esercizi - Classe delle Lauree in Scienze Biologiche

ESERCIZI
Numeri reali - Esercizi
1. Correggere, se necessario, e scrivere per esteso, introducendo il connettivo opportuno:
) x2 = 4  x =  2 
) x2  4  x   2 
) x2  4  x   2 
2. Dare la definizione di “quoziente di numeri reali”:
a) formalmente:
b) a parole:
1
3. Scrivere a parole il seguente enunciato :
(x) (x>0  x +  2)
x
4. Scrivere in formula e a parole l’assioma di Archimede.
5. Scrivere gli assiomi di R relativi agli elementi neutri.
6. Scrivere a parole (nel miglior italiano possibile) il seguente enunciato sui numeri reali:
(x)(y)(z)(t)(( x < y  z < t)  x + z < y + t) .
7. Scrivere a parole il seguente enunciato sui numeri reali:
(x)(y)  (x  y) = y  x .
8. Scrivere gli assiomi di R relativi alle operazioni unarie.
9. Dare la definizione di “differenza tra numeri reali”:
a) formalmente:
b) a parole:
10. Scrivere a parole (nel miglior italiano possibile) il seguente enunciato :
(x , y , z  R )(x  y  z  x  z  y ) .
11. Dare la definizione di “valore assoluto di un numero reale”:
a) formalmente:
b) a parole:
12. Scrivere in formula e a parole la proprietà di tricotomia per R.
13. Scrivere in formula e a parole l’assioma della radice n-esima aritmetica.
14. Dare la definizione di “potenza di un numero reale con esponente naturale”:
a) formalmente:
b) a parole:
15.
Scrivere a parole (nel miglior italiano possibile) il seguente enunciato :
z z
(x , y , z R  \  0 )( x  y   ) .
x y
16. Quale dei seguenti enunciati formalizza correttamente la frase
“può accadere che un numero naturale sia pari e primo” ?
 (x  N )(P(x )  Pr(x ))
 (x  N )(P( x )  Pr( x ))
 (x  N )(P( x )  Pr( x )) .
17. Indicare formalmente (eventualmente in più modi) gli insiemi
) dei numeri razionali compresi non strettamente tra 0 e 1:
) dei numeri reali il cui valore assoluto è minore di 4:
18. Quali delle seguenti proprietà valgono per ogni x  R?
1
1

 0 x  0

 |x| < 2  2 < x < 2
 x2 = x
 sen x =  x =
x
2
3
19. Quale delle seguenti formule formalizza correttamente la frase
“ogni numero reale può essere maggiorato strettamente da un numero naturale” ?
19
 (x R )( n  N ) x  n
 ( n  N )(x  R ) x  n
20. Indicare formalmente (eventualmente in più modi) gli insiemi
) dei numeri interi compresi strettamente tra 7 e 2:
) dei numeri reali il cui quadrato è maggiore di 4:
 (x R )( n  N ) x  n
21. Quali delle seguenti proprietà valgono per ogni x  R?
1
1
 2  x  x2

 |x| < |y|   y< x < y
 | xy|  | x| | y|
 sen x  1
x
x
22. Quale delle seguenti formule formalizza correttamente la frase
“non può accadere che un numero razionale abbia il quadrato uguale a due” ?
  (x Q ) x 2  2
 (x Q ) x 2  2
 (x Q ) x 2  2
23. Indicare formalmente (eventualmente in più modi) gli insiemi
) dei numeri reali minori o uguali a 1 oppure maggiori di 2:
) dei numeri naturali multipli di 3:
24. Quali delle seguenti proprietà valgono per ogni x , y  R?
| x|
x
 sen x  1

y
| y|
25. Quale delle seguenti formule formalizza correttamente la frase
“non è detto che il quoziente di due numeri interi sia un intero” ?
z
z
z
  (  z 1 , z 2 Z ) 1 Z
 (  z 1 , z 2 Z ) 1 Z
 (  z 1 , z 2 Z ) 1 Z
z2
z2
z2
26. Indicare formalmente (eventualmente in più modi) gli insiemi
) dei numeri reali minori di 2 e maggiori o uguali a 0:
) dei numeri naturali divisori di 15:

1
x
x
 |x| > 0

27. Quali delle seguenti proprietà valgono per ogni x , y  R?

1
1

x | x|

| x|
0 y0
y

x

y
x
y
 sen x 
1

x
2
3
28. Formalizzare nel linguaggio dei numeri reali L (R) il seguente enunciato:
L’opposto dell’opposto di qualunque numero reale è il numero stesso.
29. a) Definire il valore assoluto di un numero reale;
b) Elencare le principali proprietà del valore assoluto.
30. Formalizzare nel linguaggio dei numeri reali L (R) il seguente enunciato:
Il reciproco del reciproco di qualunque numero reale non nullo è il numero stesso.
31. a) Definire il quoziente di due numeri reali;
b) Elencare le principali proprietà (algebriche e ordinali) del quoziente.
32. Formalizzare nel linguaggio dei numeri reali L (R) i seguenti enunciati:
Il quadrato della radice quadrata di qualunque numero reale positivo è il numero stesso;
La radice quadrata del quadrato di qualunque numero reale è il valore assoluto del numero stesso.
33. ) Formalizzare, nel linguaggio di R, l’enunciato “dati due numeri reali, se il primo è
reciproco del secondo allora sono entrambi diversi da zero”:
) L’enunciato assegnato è equivalente a:
a) condizione necessaria perchè due numeri reali siano uno reciproco dell’altro è che siano
entrambi non nulli
20
b) condizione sufficiente perchè due numeri reali siano uno reciproco dell’altro è che siano
entrambi non nulli
c) condizione necessaria e sufficiente perchè due numeri reali siano uno reciproco dell’altro è
che siano entrambi non nulli
34. Definire: ) l’insieme Q dei numeri razionali;
) la potenza di un numero reale con esponente razionale;
) l’insieme A dei numeri razionali che sono reciproci dei numeri naturali.
35. Enunciare gli assiomi algebrici e ordinali di R riguardanti la moltiplicazione (sei assiomi).
36. a) Un insieme X  R si dice induttivo se e solo se
i)
ii)
b) L’insieme dei numeri naturali N è
37. Siano x,yR, n,mN; completare le seguenti proprietà ordinali delle potenze:
1. x < y  xn ... yn
3. x >1  n < m  xn ... xm
n
2. 0 < x < 1  x ... x
4. x < 0  n = 2m1  xn ... 0.
38. a) L’insieme dei numeri interi Z è così definito:
b) Z è chiuso rispetto alle operazioni di ...
c) scrivere alcuni numeri reali appartenenti all’insieme Z\N, a Q\Z, a R\Q.
39. Siano x, yR+, n, mN; completare le seguenti proprietà ordinali dei radicali aritmetici:
1. x < y  n x ... n y
2. 0 < x < 1  n x ... x
3. x >1  n < m  n x ... m x
40. a) Definire la relazione  tra numeri reali;
b)  è una relazione d’ordine, vale a dire ...
41. Se il prodotto di cinque numeri interi è strettamente positivo, allora si può affermare con
certezza che: a) tutti i fattori sono positivi
b) un fattore è positivo e gli altri positivi
c) tre fattori sono positivi e due positivi
d) almeno un fattore è positivo
e) nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
42. Se a  R \{0} allora il numero a+3 è
a) sempre positivo
b) positivo se e solo se a < 3
c) positivo se e solo se a > 3
d) positivo se e solo se a > 3
43. Dati x, y, x1, x2, a, b  R e n, m  N, aggiungere le eventuali ipotesi mancanti alle seguenti
proprietà:
a) se
allora
x
y

| x|
| y|
0
b) se
allora x = 1
c) se
allora n xy  n x n y
44. Se a  R \{0} allora il numero a+1 è
a) sempre positivo
b) positivo se e solo se a < 1
c) positivo se e solo se a > 1
d) positivo se e solo se a > 1.
21
45. Se il quoziente
che:
abc
di numeri interi non nulli è negativo, allora si può affermare con certezza
ef
a) tutti i numeri sono negativi
b) un numero è negativo e gli altri positivi
c) tre numeri sono negativi e due positivi
d) almeno un numero è negativo
e) nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
46. Correggere le seguenti formule di R:

x2 = x
 | x| = x
 x2 >0  x>0
 x2 = a  (x =
a  x =  a ).
47. Stabilire a quale degli insiemi N, Q\N, R\Q, appartiene ciascuno dei seguenti numeri reali:

 1
 -1
 e
 cos2
 sen 
6


3
 3
 5.17
 
 5tg 
- 
2
4
4
Alcuni esercizi svolti
1. ) x2 = 4  x =  2
è un’abbreviazione corretta: x = 2 si legge “x uguale a due o
meno due” e si scrive, per esteso, “x = 2  x = 2”;
) x2  4  x   2
è un’abbreviazione scorretta, seppure molto usata: “x diverso da più
o meno due” significa in verità che x è un qualunque numero reale; la dizione corretta è
“x diverso da due e da meno due” e si scrive: x  2  x   2;
) x2  4  x   2
è errato: se “x è minore o uguale a due o a meno due” basta che x
sia minore o uguale a due per soddisfare la richiesta; l’equivalenza corretta è invece
x2  4  2  x  2.
6. La proprietà espressa dalla formula è la cosiddetta “somma termine a termine”; letteralmente
dice che
“dati quattro numeri reali, x, y, z, t, se x<y e z<t allora x+z < y+t”, che è una scrittura
ibrida, nè italiana nè matematica.
Si può dire che
“dati quattro numeri qualunque, se il primo è minore del secondo e il terzo è minore del
quarto, allora la somma del primo e del terzo è minore della somma del secondo e del
quarto”.
O anche:
“sommando termine a termine due diseguaglianze omologhe (con lo stesso verso), la
diseguaglianza si conserva”, cioè “la somma dei primi termini è minore della somma dei
secondi termini”.
16. Evidentemente P(x) sta per “x è pari” e Pr(x) sta per “x è primo”. Allora
(x  N )(P(x )  Pr(x ))
si legge “per ogni numero naturale x, se x è pari allora x è
primo”
(x  N )(P( x )  Pr( x ))
si legge “esiste almeno un numero naturale x tale che x è pari
oppure è primo”
(x  N )(P( x )  Pr( x ))
si legge “ esiste almeno un numero naturale x che è pari ed è
primo”.
L’ultima formula quindi formalizza correttamente il concetto espresso dalla frase assegnata.
22
21. 
1
1
 2  x  x2
non vale in tutto R, infatti x non può essere 0; inoltre, se x è negativo
x
x
1
anche
è negativo. La proprietà vale solo se xR+\{0};
x
 |x| < |y|   y< x < y
non vale in tutto R, infatti |x| < |y|   |y| < x < |y| , che è equivalente
a  y< x < y se e solo se y  0.

| xy|  | x| | y|
è vera per ogni x in R.
 sen x  1
è vera per ogni x in R.
25. La risposta corretta è l’ultima, dato che la frase proposta può essere riformulata come “può
accadere che il quoziente di due numeri interi non sia un intero”, cioè “esistono numeri interi
il cui quoziente non è un intero”.
Alcune soluzioni
2. a) (xR)(yR\0)
x def
  xy 1
y
b) Dati due numeri reali x e y, con y  0, il loro quoziente
x
è, per definizione, il prodotto di x
y
per il reciproco di y.
3. Per ogni numero reale x strettamente positivo, la somma di x col suo reciproco è maggiore o
uguale a due.
4. In formula: (xR)(nN) x < n
A parole: per ogni numero reale esiste almeno un numero naturale che lo maggiora strettamente.
7. L’opposto della differenza tra x e y è uguale alla differenza tra y e x..
9. a) Dati x, y R, per definizione x y = x + (y);
b) La differenza tra due numeri reali qualunque è data dalla somma del primo con l’opposto del
secondo.
12. In formula: (xR) (x < 0  x = 0  x > 0);
a parole: dato un numero reale qualunque, esso è strettamente negativo o nullo o strettamente
positivo.
 r1  r
14. a) dati rR e nN, si definisce (induttivamente)  n 1
n
r  r  r
b) la potenza con esponente naturale di un numero reale qualunque r è uguale ad r stesso se
l’esponente è 1, è uguale al prodotto di r per rn se l’esponente è n+1.
17.
) {x : xQ  0  x  1} = {qQ : 0  q  1}
) {xR : |x| < 4} = {xR : 4 < x < 4} = (4, 4).
19. L’ultima formula è quella corretta.
23. ) {x : xR  (x-1  x2)} = {xR : x-1  x2} = {xR : x2x2  0} = (, 1]  [2, +)
) {n: n  N  (kN) n = 3k} = { n  N : (kN) n = 3k} = {3k : k  N }.
23
28. (xR) (x) = x.
1
30. (xR\{0})
= x oppure
(xR) (x  0  (x1)1 = x).
1
x
37. I simboli mancanti sono rispettivamente: 1. < ; 2. > ; 3. < ; 4. <
42. a) sempre positivo.
47. 1  N; 1  Q\N
(1 è un intero negativo, quindi è razionale ma non naturale); e  R\Q (il
numero di Nepero è irrazionale); cos2  R\Q (quasi tutti i valori trigonometrici sono irrazionali);
1


sen
 Q\N (sen
= , razionale non intero).
2
6
6
24
25