REGOLE D’ESAME
Il
giorno
18
gennaio
si
svolgeranno
contemporaneamente:
la prima prova in itinere di matematica per Scienze
Biologiche anno accademico 2009/10
la V prova scritta di Matematica e statistica Scienze
Biologiche Molecolari anno accademico 2008/09
Attenzione a iscriversi sull'apposita lista (sono due
liste diverse) sul sito iomiscrivo
http://www.bionat.unipi.it/esami/iomiscrivo.php
REGOLE D’ESAME
L'esame completo di matematica (scritto + orale) per
Scienze Biologiche anno 2009/10 si potrà sostenere
solo a conclusione del corso fine maggio, in
particolare la prova orale; per essere ammessi
all'orale occorrono almeno due sufficienze nei tre
compitini (che si terranno: I compitino 18 gennaio,
o, solo nel caso di insuff al compito del 18/1, I
compitino recupero 10/2, II compitino ad aprile,
terzo compitino dopo il 20 maggio) oppure almeno
una suff. in uno dei compiti scritti degli appelli
d'esame (giugno, luglio, settembre 2010, gennaio,
febbraio 2011)
REGOLE D’ESAME
Durante le prove scritte NON è consentito l’uso di
calcolatrici, calcolatori, cellulari, libri di testo,
fotocopie, ecc…
Sono ammessi soltanto i propri appunti.
Le risposte devono essere giustificate. Risposte del
tipo “0.3”, “No” non saranno valutate, anche se
giuste.
REGOLE D’ESAME
Non è possibile
sostenere il compitino del 10 /2 se non si è
sostenuto il compitino del 18/1, riportando
una insuff.
Potranno essere ammessi eccezionalmente
al compitino del 10/2 solo studenti che
abbiano una motivata e giustificata (tipo
certificato medico..) ragione di assenza
Possibile Es1:Calcolo
approssimato
E’ noto che i lati di un parallelepipedo, a base
quadrata, misurano, in cm, rispettivamente
x=6±0.03,lato della base, ed y=8±0.02, altezza
parallelepipedo. Calcolare valore stimato, errore
relativo ed errore assoluto della superficie e del
volume del parallelepipedo.
Calcolo approssimato
SOLUZIONE:La superficie S del parallelepipedo è
data da S= 4xy + 2 x2
Il valore stimato di S è dunque 4(6)(8) + 2(6)(6) =192 +
72 =264 cm2 ;
errore relativo di S = 4(3/600 + 2/800) +2(2(3/600))=
3/100 +2/100= 5/100; errore assoluto di S=
264(5/100)=13.2 cm2 ;
il volume V del parallelepipedo è dato da V= x2y, il
valore stimato di V è dunque (6)(6)(8)=288 cm3 ;
l’errore relativo di V è dato da 2(3/600) + 2/800 =
1/100+1/400= 5/400 =1/80; l’errore assoluto di V è
288(1/80) =3.6 cm3 .
Possibile Es1:Percentuali
Per preparare della frutta sciroppata ho
predisposto 600g di sciroppo al 20%. Poi leggo
sul ricettario che lo sciroppo deve essere
preparato al 30%. Quanto zucchero devo
aggiungere?
Percentuali
SOLUZIONE: Dalla relazione x/600 = 20/100 si
ricava che la quantità di zucchero iniziale è x=
120 g; aggiungiamo z di zucchero per arrivare
al 30%, si ha (z+120)/(600+z) = 30/100 da cui
z=600/7 ≈ 86 g
Possibile Es2: Probabilità
In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2
biglie Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5
estrazioni con rimessa, calcola la probabilità:
a) di estrarre una sola biglia Gialla;
b) almeno una biglia Gialla;
c) al più una biglia gialla
d) tutte biglie non Gialle
Possibile Es2: Probabilità
Con rimessa
• di estrarre una sola biglia Gialla
5(4/9)(5/9)4
b) almeno una biglia Gialla
1- (5/9)5
c) al più una biglia gialla
(5/9)5 + 5(4/9)(5/9)4
d) tutte biglie non Gialle
(5/9)5
Possibile Es2: Probabilità
In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2 biglie
Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5
estrazioni senza rimessa, calcola la
probabilità:
a) di estrarre una sola biglia Gialla;
b) almeno una biglia Gialla;
c) al più una biglia gialla
d) tutte biglie non Gialle
Possibile Es2: Probabilità
senza rimessa
a) di estrarre una sola biglia Gialla
5(4/9)(5/8)(4/7)(3/6)(2/5)=10/63
oppure con il calcolo combinatorio: C4,1·C5,4/C9,5
b) almeno una biglia Gialla
1-(5/9)(4/8)(3/7)(2/6)(1/5) = 1-1/126= 125/126
oppure con il calcolo combinatorio: 1- C5,5/C9,5
c) al più una biglia gialla
1/126 + 10/63
d) tutte biglie non Gialle
1/126
Possibile Es2: Probabilità
Siano A e B due eventi in uno spazio degli
eventi Ω.
E’ possibile che p(A ∩ B) > p(A ∪ B)?
Non è possibile, infatti A ∩ B⊆ A ∪ B, vale a
dire che A ∩ B è un sottoevento di A ∪ B, per
cui ogni volta che si verifica A ∩ B si verifica
anche A ∪ B, e quindi p(A ∩ B) ≤ p(A ∪ B).
Possibile Es3: statistica
Se si elevasse di un ammontare fisso, per
esempio 60 euro, lo stipendio degli impiegati
statali, come cambierebbe lo stipendio medio?
E la deviazione standard degli stipendi?
SOLUZIONE: Lo stipendio medio verrebbe aumentato
di 60 euro, mentre la deviazione standard resterebbe
invariata, infatti
La media aritmetica degli stipendi diventerebbe
Σi(xi+60)/n =Σixi/n + 60 =x*+60
mentre la deviazione standard sarebbe
sqr(Σi(xi+60-(x*+60))2)/n = sqr(Σi(xi-x*)2)/n
Possibile Es3: statistica
Se lo stipendio di ciascun impiegato statale
venisse aumentato del 6% come cambierebbe
lo stipendio medio? E la deviazione standard
degli stipendi?
Possibile Es3: statistica
SOLUZIONE: Lo stipendio medio verrebbe aumentato
del 6%, infatti ogni stipendio xi diventerebbe
xi+6%xi=(106/100)xi quindi, indicando con x* la media
degli stipendi prima dell’aumento, si avrebbe, dopo
l’aumento, la nuova media
Σi(106/100)xi/n=(106/100)Σixi/n=(106/100)x*=x*+6%x*
Anche la deviazione standard σ2 subisce lo stesso aumento
del 6%, infatti si otterrebbe per la varianza
Σi[(106/100)(xi–x*)]2/n=(106/100)2Σi(xi–x*)2/n=
=(106/100)2 σ2
poichè la deviazione standard è la radice quadrata della
varianza, si ha (106/100 )σ =σ+6%σ
Possibile Es3: statistica
In una fabbrica che produce apparecchi di misurazione
per una centrale elettrica c’è una squadra di 10 operai
molto bravi: il caposquadra, un uomo anziano e con
vasta esperienza, 9 giovani diplomati di una scuola
professionale. Ognuno dei giovani operai produce 15
apparecchi al giorno e il caposquadra riesce a produrne
9 più della media di tutta la squadra composta da 10
operai.
Quanti apparecchi produce il capo squadra e quanti
l’intera squadra ogni giorno?
Possibile Es3: statistica
SOLUZIONE: Indichiamo con x* la media di apparecchi
prodotti da tutta la squadra, si ha
x*= (15·9+(x*+9))/10, da cui si ricava x*=16; gli
apparecchi prodotti dal caposquadra sono dunque 25 e
dall’intera squadra 160.
Un esercizio di probabilità
Il colore di una specie di legumi è determinato geneticamente da
un gene con due possibili alleli: l’allele “V”dominante del colore
verde e l’allele “g” recessivo del colore giallo. La popolazione di
legumi che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di HardyWeinberg, e sai che il 70% degli alleli nella popolazione sono
“V” e il 30% sono “g”.
(1) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella
popolazione abbia colore verde?
SOL: Indichiamo con Fg ed FV rispettivamente l’evento “fenotipi
giallo”, “fenotipo verde”, si ha P(Fg)=(0.3)2 = 0.09, dunque
P(FV)= 0.91
Un esercizio di probabilità
(2) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella
popolazione abbia colore giallo sapendo che il primo “genitore”
ha colore giallo ed il secondo ha colore verde?
SOL:Indichiamo con Fg l’evento “figlio di colore giallo” e con Pg e
SV rispettivamente gli eventi “primo genitore giallo” “secondo
genitore verde”, si deve calcolare P(Fg | Pg ∩ SV ), si ha
P(Fg | Pg ∩ SV )=P(Fg ∩Pg ∩ SV )/P(Pg ∩ SV )=
((0.09)(2(0.3)(0.7)(1/2))/(0.09)(0.91) = 21/91
(3) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella
popolazione abbia colore giallo sapendo che entrambi i “genitori”
hanno colore giallo?
SOL: Se i genitori sono entrambi gialli sono di genotipo gg entrambi
e quindi il figlio sarà certamente giallo
Un esercizio di probabilità
(4) Qual è la probabilità che il primo “genitore” abbia colore
verde, sapendo che il figlio ha colore giallo?
SOL: E’ richiesta la P(PV | Fg ) = P(PV ∩ Fg ) /P(Fg )
Se non si hanno informazioni sui genitori la probabilità che il figlio
sia giallo corrisponde alla probabilità che un individuo scelto a
caso nella popolazione sia giallo, vale a dire che P(Fg ) = 0.09
L’evento figlio è giallo e il primo genitore verde è possibile solo se
il primo genitore è del genotipo Vg, mentre, non avendo
informazioni, per il secondo genitore possiamo ipotizzare i
genotipi gg oppure Vg, dunque si ha
P(PV | Fg ) = 2(0.3)(0.7)[2(0.3)(0.7)(1/4) + 0.09(1/2)]/0.09 =0.7
che corrisponde alla frequenza dell’allele V
Ancora probabilità:gruppi sanguigni…..
In una data popolazione molto ampia il 60% appartiene al gruppo
sanguigno O, il 28% al gruppo B, il 10% al gruppo A, il 2% al
gruppo AB
Si scelgono a caso 8 individui nella popolazione, calcolare la
probabilità che
a) nessuno appartenga al gruppo B
b) al più due appartengano al gruppo B
SOLUZIONE: a) (0.72)8 ; b) (0.72)8 + 8·(0.28) (0.72)7 + 28(0.28)2
(0.72)6
Ancora probabilità: occhiali…..
Da un'indagine nelle scuole risulta che la percentuale degli alunni
che portano gli occhiali è il 12% nelle scuole elementari, il 23%
nelle scuole medie, e il 42% nelle scuole superiori.
a) Calcolare la probabilità che scegliendo a caso 3 studenti, uno per
fascia, almeno uno porti gli occhiali
b) Scegliendo uno studente a caso fra tutti (e supponendo che la
scelta di ogni fascia sia equiprobabile) calcolare la probabilità
che lo studente porti gli occhiali
c)Sapendo che lo studente scelto porta gli occhiali, calcolare la
probabilità che frequenti le scuole elementari
Ancora probabilità: occhiali…..
SOLUZIONE: a) calcoliamo la probabilità che nessuno porti gli
occhiali, (0.88)(0.77)(0.58), quindi la probabilità richiesta è
1 – (0.88)(0.77)(0.58);
b) 1/3(0.12+0.23+0.42)= 1/3(0.77);
c) Indicando con E l’evento “lo studente frequenta le scuole
elementari” e con O l’evento “lo studente porta gli
occhiali”, è richiesta P(E|O) = 1/3(0.12)/1/3(0.77) = 12/77
Disequazioni
Risolvi le seguenti disequazioni:
a) 2x +1 ≥2/(x+2)
SOL: 2x+1 - 2/(x+2) ≥0, da cui x(2x+5)/(x+2) ≥0 che risulta valida
per -5/2≤x<-2 oppure x>0
b) |√x - x|≤1
SOL:Si osserva che la disequazione è definita solo per x≥0, essa
corrisponde a -1≤√x-x≤1, si deve avere:
√x≥x-1 e contemporaneamente √x≤x+1, si osserva che quest’ultima
disequazione è sempre valida, essa corrisponde infatti alla
disequazione x2 + x+1≥0 che è verificata per ogni x;mentre
√x≥x-1 è valida sicuramente per 0≤x≤1, per x>1 essa corrisponde
a x2 - 3x +1≤ 0 valida per 1< x ≤(3+√5)/2, dunque la
disequazione assegnata è soddisfatta per x tale che 0≤x≤ (3+√5)/2
Disequazioni
Risolvi le seguenti disequazioni:
c) |(3x-1)/(x+1)| ≥ 1
SOL: la disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1) ≥ 1 per x ≥ 1/3
oppure x<-1, ed è soddisfatta per x<-1 oppure x≥1; la
disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1)≤-1 per -1<x≤1/3 ed è
soddisfatta per -1<x ≤0. L’insieme delle soluzioni della
disequazione assegnata è dunque dato da x tale che x<-1 oppure
x≥1 oppure -1<x ≤0
d) sqr(x+1)≥ 3x +1
SOL: la disequazione è definita per x≥ -1, ovviamente valida per
-1≤x≤ -1/3, e corrispondente a x+1≥(3x+1)2 per x>-1/3, vale a
dire x(9x+5)≤0 soddisfatta per -1/3<x ≤0 , dunque la
disequazione assegnata è soddisfatta per -1≤x≤ 0
Funzioni
Sia f(n) una funzione tale che f(1)=f(2)=f(3)=1 e
f(n+1)=(f(n)f(n-1)+1)/f(n-2), allora f(6)=………
SOL: f(4)=(f(3)f(2)+1)/f(1)=2, f(5)=(f(4)f(3)+1)/f(2)=3, infine
f(6)=(f(5)f(4) +1)/f(3)=7
Assegnata la funzione f(x)= 1/x - x, calcola f(2)=…..;
f(1/2)=……
SOL:f(2)=1/2-2= -3/2; f(1/2)= 2-1/2=3/2
Determina dove f(x)<0
SOL: 1/x-x<0 corrisponde a (1-x2)/x<0 che è soddisfatta per -1<x<0
oppure x>1.
Studia il segno di f(x)= 1/2 |x+1| - 1/2 |x-1|
SOL:la funzione corrisponde a f(x)=-1/2(x+1)+1/2(x-1)=-1 per x≤ -1,
corrisponde a f(x)=1/2(x+1)+1/2(x-1)=x per -1<x<1
Corrisponde a f(x)=1/2(x+1) -1/2(x-1)=1 per x≥1; dunque f(x)<0 per
x<0, f(0)=0, f(x)>0 per x>0.
Funzioni
Sia f(x)= (2x-1)/|x2-3x+2|
a) Determina l’insieme di definizione
b) f(0)=…
c) Esiste x tale che f(x)=0?
d) Determina per quali x si ha f(x) ≥1
e) Calcola i limiti ai bordi dell’insieme di definizione
f) Determina l’insieme di definizione di g(x)=sqr(f(x))
SOL:a) affinchè la funzione sia definita si deve avere x2-3x+2≠0,
dunque x≠1 ed x ≠2; b) f(0)= -1/2; c) si ha f(x)=0 per x=1/2;
d) (2x-1)/|x2-3x+2| ≥1 corrisponde a 2x-1 ≥ |x2-3x+2|
Per x<1 oppure x>2 la disequazione corrisponde a 2x-1≥ x2-3x+2 e
quindi a x2-5x+3≤0, valida per (5-sqr(13))/2≤x<1 oppure
2<x≤(5+sqr(13))/2
Per 1<x<2 la disequazione corrisponde a 2x-1 ≥ -x2+3x-2 e quindi a
x2-x+1 ≥0 che è sempre verificata; concludendo f(x) ≥1
per (5-sqr(13))/2≤x<1 oppure 1<x<2 oppure 2<x≤(5+sqr(13))/2
Funzioni
Sia f(x)= (2x-1)/|x2-3x+2|
e)Calcola i limiti ai bordi dell’insieme di definizione
f)Determina l’insieme di definizione di g(x)=sqr(f(x))
SOL:e) si ha lim f(x) =0 per x→±∞, essendo il polinomio al
denominatore di grado superiore di quello al numeratore; i limiti
sia destro che sinistro per x che tende a 1 sono uguali a +∞,
poiché il numeratore tende ad1 e il denominatore a zero, ma
rimanendo positivo; analogamente i limiti destro e sinistro per x
che tende a 2 sono uguali a +∞;
f) La radice quadrata è definita per f(x)≥0, dunque per x≥1/2 con x≠1
ed x≠2 (altrimenti non è definita f(x))
