PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 1
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
Universitá degli Studi di Roma “La Sapienza”
Docente Dott.ssa Luisa Moschini
a.a. 2006/2007
1. NOZIONI FONDAMENTALI INSIEMI: elementi, appartenenza, inclusione, unione, intersezione,
differenza, insieme vuoto, insieme delle parti, complementare di un insieme, prodotto cartesiano. Rappresentazione degli insiemi. INSIEMI NUMERICI: I numeri naturali N e il principio di induzione (enunciato
in nota integrativa). La disuguaglianza di Bernoulli (c.d. vedi nota integrativa). Gli interi relativi Z. Il
campo ordinato
dei numeri razionali Q e la loro rappresentazione decimale. Il campo ordinato dei numeri
√
reali R. 2 é un numero irrazionale (c.d.) come esempio di dimostrazione per assurdo. Il valore assoluto e la
disuguaglianza triangolare (c.d.). Gli intervalli, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore,
l’assioma di Dedekind e le sue conseguenze: densitá dei razionali nei reali, esistenza (ed unicitá) della radice
n− esima aritmetica per numeri reali positivi e definizione di potenze ad esponente reale e base reale positiva.
Esponenziali e logaritmi, loro proprietá. Disequazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni di secondo
grado. Equazioni/disequazioni esponenziali e logaritmiche, razionali e irrazionali.
2. IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI C. Il complesso coniugato, il modulo e le sue proprietá,
parte reale e parte immaginaria, l’argomento (principale). Forma algebrica e forma trigonometrica di un
numero complesso. Formula di De Moivre e radice n−esima (complessa) (c.d.). Equazioni polinomiali in
C: la forma risolutiva per equazioni di secondo grado e il teorema fondamentale dell’algebra. Risoluzioni di
alcune equazioni nel campo complesso. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Interpretazione
geometrica delle operazioni di somma e prodotto.
3. SUCCESSIONI E SERIE La nozione di limite di una successione. Unicitá del limite (c.d.) Successioni
limitate e successioni convergenti. La struttura di R ampliato (=R∗ ). Successioni divergenti e irregolari (o
indeterminate). Successioni monotone: teorema di esistenza del limite. La successione geometrica e il numero
di Nepero (c.d.). Operazioni sui limiti e forme indeterminate (o di indecisione). Teorema del confronto
(c.d.), teorema della permanenza del segno (c.d.) e teorema sull’algebra dei limiti (c.d.). Successioni infinite
e infinitesime e loro ordine.
√ Il fattoriale di n. La gerarchia degli infiniti (c.d. vedi nota integrativa). Stime
asintotiche. Il limite di n n (c.d. vedi nota integrativa). I limiti notevoli di an −1 sen(an ) e a−2
n (1 − cos(an ))
per ogni successione an → 0 per n → +∞ (c.d. pg 161/162 del libro M. Bramanti, C.Pagani e S.Salsa).
La serie geometrica e la serie di Mengoli. Applicazione: Frazione generatrice di un numero decimale illimitato
periodico (vedi foglio esercitazione n. 2). Serie convergenti e loro condizione necessaria (c.d.). Serie a
termini non negativi: criterio del confronto e criterio del confronto asintotico, criterio della radice e criterio
del rapporto (c.d. vedi nota integrativa), criterio di Cauchy (enunciato in nota integrativa). La serie
armonica generalizzata. Serie a termini di segno qualsiasi: relazione tra convergenza assoluta e convergenza
semplice (c.d. vedi nota integrativa) Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Serie somma e sua
convergenza/divergenza.
4. FUNZIONI: LIMITI E CONTINUITÁ Definizione di funzione. Insieme di definizione o dominio,
insieme immagine o codominio. Grafico di una funzione, funzioni limitate, funzioni pari o dispari, funzioni
periodiche. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche (o biettive). Limiti (anche destro e sinistro), continuitá,
asintoti (verticali, orizzontali, obliqui). Funzioni monotone e loro relazione con invertibilitá (c.d. vedi nota
integrativa), limiti e continuitá. Discontinuitá di salto: gradino di Heaviside. FUNZIONI ELEMENTARI:
funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche ed iperboliche. Continuitá della funzione
sin x su R (c.d. vedi nota integrativa) Alcune elementari operazioni sul grafico di una funzione. Funzioni
composte e funzione inversa. Le funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Funzioni iperboliche inverse.
Funzioni continue e loro proprietá: teorema di esistenza degli zeri (c.d.), teorema di Weierstrass, teorema
dei valori intermedi (c.d.). Proprietá fondamentali dei limiti: confronto, permanenza del segno, algebra dei
limiti. Cambio di variabile nel calcolo del limite e continuitá della funzione composta (c.d.). Limiti notevoli.
Gerarchia degli infiniti e stime asintotiche.
5. CALCOLO DIFFERENZIALE Definizione di derivata e suo significato geometrico. Retta tangente al
grafico della funzione. Relazione tra derivabilitá e continuitá (c.d.). Algebra delle derivate (somma/prodotto
(c.d.)/quoziente). Regola della catena (c.d.). Regola di derivazione delle funzioni inverse. Punti angolosi,
flessi o punti a tangente verticale, cuspidi. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat (c.d.).
Punti stazionari. Massimi e minimi relativi ed assoluti, flessi a tangente orizzontale. Ricerca degli estremi
di una funzione. Teorema del valor medio o di Lagrange (c.d.). Test di monotonia (c.d.) Applicazione:
monotonia di “alcune” successioni. Teorema di caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Teorema di
1
2
De l’Hospital (c.d.). Applicazione: la gerarchia degli infiniti (dimostrazione alternativa dei primi due limiti).
Derivate di ordine superiore. Funzioni concave e convesse e loro posizione rispetto a rette tangenti e secanti.
Punti di flesso (a tangente anche obliqua). Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano (c.d. almeno
per n = 2, vedi nota integrativa). Sviluppi di Mac Laurin delle funzioni elementari: ex , senx, cosx, ln(1 + x);
2
saperne dedurre lo sviluppo di Mac Laurin ad esempio delle funzioni ln(cosx), senx
x e (senx) . Applicazioni:
calcolo dei limiti in presenza di forme indeterminate, criteri per i punti di massimo e minimo (enunciati in
nota integrativa). Studio del grafico di una funzione. Potenza di binomio e coefficienti binomiali. La formula
di Newton (c.d. vedi nota integrativa) Serie di Taylor: sviluppabilitá. Sviluppi in serie di Mac Laurin
delle funzioni esponenziale, seno, coseno e logaritmo. Serie a termini complessi. Esponenziale complesso.
Formula di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso. Valore principale del logaritmo complesso.
Elevamento a potenza complessa.
6. INTEGRALI Definizione di integrale (definito) di funzioni continue di una variabile. Significato geometrico: area del rettangoloide. Proprietá degli integrali: linearitá e monotonia rispetto all’ integranda,
additivitá rispetto all’intervallo di integrazione. Relazione tra l’integrale del valore assoluto di una funzione e il valore assoluto dell’integrale della funzione (c.d. vedi nota integrativa) Teorema fondamentale
del calcolo integrale (c.d.) Funzioni primitive e integrali indefiniti. Alcuni integrali fondamentali. Metodi
di integrazione per parti e per sostituzione (c.d.). La funzione integrale. Secondo teorema fondamentale
del calcolo integrale (c.d.) Teorema della media (c.d.) Estensione della definizione di integrale a funzioni
continue a meno di un numero finito di punti. Integrabilitá di funzioni illimitate o di funzioni su intervalli
illimitati. Criteri di integrabilitá al finito e all’infinito. Funzioni assolutamente integrabili. Applicazione:
una nuova dimostrazione della convergenza/divergenza della serie armonica generalizzata. Integrazione di
funzioni razionali. Alcune sostituzioni speciali: integrazione di funzioni trigonometriche e irrazionali.
7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Equazioni differenziali a variabili separabili: teorema di esistenza ed unicitá per il problema di Cauchy associato. Equazioni differenziali lineari: teorema
di esistenza ed unicita’ per il problema di Cauchy associato. La struttura dell’integrale generale (c.d. vedi
nota integrativa). Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Formula risolutiva (c.d.). Equazioni
differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: l’integrale generale dell’ equazione omogenea
(per il tramite dell’equazione caratteristica), l’integrale generale dell’ equazione completa (per il tramite del
metodo di somiglianza o del metodo di variazione delle costanti). Applicazione: vibrazioni meccaniche libere,
smorzate o forzate. Il fenomeno della risonanza.
8. FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Insieme di definizione. Definizione di insieme
aperto, insieme chiuso, insieme limitato o illimitato del piano. Proprietá topologiche degli insiemi aperti
e chiusi: unione e intersezione di aperti o chiusi. Distanza di due punti nel piano. Coordinate polari
nel piano. Definizione di limite. Unicitá del limite. Operazioni sui limiti. Funzioni continue. Derivate
parziali. Gradiente di una funzione. Derivata direzionale. Differenziabilitá. Relazione tra differenziabilitá e
continuitá (c.d.) Il teorema del differenziale totale. Relazione tra derivate parziali e derivate direzionali per
funzioni differenziabili: la formula del gradiente (c.d.). Piano tangente al grafico della funzione. Relazione
tra differenziabilitá ed esistenza del piano tangente.
