Prova scritta di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
21/10/2014 – Cdl Informatica
1. In un cinema ci sono 2 sale. Marco ha deciso di andare a vedere il film proiettato nella sala B, ma è
in ritardo. Sa che arrivando all’ultimo momento, la probabilità di trovare ancora posto nella sala A è
pari a 0.2, la probabilità di trovare ancora un posto in almeno una delle due sale è 0.4 , e la
probabilità che vi sia ancora un posto nella sala B sapendo che c’è ancora un posto nella sala A è
0.3.
A) Qual è la probabilità che Marco riesca a vedere il film che proiettano nella sala B?
B) Come cambia tale probabilità se sappiamo che la sala A è già completa?
≤ −1
0
= 0.25 × + 1 ∈ −1,1
≥1
1
determinare la funzione densità, la mediana e la media.
2. Data una v.a. X con funzione di ripartizione
3. Su un campione casuale di n=300 individui, è stato rilevato un carattere X con distribuzione
normale. Al livello di significatività del 5%, si è costruito l’intervallo di confidenza per la media di X i
cui estremi sono risultati 54 e 56. Quanto valgono la media aritmetica campionaria e la varianza
campionaria.
4. Una società telefonica dichiara che nel 1990 l’importo della bolletta bimensile pagata dagli
abbonati privati ebbe una distribuzione con media 95 000 Lire e s.q.m. di 70 000 Lire.
a) Se si estrae un campione di 50 bollette dagli elenchi degli abbonati del 1990, qual è
approssimativamente la probabilità che la media campionaria degli importi sia maggiore di
100.000?
b) Estraendo un campione di ampiezza 100, la probabilità di cui al punto a), sarebbe maggiore o
minore? Perché?
c) Una agenzia per la protezione del consumatore estrae un campione di ampiezza 100 ed osserva
una media campionaria degli importi pari a 105.000. Si può concludere che l’importo medio
bimensile pagato nel 1990 sia stato maggiore di 95.000?
Usare un livello di significatività del 5%.
Soluzioni
1. Sia A l’evento “Marco trova posto nella sala A” e B l’evento “Marco trova posto nella sala B”. Si ha
che = 0.2; ⋃ = 0.4; | = 0.3. Pertanto ⋂ = | = 0.06 e
dall’essere ⋃ = + − ⋂ segue che = ⋃ + ⋂ −
= 0.26. Se la sala A è già completa, = 0 e quindi = ⋃ .
2. La funzione densità si ottiene derivando la funzione di ripartizione, ossia:
0.5 × + 1 ∈ −1,1
= 0
!"#$%&
,
La media è '()* = +-, 0.5 + 1 . = 0 1 + 23
,
,
,
1
,
-,
= . La mediana è quel valore a tale
,
4
che = 0.5. Per calcolarlo va risolta l’equazione 0.25 × + 1 = 0.5 che restituisce
= √2 − 1.
3. L’intervallo di confidenza cui si fa riferimento è quello per la media varianza incognita. Pertanto si
tratta di risolvere un sistema di due equazioni in due incognite derivante dall’aver posto uguale a
54 e 56 gli estremi dell’intervallo di confidenza, ossia:
8̅ − ":/,<<
=
√300
=
= 54
7̅ + "
= 56
:/,<<
6
√300
Poiché il campione ha taglia 300, è possibile usare l’approssimazione gaussiana e risolvere il
sistema
8̅ − >:/
=
√300
=
= 54
7̅ + >
= 56
:/
6
√300
Al livello di significatività del 5%, >?.?@ = 1.96. Pertanto il sistema da risolvere è
e le soluzioni sono ̅ = 55, = = 9.09.
̅ − 0.11= = 54
̅ + 0.11= = 56
4. A) La media campionaria )B ha distribuzione C95.000; 70.000. La probabilità che )B >
100.000 = 0F >
,?????-<@???
2
G????/√@?
= F > 0.5050 = 1 − 0.6915.
B)
La probabilità è minore perché diminuisce la varianza della media campionaria, quindi la
coda a destra della distribuzione gaussiana standard ha minore estensione.
C)
Si tratta di effettuare un test sulla media varianza nota. L’ipotesi nulla è H? : J = 95.000
contro l’ipotesi alternativa H, :J > 95.000 al livello di significatività del 5%. La media campionaria
risulta pari a ̅ = 105.000. Pertanto la statistica test risulta essere 377.9645 che è maggiore del
quantile 1.645 e pertanto l’ipotesi nulla è rigettata.
