché 0 ∉ D ;
si rileva, inoltre che:
x = 1 è punto di minimo locale con f (1) = 0 ed x = 2 è punto di massimo locale con f (2 ) = 1 .
3. ln(x + 1) < e x − 2 ,
−1 α
β
−2
la disequazione è soddisfatta ∀x : − 1 < x < α ∨ x > β .
143
x 2 − 3 x − 2 x , D : x 2 − 3 x ≥ 0 ⇒ D = (− ∞,0] ∨ [3,+∞ )
4. f ( x ) =
f (x ) = 0 ⇔
x 2 − 3 x = 2 x ( x ≥ 0 ) ⇒ x 2 − 3 x = 4 x 2 ⇒ 3 x( x + 1) = 0,
si ottiene la soluzione x = 0 x = −1 è soluzione estranea all' equazione x 2 − 3 x = 2 x ,
f (x ) > 0 ⇔
x 2 − 3x > 2 x , si osserva che ∀x < 0 la disequazione è sempre soddisfatta, mentre,
∀x > 3 , si studia la disuguaglianza: x 2 − 3x > 4 x 2 ⇒ −3x 2 − 3x > 0 evidentemente mai verificata
∀x > 3 , si può così concludere che la funzione assegnata risulta positiva ∀x < 0 e negativa ∀x > 3 .
+∞ 3
∑
5.a)
n n + e −n
n =1
3
n5 + n − 1
n5 + n − 1
∼
3
n5
, la serie è a termini positivi, utilizzando il criterio del confronto asintotico, si ha :
=
n5 3
=
1
= n1 6
termine generale non infinitesimo e, quindi. di una serie
n n n
n n +e
n
divergente, pertanto, la serie assegnata diverge a + ∞ ;
b) la serie è la somma di due serie a termini positivi,
−n
+∞
n
+∞
n
32
3 2−5 3
+∞
ln n
q
, si osserva che:
con q > 0 +
3
3n
n =2
n =2
∑
∑
q
è una serie geometrica rispettivamente convergente per ∀q : 0 < q < 3 e divergente per
3
n=2
∑
+∞
∀q : q ≥ 3 , mentre
∑3
ln n
n =2
n
ln n
il cui termine generale risulta infinitesimo n → 0 + può essere
3
ln (n + 1) 3 n
1
studiata utilizzando il criterio del rapporto, si ha: lim
= < 1 e pertanto la serie
n
+
1
n→+∞ 3
ln n 3
converge, concludendo allora si può affermare che la serie assegnata converge ∀q : 0 < q < 3 e
diverge ∀q : q ≥ 3 .
6. Essendo
(lnn )100
144
n 2 (n + 1)!
= n 2 (n + 1) n ∼ n 4 , gli infiniti in ordine crescente sono :
(n − 1)!
, n 3 , n 3 ln n ,
n 2 ⋅ (n + 1)!
, 4 n , n! .
(n − 1)!
ANALISI MATEMATICA
Ia prova parziale del 9-11-2010
8
∑ (− 1)
1. Si calcoli, utilizzando le proprietà delle sommatorie, la somma:
n
n= 0
1
+
4
10
∑ (3n − 14) .
n= 0
2. Assegnata la funzione:
3 cos x
f (x ) = x 2 − 4 x + 3
3 x − 3
per − π ≤ x < 0
per
0< x<3
per
3< x <7
,
a) se ne determini il dominio e se ne tracci il grafico;
b) si determinino: l’estremo superiore ed inferiore, gli eventuali massimo e minimo
evidenziando, anche, i relativi punti di massimo e di minimo; si individuino, inoltre, gli eventuali
punti di estremo locale della funzione;
c) dopo avere giustificato che la funzione è invertibile nell’intervallo ( 3, 7) , si scriva
l’espressione analitica della funzione inversa.
3.Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione: ln ( x + 1) <
3
.
x−2
4.Assegnata la funzione:
f (x ) =
2
x +2
−
1
2 x −1
,
se ne determini il dominio e se ne studi il segno.
5.Si risolva, nel campo complesso, l’equazione:
z 4 − 8iz = 0 .
6. Assegnate le successioni: a n =
n log n − e −2
n2 + 1
si calcolino i seguenti limiti: lim a n ,
n →+∞
,
lim bn ,
n→+∞
bn =
3 − 2n
n3 + n7 + 2
lim n ⋅ a n ,
n→+∞
,
lim 2 − n ⋅ bn .
n→+∞
145
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della Ia prova parziale del 9-11-2010
8
10
10
10
n=0
n =0
1
1
10 ⋅ 11
1
45
n 1
(
)
(
)
−
1
+
3
n
−
14
=
+
3
n
−
14
=
+
3
⋅
−
11
⋅
14
=
+
11
=
.
∑
∑
∑ ∑
1.
n =0
4
4
n =0
4
2
4
4
2.a)
3
1
0 1
−π
2
3
7
−3
D = [− π ,0) ∪ (0,3) ∪ (3,7 ) ;
b) dal grafico si deduce che m = Inf = −3 per x = − π , Sup = 3 e non esiste il massimo poiché 0 ∉ D ,
si rileva, inoltre che:
x = 1 è punto di minimo locale con f (1) = 0 ed x = 2 è punto di massimo locale con f (2 ) = 1 ;
c) la funzione risulta strettamente crescente nell’intervallo (3, 7 ) e, pertanto, ivi invertibile;
si ottiene l’espressione della funzione inversa ricavando x dall’equazione y = 3 x − 3 ,
si ha: y 3 = x − 3 da cui x = f
3
3. ln ( x + 1) <
,
x−2
−1
(y) = y 3 + 3 .
−1
α
2
β
la disequazione è soddisfatta ∀x : − 1 < x < α ∨ 2 < x < β .
146
4. f ( x ) =
2
x +2
−
1
2 x −1
=
(
3 x −4
)(
)
x + 2 2 x −1
1 1
D = 0, ∪ ,+∞
4 4
,
f (x ) = 0 ⇔ 3 x − 4 = 0 ⇒ x = 16 9 , f (x ) > 0 ⇒
(
3 x −4
)(
) > 0,
x + 2 2 x −1
Num > 0 ⇔ 3 x − 4 > 0 ⇒ x > 16 9 , Den > 0 ⇔ 2 x − 1 > 0 ⇒ x > 1 4 ,
pertanto si conclude che la funzione è negativa nell’intervallo (1 4 ,16 9)
[0,1 4) ed in (16 9 , + ∞ ) .
, mentre è positiva in
5. z 4 − 8iz = 0 ,
(
)
z z 3 − 8i = 0 da cui le soluzioni z = 0 ∨ z 3 = 8i ,
si risolve, quindi, l' equazione z 3 = 8i calcolando le radici cubiche di 8i,
π 2kπ
π
π
π 2kπ
essendo 8i = 8 cos + i sin , si ha z k = 2cos +
+ i sin +
con k = 0,1,2
2
2
3
3
6
6
π
π
5
5
da cui : z 0 = 2 cos + ì sin = 3 + i , z1 = 2 cos π + ì sin π = − 3 + i ,
6
6
6
6
3
3
z 2 = 2 cos π + ì sin π = −2i .
2
2
6. lim a n = lim
n→+∞
n +1
2
n→+∞
lim bn = lim
n→+∞
n log n − e −2
n→+∞
3−2
n3 + n7 + 2
lim n ⋅ a n = lim n ⋅
n→+∞
n
n→+∞
n→+∞
n log n
n→+∞
n→+∞
n2 + 1
n
= lim
n→+∞
n +n +2
7
2
log n
= 0+ ,
n→+∞ n
= lim
= −∞ ,
n7
3 − 2n
3
n
−2
= lim
n log n − e −2
lim 2 −n ⋅ bn = lim 2 −n ⋅
n→+∞
= lim
n 2 log n
n2
= lim
n→+∞
= lim log n = +∞ ,
n→+∞
3 ⋅ 2 −n − 1
n +n +2
3
7
= lim
n→+∞
−1
n
7
= 0− .
147
ANALISI MATEMATICA
Ia prova parziale dell’ 8-11-2011
1. Si calcoli la somma della seguente espressione:
20
∑
n= 0
(− 1) 1 +
4
n
+∞
10
n−2
4
∑ (3n − 14) + ∑ 2n
n= 0
n =1
.
3
2. Assegnata la funzione:
e 2 x
f (x ) = x − 1
π
sin x
4
a) si determini il periodo della funzione g (x ) = sin
per
x<0
per
0<x≤2
per
2<x≤6
π
4
,
x;
b) se determini il dominio della funzione f (x ) e se ne tracci il grafico;
c) si determinino: l’estremo superiore ed inferiore, gli eventuali massimo e minimo
evidenziando, anche, i relativi punti di massimo e di minimo; si individuino, inoltre, gli eventuali
punti di estremo locale della funzione.
3.Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione: x 2 − 4 x ≤
4. Assegnata la funzione:
f (x ) =
ln ( x + 2 )
1− 3 x
1
.
x−2
,
se ne determini il dominio e se ne studi il segno.
5. Assegnate le successioni: a n =
n log n − e −3n
n2 +1
bn =
,
3 − 2n
n3 + n7 + 2
,
n
3
cn = 3 ,
n +n
se ne calcoli il carattere.
6. Assegnata la serie:
+∞
n3 + 1
∑ (n + 1)
n =1
2
k
, k ∈R ,
a) si determinino i valori del parametro reale k, per i quali è soddisfatta la condizione necessaria di
convergenza;
7
b) per k = , si stabilisca il carattere della serie.
4
7. Si dimostri la formula di calcolo della somma di n termini in progressione geometrica:
n
∑
k =0
148
qk =
1 − q n +1
.
1− q
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della Ia prova parziale dell’8-11-2011
20
1.
∑ (− 1)
n= 0
+∞
n
1
+
4
10
+∞
n= 0
n =1
4 n −2
∑ (3n − 14) + ∑ 3
2n
10
10
n =0
n =0
∑ n − ∑14 = 4 + 3 ⋅
1
= +3
4
1
10 ⋅ 11
− 11 ⋅ 14 +
2
n
1
1 4 1
1
1 1 9 1
1 113
4
= + 11 + ⋅ ⋅ = + 11 +
=
.
= + 11 + ⋅ ⋅
4 4
4 9 5 4
20 10
9
4
16 9
1−
n =1
9
π
2π
2.a) Il periodo della funzione g (x ) = sin x è T =
=8 ;
4
π 4
b) D = (− ∞,0) ∪ (0,6]
1
16
∑
1
1
2
4
6
−1
c)dal grafico si deduce che M = Sup = 1 per x = 2 , Inf = m = −1 , si rileva, inoltre che:
x = 1 è punto di minimo locale con f (1) = 0
3. x 2 − 4 x ≤
1
.,
x−2
α
2
β
la disequazione è soddisfatta ∀x : α ≤ x < 2 ∨ 2 < x ≤ β .
149
4. f (x ) = ln ( x + 2 ) ,
3
1−
D = (− 2,1) ∪ (1,+∞) ,
x
f (x ) = 0 ⇔ ln ( x + 2 ) = 0 ⇒ x + 2 = 1 ⇒ x = −1 , f (x ) > 0 ⇒
ln (x + 2 )
1− 3 x
> 0,
Num > 0 ⇔ x + 2 > 1 ⇒ x > −1 , Den > 0 ⇔ 1 − 3 x > 0 ⇒ x < 1 ,
pertanto si conclude che la funzione è positiva nell’intervallo (− 1,1)
(− 2,−1) ed in (1,+∞) .
n log n − e −3n
5. lim a n = lim
n → +∞
n +1
2
n → +∞
3− 2
lim bn = lim
n
n log n
= lim
n → +∞
−2
log n
= 0+ ,
n → +∞ n
= lim
n
= −∞ ,
n + n + 2 n→ +∞ n 7
n
n!
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 3)
3
n3
1
3!⋅(n − 3) !
3!
lim c n = lim 3 = lim
=
lim
=
lim
= .
3
3
3
n → +∞
n → +∞ n + n
n→ +∞ n + n
n → +∞
n → +∞ 6 n
6
n +n
n → +∞
3
n → +∞
7
= lim
n
2
, mentre è negativa in
+∞
6. a) La condizione necessaria di convergenza per una serie
∑a
è che a n → 0 .
n
n =1
an =
(n
n3 + 1
)
k
∼
n3 2
2k
→ 0 per 2 k >
3
3
⇒k> ;
2
4
n
+1
b) la serie è a termini positivi, quindi, è regolare;
se k =
2
7
la serie
4
+∞
+∞
∑
n =1
a n ha lo stesso carattere di
n3 2
∑n
n=1
72
+∞
=
∑n
n =1
1
2
:
tale serie è una serie armonica generalizzata con α = 2 > 1 , pertanto, converge.
150
ANALISI MATEMATICA
Ia prova parziale del 7-11-2012
1. Si calcoli, utilizzando le regole delle sommatorie, la somma della seguente espressione:
22
∑
n= 0
(− 1)n 1 −
4
4
1
−
2
n= 0
∑
n −1
.
2. Assegnata la somma dei primi 10 interi dispari 1+3+5+ · · · · +17+19, dopo averla scritta
utilizzando il simbolo di sommatoria, se ne determini il valore.
3. Assegnata la funzione:
2 cosx
per − π < x ≤ 0
f ( x ) = − x + 2
per
0<x<2 ,
per
2< x≤3
x−2
a) se determini il dominio della funzione f e se ne tracci il grafico;
b) si determinino: l’estremo superiore ed inferiore, gli eventuali massimo e minimo
evidenziando, anche, i relativi punti di massimo e di minimo; si individuino, inoltre, gli eventuali
punti di estremo locale della funzione.
4.Si risolva , con il metodo del confronto grafico, la disequazione: − x 2 + 4 ≥ ln x − 2 .
5. Si determini il dominio ed il segno delle seguenti funzioni:
f (x ) =
6.Assegnate
e
x 2 − 4x
1− x
e
, g (x ) = 3
x 2 − 4x
.
1− x
, si scrivano, se esistono , le funzioni composte
.
7. Assegnate le successioni:
an =
− n log n + n (log n )
9
n2 + 1
se ne calcoli il carattere.
,
bn =
4
n 2 k −3
con k ∈ R ,
n
2
cn = .
3 8
n
8. Si determini, per quali valori del parametro reale x , è convergente la serie geometrica:
+∞
∑ (4 − e )
x n
n=0
e se ne scriva la somma per
.
151
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della Ia prova parziale del 7-11-2012
5
1
1
1− −
n −1
n
1+
22
4
4
1
1
1
2
1
1
n 1
32 =
1. ∑ (− 1) − ∑ − = + 2∑ − = + 2 ⋅
= + 2⋅
3
1
4
4
4
2
4
2
n= 0
n= 0
n =0
1− −
2
2
1
33 2 1 11 13
+ 2⋅ ⋅ = + =
.
4
32 3 4 8
8
2.
3.a) D = (− π ,2) ∪ (2,3] ;
2
‒π
0
2
3
‒2
b) dal grafico si deduce che Inf = −2, Sup = M = 2 per x = 0 ,mentre
si rileva, inoltre che: x = 3 è punto di massimo locale con f (3) = 1 .
4. − x 2 + 4 ≥ ln x − 2 ,
α
2
β
la disequazione è soddisfatta ∀x : α ≤ x < 2 ∨ 2 < x ≤ β
152
∉D
,
5. f ( x ) =
x 2 − 4x
1− x
, g (x ) = 3
x 2 − 4x
1− x
,
x 2 − 4x
x 2 − 4x
, D=
≥ ⇒ D = (− ∞,0] ∪ (1,4] , f ( x ) = 0 per x = 0 e x = 4,
1− x
1− x
inoltre f ( x ) > 0 negli intervalli (− ∞,0) e (1,4) ,
f (x ) =
x 2 − 4x
, D = (− ∞,1) ∪ (1,+∞ )
1− x
g ( x ) = 0 per x = 0 e x = 4, g ( x ) > 0 negli intervalli (− ∞,0) e (1,4) ,
g (x ) = 3
mentre g ( x ) < 0 negli intervalli (0,1) e (4,+∞ ) .
6.
;
,
.
7. lim a n = lim
n→+∞
− n log n + n (log n )9
n +1
2
n→+∞
lim bn = lim
n→+∞
n→+∞
;
4
n 2 k −3
= lim
n→+∞
− n log n
n
2
= lim −
n→+∞
log n
= 0− ,
n
+ ∞ per k < 3 2
per k = 3 2 ,
= 4
+
per k > 3 2
0
n
n!
n ⋅ (n − 1)
2
n2
2!⋅(n − 2 )!
2
lim c n = lim
= lim
= lim
= lim
= 0+ .
8
3
8
3
8
3
3
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞ 2n
n
n 8 n→+∞ n
+∞
∑ (4 − e )
8.
x n
, la serie è geometrica con q = 4 − e x , per la convergenza deve verificarsi 4 − e x < 1 ,
n =0
4 − e x < 1
e x > 3
x > ln 3
di conseguenza si risolve il sistema :
⇒
⇒
,
4 − e x > −1
e x < 5
x < ln 5
3
1
pertanto la serie converge ∀x : ln3 < x < ln5 , per x = S = 3 2
.
2
e −3
153
ANALISI MATEMATICA
IIa Prova parziale del 25-01-2006
1. Assegnata la funzione:
f (x ) =
−x
,
ln x − 2
a) si determinino: il dominio ed il segno della funzione, i limiti agli estremi del dominio ed
eventuali asintoti, crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale, concavità e convessità
ed eventuali punti di flesso; si tracci un grafico qualitativo della funzione ;
b) si scriva il polinomio approssimante di Taylor, del secondo ordine, della funzione con centro in
x0 = e .
2.( Assegnata la funzione:
f (x) = x − 2 −
1
,
x
a) si determinino: il dominio, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti;
b) si determinino il massimo ed il minimo ed eventuali punti di massimo e minimo locale della
1
funzione nell’intervallo − 3,− ;
2
3
c) per x > 0 , si calcoli la primitiva della funzione passante per il punto 1, .
2
3. Assegnata la funzione:
2e − x + x + k
f (x) =
sin x cos 2 x
x<0
x≥0
,
k ∈R ,
a) si determini, per quale valore del parametro reale k, la funzione è continua in x = 0 e si verifichi
se, per tale valore di k, la funzione è anche derivabile in x = 0;
b) si dica, giustificando la risposta, se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange
nell’intervallo [−2,2].
4. Dato il numero complesso z = 1 + i 3 ,
1− z
;
2− z
b) dopo aver scritto α in forma trigonometrica, si calcoli e, successivamente, si scriva in forma
a) si calcoli e si scriva in forma algebrica α =
algebrica α 3 .
154
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della IIa Prova parziale del 25-01-2006
( ) (
)
( )
(
)
−x
, D = 0, e 2 ∪ e 2 ,+∞ , f ( x ) > 0 in 0, e 2 , f ( x ) < 0 in e 2 ,+∞ ,
ln x − 2
− x 0−
− e2
lim+ f (x ) = lim+
=
= 0 + , lim f ( x ) = m = ±∞ ⇒ x = e 2 è asintoto verticale,
m
−∞
x→0
x →0 ln x
0
x→e 2
3 − ln x
−x
,
lim f (x ) = lim
= −∞ , ∃/ asintoto obliquo per x → +∞ ; f ' (x ) =
x→+∞
x→+∞ ln x
(ln x − 2)2
1. a) f ( x ) =
(
)
( )
(
)
f ' ( x ) = 0 ⇔ 3 − ln x = 0 ⇒ x = e 3 , f ' (x ) < 0 in e 3 ,+∞ , f ' (x ) > 0 in 0, e 2 ed in e 2 , e 3 ,
(e ,+∞) ed è strettamente crescente negli
intervalli: (0, e ) , (e , e ), x = e è punto di massimo locale con f (e ) = −e ;
ln x − 4
f ' ' (x ) =
, f ' ' ( x ) = 0 ⇔ ln x − 4 = 0 ⇒ x = e , f ' ' ( x ) < 0 in (e , e ) ,
x (ln x − 2 )
f ' ' ( x ) > 0 in (0, e ) ed in (e ,+∞ ) , la funzione è concava nell' intervallo (e , e ) ed è convessa negli intervalli :
(0, e ), (e ,+∞ ) , x = e è punto di flesso con f (e ) = − e 2 ;
la funzione è strettamente decrescente nell’intervallo
2
2
3
3
3
3
3
4
2
4
3
2
2
4
4
2
4
e2
4
e3
4
4
e4
−e3
b) f (e ) = e , f ' (e ) = 2 , f ' ' (e ) =
3
3
( x − e )2 .
, pertanto, T2,e = e + 2 ( x − e ) +
e
2e
1
− x−2−
per x < 0
1
x
, D = (− ∞,0) ∪ (0,+∞ ) ,
2. a) f ( x ) = x − 2 − ⇒ f (x ) =
x
x−2− 1
per x > 0
x
1
lim − x − 2 − = lim − x = +∞ ⇒ la retta y = − x − 2 è asintoto obliquo per x → −∞,
x→−∞
x x→−∞
1
1
infatti lim f ( x ) − (mx + q) = lim − x − 2 − + 2 + x = lim − = 0 + ,
x→−∞
x→−∞
x→−∞ x
x
1
lim x − 2 − = lim x = +∞ ⇒ la retta y = x − 2 è asintoto obliquo per x → +∞,
x→+∞
x x→+∞
1
1
infatti lim f ( x ) − (mx + q) = lim x − 2 − − x + 2 = lim − = 0 − ,
x→+∞
x→+∞
x →+∞ x
x
1
lim f (x ) = lim − = ±∞ ⇒ la retta x = 0 è asintoto verticale per x → 0;
x→0m
x →0 m x
155
1
b) la funzione ammette massimo e minimo nell’intervallo − 3,− per il teorema di Weierstrass:
2
1
1
infatti la f (x ) = − x − 2 − è continua nell’intervallo chiuso e limitato − 3,− ;
x
2
− x2 +1
1
, f ' (x ) = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = −1 nell'intervallo − 3,− ,
2
x
x
1
f ' (x ) < 0 per − 3 < x < −1, f ' ( x ) > 0 per − 1 < x < − , x = −1 è punto di minimo locale e globale,
2
4
4
1 1
f (− 1) = 0, f (− 3) = , f − = , quindi m = 0 per x = −1, M = per x = −3,
3
3
2 2
1
inoltre, x = − è punto di massimo locale ;
2
1
x2
c) l’insieme delle primitive , per x > 0 , è: G(x ) = x − 2 − dx =
− 2 x − ln x + C ,
x
2
3
3
3
la primitiva, passante per il punto 1, , soddisfa la condizione: = − + C ⇒ C = 3 e ha per
2
2
2
f ' (x ) = −1 +
1
2
=
2
∫
x2
equazione: y =
− 2 x − ln x + 3 .
2
2e − x + x + k
x<0
,
3.a) f ( x ) =
sin x cos 2 x
x≥0
k ∈R ,
f (0) = 0 = lim f ( x ) , lim f (x ) = lim 2e − x + x + k = 2 + k = f (0) ⇔ 2 + k = 0 ⇔ k = −2,
x→0+
x→0−
x→0−
f è continua in x = 0 per k = −2,
2e − x + x − 2
f (x) =
sin x cos 2 x
x<0
x≥0
,
− 2e − x + 1
f ' (x ) =
cos 3 x − 2 sin 2 x cos x
x<0
x>0
,
lim f ' ( x ) = lim − 2e − x + 1 = −1 = f −' (0 ) , lim f ' ( x ) = lim cos 3 x − 2 sin 2 x cos x = 1 = f +' (0 ) ,
x→ 0−
f −' 0
( ) = −1 ≠
x→ 0−
f +' 0
( ) = 1⇒
x→ 0+
x → 0+
la funzione non è derivabile in x = 0 che è, quindi, un punto angoloso;
b) la funzione non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo chiuso e limitato
[−2,2] in quanto, pur essendo continua in tale intervallo, per la presenza del punto angoloso in x = 0
non risulta derivabile in tutti i punti dell’intervallo (−2,2) .
1− z
−i 3
− i 3 ⋅ 1+ i 3 3
3
4. a) z = 1 + i 3 , α =
=
=
= −i
;
2 − z 1− i 3
4
4
4
(
)
3
3
3
3
1
11
, ρ=
−i
, cos θ =
, sin θ = − , θ = π ,
4
4
2
2
2
6
3
11
11
3 3
11
11 3 3
3
3
3 3
3
α=
i.
cos π + i sin π , α =
cos π + i sin π =
cos π + i sin π = −
2
6
6
8
2
2
8
2
2
8
b) α =
156
ANALISI MATEMATICA
IIa Prova parziale del 24-01-2007
1.Assegnata la funzione:
f (x ) = 4 x − e 2 x ,
a) si determinino: il dominio della funzione e l’intersezione con l’asse delle ordinate, i limiti agli
estremi del dominio ed eventuali asintoti, eventuali punti angolosi, crescere e decrescere ed
eventuali punti di estremo locale, concavità e convessità; si tracci un grafico qualitativo della
funzione ;
b) si verifichi se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri nell’intervallo [− 1,1] ;
c) si individui, giustificando la risposta, in quale dei due seguenti intervalli: [− 1,1] e [0,1] la funzione
soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange;
1
d) per x < 0 , si determini la primitiva passante per il punto A − 1,− 2 .
2e
2. Assegnata la funzione:
(
)
f ( x ) = ln x 2 − 3 − x + 5 ,
a) si determinino il dominio, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti ed, infine, il più
ampio intervallo, contenente il punto x0 = 2, in cui la funzione è invertibile;
b) si determini il polinomio di Taylor del secondo ordine con centro nel punto x0 = 2 .
(
)3
3. Dopo avere scritto in forma trigonometrica i numeri complessi : α = 1 + 3 i e β = − 3 + i ,
si determinino z1 = α ⋅ β , z 2 =
α
, z3 = α
β
dandone, successivamente, la rappresentazione
anche in forma algebrica.
157
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della IIa Prova parziale del 24-01-2007
− 4 x − e 2 x per x < 0
,
1. a) f ( x ) = 4 x − e 2 x , D = (− ∞,+∞ ) , f (0) = −1 , f ( x ) =
4 x − e 2 x per x ≥ 0
lim f ( x ) = lim − 4 x = +∞ , y = −4 x è asintoto obliquo, per x → −∞ , infatti m = −4 e
x → −∞
x → −∞
q = lim − 4 x − e 2 x + 4 x = 0 ,
x → −∞
lim f ( x ) = lim − e 2 x = −∞ , ∃/ asintoto obliquo per x → +∞, essendo f ( x ) ∼ − e 2 x ,
x→+∞
x→+∞
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (0 ) = −1 ⇒ la funzione è continua in x = 0 e, quindi in tutto il dominio D,
x →0 −
x →0 +
− 4 − 2e 2 x
f ' (x ) =
4 − 2e 2 x
per x < 0
per x > 0
, lim f ' ( x ) = lim − 4 − 2e 2 x = −6 = f −' (0 ) ,
x →0 −
x →0 −
lim f ' ( x ) = lim 4 − 2e 2 x = 2 = f +' (0 ), e da f −' (0 ) ≠ f +' (0 ), si deduce che x = 0 è un punto angoloso,
x →0 +
x →0 +
∀ x < 0 f ' ( x ) < 0 , per x > 0 : f ' ( x ) = 0 per 4 − 2e 2 x = 0 ⇔ e 2 x = 2 ⇔ x = ln 2 ed, inoltre,
(
)
(
)
f ' ( x ) < 0 in ln 2 ,+∞ , f ' (x ) > 0 in 0, ln 2 ,
(
pertanto, la funzione è strettamente decrescente negli intervalli: (− ∞,0 ) e ln 2 ,+∞
(
)
)
ed è strettamente crescente nell’ intervallo 0, ln 2 , risulta così che:
x = 0 è punto di minimo locale con f (0) = −1,
(
)
x = ln 2 è punto di massimo locale con f ln 2 = 4 ln 2 − 2 = 2 ln 2 − 2 ≅ −0.6 ,
− 4e 2 x < 0 per x < 0
f ' (x ) =
, la funzione è, quindi, concava negli intervalli (− ∞,0 ) e (0,+∞ ) ;
− 4e 2 x < 0 per x > 0
2ln2
−1
b) la funzione è continua nell’intervallo [− 1,1] , inoltre:
1
f (− 1) = 4 − e −2 = 4 − 2 > 0 , f (1) = 4 − e 2 < 0 ⇒la funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli
e
zeri nell’intervallo [− 1,1] ;
c) la funzione è continua in entrambi gli intervalli [− 1,1] e [0,1] , è derivabile in (0,1) ma non lo è in
(− 1,1) per la presenza del punto angoloso in x = 0 , pertanto, la funzione soddisfa le ipotesi del
teorema di Lagrange nell’intervallo [0,1] ;
158
∫ (− 4 x − e ) dx = −2 x
1
1 2x
e + C , la primitiva passante per il punto A − 1,− 2
2
2e
1
1
si ottiene risolvendo l’equazione: − 2 = −2 − 2 + C dalla quale si ricava C = 2 e, così, la
2e
2e
1
primitiva cercata è: y = −2 x 2 − e 2 x + 2 .
2
2.a) f ( x ) = ln x 2 − 3 − x + 5 , D = (− ∞,− ln 3) ∪ (ln 3,+∞)
lim f ( x ) = lim − x = m ∞ , non esiste l' asintoto obliquo, infatti m = −1 ,
d)
2x
(
x → ±∞
2
−
)
x →±∞
(
)
(
)
( )
ma q = lim ln x 2 − 3 − x + 5 + x = lim ln x 2 − 3 = ln 0 + = −∞
x → ±∞
lim
x→− 3
(
) ( )
ln (x − 3) = ln (0 ) = −∞ ,
f ( x ) = lim ln x 2 − 3 = ln 0 + = −∞ , x = − 3 è asintoto verticale,
−
x→− 3
lim f ( x ) = lim
x→ 3
x →±∞
+
x→ 3
−
+
2
+
x = 3 è asintoto verticale,
(
)
2x
− x 2 + 2x + 3
−
1
=
, f ' ( x ) < 0 negli intervalli − ∞,− 3 , (3,+∞ ) ,
x2 − 3
x2 − 3
f ' ( x ) > 0 nell'intervallo 3 ,3 ,
f ' (x ) =
(
)
(
)
si ha, quindi, che la funzione è strettamente decrescente negli intervalli − ∞,− 3 , (3,+∞ ) ,
(
)
mentre è strettamente crescente nell'intervallo 3 ,3 ,
si può allora concludere che il più ampio intervallo, contenente il punto x0 = 2,
(
]
in cui la funzione è invertibile, è l' intervallo 3 ,3 ;
b) f ' ' ( x ) =
− 2x 2 − 6
(x
2
−3
)
2
, da f (2) = 3 , f ' (2) = 3 , f ' ' (2) = −14 , si ottiene:
T2, 2 = 3 + 3 ( x − 2 ) − 7 ( x − 2 )2 .
(
)
3
3
5
5
π
π
3. α = 1 + 3 i = 2 cos + i sin = 8 (cos π + i sin π ) , β = − 3 + i = 2 cos π + i sin π ,
3
3
6
6
3 1
11
11
− i = 8 3 − i ,
α ⋅ β = 16 cos π + i sin π = 16
6
6
2
2
3 1
α
π
π
π
π
= 4 cos + i sin = 4
+ i = 2 3 + i , α = ±2 2 cos + i sin = ±2 2 i .
6
6
2
2
β
2 2
(
(
)
)
159
ANALISI MATEMATICA
IIa Prova parziale del 26-01-2009
1.Assegnata la funzione: f ( x ) = e 2 x − 4 x + 1 ,
a)(9) si determinino: il dominio della funzione e l’intersezione con l’asse delle ordinate, i limiti agli
estremi del dominio ed eventuali asintoti, eventuali punti angolosi, crescere e decrescere ed
eventuali punti di estremo locale, concavità e convessità; si tracci un grafico qualitativo della
funzione ;
b)(2) si verifichi se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri nell’intervallo [− 1,1] ;
c)(2) si individui, giustificando la risposta, in quale dei due seguenti intervalli: [− 1,1] e [0,1] la
funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.
2. Assegnata la funzione:
f ( x ) = ln(3 − x ) + 2 x + 5 , ,
a)(6) si determinino il dominio, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti ed, infine, il
più ampio intervallo, contenente il punto x0 = 1, in cui la funzione è invertibile;
b)(3) si determini il polinomio di Taylor del secondo ordine con centro nel punto x0 = 2 .
(
)3
3.(6) Dopo avere scritto in forma trigonometrica i numeri complessi : α = 1 + 3 i e β = − 3 + i ,
si determinino z1 = α ⋅ β , z 2 =
anche in forma algebrica.
160
α
, z3 = α
β
dandone, successivamente, la rappresentazione
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della IIa Prova parziale del 26-01-2009
e 2 x + 4 x + 1 per x < 0
,
1. a) f ( x ) = e 2 x − 4 x + 1 , D = (− ∞,+∞ ) , f (0) = 2 , f (x ) =
e 2 x − 4 x + 1 per x ≥ 0
lim f ( x ) = lim 4 x = −∞ , y = 4 x + 1 è asintoto obliquo, per x → −∞ , infatti m = 4 e
x →−∞
q = lim e
x→−∞
x →−∞
2x
+ 4x + 1 − 4x = 1 ,
lim f ( x ) = lim e 2 x = +∞ , ∃/ asintoto obliquo per x → +∞, essendo f ( x ) ∼ e 2 x ,
x→+∞
x→+∞
lim f (x ) = lim f (x ) = f (0) = 2 ⇒ la funzione è continua in x = 0 e, quindi in tutto il dominio D,
x→0−
x→0+
2e 2 x + 4 per x < 0
f ' (x ) =
, lim f ' ( x ) = lim 2e 2 x + 4 = 6 = f −' (0 ) ,
x →0 −
2e 2 x − 4 per x > 0 x→0−
lim f ' ( x ) = lim 2e 2 x − 4 = −2 = f +' (0 ), e da f −' (0 ) ≠ f +' (0 ), si deduce che x = 0 è un punto angoloso,
x→0+
x →0 +
∀ x < 0 f ' ( x ) > 0 , per x > 0 : f ' ( x ) = 0 per 2e 2 x − 4 = 0 ⇔ e 2 x = 2 ⇔ x = ln 2 ed, inoltre,
(
)
(
)
f ' (x ) < 0 in 0, ln 2 , f ' (x ) > 0 in ln 2 ,+∞ ,
(
pertanto, la funzione è strettamente crescente negli intervalli: (− ∞,0 ) e ln 2 ,+∞
(
)
)
ed è strettamente decrescente nell’ intervallo 0, ln 2 , risulta così che:
x = 0 è punto di massimo locale con f (0) = 2,
(
)
x = ln 2 è punto di minimo locale con f ln 2 = 3 − 4 ln 2 = 3 − 2 ln 2 ≅ 1.6 ,
4e 2 x < 0 per x < 0
f ' ' (x ) =
, la funzione è, quindi, convessa negli intervalli (− ∞,0 ) e (0,+∞ ) ;
4e 2 x < 0 per x > 0
ln 2
b) la funzione è continua nell’intervallo [− 1,1] , inoltre:
1
f (− 1) = 4 − e −2 = 4 − 2 > 0 , f (1) = 4 − e 2 < 0 ⇒la funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli
e
zeri nell’intervallo [− 1,1] ;
c) la funzione è continua in entrambi gli intervalli [− 1,1] e [0,1] , è derivabile in (0,1) ma non lo è in
(− 1,1) per la presenza del punto angoloso in x = 0 , pertanto, la funzione soddisfa le ipotesi del
teorema di Lagrange nell’intervallo [0,1] .
161
2.a) f ( x ) = ln(3 − x ) + 2 x + 5 , D = (− ∞, 3)
lim f ( x ) = lim 2 x = −∞ , non esiste l' asintoto obliquo, infatti m = 21 ,
x → −∞
x → −∞
( )
ma q = lim ln (3 − x ) + 2 x + 5 − 2 x = lim ln (3 − x ) = ln 0 + = −∞
x → −∞
( )
x → −∞
lim f ( x ) = lim ln (3 − x ) = ln 0 + = −∞ , x = 3 è asintoto verticale,
x → 3−
x → 3−
−1
− 3x + 6
, f ' ( x ) < 0 nell' intervallo (− ∞,2 ), mentre f ' ( x ) > 0 nell' intervallo (2, 3) ,
+2=
3− x
3− x
si ha, quindi, che la funzione è strettamente decrescente nell' intervallo (− ∞,2 ) ,
f ' (x ) =
mentre è strettamente crescente nell' intervallo (2, 3),
si può allora concludere che il più ampio intervallo, contenente il punto x 0 = 1, in cui la funzione è invertibile,
è l' intervallo (− ∞,2] ;
−3
−6
, da f (2) = 9 ,
(3 − x )3
3
si ottiene pertanto: T3,2 (x ) = 9 − (x − 2)2 − ( x − 2 )3 .
b) f ' ' ( x ) =
(3 − x )
2
, f ' ' ' (x ) =
f ' (2) = 0, f ' ' (0) = −3, f ' ' ' (0) = −6 ,
2
(
)
3
5
5
π
π
3. α = 1 + 3 i = 2 cos + i sin = 8 (cos π + i sin π ) , β = − 3 + i = 2 cos π + i sin π ,
3
3
6
6
3
α ⋅ β = 16 cos
(
)
3 1
11
11
− i = 8 3 − i ,
π + i sin π = 16
6
6
2
2
(
)
3 1
α
π
π
π
π
= 4 cos + i sin = 4
+ i = 2 3 + i , α = ±2 2 cos + i sin = ±2 2 i .
6
6
2
2
β
2 2
162
ANALISI MATEMATICA
IIa Prova parziale del 3-02-2010
1. Assegnata la funzione:
f ( x ) = 4e − x (1 − x ) ,
a)(9) si determinino: il dominio ed il segno della funzione, i limiti agli estremi del dominio ed
eventuali asintoti, crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale, concavità e convessità
ed eventuali punti di flesso; si tracci, poi, un grafico qualitativo della funzione;
b)(6)dopo avere disegnato il grafico della funzione g ( x ) = f ( x ) nell’intervallo [0,+∞ ) , si verifichi
che il punto x = 1 è un punto angoloso per la g e si indichino, classificandoli, i punti di estremo
della stessa funzione;
c)(2) si individui, giustificando la risposta, in quale dei due seguenti intervalli: [0,1] e [0,2] la
funzione g soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.
2.(7) Assegnata la funzione:
f ( x ) = ln( x + 2) − x + 3 ,
si determinino il dominio, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti ed, infine, il più
ampio intervallo, contenente il punto x0 = 3, in cui la funzione è invertibile.
3.(6) Dopo avere scritto in forma trigonometrica i numeri complessi: α = −1 e β = 3 − i ,
si determinino: α ⋅ β
algebrica.
e
4
α
dandone, successivamente, la rappresentazione anche in forma
4.a)(2) Si enunci e si dimostri il teorema di Fermat;
b)(1) si dia la definizione di funzione concava in un intervallo.
163
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della IIa Prova parziale del 3-02-2010
1.a) f ( x ) = 4e − x (1 − x ) ,
D = (− ∞,+∞ ) , f (0) = 4 , f ( x ) = 0 per x = 1 , la funzione è positiva in (− ∞,1) mentre è negativa in (1,+∞ ) ,
lim f ( x ) = lim − 4 xe − x = +∞ , ∃/ l' asintoto obliquo essendo f ( x ) ∼ − 4 xe − x ,
x→−∞
x→−∞
x→+∞
x→+∞
−x
lim f ( x ) = lim − 4 xe − x = 0 − , y = 0 è asintoto orizzontale per x → −∞ ,
f ' ( x ) = − 4e
(1 − x ) − 4 e − x = 4e − x (x − 2), f ' (x ) = 0 per x = 2 , f ' (x ) > 0 nell'intervallo (2,+∞ ) ,
f ' ( x ) < 0 nell' intervallo (− ∞,2 ), si ha, quindi, che la funzione è : strettamente crescente
nell' intervallo (2,+∞ ) e strettamente decrescente nell' intervallo (− ∞,2 ) ,
si può allora concludere che il punto x = 2 è punto di minimo locale e globale con f (2 ) = −
4
e2
,
f ' ' ( x ) = −4e − x ( x − 2) + 4e − x = 4e − x (3 − x ) , f ' ' ( x ) = 0 per x = 3 , f ' ' (x ) > 0 in (− ∞,3) ,
f ' ' ( x ) < 0 in (3,+∞ ) , la funzione risulta convessa nell' intervallo (− ∞,3) mentre è concava in (3,+∞ )
pertanto x = 3 è punto di flesso per la funzione con f (3) = − 8 e 3 ;
O
1
2
b)
4
O
1
2
g (x ) = f (x )
164
4e − x (2 − x )
g ' (x ) =
4e − x (x − 2 )
0 ≤ x <1
x >1
, lim g ' ( x ) = lim 4e − x (2 − x ) = 4 e = g −' (1) ,
x→1−
x→1−
lim+ g ' ( x ) = lim+ 4e − x ( x − 2 ) = − 4 e = g +' (1) , pertanto il punto x = 1 è un punto di non derivabilità
x→1
x→1
detto angoloso,
osservando il grafico della funzione g, si può concludere che:
x = 0 è punto di massimo locale e globale con g (0) = 4 , x = 1 è punto di minimo locale e
globale con g (1) = 0 , x = 2 è punto di massimo locale con g (2) = 4 e 2 ;
c) la funzione è continua in entrambi gli intervalli [0,1] e [0,2] , è derivabile in (0,1) ma non lo è in
(0,2) per la presenza del punto angoloso in x = 1 , pertanto, la funzione soddisfa le ipotesi del
teorema di Lagrange soltanto nell’intervallo [0,1] .
2.a) f ( x ) = ln( x + 2) − x + 3 , D = (− 2,+∞ )
( )
lim f ( x ) = lim ln ( x + 2 ) = ln 0 + = −∞ , x = −2 è asintoto verticale ,
x → −2 +
x → −2 +
lim f (x ) = lim − x = −∞ , non esiste l' asintoto obliquo, infatti m = −1
x → +∞
x →+∞
ma q = lim ln ( x + 2 ) − x + 3 + x = lim ln ( x + 2 ) = ln (+ ∞ ) = +∞
x →−∞
x → −∞
1
− x −1
−1 =
, f ' ( x ) > 0 nell' intervallo (− 2,−1), f ' ( x ) < 0 nell' intervallo (− 1, + ∞ ) ,
x+2
x+2
si ha, quindi, che la funzione è strettamente crescente nell' intervallo (− 2,−1) ,
f ' (x ) =
mentre è strettamente decrescente nell' intervallo (− 1, + ∞ ),
si può allora concludere che il più ampio intervallo, contenente il punto x 0 = 3, in cui la funzione è invertibile,
è l' intervallo [− 1,+∞ ) .
3. α = cosπ + i sin π ,
β = 3 − i = 2 cos
11
11
π + i sin π ,
6
6
3 1
+ i = − 3 + i ,
2 2
π 2kπ
π 2kπ
ω k = 4 α = cos +
+ i sin +
con k = 0,1,2,3 ,
4
4
4
4
si ottiene, quindi :
5
6
5
6
α ⋅ β = 2 cos π + i sin π = 2 −
π
π
2
2
3
3
2
2
+i
, ω1 = cos π + i sin π = −
+i
,
4
4
2
2
2
4
4
2
5
5
2
2
7
7
2
2
ω 2 = cos π + i sin π = −
−i
, ω3 = cos π + i sin π =
−i
.
4
4
2
2
4
4
2
2
ω 0 = cos
+ i sin
=
165
ANALISI MATEMATICA
IIa Prova parziale dell’1-02-2011
1. Assegnata la funzione:
f ( x ) = 3 log x − 1 −
1 2
x − x,
2
a)(11)si determinino: il dominio della funzione , l’intersezione con l’asse delle ordinate, i limiti agli
estremi del dominio ed eventuali asintoti, crescere , decrescere ed eventuali punti di estremo
locale, concavità e convessità ed eventuali punti di flesso; si tracci un grafico qualitativo della
funzione;
b)(1) si scriva il polinomio di Mac Laurin del secondo ordine relativo alla funzione assegnata.
2. Assegnata la funzione:
e 2 x + 1
−2≤ x≤0
f (x ) =
,
k ∈R ,
− x 3 + x − k
0< x≤2
a)(4) si determini, per quale valore del parametro reale k, la funzione è continua in x = 0 e,
successivamente, si verifichi se la stessa è anche derivabile in x = 0;
b)(3) per il valore del parametro determinato al punto a), si dica, giustificando la risposta, se sono
verificate le ipotesi del teorema degli zeri e del teorema di Lagrange nell’intervallo [− 2, 2] ;
c)(2) si calcolino gli integrali:
∫ (e
2x
)
∫
+ 1 dx ,
− x3 + x + 2
dx .
x
3.(5) Assegnata la serie:
+∞
∑
n =0
n
3 x 2 − 3 , x ∈ R ,
se ne determini l’insieme di convergenza, al variare del parametro reale x, e se ne scriva la somma
per x = 3 .
4. Assegnata la successione:
an =
4n k + ln 2 n
n 5 + 3 −2
n > 0, k ∈ R ,
a)(2) si determini il limite della successione per k = −5 e k = 5;
+∞
b)(2) si determini il carattere della serie
∑a
n
per k > 0 .
n =1
5.a)(1) Definizione di funzione invertibile e definizione di funzione inversa;
b)(2) si enunci e si dimostri il teorema dei valori intermedi.
166
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della seconda prova parziale dell’1-02-11
1. a) f ( x ) = 3 log x − 1 −
lim f ( x ) = lim −
x→m ∞
x →m ∞
D = (− ∞,1) ∪ (1,+∞ ) ,
1 2
x − x,
2
f (x ) ∼ −
1 2
x = −∞ ,
2
1 2
x
2
lim f ( x ) = lim 3 log x − 1 = 3 log(0 + ) = − ∞ ,
x→1m
x →1m
3
− x2 + 4
f ' (x ) =
− x −1 =
,
x −1
x −1
f (0) ≅ 0 ,
e, pertanto, non ammette asintoto obliquo,
x = 1 è asintoto verticale ;
f ' ( x ) = 0 ⇒ x 2 − 4 = 0 ⇒ x = −2, x = 2 ,
− x2 + 4
f ' (x ) > 0 ⇒
>0 ,
x −1
f ' ( x ) > 0 in (− ∞,−2 ) ed in (1,2 ) , f ' ( x ) < 0 in (− 2,1) ed in (2,+∞ ) ,
pertanto, la funzione è strettamente crescente negli intervalli (− ∞,−2 ) , (1,2 ) , mentre
è strettamente decrescente negli intervalli (− 2,1) , (2,+∞ ) e, quindi,
x = −2 , x = 2 sono punti di massimo locale, f (− 2 ) ≅ 3, f (2 ) = −4 ;
di conseguenza x = −2 è punto di massimo globale con M ≅ 3 ;
3
f ' ' (x ) = −
− 1 < 0 nel dominio la funzione è così concava in (− ∞,1) ed in (1,+∞ ) ;
(x − 1)2
−2
1
2
b) f (0) = 0 , f ' (0) = −4 , f ' ' (0) = −4 , pertanto, il polinomio di Mac Laurin relativo alla funzione
è: T2,0 = −4 x − 2 x 2 .
167
2.a) f (0 ) = 2 = lim f ( x ),
lim f ( x ) = lim − x 3 + x − k = −k = f (0 ) ⇔
x →0 −
x→0+
x→0+
k = −2,
la funzione è continua in x = 0 per k = −2,
e 2 x + 1
f (x ) =
− x 3 + x + 2
−2≤ x≤0
0< x≤2
2e 2 x
, f ' (x ) =
− 3 x 2 + 1
−2≤ x <0
0< x≤2
,
lim f ' ( x ) = lim 2e 2 x = 2 = f −' (0 ) , lim f ' ( x ) = lim − 3 x 2 + 1 = 1 = f +' (0 ),
x →0 −
x →0−
la funzione, quindi, essendo f −' (0 ) = 2
x →0+
≠ f +'
(0) = 1,
x →0+
non è derivabile in x = 0 che risulta così essere
un punto angoloso;
b) per k = −2 la funzione risulta continua nell’intervallo [− 2,2] , ma non derivabile nell’intervallo
(− 2,2)
, inoltre, f (− 2 ) = e −4 + 1 > 0 ed f (2) = −4 < 0 , pertanto sono verificate le ipotesi del
teorema degli zeri, mentre non lo sono quelle del teorema di Lagrange;
1
− x3 + x + 2
2
x3
c) e 2 x + 1 dx = e 2 x + x + C ,
dx = − x 2 + 1 + dx = −
+ x + 2 ln x + C .
2
x
x
3
∫(
+∞
3.
∑
n =0
3
)
∫
∫
n
3 x 2 − 3 , la serie è geometrica con ragione q = 3 x 2 − 3 e converge, quindi, se
3 x 2 < 4
x 2 < 64
− 8 < x < 8
x − 3 <1 ossia se − 1 < x − 3 < 1 ⇒
⇒
⇒
,
x 2 > 8
x < −2 2 ∨ x > 2 2
3 x 2 > 2
2
3
2
(
) (
)
allora, si può concludere che la serie converge negli intervalli − 8,−2 2 , 2 2 , 8 ;
1
inoltre, per x = 3, S =
.
4−3 9
4. a) per k = −5 , a n ∼
ln 2 n
n5
→ 0 + , per k = 5, a n ∼
b) col criterio del confronto asintotico, si ha an =
4n 5
→4 ;
n5
4n k + ln 4 n
∼
4
: termine generale di una
n 5 + 3−2
n 5− k
serie armonica generalizzata, allora, la serie converge per 5 − k > 1, ossia per 0 < k < 4 , diverge per
k≥4.
168
ANALISI MATEMATICA
IIa Prova parziale del 31-01-2012
1.(9) Assegnata la funzione:
f (x) =
e−x
,
− x 2 + 2x
si determinino: il dominio ed il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti,
crescere e decrescere ed eventuali punti di estremo locale (non sono richieste le ordinate dei punti di
estremo locale); si tracci un grafico qualitativo della funzione.
2. Assegnata la funzione:
f ( x ) = 3 x 2 − 6 x − x 2 ln 2 x ,
a)(2)se ne determini il dominio e si verifichi che il punto x0 = 1 è un punto stazionario per la
funzione;
b)(2) si determini la natura del punto stazionario x0 = 1 ;
c)(2) si scriva il polinomio di Taylor del terzo ordine T3,1 ( x ) relativo alla funzione assegnata con
centro nel punto x0 = 1 .
3.Assegnata la funzione:
sin 2 x cos x
f (x ) =
e 2 x + 2 x − k
x≤0
x>0
,
k ∈R ,
a)(4) si determini, per quale valore del parametro reale k, la funzione è continua in x = 0 e si
verifichi se, per tale valore di k, la funzione è anche derivabile in x = 0;
b)(2) si dica, giustificando la risposta, se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange
nell’intervallo [−1,2].
4. Dato il numero complesso z = 3 − i ,
z + 2i
a)(2) si calcoli e si scriva in forma algebrica α =
;
z −i
b)(4) dopo aver scritto z in forma trigonometrica, si calcoli ω = z 2 e, successivamente, si
calcolino le radici seconde di ω nell’intervallo [0,2π ) .
5.(3) si calcoli l’integrale
∫
4x
5 3
2
x − x cos x −
dx .
x − 2
6.a)(1) definizione e significato geometrico di derivata di una funzione in un punto;
b)(2) si enunci e si dimostri il teorema dei valori intermedi.
169
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della seconda prova parziale del 31-01-12
e−x
e−x
=
, D = (− ∞,0) ∪ (0, 2) ∪ (2,+∞) ,
− x 2 + 2 x x (− x + 2 )
f ( x ) < 0 ⇒ x 2 − 2 x > 0 , f ( x ) < 0 in (− ∞,0 ) ed in (2,+∞ ) , f ( x ) > 0 ⇒ x 2 − 2 x < 0 , f ( x ) > 0 in (0,2 ) ,
1. f ( x ) =
e −x
= −∞ , non esiste l' asintoto obliquo,
x → −∞
x →−∞ − x 2
e −x
0+
lim f ( x ) = lim
=
= 0 − , y = 0 è asintoto orizzontale,
2
x → +∞
x →+∞ − x
−∞
−x
e
1
1
lim± f ( x ) = lim±
=
= ± = ±∞ , x = 0 è asintoto verticale;
±
x →0
x →0 x(− x + 2 )
2⋅0
0
lim f ( x ) = lim
e−x
e −2
e −2
=
=
= m ∞ , x = 2 è asintoto verticale,
x(− x + 2 ) 2 ⋅ 0 m
0m
lim± f ( x ) = lim±
x→2
f ' (x ) =
(
x→2
e−x x 2 − 2
(x 2 − 2 x )
2
),
(
)
(
)
f ' ( x ) = 0 per x = ± 2 , f ' ( x ) < 0 in − 2 , 0 ed in 0, 2 ,
(
) ( 2 , 2) ed in (2,+∞ ) , allora la funzione è strettamente decrescente
in (− 2 , 0) ed in (0, 2 ) ed è strettamen te crescente in (− ∞,− 2 ) , in ( 2 , 2 ) ed in (2,+∞ ) ,
f ' ( x ) > 0 in − ∞,− 2 , in
pertanto, x = − 2 è punto di massimo locale, x = 2
− 2
0
2
è punto di minimo locale.
2
2.a) f (x ) = 3 x 2 − 6 x − x 2 ln 2 x , D = (0,+∞ ) , f ' (x ) = 6 x − 6 − 2 xln 2 x − 2 x ln x ,
f ' (1) = 0 e, quindi il punto x0 = 1 è un punto stazionario per la funzione;
b) per determinare la natura del punto stazionario si utilizza il test della derivata seconda,
f ' ' (x ) = −2 ln 2 x − 6 ln x + 4 , f ' ' (1) = 4 > 0 da cui si conclude che il punto x0 = 1 è un punto di
minimo locale;
c) f (1) = −3 , f ' (1) = 0 , f ' ' (1) = 4 , f ' ' ' (x ) = −4
T3,1 (1) = −3 + 2( x − 1)2 − ( x − 1)3 .
170
ln x 6
− ed f ' ' ' (1) = −6 ,
x
x
sin 2 x cos x
x≤0
e 2 x + 2 x − k
x>0
3.a) f (x ) =
f (0) = 0 = lim f ( x ) ,
x →0
−
k ∈R ,
,
lim f ( x ) = lim e 2 x + 2 x − k = 1 − k = f (0 ) ⇔ 1 − k = 0 ⇔ k = 1,
x →0+
x →0 +
la funzione è continua in x = 0 per k = 1,
sin 2 x cos x
f (x ) =
e 2 x + 2 x − 1
x≤0
x>0
,
2sinx cos 2 x − sin 3 x
f ' (x ) =
2e 2 x + 2
x<0
,
x>0
lim f ' (x ) = lim 2 sin x cos 2 x − sin 3 x = 0 = f −' (0 ) , lim f ' ( x ) = lim 2e 2 x + 2 = 4 = f +' (0) ,
x → 0−
f −' 0
( )= 0 ≠
x→ 0−
f +' 0 = 4 ⇒
()
x→ 0+
x→ 0+
la funzione non è derivabile in x = 0 che è, quindi, un punto angoloso;
b)la funzione, ovviamente per il valore k determinato al punto a), non soddisfa le ipotesi del
teorema di Lagrange nell’intervallo chiuso e limitato [−1,2] in quanto, pur essendo continua in tale
intervallo, per la presenza del punto angoloso in x = 0 non risulta derivabile in tutti i punti
dell’intervallo (−1,2) .
4. a) z = 3 − i , α =
z + 2i
3+i
=
=
z −i
3 − 2i
(
)(
)
3 + i ⋅ 3 + 2i 1
3 3
;
= +i
7
7
7
3
1
11
, sin θ = − , θ = π ,
2
2
6
5
11
11
5
5
5
z = 2 cos π + i sin π , z 2 = 4 cos π + i sin π , z k = z = 2 cos π + kπ + i sin π + kπ
6
6
3
3
6
6
5
5
11
11
con k = 0,1, , pertanto, z 0 = 2 cos π + i sin π = − 3 + i, z1 = 2 cos π + i sin π = 3 − i .
6
6
6
6
b) z = 3 − i , ρ = 2 , cos θ =
4x
5
5 3
5. x 3 − x 2 cos x −
x dx −
dx =
x
−
2
5
5 5 8
5 3
x dx = x 3 5 dx = x 8 5 =
x ,
8
8
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ x cos x dx = x sin x − ∫ 2 x sin x dx = x sin x + 2 x cos x − 2∫ cos xdx = x sin x + 2 x cos x − 2 sin x ,
4x
x
x−2+2
∫ x − 2 dx = 4∫ x − 2 dx =4∫ x − 2 dx =4 x + 8 ln x − 2 ,
4x
5
e, quindi, x − x cos x −
x − x sin x − 2 x cos x + 2 sin x − 4 x − 8 ln x − 2 + C .
dx =
∫
x −2
8
2
2
5
3
x 2 cos x dx −
2
2
4x
dx ,
x−2
2
5
8
2
171
ANALISI MATEMATICA
IIa Prova parziale del 30-01-2013
1. Assegnata la funzione:
f (x ) = x 3 e − x ,
a) si determinino: il dominio ed il segno della funzione, i limiti agli estremi del dominio ed
eventuali asintoti, crescere, decrescere ed eventuali punti di estremo locale, concavità e convessità
ed eventuali punti di flesso( non sono richieste le ordinate dei punti di flesso); si tracci un grafico
qualitativo della funzione;
b) dopo avere disegnato il grafico della funzione g ( x ) = f ( x ) nell’intervallo [− 1,+∞) , si verifichi
se il punto x = 0 è un punto angoloso per la g e si indichino, classificandoli, i punti di estremo
della stessa funzione sempre nell’intervallo [− 1,+∞) ;
c) si disegni il grafico della funzione f ' (x ) nel suo dominio naturale deducendolo dal grafico della
funzione f (x ) ;
d) si determini la primitiva della f ( x ) = x 3 e − x passante per il punto (0,4) .
2. Assegnata la funzione:
x 4 + 3 x 2 + x + 2 ln 2
f (x ) =
2ln ( x + 2 )
per x < 0
,
per x ≥ 0
a) si determini se la funzione ammette derivata prima e seconda nel punto x = 0;
b) si scriva la definizione di punto di flesso e si verifichi se la funzione lo ammette in x = 0;
c)(2) si scriva il polinomio di Taylor del terzo ordine, relativo alla funzione assegnata, con centro
nel punto x0 = 1 .
+∞
3.(a) Assegnata la serie:
∑
3n k + n 2
n4 + 3
n =1
, k∈R,
se ne studi il carattere per k = 4 e per k = 1/3;
+∞
b) si determini il carattere della serie:
∑ (− 1)
2
n
n =1
3
.
n
4.a) Si determinino e si rappresentino nel piano di Gauss le soluzioni
l’uguaglianza:
(*) z 2 + z
172
2
= i( z − z − 8i ) .
z = x + iy che verificano
1.a) f (x ) = x 3 e − x ,
ANALISI MATEMATICA
Soluzione della seconda prova parziale del 30-01-2013
D = (− ∞,+∞) , f (0) = 0, f ( x ) < 0 in (− ∞,0) , f ( x ) > 0 in (0,+∞) ,
x3 − ∞
lim f ( x ) = lim x 3 e − x = lim
=
= −∞ , ∃/ l' asintoto obliquo,
x → −∞
x→ − ∞
x→ − ∞ e x
0+
lim f ( x ) = lim x 3 e − x = 0 + , quindi, y = 0 è asintoto orizzontal e,
x → +∞
x → +∞
−x
f ' (x ) = x e (3 − x ) , f ' (x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 ,
f ' (x ) > 0 in (− ∞,0) e in (0,3) ⇒ la funzione è strettamente crescente nell' intervallo(− ∞,3) ,
2
f ' (x ) < 0 in (3,+∞) ⇒ la funzione è strettamente decrescente nell'intervallo (3,+∞) ,
x = 3 è punto di massimo locale e globale con f (3) = 27 e 3 ≅ 1.4 ,
(
)
f ' ' (x ) = x e − x x 2 − 6 x + 6 , f ' ' (x ) = 0 ⇔ x = 0 e x = 3 ± 3 ,
(
f ' ' (x ) < 0 negli intervalli (− ∞,0) , 3 − 3 , 3 + 3
(
)(
)
)
(
)
⇒ la funzione è concava negli intervalli (− ∞,0) , 3 − 3 , 3 + 3 ,
(
)(
)
f ' ' (x ) > 0 negli intervalli 0, 3 − 3 , 3 + 3 , + ∞ ⇒ la funzione è convessa negli intervalli 0, 3 − 3 , 3 + 3 , + ∞ ,
pertanto sono punti di flesso x = 0 con f (0) = 0 e x = 3 ± 3 ;
1.4
3
b)dal grafico della funzione f si deduce il grafico della g ( x ) = f (x ) nell’intervallo (− 1,+∞]
e
1.4
−1
Il punto x = 0
non è punto angoloso in quanto g −'
(0)
0
3
= g +'
(0) = 0 , inoltre si osserva che
la g ammette:
minimo m = 0 in x = 0 , massimo M = e in x = −1 , un punto di massimo locale in x = 3 con f (3) ≅ 1.4 ;
c) grafico della funzione derivata f ' ( x) dedotto dal grafico della f ( x) nell'intervallo (− ∞,+∞) :
0
3− 3
3
3+ 3
173
d) y =
∫x e
3 −x
(
)
dx = −e − x x 3 + 3 x 2 + 6 x + 6 + C , per determinare la primitiva richiesta
deve essere soddisfatta la condizione y (0 ) = 4 e si ottiene 4 = −6 + C da cui C = 10 e, quindi,
(
)
y = −e − x x 3 + 3x 2 + 6 x + 6 + 10.
x 4 + 3 x 2 + x + 2 ln 2
2.a) f ( x ) =
2ln ( x + 2 )
f (0 ) = 2 ln 2 = lim f (x ),
x→0
+
per x < 0
,
per x ≥ 0
lim f ( x ) = lim x 4 + 3 x 2 + x + 2 ln 2 = 2 ln 2 = f (0 ) ,
x →0−
x →0 −
allora la funzione è continua in x = 0,
4 x 3 + 6 x + 1
f ' (x ) = 2
x + 2
per x < 0
per x > 0
,
lim f ' (x ) = lim 4 x 3 + 6 x + 1 = 1 = f −' (0 ),
−
x→0
f −' 0
( )=
x →0
f +'
−
(0 ) = 1 ,
x→0
2
= 1 = f +' (0 ),
x →0 x + 2
+
+
pertanto la funzione ammette derivata prima e, quindi, retta tangente, in x = 0 ,
12 x 2 + 6
f ' ' (x ) =
2
−
2
(x + 2 )
per x > 0
per x < 0
,
lim f ' ' ( x ) = lim 12 x 2 + 6 = 6 = f −'' (0 ),
−
−
x→0
lim f ' ( x ) = lim
x →0
lim f ' ' ( x ) = lim −
x →0
+
x →0
+
2
(x + 2)
2
=−
1
= f +'' (0) ,
4
1
essendo f −'' (0) = 6 ≠ f +'' (0 ) = − la funzione non ammette derivata seconda in x = 0
4
b) essendo : per x < 0 f ' ' ( x ) = 12 x 2 + 6 > 0 allora per x < 0 f è convessa, mentre per x > 0 f ' ' ( x ) = −
2
( x + 2 )2
e di conseguenza per x > 0 f è concava, allorae si conclude che x = 0 è punto di flesso per la funzione ;
4
2
2
4
b) per x > 0 f ' ' ' ( x ) =
, f (1) = 2 ln 3 , f ' (1) = , f ' ' (1) = − , f ' ' ' (1) = .
4
3
9
81
(x + 2)
+∞
∑
3n k + n 2
3n 4 + n 2
→ 3 e, quindi, non è soddisfatta la
4
4
n
+
3
n
+
3
n =1
condizione necessaria per la convergenza e così la serie diverge; per k = 1/3, con il criterio asintotico si
3. a)
33 n + n 2
ha:
, la serie è a termini positivi, per k = 4
1
termine generale di una serie armonica generalizzata convergente e, pertanto, la serie
n +3
n2
assegnata converge;
4
+∞
b)
∑ (− 1)
2
n
3
n =1
+∞
∑ (− 1)
n =1
2
n
3
n
, la serie è a termini di segno alterno, non converge assolutamente in quanto
n
+∞
=
∑ 2n serie armonica divergente con 0 < a = 3 < 1 ,valgono, tuttavia, le ipotesi del
n =1
1
3
teorema di Leibniz:
semplicemente .
174
2
3
n
> 0,
2
→ 0 + , la successione è decrescente e, quindi la serie converge
3
n
n
2
3
<0
INDICE
Insiemi. Insiemi numerici.
7 - 20
Sommatoria, fattoriale, coefficienti binomiali, binomio di Newton.
21 - 33
Prerequisiti di geometria analitica. Risoluzione di sistemi di due
equazioni in due incognite.
34 - 36
Richiami di teoria sulle potenze, sulle equazioni e disequazioni, con
esercizi .
37 - 43
Misura degli angoli in radianti. Richiami di teoria sui numeri
complessi, con esercizi.
44 - 64
Funzioni trasformate. Esercizi sulle disequazioni risolte con il
confronto grafico.
65 - 72
Richiami di teoria sulle successioni e sulle serie, con esercizi .
73 - 88
Richiami di teoria sulle funzioni.
89 - 102
Esercizi sulle funzioni.
102 - 111
Esercizi sullo studio di funzione.
112 - 129
Prime prove parziali con soluzioni.
130 - 153
Seconde prove parziali con soluzioni.
154 - 174
ISBN 978-88-908806-2-9
