Possibile Es1:Calcolo
approssimato
E’ noto che i lati di un parallelepipedo, a base
quadrata, misurano, in cm, rispettivamente
x=6±0.03,lato della base, ed y=8±0.02, altezza
parallelepipedo. Calcolare valore stimato, errore
relativo ed errore assoluto della superficie e del
volume del parallelepipedo.
Calcolo approssimato
SOLUZIONE:La superficie S del parallelepipedo è data
da S= 4xy + 2 x2
Il valore stimato di S è dunque 4(6)(8) + 2(6)(6) =192 +
72 =264 cm2 ;
errore relativo di S = 3/600 + 2/800 +2(3/600))=7/400=
1.75% ; errore assoluto di S= 264(1.75/100)=4.62 cm2 ;
il volume V del parallelepipedo è dato da V= x2y, il
valore stimato di V è dunque (6)(6)(8)=288 cm3 ;
l’errore relativo di V è dato da 2(3/600) + 2/800 =
1/100+1/400= 5/400 =1/80; l’errore assoluto di V è
288(1/80) =3.6 cm3 .
Possibile Es1:Percentuali
Per preparare della frutta sciroppata ho
predisposto 600g di sciroppo al 20%. Poi leggo
sul ricettario che lo sciroppo deve essere
preparato al 30%. Quanto zucchero devo
aggiungere?
Percentuali
SOLUZIONE: Dalla relazione x/600 = 20/100 si
ricava che la quantità di zucchero iniziale è x=
120 g; aggiungiamo z di zucchero per arrivare
al 30%, si ha (z+120)/(600+z) = 30/100 da cui
z=600/7 ≈ 86 g
Possibile Es2: Probabilità
In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2
biglie Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5
estrazioni con rimessa, calcola la probabilità:
a) di estrarre una sola biglia Gialla;
b) almeno una biglia Gialla;
c) al più una biglia gialla
d) tutte biglie non Gialle
Possibile Es2: Probabilità
Con rimessa
• di estrarre una sola biglia Gialla
5(4/9)(5/9)4
b) almeno una biglia Gialla
1- (5/9)5
c) al più una biglia gialla
(5/9)5 + 5(4/9)(5/9)4
d) tutte biglie non Gialle
(5/9)5
Possibile Es2: Probabilità
In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2 biglie
Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5
estrazioni senza rimessa, calcola la
probabilità:
a) di estrarre una sola biglia Gialla;
b) almeno una biglia Gialla;
c) al più una biglia gialla
d) tutte biglie non Gialle
Possibile Es2: Probabilità
senza rimessa
a) di estrarre una sola biglia Gialla
5(4/9)(5/8)(4/7)(3/6)(2/5)=10/63
oppure con il calcolo combinatorio: C4,1·C5,4/C9,5
b) almeno una biglia Gialla
1-(5/9)(4/8)(3/7)(2/6)(1/5) = 1-1/126= 125/126
oppure con il calcolo combinatorio: 1- C5,5/C9,5
c) al più una biglia gialla
1/126 + 10/63
d) tutte biglie non Gialle
1/126
Possibile Es2: Probabilità
Siano A e B due eventi in uno spazio degli
eventi Ω.
E’ possibile che p(A ∩ B) > p(A ∪ B)?
Non è possibile, infatti A ∩ B⊆ A ∪ B, vale a
dire che A ∩ B è un sottoevento di A ∪ B, per
cui ogni volta che si verifica A ∩ B si verifica
anche A ∪ B, e quindi p(A ∩ B) ≤ p(A ∪ B).
Un esercizio di probabilità
Il colore di una specie di legumi è determinato geneticamente da
un gene con due possibili alleli: l’allele “V”dominante del colore
verde e l’allele “g” recessivo del colore giallo. La popolazione di
legumi che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di HardyWeinberg, e sai che il 70% degli alleli nella popolazione sono
“V” e il 30% sono “g”.
(1) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella
popolazione abbia colore verde?
SOL: Indichiamo con Fg ed FV rispettivamente l’evento “fenotipi
giallo”, “fenotipo verde”, si ha P(Fg)=(0.3)2 = 0.09, dunque
P(FV)= 0.91
Un esercizio di probabilità
(2) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella
popolazione abbia colore giallo sapendo che il primo “genitore”
ha colore giallo ed il secondo ha colore verde?
SOL:Indichiamo con Fg l’evento “figlio di colore giallo” e con Pg e
SV rispettivamente gli eventi “primo genitore giallo” “secondo
genitore verde”, si deve calcolare P(Fg | Pg ∩ SV ), si ha
P(Fg | Pg ∩ SV )=P(Fg ∩Pg ∩ SV )/P(Pg ∩ SV )=
((0.09)(2(0.3)(0.7)(1/2))/(0.09)(0.91) = 21/91
(3) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella
popolazione abbia colore giallo sapendo che entrambi i “genitori”
hanno colore giallo?
SOL: Se i genitori sono entrambi gialli sono di genotipo gg entrambi
e quindi il figlio sarà certamente giallo
Un esercizio di probabilità
(4) Qual è la probabilità che il primo “genitore” abbia colore
verde, sapendo che il figlio ha colore giallo?
SOL: E’ richiesta la P(PV | Fg ) = P(PV ∩ Fg ) /P(Fg )
Se non si hanno informazioni sui genitori la probabilità che il figlio
sia giallo corrisponde alla probabilità che un individuo scelto a
caso nella popolazione sia giallo, vale a dire che P(Fg ) = 0.09
L’evento figlio è giallo e il primo genitore verde è possibile solo se il
primo genitore è del genotipo Vg, mentre, non avendo
informazioni, per il secondo genitore possiamo ipotizzare i
genotipi gg oppure Vg, dunque si ha
P(PV | Fg ) = 2(0.3)(0.7)[2(0.3)(0.7)(1/4) + 0.09(1/2)]/0.09 =0.7
che corrisponde alla frequenza dell’allele V
Ancora probabilità:gruppi sanguigni…..
In una data popolazione molto ampia il 60% appartiene al gruppo
sanguigno O, il 28% al gruppo B, il 10% al gruppo A, il 2% al
gruppo AB
Si scelgono a caso 8 individui nella popolazione, calcolare la
probabilità che
a) nessuno appartenga al gruppo B
b) al più due appartengano al gruppo B
SOLUZIONE: a) (0.72)8 ; b) (0.72)8 + 8·(0.28) (0.72)7 + 28(0.28)2
(0.72)6
Ancora probabilità: occhiali…..
Da un'indagine nelle scuole risulta che la percentuale degli alunni
che portano gli occhiali è il 12% nelle scuole elementari, il 23%
nelle scuole medie, e il 42% nelle scuole superiori.
a) Calcolare la probabilità che scegliendo a caso 3 studenti, uno per
fascia, almeno uno porti gli occhiali
b) Scegliendo uno studente a caso fra tutti (e supponendo che la
scelta di ogni fascia sia equiprobabile) calcolare la probabilità
che lo studente porti gli occhiali
c)Sapendo che lo studente scelto porta gli occhiali, calcolare la
probabilità che frequenti le scuole elementari
Ancora probabilità: occhiali…..
SOLUZIONE: a) calcoliamo la probabilità che nessuno porti gli
occhiali, (0.88)(0.77)(0.58), quindi la probabilità richiesta è
1 – (0.88)(0.77)(0.58);
b) 1/3(0.12+0.23+0.42)= 1/3(0.77);
c) Indicando con E l’evento “lo studente frequenta le scuole
elementari” e con O l’evento “lo studente porta gli
occhiali”, è richiesta P(E|O) = 1/3(0.12)/1/3(0.77) = 12/77
Disequazioni
Risolvi le seguenti disequazioni:
a) 2x +1 ≥2/(x+2)
SOL: 2x+1 - 2/(x+2) ≥0, da cui x(2x+5)/(x+2) ≥0 che risulta valida
per -5/2≤x<-2 oppure x>0
b) |√ x - x|≤1
SOL:Si osserva che la disequazione è definita solo per x≥0, essa
corrisponde a -1≤√ x-x≤1, si deve avere:
√ x≥x-1 e contemporaneamente √ x≤x+1, si osserva che
quest’ultima disequazione è sempre valida, essa corrisponde
infatti alla disequazione x2 + x+1≥0 che è verificata per ogni
x;mentre √ x≥x-1 è valida sicuramente per 0≤x≤1, per x>1 essa
corrisponde a x2 - 3x +1≤ 0 valida per 1< x ≤(3+√ 5 )/2, dunque
la disequazione assegnata è soddisfatta per x tale che 0≤x≤
(3+√ 5 )/2
Disequazioni
Risolvi le seguenti disequazioni:
c) |(3x-1)/(x+1)| ≥ 1
SOL: la disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1) ≥ 1 per x ≥ 1/3
oppure x<-1, ed è soddisfatta per x<-1 oppure x≥1; la
disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1)≤-1 per -1<x≤1/3 ed è
soddisfatta per -1<x ≤0. L’insieme delle soluzioni della
disequazione assegnata è dunque dato da x tale che x<-1 oppure
x≥1 oppure -1<x ≤0
d) sqr(x+1)≥ 3x +1
SOL: la disequazione è definita per x≥ -1, ovviamente valida per
-1≤x≤ -1/3, e corrispondente a x+1≥(3x+1)2 per x>-1/3, vale a
dire x(9x+5)≤0 soddisfatta per -1/3<x ≤0 , dunque la
disequazione assegnata è soddisfatta per -1≤x≤ 0
Funzioni
Sia f(n) una funzione tale che f(1)=f(2)=f(3)=1 e
f(n+1)=(f(n)f(n-1)+1)/f(n-2), allora f(6)=………
SOL: f(4)=(f(3)f(2)+1)/f(1)=2, f(5)=(f(4)f(3)+1)/f(2)=3, infine
f(6)=(f(5)f(4) +1)/f(3)=7
Assegnata la funzione f(x)= 1/x - x, calcola f(2)=…..;
f(1/2)=……
SOL:f(2)=1/2-2= -3/2; f(1/2)= 2-1/2=3/2
Determina dove f(x)<0
SOL: 1/x-x<0 corrisponde a (1-x2)/x<0 che è soddisfatta per -1<x<0
oppure x>1.
Studia il segno di f(x)= 1/2 |x+1| - 1/2 |x-1|
SOL:la funzione corrisponde a f(x)=-1/2(x+1)+1/2(x-1)=-1 per x≤ -1,
corrisponde a f(x)=1/2(x+1)+1/2(x-1)=x per -1<x<1
Corrisponde a f(x)=1/2(x+1) -1/2(x-1)=1 per x≥1; dunque f(x)<0 per
x<0, f(0)=0, f(x)>0 per x>0.
Funzioni
Sia f(x)= (2x-1)- |x2-3x+2|
a) Determina l’insieme di definizione
b) f(0)=…
c) Esiste x tale che f(x)=0?
d) Determina per quali x si ha f(x) ≥1
e) Calcola i limiti ai bordi dell’insieme di definizione
f) Determina l’insieme di definizione di g(x)=sqr(f(x))
