proposta di fattorizzare il numero rsa

PROPOSTA DI FATTORIZZARE
IL NUMERO RSA- 2048
(cercando p tra il 70 % e il 71% della sua radice
quadrata, corrispondente ad un rapporto r = q/p ≈ 2)
Gruppo “B. Riemann
Nardelli Michele, Francesco Di Noto
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we will propose the factoring of the number RSA –
2048, to find p next to 70% of its sqrt (r = q/p ≈ 2 )
Riassunto
In questo lavoro proponiamo ad eventuali matematici interessati,
singoli o come gruppi (Università, Centri di calcolo, ecc., dotati di
computer molto più potenti e veloci dei nostri modesti PC da
scrivania), beninteso gratuitamente, la fattorizzazione del numero
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RSA -2048 (di ben 607 cifre decimali), utilizzando i nostri consigli
(lunghezza di p 309 cifre, e sua posizione molto prossima al 70% della
radice quadrata di N = RSA - 2048). Questo per confermare una
nostra congettura (congettura forte sui numeri RSA) secondo la quale
per numeri semiprimi N =p*q , p ritrova sempre tra il 67% e il
100% di n =√N, con le formule p minimo ≈ 2n/3 e q massimo ≈ 3n/2.
Qui proponiamo un miglioramento, stimando in qualche modo il
rapporto q/p connesso proporzionalmente ad una percentuale di n, si
accorcia ulteriormente il tempo di calcolo. Per RSA 2048 abbiamo
stimato il rapporto in circa 2, al quale corrisponde una percentuale d
prossima al 70% di n, e probabilmente, per il numero RSA -2048,
anche del 71% .
Tutto ciò come una conseguenza della congettura di Goldbach: per
rapporto q/p di 2, la somma di p + q è prossima al doppio della radice
quadrata di n = √N, e quindi 2n = p +q = p + 2p = p + p + p; e ancora,
2n/3 ≈ p ≈ 70% di n o poco più.
In un nostro lavoro precedente (Rif.1) Il numero RSA 2048, abbiamo
stimato (con valori medi) in circa 2 =20/10, con percentuale 70%,
oppure 1,90 = 21/11, percentuale 72%, più probabilmente il 71% come
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media, da provare per prima, il rapporto q/p del numero
RSA – 2048. Tramite la congettura forte per i numeri RSA, con
rapporto q/r ≈ 2 , p si trova molto vicino al 70% di n = √N ;
o al massimo, per maggiore sicurezza, dal 70% al 72% di n. In tali
casi, p, n e q hanno la stessa lunghezza in numeri di cifre (la metà
della lunghezza di n), il che ci permette di accorciare il tempo di
calcolo di circa il 67% previsto per ogni numero RSA di c cifre. Per
esempio, se per un numero RSA si prevedono 100 anni per
fattorizzarlo, con la nostra congettura ce ne vorranno al massimo 33,
comunque ancora poco per mettere in pericolo la crittografia RSA.
Ma stimando in qualche modo il rapporto, sia pure in modo
approssimativo (non conoscendo p e q, che sono proprio i numeri che
vogliamo trovare), si può ancora ridurre sensibilmente ( dal due al tre
per cento in tutto) il tempo di calcolo, cercando solo attorno alla
percentuale di n prevista per quel rapporto, e cercando solo tra i
numeri primi di lunghezza pari alla metà , c/2, della lunghezza di N in
numero c di cifre. Ma anche così, non ci sarebbe ancora pericolo per
la crittografia RSA. Desideriamo essere informati dell’eventuale
fattorizzazione del numero RSA – 2048 tramite questi indizi, per
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confermare ulteriormente la nostra congettura forte, valida e facile
da controllare per i semiprimi piccoli, ma valida anche per quelli
grandi, ovviamente molto più difficili da controllare con quanto
sopra . Tutti i numeri RSA noti (vedi Wikipedia) e già fattorizzati,
hanno p compreso tra il 67% e il 100% di n (Rif.2). Come procedura
pratica, suggeriamo di cominciare la fattorizzazione partendo da
11^307; si troverà p compreso tra 11*10^307 e 12*10^307, essendo
p tra 11…e 12… (sicuramente, pensiamo, tra 11…e 12…seguiti da
307 cifre. In altri lavori (Rif. finali) siamo tornati ancora
sull’argomento della fattorizzazione basandoci su altri punti di vista.
Ora rimaniamo in attesa della fattorizzazione proposta, ricordando
però che i premi per la fattorizzazione di numeri RSA sono stati
ritirati (per il numero RSA 2048 era stato inizialmente previsto un
premio di 200 000 dollari), mentre alcuni premi più piccoli, e per
numeri RSA più piccoli, sono stati effettivamente assegnati agli autori
della fattorizzazione. La Società RSA farebbe bene a ripristinare i
premi, o anche un solo ma sostanzioso premio (per esempio, da 50 000
a 100 000 dollari) , ma questa volta solo per ottimi risultati in grado
di rendere più difficile o addirittura impossibile la violazione,
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allungando notevolmente i tempi di calcolo.
A qualcuno, noi compresi, potrebbe venire prima o poi qualche idea
interessante in tal senso, con tutti i vantaggi sia per i ricercatori ,
interessati al premio, sia per la Società RSA, che non correrà più i
grossi rischi derivati da eventuali ed eccezionali progressi nel campo
della fattorizzazione veloce alla base della crittografia RSA.
Circa l’eventuale fattorizzazione futura tramite i computer quantistici
ancora in fase sperimentale, ricordiamo che essi non danno risultati
istantanei o quasi (qualche secondo o minuto), come spesso si legge in
articoli divulgativi, ma permettono soltanto di ridurre il tempo di
calcolo di 10 000 volte rispetto ai computer tradizionale; e quindi sono
utili solo per numeri RSA che prevedono, per esempio, 10 000 anni
di tempo di calcolo, riducendoli ad un anno. Per tempi di calcolo , per
esempio, di dieci miliardi di anni, i computer quantistici ci metteranno
10^10/10^4 = 10^6 anni, cioè un milione di anni , comunque ancora
troppi per poter violare la crittografia RSA.
Conclusione
Per la fattorizzazione veramente veloce, quindi, se i numeri RSA (e le
chiavi pubbliche, specie se di tipo militare) saranno abbastanza grandi,
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non basteranno nemmeno i futuri computer quantistici, inutili dopo
certe grandezze di N. La soluzione potrebbe essere quindi solo con
buone idee matematiche che limitino fortemente la percentuale di n in
cui cercare p, stimando sempre meglio il rapporto r ≈ q/p, e la
percentuale di n ad esso associata (per es. il 70 % per un rapporto
prossimo a 2). La nostra congettura forte sui numeri RSA è un piccolo
passo in tale direzione (elimina istantaneamente il primo 67% di n) ,
seguito eventualmente dalla suddetta verifica proposta tramite la
percentuale 70%o 71% di n probabilmente valida per RSA 2048, se la
nostra stima di r ≈ 2 fosse stata esatta; il che però è ancora tutto da
verificare con la proposta di cui sopra.
Il nostro scopo non è intanto la violazione della crittografia RSA, ci
mancherebbe; ma solo qualche anche piccolo progresso nella tecnica,
anche probabilistica, della fattorizzazione, ancora ferma ai tempi di
Euclide (testare in successione tutti i numeri primi da 3 a n =√ N, sia
pure con tutte le ancora piccole scorciatoie teoriche e/o informatiche
già note, ma finora con pochi risultati pratici per i numeri RSA e
chiavi pubbliche.
Si spera molto anche nella dimostrazione della congettura di Riemann
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(Nota 1, Devlin) per risolvere il problema, ma non facciamoci illusioni:
probabilmente non serve a tale scopo, o serve a poco (essa riguarda
una lista di numeri primi singoli). Più utili sarebbero invece le piccole
congetture su coppie di primi, come per esempio la congettura di
Goldbach, la congettura dei numeri gemelli, i numeri di Sophie
Germain, e simili, che riguardano coppie di primi, tipo p e q . E lì
che, molto probabilmente, bisognerebbe scavare e cercare “reperti”
interessanti e di valore, come fanno gli archeologi nel loro campo.
Riferimenti
1) “- Numero RSA - 2048: una previsione sulla stima
approssimativa dei suoi fattori p e q – “
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) “I NUMERI RSA : UNA PICCOLA STATISTICA SUI
RAPPORTI r = q/p E RELATIVE OSSERVAZIONI”
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto , Michele Nardelli
3) “I numeri semiprimi e i numeri RSA come loro
sottoinsieme” Francesco Di Noto, Michele Nardelli
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4) “Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N
per una fattorizzazione più veloce”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Gruppo “B.Riemann”)
5)”Connessione tra ipotesi RH e crittografia RSA:
un mito da sfatare”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
6) TEORIA COMPUTAZIONALE DEI NUMERI E
IL PROBLEMA P = NP: i tempi di calcolo per la
fattorizzazione come sottoproblema di P = NP, in particolare
per i numeri RSA con la congettura forte “ p’ primo minimo =
2n/3 ≈ 67% di n = √N”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Gruppo “B.Riemann”)
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Nota 1
Dal libro di Keith Devlin “ I problemi del millennio”
(Longanesi) pag.7 sulla possibile relazione tra metodi di
fattorizzazione ed RH)
“Poiché l’ipotesi di Riemann ci dice moltissimo sui numeri primi,
la sua dimostrazione potrebbe benissimo portarci a un
fondamentale progresso nelle tecniche di fattorizzazione. E
questo non perché in tal caso finalmente sapremo che l’ipotesi è
vera,: infatti, sospettando che lo fosse, sono anni che i
matematici ne studiano le conseguenze.
In effetti, alcuni metodi di fattorizzazione funzionano
presupponendo che essa sia vera…”
Commento: ma la crittografia RSA, RH vera o no, non è
stata ancora violata; quindi l’ipotesi di Riemann non è
ancora pericolosa in tal senso.
Noi pensiamo invece che il pericolo maggiore possa provenire
dalle dimostrazioni di congetture minori (numeri primi
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gemelli, congettura di Goldbac, ecc. come indicato
brevemente anche in questo lavoro, vedi Conclusione)
Nota 2
(in “Goldbach e le altre ipotesi tutte da dimostrare”, su “Il
Sole – 24Ore del 20 maggio 2000)
“Secondo il prof. Bottazzini, invece:
“Il problema della scomposizione di un numero in fattori sta in
Np, ma non si sa se stia anche in P (la risposta è positiva se l’
ipotesi di Riemann è vera”
Commento: noi riteniamo vera l’ipotesi di Riemann (vedasi
relativi lavori su questo sito), e anche la possibilità che il
problema della scomposizione di numeri in fattori stia in P,
con qualche possibile relazione tra le due cose, ma (ancora)
non molto pericolosa per la crittografia RSA vedi questa nota
e la precedente.
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