Tangente e dintorni1
Maria Felicia Andriani – Francesco Maria Dellisanti
Oronzo Filippi
Sunto: Il lavoro vuole essere una proposta didattica legata alla riscoperta della tangente. Si parte da conoscenze incomplete per giungere a
definizioni rigorose, comprendendo anche l’evoluzione storica.
Abstract: This educational proposal is the final issue collected to an
analysis study made by students of the fifth forms in special the concept of the tangent. Starting from incomplete know ledges it brings to
rigorous settlements, also covering the historical evolution.
Parole chiave: curva, tangente.
1
Lavoro nato da uno studio di Maria Felicia Andriani e Oronzo Filippi.
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1. INTRODUZIONE
Si ritiene che nel corso dell’ultimo anno di scuola superiore, indipendentemente dall’argomento trattato, l’alunno debba essere in grado
di argomentare, congetturare e creare dibattito scientifico, quindi:
a. calarsi nella realtà del periodo in cui è nata una determinata esigenza;
b. conoscere quali sono i “personaggi” che hanno affrontato tale
problema e soprattutto le motivazioni che li hanno spinti verso
tale ricerca;
c. evidenziare differenze e analogie di vedute e i risultati partendo dalle fonti storiche;
d. rendersi conto dei tempi occorsi per lo sviluppo di tale argomento per giungere alle definizioni attuali;
e. comprendere che alcuni concetti sono difficili proprio perché il
periodo di gestazione è stato lungo e laborioso;
f. riuscire a vedere lavorando sui grafici, anche con strumenti informatici gli “inganni” del grafico stesso;
g. imparare a fare congetture operando opportunamente sulle variabili in gioco.
Una delle tematiche di ampio respiro è quella relativa al “problema della tangente”.
2. ANALISI A PRIORI
Si ritiene che nel dover affrontare il significato geometrico della
derivata prima di una funzione in un punto, quale coefficiente angolare della retta tangente in un punto ad una curva di equazione y = f(x),
l’alunno abbia della tangente un’idea molto legata alle informazioni
“non complete” assimilate durante gli anni scolastici precedenti:
la tangente è la retta che ha in comune con la circonferenza
uno e un sol punto e tutti gli altri suoi punti sono esterni alla
circonferenza (Geometria piana euclidea);
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la tangente goniometrica di un angolo è il rapporto tra il seno
e il coseno dello stesso angolo (Goniometria);
la tangente ad una conica in un punto si determina considerando la retta generica passante per il punto e ponendo uguale
a zero il discriminante dell’equazione risolvente il sistema tra
la retta e la curva (Geometria analitica);
“partire per la tangente” usato per dire di una persona che
nella foga di una discussione, incomincia a divagare, a perdere il filo e il controllo delle argomentazioni, proseguendo lungo la direzione che il discorso ha preso al momento (Linguaggio comune).
Dalle varie definizioni si comprende intanto che non è facile definire il concetto di tangente.
Restando nell’ambito geometrico se nel caso della circonferenza si
può descrivere la tangente in un punto come la retta che ha solo quel
punto in comune con essa, definizione che può adattarsi anche
all’ellisse, non è altrettanto vero per una linea curva qualsiasi poiché
per quel punto passano infinite rette che non hanno altri punti in comune con tale curva.
Ulteriore conflitto si presenta quando la tangente può attraversare
la curva in questione in più punti o quando si parla di coefficiente angolare della retta tangente che ha a che fare con il limite della funzione.
3. L’INDAGINE
Prima di intraprendere il lavoro si ritiene opportuno somministrare
agli alunni un questionario atto ad indagare le conoscenze e eventuali
difficoltà nel riconoscere la retta tangente ad una qualsiasi curva e il
diverso significato tra tangente geometrica e tangente goniometrica.
Una scheda di osservazione che si potrebbe sottoporre agli studenti è la seguente:
111
Alunno ……………………..
Classe …………….
1. Cosa intendi per retta tangente ad una circonferenza?
2. Disegna la tangente alla circonferenza nel punto P:
P.
3. Ritieni che la definizione data al punto 1 possa adattarsi anche alla parabola?
4. Disegna la tangente alla curva nel punto P:
P.
5. La tangente ad una curva in un punto P può intersecare la
stessa curva in un altro suo punto?
6. Disegna la tangente alla curva nel punto P:
P
.
7. Descrivi la tangente goniometrica dell’angolo di 30°.
30°
112
Discussione con gli alunni dei risultati emersi dal questionario e
conversazione critica sui significanti e significati dei termini usati.
Si può giungere quindi a definire e precisare il concetto di retta
tangente a una curva in un punto:
Si consideri il punto P0 della curva in alto.
La retta PP0 man mano che P si avvicina a P0 muovendosi lungo la
curva tende a disporsi come la retta che intuitivamente è considerata la
tangente. Tale tangente si può esprimere come il limite per P che tende a Po della grandezza PoP … e così entra in gioco anche il concetto
di limite.
4. L’IMPORTANZA DELLA STORIA
Tale complessità e ricchezza di argomentazioni induce a rivolgere
l’attenzione allo sviluppo del concetto in questione visto come evoluzione legata al suo processo storico e al conseguente dibattito scientifico di personaggi che trattavano in maniera autonoma e a volte con
esigenze diverse lo stesso problema.
A tal proposito L. Grugnetti ricorda che “se il problema della
quadratura ha un’origine molto antica, le tangenti non verranno studiate che verso la metà del XVII secolo. La concezione di tangente
nell’antichità – una retta che tocca la curva in un sol punto - è di portata pratica ristretta e, salvo qualche costruzione isolata come quelle
113
della tangente alla spirale di Archimede e quelle delle tangenti alle
coniche di Apollonio, non è basata sul metodo generale. Il metodo elaborato da Archimede per costruire la tangente alla spirale si fonda
su considerazioni cinematiche. Si ritrova, nel XVII secolo, nei lavori
di Evangelista Torricelli (1608 - 1647) ed in quelli di Gilles Pesonnes
de Roberval (1602 - 1675 ) sul movimento dei proiettili.
A immagine di Archimede che definisce la spirale come luogo di
un punto che percorre con velocità costante una semiretta, la quale
ruota intorno ad uno dei suoi estremi con velocità angolare costante,
Torricelli e Roberval considerano le curve generate dalla composizione di due movimenti, di cui si conoscono le velocità. La velocità risultante sarà la diagonale del parallelogramma delle velocità dei due
movimenti che generano la curva. La definizione insita in questo metodo descrive la tangente come posizione limite di una secante quando
i punti di intersezione tendono ad avvicinarsi. Non è in termini di funzione e di limite che pensa Fermat (1601-1665), ma piuttosto in termini di equazioni e di infinitamente piccoli che invece di farli tendere
a zero, li pone “d’emblee” uguali a zero. È su questi argomenti che
nasce una disputa tra Fermat e Renè Descartes (1596 - 1650). Tale
disputa permette a Fermat di chiarire il suo metodo e verso il 1640,
dichiara che “è permesso sostituire alle ordinate delle curve quelle
delle tangenti” e, nel 1660, stabilisce l’equivalenza di due infinitesimi: elemento di arco e elemento di tangente. Grazie alla generalità di
tale principio può trovare la tangente a numerose curve, siano esse
algebriche che trascendenti.
Dal 1637, Descartes è in possesso di un metodo che si applica alle
sole curve algebriche. Nel 1638 determina la tangente alla cicloide
utilizzando un procedimento che si basa sulla nozione di centro istantaneo di rotazione ed evitando il linguaggio degli infinitamente piccoli…”.
Continuando nel nostro percorso storico, notevoli risultati si ebbero con i lavori di Leibniz (1646 - 1716) e Newton (1642 - 1727) i quali giunsero indipendentemente alle stesse conclusioni che caratterizzarono all’epoca lo sviluppo del calcolo differenziale e integrale. Prima che entrassero in scena Newton e Leibniz era già stata accumulata
una massa immensa di conoscenze sul calcolo infinitesimale ma ciò
che mancava era una maggiore generalizzazione del metodo e il
riconoscimento della generalità di ciò che era già stato stabilito nel
114
noscimento della generalità di ciò che era già stato stabilito nel corso
della soluzione di problemi particolari.
Infatti, la caratteristica del calcolo infinitesimale oltre ai concetti
stessi di ‘derivata’ e ‘integrale’ come limite di una somma, sta nel fatto che l’integrale può essere trovato invertendo il processo di derivazione. In precedenza erano stati incontrati molti casi di questa relazione, ma il suo significato non venne capito. Torricelli si accorse, in casi
particolari, che il problema del tasso di variazione era essenzialmente
l’inverso del problema dell’area. Ciò era implicito nel risultato di Galileo, secondo cui l’area compresa sotto il grafico della velocità in
funzione del tempo fornisce lo spazio percorso. Essendo quindi, il
tasso di variazione dello spazio uguale alla velocità, il tasso di variazione dell’area, considerata come “somma”, deve essere la derivata della
funzione area. Anche Fermat conosceva la relazione fra area e derivata
in casi particolari, ma non ne apprezzò la generalità e l’importanza.
James Gregory (1638 - 1675), nella sua Geometriae pars universalis del 1668, provò che il problema della tangente e quello dell’area
sono problemi inversi, ma il suo libro passò inosservato.
Nelle Lectiones geometricae Barrow (1630 - 1677) presenta la relazione fra il trovare la tangente ad una curva e il problema dell’area,
ma sotto forma geometrica, ed egli stesso non ne riconobbe l’importanza.
5. UN ESEMPIO: IL METODO DELLE FLUSSIONI DI NEWTON
L’insegnante quindi, conoscendo il processo storico del concetto
sceglierà un brano da leggere e analizzare in classe con gli allievi che
potrebbe essere per esempio il metodo delle flussioni di Newton. Ciò
che importa comunque, al nostro scopo è riuscire a cogliere quelli che
sono i processi essenziali, a partire dall’interpretazione del linguaggio
usato in un determinato periodo storico, per giungere poi alla definizione voluta. La traduzione e la sintesi suddetta dovrebbero essere fatte filtrare nella discussione che l’insegnante avrà opportunamente stimolato e condotto.
D’altra parte è proprio leggendo direttamente i lavori dei vari personaggi che si comprende come anche i “grandi” abbiano commesso
115
degli errori e che sono proprio questi ultimi ad aver causato l’evoluzione dei concetti.
Dal “Tractatus de quadratura curvarum” (1704) di I. Newton.2
Prop. 3: “La quantità x fluisca uniformemente, e sia da trovarsi la
flussione della quantità xn”. 3
Nel tempo in cui la quantità x fluendo diventa x + h,4 la quantità xn
diventa (x+h)n , cioè, secondo il metodo delle serie infinite:5
x n + nhx n!1 +
n(n ! 1) 2 n! 2
h x +...
2
e gli incrementi h e
nhx n!1 +
n(n ! 1) 2 n!2
h x + ... 6
2
stanno fra loro come 1 sta a
nx n!1 +
n(n ! 1) n! 2
x +... 7
2
Se ora quell’incremento h svanisce la loro ultima ragione sarà
8
1 : nx n!1
2
3
4
5
6
7
!
8
Traduzione di Ettore Carruccio in ‘Periodico di matematiche’,1938.
Come Newton determina la derivata di f ( x ) = x n .
La lettera h corrispondente alla notazione moderna è stata sostituita alla lettera o usata da
Newton.
( x + h )n = n0 x n + 1n x n"1h + n2 x n"2 h 2 + ... .
n
()
n
()
()
( x + h) ! x .
Per h = 1 .
Si presume che Newton abbia operato come segue:
h
1
=
n(n ! 1) n! 2
n(n ! 1) n! 2
n !1
n !1
h(nx +
hx +...) nx +
x +...
2
2
dividendo numeratore e denominatore del primo membro per h, facendo ‘svanire’ il termine che presenta il fattore h e tutti i termini che presentano potenze di h, si ha l’asserto; (il
secondo membro rappresenta il rapporto incrementale per h = 1).
116
Con simili argomentazioni, mediante il metodo delle prime e delle
ultime ragioni si possono calcolare le flussioni delle linee rette o curve
in casi qualsiasi, come pure le flussioni delle superficie, degli angoli e
delle altre quantità.
È poi in armonia con la geometria degli antichi, fondare così
l’analisi sulle quantità finite, ed investigare le prime ed ultime ragioni
delle quantità finite, nascenti od evanescenti.
Ho voluto con ciò dimostrare che nel metodo delle flussioni non è
necessario introdurre nella geometria figure infinitamente piccole.9 Si
può pertanto eseguire l’analisi su figure qualsiasi, sia finite, sia infinitamente piccole che vengono considerate simili alle figure evanescenti; si può così procedere, sia pure con cautela, sulle figure che di solito
sono ritenute infinitamente piccole nel metodo degli indivisibili.
Date le flussioni trovare le fluenti10 è un problema più difficile, e il
primo passo nella sua soluzione equivale alla quadratura delle curve;
di ciò che segue su tale argomento ho scritto da tempo.
Considero in ciò che segue quantità indeterminate crescenti o decrescenti come per un moto continuo, cioè fluenti o defluenti e le indico mediante le lettere z, y, x, u, e rappresento le loro flussioni o velocità con cui crescono mediante le stesse lettere puntate
z& , y& , x& ,u& . 11
Vi sono anche le flussioni di queste flussioni o mutazioni più o
meno celeri, che è lecito chiamare flussioni seconde delle z, y, x, u
stesse e indicare con
&z&, &y&, &x&,u&& ;
e le flussioni prime di queste o flussioni terze vengono indicate così:
9
10
11
Nell’accenno alle figure infinitamente piccole è forse nascosta una critica implicita a Leibniz che nel Nova methodus pro maximis et minimis (1684) faceva intervenire quantità infinitesime. V. della memoria di Leibniz la Traduzione di E. Carruccio sul ‘Periodico di matematiche’ del novembre 1927.
Cioè integrare un’espressione data.
I simboli con cui Newton indica le flussioni sono ancora usati in meccanica razionale per
rappresentare le derivate rispetto al tempo.
117
&z&&, &y&&, ... ,
e le flussioni quarte
&&z&& ,....
E come le flussioni terze, sono flussioni delle seconde e queste sono flussioni delle prime, queste ultime sono flussioni delle quantità
primitive z, y, x, u.
Così queste quantità z, y, x, u, si possono considerare come flussioni di altre che indicherò così:
z !, y !, x !, u ! ;
e queste sono flussioni di altre
z !!, y !!, x !!, u !! ...
Dunque
z !, z !!, z , z&, &&
z
etc. rappresentano una serie di quantità delle quali una qualsiasi è flussione della precedente, ed ogni quantità è una fluente che ha come una
flussione la seguente. Di questo tipo è la successione:
"
#
az ! z 2 , az ! z 2 , az ! z 2
•
••
2
•••
2
az ! z , az ! z , az ! z 2 .
Ed è da notarsi che una quantità qualsiasi di queste successioni si
può considerare area di una figura curvilinea di cui la quantità seguente a quella che si considera è l’ordinata in un sistema di assi ortogonali, e l’ascissa è z. Così
az ! z 2
"
è l’area di una curva di cui l’ordinata è
118
az ! z 2
e l’ascissa è z.
A che cosa miri tutto questo, risulterà chiaro nelle proposizioni
che seguono.
Problema 1. - Data un’equazione che contiene un numero qualsiasi di
quantità fluenti, trovare le flussioni.
Soluzione: Si moltiplichi ogni termine dell’equazione12 per l’esponente di una delle quantità fluenti contenute in quel termine, e nei singoli prodotti ottenuti si sostituisca la relativa flussione ad uno dei fattori della potenza. [Altrettanto si faccia rispetto alle altre fluenti]13; e
la somma di tutti questi prodotti con i loro segni sarà la nuova equazione.
Spiegazione: Siano a, b, c, d,... quantità determinate e costanti e sia
data un’equazione contenente quantità fluenti qualsiasi z, y, x,... come
(1)
x 3 ! xy 2 + a 2 z ! b 3 = 0
Si moltiplichino dapprima i termini per gli esponenti delle potenze
di x e nei singoli prodotti al posto di un fattore x, base della potenza, o
di x alla prima potenza si scriva x& , la somma degli addenti sarà:14
& 2 ! xy
& 2
3xx
Altrettanto si faccia per y e si otterrà:
& .
!2xyy
Così pure si faccia per z e si otterrà:
12
13
14
Sottinteso: razionale intera.
[...] corsivo nostro.
Dalla (1) Newton opera come segue: 3 ! x 3 " 1 ! xy 2 + 0 ! a 2 z " 0 ! b 3 = 3 ! x ! x 2 " 1 ! xy 2 , in seguito sostituisce al posto dei fattori x alla prima potenza, la corrispondente flussione x& .
Quindi si ha: 3xx
& 2 ! xy
& 2 . Analogo è il procedimento per le altre quantità fluenti. Si noti che
i risultati sono gli stessi di quelli ottenuti da una differenziazione parziale rispetto alle variabili x, y, z, di una f ( x , y , z ) = x 3 ! xy 2 + a 2 z ! b 3 .
119
a 2 z& .
Si ponga la somma di questi addendi uguale a zero e si avrà
l’equazione:
& 2 ! xy
& 2 ! 2 xyz
& + a 2 z& = 0 .
3xx
Dico che con questa equazione si definisce la relazione tra le flussioni delle grandezze z, y, x.
Dimostrazione: Infatti, sia h una quantità molto piccola, e siano
hz&, hy&, hx&
momenti delle quantità z, y, x, cioè incrementi momentanei sincroni.
Se le quantità fluenti già sono z, y e x, queste dopo un momento, aumentate dei loro incrementi, diventano
z + hz&, y + hy&, x + hx&
Queste espressioni scritte nell’equazione (1) al posto di z, y, x
danno luogo all’equazione:15
x 3 + 3 x 2 hx& + 3 xh 2 x& 2 + h 3 x& 3 ! xy 2 ! hx&y 2 ! 2 xhy& y +
! 2 x&h 2 y& y ! xh 2 y& 2 ! x&h 3 y& 2 + a 2 z + a 2 hz& ! b 3 = 0
Si sottragga da questa membro a membro l’equazione (1) e si divida per h il risultato; otterremo:
& 2 + 3x& 2 hx + x& 3 h 2 ! xy
& 2 ! 2 xyy
& ! 2 xhyy
& & ! xhy& 2 ! xh
& 2 y& 2 + a 2 z& = 0
3xx
Si faccia ora tendere a zero la quantità h; soppressi i termini
evanescenti resterà
& 2 ! xy
& 2 ! 2 yy
& + a 2 z& = 0
3xx
c.d.d.
Mediante operazioni ripetute, si giunge alle flussioni seconde, terze e seguenti.
15
( x + hx&) 3 ! ( x + hx&)( y + hy&) 2 + a 2 ( z + hz&) ! b 3 = 0
120
6. GLI INGANNI DEGLI ASPETTI MODERNI
Uno dei problemi che spesso crea disagi agli alunni è percepire il
significato di asintoto quale “tangente all’infinito” analizzando il grafico di una funzione elaborato con l’aiuto di un computer.
È noto che una retta y = k è "asintoto orizzontale" per la funzione
y = f(x) se e solo se f(x) tende a k quando x tende all’infinito.
Ora, considerata la funzione
x2 ! 5
y= 2
x +1
e la retta di equazione y = 1 ed elaborando il suo grafico al computer si
può osservare come la retta y = 1 già per il valore x = 12 si “identifica”
con la curva.
y
4
3
2
1
-12 -10 -8 -6 -4 -2
2
4
6
8 10 12
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Alle stesse conclusioni si può giungere utilizzando una funzione
diversa. La figura mostra la funzione
121
y = xe x
che presenta un asintoto orizzontale sinistro y = 0.
y
4
3
2
y = xe x
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2
-3
-4
Anche in questo caso dal grafico non c’è riscontro tra la definizione teorica e la rappresentazione grafica. Infatti per tutti gli x < −5 la
curva “svanisce” sull’asse delle ascisse. Questi errori causano di certo
dei conflitti negli alunni se non sono opportunamente informati.
7. CONCLUSIONI
Anche se non è possibile sviluppare un’analisi a posteriori in
quanto il presente lavoro necessita di una verifica in classe, lo stesso
può essere considerato una proposta ad un ipotetico insegnante che
dovendo affrontare tali argomenti si trova nella condizione di organizzare un percorso didattico in una veste diversa non legata solo ed esclusivamente ad “aride” definizioni.
122
È chiaro che lo stesso insegnante può avvalersi di ulteriori contributi analizzando altre situazioni legate al problema della tangente: basti pensare ai punti angolosi o ancor più all’affascinante problema dei
frattali.
BIB LI OG RA FI A
[1] BOTTAZZINI, U., FREGUGLIA, P., RIGATELLI L., Fonti per la
storia della matematica, RCS Sansoni, Firenze, 1992.
[2] BOYER, C.B., Storia della matematica, Mondadori, Milano,
1976.
[3] CARRUCCIO, E., ‘La quadratura delle curve secondo Newton’,
Periodico di Matematiche, V.XVIII, Bologna, 1-32, 1938.
[4] CHARNAY R., ‘L’analyse a priori, un outil pour l’enseignant
L’analisi a priori, uno strumento per l’insegnante’, in L. Grugnetti, F. Jaquet, D. Medici, M. Polo, M.G. Rinaldi (Eds.)
RMT: Potentialités pour la classe et la formation. Actes des
journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, Università di Parma, Dipartimenti di Matematica di Parma e Cagliari & ARMT, 199-213, 2003.
[5] DODERO N., BARONCINI P., MANFREDI R., Moduli di Lineamenti di matematica, Ghisetti e Corvi, Milano, 2002.
[6] GRUGNETTI L., Storia ed epistemologia dell’analisi – Corso di
Viareggio per la scuola superiore, 1997.
[7] http//macosa.dima.unige.it
[8] www.chihapauradellamatematica.org
123
