dE_diviso_dx elettronico

Perdita di energia per ionizzazione del mezzo.
pe , eParametro di impatto : b
ione di massa M, velocita’ v, carica z, energia Eione
in un mezzo di massa A e carica Z
x
Ipotesi di partenza:
Elettroni (quasi) liberi e (quasi) in quiete.
Ione incidente (M,z) con traiettoria rettilinea.
La cessione dell’impulso e’ istantanea (rispetto al tempo di transito) e quindi l’elettrone prende un
impulso pe perpendicolare alla traiettoria.
pe =




 Fdt   edt

ma per il teorema di Gauss   ) = ze/0 = ,   * 2bdx , con  campo

elettrico, componente perpendicolare alla direzione della traiettoria.

1 dt
ze 1 1
E quindi: pe =  e2b * dx
=e
2b dx
 0 2b v

Per la corrispondente energia E ceduta all’elettrone:
2
2
 ze 2  1 2
pe
 2
E=
= 
2
2me
 40  b me v
Indicando con N il numero di eletroni per unita’ di volume nel mezzo ZA, con NA il numero di
Avogadro
E’ N = Z
A
N A . Gli eletroni a cui e’ ceduta l’energia E corrispondente al parametro di impatto b
A
sono in tutto: N 2bdbdx allora:
2
2
B max
 ze 2  2 2 bdb  ze 2  2 2  A
B
dE
 2
 2

  
N 2 = 
Z
N A log max
dx b min  40  v me b
A
bmin
 40  v me
Per Bmax: il tempo medio di interazione non deve superare il periodo di moto (oscillazione)
dell’elettrone nelle sue varie orbite e quindi: Bmax/v< T = 1/ <> ;
Bmax<v/<>
Per b min: dal principio di Heisenberg bmin * pe max ≈h, ma: pe max < 2mev, e quindi
h
b min >
2me v
2
2me v 2
| dE |  ze 2  2 2  A
 2
Z
N A log
 
Infine:
A
h  
dx
 40  v me
con h<> = potenziale medio di ionizzazione del mezzo frenante A: ≈ 11*Z (eV).
O anche
| dE |

d x 
 ze 2

 40
2

2 me
Eione
Z
M 1
 4 N A
log(
 term.corretttivi )
A
me 2 Eione
M 11 * Z (eV )

Formule numeriche pratiche per stime numeriche
E misurate in keV, masse in mg, lunghezze in cm:
| dE |

d x 
 ze 2

 40
2

2me
Eione
Z
M 1
 4 N A
log
=
A
me 2 Eione
M 11 * Z (eV )

1.44 MeVfm
*103*10-13
= z2 (1.442*10-20) 4
grammi
*1000
MeV
*1000
MeV
*10+6
2 *10 6 Eione ( MeV )
Z
2000
(6.02*10+23)
log
=
A *1000
2 Eione * 1000
2000 * M *11 * Z A
100 Eione ( MeV )
z2Z M
log
A Eione
MZ
Per esempio:
1 - protone (M = 1, z = 1), da 5 MeV (Eione), in 12C (A = 12, Z = 6)
158 *1 *1
100 * 5
log
viene dE/ d(x) =
= 70 keV /(mg cm -2)
2*5
6
= 158
2 - spessore di 1 mg/cm2 (= x).
x=
Per il 12C, 2.2g/cm3 si ha che lo spessore e’:
x 10 3

 0.45 * 10-3 cm = 4.5 *10-3 mm = 4.5 m.

2.2