Macchine 1

Termodinamica - Macchine termiche
Liceo Scientifico Tecnologico
Ciclo di OTTO
Sviluppo curato da: Matteo Caporrella
Docente: prof. Quintino d’Annibale
Classe IV LST A
a.s. 2005/2006
Esercizio
In una macchina termica ideale a due fasi, durante la prima fase viene
assorbita una quantità di calore Q1 a una temperatura T1 , viene
eseguito il lavoro L1 , e viene espulsa una quantità di calore Q2 a una
temperatura più bassa T2 . Durante la seconda fase viene assorbito il
calore ceduto durante la prima, viene eseguito il lavoro L2 , e viene
espulsa una quantità di calore Q3 a una temperatura inferiore T3 .
Dimostrate che il rendimento della macchina termica combinata è.
(T1 − T3 )T1
Il rendimento termico di una macchina è una misura della sua capacità di
trasformare l’energia immessa in lavoro. Per la macchina in questione,
l’energia immessa è il calore Q1 , e il lavoro ottenuto per l’uso è la
somma dei lavori
L1 e L2 .
Si può definire il rendimento quindi come:
1)
η=
L + L2
L nel nostro caso
η= 1
Q1
Q1
Tutti i motori alla fine di un ciclo tornano allo stato iniziale. Ciò implica
che l’energia interna del fluido motore ritorna al valore originale e quindi
∆Eint = 0 . La prima legge della termodinamica ∆Eint = Q − L impone
quindi:
2)
0 = ( Q1 − Q2 ) − L1
Detto a parole, la differenza tra il calore netto scambiato e i lavoro compiuto durante il ciclo dev’essere nullo.
Risolvendo rispetto a L1 si ha:
3)
L1 = Q1 − Q2
Applicando lo stesso ragionamento alla seconda fase della macchina, si trova analogamente:
4)
L2 = Q2 − Q3
Sostituendo i valori trovai nella 3) e nella 4) nella 1) si trova:
5)
η=
Q1 − Q2 + Q2 − Q3
Q − Q3
Q
= 1
= 1− 3
Q1
Q1
Q1
E’ possibile trovare un’altra espressione per il rendimento del motore ideale prendendo in considerazione la
variazione entropica durante il ciclo. Dato che il processo è interamente reversibile per definizione, dalla
seconda legge della termodinamica:
6)
∆S ≥ 0
si evince che la variazione entropica netta per tutto i sistema chiuso dev’essere nulla. La variazione
entropica del fluido motore è nulla perché il fluido al termine del ciclo si ritrova al medesimo stato di
partenza. Per la sorgente calda si ha una diminuzione di entropia dovuta al calore perso, compensata dalla
crescita di entropia che subisce la prima sorgente fredda a T2 , la quale a sua volta subisce una diminuzione
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Termodinamica - Macchine termiche
di entropia dovuta al calore perso, compensata dalla crescita di entropia che subisce la seconda sorgente
fredda a T3. Se la variazione totale dev’essere nulla, e considerando ∆S1, la diminuzione di entropia della
prima fonte, ∆S2 l’aumento della seconda, ∆S3 la diminuzione della seconda e ∆S4 l’aumento della terza, si
ha:
7)
I due valori
∆Stot = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 + ∆S 4 = 0
∆S2 e ∆S3 sono uguali in modulo perché riferiti alla stessa quantità di calore trasferita, ma
opposti di segno perché il calore viene in un primo momento acquistato e in un secondo ceduto, e quindi si
annullano. Si ricava quindi:
8)
∆S1 = ∆S4
Scrivendo tali variazioni nella forma data dalla relazione:
9)
∆S =
Q
T
si trova:
10)
Q1 Q3
=
T1 T3
ossia
11)
Q3 T3
=
Q1 T1
che sostituito nella 5) diventa:
12)
η = 1−
T3
= (T1 − T3 )T1
T1
c.v.d.
Matteo Caporrella
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