Frequenza assoluta o frequenza relativa?
L’introduzione a questa attività (cfr: Barra, 2000) parte dall’osservazione della realtà, intesa
in questo caso come riflessione su avvenimenti legati a giochi tipo Lotto, Super Enalotto, etc...
Quest’approccio dovrebbe far scaturire una discussione e dunque una riflessione che metta in
evidenza i numerosi misconcetti e fraintendimenti che sono alla base delle considerazioni che
vengono
fatte
dalla
maggior
parte
di
noi
nelle
situazioni
di
incertezza.
I fraintendimenti nascono anche dalla mancata distinzione tra frequenza assoluta e
frequenza
relativa.
Sono infatti comuni le seguenti “convinzioni”:
- in un numero elevato di casi la frequenza “rivela” la probabilità;
- l’evento che ritarda acquista maggiore probabilità rispetto alla norma, anzi la probabilità
viene considerata in funzione crescente rispetto al tempo del ritardo;
- si crede fermamente nella ”compensazione”.
Con quest’attività si vuole dunque favorire la consapevolezza da parte del ragazzo del fatto
che, ad esempio:
1) non è vero che in tanti lanci il numero delle Teste è vicino al numero delle Croci;
2) non è vero che la frequenza assoluta ci dirà, all’aumentare del numero delle prove, quanto
sia la probabilità;
3) non è vero che se in un certo numero di prove è uscito un gran numero di Teste, deve
esserci un recupero delle croci perché la frequenza relativa è un numero vicino al 50%;
4) il numero “pigro” non ha memoria, in generale il caso non ha memoria.
Descrizione attività
Fase 1
Il problema e la discussione iniziale.
L’insegnante pone il problema alla classe e invita gli alunni a discutere liberamente a formulare
ipotesi, ed a proporre attività:
“Supponiamo di lanciare una moneta prima 10 volte, poi 50 volte ed infine 100 volte.
Secondo voi la differenza tra il numero delle teste e il numero delle croci aumenterà?
Che relazione potrebbe esserci fra il numero delle teste e il numero delle croci?"
Proviamo ad eseguire più volte questo esperimento. Formate dei gruppi.
Indicazioni metodologiche
È possibile che il ragionamento dei ragazzi porti ad una conclusione dettata dall’intuizione e
dalla “pratica” ovvero che la “frequenza” di Testa “deve essere” un numero vicino ad ½, così
come la “frequenza” di Croce.
In conseguenza di ciò può essere che qualcuno arguisca subito dopo che il numero delle Teste
dovrà essere “quasi uguale” al numero delle Croci e questo può far pensare che
potrebbe esserci una compensazione: ciò può anche dipendere dal fatto che, nel linguaggio
comune, si pone scarsa attenzione all’uso delle parole.
Ad esempio si dice la frequenza “tende” alla probabilità, confondendo la frequenza assoluta con
quella relativa; questo tipo di espressione, oltre ad inserire nella discussione un’idea confusa
(non è chiaro cosa voglia dire “tende”), favorisce sicuramente errori di comprensione.
È importante far osservare ai ragazzi che, se si vuole stimare la probabilità di un evento con un
numero, non ha senso scegliere la frequenza assoluta in quanto essa dipende dal numero
delle prove eseguite, ma potrebbe aver senso scegliere la frequenza relativa.
Fase 2
Esperimenti a confronto
a) La classe viene divisa in gruppi, ciascuno dei quali effettua tre serie di lanci di una moneta:
10 lanci, 50 lanci, 100 lanci.
Per recuperare tempo i ragazzi possono nel gruppo suddividersi il numero dei lanci e poi
mettere insieme i risultati.
Indicazioni metodologico-operative
A ciascun gruppo viene consegnata una scheda nella quale sono disegnati tre quadrati uguali
suddivisi rispettivamente in 10, 50 e 100 parti uguali:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
La scheda contiene le seguenti indicazioni:
1.
2.
3.
4.
Lanciare una moneta.
Colorare il primo riquadro in alto a sinistra della Figura 1 con il blu se è uscita testa.
Colorare il primo riquadro in alto a destra della Figura 1 con il rosso se è uscita croce.
Ripetere per 10 volte dal punto 1) al punto 3). (È necessario che i riquadri colorati con
la stessa tinta siano adiacenti).
5. Ripetere dal punto 1) al punto 3) per 50 volte per la Figura 2.
6. Ripetere dal punto 1) al punto 3) per 100 volte per la Figura 3.
b) I gruppi registrano i risultati ottenuti utilizzando i due colori indicati.
Indicazioni metodologico operative
Terminata la registrazione, ciascuno dei tre quadrati offre la rappresentazione dei risultati del
corrispondente esperimento. Si osserverà che sebbene la differenza tra le frequenze assolute
di Testa e di Croce mostri un aumento, le aree contenenti il colore rosso e quello blu tendono
ad essere equivalenti all’aumentare del numero dei lanci, poiché per ogni quadrato la superficie
di ogni parte dipende dal numero di lanci effettuato.
Fase 3
Elaborazione ed analisi critica dei risultati
a) I ragazzi calcolano la frequenza relativa e quella percentuale di entrambe le modalità.
Indicazioni metodologico-operative
Sulla scheda sarà presente la seguente tabella che mostra le frequenze assolute f a, le
frequenze relative fr e le frequenze percentuali f%.
n° lanci
fa (T)
fa(C)
fr (T)
fr (C)
f%(T)
F%(C)
10
…...
…...
……
…...
…...
……
50
…...
…...
……
…...
…...
……
100
…...
…...
……
…...
…...
……
I ragazzi dovranno compilare la prima riga della tabella per l’esperimento di 10 lanci, la
seconda riga per l’esperimento di 50 lanci e la terza riga per l’esperimento di 100 lanci.
b) Prima riflessione sui risultati ottenuti.
Indicazioni metodologico-operative
Si analizzano i risultati ottenuti: si dovrebbe notare che la frequenza relativa è un numero
vicino ad ½ e quella percentuale vicino al 50%.
Visivamente, avendo usato due colori diversi con l’accortezza di avere i riquadri adiacenti con
lo stesso colore, si coglie che è sempre più verosimile che la frequenza relativa ci possa
dire qualcosa sulla (misura della) probabilità, all’aumentare del numero dei lanci.
Con questo tipo di rappresentazione si pone bene in evidenza che:
si è verificato che il numero delle Teste non si avvicina al numero delle Croci, anzi tende
ad allontanarsene al crescere del numero dei lanci;
la vicinanza al valore ½ della frequenza relativa risulta dalla presenza dei due colori,
uno per le Teste e l’altro per le Croci, all’interno del quadrato;
il recupero, ad esempio delle Croci, non c’è (ci potrebbe essere anche un sorpasso), ma
il risultato della singola prova ha un “peso minore” passando dal primo esperimento al
secondo e al terzo, quando si considera la frequenza relativa o quella percentuale
(infatti, l’area di una parte diminuisce nel passaggio dalla prima alla terza figura).
Spunti per un approfondimento disciplinare
Diverse concezioni di probabilità
Introdurre il concetto di probabilità è senza dubbio delicato.
L’unità di apprendimento proposta si basa su due interpretazioni della probabilità, quella
frequentista e quella classica.
L'interpretazione frequentista si basa su un approccio sperimentale, come quello
presentato dall’unità di apprendimento.
Essa richiede infatti che l’esperimento casuale venga ripetuto (effettivamente) n volte in
situazioni identiche. Se nel corso delle n replicazioni n(E) sono favorevoli all’evento E, la
frazione n(E)/n è detta frequenza relativa dell’evento E.
Per tale frequenza vale il
postulato empirico del caso o legge empirica del caso:
“In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli
eventi possibili si manifesta con una frequenza (relativa) che è presso a poco uguale alla sua
probabilità. L’approssimazione cresce ordinariamente col crescere del numero delle prove”
(Castelnuovo, p.3).
L’enunciato contiene delle locuzioni imprecise come “presso a poco” o “ordinariamente”.
L’imprecisione è inevitabile tutte le volte che si stabilisce un raffronto fra una nozione astratta
(probabilità) e un dato empirico (frequenza) (Castelnuovo, p.3).
Nell’unità l’interpretazione classica viene data per scontata. Infatti nessuno si meraviglia se
gli si dice che una moneta ben equilibrata possiede, quando la si lancia su un tavolo, la stessa
probabilità di mostrare sul piano testa o croce.
In effetti anche una affermazione così semplice sottende alcuni punti chiave su cui occorre fare
chiarezza. Essi sono: il concetto di esperimento casuale, di spazio degli eventi, di evento, e
l’associazione della probabilità ad un evento.
Un esperimento è casuale quando sottoposto ad esecuzione o prova dà luogo ad un risultato
non prevedibile, ossia l’esito della prova è a priori sconosciuto (nell’unità di apprendimento,
lanciando la moneta non si sa quale faccia si presenterà).
I possibili esiti di un esperimento casuale sono però tutti definibili in anticipo (lanciando una
moneta equilibrata, so che si presenterà Testa o Croce).
L’insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale si chiama spazio degli eventi (nel
lancio di una moneta lo spazio degli eventi è Testa Croce).
Qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario si chiama evento (E) (nel caso del lancio di
una moneta sono eventi rispettivamente E1= si presenta Testa e E2 = si presenta Croce).
In un esperimento casuale che si realizza in N modi diversi, se il numero di realizzazioni
favorevoli all’evento è N(E), la probabilità associata all’evento E [P(E)]è: N(E)/N. Ne consegue
che P(E)>0, oppure, nel caso di un evento impossibile, P(E)=0.
Inoltre se Ẽ è l’evento contrario ad E, e dunque i due eventi si escludono a vicenda, P(E) +
P(Ẽ) =1 (nel caso del lancio della moneta equilibrata la probabilità associata ad E 1 è ½, così
come la probabilità associata ad E2.
Se ci chiedessimo la probabilità che la moneta resti di taglio essa è uguale a 0, l’evento è
considerato impossibile. La probabilità che esca o testa o croce è invece pari ad 1, infatti P(E 1)
+ P(E2)=1, essendo E1 ed E2 eventi esclusivi. P(E1) e P(E2) son o entrambi positivi).
La probabilità, secondo la definizione classica, si sviluppa in modo teorico, ed è fondata, come
si è già detto, sulla definizione di esperimento casuale, sulla individuazione dello spazio degli
eventi corrispondente e sulla chiara definizione dell’evento al quale si intende assegnare la
corrispondente probabilità.
I giochi d’azzardo hanno rappresentato un terreno fertile per lo sviluppo del calcolo delle
probabilità perché hanno dato modo di costruirne gli elementi di base in modo teorico.
Elementi per prove di verifica
Gruppo n° …
Componenti: ………………………………………………
Osservare l’andamento delle uscite testa e croce in una serie di lanci.
Le monete sono di colore blu e rosso.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Lanciare una moneta.
Colorare il primo riquadro in alto a sinistra della Figura 1 con il blu se è uscita testa.
Colorare il primo riquadro in alto a destra della Figura 1 con il rosso se è uscita croce.
Ripetere per 10 volte dal punto 1) al punto 3). (È necessario che i riquadri colorati con
la stessa tinta siano adiacenti).
Compilare la prima riga della tabella (Figura 4).
Ripetere dal punto 1) al punto 3) per 50 volte per la Figura 2.
Compilare la seconda riga della tabella (Figura 4).
Ripetere dal punto 1) al punto 3) per 100 volte per la Figura 3.
Compilare la terza riga della tabella (Figura 4)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
n° lanci
fa (T)
fa (C)
fr (T)
fr (C )
10
……………
……………
……………
……………
50
……………
……………
……………
……………
100
……………
……………
……………
……………
Figura 4
Altre attività con gli studenti
1) Simulazione al computer
L’attività precedente ci ha permesso di osservare come vanno sperimentalmente le cose. Chi si
aspettava di ottenere un ugual numero di Teste e di Croci, potrà essere rimasto deluso.
Qualcuno non è ancora convinto? Vogliamo provare ad aumentare il numero delle prove?
Bene, a questo punto però è necessario per questioni di calcolo e di elaborazione dei dati,
usare uno strumento più funzionale al nostro scopo. Simuleremo con il computer un numero di
lanci superiore a 100 servendoci del foglio elettronico Excel.
Indicazioni metodologico-operative
Proprio per rafforzare queste conclusioni o per arrivare ad esse, è fondamentale l’esperienza di
simulazione con il computer in laboratorio.
La simulazione al computer favorisce operativamente l’aumento del numero di prove in poco
tempo e con facilità.
In questo modo, avendo a disposizione un gran numero di prove, si potrà porre l’attenzione su
aspetti che giocano un ruolo determinante per la piena comprensione dei concetti fondamentali
emersi finora. Si potrà ribadire che calcoli o ragionamenti fatti per mostrare che lanciando una
moneta, diventa più probabile l’uscita Testa, dopo che è uscita Croce, non hanno alcun
fondamento.
Utilizzando il foglio elettronico Excel, si rappresenteranno (ad esempio) i dati ottenuti della
simulazione con aerogrammi.
Anche in questo caso le aree dei due diversi colori tenderanno ad essere equivalenti.
2) Approfondimento numerico
Dopo la simulazione, si potranno sfruttare i risultati ottenuti per evidenziare il ruolo che i
concetti di rapporto o di proporzionalità giocano su numeri molto alti.
Indicazioni metodologico-operative
Si analizza il diverso significato fra l'operazione “Numero di Teste meno Numero di Croci” (o
viceversa) e la medesima operazione effettuta con le corrispondenti frequenze relative.
Documentazione e materiali
VERSIONE MULTIMEDIALE DELL'ATTIVITÀ
Flash moneta
MATERIALI PER LE PROVE DI VERIFICA
Versione cartacea delle prove di verifica in formato .doc o in formato .pdf.
Bibliografia e sitografia
BIBLIOGRAFIA
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per
attività e prove di verifica. Scuola primaria. Scuola secondaria di I grado.
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
AAVV, Matematica 2003. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per
attività e prove di verifica. Scuola secondaria di II grado.
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html.
Barra, M., Probabilità e gioco d'azzardo, in Le scienze e il loro insegnamento, nn.5-6, 2000,
pp.26-32.
Castelnuovo, G., Calcolo delle probabilità, Nicola Zanichelli Editore, Bologna, 1961.
PISA 2003, Valutazione dei quindicenni, a cura dell’OCSE, Roma, Armando Armando, 2004.
Rényi, P., Lettere sulla probabilità, a cura di E. Lombardo, in INDUZIONI, 30, 2005.
SITOGRAFIA
Sito dell'Unione matematica Italiana (UMI):
http://www.dm.unibo.it/umi
Sezione Didattica:
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
Matematica 2001:
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
Matematica 2003:
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
Dal sito INVALSI
OCSE-PISA 2006:
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/
Protocollo per la sperimentazione
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli sinteticamente
per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
esplicitare gli adattamenti necessari;
formulare il progetto didattico relativo;
preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative alla
situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di sperimentazione
vissuto in classe). L’insegnante dovrà elaborare un diario con l’esposizione dell’esperimento
svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta didattica, delle difficoltà incontrate in
particolare nel processo di costruzione di significato e di procedura di soluzione e di come sono
state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.
