forme di non-simplesso di spazio-tempo

Calogero Benedetti
(ingegnere)
FORME DI NON-SIMPLESSO DI SPAZIO-TEMPO
1
FORME DI NON-SIMPLESSO DI SPAZIO-TEMPO
I. ABSTRACT
Si può dimostrare che ogni riferimento di coordinate, direzionalmente individuate da un set di
versori può essere abbinato ad un simplesso di Brouwer.
In uno “Spazio-Tempo” tridrimensionale individuato da due coordinate di “spazio” e da una
coordinata temporale il simplesso di Brouwer è una base triangolare (simplesso del secondo ordine).
In uno “Spazio-Tempo” quadrimensionale individuato da tre coordinate di “spazio” e da una
coordinata temporale il simplesso di Brouwer è una base tetraedica (simplesso del terzo ordine);ecc.
Questi abbinamenti sono resi possibili dal carattere vettoriale della direzionalità del sistema di
riferimento.
Espandendo il concetto di direzionalità in un concetto di raggiungibilità lungo cammini
individuati da matrici anticommutative anzicchè da vettori orientati, il riferimento delle
coordinate cessa però di essere abbinato ad un simplesso.
Singolarmente ciò conduce ad una metrica pseudopitagorica la cui invarianza rispetto a sostituzioni
lineari somma di una simmetria e di un’emisimmetria porta all’immediata scrittura delle trasformate
di Lorentz senza il ricorso a modelli fisici di interpretazione né all’introduzione di immaginari.
2
II. ABBINABILITA’ DELLA DIREZIONALITA’ VETTORIALE
E DI UN SIMPLESSO DI BROUWER
Un riferimento vettoriale su un piano euclideo associato anche ad un riferimento temporale è
caratterizzabile con le righe (o con le colonne) di un matrice unitaria 3x3:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I(3)=
=
u
v
t
versore dell’asse x
versore dell’asse y
versore dell’asse tempo
[1]
E’ possibile mostrare che esiste un simplesso di Brouwer del 20 ordine avente come caratteristica la
medesima matrice I(3).
Infatti assegnati in un piano (euclideo) ? tre punti arbitrari A(1) A(2) A(3) non collineari (quindi
costituenti un triangolo-base)ed un quarto punto U (esso pure arbitrario, ma distinto dagli A(i) e non
collineare con essi due a due), ogni punto P del piano ? è univocamente individuato dai birapporti
delle rette passanti per gli A(k?i) e per U e P ed appartenenti ai tre fasci di centri A(i).
In dettaglio si considerino i birapporti:
K(1)= [A1 (A2 A3 U P)] {ove [Ai (Aj Ak U P)] è il birapporto fra
K(2)= [A2 (A3 A1 U P)] le quattro rette del fascio di centro Ai
K(3)= [A3 (A1 A2 U P)] e passanti per Aj Ak U e P}.
Risulta dopo opportuni passi analitici:
K(1)=
U(a3) P(a3)
------ : -----U(a2) P(a2)
[2]
in cui Q(ai) indica la distanza del punto generico Q di ? dalla retta (ai) di ? misurata parallelamente
ad una retta arbitraria r del piano ?.
Nelle [2] le rette a1, a2, a3, sono le rette:
a1= A2
a2= A3
a3= A1
A3
A1
A2
che formano la Base triangolare del riferimento.
Analoghe espressioni si danno per K(2) e K(3).
3
X2
----X3
Posto K(1) =
ecc. si trova che:
X1
X2
X3
----- = ----- = ----Pa1
Pa2
Pa3
------------Ua1
Ua2
Ua3
[3]
Le tre X1 X2 X3 sono coordinate proiettive del punto P nel riferimento costituito dalla Base
triangolare A(1) A(2) A(3) e dal punto U.
Portando P a coincidere con le tre A(i) e con U si hanno le coordinate di tali A ed U e risulta:
A1=
A2=
A3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
u
v
t
U =
1 1 1
= (punto unità)
Le tre Ai, vertici della Base triangolare , hanno cioè come coordinate le tre righe della matrice
identità I(3) di cui all’equazione [1].
Ma un triangolo (Base) è un simplesso del 2° ordine di Brouwer.
E’ quindi verificato che il riferimento Spazio-Temporale con tre vettori (u,v,t) è associato a (è il
duale di) un simplesso del 2°ordine.
Se dal riferimento tridimensionale (x, y su un piano euclideo e t nel “tempo”)ci si estende ad un
riferimento quadrimensionale (x,y,z in uno spazio euclideo e t nel “tempo”), il set vettoriale che ne
caratterizza la direzionalità è costituito dalle righe (o colonne) della matrice identità 4x4:
I(4)=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
u
0 = v
0
w
1
t
(spazio)
[4]
(tempo)
Anche qui, assumendo quattro punti arbitrari purchè non complanari; A(1) A(2) A(3) A(4)
(formanti quindi una Base Tedraedrica) ed un quinto punto U esso pur arbitrario ma distinto e non
complanare con le A(i), ogni punto P dello spazio quadrimensionale (x,y,z,t) è univocamente
determinato dalla scrittura:
4
X1
---- =
Pa1
---Ua1
X2
---- =
Pa2
---Ua2
X3
---- =
Pa3
---Ua3
X4
---Pa4
---Ua4
[5]
nella quale la generica Qai indica la distanza, misurata parallelamente ad un piano arbitrario, del
punto Q dal piano ai = [Ak Al Am].
Portando P a coincidere successivamente con A1 A2
tali Ai ed U che risultano assegnate in:
A1=
A2=
A3=
A4=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
u
0 = v
0
w
1
t
U =
1 1 1 1
A3
A4
U si ottengono le coordinate di
{(Base Tetraedrica)}
punto unità
Le quattro A, vertici della Base Tetraedrica, hanno cioè come coordinate le quattro righe della
matrice identità I(4) (equazione 4).
Ma un tetraedro (Base) è un simplesso del terzo ordine di Brouwer:
E’ quindi verificato che il riferimento dello Spazio-Tempo se è assegnato con quattro vettori
(u,v,w,t) è associato a (è il duale di) un simplesso del terzo ordine.
5
III. DIREZIONALITA’ ASSEGNATA CON MATRICI ANZICCHE’ CON VETTORI
(un modello bi-esteso)
Su una superficie sferica s due poli opposti sono reciprocamente raggiungibili con percorsi
costituiti da un infinito numero di archi di cerchio massimo; ma ogni volta che venga assegnato uno
di questi ne esiste uno ed uno solo che lo interseca ad angolo retto in ciascuno dei due poli.
Se u e v sono i versori delle tangenti ad una tale coppia nel polo di partenza P(1), la matrice:
v
M=
u
marca la raggiungibilità del polo opposto P(2) con i due percorsi, “meridiano” di versore v ed
“equatoriale” di versore u, orientati tra loro dal senso della rotazione che porta p.es. “il meridiano”
ad applicarsi sull’”equatore” con un ribaltamento orario di ampiezza ?/2.
v
La matrice
M=
si legge quindi quale matrice di raggiungibilità di P(2) partendo da P(1)
u
mediante due percorsi alternativi, archi di cerchi massimi, l’uno dei quali “assegnato” e l’altro a
questi ortogonale.
Scrivendo i versori u e v estesamente con le componenti, unitarie e nulle, di loro pertinenza, e cioè:
u= [1,0];
v= [0;1]; la matrice M assume la forma:
0 1
M=
1 0
che si legge quale indicatrice direzionale del percorso “equatoriale” associato al
percorso “meridiano” assegnato di tangente v nel polo P(1).
6
Se il percorso assegnato è quello “equatoriale” e si conserva il senso del ribaltamento dell’un
percorso sull’altro, il versore associato a quest’ultimo è l’opposto del versore v, e la matrice
indicatrice (direzionale) è quindi:
1 0
N=
0 -1
che si legge quale indicatrice direzionale del percorso “meridiano ” associato a quello “equatoriale”
assegnato, di tangente u nel polo P(1).
Le due matrici M ed N elevate al quadrato porgono ambedue la matrice identità del secondo ordine:
0 1
1 0
M2 =
0 1
1 0
=
1 0
0 1
1 0
0 -1
= I(2);
N2=
1 0
0 -1
=
1 0
0 1
= I(2)
M ed N sono quindi radici quadrate di I(2).
Porremmo la notazione:
0 1
M=
1 0
I(2) =
1 0
N=
0 -1
Se si moltiplicano l’un l’altra M ed N si ottengono risultati antisimmetrici in relazione all’ordine
assegnato ai fattori; si ha cioè che M ed N godono della proprietà anticommutativa rispetto al
prodotto:
0 1
1 0
N*M=
1 0
0 -1
=
0 1
-1 0
1 0
0 -1
M*N =
01
10
=
0 -1 = - N*M
1 0
L’anticommutatività rispetto al prodotto si interpreta quale connotazione della perpendicolarità dei
due percorsi, equatoriale e meridiano, nell’intorno del punto P(1); e ciò perché l’ordinaria
ortogonalità fra vettori, che conduce all’annullamento del loro prodotto, può considerarsi il caso
“ristretto” dell’anticommutatività del prodotto fra matrici, lo zero essendo l’unico elemento
(elemento singolare) che è antisimmetrico di se stesso.
7
asse di simmetria
ortogonalità
in senso
esteso
-M*N = +N*M
antisimmetria dovuta all’anticommutatività
del prodotto reciproco
ortogonalità
in senso
ristretto
(ortogonalità
ordinaria)
v*u= zero = u*v
(unico elemento
che è antisimmetrico di se stesso)
Ora si riconosce facilmente che i due cerchi massimi ortogonali di tangenti u e v nel punto P(1)
sono, sulla sfera s , l’equivalente di un sistema di riferimento del tipo “longitudine-latitudine”.
E’ quindi possibile connotare la posizione di un qualsiasi punto Q sulla sfera s assumendo le due
matrici M ed N come indicatrici direzionali (=generalizzazione dell’ordinaria direzionalità
assegnata su un piano euclideo con due versori indipendenti ed ortogonali u e v).
E’ di interesse osservare che se si considera il complemento a zero di I(2), e cioè –I(2), esiste una
(sola) matrice reale T (che gode di anticommutatività del prodotto sia con M e sia con N e che,
costituita anch’ essa da u e v, elevata al quadrato porge –I(2):
0 -1
T=
-v
=
1 0
u
Tale T gode di anticommutatività del prodotto sia con M e sia con N.
E’ rimarchevole la circostanza che T è antisimmetrica rispetto alla propria diagonale principale,
(per via della diversità dei segni + e – dei termini 1 posti a cavallo di tale diagonale), mentre invece
M ed N sono ambedue simmetriche rispetto alle loro diagonali principali.
M ed N sono quindi omogeneamente simmetriche ma disomogenee rispetto a T.
Ciò rende possibile un interscambio di M con N ma non con T (irriducubilità di T a sottostare ad un
interscambio con M ed N).
La “direzionalità” associabile a T è quindi totalmente differente da quella di M ed N.
8
Singolarmente ciò richiama l’irriducibilità della coordinata “tempo” alle coordinate di “spazio” (M
ed N si identificano su s con la longitudine e la latitudine e sono interscambiabili tra loro ma non
con T, che è appunto irriducibile in un interscambio, così come il tempo è irriducibile allo spazio).
Nel 1917 Emmy Noether dimostrò un teorema, che porta il suo nome, che afferma che ogni
simmetria comporta la conservazione delle quantità algebriche che ne dipendono.
(Questo teorema in matematica è affine al principio di Curie in fisica, concernente la conservazione
negli “effetti” delle simmetrie presenti nelle “cause”).
E’ il teorema di Noether a consentire la possibilità dell’interscambio reciproco di M ed N
(omogeneamente simmetriche rispetto alle loro diagonali principali) e ad vietarne lo scambio con
T (antisimmetrica rispetto alla medesima diagonale).
M, N, T, sono “interpretabili”, in base a tutto ciò, come indicatori di spazio e di tempo su s .
Complessivamente si ha quindi:
M
assumibili(interpretabili)
v + I(2)
come indicatori direzionali di spazio
N
v - I(2)
T
assumibile (interpretabile)
come indicatrice direzionale di tempo
Complessivamente si ha quindi il seguente “quadro” riassuntivo:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M
v +I(2)
=
v
;
-I(2)= T ; M ,N, T sono ortogonali in senso esteso, due a due.
N
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Questo riferimento consente di assegnare la direzionalità spazio-temporale su s con un set di
matrici anzicchè di vettori sottraendosi al carattere simplessico che è peculiare a quest’ultimo.
Il quadro precedente infatti non è abbinabile ad un simplesso poiché è legato ad una duplicità e non
unicità di sentieri di percorrenza su s che dal polo P(1) conducono al polo P(2) (così come un
quadrato non è un simplesso essendovi in esso due sentieri diagonali che rendono raggiungibile il
suo centro partendo da un vertice).
Si noti che però T marca una direzionalità secondo un unico sentiero di percorrenza.
____________________
9
Al crescere del raggio della sfera s i percorsi meridiano ed equatoriale “tendono” a confondersi con
le due rette di versori u e v, e le due matrici binarie M ed N si trasformano nelle matrici unarie
costituite dai due versori u= [1,0] e v= [0,1] considerati separatamente, e che sono le direzioni dei
percorsi ortogonali uscenti da P(1), giacenti sul piano tangente, e diretti verso l’infinito.
I quadrati di u e v porgono l’identità del 1°ordine:
1
0
u2 =
1 0
=
1
0
1
v2 = 0 1
I(1);
=
1
= I(1);
ed il loro prodotto è nullo (=caso limite dell’anticommutatività rispetto alla moltiplicazione):
0
1
u * v = v * u=
1 0
=
0
1
0
=
0 1
0
Si ottiene con ciò di ridursi all’ordinaria rappresentazione delle coordinate cartesiane sul piano
euclideo.
10
IV. LA ROTTURA DI SIMMETRIA QUALE BASE
DELLE TRASFORMATE DI LORENTZ
E’ possibile formalizzare i risultati precedenti e rendersi indipendenti dal riferimento sferico,
operando come segue:
Sia E(2) la “matrice binaria nulla” (o vuota):
0 0
E(2) =
0 0
Essa può essere “spezzata” nelle due matrici Identità ed Antidentità binarie, che, riunite
additivamente, ridanno E(2):
1 0
+I =
-1 0
;
-I =
ovviamente – I + I = E(2)
0 1
0 -1
Si indichi con u la 1° riga di +I, e con la v la sua seconda riga:
Con queste notazioni l’Identità +I e l’Antidentità –I si scrivono concisamente:
u
+I =
-u
;
v
-I =
-v
Esistono due matrici binarie reali [M ed N], formate con u e v, e che moltiplicate per se stesse
(=elevate al quadrato), danno +I; ed esiste una matrice binaria reale [T], formata anch’essa con u e
v, che, moltiplicata per se stessa (elevata al quadrato) dà –I:
Queste matrici sono caratterizzate dalla proprietà di essere anticommutative rispetto al prodotto due
a due.
11
Complessivamente si ha:
MATRICI
0
1
M=
QUADRATI
v
=
1
0
;
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
2
M=
u
= +I
0 -1
1
0
N=
u
=
0 -1
1
;
0
1
0
0 -1
0
1
2
N =
-v
= +I
0 -1
1
0 -1
T=
-v
=
1
0
0 -1
;
0
-1 0
T2 =
u
= -I
1
0
0 -1
M ed N sono quindi radici quadrate di +I; mentre T, a sua volta, è radice quadrata di -I:
M
v +I =
;
v -I = T
N
Se si moltiplicano tra loro, due a due, M, N, T si trova che esse anticommutano, cioè i loro prodotti
cambiano di segno se si cambia l’ordine dei fattori:
M * N = -N * M
M * T = -T * M
N * T = -T * N
12
Come già si è detto al §.III, l’anticommutatività, che conduce a valori antisimmetrici del prodotto,
può essere considerata “un’estensione” del caso particolare dell’azzerarsi del prodotto, in quanto lo
zero è l’unico elemento che è antisimmetrico di se stesso e costituisce quindi un caso particolare
(“ristretto”) dall’anticommutatività in generale.
Siccome il prodotto di due vettori (matrici unarie ) è nullo quando i due vettori sono ortogonali,
considereremo perciò l’anticommutatività del prodotto due a due delle matrici binarie M N T, come
un’estensione dell’ortogonalità ristretta dei vettori, e diremo quindi che le tre matrici M N T sono
“ortogonali tra loro in senso “esteso”.
In complesso si ha quindi il quadro seguente:
Matrice binaria
vuota (o nulla)
iniziale
frammenti compl.ri
tra loro Identità
e Antidentità
Radici
M;
Radici quadrate
della identità
v +I
rottura
di simmetria
N;
0
0
+I
0
0
-I
v -I
E(2) =
M * N= -N * M
M * T= -T * M
T
Radice quadrata
della antidentità
N * T= -T * N
anticommutatività
(ortogonalità in senso esteso)
In relazione al fatto che M ed N elevate al quadrato, porgono tutte e due l’identità diremo che M ed
N sono omogenee tra loro.
T non è invece omogenea ad M ed N, perché il suo quadrato è l’Antidentità.
T è cioè irriducibile ad M ed N (che invece sono tra loro “interscambiabili”). .
13
Scrivendo in opportuna sequenza tipografica le tre M N T si può constatare che esse sono
reciprocamente “concatenate”, come mostra lo schema seguente:
+v
M
N.B. Questa concatenazione reciproca è definita anche
algebricamente dal fatto che il prodotto in sequenza di
M N T (in quest’ordine) porge +I:
M * N * T = +I
+u
N
-v
+u
T
Si vede dallo schema che M e T risultano antisimmetriche per la diversità dei segni ‹+ -› della loro
prima riga.
Tipograficamente si ha l’evidenza seguente:
-v
+v
T
M
u
asse di simmetria
N e T sono anch’esse antisimmetriche, ma per scambio (incrociato) della 1° con la 2° riga:
+u
-v
-v
+u
N=
=T
[asse di antisimmetria
per scambio incrociato (chiasmo)]
M ed N hanno per schema tipografico una combinazione di scambio incrociato e di antisimmetria:
v
u
u
M=
=N
u
v
–v
–v
asse di antisimmetria
asse di torsione
(scambio incrociato)
14
Esaminando le scritture estese delle tre matrici M, N, T si ha:
0
1
1
0
M=
1
0
0
-1
N=
S(2)
S(1)
A(2)
S(1)
Si nota che M ed N sono caratterizzate ambedue da simmetria, S(1), rispetto alla loro diagonale
principale. E’ questo fatto che conduce a che il loro quadrato sia +I e le rende interscambiabili.
Invece T è antisimmetrica rispetto alla propria diagonale principale:
0
-1
1
0
ed è questo fatto che la rende “irriducibile” rispetto ad M ed N, e
conduce a che il suo quadrato sia –I.
T=
S(2)
A(1)
Il tutto è evidenziabile con la seguente tabella di confronto:
v +I
v -I
S(1)
S(2)
A(1)
A(2)
M
M
*
*
N
*
*
N
*
T
T
*
T è antisimmetrica rispetto
alla diagonale principale
M ed N sono omogeneamente simmetriche
rispetto alla diagonale principale
La disomogeneità della simmetria di T nei riguardi della propria diagonale principale in confronto
alla omogeneità comune che M ed N hanno rispetto alla medesima diagonale fa sì che T ha una
diversità di “dimensione” rispetto ad M ed N.
15
Si formi la scrittura:
(con “c” paramentro di omogeneizzazione della
“dimensione” di [T] con quella di [M ed N])
s 2= (M*x)2 + (N*y)2 + (T*c*t)2
In relazione al fatto che M ed N elevate al quadrato danno omogeneamente +I, mentre T elevata al
quadrato porge –I, si ha che:
s 2 = M2 * x2 + N2 * y2 + T2 * c2 * t2 = +I * [x2 + y2 – c2 * t2]
(il segno “-“ premesso al terzo termine del 2° membro proviene da T2 = -I).
Assumendo il “modulo” della precedente scrittura si ha:
mod. s 2 = x2 + y2 – c2 * t2
e si constata che il 2° membro è una forma quadratica pseudopitagorica (a causa del segno “-“ che
precede il 3° termine).
Questa scrittura, uguagliata a zero, è l’equazione (in coordinate cartesiane omogenee <x,y,t>) del
cerchio ? di raggio <ct> e centro nell’origine degli assi <x,y>.
Sia ora S la Sostituzione (omografica) seguente, somma di una sostituzione bisimmetrica e di una
sostituzione emisimmetrica:
S=
=
x=
y=
t=
x=
y=
t=
x’
1
0
a
y’ t’
0 a
K-1 0
0 1
x’ y’ t’
1 0 A
0 K-1 0
B 0 1
x=
* K + y=
t=
*K
x’ y’ t’
0 0 +b
0 0 0
-b 0 0
che in forma estesa
S=
si scrive:
*K
=
S =
x=
y=
t=
x’
1
0
a-b
y’ t
0 a+b
K-1 0 * K =
0 1
x= K (x’+0+At’)
y= y’
t= K (Bx’+0+t’)
Si ponga che ? = x2 + y2 – c2 * t2 sia invariante rispetto ad S e cioè che S trasformi il cerchio ? in se
stesso, onde sia:
x2 + y2 – c2 * t2 = x’2 + y’2 – c’2 * t’2 identicamente:
16
Si ha sviluppando:
x2 +y2 –c2 *t2 = K*(x’ 2 +A2 t’2 +2A x’t’)+ y’2 -c2 *K2 *(B2 x’2 + t’2 + 2B x’t’)
= K2 * (1-c2 *B2 ) x’2 +K2 *(A2 -c2 ) t’2 +2K2 * x’t’ (A-c2 *B)+y’2
da cui:
A= ± a
K2 * (1-c2 B2 ) = 1
K2 * (A2-c2 )
= -c2
(A-c2 B) = zero
che risultano
soddisfatte con i valori
B= ± a/c2
1
K=
v 1-a2/c2
Segue, sostituendo in S:
x’ ± at’
x=
v 1-a2/c2
S=
y=
y’
t’ ± (a/c2 ) x’
t=
v 1-a2/c2
Si riconosce subito che le precedenti sono le Trasformate di Lorentz riguardanti l’invarianza
dell’elettrodinamica di Maxwell, (e che poi sono diventate la base della Relatività Ristretta di
Einstein-Minkowsky); ma quanto fin qui esposto corrisponde ad averle stabilite senza alcun ricorso
a significati cinematici da attribuire ai parametri <a> e <c> (indipendenza di S da una realtà o da un
modello fisico), e senza il ricorso al postulato della costanza della velocità <c> della luce nel vuoto
rispetto a due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme, ma ponendo in luogo di tanto:
a) l’assunzione della direzionalità dandola anzicchè che con gli ordinari vettori u, v, t, con le radici
reali dei due frammenti <Identità, ed Antidentità> ottenibili dalla rottura antisimmetrica della
matrice nulla del 2° ordine.
17
b) Scrivere che il modulo della forma pseudopitagorica che ne discende è invariante rispetto alle
trasformazioni lineari di tipo “bi/emisimmetrico” in < x, x’> e < t, t’> (ed indipendenti in < y,
y’>). (V. al riguardo l’appendice in calce al presente paragrafo).
v
Si attira l’attenzione sulla circostanza che K-1 = 1-a2 /c2 è la misura dell’eccentricità dell’ellisse di
semiasse minore <a> ed avente come semiasse maggiore il parametro <c> di omogeneizzazione
(*)
della matrice T con M ed N. Nel loro insieme queste ellissi formano una <schiera> infinita
inscritta nel cerchio di raggio <c>. Tale cerchio è, notoriamente, la curva “podaria” di tutte le ellissi
omocentriche di semiassi <c> assegnato ed <a> qualsiasi.
L’omografia S (= sostituzione invariante su ? ) corrisponde perciò a trasformare in se stessa la
podaria di tutte le (infinite) ellissi omocentriche di semiassi <c> ed <a>, con “c” assegnato e
costante ed “a” qualsiasi. E’ questa costanza di “c” rispetto alla variabilità di “a” il perché in Fisica
“c” (velocità della luce) è nel vuoto costante rispetto ai sistemi in moto relativo uniforme di velocità
<a>.
________________________________
(*)
Si noti che nell’ordinaria rappresentazione di Spazio e di Tempo il prodotto c*t è omogeneo ad
uno Spazio (=Spazio percorso nel Tempo t con celerità c). E’ per tal motivo che ho denominato “c”
parametro di omogeneizzazione di T con M ed N.
18
APPENDICE
Un noto Teorema di Analisi mostra che ogni forma quadratica ”definita positiva e data in forma
canonica” è trasformata in se stessa da (= è invariante rispetto a) infinite sostituzioni lineari, ognuna
delle quali è sempre di tipo ortogonale, cioè tale da avere la propria matrice uguale alla trasposta
della sostituzione inversa.
In simboli, dette: ”f” la forma quadratica in predicato e “G” una sostituzione lineare di matrice
|G|=|G|T–1 {ove (T) = simbolo di “trasposta” e (-1) = simbolo di “inversa”} onde G è ortogonale, si
ha: {f= Gxf)} identicamente.
Esiste un metodo (di Cayley) che consente di costruire queste (infinite) sostituzioni lineari, rispetto
alle quali “f” è invariante (= è trasformata in se stessa).
Se “f” (pur in forma canonica) non è “definita positiva” ma contiene elementi (quadratici)
“essenzialmente negativi”, esiste una versione-estesa del metodo di Cayley che porta però a
sostituzioni lineari S non ortogonali, che, con qualche eccezione ma sempre in numero infinito,
trasformano “f” in se stessa.
Si riconosce facilmente che la metrica pseudopitagorica di Minkowski (ds 2 = dx2 -c2 dt2 ) è una
forma canonica non definita positiva con un solo termine essenzialmente negativo, e che perciò
deve aversi la sua invarianza rispetto ad opportune trasformazioni del tipo:
x=
Kx’+At’
t=
Bx’+Kt’
1 a
S=
la cui matrice |S|=
*K
b 1
è la somma di una matrice bisimmetrica e di una matrice emisimmetrica:
1 c
|S|=
0 +d
+
c 1
1
a=(c+d)
*K=
-d 0
*K
b= (c-d)
1
E’ questa “struttura” e non un assunto arbitrario quel che conduce alla scrittura delle trasformate
di Lorentz non appena si dà la direzionalità a mezzo delle matrici M, N, T, che portano alla forma
pseudopitagorica della metrica ds2 .
[Per extenso ciò si ha anche se la rappresentazione di ds2 è la forma, sempre pseudopitagorica con
un solo termine negativo, ottenuta con le 5 direzionalità U, V, W, T(1) &T(2) di cui al Cap.V].
19
V. ESTENSIONE AL CASO DI MATRICI D’ORDINE SUPERIORE
Se ci si prova ad espandere le considerazioni svolte a partire da E(2) applicandole alla matrice nulla
3x3, si constata che non è possibile scrivere matrici che siano anticommutative nonché radici reali
dei frammenti Identità ed Antidentità 3x3 ottenibili dalla rottura antisimmetrica di E(3).
L’estensione è invece possibile a partire dalla matrice nulla 4x4.
Considera infatti la matrice “nulla” 4x4, cioè il quadro a scacchiera seguente:
E(4)=
0000
0000
0000
0000
nel quale tutte le caselle sono “vuote”, occupate da zeri.
E’ possibile «spezzare», (“separare”), questa matrice nulla in due matrici diagonali unitarie
antisimmetriche, che, sovrapposte, cioè sommate casella contro casella, ricompongano la matrice
nulla di partenza. Nella sovrapposizione i termini zero restano, infatti, zero e le caselle occupate da
+1 e da –1 si cancellano l’una con l’altra, dando anche esse zero (ricomposizione della matrice
vuota iniziale):
E(4)
[-I]=
-1 0 0 0
0-1 0 0
0 0-1 0
0 0 0 -1
rottura per
antisimmetria
1000
0100
0010
0001
= [+I]
Sovrapponendo
[+I] e [-I] si
riottiene la
matrice vuota E(4)
Si ricerchino ora le “radici quadrate” di [-I] e di [+I], cioè le matrici che moltiplicate per se stesse
diano [-I] rispettivamente e [+I].
20
Si ha:
0100
1000
0001
0010
v +[I]
=
1000
0-1 0 0
0010
0 0 0-1
000 1
0 0-1 0
0-1 0 0
1000
= [U]
= [V]
= [W]
E similmente:
v -[I]
0100
-1 0 0 0
0 0 0-1
0010
= [T1]
=
0001
0 0-1 0
0100
-1 0 0 0
= [T2]
Si constata immediatamente che queste cinque radici proprie [U], [V], [W], [T1], [T2], si
comportano in modo anticommutativo rispetto al prodotto, (moltiplicate tra loro due a due porgono,
se nella moltiplicazione si inverte l’ordine dei fattori, risultati uguali ma scambiati di segno). Esse
sono quindi radici reali di +[I] e -[I] ortogonali (in senso esteso) l’una con l’altra.
21
Riassumendo:
[+I]
E(4)
(“rottura” di E(4) in frammenti antisimmetrici)
[-I]
[U]2 = [V]2 = [W] 2
= [+I]
[T1]2 = [T2]2
= [-I]
[U], [V], [W], [T1], [T2] =
(scrittura delle radici reali anticommutative dei
predetti due frammenti antisimmetrici)
sono ortogonali l’un l’altra
in senso esteso
Come si ha nel caso bidimensionale (per le matrici M,N,T, composte solo da u e v), le U,V,W,
sono omogenee tra loro ma non omogenee con le T1 e T2 (che però sono omogenee tra loro due).
Per il teorema di Emmy Noether U,V,W, sono quindi interscambiabili tra loro ma non con le T, e
ciò consente di utilizzare U,V,W, come indicatori direzionali di Spazio, e le T come indicatori
direzionali di Tempo.
Questa direzionalità è marcata (cfr. cap III) da molteplicità di sentieri di percorrenza che questa
volta è sia nei termini “spaziali” e sia in quelli temporali; e ciò esclude l’abbinamento a simplessi,
così come un cubo non è un simplesso perché vi esistono quattro sentieri (le sue diagonali) che dal
perimetro conducono al centro.
Il set delle cinque matrici U, V, W, T(1), T(2) è il più piccolo set direzionale che gode del carattere
di non-simplesso in tutte le sue componenti, cosa che non si ha nei riguardi della matrice T
abbinata al caso bi-esteso di M ed N soltanto.
Forse è per tal motivo che in natura lo Spazio fisico è (appare) tri-esteso (interscambiabilità di
U,V,W). Quanto al Tempo la sua correlazione a due matrici ?T(1) e T(2) tra loro ortogonali?
potrebbe essere probabilmente responsabile del (leggi: connesso al) doppio comportamento insieme
corpuscolare ed ondulatorio della materia a livello quantico.
22
VI. PROPRIETA’ STRUTTURALI DELLE CINQUE MATRICI U, V, W, T(1), T(2)
L’osservazione della configurazione delle cinque matrici mostra che:
1)
U=
2)
V=
3)
W=
v
u
t
w
u
-v
w
-t
=
=
t
-w =
-v
u
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
v
0
4) T(1)= -u = -1
-t
0
w
0
t
5) T(2)= -w =
v
-u
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
1
0
0 0
0 0
1 0
0 -1
simboli
è simmetrica rispetto alle sue due diagonali,
S(1)
principale e secondaria. Inoltre essa è l’unica
S(2)
matrice ad essere costituita oltre che da zeri
da 1 tutti positivi. Questi termini non nulli
sono allineati su due parallele accostate alla
diagonale principale (configurazione a
diagonale doppia).
è simmetrica rispetto alla sua diagonale
principale, ma è antisimmetrica rispetto alla
sua diagonale secondaria.
Questa matrice è l’unica ad avere i termini
non nulli allineati sulla diagonale principale
(configurazione diagonale)
0 0
0 -1
-1 0
0 0
1
0
0
0
È simmetrica rispetto alle sue due diagonali,
principale e secondaria. I termini non nulli
sono allineati sulla diagonale secondaria
(configurazione controdiagonale)
1
0
0
0
0
0
-1
0
E’ antisimmetrica rispetto a tutte e due le
sue diagonali, principale e secondaria.
Ha configurazione con diagonale principale
doppia come la U, da cui differisce per
l’anti-simmetria dei segni delle due righe
centrali.
0
0
1
0
0
0
0
1
0
-1
0
0
1
0
0
0
S(1)
A(2)
S(1)
S(2)
A(1)
A(2)
N(a)
E’ antisimmetrica rispetto alla sua
diagonale principale, ma è simmetrica
A(1)
rispetto
a
quella
secondaria.
Ha
S(2)
configurazione controdiagonale come la W
da cui differisce per l’anti-simmetria dei
M(a)
segni delle due ultime righe; T(2) è inoltre
simmetrica di V.
T(2)
V
23
T(1)=
01 00
-1 0 0 0
0 0 0- 1
00 10
Asse di
simmetria
T(2)=
00 01
0 0 -1 0
01 0 0
-1 0 0 0
10
0-1
00
00
00
0 0
10
0- 1
Righe
antisimmetriche
Si attira l’attenzione sulla simmetria speculare di T(2) e V e sulla antisimmetria delle righe centrali
di T(1) ed U :
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
=V
=U
Tempo e Spazio si mostrano cioè « forme tra loro simmetriche »
Ne risulta il seguente Quadro di confronto (classificazione) che raccoglie le cinque matrici in
sottogruppi, ognuno caratterizzato da una medesima caratteristica di simmetria o di struttura:
S(1)
A(1)
S(2)
A(2)
U
V
W
-
T(1)
T(2)
U
W
T(2)
V
T(1)
-
caratteristiche di simmetria
e/o antisimmetria propria di
ciascuna matrice
Simmetr.
Anti-simmetr.
rispetto alla
rispetto alla
diag. princip.
diagonale
princ.
Simmetr.
rispetto alla
diagonale
second.
Anti-simmetr.
rispetto alla
diagonale
second.
V
T(2)
N(a)
M(a)
+
U
T(1)
-
W
T(2)
U
-
caratteristiche di simmetria
e/o antisimmetria reciproche delle matrici
contenute in una medesima colonna
Simmetr.
Speculare
globale
Righe
centrali
(nucleo)
antisimmetr.
III e IV riga
(minore
inferiore)
antisimmetriche
Term.
tutti posit.
o nulli
24
Ripetendo quanto già scritto per il caso bidimensionale, si ponga:
s 2= (U.x)2 + (V.y)2 + (W.z)2 + ?c.T(1).t1?2 + ?c.T(2).t2?2
che porge:
s2
= I*
= I*
x2 + y2 + z2 - c2 ?t2 (1) + t2 (2)?} =
x2 + y2 + z2 - c2 t 2 } con t 2 = t2 (1) + t2 (2)
da qui ponendone l’invarianza con riferimento alla sostituzione lineare (indipendente da y e z)
somma di una bisimmetria e di un’emisimmetria:
S=
x=
y=
z=
t=
x’
1
0
0
B
y’
0
K(-1)
0
0
z’
0
0
K(-1)
0
t’
A
0
0
1
*K
si raccolgono di nuovo, immediatamente, le trasformate di Lorentz:
x’± at ’
x=
v 1-a2/c2
y= y’
S=
z= z’
t’ ± (a/c2) x’
t=
v 1-a2/c2
le quali risultano quindi, nuovamente, una conseguenza della rottura antisimmetrica della matrice
nulla (qui d’ordine 4) nei due frammenti Identità ed Antidentità, senza l’occorrenza di alcun
postulato di interpretazione (o modello) fisico, il tutto così come si è detto per il caso
bidimensionale, ora esteso a quattro “dimensioni”, (che è il più piccolo set con carattere nonsimplessico in ciascuna di esse).
25
______________________
N.B.
Punto di partenza del presente studio è stata la monografia di A.S. Eddington al titolo:
“The Theory of Groups” pubblicata nel 3° volume della Collana: The World of
Mathematics-Simon and Schuster-New York 1956. Lo Studio non sarebbe stato possibile
senza il contributo di discussione ed approfondimento dato dalla mia Assistente Dott.ssa
Susan Cox cui devesi quindi riconoscere la partecipazione fattuale ai contenuti dello
Studio stesso.
Prof. Ing. Calogero Benedetti
26