equazioni lineari intere

EQUAZIONI LINEARI INTERE
EQUAZIONE : uguaglianza fra due espressioni algebriche, contenente numeri reali ed una lettera detta
incognita ( x ).
INCOGNITA: lettera alla quale attribuire un valore numerico per rendere vera l’uguaglianza.
TROVARE LA SOLUZIONE: eseguire delle operazioni per trovare il valore che, sostituito alla incognita x
rende vera l’uguaglianza.
LINEARI o DI PRIMO GRADO: l’incognita compare alla prima potenza, tutte le altre potenze
dell’incognita, se compaiono, si annullano.
EQUAZIONE INTERA: l’incognita non compare mai a denominatore.
Esempio:
3x – 5 = 2x
espressione algebrica
espressione
algebrica
uguaglianza
EQUAZIONE LINEARE INTERA A COEFFICIENTI INTERI
SOLUZIONE:
infatti
x=5
3  (5) – 5 = 2  (5)
15 – 5 = 10
10 = 10 uguaglianza vera
Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno le stesse soluzioni.
I PRINCIPI DI EQUIVALENZA sono operazioni che posso eseguire su una equazione per trasformarla in
un’altra equazione equivalente.
Quindi RISOLVERE un’equazione significa applicare i principi di equivalenza per semplificare l’equazione
ed arrivare alla soluzione.
ESEMPI DI RISOLUZIONE
1) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso dividere a destra ed a sinistra per uno stesso numero diverso da
zero.
Esempi:
5x  10
divido per 5
5 x  10

5
5
x  2
1
8  2x
divido per 2
8 2x

2 2
4  x cioè x  4
 3x  2
divido per -3
 3x  2

3 3
x
2
3
OSSERVAZIONE: si divide sempre per il coefficiente della x (numero davanti alla x).
2) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso sommare o sottrarre a destra ed a sinistra uno stesso numero.
Esempio:
x  1  8
sottraggo +1 o sommo -1
x 11  8 1
x  9
OSSERVAZIONE: è come “aver preso il +1 a sinistra dell’uguale ed averlo portato a destra dell’uguale
cambiandogli segno; quindi
in un’equazione posso spostare un termine da una parte all’altra dell’uguale cambiandogli segno.
Altro esempio:
7  x 3
7  3  x (-3 da destra è passato a sinistra diventando +3)
10  x cioè x  10
3) UTILIZZO ENTRAMBI I PRECEDENTI PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Esempi:
3x  5  2x
3x  2x  5
x  5
sposto -5 a destra e 2x a sinistra
sommo a destra ed a sinistra
5x  1  3  2 x
sposto +1 a destra e -2x a sinistra
sommo a destra ed a sinistra
divido per 7
3x  7  5x  4  15
eseguo le moltiplicazioni
sposto i termini
sommo
divido per 8
x  31  x  2  5x
eseguo la moltiplicazione
sposto i termini
sommo
divido per -7
2
5x  2 x  3  1
7x  2
7x 2
2

x
7 7
7
3x  21 5x  20  15
3x  5x  21  20  15
8x  56
8 x 56

x7
8
8
x  3  3x  2  5x
x  3x  5x  2  3
 7 x  1
 7 x 1
1

x
7 7
7
4) PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: posso moltiplicare a destra ed a sinistra per uno stesso numero diverso
da zero.
Esempio:
3
1 x
x   1
cerco di avere un denominatore comune (cioè uguale), uso il m.c.m.(2,6,3) = 6
2
6 3
6 : 2  3x   6 : 6 1  6 : 3  x   6 : 11
stesse operazioni di quando sommo le frazioni
6
6
9x 1 2x  6

moltiplico per 6 a destra e sinistra, poi semplifico
6
6
9x 1
2x  6
6 
 6 
si ottiene
6
6
risolvo come le precedenti, sposto i termini
9x  1  2x  6
sommo
9 x  2 x  6 1
divido per 7
7x  5
7x 5
5

x
7 7
7
Altro esempio
3  2x x 1
x 1
x 1

 x5
   regola dei segni
ATTENZIONE: 
9
4
4
4 4
36 : 9  3  36 : 9  2 x   36 : 4  x   36 : 4 1  36 : 1 x   36 : 1 5
m.c.m.(9,4) = 36
36
36
12  8 x  9 x  9 36 x  180

moltiplico per 36 (elimino il denominatore uguale)
36
36
sposto i termini
12  8x  9x  9  36x  180
sommo
 8x  9x  36x  180 12  9
divido per -53
 53x  159
 53 x 159

x  3
 53  53
EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE ED IMPOSSIBILI
Un’equazione è determinata quando ha una soluzione
Esempio:
5x  0
5x 0

5 5
x  0 ho una soluzione
Un’equazione è indeterminata quando ha infinite soluzioni, cioè tutti i numeri sono soluzioni
Esempio:
3x 1  3  3x
3x  3  3  3x
3x  3x
3x  3x  0
l’uguaglianza risulta vera indipendentemente dal valore di x
Un’equazione è impossibile quando non ha soluzione, cioè nessun numero può essere soluzione
Esempio:
3x 1  2  3x
3x  3x  2 1
03
L’uguaglianza è falsa indipendentemente dal valore di x.
3
00