EQUAZIONI LINEARI INTERE EQUAZIONE : uguaglianza fra due espressioni algebriche, contenente numeri reali ed una lettera detta incognita ( x ). INCOGNITA: lettera alla quale attribuire un valore numerico per rendere vera l’uguaglianza. TROVARE LA SOLUZIONE: eseguire delle operazioni per trovare il valore che, sostituito alla incognita x rende vera l’uguaglianza. LINEARI o DI PRIMO GRADO: l’incognita compare alla prima potenza, tutte le altre potenze dell’incognita, se compaiono, si annullano. EQUAZIONE INTERA: l’incognita non compare mai a denominatore. Esempio: 3x – 5 = 2x espressione algebrica espressione algebrica uguaglianza EQUAZIONE LINEARE INTERA A COEFFICIENTI INTERI SOLUZIONE: infatti x=5 3 (5) – 5 = 2 (5) 15 – 5 = 10 10 = 10 uguaglianza vera Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno le stesse soluzioni. I PRINCIPI DI EQUIVALENZA sono operazioni che posso eseguire su una equazione per trasformarla in un’altra equazione equivalente. Quindi RISOLVERE un’equazione significa applicare i principi di equivalenza per semplificare l’equazione ed arrivare alla soluzione. ESEMPI DI RISOLUZIONE 1) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso dividere a destra ed a sinistra per uno stesso numero diverso da zero. Esempi: 5x 10 divido per 5 5 x 10 5 5 x 2 1 8 2x divido per 2 8 2x 2 2 4 x cioè x 4 3x 2 divido per -3 3x 2 3 3 x 2 3 OSSERVAZIONE: si divide sempre per il coefficiente della x (numero davanti alla x). 2) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso sommare o sottrarre a destra ed a sinistra uno stesso numero. Esempio: x 1 8 sottraggo +1 o sommo -1 x 11 8 1 x 9 OSSERVAZIONE: è come “aver preso il +1 a sinistra dell’uguale ed averlo portato a destra dell’uguale cambiandogli segno; quindi in un’equazione posso spostare un termine da una parte all’altra dell’uguale cambiandogli segno. Altro esempio: 7 x 3 7 3 x (-3 da destra è passato a sinistra diventando +3) 10 x cioè x 10 3) UTILIZZO ENTRAMBI I PRECEDENTI PRINCIPI DI EQUIVALENZA Esempi: 3x 5 2x 3x 2x 5 x 5 sposto -5 a destra e 2x a sinistra sommo a destra ed a sinistra 5x 1 3 2 x sposto +1 a destra e -2x a sinistra sommo a destra ed a sinistra divido per 7 3x 7 5x 4 15 eseguo le moltiplicazioni sposto i termini sommo divido per 8 x 31 x 2 5x eseguo la moltiplicazione sposto i termini sommo divido per -7 2 5x 2 x 3 1 7x 2 7x 2 2 x 7 7 7 3x 21 5x 20 15 3x 5x 21 20 15 8x 56 8 x 56 x7 8 8 x 3 3x 2 5x x 3x 5x 2 3 7 x 1 7 x 1 1 x 7 7 7 4) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso moltiplicare a destra ed a sinistra per uno stesso numero diverso da zero. Esempio: 3 1 x x 1 cerco di avere un denominatore comune (cioè uguale), uso il m.c.m.(2,6,3) = 6 2 6 3 6 : 2 3x 6 : 6 1 6 : 3 x 6 : 11 stesse operazioni di quando sommo le frazioni 6 6 9x 1 2x 6 moltiplico per 6 a destra e sinistra, poi semplifico 6 6 9x 1 2x 6 6 6 si ottiene 6 6 risolvo come le precedenti, sposto i termini 9x 1 2x 6 sommo 9 x 2 x 6 1 divido per 7 7x 5 7x 5 5 x 7 7 7 Altro esempio 3 2x x 1 x 1 x 1 x5 regola dei segni ATTENZIONE: 9 4 4 4 4 36 : 9 3 36 : 9 2 x 36 : 4 x 36 : 4 1 36 : 1 x 36 : 1 5 m.c.m.(9,4) = 36 36 36 12 8 x 9 x 9 36 x 180 moltiplico per 36 (elimino il denominatore uguale) 36 36 sposto i termini 12 8x 9x 9 36x 180 sommo 8x 9x 36x 180 12 9 divido per -53 53x 159 53 x 159 x 3 53 53 EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE ED IMPOSSIBILI Un’equazione è determinata quando ha una soluzione Esempio: 5x 0 5x 0 5 5 x 0 ho una soluzione Un’equazione è indeterminata quando ha infinite soluzioni, cioè tutti i numeri sono soluzioni Esempio: 3x 1 3 3x 3x 3 3 3x 3x 3x 3x 3x 0 l’uguaglianza risulta vera indipendentemente dal valore di x Un’equazione è impossibile quando non ha soluzione, cioè nessun numero può essere soluzione Esempio: 3x 1 2 3x 3x 3x 2 1 03 L’uguaglianza è falsa indipendentemente dal valore di x. 3 00