Università degli studi di Trento
Facoltà di Ingegneria
a.a. 2005-2006
Risoluzione degli esercizi proposti nella prova di verifica di Analisi Matematica 1
del 31 gennaio 2006
Es. 1. Si calcoli il limite
2 sin x sin( 2 x)
x 0
x(1 cos x)
lim
Si possono applicare tre strategie di calcolo:
a) Utilizzare gli sviluppi di Mac Laurin delle funzioni sin x , six (2 x) , cos x :
2 x 2 x o( x 5 ))
x3 x5
2( x
o( x 5 )) (2 x
2 sin x sin( 2 x)
3! 5!
3!
5!
lim
lim
2
4
x 0
x(1 cos x)
x
x
4
x1 1
o( x )
2! 4!
3
5
3
5
5
x
x
4x
4x
x
2x
o( x 5 ) 2 x
o( x 5 )
x3
o( x 5 )
1
3
60
3
15
4
lim
lim 3
2
2
4
5
1
x
x
x
x
x(
o( x 4 ))
o( x 5 )
2
2! 4!
2 24
3
5
b) Il limite si presenta nella forma indeterminata 0 / 0 ; si può quindi utilizzare la regola di
De L’Hòpital derivando il numeratore ed il denominatore ed utilizzando infine il limite
senx
1 per x 0 :
fondamentale
x
2 sin x sin 2 x
2 cos x 2 cos 2 x
cos x cos 2 x
senx 2sen 2 x
lim
2 lim
2 lim
x 0
x(1 cos x)
1 cos x xsenx
1 cos x xsenx
senx senx x cos x
senx
(4 cos x 1)
senx 4senx cos x
senx (4 cos x 1)
1 (4 1 1)
3
2 lim
2 lim
2 lim x
2
2 2
senx
2senx x cos x
2senx x cos x
2 1 1
3
2
cos x
x
lim
c) Si poteva evitare di applicare gli sviluppi di Mac Laurin e la regola di De L’Hòpital
semplificando inizialmente l’espressione della funzione e ricorrendo al limite fond.le visto sopra
lim
x 0
2 sin x sin 2 x
2senx 2senx cos x
2senx (1 cos x)
senx
lim
lim
2 lim
2.
x(1 cos x)
x(1 cos x)
x(1 cos x)
x
x
Es. 2. Si disegni (qualitativamente) il grafico della funzione f ( x) sin 2
2
1 x
.
E’opportuno studiare preliminarmente la funzione g (x ) argomento della funzione seno:
2 x
g ( x)
. Questa funzione ha per dominio tutto il campo reale, è dispari, positiva per x 0
1 x2
2 (1 x 2 )
e negativa per x 0 ; la sua derivata prima è g ' ( x)
, per cui essa cresce tra x 1 e
(1 x 2 ) 2
x 1; assume il valore massimo per x 1 ed il valore minimo per x 1 .
Inoltre g (x ) tende a zero per x . (vedi grafico A allegato).
Da quanto visto si ricava che anche la funzione data ha per dominio i numeri reali, è dispari e
limitata avendo per codominio l’intervallo chiuso 1,1 . Conviene utilizzare la disparità della
f(x) e studiarla solo nel semiasse positivo delle ascisse. Il grafico completo si ottiene poi per
simmetria rispetto all’origine degli assi. Poiché per x , g (x ) tende a zero, anche la f(x)
tende ad annullarsi all’infinito. La derivata prima della f(x) ha la seguente espressione:
1 x2
2 x
2 x
0 cioè per
; si ha f ' ( x) 0 per 1 x 2 0 e per cos
f ' ( x) 2
cos
2
2
2 2
1 x
1 x
1 x
2 x
(visto che l’argomento del coseno varia tra , ), ossia per x 2 4 x 1 0 .
2
2
1 x
La f ' ( x) nelle ascisse positive si annulla per x 1 e per x 2 3 . Per tali valori si hanno punti
di minimo e di massimo dove la funzione assume i valori f (1) 0 , f (2 3 ) f (2 3 ) 1 .
2 x
Il segno della f ' ( x) dipende dai segni di 1 x 2 e di cos
; in particolare, nelle ascisse
2
1 x
positive, si ha f ' ( x) 0 per 0 x 2 3 e per 1 x 2 3 , invece si ha f ' ( x) 0 per
2 3 x 1 . Pertanto si conclude che nei valori x 2 3 si hanno punti di massimo assoluto
ed il valore del massimo è 1, mentre nel valore x 1 si ha un punto di minimo relativo ed il valore
del minimo relativo è 0. Considerazioni analoghe valgono per le ascisse negative.
(vedi grafico B allegato).
Grafico A
1
e
Es. 3. Si calcoli l’integrale
0
1
2 x
2
dx
Per calcolare la primitiva si può procedere con il metodo di sostituzione ponendo e x t da cui
1
x ln t ; dx dt . Inoltre per gli estremi di integrazione si ha: x 0 t 1, x 1 t e
t
1
e
0
1
2 x
e
e
e
e
1 1
t2 1
t
1
1
dx 2
dt
dt
dt
d (1 2t 2 )
2
2
2
t
t
4
2
t
2
1
2
t
1
2
t
1
2
t
1
1
1
1
1
1 1 2e 2
1
2
2
ln 1 2t ) ln( 1 2e ) ln 1 2 ln
4 3
4
1 4
e
.
Es. 4. Si determini la soluzione del problema di Cauchy
y"6 y '9 y 2e x
y (0) 0
y ' (0) 0
L’equazione omogenea associata è y"6 y '9 y 0 e l’equazione caratteristica 2 6 9 0 ,
la cui unica soluzione è 3 . L’integrale generale dell’equazione omogenea è perciò
y c1 c2 x e 3 x . Per determinare ora un integrale particolare x dell’equazione non omogenea
si può utilizzare il principio di somiglianza ponendo x ae x e determinare a in modo che la
funzione sia soluzione dell’equazione data: ' x ae x , " x ae x ; sostituendo la funzione
e le sue derivate prima e seconda nell’equazione di partenza si ha: ae x 6ae x 9ae x 2e x
1
ossia 16ae x 2e x da cui si ricava il valore di a .
8
1
Dunque x e x e l’integrale generale dell’equazione non omogenea assume la forma
8
1
y* y c1 c 2 x e 3 x e x .
8
Per determinare le costanti c1 e c2 si deve calcolare la derivata prima di y * :
1
c
0
x
1
y
*
(
0
)
0
e
3x
8
, risolvendo poi il sistema
y*' 3c1 c2 3c2 x e
1
8
y*' (0) 0
3c1 c 2 0
8
1
c1 8
1
1
1
Da cui si ricava
e il problema di Cauchy ha la soluzione y* x e3 x e x .
1
8
8
2
c 2
2
