EQUAZIONI LINEARI INTERE
EQUAZIONE : uguaglianza fra due espressioni algebriche, contenente numeri reali ed una lettera detta
incognita ( x ).
INCOGNITA: lettera alla quale attribuire un valore numerico per rendere vera l’uguaglianza.
TROVARE LA SOLUZIONE: eseguire delle operazioni per trovare il valore che, sostituito alla incognita x
rende vera l’uguaglianza.
LINEARI o DI PRIMO GRADO: l’incognita compare alla prima potenza, tutte le altre potenze
dell’incognita, se compaiono, si annullano.
EQUAZIONE INTERA: l’incognita non compare mai a denominatore.
Esempio:
3x – 5 = 2x
espressione algebrica
espressione
algebrica
uguaglianza
EQUAZIONE LINEARE INTERA A COEFFICIENTI INTERI
SOLUZIONE:
infatti
x=5
3 ⋅ (5) – 5 = 2 ⋅ (5)
15 – 5 = 10
10 = 10 uguaglianza vera
Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno le stesse soluzioni.
I PRINCIPI DI EQUIVALENZA sono operazioni che posso eseguire su una equazione per trasformarla in
un’altra equazione equivalente.
Quindi RISOLVERE un’equazione significa applicare i principi di equivalenza per semplificare l’equazione
ed arrivare alla soluzione.
ESEMPI DI RISOLUZIONE
1) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso dividere a destra ed a sinistra per uno stesso numero diverso da
zero.
Esempi:
5 x = −10
divido per 5
© Barbara Pozzi 2009
5 x − 10
=
5
5
x = −2
8 = 2x
divido per 2
8 2x
=
2 2
4 = x cioè x = 4
− 3 x = −2
divido per -3
− 3x − 2
=
−3 −3
x=+
2
3
OSSERVAZIONE: si divide sempre per il coefficiente della x (numero davanti alla x).
2) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso sommare o sottrarre a destra ed a sinistra uno stesso numero.
Esempio:
x + 1 = −8
sottraggo +1 o sommo -1
x + 1 − 1 = −8 − 1
x = −9
OSSERVAZIONE: è come “aver preso il +1 a sinistra dell’uguale ed averlo portato a destra dell’uguale
cambiandogli segno; quindi
in un’equazione posso spostare un termine da una parte all’altra dell’uguale cambiandogli segno.
Altro esempio:
7 = x−3
7 + 3 = x (-3 da destra è passato a sinistra diventando +3)
10 = x cioè x = 10
3) UTILIZZO ENTRAMBI I PRECEDENTI PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Esempi:
3x − 5 = 2 x
sposto -5 a destra e 2x a sinistra
sommo a destra ed a sinistra
5x + 1 = 3 − 2x
3 x − 2 x = +5
x = +5
sposto +1 a destra e -2x a sinistra
sommo a destra ed a sinistra
divido per 7
3( x − 7 ) + 5( x − 4) = 15
eseguo le moltiplicazioni
sposto i termini
sommo
divido per 8
x + 3(1 − x ) = 2 + 5 x
eseguo la moltiplicazione
sposto i termini
sommo
divido per -7
© Barbara Pozzi 2009
5x + 2x = 3 −1
7x = 2
7x 2
2
=
x=
7 7
7
3 x − 21 + 5 x − 20 = 15
3 x + 5 x = 21 + 20 + 15
8 x = 56
8 x 56
=
x=7
8
8
x + 3 − 3x = 2 + 5x
x − 3x − 5 x = 2 − 3
− 7 x = −1
− 7 x −1
1
=
x=+
7
−7 −7
4) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso moltiplicare a destra ed a sinistra per uno stesso numero diverso
da zero.
Esempio:
3
1 x
x + = +1
cerco di avere un denominatore comune (cioè uguale), uso il m.c.m.(2,6,3) = 6
2
6 3
(6 : 2 ⋅ 3x ) + (6 : 6 ⋅1) = (6 : 3 ⋅ x ) + (6 : 1⋅1)
stesse operazioni di quando sommo le frazioni
6
6
9x + 1 2x + 6
=
moltiplico per 6 a destra e sinistra, poi semplifico
6
6
9x +1
2x + 6
6/ ⋅
= 6/ ⋅
si ottiene
6/
6/
9x +1 = 2x + 6
risolvo come le precedenti, sposto i termini
9x − 2x = 6 −1
sommo
7x = 5
divido per 7
7x 5
5
=
x=
7 7
7
Altro esempio
3 − 2x x −1
x −1
x 1
−
= x+5
ATTENZIONE: −
= − + regola dei segni
9
4
4
4 4
(36 : 9 ⋅ 3) − (36 : 9 ⋅ 2 x ) − (36 : 4 ⋅ x ) + (36 : 4 ⋅1) = (36 : 1⋅ x ) + (36 : 1⋅ 5)
m.c.m.(9,4) = 36
36
36
12 − 8 x − 9 x + 9 36 x + 180
=
moltiplico per 36 (elimino il denominatore uguale)
36
36
12 − 8 x − 9 x + 9 = 36 x + 180
sposto i termini
− 8 x − 9 x − 36 x = 180 − 12 − 9
sommo
− 53 x = 159
divido per -53
− 53 x 159
=
x = −3
− 53 − 53
EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE ED IMPOSSIBILI
Un’equazione è determinata quando ha una soluzione
Esempio:
5x = 0
5x 0
=
5 5
x = 0 ho una soluzione
Un’equazione è indeterminata quando ha infinite soluzioni, cioè tutti i numeri sono soluzioni
Esempio:
3( x − 1) + 3 = 3x
3x − 3 + 3 = 3x
3x = 3x
l’uguaglianza risulta vera indipendentemente dal valore di x
© Barbara Pozzi 2009
3x − 3x = 0
0=0
Un’equazione è impossibile quando non ha soluzione, cioè nessun numero può essere soluzione
Esempio:
3x − 1 = 2 + 3x
3x − 3x = 2 + 1
0=3
L’uguaglianza è falsa indipendentemente dal valore di x.
© Barbara Pozzi 2009
