numero primo di 17 milioni di cifre

Recente notizia sulla scoperta di un
numero primo di 17 milioni di cifre
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
Abstract
News about discovery of a prime numbers with 17 milions of decimal digit, by
Curtis Cooper
Riassunto
Recente notizia della scoperta di un numero primo di 17 milioni di cifre
da parte del matematico americano Curtis Cooper.
Recentemente è stata data notizia della suddetta scoperta, e che riportiamo
integralmente, seguita poi da un nostro commento
Dal sito: www.youscience.it/news/news-math/205-scoperto-il-numero-primo-piugrande-mai-calcolato - 61k
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Scoperto il numero primo più grande mai calcolato
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Categoria: Matematica
Data pubblicazione
Scritto da Andrea Sordano
Visite: 269
Il matematico Curtis Cooper, attualmente professore alla University of Central Missouri, è il
protagonista di un'impresa matematicamente eroica. Dopo quattro anni di ricerche e di
elaborazioni, un equipe di matematici da lui coordinata è riuscita a scoprire il nuovo numero
primo più grande mai conosciuto.
Il progetto, nel cui ambito è stata effettuata questa ricerca, si chiama GIMPS (Great Internet
Mersenne Prime Research). Si tratta di una rete di computer che sfruttano le potenzialità del
calcolo distribuito (allo stesso modo di BOINC) per il calcolo di numeri che superano di gran
lunga il milione di cifre. Il numero scoperto da Cooper ne ha infatti 17.425.170 e fa parte del
gruppo dei numeri di Mersenne.
Fanno parte di questo gruppo speciale tutti quei numeri primi esprimibili da una potenza di 2
sottratta di 1 (2n-1). Il primo numero di questa sequenza è 3 (22-1) mentre quello appena
scoperto è uguale a 255885161 - 1 : un numero talmente grande che se dovessimo scriverlo con
cifre di un centimetro di dimensione occuperemmo una superficie di 170 km di lunghezza.
Oltre alla fama, la scoperta frutterà a Curtis Cooper un premio di 3000 dollari. Dopo tutto
seppur scoperte di questo genere potrebbero essere considerate inutili, sono di vitale
importanza nei sistemi di crittografia digitale. Per questo motivo la Electronic Frontier
Foundation ha già messo in palio un premio di 150 mila dollari a colui che scoprirà un
numero primo da almeno 100 milioni di cifre: uno strumento simile risulterebbe infallibile a
qualsiasi attacco informatico. “
Nostro commento:
Come tutti gli altri numeri primi di Mersenne, tranne il 3 iniziale, anche questo
numero è di forma 6k +1, poiché le potenze di 2 con esponente dispari sono
di forma 6k + 2 alla quale, sottraendo 1 dalla formula per i numeri di
Mersenne, abbiamo 2^n +2 -1 = 6k + 1. Le potenze pari di 2 invece sono di
forma 6k - 2, e sottraendo 1 abbiamo 6k -2 -1 = 6k – 3, che è divisibile per 3 e
quindi non può essere mai primo.
(Ricordiamo che nei primi di Mersenne i numeri primi p sono nell’esponente, così abbiamo
potenziali infiniti numeri di Mersenne. Poiché p è sempre dispari, le potenze dispari p di 2
possono creare numeri primi, sottraendo un’unità (cioè 1), poiché queste potenze dispari di 2
sono della forma 6k + 2, togliendo 1 otteniamo 6k + 2 – 1 = 6k + 1, che è una delle forme dei
numeri primi (l’altra è 6k – 1). Questo perché i numeri di Mersenne, eccetto per il numero 3
iniziale, sono tutti della forma 6k + 1. Le potenze pari di 2 sono, invece, della forma 6k – 2 e
2
sottraendo adesso 1, otteniamo 6k – 2 – 1 = 6k – 3, l’altra forma dei numeri primi, ma in tale
caso sono tutti multipli di 3 e quindi non possono essere primi, eccetto il 3 iniziale).
Facciamo qualche esempio, con una Tabella
2^n con n
dispari
2^1
2^3
2^5
2^7
2^9
…
6k +2
2^n con n
pari
2^2
2^4
2^6
2^8
2^10
6k – 2 -1
6k -3
4
8
32
126
512
6k +2 -1 =
6k+1
3
7
31
127
511=7*73
4-1
16 -1
64 -1
256 - 1
1024 -1
3
15 =3*5
63 =3*21
255 =3*85
10023=3*341
…
Non primo
…
…
…
…
Nella quale i numeri di Mersenne, in base alla loro formula e alla loro forma,
sono quelli nella terza colonna, evidenziata in blu. Nell’ultima colonna, i numeri
evidenziati in viola, costeggiano la serie di Fibonacci, saltandone però qualcuno.
Per esempio due, almeno in questa fase iniziale:e:
numeri in viola
3, 5,
21,
85 ≈ 89
341≈ 377
numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 34, 55, 89, 144, 233. 377
(in viola quelli che coincidono, anche parzialmente: in tal caso solo la prima
cifra); ma questo lo vedremo meglio in un altro lavoro in preparazione (“Le
potenze di 2 e i numeri di Fibonacci”).
Circa invece il riferimento finale alla crittografia RSA , sembra però ancora
prematuro un uso di questi enormi numeri primi.
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Va bene che i numeri con poche centinaia di cifre non sono più considerati
sicuri, per via della loro già avvenuta fattorizzazione in pochi mesi, e quindi la
società RSA pensa di sostituirli già dal prossimo anno con numeri RSA - 2048
(con “sole” 617 cifre decimali), per la cui fattorizzazione occorrerebbe, in teoria,
un tempo di calcolo pari quasi all’età dell’universo (15 miliardi di anni).
È pur vero anche che con la nostra congettura forte sui numeri RSA possiamo
ridurre questo tempo a “soli” 5 miliardi di anni , cioè ad un terzo del previsto
(questo perché il rapporto massimo r =q/p per i numeri RSA è 2,25, al quale
corrisponde una percentuale minima, per p, del 67%, rispetto ad n =√N dove N
è il numero RSA = p*q). Per tutti i numeri RSA finora usati, quindi, p è almeno
il 67% di n, eliminando il 67% di tempo di calcolo e cercando p nel 33% tra
67% e 100% . Per i numeri primi gemelli o molto vicini, quindi con differenza
4 , o anche 6 , p si trova al 99,999…% e quindi il loro prodotto è facilmente
fattorizzabile a ritroso, a partire da n, e p (nel caso dei gemelli) è la parte intera
della loro radice quadrata. Per esempio 101 *103 = 10403 , con n =101,99, in
base alla nostra “ipotesi percentuale” (Riferimenti finali) alla quale rimandiamo.
Per cui si sconsiglia di usare numeri primi gemelli o molto vicini per formare
numeri RSA, molto grandi, il principio è sempre lo stesso, per via dell’algoritmo
di fattorizzazione di Fermat in cui p = s - d e q = s + d , dove d è la
semidifferenza ed s la semisomma di p e q, e quindi c’entra la congettura di
Goldbach (sul Web c’è già qualche algoritmo di fattorizzazione per numeri RSA
basato proprio sulla congettura di Goldbach).
Quindi, con numeri RSA – 2048 oppure anche e meglio RSA – 4096, la
crittografia RSA può andare avanti bene ancora per molto tempo.
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Numeri ancora più grandi potrebbero invece servire dopo l’avvento dei futuri
computer quantistici (ancora in fase di sperimentazione), in grado di ridurre i
tempi di calcolo di 10 000 volte. Qualcuno dice anche di 1015 volte, in ogni
caso basterebbero numeri RSA così grandi da ripristinare, pur con i pericolosi
computer quantistici, i tempi di calcolo attuali necessari per la sicurezza
crittografica .
Per esempio, per RSA - 2048 , i 15 miliardi di anni previsti attualmente,
tradotti in giorni, sono 5 475 000 000 000, che con i computer quantistici
potrebbero ridursi a 5 475 000 000 000/ 10000 = 547 500 000 giorni = 1 500 000
anni circa, ma sempre ancora molti per violare la crittografia RSA. Ma se è
vera la riduzione di 15 ordini di grandezza ( e cioè 1015 volte), avremmo
5 475 000 000 000/ 1 000 000 000 000 000 = 0,005475 giorni, cioè appena qualche
secondo.
In questo caso sì che occorrerebbero numeri primi molto grandi, magari non
ancora di qualche milione di cifre come quello appena scoperto, ma molto vicini
(centinaia di migliaia di cifre), saranno comunque i tecnici a calcolarli per
ripristinare gli attuali tempi di calcolo e rendere inutili anche i computer
quantistici.
Inoltre, l’enorme difficoltà pratica di maneggiare al PC sia pure
quantistico numeri primi così grandi e loro prodotti (con circa il doppio di cifre :
per esempio un numero RSA -2048 di 617 ha due fattori primi di (617+1)/2 =
309 cifre ciascuno), forse scoraggerebbe qualsiasi hacker che voglia provarci.
Solo allora la crittografia RSA potrebbe dirsi veramente sicura. A meno che
qualche lampo di genio scopra per via teorica un nuovo modo di fattorizzazione
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velocissima, che la renderebbe inutile e non più utilizzabile. Ma è difficile…
Qualcuno pensa ancora che una futura dimostrazione dell’ipotesi di Riemann
possa servire a tale scopo, ma non lo crediamo affatto. Al massimo (e non è per
niente sicuro nemmeno questo) essa potrebbe fornire un infinito elenco dei
numeri primi successivi , ma non dei loro prodotti (cioè una facile tavola
pitagorica infinita, dove all’incrocio tra p e q comunque grandi si potesse
trovare N, e conoscendo N, procedere al contrario: trovare p e q nelle rispettive
righe e colonne).
Conclusione
Quindi, alla luce di quanto sopra, fanno bene i matematici teorici dei numeri
primi a cercare e trovare, incentivati da adeguati premi in denaro, numeri
primi di tale grandezza.
Attualmente sono di scarsa utilità , ma con l’avvento dei futuri computer
quantistici ormai prossimi, questione di qualche anno, e tali numeri
primi super titanici (quelli titanici sono quelli di almeno 1 000 cifre) potrebbero
essere finalmente utili, e averne già una buona “scorta” potrebbe essere anche
molto redditizio (fornendoli su richiesta a società di crittografia, ovviamente
dietro adeguato compenso…). Quindi tale ricerca non sarebbe affatto così
inutile e peregrina come si potrebbe pensare frettolosamente nel leggere notizie
di tali scoperte.
Riferimenti
Tutti gli articoli sui numeri RSA e sulla fattorizzazione veloce, anche come
6
problema P o NP, pubblicati sul nostro sito.
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