4.7 Confronto di infinitesimi e infiniti

[(x − x0 ) + x0 ]n e
∞
X
∞
X
n X
n n−k
f (x) =
an [(x − x0 ) + x0 ] =
an ·
x0 (x − x0 )k =
k
n=0
n=0
k=0
n
(poiché la somma è estesa agli indici (k, n) ∈ N2 con n ≥ k)
"∞
#
∞
X
X n
n−k
=
an
x0
(x − x0 )k =
k
k=0 n=k
"
#
∞
∞
X
X
n−k
=
n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)an x0
(x − x0 )k =
k=0
n=k
(per il teorema 4.6.5)
∞
X
1 (k)
f (x0 )(x − x0 )k .
=
k!
k=0
Occorre però verificare la validità della terza uguaglianza: cioè, bisogna
verificare che se {ank : n, k ∈ N, n ≥ k} è una famiglia di numeri reali
o complessi tali che
" n
#
∞
X
X
|ank | = L < +∞,
n=0
k=0
allora le serie
∞
X
ank per ogni k ∈ N,
"∞
∞
X
X
n=0
n=k
#
ank ,
k=0
"∞
∞
X
X
k=0
#
ank
n=k
sono assolutamente convergenti e si ha
"∞
#
"∞
#
∞
∞
X
X
X
X
ank =
ank .
n=0
k=0
k=0
n=k
A questo scopo si utilizzi l’esercizio 2.8.4.]
4.7
Confronto di infinitesimi e infiniti
Nel calcolo di limiti di funzioni di una variabile, il più delle volte ci si trova
a dover determinare l’effettivo comportamento di una forma indeterminata
290
del tipo 0/0 oppure ∞/∞. A questo scopo è utile la seguente terminologia.
Siano f, g funzioni definite in un intorno di x0 , ove x0 ∈ R oppure x0 = ±∞,
e infinitesime per x → x0 , cioè (definizione 3.3.1) tali che
lim f (x) = lim g(x) = 0.
x→x0
x→x0
Supporremo, per semplicità, che f e g siano diverse da 0 in un intorno di x0
(salvo al più x0 ).
Diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore a g per x → x0 (oppure,
equivalentemente, che g è un infinitesimo di ordine inferiore a f per x → x0 )
se
f (x)
= 0;
lim
x→x0 g(x)
in tal caso useremo la scrittura
f (x) = o(g(x))
per x → x0 ,
che si legge “f è o-piccolo di g per x → x0 ”.
Diciamo che f e g sono infinitesimi dello stesso ordine per x → x0 se esiste
λ ∈ R \ {0} tale che
f (x)
= λ.
lim
x→x0 g(x)
Esempi 4.7.1 (1) sin2 x è un infinitesimo per x → 0 di ordine superiore a
x, dello stesso ordine di x2 , e di ordine inferiore a x3 , in quanto
sin2 x
= 0,
x→0
x
lim
sin2 x
= 1,
x→0 x2
lim
x3
= 0.
x→0 sin2 x
lim
(2) e−x è un infinitesimo per x → +∞ di ordine superiore a x−n qualunque
sia n ∈ N+ , in quanto
lim e−x xn = 0
x→+∞
∀n ∈ N+ .
(3) 1/ ln x è un infinitesimo per x → 0+ di ordine inferiore a xε qualunque
sia ε > 0, in quanto
lim+ xε ln x = 0
∀ε > 0.
x→0
(4) Se f è derivabile in x0 , allora l’osservazione 4.1.2 (2) ci dice che
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) = o(x − x0 )
291
per x → x0 .
(5) Dire che f (x) = o(1) per x → x0 significa semplicemente che f (x) è un
infinitesimo per x → x0 .
(6) È facile costruire due infinitesimi non confrontabili fra loro: tali sono ad
esempio, per x → 0, le funzioni f (x) = x e g(x) = x(2 + sin x1 ).
Osservazione 4.7.2 Accanto alla notazione “o-piccolo” esiste anche la scrittura “O-grande”: se f e g sono infinitesimi per x → x0 , dire
f (x) = O(g(x))
per x → x0
(che si legge “f (x) è O-grande di g(x) per x → x0 ”) significa che esiste K > 0
tale che
|f (x)| ≤ K|g(x)|
in un intorno di x0 .
Dunque
f (x) = o(g(x)) per x → x0
=⇒
f (x) = O(g(x)) per x → x0 ,
ma il viceversa è falso: basta pensare a due infinitesimi dello stesso ordine.
Il risultato che segue aiuta a semplificare il calcolo del limite di una forma
indeterminata 0/0.
Proposizione 4.7.3 (principio di sostituzione degli infinitesimi) Siano f , g, ϕ, ψ funzioni infinitesime per x → x0 , diverse da 0 per x 6= x0 (con
x0 ∈ R oppure x0 = ±∞). Se
ϕ(x) = o(f (x))
e
per x → x0 ,
ψ(x) = o(g(x))
e se esiste (finito o infinito) il limite
lim
x→x0
f (x)
,
g(x)
allora si ha anche
∃ lim
x→x0
f (x) + ϕ(x)
f (x)
= lim
.
g(x) + ψ(x) x→x0 g(x)
Dimostrazione Basta osservare che
f (x) + ϕ(x)
f (x) 1 +
=
·
g(x) + ψ(x)
g(x) 1 +
e che il secondo fattore tende a 1 per x → x0 .
292
ϕ(x)
f (x)
ψ(x)
g(x)
,
Esempi 4.7.4 (1) Si ha, in base al principio di sostituzione,
sin x − x2
sin x
√ = lim
= 1.
x→0 x + x x
x→0 x
lim
(2) Calcoliamo (se esiste) il limite
sin x − x + ln(1 + x2 )
.
x→0
x2
lim
La funzione ln(1 + x2 ) è un infinitesimo per x → 0 di ordine superiore sia
rispetto a sin x, sia rispetto a x; tuttavia essa non è un infinitesimo di ordine
superiore a h(x) = sin x − x, in quanto h(x) è dello stesso ordine di x3
(esercizio 3.3.12) mentre ln(1 + x2 ) è dello stesso ordine di x2 . Sarebbe
perciò sbagliato concludere che il limite proposto coincide con
sin x − x
= 0;
x→0
x2
lim
esso invece coincide con
ln(1 + x2 )
= 1.
x→0
x2
Discorsi analoghi, come ora vedremo, valgono per gli infiniti per x → x0 , cioè
1
per le funzioni f definite in un intorno di x0 (salvo al più x0 ) e tali che f (x)
sia infinitesimo per x → x0 .
Siano f, g due infiniti per x → x0 : diciamo che f è un infinito di ordine
superiore a g per x → x0 , ovvero che g è un infinito di ordine inferiore a f
per x → x0 , se
g(x)
= 0;
lim
x→x0 f (x)
in tal caso useremo ancora la scrittura
lim
g(x) = o(f (x))
per x → x0 .
Diciamo che f e g sono infiniti dello stesso ordine per x → x0 se esiste un
numero reale λ 6= 0 tale che
lim
x→x0
g(x)
= λ.
f (x)
Si noti che, in conseguenza delle definizioni di “o-piccolo” e “O-grande”, f è
un infinito di ordine superiore a g per x → x0 se e solo se 1/f è un infinitesimo
di ordine superiore a 1/g per x → x0 .
293
Esempi 4.7.5 (1)
+∞, in quanto
√
1 + x3 è un infinito di ordine superiore a x per x →
x
= 0.
lim √
1 + x3
x→+∞
(2) tan x è un infinito dello stesso ordine di
per x → − π2 + , in quanto
sin x
=
x→−π/2
2
cos x
π
+x
2
sin x = −2.
=
lim 2
x→−π/2+ sin π + x
2
lim + (π + 2x) tan x =
x→−π/2
(3) Le funzioni
1
π+2x
1
x
lim
2
+
π
+x
e x1 (2 + sin x1 ) sono infiniti non confrontabili per x → 0.
Proposizione 4.7.6 (principio di sostituzione degli infiniti) Siano f ,
g, ϕ, ψ funzioni infinite per x → x0 , ove x0 ∈ R oppure x0 = ±∞. Se
ϕ(x) = o(f (x))
e
ψ(x) = o(g(x))
per x → x0 ,
e se esiste (finito o infinito) il limite
lim
x→x0
f (x)
,
g(x)
allora si ha anche
∃ lim
x→x0
f (x) + ϕ(x)
f (x)
= lim
.
g(x) + ψ(x) x→x0 g(x)
Dimostrazione Analoga a quella del principio di sostituzione degli infinitesimi.
Un utile strumento per lo studio delle forme indeterminate (non il più importante, però: spesso è più utile la formula di Taylor, come mostreranno
l’esempio 4.8.4 (2) e l’esercizio 4.8.7) è il seguente
Teorema 4.7.7 (di de l’Hôpital) Sia x0 ∈ [a, b] e siano f, g funzioni derivabili in ]a, b[ \{x0 }. Se:
(i) f, g sono entrambe infinitesimi, oppure infiniti, per x → x0 ,
(ii) g 0 6= 0 in un intorno di x0 (salvo al più in x0 ),
294
(iii) esiste, finito o infinito, il limite
lim
x→x0
allora
∃ lim
x→x0
f 0 (x)
,
g 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g(x) x→x0 g (x)
Dimostrazione Anzitutto, prolunghiamo oppure ri-definiamo f e g nel
punto x0 ponendo f (x0 ) = g(x0 ) = 0. (Ciò è necessario se f e g non sono
x
nel punto 0, oppure se f e g
definite in x0 , come ad esempio nel caso di 1−cos
x
sono definite in x0 con valori reali non nulli e quindi, per (i), sono discontinue
in tale punto.) In questo modo, f e g risultano continue in ]a, b[ e derivabili
in ]a, b[ \{x0 }.
0 (x)
(x)
Dobbiamo calcolare il limite di fg(x)
per x → x0 . Detto λ il limite di fg0 (x)
per
x → x0 , e supposto per fissare le idee λ ∈ R, per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale
che
0
f (x)
< ε.
−
λ
0 < |x − x0 | < δ
=⇒
g 0 (x)
Sia x ∈ ]a, b[ tale che 0 < |x − x0 | < δ, e supponiamo ad esempio x < x0 :
allora f e g soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy (teorema 4.3.2)
nell’intervallo [x, x0 ]; quindi esiste ξ ∈ ]x, x0 [ tale che
f (x) − f (x0 )
f 0 (ξ)
f (x)
=
= 0
.
g(x)
g(x) − g(x0 )
g (ξ)
Ma |ξ − x0 | < |x − x0 | < δ e dunque
0
f (x)
f (ξ)
=
< ε.
−
λ
−
λ
g(x)
g 0 (ξ)
Ciò prova che
se x > x0 .
f (x)
g(x)
converge a λ per x → x0 . Discorso analogo se λ = ±∞ e
Passiamo ora a considerare il caso in cui f e g sono infiniti per x → x0 . In
questo caso la dimostrazione è meno semplice. Proveremo la tesi solamente
nel caso in cui λ ∈ R; per il caso λ = ±∞ si rimanda all’esercizio 4.7.5.
Fissati due punti distinti x, η ∈ ]a, b[ \{x0 }, entrambi minori o entrambi
maggiori di x0 , per il teorema di Cauchy possiamo scrivere
f (x) − f (η)
f 0 (ξ)
= 0 ,
g(x) − g(η)
g (ξ)
295
con ξ opportuno punto intermedio fra x e η. Questa scrittura ha senso se i
punti x, η sono sufficientemente vicini a x0 , poiché in tal caso vale l’ipotesi
(ii), che assicura l’iniettività di g. La relazione sopra scritta equivale, con
facili calcoli, a
g(η)
1 − g(x)
f 0 (ξ)
f (x)
=
,
(η) g 0 (ξ)
g(x)
1 − ff (x)
scrittura che a sua volta ha senso per x sufficientemente vicino a x0 , visto
che f e g tendono a ±∞ per x → x0 . Sia ora ε > 0 e sia ε0 ∈ ]0, 1[ un altro
numero, che fisseremo in seguito. Per l’ipotesi (iii), esiste δ > 0 tale che
0
f (u)
< ε0
−
λ
per u ∈ ]a, b[ , 0 < |u − u0 | < δ.
g 0 (u)
Scegliamo η = x0 ± 2δ , a seconda che sia x > x0 oppure x < x0 . Allora
quando 0 < |x − x0 | < δ si avrà anche 0 < |ξ − x0 | < δ e dunque
0
f (ξ)
0
g 0 (ξ) − λ < ε .
Adesso osserviamo che, con la nostra scelta di η, si ha
1−
lim
x→x0
e dunque esiste σ ∈ ]0, δ[ tale che
1 − g(η)
g(x)
−
1
< ε0
1 − f (η)
f (x)
1−
g(η)
g(x)
f (η)
f (x)
= 1,
per 0 < |x − x0 | < σ.
(x)
Valutiamo allora la quantità fg(x)
− λ quando 0 < |x − x0 | < σ: si ha
1 − g(η) f 0 (ξ)
f (x)
g(x)
− λ ≤
g(x) − λ = f (η) g 0 (ξ)
1 − f (x)
f 0 (ξ) f 0 (ξ)
1 − g(η)
g(x)
+
≤ ε0 (|λ| + ε0 ) + ε0 .
≤ −
1
−
λ
g 0 (ξ) g 0 (ξ)
1 − f (η)
f (x)
296
Essendo ε0 < 1, deduciamo
f (x)
< (|λ| + 2)ε0
−
λ
g(x)
per 0 < |x − x0 | < σ,
ε
e scegliendo infine ε0 < |λ|+2
si conclude che
f (x)
<ε
−
λ
per 0 < |x − x0 | < σ,
g(x)
che ‘e la tesi.
Osservazioni 4.7.8 (1) Il teorema di de L’Hôpital vale anche nel caso di
−
rapporti di infinitesimi, o di infiniti, per x → x+
0 , o per x → x0 , o anche per
x → ±∞. Le dimostrazioni sono essenzialmente analoghe (esercizio 4.7.5).
(2) La soppressione di una qualunque delle tre ipotesi rende falso il teorema:
si vedano gli esercizi 4.7.2 e 4.7.3.
0
(3) In pratica la sostituzione di fg con fg0 porta sovente ad un’ulteriore forma
indeterminata. In questi casi, se le tre ipotesi (i)-(ii)-(iii) sono ancora soddisfatte, si può applicare il teorema di de L’Hôpital alle funzioni f 0 e g 0 , e
(3)
00
considerare i limiti per x → x0 di fg00 , poi di fg(3) , eccetera, finché non si trova
un n ∈ N+ tale che
f (n) (x)
∃ lim (n)
= λ;
x→x0 g
(x)
si avrà allora (e solo allora, cioè solo quando tale limite esiste)
lim
x→x0
f (n−1) (x)
f (n−2) (x)
f (x)
=
lim
=
.
.
.
=
lim
= λ.
x→x0 g(x)
g (n−1) (x) x→x0 g (n−2) (x)
Esempio 4.7.9 Si ha, usando due volte il teorema di de L’Hôpital,
cos 2x − cos x
−2 sin 2x + sin x
−4 cos 2x + cos x
3
= lim
= lim
=− .
2
x→0
x→0
x→0
x
2x
2
2
lim
Esercizi 4.7
1. Nell’enunciato del teorema di de L’Hôpital, nel caso del confronto di
due infinitesimi, non si fa l’ipotesi che la funzione g sia diversa da 0 in
un intorno di x0 (salvo al più x0 ): si provi che ciò è conseguenza delle
altre ipotesi del teorema.
297
2. Posto f (x) = ln x e g(x) = x, si verifichi che
lim+
x→0
f (x)
f 0 (x)
6= lim+ 0
.
g(x) x→0 g (x)
Come mai?
3. Calcolare, se esistono, i limiti
x + sin x
,
x→+∞
x
(a) lim
x2 sin 1/x
.
x→0
sin x
(b) lim
4. Posto f (x) = x + cos2 π4 − x e g(x) = esin x (x + sin x cos x), si verifichi
che
f 0 (x)
f (x)
lim 0
= 0,
lim
non esiste.
x→+∞ g (x)
x→+∞ g(x)
Come mai?
0
(x)
5. Dimostrare il teorema di de L’Hôpital nel caso in cui fg0 (x)
→ ±∞ per
x → x0 , e nel caso di forme indeterminate 0/0 e ∞/∞ per x → ±∞.
6. Sia f : [a, b] → R una funzione continua, sia x0 ∈ ]a, b[ e supponiamo
che f sia derivabile in ]a, b[ \{x0 }. Si provi che se esiste limx→x0 f 0 (x) =
α ∈ R, allora f è derivabile anche nel punto x0 , con f 0 (x0 ) = α.
7. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
√
(iii) lim+ logx (ex − 1);
2 − sin x − cos x
;
x→π/4
ln sin 2x
ln(1 + 2ex )
(iv) lim √
;
x→+∞
1 + x2
x − xx
(v) lim
;
x→1 1 − x − ln x
tan x
1
(vii) lim
;
x→0
x
(vi) lim tan x · ln sin x;
x→0
1
2
;
(viii) lim
−
x→0
1 − cos x x2
tan x
(i) lim+ (arctan x)
; (ii) lim
x→0
x→0
298
arcsin x − x
; (x) lim+ (ln x) ln ln x;
x→0 x − arctan x
x→1
1
1
1/x
(xi) lim+ (tan x)e ;
(xii) lim
;
−
x→0
x→0
x2 tan2 x
√
(1 + x)1/x 1 + x − e
2 sin12 x
(xiii) lim (1 + x )
; (xiv) lim
;
x→0
x→0
x2
x
ln x
πx
(xv) lim+
;
(xvi) lim (1 − x) tan
;
x→1
x→0
x
2
(ix) lim
(xvii) lim+ (ex − 1)x ;
(xviii) lim−
x→0
(xix) lim
x→0
4.8
tan x
x
x→1
1/x
(ln x)2/3 + (1 − x2 )3/4
(sin(x − 1))2/3
;
ln(1 + x + x2 ) + ln(1 − x + x2 )
.
x→0
sin2 x
; (xx) lim
Formula di Taylor
Consideriamo una funzione f : ]a, b[ → R e fissiamo un punto x0 ∈ ]a, b[ .
Come sappiamo, se f è continua allora
f (x) − f (x0 ) = o(1)
per x → x0 ,
mentre se f è derivabile allora
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) = o(x − x0 )
per x → x0 .
Il risultato che segue generalizza questa proprietà di approssimabilità.
Teorema 4.8.1 (formula di Taylor) Sia f una funzione derivabile k volte
in ]a, b[ , ove k ∈ N, e sia x0 ∈ ]a, b[ . Allora esiste un unico polinomio Pk (x)
di grado al più k, tale che
f (x) − Pk (x) = o (x − x0 )k
per x → x0 ;
tale polinomio è dato da
k
X
1 (n)
Pk (x) =
f (x0 )(x − x0 )n
n!
n=0
e si chiama k-simo polinomio di Taylor di f di centro x0 .
299