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Domande di Teoria Fisica Tecnica
1. Primo principio della termodinamica
La differenza tra il calore e il lavoro scambiati con l’esterno è uguale alla variazione dell’energia
interna. U è una funzione di stato in quanto dipende solo dallo stato iniziale e quello finale
della trasformazione, ovvero dalle temperature dei due stati.
in un sistema isolato quindi
2. Espansione libera di Joule
Esperimento fatto utilizzando due serbatoi a bagno d'acqua collegati tramite valvola. Un
serbatoio contiene un gas perfetto mentre l'altro è vuoto. Aprendo la valvola il gas va ad
occupare entrambi i serbatoi. Il sistema non scambia ne calore con l'ambiente (
) ne
lavoro(
). Essendo
allora si ha che
. Durante l'esperimento la
temperatura rimane costante, quindi vuol dire che
3. Def. di calore specifico → il calore specifico deve essere uguale per ogni gas perfetto?
Il calore specifico è la quantità di calore da dare ad una massa per alzarne la temperatura di un
grado. Il calore specifico massico cambia a seconda del gas perfetto in quanto dipende da e
dipende dal tipo di gas (monoatomico, biatomico o poliatomico).
4. Espressione di
per i gas perfetti
Risulta quindi
5. La variazione di energia interna è pari al calore scambiato a volume costante
oppure dal primo principio
che vale per ogni sostanza
6. Def. di entalpia → dimostrare: che H per un gas perfetto dipende solo da T
L'entalpia è una funzione di stato definita come
. Per i gas perfetti vale la legge
e dunque si ha che
7. La variazione di entalpia è uguale al calore scambiato a pressione costante.
oppure dal primo principio
che vale per ogni sostanza
8. Espressione di
per un gas perfetto
Risulta quindi
9. Per un gas perfetto
10. Motivare i valori di e per gas perfetti monoatomici, biatomici e triatomici.
A parità di numero di molecole due gas perfetti hanno gli stessi calori specifici molari(a volume
e a pressione costante). Ogni grado di libertà corrisponde a
perciò:
a. Monoatomico: 3 gdl
b. Biatomico: 5 gdl
c. Poliatomico: 5-6 gdl
11. Trasformate di Legéndre, potenziali termodinamici e diagramma U-S, derivazione dei
coefficienti elastici e dei calori specifici
La trasformata di Legéndre ci permette di passare da una funzione
a
perciò differenziando
dal primo principio abbiamo che
quindi risulta che
Usiamo Legéndre rispetto a
entalpia
Usiamo Legéndre rispetto a
energia libera di Helmholtz
Essendo
dobbiamo usare Legéndre anche rispetto a e a
insieme
energia libera di Gibbs
Coefficienti elastici
coefficiente di dilatazione cubica isobarica
coefficiente di variazione isotermica di volume al variare della pressione
coefficiente di variazione isoentropica di volume al variare della pressione
12. Relazioni di Maxwell
Le relazioni di Maxwell si ottengono dalle derivate in croce di
Schwarz.
eguagliate per
13. Dimostrazione dell'espressione
ma poiché
sostituendo
dividendo il tutto per
si ha che
(mantenendo costante la pressione) si ha
che corrisponde a
Essendo
si ha che
quindi sostituendo si ha
14. Equazione di Clapeyron
Descrive l'andamento della pressione con la temperatura lungo la curva d'equilibrio tra due
fasi di una sostanza.
Durante il passaggio di fase
e pressione e temperatura rimangono costanti.
che diventa derivata totale in quanto
saturazione si ha
non dipende da
ovvero
che integrato da
e poichè
con
ma solo da . In condizioni di
si ha
calore latente di fusione o di evaporazione a seconda del passaggio di fase.
15. Dimostrazione che per un gas perfetto U=U(T)
Essendo
ciò vuol dire che
e
non dipende da
e quindi
per un gas perfetto.
16. Equazione di stato di Wan der Waals ed esempio di espansione libera per gas di Van der Waals
Vale per qualsiasi gas reale, ognuno con e
volume occupata dalle molecole. Inoltre
propri del gas.
e dovuto alla parte di
Un'espansione libera di un gas reale (in un sistema di due serbatoi rigidi e adiabatici, divisi da
una valvola) comporta, come nel caso di gas perfetto,
,
e
.
come si può notare, sebbene
, poiché
si ha che
17. Secondo principio della termodinamica: enunciati di Kelvin, di Clausius ed equivalenza dei due
enunciati.
a. Enunciato di Kelvin: è impossibile realizzare una macchina che come unico risultato
trasformi in lavoro tutto il calore ottenuto da una sorgente a temperatura uniforme.
b. Enunciato di Clausius: è impossibile realizzare una macchina che come unico risultato
trasferisca il calore da una sorgente fredda ad una più calda.
Per mostrare l'equivalenza dei due enunciati si
utilizza un sistema con due macchine cicliche,
una diretta(A) e una inversa (B).
Supponiamo che Kelvin non sia vero, dunque
, quindi A trasforma tutto il calore
in
lavoro . Poniamo che
, e che il lavoro
prodotto da A sia quello usato da B. Ciò
comporta che la macchina B trasferisca calore da
una sorgente fredda ad una più calda senza che
l'intero sistema spenda lavoro, contraddicendo Clausius.
Supponiamo che Clausius non sia vero, dunque
. Poniamo che
e quindi è
come se si bypassasse la sorgente . Questo però contraddice Kelvin in quanto l'intero
sistema produce lavoro( ) prendendo calore da un'unica sorgente.
18. Def. della funzione di stato entropia ed enunciato del II principio, con esempi di sorgenti di
irreversibilità
L'entropia è una funzione di stato definita come il rapporto tra il calore scambiato e la
temperatura alla quale viene scambiato in una trasformazione reversibile.
Il secondo principio può essere enunciato come
Attrito, espansione libera, miscelazione di due gas, scambio termico con
finito,
deformazioni anelastiche e reazioni chimiche sono sorgenti di irreversibilità
19. Ricavare le espressioni della variazione di entropia tra due stati per gas perfetti. Variazioni di
entropia nei liquidi e nei solidi.
Dal primo principio si ha che
oppure
Essendo
si ha che il primo principio si può riscrivere come
La variazione di entropia
può essere calcolata sfruttando: isocora + isoterma, isobara +
isoterma oppure isocora + isobara.
ma poiché nell'ultima espressione abbiamo seguito un'isocora e un'isobara si può scrivere
Essendo quasi incomprimibili, i solidi e i liquidi hanno
e un calore specifico
perciò
20. Trasformazioni isoentropiche
Una trasformazione isoentropica è una trasformazione con variazione nulla dell'entropia.
Dunque
quindi, posto
, si ha
che sono ricavabili sia alle espressioni di
, sia da
usando
. Queste relazioni
valgono solo per trasformazioni adiabatiche reversibili(ovvero isoentropiche). Nei liquidi e nei
solidi
quindi
e perciò sono anche isoterme.
21. Definizione di politropica e sua espressione
Una trasformazione politropica è una trasformazione durante la quale il calore specifico
rimane costante e la il gas segue la legge
con
detto indice.
e dunque
22. Lavoro per una politropica
con
si ha che
quindi
e dunque
23. Passaggio di fase e diagrammi che lo descrivono (in
particolare diagramma PT)
Un passaggio di fase è il processo con il quale una
sostanza cambia stato di aggregazione delle
molecole. Lungo le linee dei diagrammi è indicato
l'insieme di stati in cui si può trovare la sostanza
contemporaneamente in due fasi. Il punto triplo
indica una condizione di stato nella quale convivono
in equilibrio tutte e tre le fasi di una sostanza. La
maggior parte delle sostanze si comporta come il
grafico a sinistra, mentre alcune(come l'acqua)
hanno un comportamento diverso. Il diagramma in cui si nota maggiormente questa differenza
è il diagramma PT. Si nota che alcune sostanze possono liquefare semplicemente con
l'aumento di pressione: questo rende queste sostanze, ad esempio il ghiaccio, scivolose.
24. Definizione di titolo e ricavare la regola della leva per v
Il titolo indica il rapporto tra la massa di vapore e la massa totale durante un passaggio di fase:
. Il volume è
e perciò si ha che, posto
volume specifico del liquido e
volume specifico del vapore,
. Dividendo tutto per la massa
totale si ha che il volume specifico
perciò si ha la regola della leva
che vale anche per
25. Perché le curve limite formano una campana
Le curve limite formano una campana poiché, all'aumentare della pressione o della
temperatura(tanto la relazione tra le due in un passaggio di fase è biunivoca), diminuisce la
quantità di calore da fornire o da togliere per far avvenire completamente il passaggio di
fase(ovvero si avvicinano gli stati di liquido saturo e vapore saturo). Oltre la pressione critica e
la temperatura critica il passaggio di fase avviene istantaneamente in maniera indefinita.
26. Diagramma Pv, diagramma Ts e trasformazioni. Coefficiente angolare delle isobare su Ts.
Nel diagramma PV le isobare sono orizzontali mentre le isocore verticali. Le isoterme sono
iperboli equilatere che, nel caso di passaggio di fase, diventano orizzontali sotto la campana
isotermobarica. Le isoentropiche vengono rappresentate con delle iperboli più pendenti delle
isoterme. Nel diagramma Ts le trasformazioni si comportano come in figura qui accanto. Il
coefficiente angolare delle isobare è
superiore. Sotto la campana le isobare sono
isoterme e quindi orizzontali. Prima della curva
limite inferiore le isobare sono molto
schiacciate su di essa in quanto un grande
aumento di pressione comporta un piccolo
aumento di temperatura. Le aree sottese alle
trasformazioni nel grafico PV sono i lavori
compiuti. Le aree sottese alle trasformazioni
nel grafico Ts sono i calori scambiati.
oltre la curva limite
27. Sistemi aperti: definizione di volume di controllo, stazionario, transitorio, uniforme, portata
massica e volumica. Equazione di continuità
Il volume di controllo è quel volume definito in parte dalle pareti del sistema e in parte nelle
pareti immaginarie(in quanto passa della massa) che delimitano l'entrata e l'uscita del sistema.
Nel moto stazionario le grandezze puntuali non variano nel tempo, mentre nel transitorio ciò
avviene. Il moto uniforme si ha quando le grandezze non variano al variare della posizione.
La portata massica (
) indica la quantità di massa del fluido che attraversa una sezione
nell'unità di tempo. Si esprime come
. Se si assume la velocità come quella
media si ha che
. La portata volumetrica (
) indica il volume del fluido che
attraversa una sezione nell'unità di tempo. Si esprime come
L'equazione di continuità dice che, se il moto è stazionario, la portata si conserva e quindi
resta costante: ne deriva che
28. Equazione di conservazione dell'energia per i sistemi aperti. Definizione di lavoro di pulsione.
Applicazione a diversi organi di macchina.
Il bilancio energetico è
con
e
dove
è il lavoro di pulsione, ovvero il lavoro necessario a
mantenere il flusso di massa nel volume di controllo(1 è l'entrata mentre 2 è l'uscita).
è il lavoro esterno netto, ovvero quello fornito o assorbito dal sistema.
Applicazioni(nel caso stazionario):
a. Turbina:
,
e
perciò si ha che
(inoltre
poiché
)
b. Scambiatore di calore:
,
e
perciò si ha che
c. Compressore
,
e
perciò si ha che
(inoltre
poichè
)
d. Ugello di efflusso
Posto
si ha che
29. Bilancio entropico
In un sistema chiuso si ha che
e
perciò si ha che
in quanto
In un sistema aperto con entrate e
uscite si ha che
è l'entropia dovuta a scambio termico,
massa e
è l'entropia dovuta al trasporto di
è l'entropia generata da irreversibilità.
30. Isoentalpica di Joule Thomson
È un processo nel quale un gas di pressione e volume passa attraverso un setto poroso
portandosi a e a . Posto il sistema adiabatico si ha che
diventa
ovvero
quindi
Essendo
si ha che
e, poiché quelle a destra sono
tutte quantità positive significa che
. Per un gas perfetto
poiché
. In
un gas reale invece
: questo viene maggiormente sfruttato nei passaggi di fase
dove un abbassamento di pressione indica anche un abbassamento di temperatura(sotto la
campana isotermobarica nel grafico Ts si nota questo). Aumentare l'ostruzione significa
aumentare la diminuzione di pressione e quindi l'abbassamento della temperatura.
31. Espressione del lavoro in un sistema chiuso ed in un sistema aperto(esempio del compressore
alternativo)
In un sistema chiuso
quindi
In un sistema aperto (posto che
e
)
Compressore alternativo: sistema sia chiuso sia aperto che opera aspirando un fluido con una
espansione isobara, una compressione isoentropica/isoterma e una compressione isobara(di
scarico). Le aree gialle rappresentano i lavori positivi(fatti dal sistema) mentre quelle blu i
lavori negativi. Il grafico finale
rappresenta il lavoro netto fatto dal
sistema(area verde) che altro non è
che la sovrapposizione dei lavori di
ogni fase. Essendo un compressore
si può notare che il lavoro
complessivo è negativo(seguendo
la numerazione qui considerata)
32. Lavoro di una pompa
Per un fluido incomprimibile si ha che
con
prevalenza della pompa.
Per una politropica si ha
e dunque
33. Compressione in due stadi
Il lavoro richiesto per far funzionare un compressore dipende dal
tipo di trasformazione eseguita: il lavoro minore si ottiene
impiegando una isoterma, tuttavia il processo richiede molto
tempo. L'utilizzo di una trasformazione adiabatica velocizza molto il
processo ma richiede più lavoro. Per risparmiare dell'energia si
sfrutta la compressione a due stadi, che prevede due adiabatiche
intervallate da una isobara(raffreddamento intermedio:
intercooler) che riporta il sistema alla temperatura iniziale(più
bassa). La pressione iniziale e finale restano invariate rispetto ad
una compressione normale.
34. Rendimento isoentropico
Le trasformazioni in un compressore e in una turbina ideali vengono rappresentate con delle
linee verticali su grafico Ts. Tuttavia nel caso reale si ha che la variazione di entropia non è
nulla ma dipende dalla generazione di entropia. Ciò significa che il salto entalpico reale è
minore(turbina) o maggiore(compressore) rispetto al caso ideale isoentropico. La differenza
tra il salto reale e quello ideale è il lavoro specifico degli attriti. Vengono definiti dunque i
rendimenti del compressore e della turbina che fanno riferimento al caso ideale
35. Macchina termodinamica motrice e operatrice
Una macchina termodinamica è un macchina che compie un ciclo termodinamico compiendo o
assorbendo lavoro grazie a due serbatoi di calore.
a. Si definisce macchina motrice se produce lavoro sfruttando il gradiente termico tra le due
sorgenti. Essendo ciclica
e il rendimento è pari a
b. Si definisce macchina operatrice se assorbe lavoro e calore da una sorgente fredda per
trasferire calore ad una sorgente calda.
36. Ciclo di Carnot ideale, reale e definizione di rendimento
Il ciclo di Carnot è un ciclo costituito da quattro trasformazioni reversibili: compressione
isoterma, compressione adiabatica, espansione isoterma ed espansione adiabatica. Sul grafico
Ts è rappresentato come un rettangolo(nel caso reale è un trapezio in quanto le isoentropiche
diventano da verticali a pendenti). La macchina che lo sfrutta è un sistema costituito da un
cilindro adiabatico con pistone mobile e dei pesi, con due sorgenti che possono scambiare
calore con il gas nel cilindro(che solo in questo momento non è adiabatico). Il rendimento di
una macchina è definito come il rapporto tra il lavoro fornito e il calore assorbito. Nel ciclo di
Carnot si ha che
e
.
37. Teorema di Carnot e corollario. Definizione di rendimento di II principio
Il teorema di Carnot afferma che non esistono macchine termiche funzionanti tra due sorgenti
di calore( e ) che abbiano rendimento maggiore di quello della macchina di Carnot che
lavora alle stesse temperature.
Il teorema si dimostra ponendo per assurdo che
e quindi, posto per entrambe le
macchine il calore assorbito da uguale a
si ha che
. Questo vuol dire che
Essendo la macchina di Carnot reversibile, posso invertirla. Nel farlo si nota che il sistema
produce lavoro
sebbene assorba calore da una sola sorgente in quanto il
calore ceduto
dalla macchina di Carnot viene assorbito dalla macchina reale: ciò è in
contrasto con l'enunciato di Kelvin del 2° principio.
Corollario: due macchine di Carnot che lavorano tra le stesse temperature hanno lo stesso
rendimento(in quanto dipende dalle temperature). Ciò si dimostra ponendo per assurdo
ma invertendo la macchina C2 e ponendo che il calore ceduto da
questa è uguale a quello assorbito da C1 si ha un sistema che produce lavoro(
)
da una sola sorgente, contraddicendo l'enunciato di Kelvin del 2° principio.
Viene definito rendimento di secondo principio il rapporto tra il rendimento di una macchina
reale e il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le due temperature(minima e
massima) della macchina reale:
38. Ciclo di Carnot inverso (ideale e reale): cicli frigo e pompe di calore
Il ciclo di Carnot inverso è uguale a quello diretto con la differenza che il ciclo viene percorso in
senso antiorario. La macchina che sfrutta questo ciclo assorbe calore da una sorgente fredda e
riceve lavoro dall'esterno al fine di cedere calore ad una sorgente calda. Il ciclo frigorifero ha lo
scopo di togliere calore alla sorgente fredda mentre la pompa di calore serve per immettere
calore alla sorgente calda.
39. Definizione di COP e consumo meccanico specifico e loro espressioni per cicli di Carnot.
Il consumo meccanico specifico è il rapporto tra il lavoro da fornire alla macchina operatrice e
l'effetto utile che essa produce
. Il COP(coefficiente di prestazione) è l'inverso del
consumo specifico meccanico e indica di quante volte aumenta l'effetto utile rispetto al lavoro
fornito. Se il COP è unitario significa che tutto il lavoro diventa calore(e quindi la macchina
termica si comporta come una stufa elettrica). Per una cella frigo l'effetto utile è il calore che
assorbe mentre per una pompa di calore l'effetto utile è il calore che immette.
Poste le sorgenti
si ha:
40. Ciclo Rankine con e senza risurriscaldamento
Il ciclo Rankine è il ciclo ideale degli impianti a vapore e si avvicina molto al ciclo di Carnot. Il
motivo per cui non viene usato il ciclo di Carnot è che, sebbene abbia il rendimento massimo
possibile, ha alcuni svantaggi: se viene effettuato sotto la campana isotermobarica la
temperatura massima è molto limitata a causa della bassa temperatura critica
dell'acqua(caduta di rendimento) e inoltre la formazione di goccioline liquide danneggerebbe
gli organi di macchina; se si spostasse l'espansione isoterma sopra la campana isotermobarica
si avrebbe un tempo di trasformazione troppo elevato. Per far fronte a questi problemi si
utilizza il ciclo Rankine, il quale è composto da quattro trasformazioni
a. compressione isoentropica(1-2) da liquido saturo a liquido sottoraffreddato con
temperatura e pressione maggiore mediante una pompa.
b. riscaldamento isobaro(2-3) mediante caldaia fino ad avere vapore surriscaldato. In
questo modo si ha una trasformazione isoterma durante il passaggio di fase.
c. espansione isoentropica(3-4) fino a diventare vapore umido(talvolta con
ma
non pari a 1) mediante una turbina.
d. raffreddamento isobaro(4-1) da vapore umido(quasi saturo) a liquido saturo mediante
condensatore.
Nel caso reale le trasformazioni isoentropiche hanno un aumento di entropia che si nota
maggiormente dopo l'espansione in turbina, in quanto un aumento di entropia corrisponde ad
un aumento del titolo di entrata nel condensatore.
Il rendimento della macchina tiene conto solo del lavoro assorbito dalla turbina in quanto il
lavoro effettuato dalla pompa è spesso trascurabile( è molto piccolo e
e
)
quindi
. Per abbassare ulteriormente la temperatura di condensazione si utilizza un
condotto convergente -divergente che abbassa ulteriormente la pressione. I combustibili
utilizzati sono polvere di carbone, olio combustibile o combustibile nucleare.
Risurriscaldamento: il risurriscaldamento è una tecnica che ha lo scopo di aumentare il titolo
del vapore in uscita dalla turbina. Esso si attua frazionando l'espansione, quindi usando due
turbine: la prima, ad alta pressione, porta il vapore ad una temperatura e una pressione
intermedia. Poi il vapore viene rimandato in caldaia e, dopo essere ritornato ad una
temperatura elevata in modo isobaro, viene espanso da un'altra turbina a pressione minore
(coassiale alla prima) fino alla pressione di entrata nel condensatore, dove avrà un titolo
maggiore rispetto al caso senza risurriscaldamento.
41. Rigenerazione nel ciclo Rankine e dimostrazione che il rendimento aumenta
La rigenerazione è una tecnica che prevede la deviazione(rigenerazione) di parte vapore
surriscaldato dalla turbina ad un miscelatore presente dopo la pompa. Definita
la quantità
di vapore rigenerata(deviata), si ha che nel miscelatore il bilancio energetico diventa
dove 3' è il punto di spillamento della massa rigenerata dalla turbina mentre il punto R è il
punto in cui avviene la miscelazione.
Il rendimento diventa quindi
dato che si somma la stessa quantità al numeratore e al denominatore di un numero
ha che il rendimento aumenta, ovvero
(senza mai superare )
si
42. Dimostrazione che per i cicli simmetrici i prodotti in croce sono uguali
Un ciclo simmetrico è un ciclo termodinamico formato da due coppie di trasformazioni uguali e
reversibili. Prendiamone uno composto da 4 politropiche tali che
Se giro la seconda equazione e divido la prima per la seconda ottengo
quindi necessariamente
Si ha che
(si vede sostituendo il risultato
nelle due equazioni
intermedie) e
(da
)
43. Ciclo Joule-Brayton, espressione del rendimento
Il ciclo Joule-Brayton è un ciclo aperto ideale degli impianti a turbina a gas. Nell'ipotesi che il
ciclo ideale sia ad aria standard si considera questa come un gas perfetto con calori specifici
costanti e trasformazioni reversibili(internamente). Inoltre la combustione viene considerata
uno scambio termico verso l'aria mentre il rinnovo del fluido viene considerato come una
perdita di calore. Si hanno quattro trasformazioni:
a. Compressione isoentropica(1-2) mediante compressore
b. Riscaldamento isobaro(2-3) mediante camera di combustione
c. Espansione isoentropica(3-4) mediante turbina
d. Raffreddamento isobaro(4-1) dovuto al ricambio del fluido
Nel caso reale (1-2) e (3-4) hanno un aumento di entropia, quindi il lavoro reale del
compressore è maggiore mentre quello della turbina è minore(presi in modulo)
Essendo un ciclo simmetrico il rendimento si può scrivere come
Definiamo
si ha che
come il rapporto di compressione manometrica. Essendo (1-2) isoentropica
e quindi il rendimento si può scrivere come
All'aumentare di aumenta il rendimento, cosi come usare un gas monoatomico aumenta il
rendimento: quando il ciclo è chiuso conviene usare questi gas.
44. Criteri di progetto
Nel progettare un motore con ciclo Joule-Brayton bisogna tener conto dei limiti imposti dalle
temperature: la temperatura minima non può scendere sotto la temperatura ambiente mentre
quella massima non può superare la temperatura di fusione dei materiali. Per poter aumentare
si può intervenire sulle palette degli organi di macchina in diversi modi:
a. Condotti di fluido refrigerante all'interno delle palette
b. Condotti di fluido refrigerante con alcuni fori dai quali, al momento del funzionamento
del ciclo, si crea una patina protettiva sulla paletta
c. Ricopertura in ceramica e metallo. In questo caso però occorre intermediare con un
altro materiale a coefficiente di dilatazione intermedio, onde evitare rotture.
Il criterio di progettazione delle palette può influire sul rendimento in quanto bisogna mettere
in conto anche la manutenzione delle palette dovuta all'allungamento a caldo(grip) di queste.
Un altro criterio per un progetto di un ciclo Joule-Brayton è , ovvero la pressione massima
(poiché quella minima è quella atmosferica): aumentare la pressione significa aumentare il
rendimento ma ne potrebbe risentire il lavoro massimo ottenibile, infatti l'area del ciclo
diminuisce all'aumentare di
.
45. Rigenerazione nel ciclo Joule-Brayton
La rigenerazione nel ciclo Joule-Brayton è un metodo per aumentare il rendimento che sfrutta
l'aria calda in uscita dalla turbina per preriscaldare l'aria prima dell'ingresso nella camera di
combustione. In questo modo la combustione deve fornire meno calore. Questa tecnica è
possibile solo nel caso in cui la temperatura in uscita dalla turbina sia maggiore di quella in
uscita dal compressore(
). Definiamo il punto (pressione e temperatura ) e il
punto (pressione e temperatura ): il calore rigenerato è
e il
rendimento dunque diventa
che è maggiore del rendimento senza rigenerazione in quanto togliamo la stessa quantità a
numeratore e denominatore di un numero inferiore a 1, il quale sottratto a 1 da un
rendimento maggiore. Talvolta non si verifica
, oppure la differenza tra le temperature
è molto bassa: in questi casi si può applicare una compressione a più stadi e un'espansione a
più stadi. La compressione a più stadi permette di risparmiare lavoro con raffreddamento
isobaro intermedio mentre l'espansione a più stadi produce più lavoro con riscaldamento
isobaro intermedio. Infatti questo causa anche la diminuzione della in uscita dall'ultimo
compressore e si ha l'aumento di in uscita dall'ultima turbina: aumenta la possibilità di
rigenerazione. All'aumentare degli stadi di compressione e espansione si ha che queste piccole
trasformazioni tendono ad avere un aspetto isotermo. Se poi tutto il calore viene rigenerato lo
scambio di calore è solo interno e quindi si ha un ciclo molto somigliante a quello di Carnot.
46. Ciclo Otto
Il ciclo Otto è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione comandata, nella quale si
sfrutta un sistema cilindro pistone dove una miscela di aria e combustibile viene compressa e
poi innescata mediante candela. Il ciclo ideale ad aria standard si divide in quattro
trasformazioni, più due di lavaggio.
a. Compressione isoentropica (1-2) mediante pistone in cilindro adiabatico
b. Riscaldamento isocoro (2-3) mediante l'accensione della candela che detona la miscela
c. Espansione isoentropica (3-4) esercitata sul pistone il quale, legato ad un albero,
produce lavoro utile
d. Raffreddamento isocoro (4-1) dovuto al ricambio del fluido
Definiamo il rapporto di compressione volumetrica come
e, poiché il ciclo è simmetrico,
si ha che il rendimento è pari a:
47. Ciclo frigo e diagramma Ph. Varie soluzioni impiantistiche
Il ciclo frigo è un ciclo termodinamico inverso che serve a togliere calore da una sorgente
termica a temperatura bassa per immetterlo in una sorgente più alta. Le macchine che
utilizzano questo ciclo sono la pompa di calore e la cella frigo, le quali differenziano solo per lo
scopo operativo. Il ciclo prevede quattro trasformazioni:
a. Evaporazione isobara (1-2) da vapore umido a vapore saturo mediante evaporatore,
ovvero scambiatore di calore
b. Compressione isoentropica (2-3) mediante compressore
c. Raffreddamento isobaro (3-4) fino a liquido saturo mediante condensatore
d. Laminazione isoentalpica(4-1) fino allo stato iniziale mediante valvola di laminazione di
Joule-Thompson. Questa trasformazione non può essere rappresentata da una linea
continua sul grafico in quanto è reale e non reversibile.
Il fluido nei condotti arriva a temperature di -30°C e perciò si usa R134A o R32A. Talvolta si usa
ammoniaca, tuttavia bisogna stare attenti alla velenosità di questa sostanza. In passato si
usavano clorofluorocarburi, non più impiegati a causa dei danni che procurano all'ozono.
Per sicurezza si fanno impianti senza esposizione diretta quando si tratta di condizionamento
di locali pubblici. La valvola di laminazione serve a regolare la temperatura d'entrata
nell'evaporatore. Alcuni impianti usano due valvole e due evaporatori.
48. Progetto di un impianto a ciclo inverso
Per progettare un impianto a ciclo inverso occorre conoscere la temperatura ambiente
,
la temperatura minima raggiungibile
e la potenza termica da fornire all'evaporatore.
Bisogna scegliere il fluido refrigerante più adeguato e le trasformazioni isotermobariche giuste:
quella dell'evaporatore a temperatura un po' minore di
mentre quella del
condensatore a temperatura un po' maggiore di
. La potenza termica da fornire è dunque
ovvero
con titolo dell'entrata nell'evaporatore.
Dunque lo scambiatore di calore deve avere una potenza termica
con
e da qui mi ricavo la superficie necessaria. Per evitare l'esposizione diretta si
mette uno scambiatore di calore intermedio controcorrente, rendendo quindi l'esposizione
diretta ad un altro fluido che può essere acqua. L'utilizzo di una doppia valvola serve a
migliorare le prestazioni in quanto diminuisce la temperatura in uscita dal compressore e
diminuisce la potenza meccanica richiesta dal compressore. Inoltre per evitare che il
compressore abbia a che fare con del liquido si può mettere un evaporatore adiabatico in più.
La temperatura in uscita dal compressore si ricava per interpolazione lineare.
49. Ciclo Diesel
Il ciclo Diesel è il ciclo ideale dei motori ad accensione spontanea, in quanto si ha la
combustione non per mezzo di una candela ma a causa della pressione elevata, e quindi della
temperatura elevata, della miscela di aria e combustibile. Il ciclo consiste in quattro
trasformazioni:
a. Compressione isoentropica (1-2) dovuta all'azione di un pistone
b. Riscaldamento isobaro (2-3) dovuto alla combustione
c. Espansione isoentropica (3-4) mediante il pistone che viene spinto verso l'esterno del
cilindro, fornendo lavoro ad un albero collegato
d. Raffreddamento isocoro (4-1) dovuto al ricambio del fluido
Il rapporto tra il volume dell'aria dopo e prima della combustione viene detto rapporto
volumetrico di introduzione
. Il rendimento dunque si può scrivere come
Essendo (1-2) e (3-4) isoentropiche si ha che
A parità di il ciclo Otto ha rendimento maggiore di quello Diesel. Inoltre, maggiore è e
minore è . Tuttavia, grazie alla mancanza del problema della detonazione, i cicli Diesel usano
rapporti di compressione maggiori, che aumentano il rendimento.
50. Ciclo Stirling e ciclo Ericsson
Il ciclo Stirling è un ciclo simmetrico con due isoterme e due isocore. È difficile da creare ma
idealmente è completamente rigenerato durante le isocore. Il ciclo Ericsson è un ciclo
simmetrico con due isoterme e due isobare. È difficile da creare ma idealmente è
completamente rigenerato durante le isobare. Questi due cicli hanno la particolarità di avere il
rendimento uguale a quello di Carnot.
51. Miscele di gas e legge di Dalton
La legge di Dalton dice che la pressione totale di una miscela di gas è la somma delle pressioni
parziali di ogni gas componente, dove la pressione parziale è la pressione che avrebbe il gas
preso da solo alla stessa temperatura. Ciò vuol dire che una miscela di gas si descrive con:
Inoltre si ha che
e quindi le proprietà della miscela diventano
52. Aria umida, umidità relativa, umidità assoluta e diagramma di Mollier
L'aria umida è una miscela di aria(azoto e ossigeno con altri gas rarefatti) e acqua sotto forma
di vapore surriscaldato. Avendo come riferimento a 0°C l'entalpia nulla dell'aria secca(senza
acqua) si ha che l'entalpia dell'aria è
Se l'aria possiede del vapore l'entalpia
va sommata a quella del vapore
. Il valor medio di
tra -10°C e 50°C perciò si ha
L'umidità relativa è il rapporto tra la quantità di vapore acqueo contenuto in una massa d'aria
e la quantità massima che quella massa d'aria è in grado di contenere alla stessa pressione e
temperatura:
. L'umidità assoluta è il rapporto tra la massa di
contenuta in una
massa d'aria e la massa d'aria stessa presa secca(senz'acqua):
Il diagramma di Mollier è un grafico che rappresenta l'andamento dell'entalpia con la
temperatura e l'umidità assoluta.
Stati di equilibrio omogenei:
Stati di equilibrio eterogenei con
Stati di equilibrio eterogenei con
53. Postulato ed equazioni di Fourier
Il postulato di Fourier dice che la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso uno
strato è proporzionale alla differenza di temperatura tra le superfici dello strato e all'area dello
scambio termico mentre è inversamente proporzionale allo spessore dello strato quindi:
è il coefficiente di scambio termico. Inoltre si mette il segno meno poiché il calore si muove
da temperature alte a temperature basse.
L'equazione di Fourier si ottiene facendo un bilancio energetico tra il calore uscente, quello
entrante e quello generato in un corpo, e la somma di questi è pari all'energia contenuta nel
corpo. In una dimensione diventa:
con Taylor
Le condizioni al contorno per risolvere questa equazione differenziale sono la temperatura
imposta, il flusso imposto e il flusso dipendente dalla temperatura(terza specie convettivo,
quarta specie conduttivo tra due corpi con diverso.
54. Metodo delle resistenze termiche
Dato che
e
quindi
si ha un analogia coma la legge di Ohm dell'elettrotecnica
. La resistenza termica è quindi pari a
Analogamente all'elettrotecnica, due strati in serie sommano le loro resistenze mentre due
strati in parallelo(trascurando il calore che passa da uno strato all'altro) hanno una resistenza
totale pari all'inverso della somma delle resistenze inverse. Talvolta tra uno strato e un altro è
presente una resistenza di contatto, dovuta alla rugosità della parete. Nel caso convettivo si ha
che
.
55. Ricavare espressione di T per un cilindro cavo senza generazione di potenza e T di parete
imposte. (simmetria cilindrica)
L'equazione di Fourier in condizioni stazionarie e senza generazione di potenza(in coordinate
cilindriche) è
Integrando
ed integrando ancora
56. Ricavare espressione di T per un cilindro pieno con generazione di potenza
L'equazione di Fourier in condizioni stazionarie e con generazione di potenza(in coordinate
cilindriche) è
57. Raggio critico
Il flusso termico passante dalla superficie interna a
a che scorre fuori dal tubo è pari a
di un tubo cilindrico isolante ad un fluido
all'aumentare di aumenta la resistenza dell'isolante ma diminuisce la resistenza per
convezione. Per trovare il raggio nel quale di ha
si deve
si ha
corrisponde a quello in cui si ha la resistenza
del denominatore e porla uguale a zero. Quindi
. Tuttavia il raggio in cui
e perciò basta fare la derivata
Il raggio trovato si chiama raggio critico e corrisponde al raggio che deve avere il tubo cilindrico
per passare il flusso termico massimo possibile.
58. Problema del corpo con Bi << 1 immerso in un fluido a temperatura costante.
Il numero di Biot è il rapporto tra il calore scambiato per convezione da un fluido e il calore
scambiato per conduzione da un oggetto immerso in esso. Perciò
caratteristica
con la lunghezza
(rapporto tra volume e superficie del corpo). L'equazione di Fourier per
questo caso diventa
in quanto non c'è generazione di potenza.
Integrando sul volume del corpo si ha
che per il teorema della
divergenza diventa
ovvero la parte a destra diventa un integrale di
superficie( è il versore normale alla superficie dell'oggetto).
dovuto al fatto che
Considerando le temperature medie di volume
e quindi
(condizioni iniziali).
e di superficie
si ha
Essendo
si ha che
poichè la variazione di temperatura tra volume e
superficie varia molto poco (problema a parametri concentrati) si ha che
Cosi facendo si ottiene
la quale diventa
quanto impiega il corpo a raggiungere
Considerare da subito
che porterebbe a pensare che
: maggiore è e maggiore è il tempo necessario.
implicherebbe che
(cosa ovviamente falsa)
ovvero
59. Problema del corpo con Bi << 1 immerso in un fluido a temperatura variabile sinusoidalmente
nel tempo.
Se la temperatura del fluido varia sinusoidalmente nel tempo si ha che
Essendo
si può sfruttare la condizione di parametri concentrati, ovvero
Se aumenta allora aumenta anche la frequenza con cui il fluido varia temperatura, rendendo
difficile la lettura di tale valore da parte di un termometro troppo lento.
60. Soluzione del problema dell'aletta sottile
La potenza termica scambiata tra una superficie e un fluido aumenta all'aumentare del
prodotto , motivo per il quale si utilizzano delle superfici estese dette alette, che servono a
questo scopo. Il problema dell'aletta(lunga e spessa ) si estende in due dimensioni(si
trascura la terza) e quindi l'equazione di Fourier in condizioni stazionarie e senza generazione
di potenza diventa
Integrando sul semispessore
in direzione
si ha
Se il problema ha
allora al variare di
non varia
quindi
e perciò
Definiamo la temperatura a-dimensionale e la nuova variabile
Sostituendo nell'equazione si ha
Le condizioni iniziali diventano
Definiamo il seno e il coseno iperbolico e la variabile
La soluzione del problema è
e con le condizioni al contorno si ha
La soluzione finale è dunque
Per calcolare il flusso scambiato si guarda alla base dell'aletta per conduzione, ovvero
Efficienza aletta: rapporto tra quanto scambia realmente l'aletta e quanto scambierebbe se
avesse la temperatura uniforme come quella della base
Efficacia aletta: rapporto tra quanto scambia il sistema senza usare le alette rispetto al sistema
che usa le alette
61. Mezzo semi-infinito con gradino di temperatura
Prendiamo in considerazione il caso monodimensionale
Definendo la diffusività termica
l'equazione di Fourier diventa
Essendo l'ingresso a gradino le condizioni al contorno sono:
Consideriamo la temperatura a-dimensionale
ottenendo
Con il metodo delle variabili di similitudine possiamo scrivere che
Essendo l'equazione invariante rispetto al cambio di variabili si può dire che
. Se
allora si può dire che
è anch'essa soluzione. Definiamo la variabile
di similitudine
perciò cambiando variabili
ancora invariante rispetto alla trasformazione.
Quindi l'equazione di Fourier assume la forma
poiché
La soluzione finale è quindi
e
che infatti resta
Il flusso termico per unità di superficie è dato da
62. Mezzo semi-infinito con flusso termico variabile sinusoidalmente nel tempo.
Prendiamo in considerazione il caso monodimensionale
Definendo la diffusività termica
l'equazione di Fourier diventa
Essendo l'ingresso sinusoidale le condizioni al contorno sono:
Anche il mezzo semi-infinito risponderà sinusoidalmente e quindi
L'equazione di Fourier diventa dunque
La soluzione dell'equazione differenziale è quindi
Essendo
allora
poiché non può divergere(è una funzione limitata)
Considerando che
dove
è la lunghezza di diffusione termica
Imponendo la prima condizione al contorno si ha
e poiché
si trova
La soluzione finale è
63. Definizione di radianza spettrale direzionale, potere emissivo spettrale e potere emissivo totale.
La radianza spettrale direzionale indica la potenza termica emessa per irraggiamento rispetto
per unità di superficie, lunghezza d'onda e angolo solido.
Il potere emissivo spettrale, detto anche monocromatico, indica la potenza termica emessa
per irraggiamento da un corpo nero a temperatura T per unità di superficie e di lunghezza
d'onda. Si ottiene integrando su una semisfera la radianza spettrale direzionale:
Il potere emissivo totale è la potenza termica emessa per irraggiamento da un corpo nero su
tutto lo spettro elettromagnetico quindi
64. Definizione delle proprietà di un corpo nero
Un corpo nero è un corpo che, idealmente, assorbe ed emette tutta la radiazione incidente per
qualsiasi lunghezza d'onda e angolo d'incidenza. Inoltre non esiste alcun corpo reale in grado di
assorbire o di emettere più di un corpo nero. Infine è un emettitore diffuso, ovvero la radianza
non ha dipendenza dall'angolazione. è la velocità della luce mentre
è la
costante di Planck e
è la costante di Boltzmann
Radianza spettrale direzionale corpo nero:
Potere emissivo spettrale corpo nero
Potere emissivo totale corpo nero
:
65. Legge di Planck e legge di Wien
L'energia trasmessa per irraggiamento è trasmessa in quanti finiti, associati ad un singolo
fotone. L'energia di un quanto è
con
frequenza della radiazione.
La legge di Planck dice che:
e quindi la radianza spettrale(potere emissivo) dipende dalla lunghezza d'onda e dalla
temperatura del corpo. La lunghezza d'onda corrispondente al potere emissivo massimo
diminuisce all'aumentare della temperatura: questo è il motivo per cui i corpi incandescenti
emettono luce. Il valore di
dove
è massimo alla temperatura segue la legge dello
spostamento di Wien ovvero
(quindi il prodotto è costante)
66. Legge di Stefan-Boltzmann
La legge di Stefan-Boltzmann afferma che il potere emissivo totale di un corpo nero e pari a
67. Definizione di emissività e corpo grigio
L'emissività è un numero che indica il rapporto tra il potere emissivo di un oggetto e il potere
emissivo di un corpo nero alla stessa temperatura. Un corpo nero ha
mentre un corpo
con emissività
si definisce corpo grigio. L'emissività di corpi reali dipende dalla
direzione, dalla lunghezza d'onda, dalla temperatura e dalla finitura superficiale(all'aumentare
della rugosità aumenta l'emissività). I metalli hanno un'emissività bassa crescente alla
temperatura mentre materiali non metallici hanno una emissività elevata che diminuisce
all'aumentare di temperatura. Il corpo grigio ha inoltre un coefficiente di assorbimento
.
68. Coefficienti di trasmissione, riflessione e assorbimento
La potenza termica incidente si può definire come la somma della potenza termica trasmessa,
assorbita e riflessa da un corpo:
Dividendo tutto per la potenza termica incidente si ottiene
Coefficiente di trasmissione:
Coefficiente di riflessione:
Coefficiente di assorbimento:
I coefficienti sono tutti positivi e quindi non superano il valore di . Superfici opache hanno
e perciò si ha
69. Legge di Kirchhoff
Se consideriamo un piccolo corpo di superficie contenuto in una cavità più grande alla stessa
temperatura abbiamo che la cavità più grande si può considerare un corpo nero. Il corpo
piccolo riceve quindi una radiazione
, assorbe una radiazione
ed
emette una radiazione
. Essendoci equilibrio termico tra i due corpi significa che la
potenza termica scambiata tra i due corpi è nulla, ovvero la radiazione assorbita è pari a quella
emessa
e quindi si ha che
che viene detta legge di Kirchhoff
70. Irraggiamento tra parete nera e grigia affacciate
Due pareti nere affacciate hanno una potenza termica scambiata per irraggiamento che è pari
alla differenza del potere emissivo totale delle due pareti
Una parete nera affacciata ad una parete grigia di emissività irraggia una potenza termica
mentre la parete grigia irraggia
, ovvero in parte
emette e in parte riflette ciò che arriva dalla superficie nera. Considerando la parete grigia
opaca si ha
e per la legge di Kirchhoff
. Si ha dunque
e perciò
. La potenza termica scambiata è dunque
71. Definizione di fattore di vista
Prendiamo due corpi, e : la potenza termica da a è uguale a
con l'angolo solido
e la distanza tra i due corpi, e sono le aree mentre gli angoli
sono gli angoli tra linea congiungente i due corpi e la normale alle superfici.
Integrando sulle superfici si ottiene
è il fattore di vista della superficie rispetto alla superficie ed indica la frazione della
potenza emessa da nei confronti di .
indica la frazione di radiazione che, emessa da un
corpo, viene ricevuta dallo stesso. Se il fattore di vista
ha valore unitario significa che tutta
la superficie emessa da viene ricevuta da .
72. Regola della reciprocità e della somma per il fattore di vista
La regola della reciprocità dice che
La regola della somma dice che per un corpo esposto a pareti vale
73. Funzione di radiazione e calcolo della potenza termica emessa da un corpo nero tra due
lunghezze d'onda
Viene definita funzione di radiazione il rapporto tra il potere emissivo monocromatico di un
corpo nero fino ad una determinata lunghezza d'onda e il potere emissivo spettrale totale
Il valore di si trova mediante tabelle, guardando il valore di . Dunque
è la quota
parte emessa da un corpo nero alla temperatura fino a . La potenza termica scambiata tra
due lunghezze d'onda e è quindi:
74. Resistenza superficiale all'irraggiamento e resistenza spaziale
La radiosità di un corpo e definita come la somma della radiazione emessa e quella riflessa.
La potenza termica scambiata da è quindi
perciò si può definire la resistenza superficiale all'irraggiamento
Due corpi affacciati presentano anche una resistenza spaziale in quanto
75. Irraggiamento tra due superfici grigie
Due superfici grigie scambiano una potenza termica pari al rapporto tra la differenza dei loro
poteri emissivi totali(considerati corpi neri) e la somma delle resistenze(spaziali e di superfici):
Inoltre la somma delle potenze termiche trasmesse da una superficie verso altre superfici è
uguale alla potenza termica dalla stessa superficie.
76. Convezione forzata: numero di Nusselt, Reynolds, Prandtl
Lo scambio termico può avvenire per convezione forzata
dove è il
coefficiente di scambio convettivo, è la temperatura superficiale del corpo e
è la
temperatura asintotica del fluido. Il fenomeno avviene quando un fluido incontra un oggetto di
temperatura diversa.
dipende dalla densità del fluido , dalla velocità
, dalla lunghezza caratteristica del corpo
, dalla conducibilità del fluido , dal calore specifico e dalla viscosità .
Il numero di Nusselt è il rapporto tra lo scambio convettivo e quello conduttivo di un
fluido(mentre per Biot lo scambio conduttivo è quello del corpo).
Il numero di Reynolds serve ad indicare se un fluido ha moto laminare o turbolento ed è pari al
rapporto tra le forze d'inerzia(energia cinetica) e le forze viscose (energia dissipata per
viscosità).
Un fluido passante su lastra piana è turbolento se
mentre un fluido in un tubo è
laminare se
e turbolento se
Il numero di Prandtl indica il rapporto tra la diffusione della quantità di moto e la diffusione del
calore in un fluido. Non dipende dunque dal moto ma solo dal fluido, infatti
Se
lo stratolimite di temperatura è molto più spesso di quello della velocità(metalli
liquidi); Se
lo stratolimite della velocità è molto più spesso di quello della temperatura
(oli); Se
si ha che la dissipazione di calore e di energia cinetica è simile (come avviene
nei gas)
77. Definizione di viscosità dinamica e cinematica
Un corpo(lastra) che si muove in un fluido a velocità ad una distanza dalla parete riceve
una forza d'attrito viscoso proporzionale alla velocità e all'area del corpo ed inversamente
proporzionale alla distanza dalla parete. Il fluido che aderisce con la parete, per il principio di
aderenza, ha velocità nulla mentre quello in aderenza con il corpo ha velocità . Risulta quindi:
con la costante di proporzionalità
detta viscosità dinamica(indica la capacità di
resistere a sforzi tangenziali). Perciò, posta la distanza
La viscosità cinematica è
sull'asse
ed è una velocità areolare(
si ha che
)
78. Convezione forzata su lastra piana: definizione di stratolimite e relazioni semiempiriche per lo
scambio termico
Lo stratolimite è una regione dello spazio dove si esauriscono il
delle variazioni di una
proprietà di un fluido. Lo stratolimite delle velocità può essere laminare o turbolento a
seconda delle forze che predominano(Reynolds) e al di fuori di esso si ha una velocità
indisturbata.
è il numero di Reynolds puntuale
Per calcolare il coefficiente si scambio convettivo occorre conoscere il numero di Nusselt, che
può essere ricavato dalle seguenti relazioni semiempiriche. La temperatura o il flusso imposto
fanno riferimento alla lastra.
a. Flusso laminare con temperatura imposta( puntuale)
b. Flusso laminare con temperatura imposta( medio)
c. Flusso turbolento con temperatura imposta( puntuale)
d. Flusso laminare con temperatura imposta( medio)
e. Flusso laminare con flusso imposto( puntuale)
f. Flusso turbolento con flusso imposto( puntuale)
79. Convezione dentro i tubi. Calcolo di a costante
In un tubo di raggio la velocità massima si ha nel centro. La natura del moto dipende dal
numero di Reynolds: è laminare se
e turbolento se
. Il profilo delle
velocità è a forma di D e si può definire la velocità media come
portata si può scrivere dunque
. Le relazioni semiempiriche sono
a. Flusso laminare con temperatura di superficie imposta
b. Flusso laminare con flusso imposto
c. Flusso turbolento con temperatura di superficie imposta o flusso imposto
. La
Un tubo di superficie con temperatura del fluido in entrata
sottoposto ad un flusso ha un bilancio energetico:
e perciò la temperatura in uscita è
, portata
e calore specifico
80. Calcolo di a costante
Consideriamo un tubo di raggio di superficie con temperatura superficiale costante nel
quale scorre un fluido che entra a temperatura ed esce dal tubo a temperatura . Poniamo
la direzione pari a quella della lunghezza del tubo. Il bilancio energetico diventa:
La superficie
e perciò
81. Convezione naturale: fenomenologia, condizioni necessarie, numero di Rayleigh, esempi.
La convenzione naturale è un fenomeno che si verifica per forze di galleggiamento dovute a
differenze di temperatura nel fluido. Le condizioni necessarie sono tre:
a. La densità del fluido deve dipendere dalla temperatura
b. Deve essere presente un campo gravitazionale
c. Se il gradiente di temperatura
e sono paralleli devono essere equiversi
Il numero di Grashoff indica il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze viscose
Per un gas perfetto
Il numero di Rayleigh è pari al prodotto tra il numero di Grashoff e quello di Prandtl
È importante in quanto serve per trovare
da
82. Tipologia e problemi degli scambiatori di calore.
Gli scambiatori di calore sono organi di macchina che servono a far scambiare energia termica
tra due fluidi a temperature diverse. Ne esistono di vari tipi
a. A doppio tubo, ovvero con due tubi concentrici dove in uno passa il fluido freddo
mentre nell'altro il fluido caldo. A seconda della direzione dei fluidi uno scambiatore
può essere detto equicorrente(fluidi con stessa direzione) o controcorrente(fluidi in
direzioni opposte.
b. Compatto, se utilizza un sistema di tubi intervallati perpendicolarmente da alcune
alette e lamierine che aumentano la superficie di scambio. Tra le piastre passa un fluido
mentre nei tubi passa l'altro. Si applica questo scambiatore nei radiatori delle
automobili ed anche nei polmoni umani(lo scambio qui è anche di massa). Il vantaggio
di questi scambiatori è il volume ridotto.
c. A mantello, se un fluido passa in alcuni tubi paralleli coperti da un mantello cilindrico
nel quale passa l'altro fluido(la cui traiettoria viene estesa con delle piastre detti
diaframmi). Sebbene vengano usati maggiormente nelle applicazioni industriali sono
molto ingombranti e pesanti(inadatti a mezzi di trasporto).
d. A piastre, ovvero costituito da piastre (con piccoli condotti) intervallate
alternativamente dal fluido caldo e dal fluido freddo. In questo modo la corrente fredda
viene a contatto con quella calda in maniera doppia, migliorando lo scambio termico.
83. Relazioni di scambio termico per scambiatori di calore in equicorrente e in controcorrente
In uno scambiatore di calore controcorrente, ovvero con fluidi in direzioni opposte, si può
verificare che la temperatura in uscita del fluido freddo sia maggiore di quella in uscita del
fluido caldo(cosa che non si verifica in quelli equicorrente)
Consideriamo uno scambiatore equicorrente. Dato che vi è solo un salto entalpico la potenza
termica trasmessa nello scambiatore è pari a
Definiamo
dove
con
il coefficiente globale di scambio termico e otteniamo
è il prodotto del perimetro del tubo interno per
(quindi l'area di scambio)
temperatura media logaritmica. Le sezioni 1 e 2 non sono
necessariamente ingresso e uscita in quanto uno scambiatore controcorrente non ha ingresso
e uscita definiti. Inoltre
, rendendo necessaria una minore per lo
scambiatore controcorrente.
84. Efflussi da serbatoi, equazione di Hugoniot, determinazione delle condizioni di blocco sonico
In un condotto di uscita da un serbatoio si ha
La velocità del suono è definita come
Il numero di Mach è definito come
Essendo in condizioni stazionarie
Quando
Quando
Essendo poi
ovvero
un aumento di sezione corrisponde ad una diminuzione di velocità
un aumento di sezione corrisponde ad un aumento di velocità
Questo vuol dire che in un condotto convergente - divergente il fluido raggiunge la velocità del
suono nella sezione di gola. Nel caso ideale, poste 1 sezione d'entrata e 2 sezione d'uscita, il
passaggio nel condotto è isoentropico con diminuzione dell'entalpia. Nel caso reale si ha anche
una variazione di entropia con conseguente diminuzione di entalpia(meno rispetto al caso
ideale). Se il condotto è progettato male, nella sezione di gola la vena fluida si rompe causando
un enorme aumento di entropia e una variazione quasi nulla di entalpia dal punto di gola.
Considerando la trasformazione (1-2) isoentropica e integrando
si ha
Il massimo della portata(calcolata nella sezione di gola)
si trova ponendo
Il massimo della portata si ottiene quando la velocità
. Se si aumenta la pressione (o
si diminuisce si ha il blocco sonico, ovvero la portata non aumenta più ma resta costante.
Questo perché nei fluidi le informazioni viaggiano alla velocità del suono