Verità e conseguenza logica
Logica
2: Verità e conseguenza logica
Claudio Sacerdoti Coen
<[email protected]>
Universitá di Bologna
06/10/2015
Claudio Sacerdoti Coen
Verità e conseguenza logica
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Verità e conseguenza logica
Claudio Sacerdoti Coen
Verità e conseguenza logica
Verità
Wikipedia: “Col termine verità si indicano una varietà di
significati, che esprimono un senso di accordo con la realtà, e
sono in genere collegati col concetto di onestà, buona fede e
sincerità.
Verità fisiche, chimiche, . . . associate al mondo sensibile.
Un esperimento ripetibile definisce una verità.
Verità parametrica rispetto a cambiamenti del mondo sensibile.
Verità assolute associate ad aspetti immodificabili.
Cosa resta della verità quando manca il mondo sensibile?
(matematica)
Claudio Sacerdoti Coen
Verità e conseguenza logica
Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie
Non Euclidee
Euclide:
geometria come descrizione idealizzata del mondo
sensibile
punti, rette, angoli oggetti univocamente definiti dalla
nostra intuizione
assiomi della geometria euclidea: insieme minimale di fatti
veri nel mondo sensibile dai quali dimostrare tutti gli altri
(completezza)
ogni possibile asserzione é vera (e quindi un potenziale
assioma) o falsa (e quindi é errato assumerla come
assioma)
Kant:
geometria euclidea come giudizio sintetico a priori
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Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie
Non Euclidee
Postulati Euclidei:
1
Tra due punti qualsiasi è possibile tirare una sola retta
2
Si può prolungare un segmento oltre i due punti
indefinitamente
3
Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un
cerchio
4
Tutti gli angoli retti sono uguali
5
Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso
lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le
due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due
angoli sono minori di due retti.
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Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie
Non Euclidee
Postulati Euclidei: Formulazione alternativa (moderna) del 5o
postulato:
Per un punto passa una ed una sola parallela ad una retta
data
Formulazione equivalente del 5o postulato:
La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi.
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Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie
Non Euclidee
Il quinto postulato sembra essere più dubbio rispetto agli altri.
Inoltre sembra dover essere dimostrabile a partire dagli altri.
Da Euclide al 1733: tentativi di dimostrazione diretta del 5o
postulato a partire dagli altri.
Dal 1733: Saccheri, Gauss, Lagrange, Legendre, . . . :
tentativi di dimostrazione per assurdo.
Si nega il postulato e si cerca di dimostrare che si giunge a
una contraddizione (ovvero non esiste un modello del
mondo con tali caratteristiche).
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Non Euclidee
Riemann (1854): geometria Riemanniana:
retta = percorso di minor distanza fra due punti posti su una
superfice nello spazio euclideo (e.g. una sfera)
possibile negare il 5o postulato sostituendolo con
Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un
punto in comune
È però necessario modificare anche altri assiomi.
Beltrami (1867) risolve il problema dando il primo modello
euclideo della geometria iperbolica (una geometria non
euclidea) cambiando solamente il 5o postulato.
Hillbert (1901) un nuovo modello più soddisfacente
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Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie
Non Euclidee
Esempio: geometria sferica
punto = punto su una sfera
retta = cerchio massimo su una sfera, ottenuto
intersecando la sfera con un piano passante per il centro
della sfera
per due punti passa o una sola o infinite rette
due rette qualsiasi hanno sempre almeno due punti in
comune
la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di
180 gradi
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Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie
Non Euclidee
Impatto sulla visione della matematica:
il metodo assiomatico non è una descrizione del mondo
sensibile
la geometria (la matematica) non sembra fornire giudizio
sintetico a priori
bensı̀ la descrizione di un insieme di mondi (modelli) nei
quali
1
2
3
4
posso interpretare gli enti (punti, rette, etc.) a piacimento
purchè gli assiomi risultino rispettati
mondi diversi hanno proprietà diverse
solo alcune di queste possono essere dimostrabili a partire
dagli assiomi (incompletezza)
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Non Euclidee
Impatto sulla visione della matematica:
una teoria non deve essere scartata/accettata se
soddisfatta (banalmente) dal mondo sensibile, ma se
ammette dei modelli
Definizione: una teoria è inconsistente se a partire dai suoi
assiomi si dimostra l’assurdo
una teoria che ammette dei modelli non è mai
inconsistente
vale il viceversa? (sı̀, ma lo si scoprirà solo più tardi e il
modello costruito non è informativo)
la nozione assoluta di verità (data dal mondo sensibile)
rimpiazzata definitivamente dalla nozione di conseguenza
logica
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Verità e conseguenza logica
Ricapitolando
Verità del mondo sensibile: la verità cambia al mutare del
mondo sensibile (mutazioni ristrette)
Verità matematiche: la verità cambia adottando nuovi
mondi (mutazioni non ristrette)
Inoltre:
Verità di una sentenza: la verità cambia interpretando
diversamente le parole usate nella sentenza
Cosa resta della nozione di verità se il mondo cambia
arbitrariamente?
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Verso la conseguenza logica
Esercizio 1: disegnate dei mondi nei quali le seguenti
affermazioni siano singolarmente verificate/falsificate
1
2
3
Il quadrato è a sinistra del cerchio
Il cerchio è a sinistra del triangolo
Il triangolo è a sinistra del quadrato
Esercizio 2: ripetere l’esercizio uno soddisfando prima due
affermazioni alla volta e poi tre alla volta
Esercizio 3: ripetere l’esercizio due cambiando più
pesantemente la nozione di mondo e/o l’interpretazione
delle parole
Esercizio 4: ipotizzare degli assiomi tali per cui non sia
possibile trovare una soluzione all’esercizio 2 come è stato
fatto nell’esercizio 3
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Conseguenza logica
Sia Γ = F1 , . . . Fn un insieme di sentenze (ipotesi) e sia F una
sentenza (conclusione).
F è conseguenza logica di Γ (Γ F ) quando, al variare
dell’interpretazione delle formule nei vari mondi possibili, è
sempre vero che: se tutte le formule in Γ sono vere (nel mondo
sotto esame), anche F è necessariamente vera.
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Verità e conseguenza logica
Conseguenza logica
Intuizioni per Γ F :
Le sentenze in Γ costituiscono dei vincoli che i mondi
debbono rispettare
Γ F quando i vincoli sono sufficienti a garantire che F sia
una verità in tutti i mondi che soddisfano i vincoli
Più sono i vincoli, potenzialmente meno sono i mondi che li
soddisfano, potenzialmente più sono le conseguenze
logiche dei vincoli
Altra intuizione:
Se Γ F allora la “verità” di F (l’insieme dei mondi in cui F
è vera) è già inclusa (è un sovrainsieme di) nella “verità” di
Γ (l’insieme dei mondi in cui le formule di Γ sono vere)
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Equivalenza logica
Siano F e G due sentenze.
F è logicamente equivalente a G (F ≡ G) sse F G e G F
Equivalentemente: F ≡ G sse F e G sono soddisfatte dagli
stessi mondi.
Teorema: l’equivalenza logica è una relazione di equivalenza
Dimostrazione:
F ≡ F in quanto in ogni mondo, se F è vera allora F è vera
se F ≡ G allora G ≡ F : perchè?
se F ≡ G e G ≡ H allora F ≡ H: perchè?
Claudio Sacerdoti Coen
Verità e conseguenza logica
Conclusioni
La verità di una sentenza è sempre definita rispetto a:
1
2
un mondo
l’interpretazione delle parole nel mondo
(p.e. cosa chiamiamo “punto” nel mondo, cosa chiamiamo
“retta” nel mondo, cosa chiamiamo “essere a sx” nel
mondo)
Normalmente, il valore di verità di una sola sentenza non è
interessante: varia al variare del mondo
Conseguenza logica: Γ F quando in ogni mondo che
rende vere tutte le sentenze di Γ anche F è
necessariamente vera
Equivalenza logica: chiusura simmetrica della
conseguenza logica
Claudio Sacerdoti Coen
