Raccolta tracce

Prima prova di esonero di Geometria 3
14/11/14
Es. 1 Si determini un’equazione cartesiana dell’iperpiano ⌃ di RP4 passante per
il punto [0, 0, 0, 0, 1] e contenente il piano ⇡ di equazioni
⇢
x2 2x5 = 0
⇡:
x4 + x5 = 0.
Si determinino inoltre quattro punti proiettivamente indipendenti P1 , P2 , P3 , P4
tali che risulti
⌃ = [P1 , P2 , P3 , P4 ].
Es. 2: Sia S2 il piano geometrico proiettivo reale, ottenuto dal piano Euclideo
R con l’aggiunta della retta impropria.
Sia C la circonferenza di R2 di centro C = (1, 0) e raggio R 6= 1. Siano A e B i
punti di intersezione di C con l’asse x del riferimento cartesiano standard di centro
O = (0, 0).
2
a) Stabilire per quali valori di R risulta
(O C A B) < 0.
b) Sia ! : C ! C l’involuzione avente A e B come punti uniti.
Determinare un’equazione di ! in un sistema coordinato di C.
Considerato il punto P = (1, R), si verifichi che le rette [A, P ] e [A, !(P )] sono
perpendicolari.
Seconda prova di esonero di Geometria 3
13/1/15
Es. 1 Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si determini un’equazione della parabola avente vertice V (1, 1), ivi tangente alla
retta t : y = x e avente F (2, 0) come fuoco.
Es. 2: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
È data una quadrica Q di S3 , reale, a punti reali, di rango 4. Si classifichi Q
sapendo che i piani ⇡X1 e ⇡Y1 sono propri e paralleli in E3 ed esiste un punto proprio
reale P 2 Q tale che la conica CP = Q \ ⇡P ha equazioni
⇢ 2
x
y 2 + 2y 2x = 0
CP :
.
3x + y + 4z + 2 = 0
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
13/1/15
Es. 1: Posto A = [1, 0, 0, 1] e B = [0, 1, 1, 0], si considerino le seguenti rette di
RP3 :
⇢
x1 + x4 = 0
r = [A, B], s :
.
x2 x3 = 0
a) Determinare la posizione reciproca di r e s.
b) Stabilire che l’applicazione
! : r ! F(s)
che associa ad ogni punto P 2 r il piano !(P ) contenente s e passante per P , è ben
definita ed è una trasformazione proiettiva.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
a) Si scriva l’equazione del fascio di parabole F aventi vertice V (1, 1) ed ivi
tangenti alla retta t : y = x.
b) Si determini la parabola di F avente F (2, 0) come fuoco.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 . Si classifichi la quadrica di S3 di equazione
Q : x2 + y 2 + 2xy + 2xz + 2yz + 2x = 0
e se ne determini il centro.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
28/1/15
Es. 1: Sia S2 il piano geometrico proiettivo reale ottenuto dal piano euclideo
R2 con l’aggiunta della retta impropria.
Si verifichi che esiste una ed una sola proiettività
! : F(X1 ) ! F(X1 )
tale che per ogni punto P = (a, b) 2 R2 , posto P 0 = (a + 1, b + 1), risulti
!([X1 , P ]) = [X1 , P 0 ].
Si determini inoltre !(i1 ).
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si scriva l’equazione della conica C tangente nell’origine all’asse y, passante per
P (2, 1) e avente centro in C(2, 0). Si classifichi C.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
È data una quadrica reale Q a punti reali, di rango 4, la cui conica all’infinito
C1 ha equazioni
⇢
kx2 y 2 2z 2 + 2xy = 0
C1 :
t=0
dove k 2 R.
a) Stabilire per quali valori di k Q è un ellissoide.
b) Stabilire per quali valori di k Q è un paraboloide; dire di che paraboloide si
tratta.
c) Detto C il centro di Q, stabilire nei casi k = 2 e k = 1 se la retta [C, Z1 ]
è tangente a Q.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
11/2/15
Es. 1: Sia S2 un piano geometrico proiettivo reale e sia k un fissato sistema
coordinato. Si considerino le rette r = [A, B], s = [A0 , B 0 ] dove
k(A) = [0, 1, 0], k(B) = [0, 1, 1], k(A0 ) = [1, 0, 0], k(B 0 ) = [1, 0, 2].
Detto X il punto di intersezione tra r ed s, mostrare che l’applicazione
!:r!s
che associa ad ogni punto P 2 r il punto !(P ) 2 s tale che
(X A0 B 0 !(P )) = 3 (X A B P )
è una trasformazione proiettiva. Stabilire se si tratta di una prospettività.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano affine reale A2 con l’aggiunta della
retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si classifichi la conica C di equazione
x2 + 2y 2
2x
8y + 8 = 0
e se ne determini il centro C.
Considerata inoltre la retta r di equazione r : y = 2, si determinino i punti propri
P 2 r per cui le rette tangenti condotte da P a C sono reali e distinte.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : x2 + z 2 + xz + y = 0.
Si determinino inoltre le equazioni delle rette che sono tangenti a Q nell’origine e
sono contenute in un piano principale di Q.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
15/4/15
Es. 1: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
⇢
x y=0
Si considerino il fascio di piani F avente per asse la retta r :
,
3x + y + z = 0
⇢
x + y 4z = 0
e la retta s di S3 di equazioni s :
.
t=0
Mostrare che l’applicazione ! : F ! s definita da
!(↵) = A1 ,
dove A1 denota la direzione perpendicolare ad ↵ è ben definita ed è una trasformazione proiettiva.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano affine reale A2 con l’aggiunta della
retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si determini un’equazione della conica C che ammette come fuochi l’origine ed il
punto F (2, 0) e passa per il punto P (1, 1). Si classifichi C.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : x2 + y 2
2xy
z = 0.
Si verifichi inoltre che ogni piano proprio di E3 parallelo al piano x = 0 interseca Q
in una parabola e si descriva il luogo dei centri di tali parabole.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
4/6/15
Es. 1: Sia S2 = R2 [ i1 il piano geometrico proiettivo reale, ottenuto dal
piano affine reale R2 con l’aggiunta della retta impropria. Si considerino il sistema
coordinato in S2 dedotto dal riferimento ortonormale standard di R2 ed i punti
A1 (2, 1, 0), B1 (1, 1, 0) e P (1, 0, 1).
È data la proeittività ! : i1 ! i1 tale che
! 0 (Y1 ) = A1 , ! 0 (X1 ) = Y1 , ! 0 (B1 ) = X1 .
Si consideri l’applicazione ! : F(P ) ! F(P ) definita da
!(r) := retta per P di direzione ! 0 (R1 )
dove per ogni retta propria r di S2 , R1 denota la sua direzione.
Mostrare che ! è una proiettività e dire quanti sono i suoi punti uniti.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano affine reale A2 con l’aggiunta della
retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si determini un’equazione del fascio di iperboli passanti per P (1, 0), aventi per
asintoti l’asse y ed una retta coniugata alla retta r : y + 2x 1 = 0. Si determini
inoltre il centro dell’iperbole del fascio passante per il punto Q( 12 , 0).
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : x2
y 2 + 2xy
z = 0.
Si verifichi inoltre che il luogo dei punti propri P il cui piano polare rispetto a Q è
perpendicolare all’asse z è una retta.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
18/6/15
Es. 1: Sia S2 = R2 [ i1 il piano geometrico proiettivo reale, ottenuto dal piano
affine reale R2 con l’aggiunta della retta impropria. Si consideri il sistema coordinato
in S2 dedotto dal riferimento ortonormale standard di R2 .
Sia C la circonferenza di centro C(1, 1) e raggio 1. Si consideri l’applicazione
! : i1 ! F(C)
che associa ad ogni direzione D1 la polare di D1 rispetto a C. Mostrare che ! è
ben definita ed è una trasformazione proiettiva.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano affine reale A2 con l’aggiunta della
retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento affine
di A2 .
È data una conica C a centro. Sapendo che l’equazione dell’involuzione dei
diametri coniugati relativa a C è
mm0 + 3 = 0,
a) si classifichi C;
b) si determini un’equazione di C assumendo che abbia per centro l’origine e
passi per il punto A(1, 1).
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
È data una quadrica Q reale, a punti reali, di rango 4, tale che
⇡X1 : z + 1 = 0, ⇡Y1 : z
1 = 0.
a) Stabilire che la retta [X1 , Y1 ] è contenuta in Q.
b) Classificare Q.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
7/7/15
Es. 1: Sia S2 = R2 [ i1 il piano geometrico proiettivo reale, ottenuto dal
piano affine reale R2 con l’aggiunta della retta impropria. Si considerino il sistema
coordinato in S2 dedotto dal riferimento ortonormale standard di R2 e il fascio
improprio di rette F avente centro in A1 (1, 1, 0).
Scelto un sistema coordinato su F, determinare un’equazione della proiettività
!:F!F
avente come punti uniti le rette r e s di F passanti rispettivamente per l’origine e per
il punto P (1, 0), e il cui invariante assoluto è 2. Dire se si tratta di un’involuzione.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano Euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
cartesiano ortonormale di E2 .
È dato il fascio di coniche di equazione:
F : x2 + y 2 + (k + 2)xy + x
y = 0.
a) Classificare tutte le coniche del fascio.
b) Determinare l’asse delle eventuali parabole di F.
Es. 3: Sia S3 l’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : 2x2 + 3z 2 + 2xz + 2y + 2z = 0.
Si determini inoltre un’equazione del piano diametrale di Q contenente la retta r di
equazioni
⇢
y=1
r:
.
x+y+z =0
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
3/9/15
Es. 1: Sia S3 l’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si considerino la retta
⇢
x 1=0
r:
y+1=0
ed i piani
↵1 : x 1 = 0, ↵2 : x + y = 0.
Mostrare che esiste una ed una sola proiettività
! : F(r) ! F(r)
tale che per ogni piano ⇡ del fascio F(r) diverso da ↵1 , ↵2 , !(⇡) è il quarto armonico
dopo ↵1 , ↵2 e ⇡, e scriverne l’equazione in un fissato sistema coordinato.
Determinare i punti uniti di ! e stabilire se si tratta di un’involuzione.
Es. 2: Sia S2 l’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano Euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
cartesiano ortonormale di E2 .
Si determini un’equazione dell’iperbole equilatera C avente la retta r : x + y = 0
come asintoto, la retta d : 3x y 4 = 0 come diametro, e tale che l’origine e P (1, 1)
siano punti coniugati rispetto a C. Si determinino inoltre gli assi di C.
Es. 3: Sia S3 l’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si consideri la quadrica Q di equazione
Q : (k 2
4)x2 + y 2 + z 2 + 2(k 2
4)xz + 2(1 + k)yz + 1 = 0
dove k è un parametro reale.
Stabilire per quale valore di k la quadrica Q è un cilindro di vertice X1 . Dire
di che tipo di cilindro si tratta.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
28/1/15
Es. 1: Sia S2 il piano geometrico proiettivo reale ottenuto dal piano euclideo
R2 con l’aggiunta della retta impropria.
Si verifichi che esiste una ed una sola proiettività
! : F(X1 ) ! F(X1 )
tale che per ogni punto P = (a, b) 2 R2 , posto P 0 = (a + 1, b + 1), risulti
!([X1 , P ]) = [X1 , P 0 ].
Si determini inoltre !(i1 ).
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si scriva l’equazione della conica C tangente nell’origine all’asse y, passante per
P (2, 1) e avente centro in C(2, 0). Si classifichi C.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
È data una quadrica reale Q a punti reali, di rango 4, la cui conica all’infinito
C1 ha equazioni
⇢
kx2 y 2 2z 2 + 2xy = 0
C1 :
t=0
dove k 2 R.
a) Stabilire per quali valori di k Q è un ellissoide.
b) Stabilire per quali valori di k Q è un paraboloide; dire di che paraboloide si
tratta.
c) Detto C il centro di Q, stabilire nei casi k = 2 e k = 1 se la retta [C, Z1 ]
è tangente a Q.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
10/11/15
Es. 1: Sia S2 il piano geometrico proiettivo reale ottenuto da un piano affine
A2 con l’aggiunta della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto
da un riferimento di A2 .
Considerata la retta r passante per A(1, 0) e B(2, 1), si mostri che esiste una ed
una sola trasformazione proiettiva
! : r ! R̃
tale che per ogni punto proprio X 2 r diverso da A e B si abbia
!(X) = (A B X R1 ).
Determinare quindi !(A), !(B) e !(R1 ).
Es. 2: Sia S2 l’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano Euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
cartesiano ortonormale di E2 .
Si scriva un’equazione del fascio di coniche tangenti nel punto P (1, 1) alla retta
t : y = 1, passanti per l’origine e per Y1 .
Si mostri che F contiene un’unica parabola P e che P è caratterizzata dalla
proprietà che ogni retta parallela all’asse y ha in comune con P esattamente un
punto proprio.
Es. 3: Sia S3 l’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : x2 + 2y 2 + 2z 2
2xy
2yz = 0
e si stabilisca se Q contiene esattamente un punto reale.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
12/1/16
Es. 1: Dati i seguenti punti di RP3 :
A = [3, 0, 1, 0], B = [1, 1, 0, 1], C = [3, 0, 1, 1], D = [0, 0, 0, 1],
verificare che le rette L(A, B) e L(C, D) sono complanari e determinare anche
un’equazione del piano che le contiene.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
a) Si scriva l’equazione del fascio F di coniche le cui coniche non degeneri sono le
parabole aventi per asse la retta a : y = x e passanti per P (1, 0).
b) Si determini il punto proprio H di a che non è vertice di alcuna parabola di F.
c) Mostrare che esiste una ed una sola proiettività
!:F!a
tale che, per per ogni parabola C 2 F, !(C) coincida con il vertice di C.
Determinare quindi ! 1 (A1 ) e ! 1 (H), essendo A1 la direzione di a.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : 2x2 + y 2 + z 2
2yz + 2x + 2y + 2z = 0.
Determinare inoltre il piano principale di Q passante per X1 .
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
26/1/16
Es. 1: Verificare che i seguenti punti di RP 3
P1 = [0, 0, 0, 1], P2 = [1, 1, 0, 0], P3 = [1, 1, 0, 1], P4 = [1, 1, 0, 2]
appartengono alla medesima retta r e calcolare il birapporto (P1 P2 P3 P4 ).
Detta inoltre s la retta passante per Q1 = [1, 0, 2, 0] e Q2 = [0, 0, 1, 0], si stabilisca
se esiste una trasformazione proiettiva
!:r!s
tale che
!(P1 ) = Q1 , !(P2 ) = Q2 , !(P3 ) = [1, 0, 3, 0], !(P4 ) = [2, 0, 5, 0].
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si scriva l’equazione del fascio di coniche F le cui coniche non degeneri hanno
centro nell’origine ed il punto V (1, 0) come vertice.
Si mostri inoltre che, tra le coniche non degeneri di F, le iperboli sono tutte e
sole quelle che ammettono un fuoco F appartenente all’asse contenente V e tale che
d(O, F ) > 1.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
È data una quadrica Q reale, a punti reali e di rango 4, che passa per i punti
Z1 , A1 (1, 1, 0, 0) e B1 (1, 1, 1, 0).
È possibilire stabilire che Q è un paraboloide?
In caso a↵ermativo, è possibile determinare la natura dei punti di Q?
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
10/2/16
Es. 1: Si considerino la retta r = [P, Q] ed il piano ⇡ di RP4 , dove
⇢
x1 = x5
P = [1, 0, 1, 1, 0], Q = [k + 1, 1, 2, 1, 1 k], ⇡ :
x2 = x3
e k è un parametro reale. Stabilire per quale valore di k esiste un iperpiano ↵
contenente sia r che ⇡, e si determini anche un’equazione cartesiana di ↵.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si scriva l’equazione del fascio di coniche F le cui coniche non degeneri sono le
parabole aventi vertice in V (1, 1) e rispetto alle quali A(2, 2) e V sono coniugati.
Si mostri inoltre che esiste un’unica trasformazione proiettiva
! : F ! F(V )
tale che per ogni parabola di F si abbia
!(C) = pA
polare di A rispetto a C.
Si determini la conica ! 1 (a) essendo a l’asse delle parabole del fascio.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : x2 + 3y 2 + z 2
2xy
2yz + 2z = 0.
Si verifichi inoltre che per ogni retta r passante per P (0, 0, 2) e perpendicolare alla
retta
⇢
x=0
s:
y = 2z
risulta r \ Q = {P }.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
13/4/16
Es. 1: Sia S2 il piano geometrico proiettivo reale, ottenuto dal piano affine R2
con l’aggiunta della retta impropria.
Si considerino le rette r : x + y = 0 e s : x + 2y = 0. Detto F il fascio di rette
parallele a r e F0 il fascio di rette perpendicolari a r, mostrare che esiste un’unica
trasformazione proiettiva
! : F ! F0
tale che, per ogni retta propria t 2 F, si abbia
!(t) = t0
dove t0 è la perpendicolare a t passante per il punto di intersezione tra s e t. Determinare !(i1 ).
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria.
Si verifichi che nel fascio F di coniche le cui coniche non degeneri sono quelle
aventi centro nell’origine e un vertice in V (1, 1), le iperboli sono caratterizzate da
( C1 C2 Co C ) < 0,
essendo C1 e C2 le coniche degeneri di F e Co la circonferenza appartenente a F.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi, al variare di k 2 R, la quadrica Q di equazione
Q : xy + yz + kx
y + z = 0.
Si determini il centro di ciascuna delle quadriche del fascio aventi rango 4.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
8/6/16
Es. 1: Nello spazio
⇢ proiettivo RP3 , si considerino il punto P = [0, 1, 1, 1], la
x2 = 0
retta r di equazioni
ed il piano ⇡ : x2 + x4 = 0.
x3 = 0
Si verifichi che il luogo dei punti di intersezione tra ⇡ e la retta [P, X], al variare
di X 2 r, è una retta e se ne determinino le equazioni cartesiane.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria.
a) Si scriva un’equazione del fascio F di coniche le cui coniche non degeneri hanno
centro sulla retta r : y = 3x, passano per l’origine ed ammettono la seguente come
equazione dell’involuzione dei diametri coniugati:
mm0
1 = 0.
Si classifichino tutte le coniche del fascio, comprese quelle degeneri.
b) Siano C1 e C2 le coniche degeneri del fascio, di cui C1 contenente la retta
impropria. Stabilire che l’applicazione
!:F!r
che associa ad ogni conica non degenere di F il proprio centro e tale che
!(C1 ) = O,
!(C2 ) = R1
dove R1 è la direzione di r, non è una trasformazione proiettiva.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : 3x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2z = 0.
Si determinino inoltre i punti di intersezione tra Q e la retta r = [A, B], dove
A(0, 1, 1) e B(0, 12 , 12 ).
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
22/6/16
Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale, ottenuta
da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta della retta
impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento ortonormale
di E2 .
Es. 1: Si consideri la circonferenza C di E2 di centro l’origine O del riferimento
e raggio R > 0. Si verifichi che per ogni retta r 2 F(O), detti P e P 0 i punti di
intersezione di r con C, il quarto armonico su r dopo P , P 0 e O è la direzione di r.
Es. 2: Si scriva un’equazione della parabola di S2 avente vertice nell’origine e
passante per i punti A(0, 1) e B( 1, 0).
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : x2 + 2yz + 2x + 2z = 0.
Denotata con s la retta di equazioni
diametrale di Q contenente s.
⇢
x=z
, si scriva l’equazione del piano
t=0
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
8/7/16
Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale, ottenuta
da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta della retta
impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento ortonormale
di E2 .
Es. 1: Denotati con I1 e I2 i punti ciclici, si consideri la trasformazione proiettiva
! : F(I1 ) ! F(I2 )
tale che
!(i1 ) = r1 , !(r2 ) = i1 , !(r3 ) = r4
dove le rette ri , i = 1, . . . , 4, hanno equazioni omogenee:
r1 : x
iy = 0, r2 : x + iy = 0, r3 : x + iy + z = 0, r4 : x
iy + z = 0.
Si verifichi che per ogni retta r 2 F(I1 ) il punto di intersezione tra r e !(r) appartiene
alla circonferenza C di centro l’origine e raggio 1.
Es. 2: Si determinino le equazioni delle parabole di S2 passanti per A(1, 1),
aventi l’origine come fuoco e centro in C1 (1, 1, 0).
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione
Q : 2x2 + y 2 + z 2 + 2z = 0.
Si verifichi inoltre che per ogni piano diametrale reale ↵, il polo di ↵ non appartiene a Q.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
5/9/16
8
< x1 x5 = 0
x2 + x3 x5 = 0 ed il punto
Es. 1: Si considerino la retta r di equazioni
:
x2 2x4 = 0
P = [1, 0, 0, 0, 1] di RP4 .
Si determinino la dimensione, le equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio r _ {P }.
Es. 2: Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta
della retta impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento
ortonormale di E2 .
Si scriva l’equazione del fascio di coniche F di S2 passanti per A(1, 0), le cui
coniche non degeneri ammettono l’asse delle ascisse e la retta r : y = x come
diametri coniugati.
Si verifichi inoltre che ogni conica del fascio che ammette un asse con coefficiente
angolare m con 0 < m < 1 è un’ellisse.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione:
Q : x2 + y 2 + z 2
3xz + x
z + y = 0.
Si mostri inoltre che, per ogni retta reale r passante per il centro della quadrica e
avente direzione R1 , si ha:
r è tangente a Q () R1 2 Q.
Prova scritta di Geometria 3
Prof.ssa M. Falcitelli
20/9/16
Sia S2 un’estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale, ottenuta
da un’estensione complessa di un piano euclideo reale E2 con l’aggiunta della retta
impropria. Si fissi un sistema coordinato in S2 dedotto da un riferimento ortonormale
di E2 .
Es. 1: Siano r e s le rette di direzione A1 (2, 1, 0) e passanti rispettivamente
per l’origine e per il punto Q(1, 1). Mostrare che l’applicazione
!:r!s
tale che !(A1 ) = A1 e per ogni punto proprio P 2 r, !(P ) è la proiezione ortogonale
di P su s, è una trasformazione proiettiva.
Es. 2: Si consideri la conica C di equazione:
kx2 + ky 2 + (2k
4)xy = 0,
dove k 2 R.
Stabilire per quali valori di k C è unione di due rette reali.
Dopo aver verificato che tale proprietà sussiste per k = 3, determinare in tal
caso le equazioni di tali rette.
Es. 3: Sia S3 un’estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale,
ottenuta da un’estensione complessa di uno spazio Euclideo reale E3 con l’aggiunta
del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S3 dedotto da un riferimento
ortonormale di E3 .
Si classifichi la quadrica Q di equazione:
Q : x2 + y 2 + z 2 + 2xz + 4yz + 2z = 0
e si verifichi
⇢ che Q ammette un piano principale perpendicolare alla retta r di
x + 2y = 0
equazioni
.
z=0