Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Baronissi, 13/9/2005
Esercizio 1 Da un’urna contenente 3 biglie bianche e tre biglie azzurre se ne estraggono 3 in
sequenza (senza reinserimento). Sia
A = { le 3 biglie estratte hanno lo stesso colore },
B = { le prime 2 biglie estratte sono azzurre },
C = { si estrae almeno una biglia azzurra}.
Studiare l’indipendenza di tali eventi.
Esercizio 2 Un esperimento consiste nel generare in sequenza 4 bit casuali, ossia in modo che
ognuno di questi assume valore 0 o 1 con probabilità 1/2, indipendentemente dagli altri.Sia X la
variabile aleatoria discreta che descrive il numero di concordanze (una concordanza si verifica
quando un bit assume lo stesso valore del bit generato immediatamente prima nella sequenza).
(i)
(ii)
Ricavare la funzione di ripartizione F(x) = P(X ≤ x) mostrandone l’andamento grafico.
Per x = 0, 1, 2, 3 determinare
g(x) = P(X = x | X ≤ x).
(iii)
Stabilire per quali valori di x risulta g(x) ≥ 1/2.
Esercizio 3 Sia X una variabile aleatoria continua avente funzione di densità
c√1 – x
per 0 < x <1,
0
altrimenti.
ƒ(x) =
(i)
(ii)
(iii)
Determinare la costante c
Ricavare la funzione di ripartizione di X, mostrandone l’andamento grafico.
Calcolare P(X < ½ | X > ¼).
Esercizio 4 Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti, entrambe aventi distribuzione normale
standard. Calcolare
(i)
P(X > 1, Y < 1/2),
(ii)
E(X – 2Y + 1),
(iii) Var (X – 2Y + 1).